DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS

PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO

DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO

Dado uma função y = f(x) derivável, denomina-se diferencial de uma função num ponto x e se indica por dy, ao produto de sua derivada nesse ponto pelo acréscimo arbitrário x da sua variável independente.

Seja uma função y = f(x) admitindo derivada em (a,b), sejam x e y os

acréscimos, da variável e da função.Chama-se diferencial da função f(x) correspondente ao acréscimo x ao produto da derivada f ’(x) pelo acréscimo

x e indicamos assim: dy = f ’(x) . x .

Leibniz visualizou dx e dy como sendo infinitésimos, isto é, quantidades que embora sejam não-nulas, são menores em magnitude do que qualquer quantidade finita. Ele imaginou que no limite x e y de alguma forma tornam-

se quantidades infinitesimais dx e dy, respectivamente de modo que o

quociente x

y

torna-se a derivada dy/dx. Pode-se se reescrever a equação

dy/dx = f ’(x) como dy = f ’(x) .dx.

Supõe-se dx = x , fica claro que dy é uma boa aproximação para y

desde

que x seja suficientemente pequeno.

Observe graficamente a diferença entre dy e y quando dx = x .

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Geometricamente a diferencial de f(x) representa a variação sofrida pela reta

tangente ao gráfico, do ponto x ao ponto x + x.

Pode-se calcular a diferença entre dy e y a qual denominamos , calculando

a fórmula

= | y - dy |

Exemplo1:

EXEMPLOS

1) Calcular aproximadamente 65 , sabendo que 864 e .)( xxf

2) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais. EXERCÍCIOS

1) Calcule um valor aproximado para 3 5,65 usando diferenciais.

2) Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 3cm a 3,1cm.

3) Calcule 4 13 , aproximadamente, usando diferenciais.

4)Calcular a variação do lado de um quadrado de l = 3cm, para que sua área sofra uma variação de 1 cm.

Introdução ao estudo das integrais

Situação 1:Vamos iniciar nossos estudos pensando em como calcular a érea sob a

parábola no intervalo[0,2] observada na figura.

Situação 2: Vamos pensar um pouco mais se a função derivada é representada pela

função:

12²3 xxdx

dy que função primitiva originou esta derivada?

Estas são apenas algumas situações que podem envolver o cálculo das integrais.

Para tanto precisamos ter domínio sobre as diferentes técnicas de determinação das

integrais.

Então vamos pensar um pouco sobre:

1) O que são as integrais?

2) Qual o significado das integrais?

Que estratégias você utiliza

para determinar está área?

Você conhece alguma fórmula

da geometria que permite o

cálculo desta região?

Na atualidade, as novas diretrizes da educação para o ensino superior,

apresentam-se voltada às discussões relacionadas com a necessidade de atualização da

educação a fim de impulsionar uma democratização social e cultural mais efetiva. Neste

contexto, o ensino superior deve preparar o graduando para atuar competentemente em

sua área de formação, proporcionando, durante o tempo de graduação, vivências

relacionadas com o contexto de atuação, possibilitando que este se defronte com

diferentes situações inerentes a sua futura profissão.

Portanto, a perspectiva metodológica está focada na articulação entre as disciplinas

evidenciando o equilíbrio entre as atividades teórico-práticas e nos projetos de

disciplina. Dessa forma, a prática pedagógica adotada na disciplina de Cálculo II,

deverá propiciar a construção do conhecimento a partir da participação do docente e do

discente nas atividades de ensino-aprendizagem.

Um pequeno recorte histórico:

A derivada e a integral definida exprimem-se em termos de certos processos de limite.

A noção de limite é a idéia inicial que separa o cálculo das partes mais elementares da

matemática. Isaac Newton(1642 –1727) e Gttfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716)

descobriram a ligação entre derivadas e integrais. Em razão disto e de suas outras

contribuições para o assunto, são considerados os inventores do cálculo. Muitos outros

matemáticos deram inúmeras contribuições para o seu desenvolvimento. Assim pode-se

considerar o cálculo como o estudo de limites, derivadas e integrais.

Na matemática aplicada ocorre freqüentemente que conhecemos a derivada de

uma função e desejemos encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a

velocidade ds/dt de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento s =

f(t), ou podemos querer achar a função lucro de um certo produto quando conhecemos a

margem de lucro. As soluções desses problemas necessitam que se desfaça a operação

de diferenciação, Istoé temos que anti diferenciar.

Assim, a integração indefinida é basicamente a operação inversa da

diferenciação.

No cálculo diferencial de uma função y = f(x), estudou-se a variação da função a

ser dado um acréscimo a variável independente x. No cálculo integral, conhecendo-se o diferencial dy = f ’(x)dx, isto é, obtém-se a função

primitiva através da operação chamada integração indefinida ou antidiferenciação.

Observem os gráficos das funções f(x) = x² - 1 g(x) = x² e h(x) = x² + 1,

cujo gráfico é observado a seguir:

Assim o que difere uma função da outra é a constante c, então vamos derivar estas

funções:

xdx

dy2 todas tem a mesma derivada ou seja, f ’(x) = x

dx

dy2

Mas se temos apenas a derivada da função como determinar a primitiva?

Este processo é o que vamos iniciar agora a integração indefinida ou primitivação de

uma função.

Este processo inverso é representado pelo símbolo ou sinal de integração

originado da letra S que para Leibniz era somatório de todos os infinitos e Johnn

Bernoulli denominava apenas de integração. Então a representação:

dxxf )( significa:

f(x) é a função integrando

dx serve para indicar a variável de integração que foi derivada.

CONCLUI-SE QUE:

De uma mesma diferencial resulta uma diferencial resulta uma família de

primitivas (curvas) que só diferem entre si por uma constante arbitrária C.

Assim:

CxFdxxf )()(

O processo de integração indefinida é o processo inverso da derivada , cada

regra ou fórmula de diferenciação fornecerá uma regra correspondente para a

integração.

Definição:

Se F(x) é uma primitiva de f(x) , a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da

função f(x) e é denotada por:

CxFdxxf )()(

Da definição da integrai indefinida decorre que:

1) )()(')()( xfxFCxFdxxf

2) dxxf )( representa uma família de funções, ou seja, a família de todas as

primitivas da função integrando.

PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS:

1) Proposição, sejam f, RIg : e k uma constante então:

a) dxxfkdxxkf )()(

Prova:

Seja F(x) uma primitiva de f(x). Então, Kf(x) é uma primitiva da Kf(x), pois

(KF(x))’=KF’(x)=Kf(x). dessa forma temos que:

1)()()( kcxkFcxFkdxxkf colocando k em evidência temos que

= dxxfkcxFk )(])([ 1

b) dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

Prova:

Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente então F(x) e G(x)

é uma primitiva da função (f(x) + g(x) ), pois [F(x) +G(x)]’ = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x)

Portanto,

cxGxFdxxgxf )]()([))()((

= 21)]()([ ccxGxF onde c = c1 + c2

])([])([ 21 cxGcxF

dxxgdxxf )()(

O processo de integração exige muita intuição, pois a partir da derivada

precisamos determinar a primitiva a partir das fórmulas de integração.

Inicialmente vamos estudar as integrais imediatas.

Exemplos:

1) Encontre as primitivas das funções abaixo:

a) dxx )1( 2 b) dxxx )13

2( 4 c) dxxx )3( 2

1

Recomendações importantes para iniciar o processo de integração:

1) Verifique se os expoentes estão todos de forma que podemos somar;

2) Identifique o tipo de função que será integrada.

3) Quando somar mais um no expoente e dividir no denominador não pode mais

aparecer o dx e deve aparecer o mais c;

4) Quando integrar todos os termos devem ser integrados.

Fórmula:

Cn

xdxx

nn

1

1

e n -1 e n R

Se n = -1 temos:

cxx

dxdx

xdxx ||ln

11 ou cu

u

du||ln

Exemplos:

1) Encontre a solução particular da equação diferencial dy = (x +1 ) dx que passa

pelos pontos:

a) P(2,6) b) P(1,-3)

2) Determine a lei do movimento s = f(t) a partir dos seguintes dados: a = 12 t , v = 3

quando t = 1 e s = 4

Outros exemplos:

Primeira lista

1) Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser

considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na cidade, qual será o

número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos?

2) Calcule as integrais abaixo:

a) dxxxx )1952( 23 b) dxxx )13(3 2

c) dpp

p )5

( 2 d) dxe x3

e) dxbax )( 2 f) due uu )52( g)

dxxx

)52

(2

x > 0

h) dwwww )3( 4

1

3

1

i) dxxx )532( 23 j) dgtg ))(cot)((

l) dxx

x

3

1 m) dxx

xe x )2ln

62( n) dxe xx )23( o)

2

2 12

x

xx

p) t

dt q) v

dv r) u

du s) p

dp t) dxe x

u) dtt2 v) dxx3 x dt3 w) dv z) dt

Segunda lista:

1) dxxx 22 )2(( 2)

dyy

yy)

12(

4

3) )1( 32 xx dx

4) dpqp 4215 5) dqqq )158( 3 6) dxxx )134( 23

7) dttt

)21

(2

8) dta 2 9 abdx 10) dtbat )(

11) duba )( 12) tdtb

a2

13 dxxx

)532

(23

14 dxx )13( 15) dxex x )2( 16) dxxxsen )cos()((

17) dxxx )10( 4,0 18) dtt 2)52( 19) dxx

x )1

(3

3

20) dxxx )13( 1,05 2 21)

dx

x)

3

2(

3

22) dxx)sec( 23) dxxg )(cot 24) dxex

xx )11

2(

25)

dxx

x2

2 1

Exercícios livro Diva p.246

As integrais definidas

Situações problemas:

1)Uma partícula se move sobre um eixo de tal forma que a sua velocidade no instante t é

tttv 2)( 2 m/s. Determine:

a) a distância total percorrida pela partícula no intervalo [0,3] esboce o

gráfico. R.: 8/3m

2) (MEC) Considere a área limitada pelo eixo dos x, pela parábola y = x2 e pela reta x

= b, b > 0. O valor de b para que essa área seja igual a 72 é:

http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/integraldefinida.pdf

Observe a figura abaixo:

Definir a área S delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo

eixo dos x e por retas x = a e x = b

Para isso fazemos partições do intervalo [a,b]isto é dividimos o intervalo [a,b]

em n subintervalos.Construímos um retângulo de base x e altura f( c ) conforme

figuras:

A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn é dada por:

Sn = 11)( xcf 22 )( xcf ...+ nn xcf )( =

n

ni

ii xcf )( esta soma é chamada de

soma de Riemann da função f(x). pode se observar que a medida que n cresce muito e

x torna-se muito pequeno, a soma das ares se aproximam da área S.

Definição: seja f(x) uma função contínua em [a,b]. a área sob a curva y = f(x) de a até

b, é definida por:

n

ni

iix

xcfA )(lim0

A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a

formalização matemática dos problemas das áreas.

Definição:

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida

de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

Onde: a é o limite inferior de integração;

b é o limite superior de integração;

f(x) é o integrando.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

1) PROPRIEDADE DA HOMOGENEIDADE

Seja c uma constante então

b

adxxcf )( = c

b

adxxf )(

Ex.: 3

1

3

1)1(2)1(2 dxxdxx

2) PROPRIEDADE ADITIVA

Sejam as funções f(x) e g(x) duas funções contínuas definidas no intervalo [a,b], então:

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

3) PROPRIEDADE POR COMPARAÇÃO

Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo [a,b] então se f(x) g(x) tem-se

b

a

b

adxxgdxxf )()(

4) PROPRIEDADE DA ADITIVIDADE GERAL NUM INTERVALO

Sejam a, b, c três números arbitrários tais que a < c < b então:

b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

5) PROPRIEDADE

Se a > b e f é integrável em [b , a] então

b

a

a

bdxxfdxxf )()(

Observe os seguintes casos:

Se representa a área entre as curvas, para

])([)( dxxfdxxfAb

c

c

a

,

c

a

b

cdxxfxgdxxgxfA ])()([)]()([

CONCLUINDO: Para calcular a integral definida de uma função f, no intervalo

[a,b], basta determinar sua primitiva F(x) se existir e realizar a operação F(b) – F(a).

Assim para calcular a área entre duas curvas f e g contínuas num intervalo dado

tem-se:

A = b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ conforme figura:

CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS

O cálculo da região entre curvas fica facilitado se seguirmos alguns passos:

1) Esboce a região e, então, trace uma reta vertical através do ponto de

referência estabelecido;

2) A região ficará delimitada pelas curvas dadas e pelos pontos de referência

que serão os limites;

3) Determine os limites de integração a partir dos pontos de intersecção ou

dos pontos estabelecidos no problema proposto, conforme o caso.

4) Calcule as integrais solicitadas e depois substitua o limite superior menos a

substituição do limite inferior.

1) Expresse como integral definida as seguintes áreas como integrais definida sem

resolvê-las.

Exemplos:

a) 3

0)1( dxx b)

3

1

2 )1( dxx c) x

dttt0

2 )2(

Calcule as áreas das figuras representadas nas figuras abaixo:

1)

a) b) c) d)

Exercícios:

1)Calcule as integrais definidas abaixo:

a) 1

1

2 )23( dxxx b) 2

1 23)

11( dx

xx c)

3

1

3 )1( dxx

d) 3

2)13( dxx e)

3

213 dxx f)

0 2x

dx g)

1

0

3 )3( dxx

h) 3

0dxxe x i)

0dxe x

Outros exercícios

a)

2

2

23

dx1x7x23

x R : - 6,667

b) 4

0dx)1x2( R : 8,667

c) 2

1dx)1x6( R : 8

d) 2

1

3 dx)x1(x R : 10

81

APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA

As integrais definidas podem ser usadas para determinação de áreas de regiões

planas, cálculo de volume de sólido de revolução, comprimento de arco, suprimento

para consumo, fluxo de sangue, cálculo do trabalho, energia, etc.

Ex.:

1) Calcular a área sob a curva f(x) = x no intervalo [0,3], esboce o gráfico.

2) Calcular a área delimitada pelas curvas abaixo conforme cada caso especificado.

a) y = 2x e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2.

b) y = x2 e y = x , x = ¼ e x = 1

c) y = 4x – x2 e o eixo 0x; R.: 32/3

d) y = x3 - 4x e y = 0 x=0 e x = 2

e) y = cos(x) o eixo 0x de x =0 até x = 2

f) y = ex , x = 0, x = 1 e y = 0. R.: e – 1

g) y = lnx , y = 0 e x = 2;

j) y = 2

6

1x e y = 6 R.: 48

l) y = x3 – x e y = 0 R.: ½

m) y = sen(x) e y = cos(x) [0,2] R .: 4 2