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Integrais triplos Volume Cilndricas Esfericas Applets Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: [email protected]
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Integrais TriplosAnalise Matematica II – Calculo II
Sandra Gaspar Martins
2o Semestre 2013/14
Versao de 19 de Maio de [email protected]
1/40
AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets Revisoes de R3
2/40
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Paraboloide
x2 + y 2 = z
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Superfıcie Conica - Cone
x2 + y 2 = z2
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Superfıcie cilındrica - Cilindro
x2 + y 2 = R2, R ∈ R
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Hiperboloide de 1 folha
x2 + y 2 = z2 + A, A ∈ R+
6/40
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Hiperboloide de 2 folhas
x2 + y 2 = z2 − A, A ∈ R+
7/40
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Esfera
x2 + y 2 + z2 = R2
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Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Resumo
x2 + y 2 = z paraboloidex2 + y 2 = z2 conex2 + y 2 = R2 cilindrox2 + y 2 = z2 + A hiperboloide de 1 folhax2 + y 2 = z2 − A hiperboloide de 2 folhasx2 + y 2 + z2 = R2 esfera
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Descentradas
Todas estas superfıcies podem ser descentradas, ou seja, naoterem o centro na origem:
(x − a)2 + (y − b)2 = z
(x − a)2 + (y − b)2 = z2
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(x − a)2 + (y − b)2 = z2 + A
(x − a)2 + (y − b)2 = z2 − A
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Elıpticas
Todas estas superfıcies podem ser elıpticas em vez de circulares:(x
c
)2+(y
d
)2= z(x
c
)2+(y
d
)2= z2
(x
c
)2+(y
d
)2= R2
(x
c
)2+(y
d
)2= z2 + A(x
c
)2+(y
d
)2= z2 − A(x
c
)2+(y
d
)2+(z
e
)2= R2
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Outro eixo
Todas estas superfıcies se podem desenvolver ao longo de outroeixo, por exemplo o eixo dos xx’s:z2 + y 2 = x paraboloidez2 + y 2 = x2 conez2 + y 2 = R2 cilindroz2 + y 2 = x2 + A hiperboloide de 1 folhaz2 + y 2 = x2 − A hiperboloide de 2 folhas
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Resumo generalizadas(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= x(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= x2
(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= R2
(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= x2 + A(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
= x2 − A(y − a
c
)2
+
(z − b
d
)2
+
(x − e
f
)2
= R2
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Planos
Ax + By + Cz + D = 0, A,B,C ,D ∈ R
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Cilindro parabolico
z = x2
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Cilindro hiperbolico
x2 − y 2 = R2
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Paraboloide hiperbolico
x2 − y 2 = z
17/40
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
outras...
z = sin(x)
y =√
x
y = x
z = −x
...
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets Integrais Triplos
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Integral triplo de Riemann
∫ ∫ ∫R
f (x , y , z) dx dy dz =
limn,m,p→+∞
n∑i=1
m∑j=1
p∑k=1
f (xi , yj , zk)∆xi∆yj∆zk
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Volume
Seja V uma regiao limitada de R3 entao
volume de V =
∫∫∫V1 dV
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios I
Indique∫∫∫
R f (x , y , z) dV usando a projecao nos planos xOy,yOz e xOz.
1 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y 2, z ≤ 4}
2 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : z ≤ −√
x2 + y 2, z ≥ −3}
3 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 1, z ≤ 0}
4 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 16, −3 ≤ z ≤ 5}
5 R ={(x , y , z) ∈ R3 : x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
}Calcule no caso de f (x , y , z) = x e f (x , y , z) = 1.
6 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y 2, z ≤ 9, x ≤ 0}
7 R ={(x , y , z) ∈ R3 : z ≥
√x2 + y 2, z ≤ 5, x ≤ 0, y ≤ 0
}22/40
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios II
8 R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, z ≤ x2 + y 2, z ≥ 0
}9 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : z ≥√
x2 + y 2, 2− z ≥ x2 + y 2}
10 R ={(x , y , z) ∈ R3 : z ≤ 1− x2, −1 ≤ y ≤ 1, z ≥ 0
}11 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : y ≥ 2x , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 5, y ≤ 4}
12 R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 1, z ≤ −
√x2 + y 2, y ≤ 0
}13 R ={
... ∈ R3 : (x − 1)2 + (z + 3)2 ≤ y , (x − 1)2 + (z + 3)2 ≤ (y − 3)2}
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Coordenadas cilındricas
Teorema (Coordenadas cilındricas R3 −→ R3)
Tem-se a seguinte relacao entre coordenadas cartesianas(x , y , z) e cilındricas (ρ, θ, z)
x = ρ cos(θ)y = ρ sin(θ)z = z
, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+
J = ρ
Para cada ponto P:
(ρ, θ) e a representacao em coordenadas polares daprojeccao de P no plano-xy.
z e a cota do ponto P.
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios IIndique
∫∫∫R f (x , y , z) dV usando coordenadas cilındricas.
1 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y 2, z ≤ 9}
2 R ={(x , y , z) ∈ R3 : z ≥
√x2 + y 2, z ≤ 3, y ≥ 0
}3 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 4, z ≥ 0, y ≥ 0}
4 R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 9, −1 ≤ z ≤ 5, x ≤ 0
}5 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : −z ≥ x2 + y 2, z ≥ −4, x ≤ 0}
6 * R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, −z ≤ x2 + y 2, z ≤ 1
}7 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : z ≥√
x2 + y 2, 2− z ≥ x2 + y 2}
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios II
8 R ={(x , y , z) ∈ R3 : z ≤
√1− x2 − y 2, x2 + y 2 ≤ z2, z ≥ 0
}9 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : z ≥√
x2 + y 2, z ≤ 2−√
x2 + y 2}
10 * R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 2, x2 + y 2 ≥ z2, z ≥ 0
}11 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 9, x2 + y 2 ≤ 1, z ≥ 0}
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Coordenadas cilındricasgeneralizadas
Teorema (Coordenadas cilındricas generalizadasR3 −→ R3)
Tem-se a seguinte relacao entre coordenadas cartesianas(x , y , z) e cilındricas generalizadas (ρ, θ, z)
x−ac = ρ cos(θ)
y−bd = ρ sin(θ)
z = z
, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+
J = cdρ
Para cada ponto P:
(ρ, θ) e a representacao em coordenadas polaresgeneralizadas da projeccao de P no plano-xy.
z e a cota do ponto P.27/40
AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios A I
Indique∫∫∫
R f (x , y , z) dV usando coordenadas cilındricas.
1 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : y ≥ x2 + z2, y ≤ 4}
2 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x ≥√
z2 + y 2, x ≤ 5}
3 R ={(x , y , z) ∈ R3 : z2 + y 2 ≤ 9, 1 ≤ x ≤ 5, y ≤ 0
}4 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : −y ≥ x2 + z2, y ≥ −1, x ≤ 0}
5 R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + z2 ≤ 1, −z ≤ x2 + z2, y ≤ 0
}6 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x ≥√
z2 + y 2, 2− x ≥ z2 + y 2}
7 R ={(x , y , z) ∈ R3 : x ≤
√1− z2 − y 2, z2 + y 2 ≤ x2, x ≥ 0
}28/40
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios A II
8 R ={(x , y , z) ∈ R3 : y ≥
√x2 + z2, y ≤ 2−
√x2 + z2
}9 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 2, z2 + y 2 ≥ x2, x ≥ 0}
10 R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 9, z2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0
}
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Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios B I
Indique∫∫∫
R f (x , y , z) dV usando coordenadas cilındricas.
1 R ={(x , y , z) ∈ R3 : z ≥ (x − 1)2 + (y + 3)2, z ≤ 9
}2 R =
{(x , y , z) ∈ R3 : z ≥
√(x − 1)2 + y 2, z ≤ 3
}3 R =
{(x , y , z) ∈ R3 :
(x + 2)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 ≤ 4, z ≥ 1, y ≥ 2}
4 R ={(x , y , z) ∈ R3 : (x − 4)2 + y 2 ≤ 9, −1 ≤ z ≤ 5, x ≤ 4
}5 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : −z ≥ (x − 2)2 + (y + 1)2, z ≥ −4, x ≤ 2}
6 * R ={
(x , y , z) ∈ R3 :
(z − 1)2 + (y + 3)2 ≤ 1,−x ≤ (z − 1)2 + (y + 3)2, z ≤ 1}
7 R ={
(x, y, z) ∈ R3 : z ≥√
(x + 3)2 + (y − 1)2, 2− z ≥ (x + 3)2 + (y − 1)2}
8 R ={
(x, y, z) ∈ R3 : z ≤√
1− (x + 2)2 − (y − 3)2, (x + 2)2 + (y − 3)2 ≤ z2, z ≥ 0}
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios B II
9 R ={(x , y , z) ∈ R3 : z ≥
√(x + 5)2 + y 2, z ≤ 2−
√(x + 5)2 + y 2
}10 * R ={
(x , y , z) ∈ R3 : (x − 2)2 + y 2 + z2 ≤ 2, (x − 2)2 + y 2 ≥ z2, z ≥ 0}
11 R ={(x , y , z) ∈ R3 : (x − 1)2 + y 2 + z2 ≤ 9, (x − 1)2 + y 2 ≤ 1, z ≥ 0
}
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios C I
Indique∫∫∫
R f (x , y , z) dV usando coordenadas cilındricas.
1 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : z ≥(x3
)2+( y
5
)2, z ≤ 4
}2 R =
{(x , y , z) ∈ R3 : x ≥
√( y4
)2+(z3
)2, x ≤ 5
}3 R ={
(x , y , z) ∈ R3 :(x2
)2+( y
8
)2 ≤ 1,−z ≤(x2
)2+( y
8
)2, z ≤ 0
}4 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x ≤√
1−(z3
)2 −( y
5
)2,(z3
)2+( y
5
)2 ≤ x2
}5 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : y ≥√
x2 +(z5
)2, y ≤ 2−
√x2 +
(z5
)2}
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios D I
Indique∫∫∫
R f (x , y , z) dV usando coordenadas cilındricas.
1 R =
{(x , y , z) ∈ R3 : z ≥
(x−2
3
)2+(y−3
5
)2, z ≤ 4
}2 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x ≤ −√(
y−14
)2+(z+3
3
)2, x ≥ −5
}3 R ={
(x , y , z) ∈ R3 :(x−1
2
)2+(y8
)2 ≤ 1,−z ≤(x−1
2
)2+(y8
)2, z ≤ 0
}4 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x ≤√
1−(z+2
3
)2 −(y5
)2,(z+2
3
)2+(y5
)2 ≤ x2
}5 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : y ≥√
x2 +(z−2
5
)2, y ≤ 2−
√x2 +
(z−2
5
)2}
33/40
AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Coordenadas esfericas
Teorema (Coordenadas esfericas R3 −→ R3)
Tem-se a seguinte relacao entre coordenadas cartesianas(x , y , z) e esfericas (ρ, θ, ϕ)
x = ρ cos(θ) sin(ϕ)y = ρ sin(θ) sin(ϕ)z = ρ cos(ϕ)
, θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+
J = ρ2sinϕ
Para cada ponto P:
ρ e a distancia de P a origem.
θ e o angulo entre o eixo positivo do x e o raio que eformado entre a projeccao de P no plano-xy e a origem.
ϕ e o angulo entre o eixo positivo do z e o raio entre aorigem e P.
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
11http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/coords/
shilmay23fin.html35/40
AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios A I
Indique∫∫∫
R f (x , y , z) dV usando coordenadas esfericas.
1 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 4}
2 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 9, z ≤ 0}
3 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 16, y ≥ 0}
4 R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 1, z ≤ 0, x ≥ 0
}5 R =
{(x , y , z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y 2 + z2 ≤ 9, x ≤ 0
}6 R ={
(x , y , z) ∈ R3 : 4 ≤ x2 + y 2 + z2 ≤ 9, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0}
7 * R ={(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 9, x2 + y 2 < z2, z ≥ 0
}8 * R ={
(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 4, x2 + y 2 > z2, z ≤ 0}
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Coordenadas esfericasgeneralizadas
Teorema (Coordenadas esfericas generalizadas R3 −→ R3)
Tem-se a seguinte relacao entre coordenadas cartesianas(x , y , z) e esfericas generalizadas (ρ, θ, ϕ)
x−ad = ρ cos(θ) sin(ϕ)
y−be = ρ sin(θ) sin(ϕ)
z−cf = ρ cos(ϕ)
, θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+
J = def ρ2 sin(ϕ)
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Exercıcios B IIndique
∫∫∫R f (x , y , z) dV usando coordenadas esfericas.
1 R ={(x , y , z) ∈ R3 :
(x−1
2
)2+(y+3
2
)2+(z−1
3
)2 ≤ 4
}2 R ={
(x , y , z) ∈ R3 :(x−2
3
)2+(y+1
5
)2+ z2 ≤ 9, y ≤ −1
}3 R ={
(x , y , z) ∈ R3 :(x−1
2
)2+(y−3
8
)2+(z2
)2 ≤ 1, z ≤ 0, x ≥ 1}
4 R ={(x , y , z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 +
(y+2
2
)2+ z2 ≤ 9, x ≤ 0
}5 R ={
(x, y, z) ∈ R3 :(
x−12
)2+ y2 +
(z−5
2
)2≤ 1,
(x−1
2
)2+ y2 <
(z−5
2
)2, z ≥ 5
}6 R =
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 +
(z−1
2
)2≤ 4, x2 + y2 >
(z−1
2
)2, z ≤ 1
}
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Confirme os seus resultados usando os applets:
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/
(varios applets: coordenadas esfericas, superfıcies em 3D, etc.)
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=
bf8679a50a63113b582ed22679363a4
(calcula o valor de um integral triplo)
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AM2
Revisoes R3
Resumo 1
Resumo 2
Outras sup.
Integraistriplos
Volume
Cilındricas
Esfericas
Applets
Autora:Sandra Gaspar Martins
Com base no trabalho de:Nuno David Lopes
eCristina Januario
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