08 derivadas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues

1

ESTUDO DAS DERIVADAS Vamos considerar y = f(x) uma função real de variável real x, definida e limitada, num intervalo ] [ba, . Agora seja 0x um ponto desse intervalo e x )( 0xx ≠ um segundo ponto do mesmo in-

tervalo.

Vamos formar a diferença )()( 0xfxfy −=∆ que chamaremos acréscimo ou

incremento da função, e compará-la com a diferença 0xxx −=∆ que chamaremos a-

créscimo ou incremento da variável independente x, a partir de 0x . A razão entre essas diferenças será chamada razão incremental e representada

por 0

0 )()(

xx

xfxf

x

y

−−

=∆∆

.

x

y

a b

y = f (x)

x b x x0 a

y y = f (x)

f (x)

f (x0 )


2

Se existe o limite desta razão incremental para x∆ tendendo a zero, temos que:

x

yx ∆

∆→∆ 0

lim será chamada derivada ou coeficiente diferencial de f(x) no ponto 0x e será

representada por x

y

dx

dyx ∆

∆=→∆ 0

lim .

Observe que: Se 0→∆x e 0xxx −=∆ , então 00 →− xx , o que nos leva a concluir que 0xx →

Assim, podemos escrever que o limite da razão incremental também pode ser represen-tada por:

0

0

0

)()(limlim

0 xx

xfxf

x

yxxx −

−=

∆∆

→→∆

e finalmente que a derivada será:

0

0 )()(lim

0 xx

xfxf

dx

dyxx −

−=

→ ou

0

00

)()(lim)(

0 xx

xfxfxf

xx −−

=′→

Se existe )( 0xf ′ , então dizemos que f é derivável no ponto 0x .

O símbolo xd

yd se deve a Leibniz (Gottifried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716); a

última notação )( 0xf ′ foi introduzida por Lagrange (Joseph Louis Lagrange, 1736 –

1813). Se não houver ambigüidade quanto à variável independente, escrevemos simplesmente y′ para indicar a derivada de y. Outro símbolo para exprimir a derivada de uma função, é )()( xfxfDyD ′== que é a notação de Cauchy (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857). Quando houver dúvida quanto à variável em relação à qual se deriva, atribuímos ao símbolo D um índice indicativo dessa variável.

)(xfDfDx = , )(xDuuDx = ou )(tDvvDt =

Observação importante Lembre-se sempre desta distinção: • A derivada de uma função f(x) num ponto x0 do seu domínio é um número real

)( 0xf ′

• A função derivada de uma função f(x) é uma função dada por yxf ′=′ )(


3

EXEMPLOS 1. Ache a derivada de 14 += xy

Resolução Vamos calcular )( 0xf , para isso, basta substituir assim 14)( 00 += xxf

agora, calculamos a diferença )14(14)()( 00 +−+=− xxxfxf

000 441414)()( xxxxxfxf −=−−+=−

calculamos a razão incremental 0

0

0

0 44)()(

xx

xx

xx

xfxf

−−

=−−

e finalmente o limite dessa razão 0

044lim

0 xx

xxxx −

−→

44lim)(4

lim44

lim000 0

0

0

0 ==−−

=−−

→→→ xxxxxx xx

xx

xx

xx

logo, a derivada de 14 += xy é 4=dx

dy ou 4)( =′ xf

2. Calcule a derivada de 13)( 2 ++= xxxf

Resolução 13)()( 0

200 ++= xxxf

13)(13)13)[(13)()( 02

022

02

0 −−−++=++−++=− xxxxxxxxxfxf

02

02

02

02

0 33)(3)(3)()( xxxxxxxxxfxf −+−=−−+=−

0

02

02

0

0 33)()()(

xx

xxxx

xx

xfxf

−−+−

=−−

0

000

0

02

02

0

)(3))((lim

33)(lim)(

00 xx

xxxxxx

xx

xxxxxf

xxxx −−+−+

=−

−+−=′

→→

323)3(lim)3)((

lim)( 00000

000

00

+=++=++=−

++−=′

→→xxxxx

xx

xxxxxf

xxxx

ou simplesmente 32)( +=′ xxf , pois o que queremos é a função derivada EXERCÍCIOS Ache a derivada de:

a) 75)( −= xxf e) 2

1)(

xxf =

b) 1)( 2 +−= xxxf f) x

xy12 +=

c) 326)( xxf −= g) 25)( 4 −= xxf

d) 13123 +−= xxy h) xxf 2)( =


4

REGRAS DE DERIVAÇÃO O processo que usamos para calcular derivadas é muito trabalhoso, contudo po-demos nos valer de algumas regras e fórmulas que podem facilitar o nosso trabalho. Regra 1: A derivada de uma função constante é zero.

Se kxf =)( , então 0=xd

yd ou 0)( =′ xf

Exemplos: a) 0)(12)( =′⇒= xfxf

b) 0)(5

3)( =′⇒= xfxf

c) 0)(17)( 3 =′⇒= xfxf Regra 2: A derivada da n-ésima potência de uma variável x é igual ao produto de n por x elevado a (n − 1)-ésima potência. Se nxxf =)( , então:

1−⋅= nxnxd

yd ou 1)( −⋅=′ nxnxf .

Exemplos: a) xxfxxxfxxf 2)(22)()( 1122 =′⇒==′⇒= −

b) 4

3

4

1

4

1)()(

−⋅=′⇒= xxfxxf

c) 5

54 44)()(

xxxfxxf −=−=′⇒= −−

Regra 3: A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função. Se uky = , onde )(xfu = é uma função diferenciável de x, então:

xd

udk

xd

yd ⋅= ou uky ′⋅=′

Exemplos: a) 10)(10)( =′⇒= xfxxf

b) xxfxxxfxxf 6)(632)(3)( 1122 =′⇒=⋅=′⇒= −

c) 3

1

3

4

3

8)(2)( xxfxxf −=′⇒−=


5

Regra 4: A derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma das suas derivadas. Se vuy += , onde )(xfu = e )(xgv = são funções diferenciáveis de x, então:

xd

vd

xd

ud

xd

yd += .

Exemplos: a) xyxxyxy 202)3()(3 22 =′⇒+=′+′=′⇒+=

b) 046)2()4()3()(243)( 22 ++=′+′+′=′⇒++= xxxxfxxxf

46)(243)( 2 +=′⇒++= xxfxxxf EXERCÍCIOS Questão 01 Dar a derivada das seguintes funções:

a) 8)( =xf e) 2

1

)( xxf =

b) 5 1)( −=xf f) 6 5)( xxf =

c) 6)( xxf = g) 4)( xxf =

d) 5)( −= xxf Questão 02 Determine )(xf ′ em cada caso:

a) 4

1)(

xxf = b) 27)( xxf = c) xxf 4)( −=

d) 7

7

1)( xxf = e) 5

5

3)( −−= xxf f) 36)( −= xxf

Questão 03 Ache a derivada das seguintes funções:

a) 10

5

3xy = d) 105 xy =

b) 4

2

1 −−= xy e) 3 2

2

3xy =

c) xy 2= Questão 04

Qual é a derivada da função 3

2)(

xxf = , no ponto x = −2?

Questão 05 Se 32)( xxf = , calcule )2(f ′ . Questão 06

Dada a função 3 2)( xxf = , calcule a derivada de f(x) no ponto x = 8.


6

Questão 07 Sejam as funções 210)( xxf = e xxg 4)( = , calcule )()( xgxf ′+′ Questão 08 Dadas as funções a seguir, calcule )(xf ′

a) 127)( 23 −+−= xxxxf c) 234 2510)( xxxxf −−=

b) 473)( 2 +−= xxxf d) xxxxf 746)( 23 −−= Questão 09 Ache a derivada de cada função:

a) 4

1

2

1

3

2

2

1)( 234 +−+−= xxxxf c) 587

5

1

8

3

7

2)( xxxxf ++=

b) xxxxxxf ++++= 2345

2

1

3

1

4

1

5

1)( d)

419

157

7

3

5

3

4)(

3754

+++= xxxxf

Questão 10 Calcule a derivada de:

a) 23 3

12 +−= xxy d) 27 2

12 ++=

−xxy

b) 55 3

1

+=−

xy e) 4

13 59

−+= xxy

c) xxy 65 5

3

+= f) 100500 153 xxy += Regra 5: A derivada de um produto de duas funções é igual a derivada da primeira ve-zes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Sendo u e v funções, temos:

vuvuxfvuxf ′+′=′⇒⋅= )()( Exemplos: a) )3)(4( 3 ++= xxy ⇒ )3)(4()3()4( 33 ′++++⋅′+=′ xxxxy

1)4()3(3 32 ⋅+++⋅=′ xxxy ⇒ 493 323 +++=′ xxxy ⇒ 494 23 ++=′ xxy

b) )6)(3()( 2 ++= xxxf ⇒ )6)(3()( 22

1

++= xxxf

uxd

vdv

xd

uduv

xd

yd ⋅+⋅=)( ⇒ 2

1

2

1 −= x

xd

ud e x

xd

vd2=

xxxxxd

yd2)3()6(

2

1 22

1

⋅+++=−

⇒ xxxxxd

yd2)3(3

2

1 2

1

2

1

2

3

⋅+++=−

xxxxxd

yd623

2

1 2

3

2

1

2

3

+++=−

⇒ xxxxd

yd63

2

5 2

1

2

3

++=−


7

c) )8)(73()( 2 ++= −xxxf

3)73( =+xxd

d ⇒ 32 2)8( −− −=+ xx

xd

d

)2()73()8(3 32 −− −⋅+++⋅= xxxxd

yd ⇒ 322 146243 −−− −−+= xxx

xd

yd

24143 32 +−−= −− xxxd

yd

Regra 6: A derivada de um quociente é igual ao quociente da derivada do numerador vezes a função do denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador.

Sendo v

uxf =)( com 0≠v , então:

2)(

v

vuvuxf

′⋅−⋅′=′ .

Exemplos:

a) 12 −

=x

xy , fazemos 1=′⇒= uxu , xvxv 212 =′⇒−=

e 12)1( 24222 +−=−= xxxv

derivando, temos 2v

vuvuy

′⋅−⋅′=′ ⇒ 12

2)1(124

2

+−⋅−−⋅=′

xx

xxxy

12

1

12

2124

2

24

22

+−−−=

+−−−=′

xx

x

xx

xxy ⇒

12

134

2

+−+−=′xx

xy

b) 2

1

x

xy

+= , fazemos 11 =′⇒+= uxu , xvxv 22 =′⇒=

e 4222 )( xxv ==

derivando, temos 2v

vuvuy

′⋅−⋅′=′ ⇒ 4

2 2)1(1

x

xxxy

⋅+−⋅=′

4

22 )22(

x

xxxy

+−=′ ⇒ 4

22 22

x

xxxy

−−=′ ⇒ 4

2 2

x

xxy

−−=′

4

)2(

x

xxy

+−=′ ⇒ 3

2

x

xy

+−=′

Regra 7: Função seno Se xsenxf =)( , então xxf cos)( =′ Regra 8: Função cosseno Se xxf cos)( = , então xsenxf −=′ )( Regra 9: Função exponencial Se xaxf =)( , então aaxf x ln)( ⋅=′


8

Regra 10: Este é um caso particular em que a base é o número e. Se xexf =)( , então xexf =′ )(

Nota: o número e, definido com freqüência pelo limite

+=∞→ n

en

11lim , vale, aproxi-

madamente 71,2=e Regra 11: Função logaritmo

Se xxf alog)( = , então ax

xfln

1)(

⋅=′

Regra 12: Função logaritmo neperiano

Se xxf ln)( = , então x

xf1

)( =′

Regra 13: Derivada da função composta

É muito comum trabalharmos com uma função composta, isto é, funções do tipo )()( 2xsenxf = , que é uma composição de xsenxg =)( com 2)( xxh = . Nesse caso,

para obter a derivada, aplicamos a seguinte regra, conhecida como regra da cadeia: )()]([)()]([)( xhxhgxfxhgxf ′⋅′=′⇒=

Regra 14: Derivada da função inversa Se f é uma função que admite inversa e é derivável no ponto x, com 0)( ≠xf ,

então )(

1))(()( 1

xfxff

′=′− ou

yx x

y′

=′ 1.

Exemplos: a) )()( 2xsenxf = ⇒ )()()( ′⋅′=′⇒= usenuufusenuf

xuxu 22 =′⇒= ⇒ uufusenuf cos)()( =′⇒= ⇒ )(cos2)( 2xxxf ⋅=′ b) xexf 2)( = ⇒ )()()( ′⋅′=′⇒= uu euxfexf

22 =′⇒= uxu uu eufeuf =′⇒= )()(

xexf 22)( ⋅=′

c) 2

32 )123( ++= xxy , fazemos 26123 2 +=′⇒++= xuxxu

2

1

2

3

2

3)()( uufuuf =′⇒= ⇒ )(ufuy ′⋅′=′

2

12 )123(

2

3)26( ++⋅+=′ xxxy ⇒ 2

12 )123)(39( +++=′ xxxy


9

d) 2

2 1

1

+=

xy

222 )1(

2

1

1

+−=′⇒

+=

x

xu

xu

uufuuf 2)()( 2 =′⇒= )(ufuy ′⋅′=′

1

12

)1(

2222 +

⋅⋅+

−=′xx

xy

32 )1(

4

+−=′

x

xy

e) )(ln)( xsenxf =

xuxsenu cos=′⇒=

uufuuf

1)(ln)( =′⇒=

)()( ufuuf ′⋅′=′

xsen

x

senxxxf

cos1cos)( =⋅=′

xctgxf =′ )(

f) xxxf 22

10)( −=

2222 −=′⇒−= xuxxu 10ln10)(10)( ⋅=′⇒= uu ufuf

)()( ufuuf ′⋅′=′

10ln10)22()( 22

⋅⋅−=′ − xxxxf

10ln)22(10)( 22

⋅−⋅=′ − xxf xx g) xsenarcy =

Sua inversa é ysenx =

yx x

y′

=′ 1

yxy cos=′

yyx cos

1=′ , mas 1cos22 =+ yysen , daí ysenyyseny 222 1cos1cos −=⇒−=

Como ysenx = , temos 21cos xy −=

Logo: 21

1)(

xxsenarc

−=′


10

EXERCÍCIOS Questão 01 Ache a derivada das funções: a) xsenxf 4)( =

b) xsenxf3

2)( =

c) xxf cos5)( −= d) xxf cos3)( =

e) xxf cos3

1)( −=

Questão 02 Dadas xsenxf =)( e xxg cos)( = , calcule )0()0( gf ′+′ . Questão 03 Determine a derivada das funções: a) xxxf cos32)( −= b) xxxsenxf ++= cos)(

c) 2cos2)( xxxsenxf +−= d) xxxsenxf 3cos2)( −−= Questão 04 Se xxsenxf cos23)( += , calcular )(π′f Questão 05 Calcular a derivada de: a) )37)(52( xxy −+=

b) xxy cos3 ⋅= c) )2)(13( +−⋅= xxxy d) xsenxy ⋅= 3 e) xxseny cos⋅= Questão 06 Calcular a derivada de:

a) 3

12

−+=

x

xy b)

12

2

−=

x

xy

c) x

xy

4

52 += d) 4

12 −

=x

y

Questão 07 Aplicando a derivada do quociente, demonstre que: a) se xtgxf =)( , então xxf 2sec)( =′

b) se xgxf cot)( = , então xxf 2csc)( −=′ c) se xxf sec)( = , então xxtgxf sec)( ⋅=′ d) se xxf csc)( = , então xxctgxf csc)( ⋅−=′


11

Questão 08 Calcule a derivada de: a) 32 )1()( −= xxf b) 23 )2()( xxxf −= c) 4)12()( += xxf Questão 09 Calcule a derivada de:

a) 2)( −= xxf b) 3 14)( += xxf c) 1)( 2 −= xxf Questão 10 Determine a derivada de:

a) xxf 3)( = d) 12

10)( −= xxf

b) x

xf

=2

1)( e) xexf =)(

c) 133)( += xxf f) xexf ⋅= 10)(

d) xxf 25)( ⋅= g) xexf cos)( = Questão 11 Calcule a derivada de: a) xxf ln)( = d) 2)(log)( xxf =

b) 2)(ln)( xxf = e) x

xxf

ln)(

2

=

c) xxf ln2

1)( = f) 4)(ln)( xxxf ⋅=

d) xxf 2log3)( =

Questão 12 Calcule a derivada de: a) xsenxf 3)( = b) xxf 6cos)( = c) )13()( += xsenxf Questão 13 Calcule a derivada de: a) )(ln)( xsenxf =

b) )65(ln)( 2 +−= xxxf

c) )3(log)( 2 xxxf −= Questão 14 Calcule )(xf ′ , sendo 52 )23(log)( += xxf . Questão 15 Calcule a derivada de: a) xxsenxf 2cos3)( −= b) xxsenxf 4cos2)( +=


12

REGRA DE L’HOSPITAL Ao estudarmos o cálculo de limites, vimos que ao tentarmos calcular um limite

do tipo )(

)(lim

xg

xfax →

, às vezes ocorre que 0)(lim =→

xfax

e 0)(lim =→

xgax

e assim, o

)(

)(lim

xg

xfax →

toma a forma 0

0, que chamamos de indeterminação. Neste caso, frequente-

mente era necessário executarmos alguns artifícios para calcular o limite. Teorema (Regra de L’Hospital)

Se 0)(lim =→

xfax

e 0)(lim =→

xgax

e se existe )(

)(lim

xg

xfax ′

′→

, então existe )(

)(lim

xg

xfax →

e en-

tão temos: )(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfaxax ′

′=

→→

Exemplo:

Resolva 2

4lim

2

2 −−

→ x

xx

Resolução

Calculando o limite temos 0

0

0

44

22

42

2

4lim

22

2=−=

−−=

−−

→ x

xx

(indeterminado)

Seja 4)( 2 −= xxf e 2)( −= xxg Derivando cada uma dessas funções, temos:

xxf 2)( =′ e 1)( =′ xg Logo, pela regra de L´Hospital, temos:

4222lim1

2lim

2

4lim

22

2

2=⋅===

−−

→→→x

x

x

xxxx

EXERCÍCIOS Calcule os limites: (usando a regra de L´Hospital)

a) 3

9lim

2

3 −−

→ x

xx

b) 8

2lim

32 −−

→ x

xx

c) 20

1lim

x

ex

x

−→

d) 20

cos1lim

x

xx

−→

e) 223

314lim

2 −−−+

→ x

xx


13

APLICAÇÕES DA DERIVADA NA GEOMETRIA ANALÍTICA

Interpretação geométrica: A derivada de uma função f(x) num ponto a é o valor da inclinação da reta tangente à função f(x) no ponto [a, f(a)].

θ=′ tgaf )( , ou ainda, a derivada no

ponto a é o coeficiente angular da reta r, tangente à função f(x).

EXEMPLOS: 1. Dada a função xxxf 2)( 2 −= , determinar a equação da reta tangente ao gráfico da

curva de f no ponto de abscissa 3. Resolução para escrever a equação de uma reta, precisamos de um ponto e do coeficiente an-gular da reta. Assim, se a abscissa é 3, temos 369323)3(2)( 22 =−=⋅−=⇒−= fxxxf , ou seja, a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3) Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de abscissa 3, assim:

426232)3(22)(2)( 2 =−=−⋅=′⇒−=′⇒−= fxxfxxxf , isto é, m = 4 Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular m = 4 Usando a equação da reta, temos:

1243)3(43)( 00 −=−⇒−⋅=−⇒−=− xyxyxxmyy , onde finalmente

temos que 94 −= xy

y

f (a)

x a

θ

f (x)

reta tangente


14

2. Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função 432)( 2 +−= xxxf e que seja paralela à reta 32 −= xy . Resolução Se duas retas são paralelas, então os seus coeficientes angulares são iguais Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que:

2=rm e 34)( −=′ xxf .

No ponto 0x , temos )( 0xfms ′= , logo: 34)( 00 −=′= xxfms

mas 4

554342 000 =⇒=⇒−=⇒= xxxmm sr

Note que agora já temos a abscissa, resta encontrar a ordenada, que faremos assim

44

15

16

2524

4

53

4

52

4

5432)(

22 +−⋅=+⋅−

⋅=

⇒+−= fxxxf

8

27

8

3230254

4

15

8

25

4

5 =+−=+−=

f , logo o ponto é

8

27,

4

5

E a equação da reta será:

2

52

8

27

4

52

8

27)( 00 −=−=

−⋅=−⇒−=− xyxyxxmyy

078162016278 =+−⇒−=− yxxy (forma geral da reta) 3. Dada a função xxxf 2)( 2 −= , determinar a equação da reta normal, no ponto de

abscissa 3. Resolução A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função. Se duas retas são perpendiculares, então o coeficiente angular de uma é igual a menos o inverso do coeficiente angular da outra Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: Se a abscissa é 3, temos 369323)3(2)( 22 =−=⋅−=⇒−= fxxxf , ou seja, a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3) Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de abscissa 3, assim:

426232)3(22)(2)( 2 =−=−⋅=′⇒−=′⇒−= fxxfxxxf , isto é, m = 4

mas, como r

s mm

1−= , então 4

1−=sm

Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular 4

1−=sm

Usando a equação da reta, temos:

)3(124)3(4

13)( 00 −−=−⇒−⋅−=−⇒−=− xyxyxxmyy

01543124 =−+⇒+−=− yxxy


15

EXERCÍCIOS Questão 01 Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 14)( 2 +−= xxxf no

ponto P(1, −2). Questão 02 Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função xxxf 5)( 2 += no ponto de

abscissa −1. Questão 03 Seja a curva de equação xxy 123 −= . Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa x = 4. Questão 04 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 4)( 2 −= xxf e que seja pa-ralela à reta de equação 12 −= xy . Questão 05 Dê a equação da reta normal à curva dada por 25)( 2 −+= xxxf , no ponto x = 2. DERIVADAS SUCESSIVAS Questão 01 Dada a função 256)( 23 −+−= xxxxf , calcular )(xf ′ , )(xf ′′ , )(xf ′′′ e )(xf ′′′′ Questão 02 Dada a função 4341)( xxxf −−= , resolver a equação 0)( =′′′ xf Questão 03 Determine a derivada segunda da função 1254)( 23 −+−= xxxxf no ponto x = 0. Questão 04

Calcule a derivada terceira de x

xf1

)( =

Questão 05 Seja a função 2524)( 23 +−+= xxxxf , calcule )0()0()0( fff ′′′+′′+′ . Questão 06

Se xxf cos)( = , calcule

π′′6

f


16

SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA Se f é uma função derivável num intervalo aberto A e: 1. f é crescente em A, então 0)( >′ xf 2. f é decrescente em A, então 0)( <′ xf 3. f é constante em A, então 0)( =′ xf PONTOS CRÍTICOS Como uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, então ela apresenta pontos de máximo ou mínimos relativos quando

0)( =′ xf . Chamamos de ponto crítico ao ponto do domínio da função onde 0)( =′ xf . EXEMPLOS: 1. Determinar os possíveis pontos de máximo ou mínimo da função xxxf 3)( 2 −=

Resolução

2

3320320)(32)( =⇒=⇒=−⇒=′⇒−=′ xxxxfxxf

Observe que, como a função é de 2º grau, então a sua curva é uma parábola, que admite concavidade voltada para cima, pois o termo a é positivo. Já temos o Vx , agora, é só encontrar o Vy , que determinamos substituindo Vx na

função, assim 4

9

4

189

2

9

4

9

2

33

2

3

2

33)(

22 −=−=−=⋅−

=

⇒−= fxxxf

Logo, o vértice que é o ponto de mínimo dessa função é

−4

9,

2

3

2. Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de

uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máxima.

Resolução xyxy 216162 −=⇒=+

yxA ⋅= ⇒ )216()( xxxA −⋅= ⇒ 2216)( xxxA −= ⇒ xxA 416)( −=′

0416 =− x ⇒ 164 =x ⇒ x = 4 e 8164216 −=⋅−=y ⇒ 8=y

x x

y


17

3. A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um semi-círculo. Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm, calcule as dimensões x e y que permitam uma maior entrada de luz. (Use 14,3=π ).

Resolução Haverá uma maior entrada de luz, se a área da janela for máxima, logo:

círculoretânguloJanela AAA2

1+= ⇒ 2

2

12 xyxA π⋅+⋅=

O perímetro da janela é xyxp π⋅++= 22

122 ⇒ xyxp π++= 22 e como o períme-

tro é 714, temos: 71422 =π++ xyx ⇒ xxy π−−= 27142 e voltando a área, temos:

2

2

12 xyxA π⋅+⋅= ⇒ 2

2

12 xxyA π⋅+⋅= , e calculando em função de x, vem

2

2

1)2714()( xxxxxA π⋅+⋅π−−= ⇒ 222

2

12714)( xxxxxA π⋅+π−−=

22

2

12714)( xxxxA π⋅−−= , e derivando, temos: xxxA π−−=′ 4714)(

04714 =π−− xx ⇒ xx π+= 4714 ⇒ 7144 =π+ xx ⇒ 714)4( =π+x

14,7

714

14,34

714

4

714 =+

=π+

=x ⇒ cmx 100=

E para achar o valor de y, basta substituir em xxy π−−= 27142

31420071410014,310027142 −−=⋅−⋅−=y ⇒ y = 100 cm

x

y

x


18

4. A empresa “X” produz um determinado produto, com um custo mensal dado pela

função 201023

1)( 23 ++−= xxxxC .

Cada unidade deste produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal. Resolução Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal O lucro mensal é dado por: Lucro (L) = Receita (R) − Custo (C) assim

201023

13120102

3

131 2323 −−+−=

++−−=−= xxxxxxxxCRL

202123

1 23 −++−= xxxL ou ainda 202123

1)( 23 −++−= xxxxL

Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x, temos:

214)( 2 ++−=′ xxxL e calculando a derivada segunda, vem

42)( +−=′′ xxL Para achar os pontos críticos, é só igualar )(xL′ a zero, ou 0)( =′ xL

02142 =++− xx e resolvendo pela fórmula de Bháskara, temos as raízes 3−=x e 7=x que são os pontos críticos Agora, vamos determinar os extremos relativos de L Para 3−=x , temos 010464)3(2)3( >=+=+−−=−′′L , logo é um ponto de míni-mo relativo de L. Para 7=x , temos 010414472)7( <−=+−=+⋅−=′′L , logo é um ponto de má-ximo relativo de L. Portanto a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal é

7=x


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5. Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine: a) a variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia

de 2,5 a 3,0m; b) a taxa de variação da área, em relação ao lado, quando este mede 4m.

Resolução Sejam A a área do quadrado e x seu lado. Sabemos, então que 2xA = a) A variação média de A em relação a x, quando x varia de 2,5m a 3,0m é dada

por 5,55,0

75,2

5,0

25,69

5,23

)5,2()3( ==−=−−=

∆∆ AA

x

A

b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por xxdx

d

dx

dA2)( 2 ==

Portanto, quando 4=x , , temos 842)4( =⋅=Adx

d

Assim, quando 4=x , a taxa de variação da área do quadrado será de 28m pa-ra cada metro que varia no comprimento do lado.

6. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam

que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente por:

364)(

3tttf −= .

a) Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias? b) Qual a taxa de expansão da epidemia após 8 dias? c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?

Resolução A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela variação da função )(tf em re-

lação a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por 264)( ttf −=′ . Assim: a) no tempo t = 4, temos 481664)4( =−=′f , ou seja, após 4 dias a moléstia esta-

rá se alastrando à razão de 48 pessoas por dia. b) no tempo t = 8, temos 06464)8( =−=′f , ou seja, após 8 dias a epidemia esta-

rá totalmente controlada. c) como o tempo foi contado em dias, a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia cor-

responde à variação de t de 4 para 5. O número de pessoas atingidas durante o 5º dia será dado, então por )4()5( ff − , ou seja:

−−−=

−⋅−

−⋅=−

3

64256

3

125320

3

4464

3

5564)4()5(

33

ff

4366,4333,2167,41643

64256

3

125320)4()5( ≅=+−=+−−=− ff

Obs.: No item (a) vimos que o tempo t = 4 (início do 5º dia), a epidemia se alastra a uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5º dia, 43 pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se modificou no decorrer do dia.


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EXERCÍCIOS Questão 01 Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância )(td

ao solo durante os primeiros 10 segundos de vôo é dada por 226)( tttd ++= , na qual )(td é medido em metros e t em segundos.

a) Determine a velocidade média do balão durante o 1º segundo de vôo. b) Determine a velocidade instantânea do balão quando t = 1 segundo c) Entre quais instantes o balão esteve a uma altura superior a 20 metros? Questão 02 A área A de uma pele, afetada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros 10 dias

após o início de um tratamento, é dada pela função 1

56)(

2 ++=

t

ttA , com t expresso em

dias e a área em cm2. O tratamento iniciou-se à 0 hora do dia 15 de fevereiro. a) Qual era a área da infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do 1º dia? b) Compare a rapidez no aumento da infecção durante o 1º dia, com a rapidez na sua

redução durante o 2º dia. O que se pode concluir? E o que aconteceu durante o 3º dia c) Qual foi a taxa de variação inicial da propagação da infecção? Questão 03 Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registran-do a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mos-tram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada por aproxi-madamente hkmttttv /20305,10)( 23 ++−= , onde t é o número de horas após o meio dia. Qual o instante entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o ins-tante em que ele é mais lento? Questão 04 Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de maior volume possível, cortando um quadrado em cada canto. As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm. Calcular o volume máximo da caixa. Questão 05 Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4, 00. Ao vendê-lo a x reais o fabricante espera vender (30 − 2x) unidades. A que preço deve ser vendido o produto para que haja lucro máximo? Questão 06 Uma partícula move-se ao longo da curva 375)( 23 −+−= ttttv . Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é nula. Questão 07 Uma sonda é lançada para cima, verticalmente, sendo a distância acima do solo no ins-tante t dada por )000.1()( ttts −= . a) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo. b) Qual é a altura máxima que a sonda atinge?


21

Questão 08 Se um ponto se move ao longo do gráfico de 12 += xy de tal modo que sua abscissa x varia com uma velocidade constante de 3 cm/s, qual é a velocidade da ordenada y quan-do x = 4cm? Questão 09 Um homem de 1,80m de altura afasta-se de um farol com uma lâmpada situada a 4,50m do solo, com uma velocidade de 1,5 m/s. Quando ele estiver a 6m do farol, com que ve-locidade sua sombra estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra? Questão 10 Uma partícula move-se ao longo da curva xy = . Quando a partícula passa pelo ponto (4,2), sua abscissa cresce à razão de 3 cm/s. Com que velocidade está variando a distân-cia da partícula à origem nesse instante? Questão 11 O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico e cresce à razão de 0,25 cm / ano e sua altura cresce à razão de 1 m / ano (m = metros). Determine a taxa de variação do volume do tronco quando o diâmetro é 3 cm e sua altura for 50 m. Questão 12 O esforço de um trabalhador solicitado por uma indústria para fabricar x unidades de um

certo produto é dado pela equação xy2

1= . Determine a taxa instantânea à qual o es-

forço do trabalhador seria crescente se, no mesmo momento, existe uma demanda de 40.000 unidades do produto, mas esta é crescente a uma razão de 10.000 unidades por ano. Questão 13 Um fazendeiro possui 2.400 m de arame farpado e quer cercar um campo retangular que está à margem de um canal reto. Ele não precisa cercar a lateral do canal. Quais são as dimensões do campo que tem a maior área? Questão 14 Um vasilhame cilíndrico é fabricado para conter 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que irão minimizar o custo do material para produzir este vasilhame. Questão 15 Achar o retângulo de maior área de corte, correspondentes à altura e base de um cômo-do, inscrito dentro de um triângulo isósceles de base AB = 10 m e altura h = 6 m, cor-respondentes à base e altura de um chalé, respectivamente. Questão 16 Quais são as dimensões de um cercado, de área máxima que se pode construir com 1.000 m de tela?


22

Questão 17 Uma avaria numa central atômica fez disparar o sistema de alarme. Os técnicos ativa-ram imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe-se que a temperatura T da água (em graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir

daí durante 12 horas, de acordo com a função 2

12825)(

2

+++=

x

xxxT , em que x é o tem-

po (em horas) decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou. a) Calcule a taxa de variação de T quando x = 1 h. Interprete o resultado no contexto do

problema. b) A sirene de alarme dispara se a temperatura for superior a 43º C. Quando é que a si-

rene tocou? Questão 18 A temperatura F (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia, a partir do mo-

mento em que é ligado, de acordo com a função 2

44190)(

++=

t

ttF , com t em minutos.

a) A que temperatura está o forno quando é ligado? b) Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender a estabilizar essa temperatura? c) Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado? d) E aos 10 minutos? Questão 19 A evolução da temperatura do ar na relva, entre as 0 e 24 horas do dia 1º de fevereiro foi

dada pela função 45

2253017)(

2

−+−+=

t

tttf , com f em graus e t em horas.

a) Qual foi a temperatura máxima nesse dia? b) E a temperatura mínima? c) Qual era a taxa de aquecimento do ar às 10 horas da manhã? Questão 20

A equação 10

25030)(

2 ++=

t

ttT relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma

reação química com tempo t da experiência (em minutos). Sabendo que a experiência durou 60 minutos:

a) calcule e explique o quociente 2

)0()2( TT −

b) o que significa 2

)0()2(lim

2 −−

→ t

TTt

c) determine, analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se Re-gistrou a temperatura máxima

Questão 21 Uma mancha circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centí-metros, do raio dessa mancha, t segundos após ter sido detectada, é dado por:

)0(2

41)( ≥

++= t

t

ttr

Calcule )0(r e diga qual é o significado físico desse valor.


23

Questão 22 Um chá, acabado de fazer, foi colocado num refrigerador a 100º C. Passados 5 minutos, o chá estava a 60º C. A temperatura do chá evolui de acordo com a lei tbaetT −=)( , em que T é a temperatura do chá e t é o tempo decorrido em minutos. a) Determine os valores de a e b. b) Qual é a velocidade do arrefecimento do chá quando é colocado no refrigerador? E

um minuto depois? c) Quem prefere tomar o chá frio, a 8º C, quanto tempo terá de esperar? Questão 23 Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após ter sido administrado, é dada por tettC 3,02)( −= . Recorrendo à derivada da função C, determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi máxima. Questão 24 Injetou-se no instante t = 0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t > 0, em segundos), a concentração C da substância injetada é dada por )(8)( 2tt eetC −− −= .

a) calcule o instante para o qual o valor da concentração é igual a 8

7

b) Mostre que t

t

e

etC

2

)2(8)(

−=′

Questão 25 Um fabricante de pequenos motores, estima que o custo da produção de x motores por

dia é dado por x

xxC50

60100)( ++= (reais).

a) Preencha as tabelas abaixo:

No de motores Custo Custo médio Custo marginal

X

)(xC

x

xC )(

)(xC′

1 2 3 4 5 6

b) Compare o custo marginal da produção de 5 motores com o custo da produção do 6º motor.

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08 derivadas