(9) geometria espacial ix pdf

GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves

1

(180) Uma esfera é seccionada por um plano a 3 cm do centro da esfera. Sabendo

que as áreas das calotas determinadas estão entre si como 3/5, calcule o volume da

esfera.

Solução

(181) Seccionando uma esfera por um plano, obtemos duas calotas cujas áreas

estão na razão 2/5. Calcule a superfície da esfera, sendo 4 cm a medida da corda

do arco gerador da menor calota.

Solução

(182) Um arco de 60°, pertencente a uma circunferência de raio 10 cm, gira em

torno de um diâmetro que passa por uma de suas extremidades. Determine a área

da calota gerada.

Solução


2

(183) Calcule a razão entre as duas calotas esféricas em que uma superfície

esférica é dividida por um plano que passa por uma face do cubo inscrito.

Solução

(184) A geratriz de um cone forma com o eixo um ângulo de 30°, sendo esse cone

circunscrito a uma esfera de raio 12 cm. Obtenha a área da menor calota

determinada pelo círculo de contato das duas superfícies.

Solução


3

(185) Corta-se uma esfera de raio R por um plano . A diferença das áreas das

calotas obtidas é igual à área da secção determinada pelo plano. Qual a distância

do plano ao centro da esfera?

Solução

(186) Determine o raio da esfera na qual seja possível destacar uma calota de

altura igual a 2 m e cuja área seja igual ao triplo da área lateral do cone, tendo o

vértice no centro da esfera e por base a base da calota.

Solução


4

(187) Determine a medida da área de uma zona cujos raios das bases medem 3 cm

e 5 cm, respectivamente, sendo 8 cm a medida da altura da zona.

Solução

(188) Uma zona esférica de 5 cm de altura é equivalente a um fuso de 45° da

mesma esfera. Determine o volume e a área da esfera.

Solução


5

(189) Determine o raio de uma esfera, sabendo que a diferença entre a sua área e

a de uma zona de 5 cm de altura é igual à área de um fuso de 60° da mesma esfera.

Solução

(190) A soma das áreas de um fuso de 60° e de uma zona esférica de 8 cm de

altura é igual a 3/2 da área da esfera. Determine o volume da esfera.

Solução

(191) Uma zona esférica e um fuso de uma mesma esfera têm áreas iguais. A altura

da zona é 1/n do raio. Calcule o arco equatorial do fuso.

Solução


6

(192) Dois planos equidistantes do centro de uma esfera de raio R seccionam essa

esfera, determinando uma zona cuja área é igual à soma das áreas de suas bases.

Obtenha a distância entre esses dois planos.

Solução

(193) A que distância do centro de uma esfera devemos traçar um plano para que a

área da zona (calota) determinada seja igual à área lateral de um cone cuja base é

o círculo da secção do plano com a esfera e cujo vértice é o centro da esfera,

sendo 10 cm a medida do raio da esfera?

Solução

(194) Um cone está inscrito em uma esfera de raio “r”. A área lateral do cone é a

quinta parte da área de uma zona de altura igual à altura do cone. Determine a

distância do centro da esfera à base do cone.

Solução


7

(195) Um plano secciona uma esfera de raio “r” a uma distância “d” do centro da

esfera, determinando uma zona (calota) cuja área é igual à área de outra esfera de

raio igual ao triplo de “d”. Obtenha a distância “d”.

Solução


8

(196) Dois planos seccionam uma esfera, sendo que o primeiro passa pelo centro da

esfera e o segundo a uma distância “d” do centro da esfera. Sabendo que a área da

zona esférica determinada por esses dois planos é igual à soma das áreas do círculo

máximo da esfera com a área da secção à distância “d” do centro da esfera,

obtenha “d”.

Solução

(197) É dado um semicírculo ̂ de raio R e um ponto P no prolongamento do

diâmetro. Calcule ̅̅ ̅̅ , de modo que a tangente ̅̅̅̅ possa gerar em torno do

diâmetro uma área igual à área gerada pelo arco ̂ em torno do mesmo diâmetro.

Solução


9

(198) Seja uma esfera de raio R cortada por um feixe de N planos que tem uma

reta comum, determinando nesta N + 1 sólidos. Sendo S a superfície total desses

sólidos, prove que:

Solução


10

(199) Determine o volume de um segmento esférico cuja calota tem 100π cm² de

área estando ambos situado em uma esfera de 20 cm de diâmetro.

Solução

(200) Determine o volume do segmento esférico obtido da secção de uma esfera

de 10 cm de raio por um plano, que passa a 2 cm do centro da esfera.

Solução


11

(201) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 4 cm a

altura do segmento e 8 cm os diâmetros das bases.

Solução

(202) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sabendo que

está situado em uma semiesfera de 20 cm de raio e que as suas bases distam 3 cm

e 6 cm, respectivamente, do centro da semiesfera.

Solução

(203) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 15 cm a

medida do raio da esfera na qual está contido o segmento esférico e sabendo que

as bases paralelas do segmento esférico distam cada uma 6 cm do dentro da

esfera.

Solução


12

(204) Seja dada uma esfera de raio R em um ponto P distante do seu centro.

Considera-se o cone indefinido, formado pela totalidade das retas tangentes à

esfera, traçadas pelo ponto P. Calcule o volume do sólido, cujos pontos são internos

ao cone e externos à esfera.

Solução


13

(205) Uma esfera de 30 m de diâmetro foi seccionada por dois planos paralelos do

mesmo lado do centro e distantes deste centro 12 m e 8 m, respectivamente.

Calcule a área da zona compreendida entre esses planos e o volume do segmento

esférico compreendido entre esses dois planos.

Solução


14

(206) Seccionando um hemisfério de raio “r”, por um plano paralelo à base,

obtemos um segmento esférico de uma base. Sendo o volume desse segmento igual

ao volume de um cilindro cuja base é a secção e cuja altura é igual à distância entre

o plano e a base do hemisfério, determine essa distância.

Solução

(207) Num segmento esférico de uma só base, de uma esfera e raio R, está

inscrito um cone, cujo vértice é um dos pólos relativos a sua base. Qual a área da

base, se a razão entre o volume do cone e o do segmento esférico é igual à

constante K? (Discuta o problema)

Solução


15

(208) Um setor circular AOB, pertencente a um círculo de 10 cm de raio, gira em

torno do diâmetro POQ. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que o raio

AO forma com o diâmetro POQ um ângulo de 60° e que o raio OB forma com o

mesmo diâmetro um ângulo de 45°.

Solução

(209) Uma esfera de raio R é furada segundo um setor esférico cujo vértice

coincide com o centro da esfera. Determine a expressão que dá o raio da

circunferência segundo o qual o setor corta a esfera, de tal maneira que o volume

do setor seja 1/n do volume da esfera.

Solução


16

(210) Um anel esférico é gerado por um segmento circular cuja corda mede “l” .

Sendo V o volume do anel, calcule a projeção da corda sobre o eixo.

Solução

(211) Determine o volume gerado pelo segmento circular AMB, girando ao redor do

diâmetro PQ, sendo a corda AB deste segmento igual a 5 cm, a distância do ponto

A ao eixo igual a 3 cm e a distância do ponto B ao eixo igual a 6 cm.

Solução


17

(212) Dado um hemisfério H, definido por seu círculo máximo C e pelo pólo

correspondente P, determine o volume interior a H e exterior a quatro cones,

tendo P para vértice comum e para bases quatro círculos iguais, situados no plano

C, tangentes interiormente a este círculo e exteriormente entre si.

Solução

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