UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CÁLCULO II - PROJETO NEWTON

AULA 03

Assunto: Vetores, Norma e Produto escalar

Palavras-chaves: Vetores, norma, produto escalar, produto interno.

Vetores

• Segmento orientado no plano:

Seja um segmento orientado de reta em um plano

• Comprimento do segmento (ou módulo)

• Direção do segmento

• Orientação do segmento

� Uma extremidade é o ponto inicial

� Outra extremidade é o ponto �nal

Indicação da orientação (ou sentido)

Temos agora um "segmento orientado".

Todo segmento orientado tem comprimento, direção e sentido.

Dois segmentos orientados tem a "mesma direção"se suas retas suportes são paralelas

Dois segmentos orientados que tem a mesma direção, terão o "mesmo sentido"se o segmento de reta que

contém os seus pontos iniciais e o segmento de reta que une os seus pontos �nais não terão intersecção. Se

tiverem intersecção, diremos que os segmentos orientados tem "sentido contrário".

Obs: O conceito de "mesmo sentido"só se aplica a segmentos orientados que tem a mesma direção.

2

Esses segmentos orientados tem o mesmo sentido ? Essa pergunta é impertinente, pois os segmentos ori-

entados não tem a mesma direção.

Dizemos que dois segmentos orientados são equipolentes se eles tem o mesmo módulo, a mesma direção e

o mesmo sentido

A relação de equipolência é:

• Re�exiva

• Simétrica e

• Transitiva

Portanto, é uma relação de equivalência.

Convenções:

• Vamos considerar que cada ponto do plano são segmentos orientados (são degenerados).

• Dois pontos do plano são sempre equipolentes

De�nição de vetor:

Dado um segmento orientado

3

o vetor, que tem como representante esse segmento, é o conjunto de todos os segmentos orientados equi-

polentes a esse segmento. Denotamos tal vetor por−−→AB.

Se escrevermos −→v =−−→AB, o vetor será denotado por −→v .

O módulo, a direção e o sentido de um vetor −→v são, respectivamente, iguais ao módulo, direção e sentido,

dos segmentos orientados que o representa.

O módulo de um vetor −→v é denotado por |−→v |. O número |−→v | é também chamado de norma de −→v .

Como todos os pontos do plano são equipolentes, eles representam um mesmo vetor, chamado de vetor

nulo e denotado por−→0 .

Dado um vetor −→v , denotamos por −−→v o vetor que tem o mesmo módulo e a mesma direção de −→v , mas

sentido contrário ao de −→v .

Denotaremos por V o conjunto de todos os vetores do plano.

Soma de vetores

Sejam −→u e −→v vetores.

Consideraremos o representante de −→v localizado no ponto �nal de um representante de −→u .

Outra maneira de de�nir o vetor −→u +−→v é considerar o representante que está sobre a diagonal de parale-

logramo da seguinte �gura

4

Propriedades da soma de vetores

Sejam −→u ,−→v ,−→w ∈ V . Então, teremos que:

• (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w )

• −→u +−→v = −→v +−→u

• −→u +−→0 = −→u

• −→u + (−−→u ) = −→0

Multiplicação por escalar

Dados λ ∈ R e −→v ∈ V . De�nimos o vetor λ−→v com o sendo o vetor que tem a mesma direção de −→v , temnorma igual a |λ|.||−→v || e tem o mesmo sentido de −→v se λ > 0, caso λ < 0, λ−→v tem sentido contrário ao de −→v .

A multiplicação por escalar em V satisfaz as seguintes propriedades

• 1.−→v = −→v

• α(β−→v ) = (αβ)−→v

• (α+ β)−→v = α−→v + β−→v

• α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v

5

Correspondência entre V e R2

Existe um correspondência biunívoca entre os elementos de V e os elementos do R2.

Escreveremos −→v = (a, b) e dizemos que a e b são coordenadas (ou componentes) do vetor −→v .

Se −→u = (a1, b1),−→v = (a2, b2) e λ ∈ R, então

• −→u +−→v = (a1 + a2, b1 + b2)

• λ−→u = (λa1, λa2)

Exemplo 1 Represente geometricamente no R2 os vetores abaixo.

(a) −→u = (4, 2),−→v = (2, 3) e −→u +−→v

(b) −→u = (1, 2), 2−→u e −2−→u

Resolução:

(a) −→u +−→v = (6, 5)

6

(b) −→u = (1, 2), 2−→u = 2(1, 2) = (2, 4) e −2−→u = −2(1, 2) = (−2,−4)

Exemplo 2 Considere o vetor −→v = (3, 1) e o ponto P = (2, 4). Desenhe no R2 o segmento orientado com

ponto inicial em P e que representa −→v .

Resolução:

−→v +−→P = (3, 1) + (2, 4) = (5, 5)

Vamos sempre proceder assim quando precisarmos "localizar"um representante de um vetor dada em um

ponto dado P0 ∈ R2 e −→v um vetor.

Norma de um vetor

Seja −→v = (x, y).

7

A norma de −→v é dada por

||−→v || =√x2 + y2

Propriedades da norma

• ||−→v || ≥ 0. E −→v = 0⇔ −→v =−→0

• ||λ−→v || = |λ|||−→v ||, (∀λ ∈ R)

• ||−→u +−→v || ≤ ||−→u ||+ ||−→v || (desigualdade triangular)

Diferença entre vetores

Sejam −→u e −→v vetores do plano. De�nimos a diferença entre vetores como

−→u −−→v := −→u + (−−→v )

8

Exemplo 3 Represente gra�camente os seguintes vetores

−→u = (3, 2) , −→v = (2, 5) e −→u −−→v

Resolução:

Temos que

−→u −−→v = (3, 2)− (2, 5) = (1,−3)

Representação geométrica

9

Ângulo entre vetores

O ângulo entre dois vetores é o menor ângulo entre dois segmentos orientados que representam esses ve-

tores e que tem pontos iniciais coincidentes.

Se θ é o ângulo entre −→u e −→v , então 0 ≤ θ ≤ π.

Se o ângulo entre dois vetores não nulos −→u e −→v éπ

2, dizemos que eles são ortogonais e indicamos por

−→u ⊥ −→v .

Produto escalar (ou produto interno)

Sejam −→u ,−→v vetores do plano e θ o ângulo entre −→u e −→v . Se de�nirmos −→u = (x1, y1) e −→v = (x2, y2), a

diferença entre eles será dada por

−→u −−→v = (x1 − x2, y1 − y2)

Pela leis dos cossenos, temos que

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||−→u −−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 − 2||−→u ||||−→v || cos θ ⇒(√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

)2=

(√x21 + y21

)2

+

(√x22 + y22

)2

− 2||−→u ||||−→v || cos θ ⇒

��x21 − 2x1x2�

�+x22��+y21 − 2y1y2�

�+y22 = ��x21�

�+y21��+x21�

�+y22 − 2||−→u ||||−→v || cos θ ⇒

−2(x1x2 + y1y2) = −2||−→u ||||−→v || cos θ ×(−1

2

)

Portanto,

(x1x2 + y1y2) = ||−→u ||||−→v || cos θ

Esse número é chamado de produto escalar (ou produto interno) de −→u por −→v e é denotado por −→u .−→v .Assim,

−→u .−→v = x1x2 + y1y2

ou

−→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ

Exemplo 4 Calcule o produto escalar indicado

(a) −→u = (2, 7), −→v = (5, 3),−→u .−→v

(b) −→u = (2, 4), −→v = (8,−4),−→u .−→v

(c) −→u = (3, 5), −→u .−→u

Resolução:

(a) −→u .−→v = (2, 7).(5, 3) = 10 + 21 = 31

(b) −→u .−→v = (2, 4).(8,−4) = 16− 16 = 0

(c) −→u .−→u = (3, 5).(3, 5) = 9 + 25 = 34

Sejam −→u 6= −→0 ,−→v 6= −→0 e suponhamos que −→u ⊥ −→v .

Portanto,

θ =π

2⇒ cos θ = 0⇒ −→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ = 0

Consideremos novamente −→u 6= −→0 e −→v 6= −→0 , mas agora suponhamos que −→u .−→v = 0. Então,

11

−→u .−→v = 0⇒ ||−→u ||||−→v || cos θ = 0

Como ||−→u || 6= −→0 e ||−→v || 6= −→0 , pois −→u 6= −→0 e −→v 6= −→0 , temos que

cos θ = 0⇒ θ =π

2, pois 0 ≤ θ ≤ π

Logo, −→u ⊥ −→v .

Proposição 1 O vetor −→u é ortogonal ao vetor −→v (−→u ⊥ −→v ) se, e somente se, o produto escalar (ou interno)

entre eles for igual a 0 (−→u .−→v = 0). E para dois vetores −→u e −→v não nulos, teremos

cos θ =−→u .−→v

||−→u ||.||−→v ||

Propriedades do produto interno

Sejam −→u ,−→v e w vetores e α, β ∈ R. Então, vale as seguintes propriedades

1. (α−→u ).−→v = −→u .(α−→v ) = α(−→u .−→v )

2. −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w

3. (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w

4. −→u .−→v = −→v .−→u

5. −→u .−→u = ||−→u ||2

6. |−→u .−→v | ≤ ||−→u ||||−→v || (desigualdade de Cauchy-Schwarz)

A de�nição de vetores no R3 é feita de maneira totalmente análoga. Por exemplo, se de�nirmos −→u =

(x1, y1, z1) e−→v = (x2, y2, z2) teremos que

• −→u .−→v = x1x2 + y1y2 + z1z2 = ||−→u ||||−→v || cos θ

• ||−→u || =√x21 + y21 + z21

No Rn, para n ≥ 4, não podemos desenhar segmentos de reta. Fazemos então tudo analiticamente

• −→u = (x1, x2, ..., xn)

• −→v = (y1, y2, ..., yn)

• −→u .−→v = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn

• ||−→u || =√x21 + x22 + ...+ x2n

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O ângulo entre dois vetores não nulos −→u e −→v é de�nido como sendo o número que satisfaz

0 ≤ θ ≤ π e cos θ =−→u .−→v||−→u ||||−→v ||

Assim, temos

−→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CÁLCULO II - PROJETO NEWTON

AULA 04

Assunto:Produto escalar, bases canônicas do R2 e R3, produto vetorial, produto misto, equa-

ção da reta no R2

Palavras-chaves: Produto escalar, determinante, produto vetorial, produto misto, equação

da reta.

Vetores(continuação)

No R2, a norma de −→v = (x, y) é dada por

||−→v || =√x2 + y2

O produto escalar de dois vetores −→u = (x1, y1) e (x2, y2) é dado por

−→u .−→v = x1x2 + y1y2

e temos que

−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v

Semelhante ao R2, no R3 a norma de −→v = (x, y, z) é dada por

||−→v || =√x2 + y2 + z2

O produto escalar de −→u = (x1, y1, z1) com−→v = (x2, y2, z2) será

−→u .−→v = x1x2 + y1y2 + z1z2

e temos também que

−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v

Agora, Rn, tudo é feito com o uso de coordenadas. Logo, a norma de −→u = (x1, x2, ..., xn) é dada por

||−→u || =√x21 + x22 + ...+ x2n

O produto escalar de −→u = (x1, x2, ..., xn) e−→v = (y1, y2, ..., yn) será

−→u .−→v = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn

De�nimos como ângulo entre dois vetores não nulos do Rn o número θ ∈ R que satisfaça

0 ≤ θ ≤ π e

cos θ =−→u .−→v||−→u ||||−→v ||

Assim,

−→u .−→v = ||−→u ||||−→v || cos θ

e também temos que

−→u .−→v = 0⇔ −→u ⊥ −→v

As propriedades do produto escalar, considerando −→u , v−→v ∈ Rn, com n = 2, 3, 4, ... e α, β ∈ R, são

1. (α−→u ).−→v = −→u .(α−→v ) = α(−→u .−→v )

2. −→u .(−→v +−→w ) = −→u .−→v +−→u .−→w

3. (−→u +−→v ).−→w = −→u .−→w +−→v .−→w

4. −→u .−→v = −→v .−→u

5. −→u .−→u = ||−→u ||2

6. |−→u .−→v | ≤ ||−→u ||||−→v || (desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Bases Canônicas do R2 e R3

Base Canônica do R2

Sejam−→i = (1, 0) e

−→j = (0, 1) vetores do R2.

2

Seja −→v um vetor genérico do R2. Note que, o vetor −→v pode ser escrito como combinação linear de−→i e−→j

como segue

−→v = (x, y)

= (x, 0) + (0, y)

= x(1, 0) + y(0, 1)

= x−→i + y

−→j

Por exemplo,

(5, 7) = 5−→i + 7

−→j

(3,−2) = 3−→i − 2

−→j

O conjunto {−→i ,−→j } é chamado de base canônica do R2

Base Canônica do R3

Sejam−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0) e

−→k = (0, 0, 1) vetores do R3.

3

Seja −→v = (x, y, z) um vetor genérico do R3. Note que, o vetor −→v pode ser escrito da forma

−→v = (x, y, z)

= (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)

= x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

= x−→i + y

−→j + z

−→k

Por exemplo,

(5, 2, 7) = 5−→i + 2

−→j + 7

−→k

(−1, 4,−2) = −1−→i + 4−→j − 2

−→k

O conjunto {−→i ,−→j ,−→k } é chamado de base canônica do R3

Produto Vetorial

Revisão: Cálculo de determinante de matrizes 3× 3.

Consideremos a matriz

A =

a b c

α β γ

x y z

O determinante de A é a soma de três parcelas obtidas como segue

4

Portanto,

detA = aβz − yγa+ bγx− zαb+ cαy − xβc

Exemplo 1 Calcule o determinante da matriz

1 3 2

2 5 4

2 1 5

Resolução:

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

2 5 4

2 1 5

∣∣∣∣∣∣∣ = 25− 4 + 24− 30 + 4− 20 = 21− 6− 16 = −1

O produto vetorial é um conceito exclusivo do R3.

Sejam −→u = (z1, y1, z1) e−→v = (x2, y2, z2). Consideremos o vetor

−→w = (y1z2 − y2z1, z1x2 − z2x1, x1y2 − x2y1)

Temos que

5

−→w ⊥ −→u e −→w ⊥ −→v

De fato,

−→u .−→v = x1(y1z2 − y2z1) + y1(z1x2 − z2x1) + z1(x1y2 − x2y1)

= ����x1y1z2����−x1y2z1����+y1z1x2����−y1z2x1����+z1x1y2����−z1x2y1= 0

Portanto, −→u ⊥ −→w

−→v .−→v = x2(y1z2 − y2z1) + y2(z1x2 − z2x1) + z2(x1y2 − x2y1)

= ����x2y1z2����−x2y2z1����+y2z1x2����−y2z2x1����+z2x1y2����−z2x2y1= 0

Portanto, −→v ⊥ −→w

O vetor −→w é chamado de produto vetorial de −→u por −→v e é denotado por −→u ×−→v .

Método prático para o cálculo de −→u ×−→v

−→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣ = y1z2−→i − y2z1

−→i + z1x2

−→j − x2z1

−→j + x1y2

−→k − x2y1

−→k

= (y1z2 − y2z1)−→i + (z1x2 − x2z1)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k

O sentido de −→u ×−→v é obtido pela regra da mão direita

Exemplo 2 Calcule os produtos vetoriais indicados

(a) −→u = (2, 1, 3),−→v = (−3, 2, 1),−→u ×−→v e −→v ×−→u .

6

Resolução:

−→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

2 1 3

−3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (1− 6)−→i + (−9− 2)

−→j + (4− (−3))

−→k

= −5−→i − 11−→j + 7

−→k

= (−5,−11, 7)

−→v ×−→u =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

−3 2 1

2 1 3

∣∣∣∣∣∣∣ = (6− 1)−→i + (2− (−9))−→j + (−3− 4)

−→k

= 5−→i + 11

−→j − 7

−→k

= −1(−5,−11, 7)

= −1−→u ×−→v

Portanto, −→u ×−→v = −−→v ×−→u

(b) −→u = (1, 3, 4),−→v = (−2,−6,−8),−→u ×−→v

−→v ×−→u =

∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j

−→k

1 3 4

−2 −6 −8

∣∣∣∣∣∣∣ = (−24 + 24)−→i + (−8 + 8)

−→j + (−6 + 6)

−→k

= 0−→i + 0

−→j + 0

−→k

=−→0

Obs: −→v = −2(1, 3, 4) = −2−→u

Norma do produto vetorial

Seja −→u = (x1, y1, z1) e−→v = (x2, y2, z2). Temos que

−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1, z1x2 − z2x1, x1y2 − x2y1)

Portanto,

7

||−→u ×−→v ||2 = (y1z2 − y2z1)2 + (z1x2 − z2x1)2 + (x1y2 − x2y1)2

= y21z22 − 2y1z1y2z2 + y22z

21 + x22z

21 − 2x1x2z1z2 + x21z

22 + x21y

22 − 2x1x2y1y2 + x22y

21

= x21(y22 + z22) + y21(x

22 + z22) + z21(x

22 + y22)− 2y1z1y2z2 − 2x1x2z1z2 − 2x1x2y1y2

= x21(x22 + y22 + z22) + y21(x

22y

22 + z22) + z21(x

22 + y22 + z22)− x21x22 − y21y22 − z21z22 − 2y1z1y2z2 − 2x1x2z1z2 − 2x1x2y1y2

= (x21 + y21 + z21)(x22 + y22 + z22)− (x1x‘2 + y1y2 + z1z2)

2

= ||−→u ||2||−→v ||2 − (−→u .−→v )2

= ||−→u ||2||−→v ||2 − (||−→u ||||−→v || cos θ)2

= ||−→u ||2||−→v ||2 − ||−→u ||2||−→v ||2 cos2 θ

= ||−→u ||2||−→v ||2(1− cos2 θ)

= ||−→u ||2||−→v ||2 sin2 θ

Assim,

||−→u ×−→v ||2 = ||−→u ||2||−→v ||2 sin2 θ 0 ≤ θ ≤ π

Logo,

||−→u ×−→v || = ||−→u ||||−→v || sin θ

Quando os vetores −→u e −→v são paralelos escrevemos −→u //−→v . Neste caso existem duas possibilidades:

Suponhamos que −→u //−→v . Logo,

θ = 0 ou θ = π ⇒ sin θ = 0⇒ ||−→u ×−→v || = 0⇒ −→u ×−→v = 0

Suponhamos agora que −→u ×−→v = 0 com −→u 6= 0 e −→v 6= 0. Portanto,

||−→u ×−→v || = 0⇒ ||−→u ||||−→v ||︸ ︷︷ ︸6=0

sin θ = 0⇒ sin θ = 0⇒ θ = 0 ou θ = π, (pois 0 ≤ θ ≤ π)⇒ −→u //−→v

Assim, teremos

Proposição 1 Sejam −→u e −→v vetores não nulos do R3. Então

8

−→u //−→v ⇔ −→u ×−→v

Produto misto

Sejam −→u e −→v vetores do R3 e θ o ângulo entre eles

Queremos determinar a área do paralelogramos acima

Área = ||−→u ||h

onde h é a altura do paralelogramo. Assim,

sin θ =h

||−→v ||⇒ h = ||−→v || sin θ

Portanto,

Área = ||−→u ||||−→v || sin θ ⇒ ||−→u × ||−→v ||

Obs: Se −→u //−→v , então −→u e −→v não formam um paralelogramo.

Consideremos agora três vetores não nulos −→u ,−→v e −→w do R3

9

Queremos determinar o volume do paralelepípedo acima

Volume = (área da base) h

onde h é a altura do paralelepípedo. Temos que,

Área da base = ||−→v ×−→w ||

e

| cos θ| = h

||−→u ||⇒ h = ||−→u ||| cos θ|

Portanto,

Volume = ||−→v ×−→w ||||−→u ||| cos θ|

= ||−→u ||||−→v ×−→w ||| cos θ|

=

∣∣∣∣||−→u ||||−→v ×−→w || cos θ∣∣∣∣= |−→u .(−→v ×−→w )|

O produto |−→u .(−→v ×−→w )| é chamado de produto misto ou produto triplo escalar.

Se −→u = (x1, y1, z1),−→v = (x2, y2, z2) e

−→w = (x3, y3, z3), então

−→u .(−→v ×−→w ) =

∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣Obs: Se os vetores são coplanares o produto misto é nulo.

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Propriedades do produto vetorial

Sejam −→u ,−→v e −→w vetores do R3 e α ∈ R. As seguintes propriedades valem

1. −→u ×−→v = −−→v ×−→u

2. (α−→u )×−→v = −→u × (α−→v ) = α(−→u )×−→v

3. −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w

4. (−→u +−→v )×−→w = −→u ×−→w +−→v ×−→w

5. −→u .(−→v ×−→w ) = (−→u ×−→v ).−→w

6. −→u × (−→v ×−→w ) = (−→u .−→w )−→v + (−→u .−→v )−→w

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