Cones Circulares

2°Ano “D”David Levi

DefiniçãoCaracterizado por uma base circular e por

todos os pontos formarem segmentos de retas com um extremo nessa base e outro extremo em um mesmo ponto de vértice, fora da base.

Base circular (C)

Vértice (v)

Elementos de um cone circularBase do cone, como o próprio nome denota, é

a estrutura principal do cone, a partir da base sairão às demais estruturas.

Vértice do cone é o ponto em comum de encontro de arestas ou segmentos.

Eixo do cone é uma reta que liga o centro da base à vértice do mesmo.

Elementos de um cone circularRaio da base, como o próprio nome denota, é

o raio da base circular.Geratriz é todo segmento de reta cujos

extremos são à vértice e um ponto da circunferência da base.

Altura do cone é a distância entre o vértice e o plano da base.

Elementos de um cone circular

geratrizV

base

Cα

Or

altura

Secções de um cone circularSecção transversal é qualquer intersecção no

cone com um plano paralelo a base.

secção transversal

Obs: Toda secção transversal é um círculo, assim como a base.

Secções de um cone circular

Secção meridiana é quando há uma intersecção que passa pelo vértice e pelo centro da base.

Obs: Toda secçãomeridiana é um triangulo.

Secção meridiana

Classificação dos cones circulares

Cone circular reto ou cone de revolução é todo cone circular cujo eixo é perpendicular ao plano da base, ou seja, formam ângulo de 90° e no qual é possível criar-se a partir da rotação de 360° de um triângulo retângulo.

Cone de revolução

Propriedade do CCR

Quando um cone circular reto (ou cone de revolução) recebe um secção meridiana, há a formação de um triângulo isósceles (triângulo com dois lados iguais).

Cone equiláteroQuando um cone circular reto recebe uma

secção meridiana e o resultado é um triângulo equilátero, chamamos de cone equilátero.

Obs: Em todo cone equilátero, a geratriz é equivalente a 2 raios da base; logo, g=2r.

rr

g = 2r 2r2r

2r

Classificação dos cones circulares

• Cone circular obliquo é quando o grau entre o eixo e a base circular é menor que 90°.

Relações entre elementos de um CCR

Pelo teorema de Pitágoras, podemos relacionar os elementos de um cone circular reto, da seguinte forma:

g²=r²+h².

r

hg

Área lateral de um CCRÁrea lateral (Al) a área da superfície formada

pela reunião de todas as geratrizes do cone após a planificação do mesmo, em que o raio e o arco do setor circular medem g e 2πr, respectivamente. g

g2πr

θ

Área lateral de um CCRLogo, Al pode ser calculado pela regra de três:

Logo, concluímos:

Al = 2πr . πg² 2πg

Al = πrg

2πg πg²2πr Al

Área totalÁrea total (At) é a soma da área lateral com a

área da base:

Logo:At = πrg(g+r)

At = πrg + πr²

g

g

2πrr

θ

Ângulo CentralA medida θ, em radiano, pode ser definido

como: a inclinação do ângulo que corresponde a abertura da superfície lateral e pode ser obtida pela seguinte regra de três:

θ = 2πr . 2π rad 2πg

2πg 2π2πr θ

Ângulo Central

Logo, concluímos:

Como 2π equivale a 360°, podemos definira seguinte formula para calcular θ em graus: θ

θ = 2πr rad g

θ = 360°. R g

Volume de um Cone Circular

• O volume V do cone circular é igual a ⅓ do produto da área de sua base por sua altura.

V = ⅓ . Bh

V = ⅓πr2h r

h

Princípio de Cavalieri Segundo o princípio de Cavalieri, os

sólidos têm volumes iguais. O volume V da pirâmide é compatível com o volume V do cone.

V = ⅓ . Bh V = ⅓πr2h

Tronco de CC de bases paralelas

Quando um plano α está paralelo a base de um cone circular C separando-o em 2 sólidos, sendo um cone C’ e o outro um tronco de cone circular de bases paralelas.

Tronco de CC de bases paralelas

Em um tronco, temos:

As partes planas da superfície do tronco são as bases do tronco.

A distância entre as bases é a altura do tronco.

A parte restante da geratriz do cone passa a ser geratriz do cone.

Tronco de CC de bases paralelas

O volume do tronco é a diferença entre os volumes dos cones C e C’.

A área lateral do tronco é a diferença entre as áreas laterais dos cones C e C’.

A área total do tronco é a soma de sua área lateral com as áreas das suas bases.

Tronco de CC de bases paralelas

base menor

base maior

tronco T

geratriz

cone C

cone C’

altura

Cones semelhantesQuando um plano α realiza uma secção

transversal, gera-se 2 cones semelhantes.Eles tem o mesmo ponto de ligação (vértice), porém suas bases C e C’ são diferentes, no entanto, eles são semelhantes.

Cones semelhantes

O

O’

C

C’

r

h

r’

h’

v

g

g’