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A A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNETISMO

Apêndice eletro

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Page 1: Apêndice eletro

AA M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O

Page 2: Apêndice eletro

Página 316 (propositadamente em branco).

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Page 3: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

A . 1 I N T RO D U Ç ÃO

Uma das principais dificuldades no estudo do electromagnetismo é a insuficiente prepara-ção matemática dos alunos. De facto a maior parte das vezes a matemática relevante só éensinada nas disciplinas de matemática depois de os conceitos terem sido já utilizados noelectromagnetismo. Vamos neste apêndice apresentar os principais conceitos necessáriosnuma perspectiva do utilizador, sem uma preocupação de rigor matemático. Admitimosque os alunos já dominam os conceitos de derivada, incluindo derivadas parciais, e deintegral a uma dimensão.

A . 2 S I S T E M A S D E C O O R D E N A DA S

Para além do usual sistema de coordenadas cartesianas em R3, é muitas vezes útil usar

outros sistemas de coordenadas mais apropriados à geometria dum determinado pro-blema. Entre estes estão os sistemas de coordenadas polares em R

2 e os sistemas decoordenadas cilíndricas e esféricas em R

3.

A.2.1 Coordenadas polares

Para problemas que tenham simetria de rotação em duas dimensões introduzem-se ascoordenadas polares em R

2. São definidas através das relações:

x = r cos θ

y = r sin θ (A.1)

onde r e θ estão definidos na Fig. A.1. As relações inversas são

PSfrag replacements

x

y

r

O

θ

P(x, y)

Figura A.1: Coordenadas polares em R2.

317

Page 4: Apêndice eletro

S I STEMAS DE COORDENADAS

r =√

x2 + y2

θ = arctan(y

x

)

. (A.2)

A.2.2 Coordenadas cilíndricas

Para problemas em R3 que tenham simetria de rotação em torno do eixo do z, introdu-

zimos as coordenadas cilíndricas. Estas são coordenadas polares no plano xy a que seadiciona a cota z do ponto em questão. A sua definição é

x = ρ cosϕ

y = ρ sinϕ

z = z , (A.3)

conforme se indica na Fig. A.2. O domínio de variação da coordenada ϕ é

ϕ ∈ [0, 2π] (A.4)

As relações inversas para as coordenadas ρ e ϕ são as das coordenadas polares, Eq. (A.2).

PSfrag replacements

x

y

z

z

O

P(x, y, z)

ϕ

ρ

Figura A.2: Coordenadas cilíndricas em R3.

A coordenada z é a mesma no sistema cartesiano e cilíndrico.

318

Page 5: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

A.2.3 Coordenadas esféricas

Para problemas em R3 que tenham simetria esférica, introduzimos as coordenadas esfé-

ricas. A sua definição é

x = r sin θ cosϕ

y = r sin θ sinϕ

z = r cos θ , (A.5)

conforme se indica na Fig. A.3. O domínio de variação das variáveis angulares para cobrirR3 é

θ ∈ [0, π] ; ϕ ∈ [0, 2π] (A.6)

PSfrag replacements

x

y

z

O

P(x, y, z)

ϕ

θ

r

Figura A.3: Coordenadas esféricas em R3.

As relações inversas são

r =√

x2 + y2 + z2

θ = arccos(z

r

)

ϕ = arctan(y

x

)

. (A.7)

A . 3 C Á L C U L O I N T E G R A L E M Rn .

Vamos nesta secção rever o cálculo integral em Rn. Admitimos que o cálculo integral em

R já é conhecido.

319

Page 6: Apêndice eletro

CÁLCULO INTEGRAL EM RN .

A.3.1 Integrais a uma dimensão

Para introduzir os integrais, vamos usar o exemplo das distribuições de carga. Comece-mos pelo integral a uma dimensão. Seja uma barra de comprimento L e secção desprezávele carga total Q.

Distribuição de carga uniforme

Começamos por dividir o comprimento da barra em N intervalos de comprimento ∆xi =

L/N (ver Fig. A.4).

PSfrag replacements

xOL1 2

∆x1 ∆x2

Figura A.4: Barra de comprimento L.

Então a carga em cada segmento ∆xi é dada por

∆qi =Q

N=Q

L

L

N=Q

L∆xj . (A.8)

Se definirmos a densidade de carga por unidade de comprimento:

λ =Q

L, (A.9)

podemos escrever∆qi = λ∆xi (A.10)

e

Q =

N∑

i

∆qi =

N∑

i

λ∆xi . (A.11)

No limite N →∞, a soma passa a integral e obtemos

Q = limN→∞

N∑

i

λ∆xi =

∫ L

0

λ dx . (A.12)

Este caso é de facto trivial, pois∫ L

0

λ dx =Q

L

∫ L

0

dx =Q

LL = Q . (A.13)

320

Page 7: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

Distribuição de carga não uniforme

Se a distribuição não for uniforme, fazemos N suficientemente grande para que no inter-valo ∆xi a distribuição seja aproximadamente constante e igual ao valor λ(xi). Então, acarga em ∆xi é

∆qi = λ(xi)∆xi , (A.14)

e portanto a carga total da barra será

Q =

N∑

i=1

∆qi =

N∑

i=1

λ(xi)∆xi , (A.15)

e no limite N →∞ obtemos

Q =

∫ L

0

λ(x) dx . (A.16)

Exemplo A.1

Seja uma barra de comprimento L carregada com carga total Q e densidade λ(x) =

Ax(L− x). Determinar a constante A.

Calculemos a carga total a partir da Eq. (A.16):

Q =

∫ L

0

λ(x)dx =

∫ L

0

Ax(L− x) dx

= AL2

6(A.17)

e

A =6Q

L2. (A.18)

A.3.2 Integrais de superfície

Comecemos por considerar um rectângulo de dimensões Lx × Ly, conforme se indicana Fig. A.5, e carregado uniformemente com carga total Q. Seguindo o exemplo dosintegrais a uma dimensão, dividimos cada eixo em N intervalos, o que equivale a definirintervalos elementares segundo x e segundo y dados por

∆xi1 =LxN

; ∆yi2 =LyN

. (A.19)

321

Page 8: Apêndice eletro

CÁLCULO INTEGRAL EM RN .

PSfrag replacements

x

y

Lx

Ly

O

Figura A.5: Partição em rectângulos elementares ∆xi1 ×∆yi2 .

Então o rectângulo ficou dividido em N 2 rectângulos elementares de área

∆Si = ∆xi1∆yi2 (A.20)

Se introduzirmos a densidade de carga em superfície σ por

σ =Q

Lx × Ly, (A.21)

podemos dizer que a carga elementar de cada rectângulo ∆Si é dada por

∆qi = σ∆Si . (A.22)

Quando N →∞, temos∆qi → dq = σ dS = σ dxdy (A.23)

e

Q =∑

i

qi → Q =

S

σdS =

∫ Lx

0

∫ Ly

0

σ dxdy . (A.24)

O caso de densidade variável trata-se exactamente da mesma maneira que o exemplo auma dimensão, substituindo no integral σ por σ(x, y).

Consideremos agora o caso mais geral descrito na Fig. A.6, onde f(x) é a curva quelimita a região. Não é difícil verificarmos que o resultado só será alterado nos limites deintegração:

Q =

∫ Lx

0

∫ f(x)

0

σ(x, y) dxdy , (A.25)

322

Page 9: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

PSfrag replacements

x

y

y = f(x)

LxO

Figura A.6: Região limitada pela curva y = f(x).

e teremos, primeiro, de efectuar a integração em y e, depois, em x. Vejamos algunsexemplos.

Exemplo A.2

Área do triângulo indicado na Fig. A.7.

PSfrag replacements

x

y

a

b

O

Figura A.7: Área do triângulo.

Obtemos

I =

S

dS =

∫ a

0

dx

∫ x ba

0

dy (A.26)

=

∫ a

0

dxxb

a=b

a

∫ a

0

dx x (A.27)

=b

a

(1

2a2)

=1

2ab ≡ Área . (A.28)

323

Page 10: Apêndice eletro

CÁLCULO INTEGRAL EM RN .

Exemplo A.3

Área do quarto de círculo representado na Fig. A.8.

PSfrag replacements

x

y

R

RO

Figura A.8: Área dum quarto de círculo.

Primeiro, vamos usar coordenadas cartesianas. Então, temos de saber qual a equação doquarto de circunferência. Temos

y =√

R2 − x2 . (A.29)

Então,

I =

S

ds =

∫ R

0

dx

∫ √R2−x2

0

dy

=

∫ R

0

dx√

R2 − x2 . (A.30)

Sabendo agora a primitiva da função integranda:∫√

R2 − x2 = x

2

R2 − x2 + R2

2arcsin

( x

R

)

, (A.31)

obtemos

I =

[x

2

R2 − x2 + R2

2arcsin

( x

R

)]R

0

4R2 = Área . (A.32)

324

Page 11: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

PSfrag replacements

x

y

θ

rdrdθ

rdθ

O

Figura A.9: O elemento de área em coordenadas polares.

Exemplo A.4

Mesmo exemplo em coordenadas polares.

Devemos ter como anteriormente

I =

S

dS . (A.33)

O problema reside agora em saber como se escreve o dS em coordenadas polares. Paracompreendermos o resultado, notemos que em coordenadas cartesianas dS = dx dy é aárea compreendida entre x e x+ dx e entre y e y + dy. Então, em coordenadas polares,dS deverá ser a área compreendida entre r e r+dr e entre θ e θ+dθ. Da Fig. A.9 resulta,então, que

dS = rdθdr , (A.34)

I =

S

dS =

∫ R

0

dr

∫ π2

0

dθ r

=

∫ R

0

dr r

∫ π/2

0

2

∫ R

0

dr r =π

2

1

2R2 =

π

4R2 . (A.35)

A.3.3 Integrais de volume

Do modo semelhante aos casos anteriores fazemos agora uma partição dum cubo em N 3

cubos. Então, a carga de cada cubo elementar é

∆qi = ρ∆Vi , (A.36)

325

Page 12: Apêndice eletro

CÁLCULO INTEGRAL EM RN .

onde∆Vi = ∆xi1∆yi2∆zi3 (A.37)

e

ρ =Q

L3. (A.38)

No limite N →∞, temos

∆qi → dq = ρ dV = ρ dxdydz (A.39)

e

Q =N∑

i=1

qi → Q =

V

ρ dV =

∫ L

0

dx

∫ L

0

dy

∫ L

0

dz ρ(x, y, z) . (A.40)

O caso geral dum integral a 3 dimensões será então

I =

∫ b

a

dx

∫ f(x)

c

dy

∫ g(x,y)

d

dz h(x, y, z) , (A.41)

onde primeiro se integra em z, depois em y e finalmente em x.

Exemplo A.5

Cálculo do volume dum oitavo de esfera em coordenadas cartesianas.

Consideremos o oitavo de esfera representado na Fig. A.10.

PSfrag replacements

x

y

z

R

R

R

Figura A.10: Volume dum oitavo de esfera.

Calculamos o seu volume, generalizando o algoritmo do caso das superfícies, isto é,

I =

V

dV

=

∫ R

0

dx

∫ √R2−x2

0

dy

∫√R2−x2−y2

0

dz

=

∫ R

0

dx

∫ √R2−x2

0

dy√

R2 − x2 − y2 . (A.42)

326

Page 13: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

Agora, usando o facto de que∫√

α2 − y2 dy =y

2

α2 − y2 + α2

2arcsin

( y

α

)

, (A.43)

obtemos

I =π

4

∫ R

0

dx (R2 − x2)

4

[

R2x− 1

3x3]R

0

4

[

R3 − 1

3R3

]

=2π

12R3

=1

8

4

3πR3 . (A.44)

Exemplo A.6

Mesmo exemplo em coordenadas esféricas.

Tal como anteriormente, o volume será dado por

I =

V

dV . (A.45)

A questão é saber agora como se escreve o elemento de volume dV em coordenadasesféricas. Seguindo o exemplo do elemento de área em coordenadas polares, concluímosque dV é o volume compreendido entre (r, r + dr), (θ, θ + dθ) e (ϕ,ϕ + dϕ), conformeindicado na Fig. A.11. Então o elemento de volume dV escreve-se

PSfrag replacements

x

y

z

rdθ

dr

r sin θdϕ

O

Figura A.11: Elemento de volume em coordenadas esféricas.

dV = r dθdr r sin θ dϕ

= r2 sin θ dr dθ dϕ . (A.46)

327

Page 14: Apêndice eletro

CÁLCULO INTEGRAL EM RN .

Obtemos, então, para o integral

I =

V

dV =

∫ π/2

0

∫ π/2

0

∫ R

0

drr2 sin θ

=

∫ π/2

0

∫ 0

dθ sin θ

∫ R

0

drr2

=1

3R3

∫ π/2

0

[

− cos θ

]π/2

0

=1

3R3

∫ π/2

0

dϕ =π

6R3 =

1

8

3R3 . (A.47)

Exemplo A.7

Seja uma esfera de raio R e com uma carga total Q e uma distribuição dada por (verFig. A.12)

ρ(r) = ρ0

(

1− r

R

)

(A.48)

Determine a constante ρ0.

PSfrag replacements

r

ρ0

ρ(r)

O R

Figura A.12: Distribuição radial de carga.

A carga total será

Q =

V

ρ dV . (A.49)

328

Page 15: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

Vamos usar coordenadas esféricas. Então,

Q =

∫ 2π

0

∫ π

0

dθ sin θ

∫ R

0

drr2ρ0R

(R− r)

= 4πρ0R

∫ R

0

dr(r2R− r3)

= 4πρ0R

[1

3r3R− 1

4r4]R

0

= 4πρ01

12R3 . (A.50)

Então, a constante ρ0 é dada por

ρ0 =3

π

Q

R3, (A.51)

e podemos escrever para a densidade de carga:

ρ =3Q

πR4(R− r) . (A.52)

Exemplo A.8

Volume dum cilindro em coordenadas cilíndricas.

Tal como anteriormente,

I =

V

dV , (A.53)

onde dV é agora (ver Fig. A.13) o elemento de volume compreendido entre (ρ, ρ +

dρ), (ϕ,ϕ+ dϕ) e (z, z + dz), ou seja,

dV = ρ dϕdρ dz (A.54)

Então

I =

∫ 2π

0

∫ R

0

dρ ρ

∫ h

0

dz = h

∫ 2π

0

∫ R

0

dρ ρ

=1

2R2h

∫ 2π

0

dϕ = πR2h . (A.55)

Exemplo A.9

Volume dum cone.

Vamos usar coordenadas cilíndricas, conforme se indica na Fig. A.14.

329

Page 16: Apêndice eletro

CÁLCULO INTEGRAL EM RN .

PSfrag replacements

x

y

z

z

dρρdϕ

O

dz

Figura A.13: Elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Obtemos

I =

V

dV

=

∫ 2π

0

∫ R

0

dρ ρ

∫ hR(R−ρ)

0

dz , (A.56)

onde

z =R− ρtanα

=h

R(R− ρ) (A.57)

PSfrag replacements

h

z

z

RρO

α

α

Figura A.14: Geratriz dum cone em coordenadas cilíndricas.

330

Page 17: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

é a equação da geratriz do cone. Obtemos então

I =

∫ 2π

0

∫ R

0

dρ ρh

R(R− ρ)

= 2πh

R

∫ R

0

dρ (Rρ− ρ2)

= 2πh

R

(1

2R3 − 1

3R3

)

3R2h . (A.58)

A . 4 C A M P O S E S C A L A R E S E V E C T O R I A I S

Em física é frequente termos necessidade de especificar o valor duma grandeza em cadaponto de espaço. Assim, a cada ponto do espaço P(x, y, z) associamos um número, ovalor da grandeza nesse ponto. Diz-se que a grandeza assim representada em todos ospontos é um campo escalar.

Consideremos, como exemplo, a temperatura. A um ponto genérico de coordenadasP(x, y, z) associamos o valor da temperatura nesse ponto:

P(x, y, z)→ T (x, y, z) . (A.59)

Nem todas as grandezas podem ser representadas por um único número em cada pontoP(x, y, z). Assim, se a cada ponto P associarmos um vector, temos aquilo a que se chamaum campo vectorial. Um exemplo simples é o valor da velocidade da água em cada pontode um canal

Figura A.15: Campo de velocidades da água num canal.

(x, y, z)→ ~v(x, y, z) , (A.60)

331

Page 18: Apêndice eletro

SUPERF ÍC IES , ÂNGULO SÓL IDO E FLUXO

onde~v(x, y, z) = vx(x, y, z)~ex + vy(x, y, z)~ey + vz(x, y, z)~ez . (A.61)

Poderíamos ainda pensar em campos mais complicados como os chamados campos ten-soriais, que a cada ponto associam um tensor, mas não teremos necessidade deles paraeste curso, pelo que não os estudaremos aqui.

O electromagnetismo é descrito por dois campos vectoriais ~E e ~B, como teremos opor-tunidade de ver. Teremos também oportunidade de falar de outros campos vectoriais,bem como de campo escalares.

A . 5 S U P E R F Í C I E S , Â N G U L O S Ó L I D O E F L U XO

A.5.1 Superfícies orientadas

Uma superfície regular S (isto é, sem arestas nem vértices) tem em cada ponto definidauma direcção normal. Vamos considerar superfícies orientadas, ou seja, com um sentidopositivo escolhido na direcção normal em cada ponto, de forma que esse sentido variecontinuamente de ponto para ponto da superfície. Quando a superfície é fechada, nor-malmente convenciona-se que o sentido positivo da direcção normal é, em cada ponto deS, aquele que aponta para o exterior da superfície. No ponto de coordenadas ~r, perten-cente a S, designaremos por ~n(~r) o vector unitário, orientado segundo o sentido positivoda normal à superfície nesse ponto, conforme se indica na Fig. A.16

PSfrag replacementsS ~n

Figura A.16: Normal a uma superfície fechada.

A.5.2 Ângulo sólido

Um conceito bastante útil em física é o chamado ângulo sólido. Por definição, ângulosólido segundo o qual se vê uma superfície a partir dum ponto O é a área da esfera deraio unidade centrada em O que é intersectada pelo sólido que tem por base a superfíciee por vértice o ponto O (ver Fig. A.17). Adoptemos a seguinte convenção de sinais:

332

Page 19: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

PSfrag replacements

S

~n

O

~n

dS

~er

Figura A.17: Ângulo sólido dΩ.

dΩ > 0, se O vê a face positiva

dΩ < 0, se O vê a face negativa.(A.62)

Portanto:

dΩ = − 1

r2~er ·~n dS = − 1

r2~∇~r (r) ·~n dS = ~∇~r

(1

r

)

·~n dS . (A.63)

Para superfícies fechadas S, teremos

Ponto O interior a S ⇒ Ω = −4πPonto O exterior a S ⇒ Ω = 0

Ponto O sobre S ⇒ Ω = −2π(A.64)

A.5.3 Fluxo dum campo vectorial

Dado um campo vectorial arbitrário ~C(x, y, z), define-se fluxo do campo ~C através dasuperfície S por

Fluxo =

S

~C ·~n dS , (A.65)

onde ~n é a normal positiva. Para uma superfície aberta, a definição de ~n é arbitrária,mas para uma superfície fechada é, como vimos, convencional definir a normal positivacomo sendo a normal exterior.

Consideremos agora um volume V limitado por uma superfície S. Dividamos o volumeV em dois volumes V1 e V2 por meio duma superfície Sab.

As superfícies S1 e S2 limítrofes dos volumes V1 e V2 são dadas por S1 = Sa + Sab, S2 =

Sb + Sab. Então temos o teorema seguinte:

333

Page 20: Apêndice eletro

SUPERF ÍC IES , ÂNGULO SÓL IDO E FLUXO

PSfrag replacements

SaSab

Sb

V1 V2~n1

~n2

Figura A.18: Volume V dividido pela superfície Sab.

Teorema A.1

S

~C ·~n dS =

S1

~C ·~n dS +

S2

~C ·~n dS . (A.66)

Demonstração Temos∫

S1

~C ·~n dS =

Sa

~C ·~n dS +

Sab

~C ·~n1 dS (A.67)

e ∫

S2

~C ·~n dS =

Sb

~C ·~n dS +

Sab

~C ·~n2 dS , (A.68)

mas como ~n1 = −~n2 e S = Sa + Sb, obtemos∫

S1

~C ·~n dS +

S2

~C ·~n dS =

S

~C ·~n dS , (A.69)

como pretendíamos.

Corolário

Consideremos uma região do espaço formando um volume elementar dV e limitada pelasuperfície dS. Como dV é infinitesimal, o campo ~C tem uma dada direcção nesse elementode volume. Então (ver Fig. A.19):

Fluxo através de dS = ~C ·~n dS = ~C ·~n dS1 + ~C ·~n dS2 ,

~C ·~n dS2 > 0

~C ·~n dS1 < 0 . (A.70)

e portanto o fluxo através da superfície elementar é a diferença entre o fluxo que sai e ofluxo que entra.

334

Page 21: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

PSfrag replacementsdS1

dS2

~n

~n~C

Figura A.19: Fluxo através da superfície que limita o volume dV .

A . 6 O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S

No electromagnetismo têm um papel muito importante os chamados operadores diferen-ciais, gradiente, divergência, rotacional e laplaciano. Vamos nesta secção apresentar estesobjectos. Na tabela seguinte é feito um resumo das suas propriedades fundamentais, istoé, em que tipo de objectos matemáticos actuam e qual o resultado dessa operação.

Tabela A.1: Operadores diferenciais.

Operador Actua sobre Produz

Gradiente Campo escalar Campo vectorial

Divergência Campo vectorial Campo escalar

Rotacional Campo vectorial Campo vectorial

Laplaciano Campo escalar Campo escalar

Laplaciano Campo vectorial Campo vectorial

A.6.1 Gradiente

Definição

Consideremos o exemplo do campo escalar temperatura T (x, y, z) e que queremos calculara diferença de temperatura entre dois pontos vizinhos ~r′ e ~r. Definimos:

∆~r = ~r′ − ~r ≡ (∆x,∆y,∆z) . (A.71)

335

Page 22: Apêndice eletro

OPERADORES D IFERENCIA I S

Então,

∆T = T (~r′)− T (~r)

=∂T

∂x∆x+

∂T

∂y∆y +

∂T

∂z∆z , (A.72)

onde desprezámos termos de ordem superior, por considerarmos que os pontos se encon-tram infinitesimalmente próximos.

Como a diferença de dois campos escalares continua a ser um campo escalar, ∆T éum campo escalar. Por sua vez, ∆~r ≡ (∆x,∆y,∆z) é um vector, o que nos permiteinterpretar (∂T∂x ,

∂T∂y ,

∂T∂z ) como as componentes dum campo vectorial, pois o produto

interno de dois vectores é uma quantidade escalar. A este campo vectorial dá-se o nomede gradiente. Por definição:

grad T =∂T

∂x~ex +

∂T

∂y~ey +

∂T

∂z~ez , (A.73)

pelo que tem lugar a igualdade

∆T = grad T ·∆~r . (A.74)

Aquilo que acabamos de fazer para a temperatura é válido obviamente para qualquercampo escalar. A componente do gradiente dum campo escalar segundo uma dada di-recção é portanto a taxa de variação desse campo nessa direcção.

Operador nabla

É conveniente por vezes introduzir um operador diferencial vectorial, chamado nabla, deacordo com definição

~∇ ≡ (∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z) . (A.75)

Em termos deste operador, o gradiente dum campo escalar arbitrário φ(x, y, z) escreve-se

grad φ ≡ ~∇ φ . (A.76)

No seguimento necessitaremos de algumas propriedades do gradiente, que vamos mostrar.

Gradiente duma distância

Consideremos dois pontos ~r = (x, y, z) e ~r′ = (x′, y′, z′). A distância entre ~r e ~r′ é umcampo escalar, que designamos por R:

R = |~r − ~r′| =√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2 (A.77)

336

Page 23: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

Este campo escalar tanto pode ser encarado como uma função de ~r = (x, y, z) para ~r′

fixo como uma função de ~r′ para ~r fixo. Calculemos o gradiente, primeiro, em relação àscoordenadas de ~r:

~∇~rR =x− x′R

~ex +y − y′r

~ey +z − z′R

~ez

=~r − ~r′R

= ~eR , (A.78)

onde

~eR =~r − ~r′|~r − ~r′|

(A.79)

é o versor unitário na direcção de ~r − ~r′. Se calcularmos o gradiente em relação àscoordenadas do ponto ~r′, obtemos

~∇~r′R = −x− x′

R~ex −

y − y′R

~ey −z − z′R

~ez = −~r − ~r′R

= −~eR , (A.80)

isto é,~∇~rR = −~∇~r′R , (A.81)

o que constitui um resultado muito importante.

~∇φ é perpendicular às superfícies φ = constante

Consideremos uma superfície tal que φ(x, y, z) = constante e sobre ela dois pontos ~r e~r′ infinitesimalmente próximos. Então, ∆φ = ~∇φ ·∆~r, onde ∆~r = ~r′ − ~r. Mas se sobrea superfície temos φ = constante, então ∆φ = 0, ou seja,

~∇φ ·∆~r = 0 , (A.82)

para qualquer direcção sobre a superfície. Esta equação só pode ser satisfeita, se ~∇φ forperpendicular à superfície.

Integral de linha do gradiente

Dado um campo vectorial arbitrário ~C(x, y, z), dá-se o nome de integral de linha docampo vectorial ~C ao longo da linha Γ~a,~b (com início no ponto localizado no vector ~a e

fim no ponto correspondente ao vector ~b) ao integral:

Integral de Linha =

Γ~a,~b

~C · d~ . (A.83)

337

Page 24: Apêndice eletro

OPERADORES D IFERENCIA I S

O integral de linha do gradiente goza duma propriedade importante, que é o ser inde-pendente do caminho, dependendo somente do valor da função nos pontos final e inicial.Este resultado pode ser posto no seguinte

Teorema A.2

O integral do gradiente da função φ ao longo da linha Γ~a,~b, com início no ponto localizado

pelo vector ~a e fim no ponto localizado pelo vector ~b é dado por∫

Γ~a,~b

~∇φ · ~d` = φ(~b)− φ(~a) , (A.84)

sendo independente do percurso entre ~a e ~b.Demonstração Vem directamente da Eq. (A.74).

A.6.2 Divergência

Definição

Num sistema de referência cartesiano define-se o operador divergência dum campo vec-torial ~C(x, y, z) pela relação

~∇ · ~C =∂Cx∂x

+∂Cy∂y

+∂Cz∂z

(A.85)

Da definição resulta que o operador divergência se aplica a campos vectoriais e produzum campo escalar.

Teorema da divergência

O conceito de divergência está intimamente ligado ao conceito de fluxo dum campovectorial. O teorema fundamental é o chamado teorema da divergência (ou de Gauss).

Teorema A.3

Seja S a superfície fechada que limita o volume V e seja ~n a normal positiva a S (exterior).Então, ∫

S

~C ·~n dS =

V

~∇ · ~C dV . (A.86)

Demonstração Dividimos o volume V em volumes elementares. Calculamos o fluxoatravés desses volumes elementares e aplicando o teorema 2 obtemos o fluxo através dasuperfície que limita o volume V somando todos esses fluxos elementares. Sem perda de

338

Page 25: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

x

y

z

PSfrag replacements

12

3

4

5

6

Figura A.20: Fluxo através das faces dum paralelepípedo.

generalidade, podemos considerar como volume elementar um paralelepípedo segundo oseixos, de arestas dx, dy e dz, conforme se indica na Fig. A.20.

O fluxo através da superfície limítrofe do paralelepípedo é a soma dos fluxos através dassuas faces (normal para o exterior). Portanto:

fluxo 1 = −Cy(1) dxdzfluxo 2 = Cy(2) dxdz (A.87)

e teremos

fluxo através de 1 e 2 = [Cy(2)− Cy(1)] dxdz =∂Cy∂y

dxdydz

fluxo através de 3 e 4 =∂Cz∂z

dxdydz

fluxo através de 5 e 6 =∂Cx∂x

dxdydz , (A.88)

e o fluxo através da superfície que limita o paralelepípedo é então

6∑

i=1

( ~C ·~n)idSi =(∂Cx∂x

+∂Cy∂y

+∂Cz∂z

)

dxdydz = ~∇ · ~C dV . (A.89)

Somando todos os fluxos através de todos os paralelepípedos elementares, obtemos ofluxo através da superfície que limita o volume V , que será

S

~C ·~n dS =

V

~∇ · ~C dV . (A.90)

339

Page 26: Apêndice eletro

OPERADORES D IFERENCIA I S

O significado físico da divergência é dado considerando um volume elementar dV limitadopor uma superfície elementar dS. Então,

~∇ · ~CdV = ~C ·~n dS . (A.91)

Como vimos para volumes suficientemente pequenos, ~C tem o mesmo sentido em todo ovolume, pelo que ~C ·~n dS representa a diferença entre os fluxos que saem e que entramno volume dV . A divergência é portanto a diferença entre o fluxo que sai e o fluxo queentra por unidade de volume.

A.6.3 Rotacional

Definição

Num sistema de referência cartesiano define-se o operador rotacional dum campo vectorial~C(x, y, z) como sendo o campo vectorial

~∇× ~C =

(∂Cz∂y− ∂Cy

∂z

)

~ex +

(∂Cx∂z− ∂Cz

∂x

)

~ey +

(∂Cy∂x− ∂Cx

∂y

)

~ez . (A.92)

Da definição resulta que o operador rotacional se aplica a campos vectoriais e produz umcampo vectorial denotado por ~∇× ~C.

Circulação dum campo vectorial

O significado do operador rotacional está ligado à circulação de vectores ao longo de con-tornos (linhas) fechados. Comecemos, então, por definir circulação dum campo vectorial~C(x, y, z):

Circulação =

Γ

~C · d~ , (A.93)

onde Γ é um contorno fechado. A circulação é feita no sentido do vector d~.

Consideremos o contorno fechado Γ e dividamos esse contorno em dois contornos Γ1 eΓ2 por meio da curva Γab (ver Fig. A.21).

Γ = Γa + Γb

Γ1 = Γa + Γab

Γ2 = Γb + Γab . (A.94)

Então temos o seguinte

340

Page 27: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

PSfrag replacements

Γa

Γb

Γab

Γ1

Γ2d~1

d~2

Figura A.21: Circulação em contornos fechados.

Teorema A.4

Γ

~C · d~=∮

Γ1

~C · d~+∮

Γ2

~C · d~ . (A.95)

Demonstração∫

Γ1

~C · d~=∫

Γa

~C · d~+∫

Γab

~C · d~1

Γ2

~C · d~=∫

Γb

~C · d~+∫

Γab

~C · d~2 , (A.96)

mas d~1 = −d~2, logo: ∮

Γ

~C · d~=∮

Γ1

~C · d~+∮

Γ2

~C · d~ . (A.97)

Notemos que as circulações em Γ1 e Γ2 são escolhidas para coincidirem com a circulaçãoem Γ nos troços comuns.

Teorema de Stokes

Esta propriedade das circulações de campos vectoriais é essencial para a demonstraçãodo seguinte teorema fundamental:

Teorema A.5

Seja S uma superfície aberta que se apoia sobre o contorno fechado Γ. Seja ~n a normalà superfície com o sentido definido pela progressão dum saca-rolhas que roda no sentido

341

Page 28: Apêndice eletro

OPERADORES D IFERENCIA I S

da circulação (regra do saca-rolhas), conforme se indica na Fig. A.22. Dado um campovectorial arbitrário ~C(x, y, z), temos

Γ

~C · d~=∫

S

(~∇× ~C

)·~n dS . (A.98)

PSfrag replacementsS

Γ

~n

Figura A.22: Superfície aberta S que se apoia no contorno Γ.

Demonstração Dividimos o contorno Γ em contornos elementares e calculamos acirculação ao longo desses contornos elementares. Pelo teorema anterior, a circulação aolongo de Γ obtem-se somando todas as circulações elementares.

Em vez de fazer a demonstração em geral, escolhemos um contorno particular ∆Γ, indi-cado na Fig. A.23.

PSfrag replacements

x

y

1

2

3

4

(x, y) (x+ dx, y)

(x, y + dy) (x+ dx, y + dy)

∆Γ

O

Figura A.23: Contorno rectangular ∆Γ.

342

Page 29: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

Então,∮

∆Γ

~C · d~= Cx(1)dx+ Cy(2)dy − Cx(3)dx− Cy(4)dy

= [Cy(2)− Cy(4)]dy − [Cx(3)− Cx(1)]dx

=

(∂Cy∂x− ∂Cx

∂y

)

dxdy

= (~∇× ~C)zdxdy . (A.99)

Mas a direcção z é a direcção normal ao plano do contorno (que foi escolhido ser o planoOxy). Logo:

∆Γ

~C · d~=∫

∆S

(~∇× ~C

)·~n dS . (A.100)

Para um contorno Γ considerado como a soma de contornos ∆Γ elementares, teremosentão: ∮

Γ

~C · d~=∫

S

(~∇× ~C

)·~n dS . (A.101)

Notas

1. A superfície S é qualquer superfície que se apoie em Γ.

2. As componentes de ~∇× ~C obtém-se por permutação cíclica

3. Mais facilmente o rotacional pode ser obtido pelas regras do produto externo

~∇× ~C =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~ex ~ey~ez

∂x

∂y

∂z

Cx Cy Cz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (A.102)

Do teorema de Stokes resulta a equivalência de duas das definições de campo vectorialconservativo. O rotacional de um campo vectorial ~C conservativo é igual a zero:

~∇× ~C = 0 , (A.103)

343

Page 30: Apêndice eletro

OPERADORES D IFERENCIA I S

se e só se a circulação desse campo ao longo de qualquer linha fechada Γ for igual a zero:

Γ

~C · d~r = 0 . (A.104)

De facto, se ~∇× ~C = 0, então a Eq. (A.104) resulta imediatamente do teorema de Stokes,Eq. (A.98). Mostremos, agora, que a Eq. (A.104) implica a Eq. (A.103). Escolhemosno ponto ~r = (x, y, z) uma superfície elementar ∆S(x) perpendicular ao eixo do x edelimitada pela linha ∆Γ(x) (ver Fig. A.24). Então,

0 =

∆Γ(x)

~C · d~r

=

∆S

(

~∇× ~C)

·~ex dS

'(

~∇× ~C)

x(x, y, z)

∆S(x)

dS

=(

~∇× ~C)

x(x, y, z) ∆S(x) , (A.105)

x

PSfrag replacements ∆Γ(x)~ex

∆S(x)

Figura A.24: Contorno ∆Γ.

e portanto no limite ∆S(x)→ 0 obtemos

(

~∇× ~C)

x(x, y, z) = 0 . (A.106)

De forma análoga se mostra a igualdade a zero das componentes do rotacional de ~C

segundo os eixos y e z, pelo que a Eq. (A.103) fica demonstrada.

344

Page 31: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

A.6.4 Laplaciano

Define-se o laplaciano dum campo escalar por lap Φ = ~∇ · ~∇Φ = ~∇~∇Φ ≡ ∇2Φ. Utiliza-remos indiferentemente as notações lap e ∇2. Em coordenadas cartesianas:

∇2Φ =∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2. (A.107)

O laplaciano dum campo escalar é um campo escalar. Pode definir-se também um lapla-ciano dum campo vectorial através da seguinte relação

∇2 ~C = ~∇(~∇ · ~C

)− ~∇×

(~∇× ~C

). (A.108)

Trata-se portanto dum campo vectorial. Em coordenadas cartesianas pode-se mostrarque

∇2 ~C = ∇2Cx ~ex +∇2Cy ~ez +∇2Cz ~ez . (A.109)

Noutros sistemas de coordenadas ter-se-á de usar a definição acima.

A.6.5 Identidades importantes

Reunimos a seguir algumas identidades importantes dos operadores diferenciais:

~∇(ΦΨ) = Φ~∇Ψ+Ψ~∇Φ

~∇ · (Φ ~C) = Φ ~∇ · ~C +(

~∇Φ)

· ~C

~∇× (Φ ~C) = Φ~∇× ~C +(

~∇Φ)

× ~C

(A.110)

~∇ ·(

~∇Φ)

= ∇2 Φ

~∇ ·(~∇× ~C

)= 0

(A.111)

e

~∇×(

~∇Φ)

= 0

~∇×(~∇× ~C

)= ~∇

(~∇· ~C

)−∇2 ~C .

(A.112)

345

Page 32: Apêndice eletro

OPERADORES D IFERENCIA I S

A.6.6 Coordenadas curvilíneas

Em algumas aplicações interessa escrever as expressões dos operadores diferenciais em co-ordenadas curvilíneas, normalmente coordenadas esféricas ou cilíndricas. Estes sistemasforam definidos nas Secções A.2.2 e A.2.3. Para escrever as expressões dos operado-res diferenciais num sistema arbitrário de coordenadas, é necessário ter em conta que avariação de comprimento d`i na direcção da variação de coordenadas ui é dada por

d`i = hi dui i = 1, 2, 3 , (A.113)

onde (u1, u2, u3) são as coordenadas curvilíneas. Então, podemos mostrar (refazendo asdeduções apresentadas no texto) os resultados seguintes:

(~∇Φ)i =1

hi

∂Φ

∂ui

~∇ · ~C =1

h1h2h3

[∂(C1h2h3)

∂u1+∂(C2h3h1)

∂u2+∂(C3h1h2)

∂u3

]

(~∇× ~C)1 =1

h2h3

[∂(h3C3)

∂u2− ∂(h2C2)

∂u3

]

. (A.114)

As outras componentes do rotacional obtêm-se por permutação cíclica dos índices. Olaplaciano é obtido a partir da sua definição. Usando os valores de hi para os diversossistemas de coordenadas:

Cartesianas Cilíndricas Esféricas

hx = 1 hρ = 1 hr = 1

hy = 1 hϕ = ρ hθ = r

hz = 1 hz = 1 hϕ = r sin θ

é fácil obter os resultados seguintes:

346

Page 33: Apêndice eletro

A MATEMÁTICA DO ELECTROMAGNET ISMO

— Coordenadas cartesianas

~∇Ψ =∂Ψ

∂x~ex +

∂Ψ

∂y~ey +

∂Ψ

∂z~ez

~∇ · ~C =∂Cx∂x

+∂Cy∂y

+∂Cz∂z

~∇× ~C =

(∂Cz∂y− ∂Cy

∂z

)

~ex +

(∂Cx∂z− ∂Cz

∂x

)

~ey

+

(∂Cy∂x− ∂Cx

∂y

)

~ez

∇2Ψ =∂2Ψ

∂x2+∂2Ψ

∂y2+∂2Ψ

∂z2. (A.115)

— Coordenadas cilíndricas

~∇Ψ =∂Ψ

∂ρ~eρ +

1

ρ

∂Ψ

∂ϕ~eϕ +

∂Ψ

∂z~ez

~∇ · ~C =1

ρ

∂ρ(ρCρ) +

1

ρ

∂Cϕ∂ϕ

+∂Cz∂z

~∇× ~C =

(1

ρ

∂Cz∂ϕ− ∂Cϕ

∂z

)

~eρ +

(∂Cρ∂z− ∂Cz

∂ρ

)

~eϕ

+1

ρ

[∂

∂ρ(ρCϕ)−

∂Cρ∂ϕ

]

~ez

∇2Ψ =1

ρ

∂ρ(ρ∂Ψ

∂ρ) +

1

ρ2∂2Ψ

∂ϕ2+∂2Ψ

∂z2. (A.116)

347

Page 34: Apêndice eletro

OPERADORES D IFERENCIA I S

— Coordenadas esféricas

~∇Ψ =∂Ψ

∂r~er +

1

r

∂Ψ

∂θ~eθ +

1

r sin θ

∂Ψ

∂ϕ~eϕ

~∇ · ~C =1

r2∂

∂r(r2Cr) +

1

r sin θ

∂θ(sin θCθ) +

1

r sin θ

∂Cϕ∂ϕ

~∇× ~C =1

r sin θ

[∂

∂θ(sin θCϕ)−

∂Cθ∂ϕ

]

~er

+

[1

r sin θ

∂Cr∂ϕ− 1

r

∂r(rCϕ)

]

~eθ +1

r

[∂

∂r(rCθ)−

∂Cr∂θ

]

~eϕ

∇2Ψ =1

r2∂

∂r(r2

∂Ψ

∂r) +

1

r2 sin θ

∂θ(sin θ

∂Ψ

∂θ)

+1

r2 sin2 θ

∂2Ψ

∂ϕ2. (A.117)

348

Page 35: Apêndice eletro

P RO B L E M A S A P Ê N D I C E A

A.1 Dada uma função f(x, y, z),

a) calcule o seu gradiente ~∇f ;

b) mostre que ~∇× ~∇f = 0;

c) calcule ~∇ · ~∇f .

A.2 Dado o vector

~A = Ax~ex +Ay~ey +Az~ez ,

a) calcule o seu rotacional ~∇× ~A;

b) mostre que ~∇ · (~∇× ~A) = 0.

A.3 Dado um vector ~A, mostre que

~∇× (~∇× ~A) = ~∇(~∇ · ~A)−∇2 ~A .

A.4 Dados os vectores ~A e ~B, mostre que

~∇× ( ~A× ~B) = ~A(~∇ · ~B)− ~B(~∇ · ~A)+ ( ~B · ~∇) ~A− ( ~A · ~∇) ~B .

A.5 Desenhe linhas de campo de umcampo vectorial tal que:

a) o seu rotacional seja nulo;

b) a sua divergência seja nula.

A.6 Dado o vector de posição

~r = x~ex + y ~ey + z ~ez ,

mostre que o teorema da divergência se ve-rifica, considerando para isso uma superfí-cie esférica centrada na origem e de raio R.

A.7 Considere o vector ~A = 10/3x3~ex. Ve-rifique o teorema da divergência, aplicando-o a um cubo de volume a3, de arestas pa-ralelas aos eixos e centrado na origem.

A.8 Dado o vector ~A = kr ~er, verifique oteorema da divergência no volume definidopor duas superfícies esféricas concêntricas,de raios R1 e R2 (R2 > R1).

A.9 Num redemoinho colocamos uma ro-lha de cortiça. Esta andará à roda em tornodo centro do redemoinho. Fazendo as hipó-teses simplificadoras que entender, deduzaa relação entre a velocidade angular ~ω e o~∇× ~v. Mostre que se obtém a mesma rela-ção aplicando o teorema de Stokes. Calcule~∇ ·~v.

A.10 Seja o campo ~A = x~ey. Represente~A graficamente e calcule o respectivo rota-cional. Estará ~∇× ~A ligado a algum movi-mento de rotação?

A.11 Considere o vector

~A = xy ~ex − 2x~ey

Verifique o teorema de Stokes sobre oquarto de círculo, de raio r = 3, situadono primeiro quadrante do plano (x, y)

A.12 Calcule a circulação do vector ~A =

(2x+ y)~ex + y ~ey + xz ~ez em torno do rec-tângulo indicado na figura.

PSfrag replacements

x

y

z

O

5

10

Γ

Verifique depois o teorema de Stokes.

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