UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CFM - CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO: MATEMÁTICA – LICENCIATURA

DISCIPLINA: MTM 7105 – ÁLGEBRA LINEAR I (PCC 18HS)

PROFESSORA: MARIA INEZ

ALUNOS: DJEISON MACHADO E JUCIARA GUIMARÃES CARVALHO

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

Um modelo matricial para gerenciar de forma sustentável uma floresta

1. Introdução

Será apresentado um modelo matricial para administrar uma floresta cujas árvores são

agrupadas em classes de acordo com sua altura. Calcularemos o rendimento sustentável ótimo de

um corte periódico de árvores de diferentes classes com diferentes valores econômicos. Esse

problema tem como pré requisito as operações com matrizes.

2. Objetivo

Queremos encontrar um corte sustentável para o qual o valor econômico total de todas as

árvores removidas é o maior possível. Isto determina o rendimento sustentável ótimo da floresta e é

o maior rendimento que pode ser obtido continuamente sem dizimar a floresta.

3. Administração de Florestas

3.1 Modelo

Suponhamos que um plantador tenha uma floresta de pinheiros que são vendidas ano após

ano como árvores de Natal. A cada dezembro o plantador corta alguns dos primeiros pinheiros para

vender. Para cada pinheiro cortado, é plantada uma muda em seu lugar. Deste modo, o número total

de árvores na floresta é sempre o mesmo. (Neste modelo simplificado, desconsideraremos as árvores

que morrem durante o ano e também vamos supor que cada muda plantada sobrevive e cresce até

ser cortada).

Árvores de diferentes tamanhos têm valores econômicos diferentes no mercado natalino.

Suponha que há classes distintas de preços, correspondendo a certos intervalos de altura. A

primeira classe consiste de mudas com altura no intervalo [ ) e sem valor econômico. A -ésima

classe consiste de árvores com altura maior do que ou igual a .

Seja ( ) o número de árvores na -ésima classe que sobrevivem aos cortes.

Vamos chamar o vetor de não cortadas como X =

[ ]

.

Segue que o número total de árvores da floresta é fixo, podemos escrever da seguinte

maneira: , onde é predeterminado por s =

.

Durante o período de corte, uma árvore da -ésima classe pode crescer e passar a uma classe

de maior altura ou então seu crescimento pode ser retardado por algum motivo e ela permanece em

sua classe. Então definimos o seguinte parâmetro de crescimento para , onde

é a fração das árvores da -ésima classe que crescem para a ( )-ésima classe durante o

período de crescimento. Mas ainda podemos supor que durante um período de crescimento uma

árvore no máximo muda uma classe para cima, então temos é a fração das árvores da -ésima

classe que permanecem na -ésima classe durante um período de crescimento.

Com estes parâmetros de crescimento construiremos a matriz de crescimento

G =

[ ]

Efetuando o produto das matrizes x e G podemos observar o número de árvores nas

classes depois do período de crescimento.

Gx =

[ ]

.

[ ]

[

( )

( )

( )

( ) ]

Agora suponhamos que durante o corte nós removemos ( ) árvores da -

ésima classe, então vamos chamar de vetor de cortadas y =

[ ]

. Sendo assim, temos um total de

árvores removidas a cada corte expresso por

Este também é o número total de árvores adicionadas à primeira classe (as novas mudas)

depois de cada corte. Definimos a seguinte matriz de reposição do tamanho R =

[ ]

Então o vetor coluna Ry =

[ ]

.

[ ]

=

[

]

= r, mostrará a

quantidade de árvores plantadas depois do corte.

Com todas essas informações podemos escrever as seguintes equações, que caracterizam

uma política de corte sustentável:

[

] - [ ] [

] = [

]

Ou, matematicamente:

( ) ( ) (condição de corte sustentável)

Uma condição necessária e suficiente para que um vetor-coluna determine uma

configuração de floresta que permite um corte sustentável é que as entradas de satisfaçam

3.2 Rendimento sustentável ótimo

RT: rendimento total do corte sustentável

, ou ainda,

( ) ( )

Problema: Quais são os valores das entradas (não negativas) do vetor coluna que maximizam a

equação ( ) ( )

Sujeito a , e

Teorema: O rendimento sustentável ótimo é obtido cortando todas as árvores de uma classe de

altura específica e nenhuma árvore de qualquer outra classe.

Demonstração: Seja o rendimento obtido cortando todas as árvores da -ésima classe e

nenhuma árvore das outras classes.

Sabendo que o maior valor de para será a classe que deveria ser

completamente cortada para obter o rendimento sustentável ótimo. Como nenhuma classe é

cortada, exceto a -ésima, temos: Como todas as

árvores da -ésima classe são cortadas, não restam árvores para cortar na -ésima classe e nunca há

árvores nas classes de altura acima da -ésima classe.

Logo,

Segue que substituindo temos:

As equações acima também podem ser escritas como

tal que

Fazendo as substituições vamos obter

RTk =

,

Teorema: O rendimento sustentável ótimo é o maior valor de

, para . O

correspondente valor de é o número da classe que é completamente cortada.

Concluímos que não é necessariamente a classe de árvores de maior preço que deve ser

totalmente cortada. Os parâmetros de crescimento também devem ser levados em conta para

determinar o rendimento sustentável ótimo.

Exemplo: A seguinte matriz de crescimento refere-se a uma floresta de pinheiros escoceses na

Escócia com período de crescimento de seis anos

[ ]

.

Suponha que os preços das árvores (em unidade monetária $) nas cinco classes de maior altura são:

Qual classe deveria ser completamente cortada para obter o rendimento sustentável ótimo e qual é

o rendimento?

Solução: Da matriz G obtemos:

Então as equações nos fornecem:

( )

( )

( )

( )

( )

Então temos que é a maior destas cinco quantidades, de modo que pelo Teorema, a terceira

classe deveria ser completamente cortada a cada seis anos para maximizar o rendimento

sustentável. O rendimento sustentável ótimo correspondente é $ 14,7 , onde é o número total de

árvores na floresta.

4. Conclusão

Esse problema é um ótimo exemplo de aplicação para os alunos que já tenham aprendido o

conteúdo de matrizes, bem como pode ser aplicado nas escolas como um projeto interdisciplinar

envolvendo áreas como a Matemática, Geografia, Biologia e questões como a problemática social.