EconometriaTópico 2 – Regressão Múltipla

O Problema da Estimação

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Adjunto da Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

Todas as aulas podem ser encontradas noSLIDESHARE:

http://www.slideshare.net/RicardoSantos11/03-tpico-2-regresso-multipla

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O problema da Estimação

Em situações econômicas do mundo real não é apenas umavariável que explica mudanças em um fenômeno (aquirepresentado pela variável dependente), mas um conjunto defatores (variáveis independentes).

Antes quando estávamos abordando o modelo de demandado açaí verificou-se que:

𝑃𝑎ç𝑎𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑄𝑎ç𝑎𝑖 + 𝑢𝑖

Onde a quantidade do açaí determina o preço, ou viceversa. Mas além dessas duas variáveis existem outrascomponentes importantes essenciais para determinar a dinâmicado preço da açaí, essas componentes são a renda do consumidor,o preço do bem complementar, e o preço do bem substituto, etc.,assim, o modelo de demanda do açaí é melhor representado por:

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O problema da Estimação

𝑃𝑎ç𝑎𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑄𝑎ç𝑎𝑖 + 𝛽2𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎 + 𝛽3𝑃𝑓𝑎𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎 + 𝑢𝑖

Genericamente poderíamos então representar talmodelo por:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O problema da EstimaçãoEvidente que estamos considerando como hipóteses:

1) O modelo de regressão é linear nos parâmetros;2) Os valores fixos de X ou os valores de X independentes do termo de

erro. Aqui, isso significa que é necessário covariância igual a zeroentre 𝑢𝑖 e cada variável X.

𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖 , 𝑋2𝑖 = 𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖 , 𝑋3𝑖 = 03) O termo de erro 𝑢𝑖 tem valo médio zero.

𝐸 𝑢𝑖 𝑋2𝑖 , 𝑋3𝑖) = 04) Homocedasticidade ou variância constante de 𝑢𝑖.

𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑖 = 𝜎2

5) Ausência de autocorrelação, ou de correlação serial, entre os termosde erro

𝑐𝑜𝑣 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗

6) O número de observações n deve ser maior que o número deparâmetros a serem estimados, neste caso, 3.

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O problema da Estimação

7) Deve haver variação nos valores das variáveis X.

8) Não há colinearidade exata entre as variáveis X

Ou seja, não há relação linear exata entre 𝑋2 𝑒 𝑋3.

9) Ausência de viés de especificação

Ou seja, o modelo está corretamente especificado.

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O problema da Estimação

Das hipóteses 1 a 7 já são conhecidas, pois as mesmasse configuram de forma similar ao modelo de regressão linearsimples. A novidade fica por conta das hipóteses 8 e 9, que nasua essência, para serem aplicadas, necessitam de mais deduas variáveis independentes para que tais hipóteses tenhamaplicabilidade.

Uma aplicação fácil de verificação da hipótese 8 é acolinearidade perfeita. Imagine que para o modelo de trêsvariáveis esteja presente a seguinte relação:

𝑋3𝑖 = 2𝑋2𝑖

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O problema da Estimação

Com isso teríamos o seguinte resultado:𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

= 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3 2𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖

= 𝛽1 + 𝛽2 + 2𝛽3 𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖

= 𝛽1 + 𝛼𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖 .

Ou seja, dada a relação linear uma das variáveis nãotem necessidade de estar no modelo.

E por esse motivo que não podemos inserir no modelovariáveis com alta colinearidade (ou alta correlação), pois atendência é que uma anule a outra.

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O problema da Estimação

Com relação a interpretação da regressão múltipla, temosque ter em mente a média condicional de Y em relação aos valoresde X, assim, temos:

𝐸 𝑌𝑖 𝑋2𝑖 , 𝑋3𝑖) = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖

Agora como devemos fazer a interpretação dos coeficientesda regressão? O principal aspecto é analisar os coeficientesangulares, ou seja, o 𝛽2 e o 𝛽3. No entanto, devemos sempreutilizar um artifício muito utilizado na economia, que é o ceterisparibus. Ou seja, mudanças em uma determinada componenteeconômica causa impactos em outra componente, desde que tudopermaneça constante, ou seja, que nada mais varie além dascomponentes de interesse.

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O problema da Estimação

Um exemplo para isso seria verificar os efeitos davariável 𝑋2 sobre Y, para isso teríamos que interpretar que oaumento de uma unidades em 𝑋2 provoca um aumento em Yde 𝛽2 unidades, desde que não ocorram alterações em 𝑋3.

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O MQO para o MRLM

Antes visto para o Modelo simples encontrar osestimadores para o Modelo de Regressão Linear Multiplo(MRLM) é uma tarefa relativamente fácil, no entanto, exigecerta atenção.

O modelo a ser estruturado será:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 .

Em termos dos resíduos teremos:

𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋2𝑖 − 𝛽3𝑋3𝑖 .

E o que buscamos é:

𝑚𝑖𝑚 𝑢𝑖2 = 𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋2𝑖 − 𝛽3𝑋3𝑖

2

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O MQO para o MRLM

O que devemos proceder e estimar são as derivadasparciais da SQR em relação a cada um dos estimadores,Assim:

𝜕 𝑢𝑖2

𝜕 𝛽1

= 0

𝜕 𝑢𝑖2

𝜕 𝛽2

= 0

𝜕 𝑢𝑖2

𝜕 𝛽3

= 0

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O MQO para o MRLM

Os resultados para os estimadores serão os seguintes: 𝛽1 = 𝑌 − 𝛽2

𝑋2𝑖 − 𝛽3 𝑋3𝑖

𝛽2 = 𝑦𝑖𝑥2𝑖 𝑥3𝑖

2 − 𝑦𝑖𝑥3𝑖 𝑥2𝑖𝑥3𝑖

𝑥2𝑖2 𝑥3𝑖

2 − 𝑥2𝑖𝑥3𝑖2

𝛽3 = 𝑦𝑖𝑥3𝑖 𝑥2𝑖

2 − 𝑦𝑖𝑥2𝑖 𝑥2𝑖𝑥3𝑖

𝑥2𝑖2 𝑥3𝑖

2 − 𝑥2𝑖𝑥3𝑖2

Análise da Regressão Múltipla (Tópico 1):

O MQO para o MRLM

De forma intuitiva já sabemos como ficará o resultado

de um estimador se encontrarmos ou o 𝛽2 ou o 𝛽3 , oprimeiro que for encontrado basta ter a fórmula generalizadaem sequência.

Outro ponto muito importante é o que trata davariância dos estimadores, para que possamos obter o erropadrão e fazer o cálculo da estatística t calculada.

Não vamos aqui nos preocupar em demonstrar comose calcula cada um dos estimadores, temos que ter em mente

apenas a fórmula para que possamos obter o cálculo de 𝛽1, 𝛽2 e 𝛽3.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Assim as variâncias serão:

𝑣𝑎𝑟 𝛽1 =

1

𝑛+

𝑋22 𝑥3𝑖

2 + 𝑋32 𝑥2𝑖

2 − 2 𝑋2 𝑋3 𝑥2𝑖𝑥3𝑖

𝑥2𝑖2 𝑥3𝑖

2 − 𝑥2𝑖𝑥3𝑖2

𝜎2

𝑒𝑝( 𝛽1) = 𝑣𝑎𝑟( 𝛽1)

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥3𝑖

2

𝑥2𝑖2 𝑥3𝑖

2 − 𝑥2𝑖𝑥3𝑖2 𝜎2

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =𝜎2

𝑥2𝑖2 1 − 𝑟23

2

𝑒𝑝 𝛽2 = 𝑣𝑎𝑟 𝛽2

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

𝑣𝑎𝑟 𝛽3 = 𝑥2𝑖

2

𝑥2𝑖2 𝑥3𝑖

2 − 𝑥2𝑖𝑥3𝑖2

𝜎2

𝑣𝑎𝑟 𝛽3 =𝜎2

𝑥3𝑖2 1 − 𝑟23

2

𝑒𝑝 𝛽3 = 𝑣𝑎𝑟 𝛽3

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Outro importante indicador é a covariância entre os

estimadores 𝛽2 e 𝛽3, assim temos:

𝑐𝑜𝑣 𝛽2, 𝛽3 =−𝑟23𝜎2

1 − 𝑟232 𝑥2𝑖

2 𝑥3𝑖2

Sempre lembrando que o termo 𝜎2 corresponde avariância dos resíduos e o principal pressuposta sobre ela éde que a mesma seja homocedástica.

A formula de se estimar a variância para o modelo comtrês variáveis será:

𝜎2 = 𝑢𝑖

2

𝑛 − 3

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O problema da Estimação

Propriedades dos estimadores de MQO

As propriedades dos estimadores de MQO para oMRLM são muito semelhante aos do MRLS, vamos a elas:

1) A linha de regressão de três variáveis passa pelasmédias 𝑌, 𝑋2 e 𝑋3 o que fica evidente por meio da equaçãopara obter o 𝛽1 . No modelo de regressão linear com Kvariáveis teremos:

𝛽1 = 𝑌 − 𝛽2 𝑋2 − 𝛽3

𝑋3 − ⋯ − − 𝛽𝑘 𝑋𝑘

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2) O valor médio estimado de 𝑌𝑖(= 𝑌𝑖) é igual à médiado 𝑌𝑖 efetivo, oque é fácil de verificar:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖

= 𝑌 − 𝛽2 𝑋2 − 𝛽3

𝑋3 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖

= 𝑌 + 𝛽2 𝑋2𝑖 − 𝑋2 + 𝛽3 𝑋3𝑖 − 𝑋3

= 𝑌 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝛽3𝑥3𝑖

Aplicando o somatório em ambos os lados e dividindopor n teremos:

𝑌𝑖

𝑛=

𝑛 𝑌

𝑛+

𝛽2 𝑥2𝑖

𝑛+

𝛽3 𝑥3𝑖

𝑛Como a soma dos valores reduzidos é zero então:

𝑌𝑖 = 𝑌

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O problema da Estimação

3) 𝑢𝑖 = 𝑢 = 0

4) Os resíduos 𝑢𝑖 não estão correlacionados com𝑋2𝑖 𝑒 𝑋3𝑖, isto é, 𝑢𝑖 𝑋2𝑖 = 𝑢𝑖 𝑋3𝑖 = 0

5) Os resíduos não estão correlacionados com 𝑌𝑖, isto é, 𝑢𝑖

𝑌𝑖 = 0.

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O problema da Estimação

6) Das equações 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 =𝜎2

𝑥3𝑖2 1−𝑟23

2 e

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =𝜎2

𝑥2𝑖2 1−𝑟23

2 , fica evidente que, quando 𝑟23, o

coeficiente de correlação entre 𝑋2𝑖 𝑒 𝑋3𝑖 , aumentaaproximando-se de 1 (colinearidade perfeita), essas variânciastornam-se infinitas. As implicações disso serão maisexploradas na quebra dos pressupostos(heterocedasticidade), porém, já é possível perceber que amedida que 𝑟23 aumenta, fica cada vez mais difícil saber quissão os valores verdadeiros de 𝛽2 e 𝛽3.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

7) Também fica claro pelas duas equações observadas

em (6), que, para valores dados de 𝑟23 e 𝑥2𝑖2 ou 𝑥3𝑖

2 , asvariâncias dos estimadores de MQO são diretamenteproporcionais a 𝜎2; ou seja, eles aumentam à medida que 𝜎2

aumenta. Do mesmo modo, para valores dados de 𝜎2 e 𝑟23, a

variância de 𝛽2 é inversamente proporcional a 𝑥2𝑖2 , isto é,

quanto maior a variância dos valores amostrais de 𝑋2, menor

a variância de 𝛽2 e, portanto, de 𝛽2. Pode-se dizer o mesmo

da variância de 𝛽3.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

8) Dadas as hipóteses do modelo clássico de regressãolinear, pode-se demonstrar que os estimadores de MQO doscoeficientes parciais de regressão não são apenas lineares enão viesados (ou não tendenciosos). Em resumo, são MELNTou BLUE. Dito de outra maneira, eles atendem ao teorema deGauss-Markov.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

O coeficiente de determinação Múltiplo, 𝑹𝟐 , e ocoeficiente de correlação múltiplo, R.

Diferente o termo 𝑟2 que obtivemos para o modelolinear simples, agora teremos a interação de mais de duasvariáveis na correlação. Por esse motivo que ele édenominado de múltiplo.

Para o cálculo do mesmo partimos do próprio modelode regressão linear:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝑢𝑖

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Considerando a forma reduzida do modelo temos:

𝑦𝑖 = 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝛽3𝑥3𝑖 + 𝑢𝑖

𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 + 𝑢𝑖

Elevando ao quadrado os dois lados da expressão,solucionando o problema e depois aplicando o somatórioteremos:

𝑦𝑖2 = 𝑦𝑖

2 + 𝑢𝑖2 + 2 𝑦𝑖 𝑢𝑖

𝑦𝑖2 = 𝑦𝑖

2 + 𝑢𝑖2

Que são (SQT) = (SQE) + (SQR)

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

No entanto, devemos lembrar agora que a SQE temduas componentes, uma dada pela variável 𝑋2 e outra por 𝑋3.

𝑦𝑖2 = 𝑦𝑖

2 + 𝑦𝑖2 − 𝛽2 𝑦𝑖𝑥2𝑖 − 𝛽3 𝑦𝑖𝑥3𝑖

Onde o SQE será:

𝑆𝑄𝐸 = 𝑦𝑖2 = 𝛽2 𝑦𝑖𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑦𝑖𝑥3𝑖

Como 𝑅2 =𝑆𝑄𝐸

𝑆𝑄𝑇, então:

𝑅2 = 𝛽2 𝑦𝑖𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑦𝑖𝑥3𝑖

𝑦𝑖2

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Outra forma seria:

𝑅2 = 1 −𝑆𝑄𝑅

𝑆𝑄𝑇= 1 −

𝑢𝑖2

𝑦𝑖2 = 1 −

𝑛 − 3 𝜎2

𝑛 − 1 𝑆𝑦2

Tal valor irá se encontrar dentro do intervalo de 0 a 1.

Outra elemento que devemos considerar, é apossibilidade de relacionar o R2 com a variância dosestimadores, dessa forma:

𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 =𝜎2

𝑥𝑗2

1

1 − 𝑅𝑗2

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Uma breve aplicação.

Vamos verificar para o exemplo 7.1 do capítulo 7 queaborda sobre os impactos do Produto Nacional Bruto percapita (PNBpc) e da Taxa de Alfabetização feminina (TAF) naMortalidade Infantil (MI). Esse exemplo se encontra na tabela6.4 e pode ser puxada no Gretl. No caso o Gretl trabalha comos dados americanos, mudando a abreviação das variáveis,então temos no exemplo:

MI = CM

PNBpc = PGNP

TAF = FLR

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O problema da Estimação

Então o modelo a ser estimado com base nasinformações será:

𝑀𝐼𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑃𝑁𝑏𝑝𝑐𝑖 + 𝛽3𝑇𝐴𝐹𝑖 + 𝑢𝑖

No vídeo será demonstrado todos os testes realizados eestimações calculadas, os resultados serão inseridos nospróximos Slides.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Análise da Regressão Múltipla: O problema da Estimação

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação **

R2 e R2 ajustado

Apesar de o R2 ser uma medida interessante, elaapresenta um problema, independente do tipo de variávelque tenhamos em um MRLM, quando o número de variáveiscrescem indefinidamente o R2 também aumenta. Isso podeser melhor visualizado observando cuidadosamente a fórmulado R2:

𝑅2 =𝑆𝑄𝐸

𝑆𝑄𝑇= 1 −

𝑆𝑄𝑅

𝑆𝑄𝑇= 1 −

𝑢𝑖2

𝑦𝑖2

A medida que o número de variáveis no modeloaumentam a SQR irá diminuir, permitindo que o R2 aumente.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Uma forma de medir o R2 é a sua forma ajustada. Nelasão inseridos na fórmula o grau de liberdade associados aoresíduo (n-k) e ao valor da SQT (n-1). Assim a equação docoeficiente de determinação ajustado fica:

𝑅2 = 1 −

𝑢𝑖2

𝑛 − 𝑘 𝑦𝑖

2

𝑛 − 1O que podemos notar é que a SQR dividida pelo o seu

grau de liberdade passa a ser a variância do resíduo, bemcomo a soma do valor reduzido de Y dividido pelo grau deliberdade (n-1) nos fornece a variância de Y, assim temos:

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

𝑅2 = 1 − 𝜎2

𝑆𝑌2

Também podemos estabelecer uma relação entre o 𝑅2 𝑒 𝑜 𝑅2, assim:

𝑅2 = 1 − 𝑢𝑖

2 𝑛 − 1

𝑦𝑖2 𝑛 − 𝑘

= 1 − 1 − 𝑅2𝑛 − 1

𝑛 − 𝑘

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O problema da Estimação

Comparação entre dois valores de R2.

O 𝑅2 muitas das vezes é uma medida para se escolherqual o melhor modelo, ou seja, qual modelo representamelhor uma realidade. No entanto, ele só pode sercomparado diretamente se ambos os modelos (que foremcomparados) tiverem a mesma variável dependente.

No caso vejas os dois modelos abaixo:ln 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

𝑌𝑖 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋2𝑖 + 𝛼3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

Pode comparar os dois modelos acima?

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Toda variável que passa por algum tipo detransformação como aplicação do logaritmo, elevá-la a umapotência qualquer ou tirar a raiz implicam em mudança devariável, ou seja, ela perde a sua característica original e passaa ser uma nova variável.

É por esse motivo que os dois modelos anteriormentevistos não podem ser comparados em seu R2, por sertratarem de duas variáveis totalmente diferentes.

No entanto, existe uma foram de torná-lascomparáveis.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Para tornar o R2’s comparáveis, quando temos variáveisdiferentes, temos que fazer algumas conversões e usar umafórmula que faça o cálculo do coeficiente de correlaçãoparcial com apenas uma variável. Essa fórmula seria:

𝑟2 = 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑌𝑖 − 𝑌

2

𝑌𝑖 − 𝑌 2 𝑌𝑖 − 𝑌2

Ou seja,

𝑟2 = 𝑦𝑖 𝑦𝑖

2

𝑦𝑖2 𝑦𝑖

2

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Aproveitaremos para abordar o assunto da elasticidadenos modelos de regressão linear. O modelo remeterá a duassituações, uma em que:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 (a)

e

ln 𝑌𝑖 = 𝛼1 + 𝛼2ln(𝑋2𝑖) (b)

Podemos notar que as variáveis dependentes de ambosos modelos são diferentes, portanto, se formos compararambos não podemos usar o critério do R2 para compara-losdiretamente, porém, podemos fazer uma transformação queviabilizará a comparação desse indicador.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Os passos a serem seguidos serão:

1. Transformar o ln em valor normal: depois de estimado o

modelo (b) vamos encontrar os valores de ln(𝑌𝑖), paratransformá-los em uma aproximação de 𝑌𝑖 tiramos o

antilogaritmo de ln(𝑌𝑖), com esse valor podemos aplicarna fórmula do R2 com o valor efetivo de 𝑌𝑖.

2. Como alternativa, supondo que todos os valores de Ysejam positivos, podemos obter o logaritmo dos valoresde Y, ln(Y). Obter os valores estimados de Y (isto é, ln( 𝑌) eem seguida calcular o R2.

Para o exemplo da tabela 7.1 da relação preço médio (X) econsumo de café (Y) dos EUA, temos

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

A Função de Produção Cobb-Douglas

Trata-se de uma das mais famosas relações da teoria daprodução. Na forma estocástica a função Cobb-Douglas podeser especificada como:

𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋2𝑖𝛽2𝑋3𝑖

𝛽3𝑒𝑢𝑖

Onde:

𝑌 – produção

𝑋2 - insumo trabalho

𝑋3 - insumo capital

𝑢 – termo de erro

e – logaritmo na base natural

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da Estimação

Note que a relação observada pela função de produçãonão é linear nos parâmetros, portanto, temos que encontraruma forma de transformar a função Cobb-Douglasobjetivando sua linearização, para isso, basta aplicarmos ologaritmo neperiano em ambos os lados da equaçãotransformando-a em:

ln 𝑌𝑖 = ln 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑋2𝑖 + 𝛽3 ln 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

= 𝛽0 + 𝛽2 ln 𝑋2𝑖 + 𝛽3 ln 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

Em que 𝛽0 = ln 𝛽1

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da EstimaçãoAlgumas considerações importantes acerca dessa função

transformada podem ser feitas:

a) 𝛽2 é a elasticidade parcial do produto em relação ao insumotrabalho; mede a variação percentual da produção quando severifica, por exemplo, uma variação de 1% no insumo trabalho,enquanto o capital é mantido constante.

b) Da mesma forma, 𝛽3 é a elasticidade (parcial) do produto emrelação ao insumo capital, mantido constante o trabalho.

c) A soma (𝛽2+ 𝛽3) informa a respeito dos retornos de escala, aresposta do produto a uma variação proporcional nos insumos.Se essa soma for igual a 1, haverá retornos constantes deescala, isto é, se dobrarmos os insumos, a produção dobrará,se o triplicarmos, a produção triplicará. Caso a soma sejamenor que 1 teremos então retornos decrescentes e caso amesma seja maior que 1 teremos retornos crescentes.

Análise da Regressão Múltipla:

O problema da EstimaçãoEstimação e interpretação da função Cobb-Douglas será

usado o exemplo da tabela 7.3.

Y – Produto Bruto Real (Milhões US$)

X2 – Dias trabalhados (insumo trabalho)

X3 – Insumo de capital real.

Na sequência temos o exemplo da função polinomial,para uma melhor visualização da mesma trabalharemos como exemplo 7.4 usando a tabela 7.4.

Y – Produção

X – Custo Total

FIM DO TÓPICO 1