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Introdu¸c˜ ao GPU Computing Modelagem Matem´ atica Estudo de Casos em Finan¸cas Conclus˜ ao Referˆ encias Simula¸c˜ oes Financeiras em GPU Disserta¸c˜ ao de Mestrado Th´ arsis T. P. Souza [email protected] Instituto de Matem´ atica e Estat´ ıstica Universidade de S˜ ao Paulo 26 de abril de 2013 Th´ arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆ encia da Computa¸c˜ ao

Simulacao Estocastica Financeira em GPU

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  • 1.IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasSimulacoes Financeiras em GPUDissertacao de MestradoTharsis T. P. [email protected] de Matematica e EstatsticaUniversidade de Sao Paulo26 de abril de 2013Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao

2. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 3. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 4. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasSimulacao EstocasticaStochastic Simulation and Modelling (Prodan, 2001):Figura : Nveis de Simulacao.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 5. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasSimulacao Estocastica em GPUOn the utility of graphics cards to perform massively parallelsimulation of advanced Monte Carlo methods (Lee et al., 2010):We believe the speedup we observe should motivatewider use of parallelizable simulation methods andgreater methodological attention to their design.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 6. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasGPU Computing - BloombergFigura : Estudo de caso GPU Tesla: Precicacao de produtos - Bloomberg (NVIDIA,2009b).Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 7. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasGPU Computing - BNP ParibasFigura : Estudo de caso GPU Tesla: Precicacao de produtos - BNP-Paribas(NVIDIA, 2009b).Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 8. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasObjetivosUtilizar um modelo de hardware e programacao para GPU,apresentando essa plataforma como um verdadeiroco-processador generico.Estudo de geradores de numeros aleatorios sequencias eparalelos.Apresentacao de ferramental matematico fundamental paramodelagem estocastica em nancas.Resolver problemas reais em nancas ao aplicar a teoriaapresentada.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 9. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 10. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 11. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosCPU X GPUFigura : Poder computacional (GFLOP/s) e Throughput (GB/s) CPU X GPU(Brodtkorb et al., 2012).Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 12. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosCPU X GPUFigura : Representacao de Chip CPU X GPU.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 13. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosGPGPUFigura : GPGPU - Evolucao.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 14. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 15. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosArquitetura CUDAFigura : CUDA: Compute Unied Device ArchitectureTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 16. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosModelo de ProgramacaoFigura : Hierarquia de ThreadsTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 17. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosModelo de MemoriaFigura : Hierarquia de MemoriaTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 18. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 19. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosArquitetura FermiDetalhamento da Fermi (alvo do trabalho):CUDA CoresWarpsStreaming MultiprocessorTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 20. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosOtimizacao de Codigo e Boas PraticasComo medir tempoExecucao concorrente assncronaOtimizacao de MemoriaCoalesced MemoryMemoria Compartilhada, Local, GlobalControle de FluxoOcupacaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 21. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasCUDADemais TopicosGeradores de Numeros aleatorios e Modelos de DistribuicaoPRNGs: Linear Congruential Generator, Multiple RecursiveGenerator, Lagged Fibonacci Generator, Mersenne TwisterQRNGs: Van Der Corput, Halton, Faure, SobolGeracao de Distribuicoes nao-Uniformes: Metodo de Inversao,Metodo de Aceitacao e Rejeicao, Metodo de Box-MullerPortabilidade em GPU dos geradores: Sobol e MRG32k3aTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 22. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 23. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasSimulacao de Monte CarloMetodo de Monte CarloTecnicas de Reducao de VarianciaVariavel de ControleVariaveis AntiteticasAmostragem EstraticadaTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 24. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasProcessos EstocasticosProcessos EstocasticosProcesso de WienerProcesso de Ornstein-UhlenbeckEquacoes Diferenciais EstocasticasLema de ItoDiscretizacao de Euler-MaruyamaDiscretizacao de MilsteinTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 25. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 26. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 27. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoGPUCUDA Cnvcc (CUDA Toolkit v.3.1)-use fast mathFigura : NVIDIA GeForce GT 525MTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 28. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoGPUPlaca Graca GeForce GT 525MNucleos CUDA 96Compute Capability 2.1Streaming Multiprocessors 2Dimensoes maximas de um bloco 1024 x 1024 x 64Numero maximo de threads por bloco 1024Numero maximo de registradores por bloco 32768Memoria Global 961 MBMemoria Compartilhada 48 KBMemoria Constante 64 KBTabela : Caractersticas da placa graca NVIDIA GeForce GT 525M.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 29. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoCPUC/C++, compilador Microsoft (R) C/C++ OptimizingCompiler Version 16.00.30319.01 for x64Processador Intel Core i5-2430MProgramas em CPU foram construdos utilizando uma unicathreadTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 30. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoMetodoDados Disponveis:Ativo objeto ITUB4Perodo de amostragem: 15/06/2011 a 31/05/2012Geracao de Numeros Aleatorios:Em CPU, o gerador padrao utilizado foi o Mersenne Twistercom implementacao retirada de (Matsumoto e Nishimura,2009).Em GPU foi utilizada a biblioteca padrao NVIDIA CURAND.Nos experimentos que utilizaram o gerador Sobol, aimplementacao foi obtida em (Joe e Kuo, 2008).Para transformada gaussiana foi utilizado o metodo deBox-Muller.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 31. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 32. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoStopsEm negociacao de ativos, uma estrategia de Stop dene valoreslimites do preco do ativo objeto a partir do qual uma acao deve sertomada.Stop Loss: Limite maximo de movimentacao adversa de precode um ativo.Stop Gain: Limite superior para o valor do ativo denegociacao.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 33. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoFormulacao do Problema de StopsSuponha que uma partcula se move aleatoriamente em umsub-conjunto D Rn. No instante t sua posicao e xt. Desejamosescolher o Tempo de Parada t do movimento de modo amaximizar o ganho esperado E[g(xt)], onde g(x) representa oganho correspondente a x D.Figura : O problema de StopTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 34. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoFormulacao do Problema de Stops OtimosO problema de Stop Otimo pode ser formalizado como:max Ex0[g(x )] (1)sujeito a tempo de paradaTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 35. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoFormulacao do Problema de Stops OtimosFigura : Exemplos de Tempo de ParadaTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 36. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoSolucao do Problema de Stops OtimosSuponha que a variavel aleatoria que representa o preco do ativoobjeto siga o seguinte processodS = Sdt + SdW , (2)onde e sao constantes e dW e um processo de Wiener.Entao, pelo Lema de Ito, podemos chegar na seguinte recorrenciageral para o valor do ativo objeto no tempoSi+1 = Si e(2/2)t+tz, z N(0, 1). (3)Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 37. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoSolucao do Problema de Stops OtimosTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 38. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoSolucao do Problema de Stops OtimosSeja f (K) = E[S(K)], entao o valor K = K tal que f (K) = 0 eum ponto de extremo de Stop. Assim, a obtencao de Stop otimose reduz a um problema de obtencao de raiz de funcao, que podeser resolvido, por exemplo, pelo metodo de otimizacao de biseccaoaurea de Brent (W. H. Press e Flannery, 2007).Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 39. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Simulacao de caminhos do processo log-normal.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 40. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Esperanca de retorno de Stop Gain. Analise da variacao damedia .Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 41. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Esperanca de retorno de Stop Gain. Analise da variacao davolatilidade .Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 42. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosCom o aumento da media , temos uma esperanca maior parao valor da barreira congurado.Em contraposicao, um valor maior de volatilidade sugere anecessidade de conguracao de um valor mais alto para o stop.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 43. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Esperanca de retorno otimo em funcao da taxa de juros.Conguracao = 0, 0521139% e = 2, 4432633%.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 44. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosPodemos observar uma estimativa de ganho otimo de 9,91%sobre uma taxa de juros de 11%, na conguracao analisada.Retorno otimo e negativo para rf > 13%.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 45. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Tempo computacional gasto em calculo da esperanca de ganhode um Stop Gain em funcao do numero de simulacoes. Conguracao:Stop = 65, = 0, 00055%, = 2%.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 46. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Tempo computacional gasto em calculo da esperanca de ganhode um Stop Gain. Conguracao: numero de simulacoes = 38.400, = 0, 00055%, = 2%.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 47. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosSpeedup de mais de 12 vezes para um numero de simulacoesigual a 51.200.Solucao em GPU escalavel para o numero de simulacoes evariacao de stop gain.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 48. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 49. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoRisco de MercadoRisco de Mercado e aquele relacionado com perdas no uxode caixa da organizacao causadas por utuacoes nos precos deativos e passivos da empresa (Kimura et al., 2010).Para gestao desse risco, uma metrica particularmentedifundida e o Value-at-Risk (VaR), que visa a obter umamedida de perda maxima da instituicao.Para o calculo do mesmo, o gestor de risco deve ser capaz decalcular o valor de mercado de seus produtos, para assimconseguir avaliar as possveis variacoes na carteira da empresa.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 50. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoOpcoesUma opcao confere, ao titular, o direito sobre um determinadoativo por um valor determinado, enquanto o vendedor eobrigado a concluir a transacao.Opcao de Call: fornece ao titular o direito de compra do ativoobjeto a um valor determinado (strike).Opcao de Put: fornece ao titular o direito de venda do ativoobjeto a um valor determinado.Opcao Europeia e aquela que pode ser exercida somente emsua data de vencimento.Para ter o direito, o titular deve pagar o preco da opcao,tambem chamado de premio.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 51. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoPrecicacao de Opcoes via SimulacaoPosicao comprada em uma opcao de Call: max(ST X, 0).Posicao vendida em uma opcao de Call: max(ST X, 0).Posicao comprada em uma opcao de Put: max(X ST , 0).Posicao vendida em uma opcao de Put: max(X ST , 0).O premio (cT ) de uma Opcao Europeia de Call pode ser calculadoa partir de um valor esperado de seu retorno, conforme:cT = erTE[max(ST X, 0)]. (4)Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 52. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoPrecicacao de Opcoes via SimulacaoFigura : Payos das posicoes em opcoes europeias: (a) compra de Call;(b) venda de Call; (c) compra de Put; (d) venda de Put (Hull, 2012).Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 53. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoPrecicacao de Opcoes via SimulacaoParidade Put-Callc + XerT= p + S0. (5)De posse da equacao 5, podemos estimar a esperanca do premiode uma opcao de call E[c] como:E[c] = E[p] + S XerT(6)Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 54. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoReducao de variancia da PrecicacaoEm geral, a variancia de uma opcao de put e menor do queuma opcao de call ja que no primeiro caso o payo e limitado.Dessa forma, o preco da opcao de put se torna uma variavelde controle para o calculo do premio da opcao de call e,assim, obtemos um estimador de c com varianciapotencialmente reduzida.Alem disso, podemos utilizar variaveis antiteticas comotecnica de reducao de variancia.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 55. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoPrecicacao de Opcoes via SimulacaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 56. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoValue-at-Risk(Choudhry e Tanna, 2007) dene o VaR1 como a perda maximaque pode ocorrer em um grau de conanca (1 ) e perodo detempo (T) determinados.Se assumirmos que F e a funcao de distribuicao acumulada doretorno da carteira da instituicao, podemos denir o VaR comoF(VaR) = (7)onde e a probabilidade correspondente ao nvel de conancaestabelecido. Ao utilizar a funcao de densidade dos retornos f ,podemos denir o VaR de modo equivalente como =VaRf (x)dx. (8)Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 57. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoValue-at-RiskComo obter uma funcao f de distribuicao dos retornos para umhorizonte de tempo denido?Figura : Resumo comparativo de metodologias de calculo de VaR.Retirado de (Jorion, 2003)Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 58. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoVaR via Metodo de Monte CarloSeja 0 = (S10 , S20 , . . . , Sn0 ) o valor de um portfolio composto por nativos em t0. Desejamos calcular o VaR1 de 0 para um perodoT. A seguir, apresentamos os passos para resolucao desseproblema via Simulacao de Monte Carlo:1 Escolha e congure um modelo estocastico para projecao dosprecos dos ativos do portfolio.2 Simule os precos dos ativos para projetar seus valores em T:S1T , S2T , . . . , SnT3 Calcule o valor do portfolio T = (S1T , S2T , . . . , SnT )4 Repita os passos 2 e 3 um numero (N) de vezes tao grandequanto se queiraTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 59. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoVaR via Metodo de Monte Carlo1 Ordene de modo crescente os valores dos portfolios obtidos eobtenha a distribuicao: (1T , 2T , . . . , NT )2 Compute o VaR a partir do quantil (1 ) de interesse:VaR1 = (1)NT 0Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 60. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoVaR via Metodo de Monte CarloTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 61. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Aplicacao de tecnicas de reducao de variancia na simulacao dopremio de uma opcao de call europeia utilizando Sobol como RNG.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 62. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosMelhoria de mais de 4 vezes no erro padrao da simulacao paraprecicacao de opcoes.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 63. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : O portfolio 0 gerado com um total de 2 mil opcoes, o queresultou em um valor total de R$191.740. Valor obtido para o VaR95% de1 dia foi de aproximadamente -R$896.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 64. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosNumero de Simulacoes Tempo CPU (s) Tempo GPU (s)1280 2,91 0,073200 7,178 0,166400 14,79 0,3112800 28,59 0,6025600 56,58 1,1938400 84,03 1,8151200 112,02 2,43Tabela : Tempo Computacional gasto em CPU e GPU no calculo de VaRem funcao do numero de simulacoes. Numero de opcoes xo em 2.000.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 65. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosNumero de Opcoes Tempo CPU (s) Tempo GPU (s)500 28,03 0,99750 42,54 1,231000 56,31 1,471250 70,41 1,701500 84,95 1,951750 99,17 2,182000 112,02 2,432500 146,76 2,90Tabela : Tempo Computacional gasto em CPU e GPU no calculo de VaRem funcao do numero de opcoes no portfolio. Numero de simulacoes xoem 51200.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 66. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Speedup no calculo de VaR de uma carteira com 2000 opcoesem funcao do numero de simulacoes.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 67. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Speedup no calculo de VaR em funcao do numero de opcoes noportfolio. Numero de simulacoes xo em 51200.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 68. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasMetodoStops OtimosRisco de MercadoExperimentosAceleracao de mais de 50 vezes do calculo de Value-at-Riskvia Simulacao de Monte CarloTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 69. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasAgenda1 Introducao2 GPU ComputingCUDADemais Topicos3 Modelagem Matematica4 Estudo de Casos em FinancasMetodoStops OtimosRisco de Mercado5 ConclusaoTharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 70. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasConclusaoApresentamos a GPU como uma plataforma de computacaode proposito geral.Estudo de diferentes tipos de PRNGs e QRNGs emarquiteturas sequencial e paralela.Descricao de solucoes exatas e numericas de EquacoesDiferenciais Estocasticas.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 71. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasConclusaoStops (nessa apresentacao):Resolucao do problema de obtencao de Stop Otimo.Em analise experimental, as implementacoes em GPUmostraram ser mais escalaveis em relacao ao algoritmosequencial.Para o algoritmo de obtencao de esperanca de retorno de umStop Gain, foi alcancado um speedup de mais de 12 vezes.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 72. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasConclusaoStops (vide dissertacao):Revisamos o modelo trinomial proposto por(Warburtona e Zhang, 2006) e propomos um algoritmoalternativo para o mesmo via simulacao utilizando umatecnica de aceitacao e rejeicao para probabilidade de transicaodos precos de (Cox et al., 1979).O algoritmo sugerido e, comparativamente, de facilimplementacao e naturalmente portavel para GPU.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 73. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasConclusaoRisco de Mercado:Melhoria de mais de 4 vezes no erro padrao da simulacao paraprecicacao de opcoes.Calculo de Value-at-Risk via Simulacao de Monte Carlo comaceleracao de mais de 50 vezes.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 74. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasReferencias Bibliogracas IBrodtkorb et al.(2012) A. R. Brodtkorb, T. R. Hagen e Ma. L.Saetra. Graphics processing unit (gpu) programming strategiesand trends in gpu computing. Journal of Parallel and DistributedComputing.Choudhry e Tanna(2007) M. Choudhry e K. Tanna. AnIntroduction to Value-at-Risk. Securities Institute. Wiley. ISBN9780470033777.Cox et al.(1979) J. Cox, S. Ross e M. Rubenstein. Option pricing:a simplied approach. Journal of Financial Economics.Hull(2012) J. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives andDerivaGem CD Package. Prentice Hall. ISBN 9780132777421.Tharsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciencia da Computacao 75. IntroducaoGPU ComputingModelagem MatematicaEstudo de Casos em FinancasConclusaoReferenciasReferencias Bibliogracas IIJoe e Kuo(2008) S. Joe e F. Y. Kuo. Codigo fonte: Sobolsequence generator, 2008. URLhttp://web.maths.unsw.edu.au/~fkuo/sobol/. 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