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DERIVADAS PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS DERIVADAS O que significa a palavra derivada? Como calcular as derivadas?

Apostila 2 calculo i derivadas

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DERIVADAS

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS DERIVADAS O que significa a palavra derivada? Como calcular as derivadas?

Page 2: Apostila 2 calculo i derivadas

Quais as aplicações das derivadas? Vamos pensar um pouquinho!!!!! Para os curiosos acesse ao vídeo no youtube http://www.youtube.com/watch?v=3g9ZmAPJNGs&feature=player_embedded No inicio da disciplina vimos que dependendo da altura que dobramos a folha o volume da caixa se altera, agora vamos aprender que altura devemos dobra para ter volume máximo. x As dimensões da folha são 29,7 cm e 21 cm. a) Qual deve ser a altura de x para que a caixa tenha volume máximo. b) Calcular o volume máximo da caixa.

Outro problema:

Como traçar a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos?

Esse problema que desafiou os matemáticos por mais de dois mil anos, só foi solucionado com o auxílio da Geometria Analítica, por meio de estudos realizados por Descartes, Newton, Leibniz, Fermat e outros matemáticos da mesma época. Tais estudos resultaram em um dos mais importantes conceitos da matemática: a derivada de uma função em um ponto. A partir desse conceito pode-se definir precisamente a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos.

A derivada representa a inclinação de uma curva num ponto e pode ser usada para obter a equação da reta tangente a uma curva num determinado ponto. É também utilizada para calcular taxas de variação. Nas aplicações práticas, ela é aplicada em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia e etc.

A Derivada representa a taxa de variação de uma função contínua num ponto.

x

Page 3: Apostila 2 calculo i derivadas

Observando a taxa de crescimento de três funções:

Page 4: Apostila 2 calculo i derivadas
Page 5: Apostila 2 calculo i derivadas

DERIVADAS COMO TAXA DE VARIAÇÃO

Suponha que uma partícula se move sobre uma linha reta de modo que,

no final de t segundos, sua distância s em metros do ponto de partícula é dada por s = 3t2 + t. Calcule a velocidade da partícula no instante em que t = 2 segundos.

0t t 0ttt f( 0t ) f(t) )()( 0tftfs

t

s

2 5 14

2 4 14

2 3 14

2 2,5 14

2 2,2 14

2 2.1 14

2 2,01 14

2 2,001 14

Page 6: Apostila 2 calculo i derivadas

S = 3t2 +t ou

ds/dt = t

tfttf

t

s

s

)()(lim

0

= 6t + 1 Assim : ds = 6.2+1 = 13 m/s.

Outros exemplos:

1) Calcule as derivadas abaixo utilizando a definição.

a) 3)( xxf

b) 13)( 2 xxxf

c) 13

1)(

ttf

2) Encontre a inclinação da reta tangente à curva 652 xxy no ponto

)2,1(P .

3) Qual o declive da reta t tangente ao gráfico de f(x) = 12 x no ponto de

abscissa x = 2 ou seja no ponto ( 2,5). Represente esta situação graficamente.

Page 7: Apostila 2 calculo i derivadas

DEFINIÇÃO:

Dada uma função f, a função f ’ definida por:

f ’(x) = dy/dx = x

y

x

xfxxf

xx

limlim

00

)()(

é chamada de derivada de f. O domínio da função derivada f ’ é o conjunto de todos os números x no domínio de f para os quais o limite do quociente de diferença existe. Não esqueça que: Apenas admite derivada as funções contínuas.

A notação de derivada foi criada por Isaac Newton e Leibniz no século

XVII. Newton usou o s para denotar a taxa de variação no tempo t

s

t

lim

0

hoje escrevemos f ’(t) no tempo e f ’(x) para variável x. Leibniz idealizou

que o valor numérico da derivada é o limite de x

y

x

lim

0

escrito como dx

dy, isto

é,

')('lim0

yxfx

y

dx

dy

x

A notação f ’para derivada da função foi introduzida

por Lagrange no século XVIII. f ’ para derivada da função e f ’(x) para derivada do número x. Também podemos dizer que a derivada é a variação da razão incremental. A operação de calcular a derivada f ’ de uma função f é chamada diferenciação.

f xf x x f x

xx

' ( ) lim( ) ( )

0 Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio. A função derivada mede a inclinação da curva num ponto genérico de coordenadas (x,y). Outras notações podem ser usadas no lugar de )(' xfy :

1) )(xfDx (lê-se derivada de f(x) em relação a x)

2) yDx (lê-se derivada de y em relação a x)

3) dx

dy (lê-se derivada de y em relação a x)

Exercícios

1) Calcule a derivada da seguinte função, usando a definição: 252)( xxf .

2) Determinar a equação da reta tangente à curva 1)( 2 xxf no ponto P(1,2)

e esboce o gráfico.

Page 8: Apostila 2 calculo i derivadas

3) Calcule o coeficiente angular ou a inclinação da tangente ao gráfico da função

44)( 2 xxxf no ponto de abscissa 1.

Regra Geral de Derivação Até agora vimos como calcular a derivada de uma função f(x), por meio da definição. Entretanto, como esse processo é longo, estudaremos algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função. 1) Derivada de uma constante Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f '(x) = 0. Exemplos:

a) f(x) = 5 f ’(x) = 0

b) f(x) = -1/2 f ’(x) = 0 2) Regra da potência Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então f ’(x) = n . xn-1. Exemplos:

a) f(x) = x5 f ’(x) = 5x4

b) f(x) = x f ’(x) = 1

c) f(x) = x10 f ’(x) = 10x9

Obs.: Se q Q e f(x) = xq, então f ’(x) = q . xq-1 Exemplos:

a) f(x) = x-4 f ’(x) = -4x-4-1 f ’(x) = -4x-5 5

4)('

xxf

b f x

xf x x f x

x) ( ) ' ( ) ' ( )

18

88

9

9

x

xfxxfc2

1)('...)()

3

3

2

3

2)('...)()

xxfxxfd

5 45 4 5

4)('...

1)()

xxxf

xxfe

3) Derivada do produto de uma constante por uma função

Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c . f(x). Se f’(x) existe, então g’(x) = c . f ’(x).

Page 9: Apostila 2 calculo i derivadas

Exemplos:

a) f(x) = 8x2

b) g(z) = -2z7

4) Derivada de uma soma

Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f ’(x) e g’(x) existem, então h’(x) = f ’(x) + g’(x).

Exemplos:

a) f(x) = 3x4 + 8x +5 f ’(x) = 12x3 + 8

b) g(y) = 9y5 - 4y2 + 2y +7 g’(y) = 45y4 - 8y + 2 5) Derivada de um produto Sejam u e v funções e h a função definida por h = u.v. Se u’e v’existem, então h’(x) = uv’+u’v ou (uv)’=uv’+u’v. Exemplos: a) f(x) = ( 2x3 - 1 ) . ( x4 + x2 ) b) f(x) = x3 . ( 2x2 - 3x ) 6) Derivada de um quociente Sejam u e v funções e h a função definida por:

hu

v

Se u’e v’existem, então:

Page 10: Apostila 2 calculo i derivadas

h xvu uv

v' ( )

' '

2

(v 0) ou

u

v

vu uv

v

'

' '2

(v 0) Exemplos:

a f xx

x) ( )

2 5

4

b f xx

x) ( )

2

1

7) Derivada da função composta

y = uv então dy/dx = y’= v.uv-1.u’ Exemplos: a) y = (x2 + 5x + 2)7

b y x x) 6 5 123

6 - Derivadas das funções elementares 1) Derivada da função exponencial

f(x) = ax a>0 e a1 A função exponencial y = ax é derivável em todo ponto do seu domínio e y’= ax . lna . Em particular: Se y = ex então dy/dx = y’= ex.

Page 11: Apostila 2 calculo i derivadas

Fórmulas Gerais

1) y = au(x) y’= au(x). lna . u’(x)

2) y = eu(x) y’= eu(x) . u’(x) Exemplos:

1 24 2

)y x

2 4 3

)y e x x

3)y e x

4 4 2

) .y x e x 2) Derivada da função logarítmica

Se y = log a x (a>0, a1 e x>0) então ex

y alog1

' (a>0 e a1).

De modo geral: eu

uyuy aa log

''log

Caso Particular: Se x

yxy1

'ln

De modo geral: Se u

uyuy

''ln

Exemplos: a) y = ln (2x2+4x -3)

xxeyb ln.)

)173(log) 2

2 xxyc

Page 12: Apostila 2 calculo i derivadas

Derivada das funções trigonométricas

As funções senx, cosx, tgx, cotgx, secx e cosecx são deriváveis em todos os pontos do seu domínio.

a) Derivada da função seno

Se y = sen(x) então dy/dx= y ' = cos(x) De modo geral: Se y = sen u(x) então dy/dx = y ' = cos u(x) . u '(x) b) Derivada da função cosseno

Se y = cos(x) então y ' = dy/dx= -sen(x) De modo geral: Se y = cos u(x) então y ' = - sen u(x) . u '(x) c) Derivadas das demais funções trigonométricas

(tgx, cotgx, secx e cosecx) Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e do cosseno podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas.

Se y = tgx y ' = sec2x

Se y = cotgx então y ' = - cossec2x

Se y = secx então y ' = secx . tgx

Se y = cossecx então y ' = - cossecx . cotgx De modo geral

Se y = tg u(x) y ' = sec2 u(x) . u '(x)

Se y = cotg u(x) y ' = - cossec2 u(x) . u '(x)

Se y = sec u(x) y ' = sec u(x) . tg u(x) . u '(x)

Se y = cossec u(x) y ' = - cossec u(x) . cotg u(x) . u '(x) Exemplos: Determinar a derivada das seguintes funções: a) y = sen x2

xyb

1cos)

xgxtgyc 3cot3)

Page 13: Apostila 2 calculo i derivadas

gx

xyd

cot1

cos)

3) Derivada das funções trigonométricas inversas a) Função arco seno

21

''arcsen

u

uyuy

b) Função arco cosseno

21

''arccos

u

uyuy

c) Função arco tangente

21

''

u

uyarctguy

d) Função arco cotangente

21

''cot

u

uyguarcy

e) Função arco secante

1

''sec

2

uu

uyuarcy

f) Função arco cossecante

1

''secarccos

2

uu

uyuy

Exemplos: a) f(x) = arc sec x2 b) f(x) = arc sen (e2x)

Page 14: Apostila 2 calculo i derivadas

c) f(x) = ln (arc cosx)

d) y = arc tg

2

2

1

1

x

x

Calcule as derivadas abaixo: 1)Utilizando o formulário calcule as derivadas abaixo: a) f(x) = 1 – 4x2 b) f( x) =2x2 –x –1 c)f(x) = x d) f(x) = 3x +2

e) 2)( rrf f) f( w) = aw2 + b g) f(x) = 3x2 + 6x – 10

h) 3

2

114)( xxf i) f(x) = (2x + 1 ) ( 3x2 + 6)

j) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4) 1) l) )13)(1()( 2 xxxf

m) f( x) = 7(ax2+bx+c) n) 13

42)(

t

ttf o) 22)( wwf

p) f(x) = 30 q) f(x) = 3x r) f(x) = 5x s) x

xf2

)(

t) f(x) = 54

53

xx u) f(x) = xxx 2

2

3

3

1 23 v) f(t) = 1

153 2

t

tt

2) Use as regras básicas de derivação e encontre as seguintes derivadas.

a) f(x) = 12 x

x b) f (x) = xxx 53 35 c) f (x) = 122 x

d) f ( t ) = t

tt3

54 3 e) f ( x) = )4sen(52 xe xx

f) f ( x ) = )22ln( 2 xx g) f( x ) = 3 h) f(x) = 2 – x + x2.

Page 15: Apostila 2 calculo i derivadas

Segunda lista

2

2

22

3

63

763

11ln)

)42(log)

)5.()()

3

1)()

2)()

)()

2)

2

2

xxyg

xyf

xxexfe

exfd

xfc

exfb

eya

x

x

xx

x

xx

ttym

xx

gxfl

xexfj

xsenxyi

xyh

xxyg

x

3arccos.)

3seccos1

cot)()

3cos.)()

2.cos2)

1log)

11ln)

2

2

3

2

DERIVADAS SUCESSIVAS Problema: Uma partícula se move ao longo de um eixo de acordo com lei de movimento S = f(t). Encontre:

a) v = dt

ds b) a =

dt

dv para as funções abaixo

1) s = 23 2tt 2) s = 12 )1( t 3) s = 0

2

2stv

gto onde g,

vo e s são constantes

Notações de derivadas sucessivas

Y = f(x) Notação simplificada

Leibniz Operador

Derivada primeira Y’ = f ’(x) )(xf

dx

d

dx

dy

yDxfD xx )(

Derivada segunda Y’’ = f ’’(x) )(

2

22

xfdx

d

dx

yd

yDxfD xx22 )(

Derivada terceira Y’’’= f’’’(x) )(

3

33

xfdx

d

dx

yd

yDxfD xx33 )(

Derivada n-ésima )(xfy nn )(xf

dx

d

dx

ydn

nn

yDxfD x

nx

n )(

Exemplos:

1) Nos exercícios abaixo calcule a primeira e a segunda derivada.

a) 245 3 xxy b) 23 )2( xxy C) 45 27)( uuuf

d) x

xxg

2

2)( e) )

2()(

rrrf f)

3

2 1)(

tttf

Page 16: Apostila 2 calculo i derivadas

2) se f é uma função definida pela equação xxy 23 2 , calcule e

simplifique a expressão yxyyx 2'2''2

3) Seja s(t) = 23 6tt a função de posição de uma partícula movendo-se

ao longo de um eixo s, onde s(t) está em metros e t em segundos. Ache a aceleração instantânea a(t) e mostre o gráfico da aceleração versus o tempo.

4) Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que sua distância s(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de vôo é dada por s(t) = 6 + 2t + t2, na qual s(t) é contada em metros e t em segundos. Determine a velocidade do balão quando: a)t = 1; t = 4 , t = 8 APLICAÇÕES DA DERIVADA REGRA DE L’HOPITAL

Para as formas de indeterminação

;

0

0, pode-se aplicar a regra de

L’Hopital que consiste na igualdade:

)('

)('

)(

)(lim lim

00 xg

xf

xg

xf

xxxx

se

)()(

0)()(

00

00

xgxf

xgxf

Exemplos: Calcule os limites abaixo:

a) 2

4lim

2

2

x

x

x b)

3

lnlim

x

x

x c) x

x x)

11(lim

d)

1

1lim

7

1

x

x

x e)

234

125lim

3

4

xx

xx

x f)

2lim

2

3

xe

xxx

g) 5

252

5lim

x

x

x

h)

5

13lim

x

x

x

i) 2

522

2

lim

x

xx

x

OBS.: Não esquecer que a regra de L’Hopital só pode ser aplicada para os

casos de indeterminação

;

0

0

Page 17: Apostila 2 calculo i derivadas

FUNÇÃO MONÓTONA

Teorema 1 Considere que a função f seja definida e contínua no intervalo I e que f seja diferenciável em todo o ponto do intervalo em I, não necessariamente nos pontos extremos de I.

a) Se f ’(x) > 0 para todo x em I, então f é CRESCENTE em I; b) Se f ’(x) < 0 para todo x em I, então f é DECRESCENTE em I.

Exemplos: 1) Determine as intervalos crescentes e decrescentes das funções abaixo e represente graficamente

a) f(x) = 133 xx b) f(x) = 322 xx CONCAVIDADE DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Seja a função f duas vezes diferenciável num intervalo I aberto a) se f ’’ (x) > 0 para todo x em I então o gráfico de f possui concavidade

para cima em I; b) se f ’’ (x) < 0 pata todo x em I então o gráfico de f possui concavidade

para baixo em I; Conclusão: f ’’ (x) > 0 – concavidade para cima f ’’ (x) < 0 - concavidade para baixo Exemplos:

1) Dado a função f(x) = 20249 23 xxx , determine os intervalos em que o gráfico tem concavidade para cima e para baixo, esboce o gráfico.

2) Dado a função f(x) = 272

22

3 xx

x , determine:

a) Os intervalos crescente e decrescentes; b) Estude a concavidade da parábola.

VALORES MÁXIMOS E VALORES MÍNIMOS RELATIVOS

Page 18: Apostila 2 calculo i derivadas

A figura acima nos mostra o gráfico de uma função y = f(x), onde assinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3, x4.

Esses pontos são chamados pontos extremos da função. f(x1) e f(x3) são chamados máximos relativos e f(x2) e f(x4) são chamados mínimos relativos.

Diz-se que uma função y = f(x) tem um máximo relativo ou máximo local em x = a se f(a) é maior do que qualquer valor de f(x) para x, dentro de um intervalo em torno de a.

Diz-se que uma função y = f(x) tem um mínimo relativo ou mínimo local em x = a se f(a) é menor do que qualquer valor de f(x) para x, dentro de um intervalo em torno de a.

Observe que um máximo ou mínimo relativo de uma função é o seu máximo ou mínimo para um dado intervalo; o máximo ou mínimo absolutos de uma função em um intervalo maior pode ocorrer num ponto extremo do intervalo, ao invés de ocorrer em qualquer máximo ou mínimo relativo. Observações: a) Os máximos e os mínimos relativos de uma função denominam-se

extremos; b) Um máximo relativo pode ser menor que um mínimo relativo; c) Em um intervalo podem existir vários valores para os quais a função tem

valores extremos; d) A abscissa x0 onde a função tem um extremo denomina-se extremante. MÁXIMO RELATIVO:

Uma função f possui o máximo relativo ( o máximo local), em um ponto

c, se existe um intervalo aberto I contendo c tal que f seja definida em I e f( c) f ( x) seja verdadeira para todo x em I. MÍNIMO RELATIVO;

Uma função f possui um mínimo relativo ( ou mínimo local) em um

ponto c, tal que f seja definida em I e f(c ) f(x), seja verdadeira para todo x em I.

TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Seja a função f diferenciável no intervalo aberto I e suponha que c seja um ponto em I tal que f ’( c) =0 e f ” ( c) exista.

1) Se f ” ( c) > 0, então f possui um mínimo relativo em c; 2) Se f ” ( c) < 0, então f possui um máximo relativo em c.

Exemplos: Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada segunda. a) f(x) = 18x + 3x2 - 4x3

PONTO CRÍTICO

Diz-se que um ponto c é um ponto crítico para a função f quando f é definida em c, mas não é diferenciável em c, ou f ’ (c) = 0 Exemplo:

Page 19: Apostila 2 calculo i derivadas

1) Determine os pontos críticos da função 10323

)( 23

xxx

xf

PONTO DE INFLEXÃO: f ’’ (x) = 0

Um ponto ( c, f ( c) ) num intervalo é denominado ponto de inflexão do gráfico de uma função f se o gráfico tiver uma reta tangente nesse ponto e se houver um intervalo aberto I contendo o ponto c, tal que, para todo par de números reais a e b em I com a < c < b, f ’’ (a) e f ’’ ( b) existem e possuem sinais algébricos diferentes. Exemplos:

Dado a função f(x) = 53 23 xx , encontre: a) Intervalos crescentes e decrescentes; b) Concavidade do gráfico; c) Ponto máximo e ponto mínimo; d) Ponto de inflexão; e) Construa o gráfico.

3) Dado as funções abaixo determine todos os itens do exemplo anterior.

a) f(x) = xxx 96 23 b) g(x) = xx 22 c) g(x) = 234 1243 xxx

APLICAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

A teoria de máximos e mínimos permite resolver vários problemas concretos de Física, Geometria, Estatística em que se procuram: o menor custo, a maior área, o maior volume, a máxima altura, etc. DESAFIO: Vamos resolver o nosso problema da primeira aula: Tome uma folha de papel sulfite e intuitivamente ( por tentativa) dobre as laterais de modo que você obtenha uma caixa. Que altura deve ser dobrado para obter volume máximo? Com o professor mediante o cálculo pelas derivadas verifique quem conseguiu a maior aproximação. Agora vamos resolver o problema aplicando os conhecimentos da integral.

Outros exemplos: 1) Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de papelão medindo 8 cm de largura por 15 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine o comprimento x dos lados que devem ser cortados para confecção de uma caixa de volume máximo.

1) Uma lata cilíndrica de estanho sem tampa, tem volume de 5 cm 3.

Determine as dimensões se a quantidade de estanho para a fabricação da lata é mínima.

Page 20: Apostila 2 calculo i derivadas

2) Quais as dimensões de um retângulo de perímetro 48 cm que tem maior área? 3) Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de máximo volume possível, cortando um quadrado em cada canto, conforme indica a figura: As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm.

a) calcular x b) calcular o volume máximo da caixa

4) Considere todos os retângulos de 80 cm de perímetro. Determine as dimensões daquele que tem área máxima.

x

x

Page 21: Apostila 2 calculo i derivadas

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Supondo que a relação F ( x, y) = 0 é verificada para y = f ( x) , onde f

é derivável, pode –se achar f ’(x ) em função de f ( x) derivando a expressão F

( x, f(x )) = 0. Na prática escreve-se y’ em lugar de f’(x).

Dada uma equação na qual se estabelece y implicitamente como uma função

diferenciável de x, calcula-se dy/dx do seguinte modo:

Passo 1 :Diferencie ambos os membros da equação em relação a x, isto

é, aplique o operador d/dx aos dois membros da equação termo a termo. Ao

fazê-lo tenha em mente que y é encarado como uma função de x e use a

regra da cadeia quando necessário para diferenciar a expressão nas quais

figure y.

Passo 2 : O resultado do passo 1 será uma equação onde figure não

somente x e y, mas também dy/dx. Resolva tal equação para obter a derivada

desejada.

Exemplo: a) Use a diferenciação implícita para encontrar y’ :

1 ) 1643 3423 xyyxx

2) 0122 yx

3) 194

22

yx

4) 2244 yxyx

5) 12

2

2

2

b

y

a

x