MATEMÁTICA ELEMENTAR

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Carlos Alberto G. de Almeida(cviniro@gmail.com)

17 de setembro de 2012

MATEMÁTICA ELEMENTAR

Introdução

Olá a todos!

Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo:I Princípio de Indução Matemática.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria.

BOM ESTUDO!

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Observação:Para demonstrarmos que uma propriedade envolvendo osnúmeros naturais é sempre verdadeira, precisamos usar oPrincípio de Indução Matemática, também conhecido comoPrincípio de Indução Finita ou, simplesmente, Princípio deIndução.

Princípio de Indução

Seja P(n) uma propriedade relacionada com os númerosnaturais da qual sabemos que:

I P(n) é verdadeira para um valor inicial (que pode ser, porexemplo, n = 1).

I Se P(n) for verdadeira para n = k , então também éverdadeira para n = k + 1.

Então a propriedade P(n) é verdadeira para todo númeronatural n a partir do valor inicial.

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Questão 05: Mostrar que 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n = n.(n+1)2 , n ≥ 1

Solução:Vamos usar o Princípio da Indução Finita.

I Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois1 = 1.(1+1)

2 ⇒ 1 = 1I Vamos supor agora que a expressão seja válida para

n = k , e vamos mostrar que ela também é válida paran = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que1 + 2 + 3 + 4 + ...+ k = k .(k+1)

2 é verdadeira.Daí, note que para n = k + 1, temos:1 + 2 + 3 + 4 + ...+ k︸ ︷︷ ︸+(k + 1) = (k+1).(k+1+1)

2

⇒ k .(k+1)2 + (k + 1) = (k+1).(k+2)

2

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Questão 05: Continuação

Resolvendo a operação no primeiro membro, temos:

k .(k + 1) + 2.(k + 1)2

=(k + 1).(k + 2)

2

que é exatamente igual a expressão do 2o membro, ou seja,acabamos de provar que P(k + 1) é verdadeira.Logo, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão vale paratodo n ≥ 1.

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Questão 06: Mostrar que13 + 23 + 33 + 43 + ...+ n3 = [n.(n+1)

2 ]2, n ≥ 1

Solução:Usando o Princípio da Indução Finita, temos:

I Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois

13 = [1.(1 + 1)

2]2 ⇒ 1 = 12

I Vamos supor agora que a expressão seja válida paran = k , e vamos mostrar que ela também é válida paran = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que13 + 23 + 33 + 43 + ...+ k3 = [k .(k+1)

2 ]2 é verdadeira.

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Questão 06: ContinuaçãoDaí, note que para n = k + 1, temos:13 + 23 + 33 + 43 + ...+ k3︸ ︷︷ ︸+(k + 1)3 = [ (k+1).(k+1+1)

2 ]2

⇒ [k .(k+1)2 ]2 + (k + 1)3 = [ (k+1).(k+2)

2 ]2

Desenvolvendo apenas as operações no primeiro membro,temos:

k2.(k + 1)2

4+ (k + 1)3 =

k2.(k + 1)2 + 4.(k + 1)3

4=

=(k + 1)2.[k2 + 4.(k + 1)]

4=

(k + 1)2.(k2 + 4k + 4)4

=

=(k + 1)2.(k + 2)2

4= [

(k + 1).(k + 2)2

]2

que é exatamente igual a expressão do 2o membro, ou seja,acabamos de provar que P(k + 1) é verdadeira.Logo, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão vale paratodo n ≥ 1.

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Questão 07: Mostre que 2n > n, para todo n natural.

Solução:Usando o Princípio da Indução Finita, temos:

I Para n = 1, observe que a expressão é verdadeira, pois

21 > 1

I Vamos supor agora que a expressão seja válida paran = k , e vamos mostrar que ela também é válida paran = k + 1, ou seja: A nossa hipótese é que

2k > k ,

para todo k natural.

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Questão 07: Continuação

De fato, pois

2k+1 = 2k .21 = 2.2k > 2k ≥ k + 1

Então, podemos concluir que

2k+1 > k + 1

Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, a expressão valepara todo n natural.

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Questão 08: Prove que é verdadeira, para todo n ∈ N, a fórmula:

P(n) :1

1 · 2+

12 · 3

+ · · ·+ 1n(n + 1)

=n

n + 1.

Solução:Observamos inicialmente que

P(1) :1

1 · 2=

11 + 1

é verdadeira. Suponhamos que, para algum k , tem-se queP(k) é verdadeira, ou seja,

P(k) :1

1 · 2+

12 · 3

+ · · ·+ 1k(k + 1)

=k

k + 1

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Questão 08: ContinuaçãoSomando a ambos os lados dessa igualdade

1(k + 1)(k + 2)

,

temos que

11 · 2

+1

2 · 3+· · ·+ 1

k(k + 1)+

1(k + 1)(k + 2)

=k

k + 1+

1(k + 1)(k + 2)

⇐⇒

11 · 2

+1

2 · 3+ · · ·+ 1

k(k + 1)+

1(k + 1)(k + 2)

=k + 1

(k + 1) + 1

mostrando, assim, que P(k + 1) é verdadeira.Portanto, pelo princípio da indução finita, temos que a fórmulavale para todo n ∈ N.

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OBSERVAÇÕES:

I Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.

I Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados, ecoloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para quepossamos esclarecê-las.

ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!