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Value-at-Risk: Overview

Análise de Risco (1)R.Vicente mpmmf

ResumoObjetivosDefiniçãoEsquema GeralDinâmica de PreçosPasseio Aleatório DiscretoSomas de Variáveis AleatóriasTeorema Central do LimiteEstatística dos RetornosAuto-CorrelaçãoVolatilidadeMatrizes de CorrelaçãoBibliografia

Objetivos 1. Medida de exposição por transação, unidade de

negócios ou agregada;

2. Alocação de capital apropriada ao valor de mercado e risco;

3. Estabelecimento de limites de exposição;

4. “Disclosure” para acionistas, mercado e órgãos regulatórios;

5. Avaliação de “traders” e/ou unidades de negócio.

Definição Dado um horizonte de tempo T e um nível de confiança p, o VaR é a perda no valor de mercado no horizonte T que pode ser excedida com probabilidade 1-p.

BIS: p=0,99 e T = 10 dias

JPM: p=0,95 e T = 1 dia

O VaR é apenas um benchmark para decisões comparativas. Em situações adversas podem ocorrer problemas de liquidez que podem ampliar significativamente perdas potenciais.

Esquema Geral

Simulação de mudanças nos preços e taxas.(modelos estatísticos paramétricos ou bootstrap)

Base de dados com carteiras

Cálculo do valor de mercado de cada instrumento para cada cenário de preços e taxas.

(aproximações de 1a (delta) ou 2a (delta-gama) ordem, full valuation)

O que é necessário ?

1. Modelo para as mudanças aleatórios nos preços;

2. Modelo para preços e sensibilidades de derivativos

Dinâmica de Preços

1 1

var

0 var 1

μ σ ε

ε ε

− −

−−

− −

= +⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

t t t t

t t t

t t t t

E R I

R I

E I I

“Plain vanilla model”: constantes.,μ σ(0,1)iid Nε

Passeio Aleatório Discreto 1

2 2 2

1 1~ ( ) ( ) ( ) . . .2 2

n n n

n n n j nj

S S

p s s i i d

s s

σε

ε ε δ ε δ ε

ε ε ε ε δ

−= +

= − + +

= = =

-10 0 10 20 30 40 50 60 70-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

Passeio Aleatório Discreto

1000S1

2 2 2

N jj

S Ns

= =

∑

Convolução

N jj

S ε=

=∑

1 2

~ ( )

( ) ( ) ( )

j j jX X X x p x

p x dx p x p x x

p p p

= +

′ ′ ′= −

= ∗∫

Qual é a distribuição de ?

Convolução

n jj

S ε=

=∑

1 1 1 1 1 ' 11

1 2

~ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

j j j jj

j N N N Nj

X X x p x

p x dx p x p x p x x x

p p p p

−

− − −=

′ ′ ′ ′ ′= − −

= ∗ ∗

∑

∏∫

Qual é a distribuição de ?

( ) ( ) ( ) ( ) ( )NN

N termos

p S p p p pε ε ε ε∗= ∗ ∗ =

Convolução no Espaço de Fourier

'1 ' 1

1 1 1 1 1 ' 11

ˆ ( ) exp( )

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( )

j N N N Nj

p z dx izx izx izx

dx p x p x p x x x

p z p z

−

− − −=

′ ′= ± ±

′ ′ ′ ′ ′− −

∫∏∫

∏

( )

1 1

, ,1

ˆ ˆ ˆln ( ) ln ( ) ln ( )

ˆln (0)

j jj j

l Nl

l N l jlj

p z p z p z

pc i cz

= =

⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎣ ⎦∂= − =

∂

∑∏

∑

Como conseqüência os

cumulantes se somam:

Cumulantes

( )1, ,1 2

,2,12

ll N l

l N l

c cN

ccλ

−= =

, ,1l N lc Nc=Se as variáveis são i.i.d. os cumulantes de uma soma de N variáveis são:

Os cumulantesnormalizados são:

Em uma soma de N variáveis i.i.d. a assimetria (skewness) , a curtose e os cumulantes superiores decaem como:

33, ,

2,2

lN N l N

lN NN β

λ λκλ κ λ β −= = = =

Teorema Central do LimiteSeja uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição comum. Suponha que estejam definidos os dois primeiros cumulantes.

Seja , então, para fixo:

1{ }Nk kX =

1kX cμ= = 2222k kX X cσ = − =

N kS X=∑ β1k=

2121

S NP dxeN

βμ βσ π

−

→∞−∞

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎪ ⎪< ⎯⎯⎯→⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∫

Teorema Central do Limite

Distribuições Estáveis

Se a distribuição de tiver a mesma forma

funcional, da distribuição de , a distribuição de

é dita estável.

N kk

S X=

=∑kX kX

Portanto, uma distribuição é estável se, no espaço de Fourier, sua função característica for

[ ]ˆ ˆ( ) ( ) nnp z p z=

tal que tenham a mesma forma funcional.ˆ ˆ( ) ( )np z e p z

Distribuições Estáveis

Exemplo: A distribuição Lorentziana (Cauchy) é estável:

No espaço de Fourier:

2 2ˆ ( )

ixzzep z dx e

xγγ

π γ−= =

+∫

2 2

1( )p xx

γπ γ

ˆ ( ) n znp z e γ−=

Retornando ao espaço original:

2 2

1 1( )2 ( )

n zixzn

np x dz e en x

γ γπ π γ

−−= =+∫

Distribuições Estáveis

A classe completa de distribuições estáveis é descrita pela seguinte família de funções características (Lévy e Khintchine):

1 tan , 12

ˆln ( )21 ln , 1

0 2 0 [ 1, 1]

zi z a z iz

p zzi z a z i zz

μμ

πλ β μ μ

λ β μπ

μ λ β

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎢ ⎥⎜⎪ − − ≠⎟⎜⎪ ⎢ ⎥⎟⎟⎜⎝ ⎠⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪=⎨⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ − − =⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⎩< ≤ > ∈ ∈ − +

Distribuições Estáveis

NORMAL

0μ→2μ→

Exponencial

Uniforme

LÉVY

Lorentziana

1μ=

Lévy-Smirnoff

1/ 2μ=

( 1)β =

Passeio Aleatório Contínuo 1

2 2 2

~ ( ) . . .

n n n

n n n j nj

S Sp i i d

s s

σεε ε

ε ε ε ε δ

−= +

= = =

22 2

( )

n t com n t tsS t ns t

→∞ Δ → Δ ≡

= =Δ

Passeio Aleatório Contínuo:Difusão

2s D t= Δ

2 ( )S t Dt=DefinindoConstante de difusão

( )201( , ) exp22

x xp x t

DtDtπ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 22p p D pxt x x

∂ ∂ ∂=− +∂ ∂ ∂

Equação de Difusão

Caudas Pesadas

Caudas Pesadas

Caudas Pesadas

Estatística dos Retornos: IBOV

5000

10000

15000

20000

jul-9

jan-

jul-9

jan-

jul-9

jan-

jul-9

jan-

jul-9

jan-

jul-9

jan-

jul-0

jan-

jul-0

jan-

jul-0

2-0,2-0,1

00,10,20,30,4

jul-94

jan-95jul-9

5jan-96jul-9

6jan-97jul-9

7jan-98jul-9

8jan-99jul-9

9jan-00jul-0

0jan-01jul-0

1jan-02jul-0

IBOVESPA

1 1lnt t t

t t t

S S SSS S S

+ +⎛ ⎞−Δ ⎟⎜ ⎟= ≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Estatística dos Retornos: Leptocurtose no IBOV

1ln tt

S+

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠IBOVESPAMédia -0,0012

Assimetria -0,15Curtose 3,87

Um teste de Kolmoroff-Smirnoff rejeita a normalidade da amostra com p-value de 0,038 para um nível de significância de 5%.

Auto-correlação

IBOVESPA

( ) t L t t L tC L x x x x+ += −

99% de confiança

Leptocurtose e Heterocedasticidade

Retornos independentes e gaussianos mas com a volatilidade mudando com o tempo geram distribuições de retornos agregados leptocúrticas.

44 2 2

2 2

1[ ( )] ( ) exp22

3[ ][ ] [ ] [ ] 3 0[ ]

xp x d pσ σσπσ

σσ σ κσ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

≥ ⇒ = − ≥

∫

Leptocurtose e Jump DiffusionRetornos independentes e gaussianos mas com picos eventuais de volatilidade também geram distribuições de retornos agregados leptocúrticas.