Apostila de português e matemática - Concurso Petrobras

APOSTILACONCURSO

CARGO:

TÉCNICO DE OPERAÇÃO JÚNIOR

Português - MatemáticaDireitos Reservados

CENTER7 - ELABORAÇÃO DE APOSTILASMaterial Exclusivo.

INDÍCE

PORTUGUÊS

Compreensão, Interpretação e Reescritura de Textos................................................................ 03Tipologia Textual....................................................................................................................... 11Paráfrase, Perífrase, Síntese e Resumo.......................................................................................14Significação Literal e Contextual de Vocábulos.........................................................................17Processos Coesivos de Referência..............................................................................................20Coordenação e Subordinação......................................................................................................21Emprego, Estrutura, Formação e Representação de Palavras.................................................... 27Ortografia Oficial........................................................................................................................33Pontuação.................................................................................................................................. .41Concordância..............................................................................................................................48Regência.................................................................................................................................... 60Crase ..........................................................................................................................................72Significação das palavras (Semântica).......................................................................................80Colocação pronominal................................................................................................................81

MATEMÁTICA

Conjuntos Numéricos................................................................................................................79Sistema Legal de Medidas........................................................................................................ 92Razões e Proporções..................................................................................................................96Equações e Inequações do 1º e de 2 º Graus............................................................................121Sistemas Lineares.....................................................................................................................146Funções e Gráficos...................................................................................................................113Noções de Estatística...............................................................................................................154Progressões Aritméticas e Geométricas...................................................................................157Matemática Financeira.............................................................................................................171Princípios de Contagem e Probabilidade.................................................................................174Geometria Plana.......................................................................................................................179Geometria Espacial..................................................................................................................203Álgebra e Trigonometria Básicos.............................................................................................247

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Compreensão, Interpretação e Reescriturade Textos

As questões de interpretação de textos vêm ganhandoespaço nos concursos públicos. Também é a partir detextos que as questões normalmente cobram a aplicaçãodas regras gramaticais nos grandes concursos de hoje.Por isso, é cada vez mais importante observar oscomandos das questões. Normalmente o candidato éconvidado a:• idenficar:Reconhecer elementos fundamentais apresentados notexto.• comparar:Descobrir as relações de semelhanças ou de diferençasentre situações apresentadas no texto.• comentar:Relacionar o conteúdo apresentado com uma realidade,opinando a respeito.• resumir:Concentrar as idéias centrais em um só parágrafo.• parafrasear:Reescrever o texto com outras palavras.• continuar:Dar continuidade ao texto apresentado, mantendo amesma linha temática.

Por isso, consideramos que são condições básicaspara o candidato interpretar textos: o conhecimentohistórico (aí incluída a prática da leitura), o conhecimentogramatical e semântico (significado das palavras, aíincluídos homônimos, parônimos, sinônimos, denotação,conotação), e a capacidade de observação, de síntese ede raciocínio.

Roteiro para interpretar textos:.

1. Ler atentamente todo o texto, procurando focalizarsua idéia central.2. Interpretar as palavras desconhecidas através docontexto.3. Reconhecer os argumentos que dão sustentação àidéia central.4. Identificar as objeções à idéia central;5. Sublinhar os exemplos que forem empregadoscomo ilustração da idéia central.6. Antes de responder às questões, ler mais de umavez todo o texto, fazendo o mesmo com o enunciado decada questão.7. Evite responder “de cabeça”. Procure localizar aresposta no texto.8. Se preferir, faça anotações à margem ouesquematize o texto.9. Se o comando pede a idéia principal ou tema,normalmente deve situar-se no primeiro parágrafo(introdução) ou no último (conclusão).10. Se o comando busca argumentação, develocalizar-se os parágrafos intermediários(desenvolvimento).

Erros comuns de interpretação:

EXTRAPOLAÇÃO (viagem):

• Ocorre quando o candidato sai do contexto,acrescentando idéias que não estão no texto,normalmente porque já conhecia o tema por uso desua imaginação criativa.• Portanto, é proibido viajar.

REDUÇÃO:

• É o oposto da extrapolação.• Dá-se atenção apenas a um ou outro aspecto,esquecendo-se de que o texto é um conjunto deidéias.

CONTRADIÇÃO:

• É comum as alternativas apresentarem idéiascontrárias às do texto, fazendo o candidato chegar aconclusões equivocadas, de modo a errar a questão.• Portanto, internalize as idéias do autor e ponha-se no lugar dele.• Só contradiga o autor se isso for solicitado nocomando da questão. Exemplo: “Indique a alternativaque apresenta idéia contrária à do texto”.

INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS

A Interpretação de Textos e os ModernosVestibulares

Interpretar exige raciocínio, discernimento ecompreensão do mundo.

A interpretação de textos é de fundamentalimportância para o vestibulando. Você já se perguntoupor quê? Há alguns anos, as provas de Português,nos principais vestibulares do país, traziam uma frase, edela faziam-se as questões. Eram enunciadossoltos, sem conexão, tão ridículos que lembravammuito aquelas frases das antigas cartilhas: "Ivo viu auva". Os tempos são outros, e, dentro das modernastendências do ensino de línguas, fica cada vez maisclaro que o objetivo de ensinar as regras da gramáticanormativa é simplesmente o texto. Aprendem-se asregras do português culto, erudito, a fim de melhorar aqualidade do texto, seja oral, seja escrito.

Nesse sentido, todas as questões são extraídas detextos, escolhidos criteriosamente pelas bancas, em

função da mensagem/conteúdo, em função da estruturagramatical. Ocorrem casos de provas contextualizadas,em que todos os textos abordam o mesmo assunto, ouseja, provas monotemáticas - exemplo adotado pelaPUC/RS. Por sua vez, a Unisinos prefere o tema úniconas 50 questões de humanas (Português, LínguaEstrangeira, Geografia e História ).

Dessa maneira, fica clara a importância do texto comoobjetivo último do aprendizado de língua.

Quais são os textos escolhidos?

Textos retirados de revistas e de jornais de circulaçãonacional têm a preferência. Portanto, o romance, apoesia e o conto são quase que exclusividade dasprovas de Literatura (que também trabalhaminterpretação, por evidente). Assim, seria interessanteobservar as características fundamentais dessesprodutos da imprensa.

Os Artigos

São os preferidos das bancas. Esses textos autoraistrazem identificado o autor. Essas opiniões são deexpressa responsabilidade de quem as escreveu -chamado aqui de articulista - e tratam de assunto darealidade objetiva, pautada pela imprensa. Vejamos umexemplo: um dado conflito eclode em algum ponto doplaneta (a todo o instante surge algum), e o professorDécio Freitas, historiador, abordará, em seu artigo emZH, os aspectos históricos do embate. Portanto, ostemas são, quase sempre, bem atuais.Trata-se, em verdade, de texto argumentativo, no qual oautor/emissor terá como objetivo

convencer o leitor/receptor. Nessa medida,é idêntico à redação escolar, tendo a

mesma estrutura: introdução,desenvolvimento e conclusão.

Exemplo de Artigo

“Os nomes de quase todas as cidades que chegam ao fimdeste milênio como centros culturais importantes seriamfamiliares às pessoas que viveram durante o final do séculopassado. O peso relativo de cada uma delas pode ter variado,mas as metrópoles que contam ainda são basicamente asmesmas: Paris, Nova Iorque, Berlim, Roma, Madri, SãoPetesburgo.”

(Nelson Archer - caderno Cidades, Folha de S. Paulo,02/05/99)

Os Editoriais

Novamente, são opinativos, argumentativos e possuemaquela mesma estrutura. Todos os jornais e revistas têmesses editoriais. Os principais diários do país produzem

três textos desse gênero. Geralmente um deles trataráde política; outro, de economia; um outro, de temasinternacionais. A diferença em relação ao artigo é que oautor, o editorialista, não expressa sua opinião,apenas serve de intermediário para revelar o ponto devista da instituição, da empresa, do órgão decomunicação. Muitas vezes, esses editoriais sãoproduzidos por mais de um profissional. O editorialistaé, quase sempre, antigo na casa e, obviamente, daconfiança do dono da empresa de comunicação. Ostemas, por evidente, são a pauta do momento, osassuntos da semana.

As Notícias

Aqui temos outro gênero, bem diverso. As notíciassão autorais, isto é, produzidas por um jornalistaclaramente identificado na matéria. Possuem umaestrutura bem fechada, na qual, no primeiro parágrafo(também chamado de lide), o autor deve responder àscinco perguntinhas básicas do jornalismo: Quem?Quando? Onde? Como? E por quê?

Essa maneira de fazer texto atende a uma regra dojornalismo moderno: facilitar a leitura. Se oleitor/receptor desejar mais informações sobre anotícia, que vá adiante no texto. Fato é que, lendoapenas o parágrafo inicial, terá as informaçõesbásicas do assunto. A grande diferença em relação aoartigo e ao editorial está no objetivo. O autor querapenas "passar" a informação, quer dizer, não buscaconvencer o leitor/receptor de nada. É aquele textoque os jornalistas chamam de objetivo ou isento,despido de subjetividade e de intencionalidade.

Exemplo de Notícia

“O juiz aposentado Nicolau dos Santos Neto, ex-presidentedo Tribunal Regional do Trabalho de São Paulo, negou-se aresponder ontem à CPI do judiciário todas as perguntassobre sua evolução patrimonial. Ele invocou a Constituiçãopara permanecer calado sempre que era questionado sobreseus bens ou sobre contas no exterior.”

(Folha de S. Paulo, 05/05/99)

As Crônicas

Estamos diante da Literatura. Os cronistas nãopossuem compromisso com a realidade objetiva. Elesretratam a realidade subjetiva. Dessa maneira, RubemBraga, cronista, jornalista, produziu, por exemplo, umtexto abordando a flor que nasceu no seu jardim. Nãoimporta o mundo com suas tragédias constantes, massim o universo interior do cronista, que nada mais é doque um fotógrafo de sua cidade. É interessanteverificar que essas características fundamentais dacrônica vão desaparecendo com o tempo. Não há, por



exemplo, um cronista de Porto Alegre (talvez o últimodeles tenha sido Sérgio da Costa Franco).

Se observarmos o jornal Folha de S. Paulo, teremos,junto aos editoriais e a dois artigos sobre política oueconomia, uma crônica de Carlos Heitor Cony,descolada da realidade, se assim lhe aprouver (Cony,muitas vezes, produz artigos, discutindo algo darealidade objetiva). O jornal busca, dessa maneira,arejar essa página tão sisuda. A crônica é isso: umajanela aberta ao mar. Vale lembrar que o jornalismo, aoseu início, era confundido com Literatura. Um textosobre um assassinato, por exemplo, poderia começarassim: " Chovia muito, e raios luminosos atiravam-se àterra. Num desses clarões, uma faca surge das trevas..."Dá-se o nome de nariz de cera a essas matériasempoladas, muito comuns nos tempos heróicos dojornalismo.

Sobre a crônica, há alguns dados interessantes.Considerada por muito tempo como gênero menor daLiteratura, nunca teve status ou maioresreconhecimentos por parte da crítica. Muitos autoresfamosos, romancistas, contistas ou poetas, produziramexcelentes crônicas, mas não são conhecidos por isso.Carlos Drummond de Andrade é um belo exemplo. Pelagrandeza de sua poesia, o grande cronista do cotidianodo Rio de Janeiro foi abafado. O mesmo pode-se falar deOlavo Bilac, que, no início do século passado,passou a produzir crônicas num jornal carioca, emsubstituição a outro grande escritor, Machado de Assis.

Essa divisão dos textos da imprensa é didática eobjetiva esclarecer um pouco mais o vestibulando. Noentanto, é importante assinalar que os autoresmodernos fundem essa divisão, fazendo um trabalhomisto. É o caso de Luis Fernando Veríssimo, que oratrabalha uma crônica, com os personagens conversandoem um bar, terminando por um artigo, no qual fazcríticas ao poder central, por exemplo. Martha Medeiros,por seu turno, produz, muitas vezes, um artigo,revelando a alma feminina. Em outros momentos, fazuma crônica sobre o quotidiano.

Exemplo de Crônica“Quando Rubem Braga não tinha assunto, ele abria a janela e

encontrava um. Quando não encontrava, dava no mesmo, eleabria a janela, olhava o mundo e comunicava que não haviaassunto. Fazia isso com tanto engenho e arte que também dava nomesmo: a crônica estava feita.Não tenho nem o engenho nem a arte de Rubem, mas tenho avaranda aberta sobre a Lagoa - posso não ver melhor, masvejo mais. Otto Maria Carpeaux não gostava do gênero"crônica", nem adiantava argumentar contra, dizer, porexemplo, que os cronistas, uns pelos outros, escreviam bem.Carpeaux lembrava então que escrever é verbo transitivo, pedeobjeto direto: escrever o quê? Maldade do Carpeaux. (...) NelsonRodrigues não tinha problemas. Quando não havia assunto,ele inventava. Uma tarde, estacionei ilegalmente o Sinca-Chambord na calçada do jornal. Ele estava com o papel namáquina e provisoriamente sem assunto. Inventou que eu desciade um reluzente Rolls Royce com uma loura suspeita, masequivalente à suntuosidade do carro. Um guarda nos

deteve, eu tentei subornar a autoridade com dinheiro, oguarda não aceitou o dinheiro, preferiu a loura. Eu fiqueisem a multa e sem a mulher. Nelson não ficou sem assunto.”

A interpretação serve para Química!Responda rápido a uma pergunta: O que há emcomum entre os vestibulandos aprovados nosprimeiros lugares? Será que possuem semelhanças?Sim, de fato, o que os identifica é a leitura e acuriosidade pelo mundo que os cerca. Eles lêembastante, e lêem de tudo um pouco. As instituições deensino superior não querem mais aquele aluno quedecora regrinhas. Elas buscam o cidadão que possuileitura e conhecimento de mundo. Nesse aspecto, asquestões, inclusive das provas de exatas, muitasvezes pedem criticidade e compreensão deenunciados. Quantas vezes você, caro vestibulando,não errou uma questão de Física ou de Biologia pornão entender o que foi pedido. Pois estamos falandode interpretação de textos. A leitura e a interpretaçãotornam-se, dessa maneira, exigência de todas asdisciplinas. E não pense que essa capacidade críticade entender o texto escrito (e até falado) éexclusividade do vestibular. Quando você for buscaruma vaga no mercado de trabalho, a criticidade, acapacidade de comunicação e de compreensão domundo serão atributos importantesnessaconcorrência. Lembre-se disso na hora de planejar osestudos para os próximos vestibulares.

Instruções Gerais

Em primeiro lugar, você deve ter em mente queinterpretação de textos em testes de múltipla escolhapressupõe armadilhas da banca. Isso significa dizerque as questões são montadas de modo a induzir oincauto e sofrido vestibulando ao erro. Nesse sentido, éimportante observar os comandos da questão (deacordo com o texto, conforme o texto, segundo oautor...). Se forem esses os comandos, você deve-selimitar à realidade do texto. Muitas vezes, asalternativas extrapolam as verdades do texto; ou aindadiminuem essas mesmas verdades; ou fazemafirmações que nem de longe estão no texto.

Exemplo de Editorial

UFRGS - 1998Em 1952, inspirado nas descrições do viajante Hans

Staden, o alemão De Bry desenhou as cerimônias decanibalismo de índios brasileiros. São documentos de altovalor histórico (...)

Porém não podem ser vistos como retratos exatos: o artista,sob influência do Renascimento, mitigou a violênciaantropofágica com imagens idealizadas de índios, queganharam traços e corpos esbeltos de europeus. As índiasficaram rechonchudas como as divas sensuais do pintorholandês Rubens.No século XX, o pintor brasileiro Portinari trabalhou omesmo tema. Utilizando formas densas, rudes e nada



idealizadas, Portinari evitou o ângulo do colonizador eprocurou não fazer julgamentos. A Antropologia persegue amesma coisa: investigar, descrever e interpretar as culturas emtoda a sua diversidade desconcertante.Assim, ela é capaz de revelar que o canibalismo é umaexperiência simbólica e transcendental - jamais alimentar.Até os anos 50, waris e kaxinawás comiam pedaços doscorpos dos seus mortos. Ainda hoje, os ianomâmis misturam ascinzas dos amigos no purê de banana. Ao observar essesrituais, a Antropologia aprendeu que, na antropogafia quechegou ao século XX, o que há é um ato amoroso e religioso,destinado a ajudar a alma do morto a alcançar o céu. ASUPER, ao contar toda a história a você, pretende superar osolhares preconceituosos, ampliar o conhecimento que osbrasileiros têm do Brasil e estimular o respeito às culturasindígenas. Você vai ver que o canibalismo, para os índios, étão digno quanto a eucaristia para os católicos. É sagrado.

(adaptado de: Superinteressante, agosto, 1997, p.4)

Questão 15 da prova de 98

Considere as seguintes informações sobre o texto:I - Segundo o próprio autor do texto, a revista tem comoúnico objetivo tornar o leitor mais informado acerca dahistória dos índios brasileiros.II - Este texto introduz um artigo jornalístico sobre ocanibalismo entre índios brasileiros.III - Um dos principais assuntos do texto é a história daarte no Brasil.Quais são corretas?

a) Apenas I b)Apenas II c)Apenas IIId) Apenas I e IIIe) Apenas II e IIIResposta correta: BComentários:

A afirmação I usa a palavra único, o vestibulando devecuidar muito com essa palavrinha, geralmente ela trazuma armadilha. A afirmação reduz o texto, que vai bemalém de ter como único objetivo informar sobre a históriados índios. Aliás, não é a história dos índios, mas sim daantropofagia deles.

A afirmação III está erradíssima, pois a história da arteestá longe de ser um dos assuntos principais do texto.

Essas afirmações da banca merecem algumasobservações. Em primeiro lugar, a afirmação I diz:"Segundo o próprio autor do texto". Mas quem é esseautor, tendo em vista que se trata de editorial? Não háum autor expresso. A afirmação II, considerada comocerta, traz uma imprecisão. O texto não introduz umartigo jornalístico. Como vimos, artigo é bem diferente. Oeditorial introduz matéria ou reportagem, nunca umartigo. Percebe-se aqui que os professores que

elaboraram o texto desconhecem a tipologia e anomenclatura textual do moderno jornalismo.

Testes

Vamos aproveitar os textos das provas da UFRGS2000 e 1999, para formularmos algumas questõesbem emblemáticas em relação à interpretação detextos.

Questão 1Qual das alternativas abaixo é a correta:

UFRGS 2000No Brasil colonial, os portugueses e suas autoridadesevitaram a concentração de escravos de uma mesma etnianas propriedades e nos navios negreiros.

A) Os portugueses impediram totalmente a concentração deescravos de mesma etnia nas propriedades e nos naviosnegreiros.Essa política, a multiplicidade lingüística dos negros e ashostilidades recíprocas que trouxeram da Áfricadificultaram a formação de núcleos solidáriosqueretivessem o patrimônio cultural africano, incluindo-se aí apreservação das línguas.

B) A política dos portugueses foi ineficiente, pois apenas amultiplicidade cultural dos negros, de fato, impediu aformação de núcleos solidários.Os negros, porém, ao longo de todo o período colonial,tentaram superar a diversidade de culturas que os dividia,juntando fragmentos das mesmas mediante procedimentosdiversos, entre eles a formação de quilombos e a realizaçãode batuques e calundus. (...)

C) A única forma que os negros encontraram para impediressa ação dos portugueses foi formando quilombos erealizando batuques e calundus.As autoridades procuraram evitar a formação desses núcleossolidários, quer destruindo os quilombos, que causavampavor aos agentes da Coroa - e, de resto, aos proprietários deescravos em geral -, quer reprimindo os batuques e oscalundus promovidos pelos negros. Sob a identidadecultural, poderiam gerar uma consciência danosa para aordem colonial. Por isso, capitães-do-mato, o JuízoEclesiástico e, com menos empenho, a Inquisição foramcolocados em seu encalço.D) A Inquisição não se empenhou em reprimir a cultura dosnegros, porque estava ocupada com ações maiores.Porém alguns senhores aceitaram as práticas culturaisafricanas - e indígenas - como um mal necessário àmanutenção dos escravos. Pelo imperativo de convertê-losao catolicismo, ainda, alguns clérigos aprenderam as línguasafricanas, como um jesuíta na Bahia e o padre Vieira, ambosno Seiscentos. Outras pessoas, por se envolverem no tráficonegreiro ou viverem na África - como Matias Moreira,residente em Angola no final do Quinhentos -, devemigualmente ter-se familiarizado com as línguas dos negros.



E) Apesar do empenho dos portugueses, a cultura africanateve penetração entre alguns senhores e entre alguns clérigos.Cada um, é bem verdade, tinha objetivos específicos paratanto.

(Adaptado de: VILLALTA, Luiz Carlos. O que se fala e o que selê: língua, instrução e leitura. In: MELLO e SOUZA.

História da Vida Privada no Brasil. São Paulo: Cia. dasLetras, 1997. V1. P.341-342.)

Resolução da Questão 1

A) Observe o advérbio totalmente. Além disso, otexto usa o verbo evitar, a afirmação utilizaimpedir. Eles são semanticamente bemdistintos. Logo, a afirmação exagera, extrapola otexto. Cuidado com os advérbios.

B) A afirmativa b diz apenas a multiplicidadecultural dos negros. No texto, foram amultiplicidade e as hostilidades recíprocas.Portanto, a afirmativa b reduz a verdade dotexto.

C) Na afirmativa, há a expressão a única forma, e otexto usa entre eles. Novamente, temos umaredução, uma diminuição da verdade textual.

D) O texto não explica a falta de empenho daInquisição, dessa maneira a afirmação não estáno texto. Trata-se de um acréscimo à realidadetextual.

E) Resposta Correta.

Questão 2Assinale a alternativa que apresenta uma afirmaçãocorreta de acordo com o texto.

A) Sendo a cultura negra um mal necessário para amanutenção dos escravos, sua eliminação foi um erro dasautoridades coloniais portuguesas.

B) Os religiosos eram autoritários, obrigando os escravosnegros a se converterem ao catolicismo europeu e aabandonarem sua religião de origem.

C) As autoridades portuguesas conduziam a políticaescravagista de modo que africanos de uma mesma origemnão permanecessem juntos.

D) As línguas africanas foram eliminadas no Brasil colonial,tendo os escravos preservado apenas alguns traços culturais,como sua religião.

E) A identidade cultural africana, representada pelos batuques ecalundus, causava danos às pessoas de origem européia.


A) O texto não classifica como erro dasautoridades coloniais. Essa é uma inferênciaque o leitor poderá fazer por sua conta e risco.

B) O autoritarismo era dos proprietários deescravos e das autoridades. Busca-se aquiconfundir o aluno dizendo que era oautoritarismo dos religiosos. Há uma troca,uma inversão das afirmações do texto.

C) Resposta Correta: Essa afirmação está notexto.

D) A afirmação contradiz o que está no texto. Aslínguas africanas foram, inclusive, aprendidaspor alguns clérigos.

E) A afirmação exagera a verdade textual. Oautor não chega a tanto. Se o vestibulandochegar a essa conclusão é por sua conta erisco.

Questão 03 ( UFRGS/99)Marque a alternativa correta, segundo o texto

O avanço do conhecimento é normalmente concebidocomo um processo linear, inexorável, em que as descobertassão aclamadas tão logo venham à luz, e no qual as novasteorias se impõem com base na evidência racional.Afastados os entraves da religião desde o século 17, oconhecimento vem florescendo de maneira livre, contínua.

a) O avanço do conhecimento sempre será por um processolinear, do contrário não será avanço.Um pequeno livro agora publicado no Brasil mostra quenem sempre é assim. Escrito na juventude (1924) peloromancista francês Louis-Ferdinand Céline, A Vida e aObra de Semmelweis relata aquele que é um dos episódiosmais lúgubres no crônica da estupidez humana e talvez apior mancha na história da medicina.

b) O episódio de Semmelweis é indiscutivelmente a piormancha na história da medicina.

c) O livro de Céline prova que nem sempre a racionalidadepreponderava no cientificismo.Ignác Semmelweis foi o descobridor da assepsia. Médicohúngaro trabalhando num hospital de Viena, constatou que amortalidade entre as parturientes, então um verdadeiroflagelo, era diferente nas duas alas da maternidade. Numadelas, os partos eram realizados por estudantes; na outra, porparteiras.Não se conhecia a ação dos microorganismos, e a febrepuerperal era atribuída às causas mais estapafúrdias. Em1846, um colega de Semmelweis se cortou enquantodissecava um cadáver, contraiu uma infecção e morreu.Semmelweis imaginou que o contágio estivesse associado àmanipulação de tecidos nas aulas de anatomia.Mandou instalar pias na ala dos estudantes e tornouobrigatório lavar as mãos com cloreto de cal. No mêsseguinte, a mortalidade entre as mulheres caiu para 0,2%!Mais incrível é o que aconteceu em seguida. Os dados deSemmelweis foram desmentidos, ele foi exonerado, e aspias - atribuídas à superstição -, arrancadas.

d) A ala dos estudantes apresentava menores problemas decontágio.



Nos dez anos seguintes, Semmelweis tentou alertar os médicos emtoda a Europa, sem sucesso. A Academia de Paris rejeitou seumétodo em 1858. Semmelweis enlouqueceu e foiinternado. Em 1865, invadiu uma sala de dissecação, feriu-secom o bisturi e morreu infeccionado. Pouco depois, Pasteurprovou que ele estava certo.

e) A rejeição aos métodos de Semmelweis ocorreu em função dainveja comum ao meio.Para o leitor da nossa época, o interessante é que Semmelweis foivítima de um obscurantismo científico. Como nota otradutor italiano no prefácio agregado à edição brasileira,qualquer xamã de alguma cultura dita primitiva isolariacadáveres e úteros por meio de rituais de purificação. Nocientífico século 19, isso parecia crendice.

(Adaptado de: FRIAS FILHO, Otávio. Ciência e superstição.Folha de S. Paulo, São Paulo 30 abril de 1998.)

VocabulárioInexorável - inabalável - inflexívelLúgubre - triste - sombrio - sinistroEstapafúrdia - extravagante - excêntrico - esdrúxulo -Obscurantismo - oposição ao conhecimento - política defazer algo para impedir o esclarecimento das massas

Resolução da Questão 03Atente para este texto: trata-se de um artigo

jornalístico. Observe como ele atende às característicasassinaladas na tipologia textual do jornalismo.

A) Observe que o texto usa o advérbionormalmente, mas a afirmação empregasempre, mudando a verdade do texto.

B) Novamente, se compararmos com o texto,veremos que o autor afirma que o episódiotalvez seja a pior mancha da história. Naafirmação, foi usado o advérbioindiscutivelmente acrescido de a pior mancha.Trata-se de um exagero, um acréscimo àrealidade do texto.

C) Resposta Correta: O texto afirma que nemsempre o avanço do conhecimento é umprocesso linear.

D) A ala dos estudantes apresentava maioresproblemas de contágio, pois as pias foraminstaladas lá, justamente para lavar as mãosdos estudantes que trabalhavam na dissecaçãode cadáveres.

E) A inveja não é abordada pelo texto, portantotrata-se de uma exterioridade. O vestibulandopode achar verdadeiro, mas a conclusão serápessoal

Questão 04Com base no texto, assinale a alternativa correta.

(A) Em relação aos povos primitivos, a Europa do séculopassado praticava uma medicina atrasada.

(B) A comunidade científica sempre deixa de reconhecer ovalor de uma descoberta.

(C) A higiene das mãos com cloreto de cal reduziumoderadamente a incidência de febre puerperal.

(D) Semmelweis feriu-se com o bisturi infectado porquequeria provar a importância de sua descoberta.

(E) Ignorar a redução nas estatísticas obituárias resultanteda introdução da assepsia foi uma grande estupidez.

Questão 05A partir da leitura do texto, é possível concluir que

(A) o livro A Vida e a Obra de Semmelweis recebeurecentemente uma cuidadosa tradução para o italiano.

(B) a teoria de Semmelweis foi rejeitada porque propunha aexistência de microorganismos, que não podia ser provadacientificamente.

(C) a nacionalidade húngara do médico pode ter sido umempecilho para sua aceitação na Europa do século passado.

(D) Semmelweis foi execrado pelos seus pares porquetransformou a assepsia numa obsessão.

(E) Semmelweis enlouqueceu em conseqüência da rejeiçãode sua descoberta.


Instruções:As questões 4 e 5 devem merecer atenção. Estamos

diante de questões de inferências. As alternativascorretas não estão propriamente no texto, maspoderemos chegar facilmente a elas, ou seja, o autornos autoriza a concluir por elas.

A) O autor não classifica de atrasada a medicinaeuropéia da época.

B) Novamente o advérbio colocado para trair aatenção do aluno: sempre. Trata-se de umacréscimo, de um exagero.

C) Não foi moderadamente. De novo o advérbio.Veja como as armadilhas são sempre asmesmas. Se você as conhecer, ficará bemmais fácil chegar à resposta correta.

D) O texto simplesmente diz que ele se feriu.Não dá as causas.

E) Resposta Correta: Foi de fato umaestupidez. Essa é uma conclusão possíveldo texto. Observe que o autor declara:"Mais incrível é o que aconteceu emseguida".

Resolução da Questão 05CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 8

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A) O livro foi recentemente publicado no Brasil.B) Os microorganismos eram desconhecidos à

época. Essa alternativa é perigosa, podeconfundir o aluno.

C) Não há referência sobre essa afirmação. Osmotivos, como já vimos, foram outros.

D) Semmelweis foi execrado por ter sidodesmentido e por suas descobertas serematribuídas à superstição.

E) Resposta Correta: Pode-se, tranqüilamentechegar a esse conclusão.

Questão 06Supondo que o leitor não saiba o significado da palavraxamã, o processo mais eficiente para buscar no própriotexto uma indicação que elucide a dúvida consistirá em

(A) considerar que a palavra encontra sua referência na culturaitaliana, já que foi empregada pelo tradutor da obra para oitaliano.

(B) Observar o contexto sintático em que ela ocorre: depois depronome indefinido e antes de preposição.

(C) Relacionar o seu significado às palavras leitor e prefácio.

(D) Relacionar o seu significado às expressões cultura ditaprimitiva e rituais de purificação.

(E) relacionar a palavra a outras que tenham a mesmaterminação, como iansã, romã e anã.Resolução da Questão 06

Todas as provas de vestibular no Estado trazemquestões de vocabulário. Esta é bem característica daUFRGS. Empiricamente, você, candidato, quando nãosabe o significado de uma palavra, busca o contexto.Cuidado! Não é o contexto sintático. Saber se umapalavra exerce a função de sujeito ou de objeto nãodefine o seu valor semântico. Não confunda semânticacom sintaxe. Xamã está no campo de ação de palavrasdessa cultura primitiva. A resposta correta, portanto, éD. Atente para a alternativa E: dá a nítida impressão debom humor. A banca também se diverte. O que anã eromã tem em comum com xamã? Gozação.

As questões a seguir estão baseadas no seguinte texto:

01 Lá pela metade do século, já não haverá superpopulaçãohumana, como hoje. Os governos de todo o mundopresumivelmente, todos democráticos poderão incentivar aspessoas à reprodução. E será melhor que o façam com asmelhores pessoas.04 A eugenia humana isto é, a escolha dos melhores

exemplares para a reprodução, de modo a aprimorar a média daespécie, como já se fez com cavalos encontrará o período idealpara sair da prancheta dos cientistas para a vida real. Pessoasselecionadas por suas características genéticas serão

empregadas do estado. O funcionalismo público terá umanova categoria: a dos reprodutores.09 Este exercício de futurologia foi apresentado

seriamente pelo professor do Instituto de Biociências daUSP Osvaldo Frota Pessoa, em palestra no colóquio BrasilAlemanha - Ética e Genética, quarta-feira à noite. [...] Nasconferências de segunda e terça, a eugenia foi citada comoum perigo 24 das novas tecnologias, uma idéia que não écientificamente e muito menos eticamente defensável.

(TEIXEIRA, Jerônimo. Brasileiro apresenta a visão dohorror. Zero Hora, 6.10.95, p. 5, 2º Caderno)

Questão 07 (UFRGS/96-1)Considere as seguintes afirmações sobre a posição

do autor com relação ao assunto de que trata o texto.

I. O autor do texto é favorável à eugenia como soluçãopara a futura queda no crescimento demográfico,como indica o primeiro parágrafo.II. O autor trata as idéias do professor Osvaldo Frota-Pessoa com certa ironia, como demonstra o uso dapalavra seriamente na linha 09.III. Ao relatar posições contraditórias por parte doscientistas com relação à eugenia humana, o autorrevela que esta é uma concepção controversa.Quais estão corretas?(A) Apenas I.(B) Apenas II.(C) Apenas III.(D) Apenas II e III.(E) I, II e III.

Questão 08 (UFRGS/96-1)Assinale a alternativa que está de acordo com o texto.

(A) Segundo lemos na primeira frase do texto,vivemos num mundo em que o número de pessoas éconsiderado excessivo.(B) Como se conclui da leitura do primeiro parágrafo, aescolha dos melhores seres humanos para areprodução, através da eugenia, causará uma quedana população mundial.(C) A partir da leitura do segundo parágrafo do texto,concluímos que a especialidade do professor Frota-Pessoa é a futurologia.(D) De acordo com o significado global do últimoparágrafo, o maior perigo das novas tecnologias é aética.(E) A eugenia humana, ao tornar os reprodutorescandidatos a funcionários públicos, constituirá umaoportunidade de trabalho apenas para homens.

Questão 09 (UFRGS/96-1)Considere as seguintes afirmações sobre a eugeniahumana:

I. O uso restritivo da palavra humana (linha 04), notexto, indica que a palavra eugenia (linha 04) não se



refere apenas à reprodução humana, mas à reproduçãode qualquer espécie.II. Pelos princípios expostos no texto, o vigor físico e ainteligência serão os critérios de eugenia a partir dosquais será feita a seleção dos melhores exemplares.III. Conforme o texto, a eugenia humana já existe naforma de projeto científico.Quais estão corretas?

(A) Apenas I.(B) Apenas II.(C) Apenas I e III.(D) Apenas II e III.(E) I, II e III.


Os últimos vestibulares da UFRGS solicitam do alunoeste tipo de informação: saber de quem é a opinião.Muitas vezes, como é este o caso, o autor apenasexpressa o ponto de vista de outra pessoa. A respostacorreta é d.


A) Resposta Correta: Hoje existesuperpopulação.

B) A causa da queda da população não foirevelada no texto.

C) Esta conclusão é falsa. O tal professor fez apenasum exercício de futurologia. Novamente a bancatenta iludir e confundir o vestibulando. Cuidado!

D) Aqui temos uma troca: o maior perigo das novastecnologias não é a ética, mas sim a eugenia.

E) Em absoluto o texto afirma que são os homens:aborda as pessoas em geral. Além disso, tambémnão faz afirmações sobre o mercado de trabalho.


O uso restritivo de humana diz exatamente isto:humana. Logo, não se estende a outras espécies.Resposta Correta: D

O peso original volta depois das dietas

O corpo humano, mesmo submetido ao sacrifício de uma dietaalimentar rígida, tem tendência a voltar ao peso inicialdeterminado por um equilíbrio interno, segundo recente estudorealizado por cientistas norte-americanos.

Depois do aumento de alguns quilos supérfluos, ometabolismo buscará eliminar o peso excessivo. O corpodispõe de um equilíbrio que tenta manter seu peso em um

nível constante, que varia em função de cada indivíduo. Oestudo sugere que conservar o peso do corpo é um fenômenobiológico, não apenas uma atividade voluntária. O corpoajusta seu metabolismo em resposta a aumentos ou perdas depeso. Dessa forma, depois de cada dieta restrita, ometabolismo queimará menos calorias do que antes. Umapessoa que perdeu recentemente pouco peso vai consumirmenos calorias que uma pessoa do mesmo peso que semprefoi magra.

A pesquisa conclui que emagrecer não é impossível, masmuito difícil e requer o consumo do número exato de caloriasqueimadas. Ou seja, uma alimentação moderada e umaatividade física estável a longo prazo.

(Zero Hora, encarte VIDA, 06/05/1995)

Questão 10 (IPA/95-2)Segundo o texto, é correto afirmar:

A) Uma dieta alimentar rígida determina o equilíbrio internodo peso corpóreo.

B) O equilíbrio interno é um fenômeno biológico.

C) Conservar o peso não depende somente da vontadeindividual.

D) O ajuste de peso significa queima de calorias.

E) O número exato de calorias queimadas vincula-se a umadieta.

Questão 11Das opções abaixo, todas podem substituir, semprejuízo ao texto, a palavra rígida (l. 01), menos

A) rigorosa

B) austera

C) severa

D) íntegra

E) séria


Antes de mais nada, observe que o texto é umeditorial de um caderno de Zero Hora. Portanto, nãohá um autor em especial declarado.

A) O texto busca exatamente mostrar o contrário.B) Conservar o peso é um fenômeno biológico.

Temos, de novo, uma inversão com o objetivode confundir o aluno.

C) Resposta Correta: Existem outros fatores.D) Essa afirmação não está no texto.E) O número exato de calorias queimadas

depende de outros fatores.




Esse tipo de questão é muito comum: ele propõe asubstituição de palavras. Em alguns vestibulares, emvez de uma, aparecem três palavras, tornando oexercício mais trabalhoso. A palavra rígida só nãopode ser substituída por íntegra, que vem deintegridade, honestidade.

Tipologia Textual

DISSERTAÇÃO:

• Conotação: É o sentido figurado: “Seu olhareram raios de sol a iluminar-me”.

PARÁFRASE x PERÍFRASE:

• Paráfrase: É a reescritura do texto, mantendo-seo mesmo significado.

• Perífrase: É a substituição de palavras porexpressões que indicam algo de si:“Fui à Cidade Maravilhosa” (=RJ).“O Rei do Futebol chegou” (=Pelé).

SÍNTESE:

• É a exposição de opiniões fundamentadas emargumentos e raciocínio. Divide-se em introdução(apresenta o assunto de forma direta, sem rodeios),desenvolvimento (mostra dados, idéias, argumentose exemplos que sustentam a suaposição), e conclusão (fecha o assunto; pode ser naforma de síntese ou sugestões, sem espaço paracontinuar a discussão).

NARRAÇÃO:

Resumo e retomada análise dos principais pontos

abordados nos momentos anteriores, seguidos da

introdução de novos conhecimentos .

Denotação e Conotação

• É discorrer sobre um fato, um acontecimento. Nelapredominam os verbos de ação. Os elementos danarração são personagem (quem participa do fato),tempo (momento do fato), ambiente (local), narrador(quem conta: 1a ou 3a pessoa) e enredo (oencadeamento das ações).

DESCRIÇÃO:

• É um “retrato verbal” do que vemos ou sentimos. Édifícil encontrar um texto exclusivamente descritivo.Normalmente encontramos trechos descritivosinseridos numa narração ou dissertação.

Saiba Diferenciar

COESÃO x COERÊNCIA:

• Coesão: Aspectos formais do texto. São erros decoesão: má concordância, pronomes indevidos epalavras inapropriadas.

• Coerência: Aspectos implícitos do texto (ligados aosentido textual). Exemplo de erro de coerência: “Apolícia e a justiça são as duas mãos de um mesmobraço”.

DENOTAÇÃO x CONOTAÇÃO:

• Denotação: É o sentido real: “Os raios de soladentraram pela imensa janela”.

Estes dois conceitos são muito fáceis de entender selembrarmos que duas partes distintas, masinterdependentes, constituem o signo lingüístico: osignificante ou plano da expressão - uma parteperceptível, constituída de sons - e o significado ouplano do conteúdo - a parte inteligível, o conceito. Poristo, numa palavra que ouvimos, percebemos umconjunto de sons ( o significante), que nos faz lembrarde um conceito (o significado).

A denotação é justamente o resultado da uniãoexistente entre o significante e o significado, ou entre oplano da expressão e o plano do conteúdo. Aconotação resulta do acréscimo de outros significadosparalelos ao significado de base da palavra, isto é, umoutro plano de conteúdo pode ser combinado ao planoda expressão. Este outro plano de conteúdo reveste- sede impressões, valores afetivos e sociais,negativos ou positivos, reações psíquicas que umsigno evoca.

Portanto, o sentido conotativo difere de uma culturapara outra, de uma classe social para outra, de umaépoca a outra. Por exemplo, as palavras senhora,esposa, mulher denotam praticamente a mesmacoisa, mas têm conteúdos conotativos diversos,principalmente se pensarmos no prestígio que cadauma delas evoca.

Desta maneira, podemos dizer que os sentidos daspalavras compreendem duas ordens: referencial oudenotativa e afetiva ou conotativa.



A palavra tem valor referencial ou denotativo quando étomada no seu sentido usual ou literal, isto é, naquele quelhe atribuem os dicionários; seu sentido é objetivo,

explícito, constante. Ela designa ou denotadeterminado objeto, referindo-se à realidade palpável.

Denotação é a significação objetiva da palavra; é a palavra em "estado dedicionário"

Além do sentido referencial, literal, cada palavra remete a inúmeros outros sentidos, virtuais, conotativos, que sãoapenas sugeridos, evocando outras idéias associadas, de ordem abstrata, subjetiva.

Conotação é a significação subjetiva da palavra; ocorre quando a palavraevoca outras realidades por associações que ela provoca

O quadro abaixo sintetiza as diferenças fundamentais entre denotação e conotação:

DENOTAÇÃO CONOTAÇÃO

palavra com significação restrita palavra com significação ampla

palavra com sentido comum do dicionário palavra cujos sentidos extrapolam o sentidocomum

palavra usada de modo automatizado palavra usada de modo criativo

linguagem comum linguagem rica e expressiva

a) Exemplos de conotação e denotação (textos 1 e 2)

Para exemplificar, de maneira simples e clara, estes dois conceitos, vamostomar a palavra cão: terá um sentido denotativo quando designar o animalmamífero quadrúpede canino; terá um sentido conotativo quandoexpressar o desprezo que desperta em nós uma pessoa sem caráter ouextremamente servil. (Otto M.Garcia, 1973)

Nas receitas abaixo, as palavras têm, na primeira, um sentido objetivo, explícito, constante; foram usadasdenotativamente. Na segunda, apresentam múltiplos sentidos, foram usadas conotativamente. Observa-se que osverbos que ocorrem tanto em uma quanto em outra - dissolver, cortar, juntar, servir, retirar, reservar - são aquelesque costumam ocorrer nas receitas; entretanto, o que faz a diferença são as palavras com as quais os verboscombinam, combinações esperadas no texto 1, combinações inusitadas no texto 2.

TEXTO I TEXTO II

Bolo de arroz Receita

3 xícaras de arroz1 colher (sopa) de manteiga1 gema1 frango1 cebola picada

Ingredientes

2 conflitos de gerações4 esperanças perdidas3 litros de sangue fervido



1colher (sopa) de molho inglês1colher (sopa) de farinha de trigo1 xícara de creme de leite salsa picadinha

Prepare o arroz branco, bem solto.Ao mesmo tempo, faça o frango ao molho, bemtemperado e saboroso.Quando pronto, retire os pedaços, desosse edesfie. Reserve.Quando o arroz estiver pronto, junte a gema, amanteiga, coloque numa forma de buraco e leve aoforno.No caldo que sobrou do frango, junte a cebola, omolho inglês, a farinha de trigo e leve ao fogo paraengrossar.Retire do fogo e junte o creme de leite.Vire o arroz, já assado, num prato.Coloque o frango no meio e despeje por cima omolho.Sirva quente.

(Terezinha Terra)

5 sonhos eróticos2 canções dos beatles

Modo de preparar

Dissolva os sonhos eróticosnos dois litros de sangue fervidoe deixe gelar seu coração.

Leve a mistura ao fogo,adicionando dois conflitosde gerações às esperanças perdidas.

Corte tudo em pedacinhose repita com as canções dosbeatles o mesmo processo usadocom os sonhos eróticos, mas destavez deixe ferver um pouco mais emexa até dissolver.

Parte do sangue pode sersubstituído por suco degroselha, mas os resultadosnão serão os mesmos.

Sirva o poema simplesou com ilusões.(Nicolas Behr)

b) Exemplo de texto denotativo (texto 3)

Os textos informativos (científicos e jornalísticos), por serem, em geral, objetivos, prendem-se ao sentidodenotativo das palavras. Vejamos o texto abaixo, em que a linguagem está estruturada em expressões comuns,com um sentido único.

Texto 3 - texto técnico-científico

Canibalismo entre insetos

Seres que nascem na cabeça de outros e que consomemprogressivamente o corpo destes até aniquilá-los, ao atingir o estágioadulto. ... Esse é um enredo que mais parece de ficção científica. Noentanto, acontece desde a pré-história, tendo como protagonistas asvespas de certas espécies e as paquinhas, e é um exemplo da curiosarelação dos ‘inimigos naturais’, aproveitada pelo homem no controlebiológico de pragas, para substituir com muitas vantagens os inseticidasquímicos.

(Revista Ciência Hoje, nº 104, outubro de 1994, Rio, SBPC)

c) Exemplo de texto conotativo (texto 4)

Além dos poetas, os humoristas e os publicitários fazem um amplo uso das palavras no seu sentido conotativo, oque contribui para que os anúncios despertem a atenção dos prováveis consumidores e para que o dito humorísticoatinja o seu objetivo de fazer rir, às vezes até com uma certa dose de ironia.



Por exemplo, na propaganda de um ‘shopping’, foi usada a seguinte frase:

Texto 4 - propaganda

O Rio Design Center acaba de ganhar um novo piso.Marmoleum

o piso natural(Revista Veja Rio, maio/junho,96)

O anúncio tem aí um duplo sentido, pois transmite duasinformações:

1. o Rio Design Center ganhou uma nova loja -PAVIMENTO SUPERIOR -onde estão à vendapisos especiais;

2. nesta loja é possível encontrar o material parapiso, importado da Holanda, que se chamaMarmoleum.

Na frase que fecha o anúncio, desfaz-se a ambigüidade:"Venha até a (ao invés de o) Pavimento Superior e confiraesta e outras novidades de revestimentos para pisos". Masa frase de abertura faz pensar em outros sentidos: ocentro comercial ganhou um novo andar, um novopavimento, ou ganhou um revestimento novo em todo oseu piso, em todo o seu chão.

d) Exemplo de conotação

Os provérbios ou ditos populares são também um outroexemplo de exploração da linguagem no seu usoconotativo. Assim, "Quem está na chuva é para semolhar" equivale a "/Quando alguém opta por umadeterminada experiência, deve assumir todas as regras econseqüências decorrentes dessa experiência". Domesmo modo, "Casa de ferreiro, espeto de pau"significa O que a pessoa faz fora de casa, para os outros,não faz em casa, para si mesma.

A respeito de conotação, Othon M. Garcia (1973)observa: "Conotação implica, portanto, em relação àcoisa designada, um estado de espírito, umaopinião, um juízo, um sentimento, que variamconforme a experiência, o temperamento, asensibilidade, a cultura e os hábitos do falante ououvinte, do autor ou leitor. Conotação é, assim, umaespécie de emanação semântica, possível graças àfaculdade que nos permite relacionar coisas análogasou semelhadas. Esse é, em essência, o traçocaracterístico do processo metafórico, poismetaforização é conotação".

Paráfrase, Perífrase, Síntese e Resumo

PARÁFRASE

Paráfrase é a reprodução explicativa de um texto oude unidade de um texto, por meio de umalinguagem mais longa. Na paráfrase sempre seconservam

basicamente as idéias do texto original. O que se incluisão comentários, idéias e impressões de quem faz aparáfrase. Na escola, quando o professor, ao comentarum texto, inclui outras idéias, alongando-se em funçãodo propósito de ser mais didático, faz uma paráfrase.

Parafrasear consiste em transcrever, com novaspalavras, as idéias centrais de um texto. O leitor deveráfazer uma leitura cuidadosa e atenta e, a partir daí,reafirmar e/ou esclarecer o tema central do textoapresentado, acrescentando aspectos relevantes deuma opinião pessoal ou acercando-se de críticas bemfundamentadas. Portanto, a paráfrase repousa sobre otexto-base, condensando-o de maneira direta eimperativa. Consiste em um excelente exercício deredação, uma vez que desenvolve o poder de síntese,clareza e precisão vocabular. Acrescenta-se o fato depossibilitar um diálogo intertextual, recurso muitoutilizado para efeito estético na literatura moderna.

Como ler um texto

Recomendam-se duas leituras. A primeira chamaremosde leitura vertical e a segunda, de leitura horizontal.

Leitura horizontal é a leitura rápida que tem comofinalidade o contato inicial com o assunto do texto. Deposse desta visão geral, podemos passar para o



próximo passo.

Leitura vertical consiste em uma leitura mais atenta; é olevantamento dos referenciais do texto-base para aperfeita compreensão. É importante grifar, em cadaparágrafo lido, as idéias principais. Após escrever à parteas idéias recolhidas nos grifos, procurando dar umaredação própria, independente das palavras utilizadaspelo autor do texto. A esta etapa, chamaremos delevantamento textual dos referenciais. A redação final é aunião destes referenciais, tendo o redator o cuidadoespecial de unir idéias afins, de acordo com a identidadee evolução do texto-base.

Exemplo de paráfrase

Profecias de uma Revolução na Medicina

Há séculos, os professores de segundo grau da Sardenhavêm testemunhando um fenômenos curioso. Com achegada da primavera, em fevereiro, alguns de seusalunos tornam-se apáticos. Nos três meses subseqüentes,sofrem uma baixa em seu rendimento escolar, sentem-setontos e nauseados, e adormecem na sala de aula.Depois, repentinamente, suas energias retornam. E ficamativos e saudáveis até o próximo mês de fevereiro.

Os professores sardenhos sabem que os adultos tambémapresentam sintomas semelhantes e que, na realidade,alguns chegam a morrer após urinarem uma grandequantidade de sangue. Por vezes, aproximadamente 35%dos habitantes da ilha chegam a ser acometidos por estemal.

O Dr. Marcelo Siniscalco, do Centro de CancerologiaSloan-Kedttering, em Nova Iorque, e o Dr. Arno G.Motulsky, da Universidade de Washington, depararam pelaprimeira vez com a doença em 1959, enquantodesenvolviam um estudo sobre padrões de hereditariedadee determinaram que os sardenhos eram vítimas de anemiahemolítica, uma doença hereditária que faz com que osglóbulos vermelhos do sangue se desintegrem no interiordos veios sangüíneos. Os pacientes urinavam sangueporque os rins filtram e expelem a hemoglobina nãoaproveitada. Se o volume de destruição for mínimo, oresultado será a letargia; se for aguda, a doença poderáacarretar a morte do paciente.

A anemia hemolítica pode ter diversas origens. Mas naSardenha, as experiências indicam que praticamente todasas pessoas acometidas por este mal têm deficiência deuma única enzima, chamada deidrogenase fosfo-glucosada-6 (ou G-6-PD), que forma um elo de sumaimportância na corrente de produção de energia para ascélulas vermelhas do sangue.

Mas os sardenhos ficam doentes apenas durante aprimavera, o que indica que a falta de G-6-PD davítima não aciona por si só a doença - que há algo nomeio ambiente que tira proveito da deficiência. Adeficiência genética pode ser a arma, mas um fatorambiental é quem a dispara.Entre as plantas que desabrocham durante a primaverana Sardenha encontra-se a fava ou feijão italiano -observou o Dr. Siniscalco. Esta planta não tem umaboa reputação desde ao ano 500 a.C. , quando ofilósofo grego e reformador político Pitágoras proibiuque seus seguidores a comessem, ou mesmoandassem por entre os campos onde floresciam. Agora,o motivo de tal proibição tornou-se claro; apenasaquelas pessoas que carregam o gene defeituoso ecomiam favas cruas ou parcialmente cozidas (ouinspiravam o pólen de uma planta em flor)apresentavam problemas. todos os demais eramimunes.

Em dois anos, o Dr. Motusky desenvolveu um teste desangue simples para medir a presença ou ausência deG-6-PD. Atualmente, os cientistas têm um modo dedeterminar com exatidão quem está predisposto àdoença e quem não está; a enzima hemolítica, osgeneticistas começaram a fazer a triagem da populaçãoda ilha. Localizaram aqueles em perigo e advertiram-lhes para evitar favas de feijão durante a estação defloração. Como resultado, a incidência de anemiahemolítica e de estudantes apáticos começou adeclinar. O uso de marcadores genéticos comoinstrumento de previsão da reação dos sardenhos àfava de feijão há 20 anos foi uma das primeiras vezesem que os marcadores genéticos eram empregadosdeste modo; foi um avanço que poderá mudar o aspectoda medicina moderna. Os marcadores genéticos podemprever agora a possível eclosão de outras doenças e, talcomo a anemia hemolítica, podem auxiliar os médicos aprevenirem totalmente os ataques em diversos casos.(Zsolt Harsanyi e Richard Hutton, publicado no jornal OGlobo).

PERÍFRASE

Observe:

O povo lusitano foi bastante satirizado por Gil Vicente.Utilizou-se a expressão "povo lusitano" para substituir"os portugueses". Esse rodeio de palavras quesubstituiu um nome comum ou próprio chama-seperífrase.

Perífrase é a substituição de um nome comum oupróprio por um expressão que a caracterize. Nadamais é do que um circunlóquio, isto é, um rodeio depalavras.

Outros exemplos:



astro rei (Sol) | última flor do Lácio (língua portuguesa) |Cidade-Luz (Paris)Rainha da Borborema (Campina Grande) | CidadeMaravilhosa (Rio de Janeiro)

Observação: existe também um tipo especial de perífraseque se refere somente a pessoas. Tal figura de estilo échamada de antonomásia e baseia-se nas qualidades ouações notórias do indivíduo ou da entidade a que aexpressão se refere.

Exemplos:

A rainha do mar (Iemanjá)O poeta dos escravos (Castro Alves)O criador do teatro português (Gil Vicente)

SÍNTESE

A síntese de texto é um tipo especial de composição queconsiste em reproduzir, em poucas palavras, o que o autorexpressou amplamente. Desse modo, só devem seraproveitadas as idéias essenciais, dispensando-se tudo oque for secundário.

Procedimentos:

1. Leia atentamente o texto, a fim de conhecer oassunto e assimilar as idéias principais;2. Leia novamente o texto, sublinhando as partesmais importantes, ou anotando à parte os pontos quedevem ser conservados;3. Resuma cada parágrafo separadamente,mantendo a seqüência de idéias do texto original;4. Agora, faça seu próprio resumo, unindo osparágrafos, ou fazendo quaisquer adaptações conformedesejar;5. Evite copiar partes do texto original. Procureexercitar seu vocabulário. Mantenha, porém, o nível delinguagem do autor;6. Não se envolva nem participe do texto. Limite-se asintetizá-lo.

UFPB/89. Sem copiar frases, RESUMIR, o texto abaixo:

O QUINZE

Debaixo de um juazeiro grande, todo um bando deretirantes se arranchara: uma velha, dois homens, umamulher nova, algumas crianças.

O sol, no céu, marcava onze horas. Quando ChicoBento, com seu grupo, apontou na estrada, os homensesfolavam uma rês e as mulheres faziam ferver uma lata dequerosene cheia de água, abanando o fogo com umchapéu de palha muito sujo e remendado.

Em toda a extensão da vista, nenhuma outra árvoresurgia. Só aquele juazeiro, devastado e espinhento,verdejava a copa hospitaleira na desolação cor de cinza dapaisagem.

Cordulina ofegava de cansaço. A Limpa-Trilhogania e parava, lambendo os pés queimados.

Os meninos choramingavam, pedindo de comer.E Chico Bento pensava:– Por que, em menino, a inquietação, o calor, o

cansaço, sempre aparecem com o nome de fome?– Mãe, eu queria comer... me dá um taquinho de

rapadura!– Ai, pedra do diabo! Topada desgraçada! Papai,

vamos comer mais aquele povo, debaixo desse pé depau?

O juazeiro era um só. O vaqueiro também se achouno direito de tomar seu quinhão de abrigo e defrescura.

E depois de arriar as trouxas e aliviar a burra,reparou nos vizinhos. A rês estava quase esfolada. Acabeça inchada não tinha chifres. Só dois ocospodres, mal cheirosos, donde escorria uma águapurulenta.

Encostando-se ao tronco, Chico Bento se dirigiuaos esfoladores:

– De que morreu essa novilha, se não é da minhaconta?

Um dos homens levantou-se, com a facaescorrendo sangue, as mãos tintas de vermelho, umfartum sangrento envolvendo-o todo:

– De mal-dos-chifres. Nós já achamos ela doente.E vamos aproveitar, mode não dar para os urubus.

Chico Bento cuspiu longe, enojado:– E vosmecês têm coragem de comer isso? Me

ripuna só de olhar...O outro explicou calmamente:– Faz dois dias que a gente não bota um de-comer

de panela na boca...Chico Bento alargou os braços, num grande gesto

de fraternidade:– Por isso não! Aí nas cargas eu tenho um resto de

criação salgada que dá para nós. Rebolem essaporqueira pros urubus, que já é deles! Eu vou ládeixar um cristão comer bicho podre de mal, tenho umbocado no meu surrão!

Realmente a vaca já fedia, por causa da doença.Toda descarnada, formando um grande bloco

sangrento, era uma festa para os urubus vê-la, lá decima, lá da frieza mesquinha das nuvens. E paracomemorar o achado executavam no ar grandes

rondas festivas, negrejando as asas pretas emespirais descendentes.

Rachel de Queiroz

MODELO

Arranchados sob um juazeiro, em meio àqueladesolação, um bando de retirantes tentavaaproveitar uma vaca já em estado de putrefação,para combater-lhe a fome de dois dias. QuandoChico Bento, com o seu bando, aproxima-setambém em busca de abrigo e, compadecendo-sedaquela situação, divide com os miseráveis o resto



de alimento que trazia, deixando o animal para osurubus.

COMO RESUMIR UM TEXTO

Ler não é apenas passar os olhos no texto. É preciso sabertirar dele o que é mais importante, facilitando o trabalho damemória. Saber resumir as idéias expressas em um textonão é difícil. Resumir um texto é reproduzir com poucaspalavras aquilo que o autor disse.

Para se realizar um bom resumo, são necessáriasalgumas recomendações:

1. Ler todo o texto para descobrir do que se trata.

2. Reler uma ou mais vezes, sublinhando frases oupalavras importantes. Isto ajuda a identificar.

3. Distinguir os exemplos ou detalhes das idéiasprincipais.

4. Observar as palavras que fazem a ligação entre asdiferentes idéias do texto, também chamadas deconectivos: "por causa de", "assim sendo", "além domais", "pois", "em decorrência de", "por outro lado", "damesma forma".

5. Fazer o resumo de cada parágrafo, porque cada um

encerra uma idéia diferente.

6. Ler os parágrafos resumidos e observar se há umaestrutura coerente, isto é, se todas as partes estãobem encadeadas e se formam um todo.

7. Num resumo, não se devem comentar as idéias doautor. Deve-se registrar apenas o que ele escreveu,sem usar expressões como "segundo o autor", "o autorafirmou que".

8. O tamanho do resumo pode variar conforme o tipode assunto abordado. É recomendável que nuncaultrapasse vinte por cento da extensão do textooriginal.

9. Nos resumos de livros, não devem aparecerdiálogos, descrições detalhadas, cenas oupersonagens secundárias. Somente as personagens,os ambientes e as ações mais importantes devem serregistrados.

Significação Literal e Contextual de Vocábulos

SINÔNIMOS

São palavras que apresentam, entre si, o mesmosignificado.triste = melancólico.resgatar = recuperarmaciço = compactoratificar = confirmardigno = decente, honestoreminiscências = lembrançasinsipiente = ignorante.

ANTÔNIMOS

São palavras que apresentam, entre si, sentidosopostos, contrários.bom x maubem x malcondenar x absolversimplificar x complicar

HOMÔNIMOS

São palavras iguais na forma e diferentes nasignificação. Há três tipos de homônimos:

HOMÔNIMOS PERFEITOS

Têm a mesma grafia e o mesmo som.cedo (advérbio) e cedo (verbo ceder);meio (numeral), meio (adjetivo) e meio(substantivo).

HOMÔNIMOS HOMÓFONOS

Têm o mesmo som e grafias diferentes.sessão (reunião), seção (repartição) e cessão (atode ceder);concerto (harmonia) e conserto (remendo).

HOMÔNIMOS HOMÓGRAFOS

Têm a mesma grafia e sons diferentes.almoço (refeição) e almoço (verbo almoçar);

sede (vontade de beber) e sede (residência).

PARÔNIMOS



São palavras de significação diferente, mas deforma parecida, semelhante.

retificar e ratificar;

acender = atear fogoascender = subiracerca de = a respeito de, sobrecerca de = aproximadamentehá cerca de = faz aproximadamente, existeaproximadamente, acontece aproximadamenteafim = semelhante, com afinidadea fim de = com a finalidade deamoral = indiferente à moralimoral = contra a moral, libertino, devassoapreçar = marcar o preçoapressar = acelerar arrear= pôr arreiosarriar = abaixarbucho = estômago de ruminantesbuxo = arbusto ornamentalcaçar = abater a caçacassar = anularcela = aposentosela = arreiocenso = recenseamentosenso = juízocessão = ato de doarseção ou secção = corte, divisãosessão = reuniãochá = bebidaxá = título de soberano no Orientechalé = casa campestrexale = cobertura para os ombroscheque = ordem de pagamentoxeque = lance do jogo de xadrez, contratempocomprimento = extensãocumprimento = saudaçãoconcertar = harmonizar, combinarconsertar = remendar, repararconjetura = suposição, hipóteseconjuntura = situação, circunstância

emergir e imergir.

Eis uma lista com alguns homônimos e parônimos:

coser = costurarcozer = cozinhardeferir = concederdiferir = adiardescrição = representaçãodiscrição = ato de ser discretodescriminar = inocentardiscriminar = diferençar, distinguirdespensa = compartimentodispensa = desobrigaçãodespercebido = sem atenção, desatentodesapercebido = desprevenidodiscente = relativo a alunosdocente = relativo a professoresemergir = vir à tonaimergir = mergulharemigrante = o que saiimigrante = o que entraeminente = nobre, alto, excelenteiminente = prestes a aconteceresperto = ativo, inteligente, vivoexperto = perito, entendido espiar= olhar sorrateiramente expiar =sofrer pena ou castigo estada =permanência de pessoaestadia = permanência de veículoflagrante = evidentefragrante = aromáticofúsil = que se pode fundirfuzil = carabinafusível = resistência de fusibilidade calibradaincerto = duvidoso inserto= inserido, inclusoincipiente = inicianteinsipiente = ignoranteindefesso = incansávelindefeso = sem defesa

infligir = aplicar pena ou castigoinfringir = transgredir, violar, desrespeitarintemerato = puro, íntegro, incorruptointimorato = destemido, valente, corajosointercessão = súplica, rogointerse(c)ção = ponto de encontro de duaslinhaslaço = laçadalasso = cansado, frouxoratificar = confirmarretificar = corrigirsoar = produzir som

suar = transpirarsortir = abastecersurtir = originarsustar = suspendersuster = sustentartacha = brocha, pequeno pregotaxa = tributotachar = censurar, notar defeito emtaxar = estabelecer o preçovultoso = volumosovultuoso = atacado de vultuosidade (congestãona face)

EXERCÍCIOS1) Assinale a alternativa cujas palavras substituemadequadamente as palavras e expressõesdestacadas ao lado:



Passou-me sem atenção que a sua intenção eraestabelecer uma diferença entre os ignorantes eos valentes, corajosos.

a) desapercebido - descriminar - incipientes -intemeratos.b) despercebido - discriminar - insipientes -intimoratos.c) despercebido - discriminar - insipientes -intemeratos.D) desapercebido - descriminar - insipientes -intemeratos.e) despercebido - discriminar - incipientes -intimoratos.

2) O apaixonado rapaz ficou extático diante dabeleza da noiva.

A palavra destacada é sinônima de:a) imóvelb) admiradoc) firmed) sem respirare) indiferente3) Indique a alternativa errada:a) As pessoas mal-educadas, sempre se dão malcom os outros.b) Os meus ensinamentos foram mal interpretados. c)Vivi maus momentos, naquela época.d) Temos que esclarecer os mau-entendidos.e) Os homens maus sempre prejudicam os bons.

4) os sinônimos de exilado, assustado, sustentar eexpulsão são, respectivamente:

a) degredado, espavorido, suster e proscrição. b)degradado, esbaforido, sustar e prescrição. c)degredado, espavorido, sustar e proscrição. d)degradado, esbaforido, sustar e proscrição. e)degradado, espavorido, suster e prescrição.

5) Trate de arrumar o aparelho que você quebrou ecosturar a roupa que você rasgou, do contrário nãosaíra de casa nesse final de semana.As palavras destacadas podem ser substituídas por:

a) concertar, coser e se não.b) consertar, coser e senão. c)consertar, cozer e senão. d)concertar, cozer e senão. e)consertar, coser e se não.

6) Assinale a alternativa que preenche corretamente aslacunas da frase abaixo:Da mesma forma que os italianos e japoneses_________ para o Brasil no século passado, hoje osbrasileiros _________ para a Europa e para o Japão, àbusca de uma vida melhor; internamente, os

nordestinos ________ para o Sul, pelo mesmomotivo.

a) imigraram - emigram - migramb) migraram - imigram - emigramc) emigraram - migram - imigram.d) emigraram - imigram - migram.e) imigraram - migram - emigram.

7) Há erro de grafia em:

a) Eucláudia trabalha na seção de roupas.b) Hoje haverá uma sessão extraordinária naCâmara de Vereadores.c) O prefeito da cidade resolveu fazer a cessão deseus rendimentos à creche municipal.d) Voto 48ª sessão, da 191ª zona eleitoral. e)Ontem, fui ao cinema na sessão das dez.

8) Assinale a letra que preenche corretamente aslacunas das frases apresentadas.A ___________ da greve era ________, mas o líderdos trabalhadores iria ___________ o aumentomais uma vez.

a) deflagração - eminente - reivindicar.b) defragração - iminente - reinvidicar.c) deflagração - iminente - reivindicar.d) defragração - eminente - reinvindicar.e) defragração - eminente - reivindicar9) Assinale a letra que preenche corretamente aslacunas das frases apresentadas.Apesar de _______ em mecânica de automóveis, elefoi _______ de __________, pois não conseguiudiagnosticar o problema no motor do carro do diretor.

a) esperto - tachado - incipiente.b) experto - tachado - insipiente.c) experto - taxado - insipiente. d)esperto - taxado - incipiente. e)esperto - taxado - incipiente.

10) Assinale a letra que preenche corretamente aslacunas das frases apresentadas.O ladrão foi pego em _________, quando tentavalevar _______ quantia, devido a uma _______ decaminhões bem em frente ao banco.

a) flagrante - vultosa - coalizão.b) fragrante - vultuosa - colisão.c) flagrante - vultosa - colisão.d) fragrante - vultuosa - coalizão.e) flagrante - vultuosa - coalizão.

11) Assinale a letra que preenche corretamente aslacunas das frases apresentadas.O rapaz que se sentiu ____________ pela diretorado colégio fez uma _______ até Brasília para tentar



_________ uma pena a ela.

a) descriminado - viajem - inflingir.b) discriminado - viagem - infligir. c)discriminado - viajem - infringir. d)descriminado - viagem - infligir. e)discrimando - viagem - infringir.

12) Assinale a letra que preenche corretamente aslacunas das frases apresentadas.__________, a verdade _______, e, apesar detodos os protestos dos deputados, o ________

governador ______ os direitos do secretário.a) De repente - emergiu - iminente - cassou.b) Derrepente - imergiu - iminente - caçou.c) De repente - emergiu - eminente - cassou.d) De repente - imergiu - eminente - caçou. e)Derrepente - emergiu - iminente - cassou.

Respostas1) B 2) B 3) D 4) A 5) B 6) A 7) D 8) C 9) D 10) C11) B 12) C

Pocessos Coesivos de Referência

Coesão e Coerência

Basicamente, ser coerente é não cair em contradição. Na escrita, há meios para seligar coerentemente os fatos em benefício da harmonia entre as idéias. É isso queos exercícios que propomos pretendem abarcar. São exercícios que levam emconta elementos-chave para garantir a coerência de um texto: conhecimentocompartilhado, elementos textuais, elementos do contexto de enunciação, etc.

Não é novidade para ninguém: é incoerente (ou parece ser) uma pessoa declararque detesta jogar futebol e sempre convidar os amigos para uma pelada. Seriacoerente, se tal pessoa não gosta de futebol, não convidar seus amigos para jogarbola. É incoerente alguém dizer que devemos ser humildes e essa mesma pessoa serorgulhosa.

Assim é que a coerência pode ser entendida como o fenômeno da harmoniaentre as idéias, opiniões. Ou, dito de outra forma, seria um princípio de nãocontradição. (Se alguém segue uma linha de pensamento, sem sair dela, essapessoa é coerente; já se esta pessoa não agir conforme suas opiniões, isto pareceser incoerente).

Veja se são coerentes ou incoerentes os pares de fatos relacionados abaixo:

1) gostar de casa arrumada X deixar tudo espalhado2) gostar de viajar X ficar sempre em casa nas férias3) considerar que escola é necessário à educação X pôr os filhos na escola4) ser contra comida enlatada X só comprar ervilha diretamente da horta

Se analisarmos bem o par número 2, incoerente à primeira vista, poderemosfacilmente imaginar uma situação na qual a pessoa que goste de viajar não o faça porfalta de recursos. Nesse caso, gostar de viajar e ficar em casa durante as férias nãose caracterizam como situações que, postas lado a lado, geram incoerência. Aincoerência existiria se a pessoa ficasse em casa nas férias porque gosta de viajar...

Perceberemos a coerência entre as duas situações do par de número 2 seconhecermos a situação da pessoa que, por falta de recursos, não viaja. Outro modode percebermos a coerência é através da expressão clara da ligação entre as duassituações, que pode se dar por uma palavrinha, a conjunção mas :

Luiz gosta de viajar mas fica sempre em casa nas férias.Ou, explicitando melhor,Luiz gosta de viajar, mas fica sempre em casa nas férias, porque não tem

dinheiro para viajar.



Pronto: acabou-se a incoerência.

Em nosso cotidiano, por vezes, precisamos explicitar as ligações entre fatos,para que os outros percebam que não somos incoerentes. Assim, não é rarousarmos frases como:

Gosto dela, mas vou dar o fora.Não vou tomar sorvete, embora goste, porque estou de regime.É bonito ter cabelo comprido, mas uso curto porque não tenho tempo

para cuidar.Precisamos de mais um quarto, mas não vamos construí-lo agora porque

o dinheiro está curto.É mais rápido ir de moto para o trabalho, mas eu prefiro ir de ônibus porque o

trânsito está muito perigoso.Torço para o Flamengo, mas quero que o Vasco ganhe porque não

agüento mais a choradeira lá em casa.

Se a pessoa com quem falamos sabe que estamos de regime, não é preciso dizera ela que gostamos de sorvete e lhe explicar que estamos de regime. Basta dizer:“Não vou tomar sorvete”. Se a pessoa sabe que preferimos ir de moto por ser maisrápido, não é preciso fazer a afirmação “É mais rápido ir de moto para o trabalho”, aolhe informar que não estamos usando a moto para ir até o local de trabalho.

O que percebemos, então?

Percebemos que há situações de interlocução nas quais não precisamosexplicitar tudo, mas que há outras nas quais, para não parecermos ilógicos,incoerentes, loucos até, temos necessidade de explicar mais. Se pensarmos nasituação do sorvete, temos necessidade de explicar que não tomar sorvete nãodecorre de gostar muito de sorvete; ao contrário, não tomar sorvete é umadecisão tomada apesar de se gostar muito de sorvete.

A noção de coerência, de harmonia entre idéias e fatos, e a noção daí decorrente,que é a de coesão, de ligação entre os fatos, foram consideradas por nóscomo fundamentais para o bom uso da língua, ao falarmos, conversarmos,escrevermos ou lermos. É verdade que há momentos em que o falante pode quererdeixar uma ambigüidade no ar, pode querer provocar um efeito cômico, pode nãoprecisar explicitar a coerência porque a situação já fala por si. Entretanto, se o falantede fato não explicitar a ligação entre os fatos, isso deverá ser por suaopção, e não por falta de conhecimento.

Assim, ao que parece, o que se denomina “coesão” seria aquilo que tentaexplicitar a coerência, quando ela, em um texto, não pode ser facilmentedepreendida. Desta forma, nos textos, os conectivos, que são alguns dos agentesde coesão, representariam a tentativa de explicitação da coerência.

Coordenação e Subordinação

Período Composto

Período composto é aquele formado por duas ou mais orações. Há dois tipos de períodos compostos:

1) Período composto por coordenação

Quando as orações não mantêm relação sintática entre si, ou seja, quando o período é formado por oraçõessintaticamente independentes entre si.



Ex. Estive à sua procura, mas não o encontrei.

2) Período composto por subordinação

Quando uma oração, chamada subordinada, mantém relação sintática com outra, chamada principal.

Ex. Sabemos que eles estudam muito. (oração que funciona como objeto direto)

Período Composto por Subordinação

A uma oração principal podem relacionar-se sintaticamente três tipos de orações subordinadas: substantivas,adjetivas e adverbiais.

I. Orações Subordinadas Substantivas

São seis as orações subordinadas substantivas, que são iniciadas por uma conjunção subordinativa integrante(que, se)

A) Subjetiva: funciona como sujeito da oração principal.

Existem três estruturas de oração principal que se usam com subordinada substantiva subjetiva:verbo de ligação + predicativo + oração subordinada substantiva subjetiva.

Ex. É necessário que façamos nossos deveres.

verbo unipessoal + oração subordinada substantiva subjetiva.Verbo unipessoal só é usado na 3ª pessoa do singular; os mais comuns são convir, constar, parecer, importar,interessar, suceder, acontecer.

Ex. Convém que façamos nossos deveres.verbo na voz passiva + oração subordinada substantiva subjetiva.

Ex. Foi afirmado que você subornou o guarda.

B) Objetiva Direta: funciona como objeto direto da oração principal.(sujeito) + VTD + oração subordinada substantiva objetiva direta.

Ex. Todos desejamos que seu futuro seja brilhante.

C) Objetiva Indireta: funciona como objeto indireto da oração principal.(sujeito) + VTI + prep. + oração subordinada substantiva objetiva indireta.

Ex. Lembro-me de que tu me amavas.

D) Completiva Nominal: funciona como complemento nominal de um termo da oração principal.(sujeito) + verbo + termo intransitivo + prep. + oração subordinada substantiva completiva nominal.

Ex. Tenho necessidade de que me elogiem.

E) Apositiva: funciona como aposto da oração principal; em geral, a oração subordinada substantiva apositivavem após dois pontos, ou mais raramente, entre vírgulas.oração principal + : + oração subordinada substantiva apositiva.

Ex. Todos querem o mesmo destino: que atinjamos a felicidade.

F) Predicativa: funciona como predicativo do sujeito do verbo de ligação da oração principal.(sujeito) + VL + oração subordinada substantiva predicativa.



Ex. A verdade é que nunca nos satisfazemos com nossas posses.

Nota: As subordinadas substantivas podem vir introduzidas por outras palavras:Pronomes interrogativos (quem, que, qual...)Advérbios interrogativos (onde, como, quando...)Perguntou-se quando ele chegaria.Não sei onde coloquei minha carteira.

II. Orações Subordinadas Adjetivas

As orações subordinadas adjetivas são sempre iniciadas por um pronome relativo. São duas as oraçõessubordinadasadjetivas:

A) Restritiva: é aquela que limita, restringe o sentido do substantivo ou pronome a que se refere. A restritivafuncionacomo adjunto adnominal de um termo da oração principal e não pode ser isolada por vírgulas.

Ex. A garota com quem simpatizei está à sua procura.Os alunos cujas redações foram escolhidas receberão um prêmio.

B) Explicativa: serve para esclarecer melhor o sentido de um substantivo, explicando mais detalhadamente umacaracterística geral e própria desse nome. A explicativa funciona como aposto explicativo e é sempre isolada porvírgulas.

Ex. Londrina, que é a terceira cidade do região Sul do país, está muito bem cuidada.

III. Orações Subordinadas AdverbiaisSão nove as orações subordinadas adverbiais, que são iniciadas por uma conjunção subordinativa

A) Causal: funciona como adjunto adverbial de causa.Conjunções: porque, porquanto, visto que, já que, uma vez que, como, que.

Ex. Saímos rapidamente, visto que estava armando um tremendo temporal.

B) Comparativa: funciona como adjunto adverbial de comparação. Geralmente, o verbo fica subentendidoConjunções: (mais) ... que, (menos)... que, (tão)... quanto, como.

Ex. Diocresildo era mais esforçado que o irmão(era).

C) Concessiva: funciona como adjunto adverbial de concessão.

Conjunções: embora, conquanto, inobstante, não obstante, apesar de que, se bem que, mesmo que, posto que,ainda que, em que pese.

Ex. Todos se retiraram, apesar de não terem terminado a prova.D) Condicional: funciona como adjunto adverbial de condição.Conjunções: se, a menos que, desde que, caso, contanto que.

Ex. Você terá um futuro brilhante, desde que se esforce.

E) Conformativa: funciona como adjunto adverbial de conformidade.Conjunções: como, conforme, segundo.

Ex. Construímos nossa casa, conforme as especificações dadas pela Prefeitura.

F) Consecutiva: funciona como adjunto adverbial de conseqüência.



Conjunções: (tão)... que, (tanto)... que, (tamanho)... que.

Ex. Ele fala tão alto, que não precisa do microfone.

G) Temporal: funciona como adjunto adverbial de tempo.Conjunções: quando, enquanto, sempre que, assim que, desde que, logo que, mal.

Ex. Fico triste, sempre que vou à casa de Juvenildo. H)Final: funciona como adjunto adverbial de finalidade.Conjunções: a fim de que, para que, porque.

Ex. Ele não precisa do microfone, para que todos o ouçam.

I) Proporcional: funciona como adjunto adverbial de proporção.Conjunções: à proporção que, à medida que, tanto mais.À medida que o tempo passa, mais experientes ficamos.

IV. Orações Reduzidas

Quando uma oração subordinada se apresenta sem conjunção ou pronome relativo e com o verbo noinfinitivo, no particípio ou no gerúndio, dizemos que ela é uma oração reduzida, acrescentando-lhe o nome deinfinitivo, de particípio ou de gerúndio.

Ex. Ele não precisa de microfone, para o ouvirem.

Período Composto por Coordenação

Um período composto por coordenação é formado por orações coordenadas, que são orações independentessintaticamente, ou seja, não há qualquer relação sintática entre as orações do período.

Há dois tipos de orações coordenadas:

1. Orações Coordenadas AssindéticasSão as orações não iniciadas por conjunção coordenativa.

Ex. Chegamos a casa, tiramos a roupa, banhamo-nos, fomos deitar.

2. Orações Coordenadas SindéticasSão cinco as orações coordenadas, que são iniciadas por uma conjunção coordenativa.

A) Aditiva: Exprime uma relação de soma, de adição.Conjunções: e, nem, mas também, mas ainda.

Ex. Não só reclamava da escola, mas também atenazava os colegas.

B) Adversativa: exprime uma idéia contrária à da outra oração, uma oposição.Conjunções: mas, porém, todavia, no entanto, entretanto, contudo.

Ex. Sempre foi muito estudioso, no entanto não se adaptava à nova escola.C) Alternativa: Exprime idéia de opção, de escolha, de alternância. Conjunções:ou, ou...ou, ora... ora, quer... quer.Estude, ou não sairá nesse sábado.

D) Conclusiva: Exprime uma conclusão da idéia contida na outra oração.Conjunções: logo, portanto, por isso, por conseguinte, pois - após o verbo ou entre vírgulas.



Ex. Estudou como nunca fizera antes, por isso conseguiu a aprovação.

E) Explicativa: Exprime uma explicação.Conjunções: porque, que, pois - antes do verbo.

Ex. Conseguiu a aprovação, pois estudou como nunca fizera antEXERCÍCIOS

1- Na frase " Maria do Carmo tinha certeza de que estava para ser mãe" a oração em destaque é :

a) Subordinada substantiva objetiva indiretab) Subordinada substantiva completiva nominal.c) Subordinada substantiva predicativa.d) Coordenada sindética conclusivae) Coordenada sindética explicativa

2- Qual o período em que há oração subordinada substantiva predicativa ?

a) Meu desejo é que você passe nos exames vestibulares.b) Sou favorável a que o aprovem.c) Desejo-te isto que sejas feliz.d) O aluno que estuda consegue superar as dificuldades do vestibular.e) Lembre-se de que tudo passa neste mundo.

3- Marque a opção que contém oração subordinada substantiva completiva nominal:

a) "Tanto eu como Pascoal tínhamos preço de que o patrão topasse Pedro Barqueiro nas ruas da cidade"b) " Era preciso que ninguém desconfiasse do nosso conluio para prendermos o Pedro Barqueiro."c) "Para encurtar a história patrãozinho achamos Pedro Barqueiro no rancho que só tinha três divisões asala, o quarto dele e a cozinha."d) " Quando chegamos, Pedro estava no terreiro debulhando milho que havia colhido em sua rocinha aliperto "e) "Pascoal me fez um sinalzinho, eu dei a volta e entrei pela porta do fundo para agarrar o Barqueiropelas costas"

4- As orações subordinadas substantivas que aparecem nos períodos abaixo são todassubjetivas exceto:

a) Decidiu-se que o período subiria de preço.b) É muito bom que o homem vez por outra reflita sobre sua vida.c) Ignoras quanto custou meu relógio?d) Perguntou-se ao diretor quando seríamos recebidos. e)Convinha-nos que você estivesse presente à reunião.

5- Na frase " Argumentei que não é justo que o padeiro ganhe festas" as orações introduzidaspela conjunção que são respectivamente :

a) Ambas subordinadas substantivas objetivas diretasb) Ambas subordinadas subjetivasc) Subordinada substantiva objetiva direta e subordinada substantiva subjetiva. d)Subordinada objetiva direta e coordenada assindética .e) Subordinada substantiva objetiva e subordinada substantiva predicativa.

6- Em " É possível que comunicassem sobre política" a segunda oração é :

a) Subordinada substantiva subjetiva. b)Subordinada adverbial predicativa. c)Subordinada substantiva predicativa d)Principal



e) Subordinada substantiva objetiva direta.

7- A palavra se é conjunção subordinativa integrante (introduzindo oração subordinadasubstantiva objetiva direta) em qual das orações seguintes?a) Ele se morria de ciúmes pelo patrão.b) A Federação arroga-se o direito de cancelar o jogo.c) O aluno fez-se passar por doutor.d) Precisa-se de pedreiros.e) Não sei se o vinho está bom.

8- " As cunnãs tinham ensinado para ele que o sagüi-açu não era sagüim não, chamavaelevador e era uma máquina ."Em relação à oração não destacada as orações em destaque são respectivamente :

a) Subordinada substantiva objetiva direta coordenada assindética coordenada sindética aditiva. b)Subordinada adjetiva restritiva coordenada assindética -coordenada sindética aditiva.c) Subordinada substantiva objetiva direta subordinada substantiva objetiva direta coordenada sindéticaaditiva.d) Subordinada substantiva objetiva direta subordinada substantiva objetiva diretae) Subordinada substantiva subjetiva coordenada assindética coordenada sindética aditiva.

9- " Se ele confessou , não sei." A oração destacada é:

a) Subordinada adverbial temporalb) Subordinada substantiva objetiva direta c)Subordinada substantiva objetiva indireta d)Subordinada substantiva supletivae) Subordinada substantiva predicativa

10- " A verdade é que a gente não sabia nada"Classifica -se a segunda oração como:

a) Subordinada substantiva objetiva diretab) Subordinada adverbial conformativac) Subordinada substantiva objetiva indiretad) Subordinada substantiva predicativae) Subordinada substantiva apositiva.

11- Leia atentamente a frase:" O presidente comunicou ao Ministro do Planejamento e ao Ministro da Indústria e Comércio,que não haverá expediente na Segunda-feira próxima." Nesta frase a vírgula está separandoerroneamente a oração principal e a oração:

a) Subordinada substantiva objetiva indiretab) Subordinada adverbial temporalc) Coordenada Sindética adversativad) Subordinada substantiva objetiva diretae) Subordinada substantiva assindética modal.

12- Em " Queria que me ajudasses. "O trecho destacado pode ser substituído por:

a) a sua ajudab) a vossa ajudac) a ajuda de vocêd) a ajuda delese) a tua ajuda.

13- " Lembro-me de que ele só usava camisas brancas."A oração destacada é:



a) Subordinada substantiva completiva nominalb) Subordinada substantiva objetiva indiretac) Subordinada substantiva predicativad) Subordina substantiva subjetiva.e) Subordinada substantiva objetiva direta

Respostas

1- B2- A3- A4- C5- C6- A7- E

8- A9- B10- D11- A12- E13- C

Estrutura das Palavras

Estudar a estrutura das palavras é estudar os elementos que formam a palavra, denominados demorfemas. São os seguintes os morfemas da Língua Portuguesa.

Radical

O que contém o sentido básico do vocábulo. Aquilo que permanecer intacto, quando a palavra formodificada.

Ex. falar, comer, dormir, casa, carro.

Obs: Em se tratando de verbos, descobre-se o radical, retirando-se a terminação AR, ER ou IR.

Vogal Temática

Nos verbos, são as vogais A, E e I, presentes à terminação verbal. Elas indicam a que conjugação overbo pertence:

• 1ª conjugação = Verbos terminados em AR.• 2ª conjugação = Verbos terminados em ER.• 3ª conjugação = Verbos terminados em IR.

Obs.: O verbo pôr pertence à 2ª conjugação, já que proveio do antigo verbo poer.

Nos substantivos e adjetivos, são as vogais A, E, I, O e U, no final da palavra, evitando que ela termineem consoante. Por exemplo, nas palavras meia, pente, táxi, couro, urubu.

* Cuidado para não confundir vogal temática de substantivo e adjetivo com desinência nominal degênero, que estudaremos mais à frente.Tema

É a junção do radical com a vogal temática. Se não existir a vogal temática, o tema e o radical serão omesmo elemento; o mesmo acontecerá, quando o radical for terminado em vogal. Por exemplo, em setratando de verbo, o tema sempre será a soma do radical com a vogal temática - estuda, come, parti; emse tratando de substantivos e adjetivos, nem sempre isso acontecerá. Vejamos alguns exemplos: Nosubstantivo pasta, past é o radical, a, a vogal temática, e pasta o tema; já na palavra leal, o radical eo tema são o mesmo elemento - leal, pois não há vogal temática; e na palavra tatu também, masagora, porque o radical é terminado pela vogal temática.

Desinências



É a terminação das palavras, flexionadas ou variáveis, posposta ao radical, com o intuito de modificá-las.Modificamos os verbos, conjugando-os; modificamos os substantivos e os adjetivos em gênero e número.Existem dois tipos de desinências:

Desinências verbais

Modo-temporais = indicam o tempo e o modo. São quatro as desinências modo-temporais:-va- e -ia-, para o Pretérito Imperfeito do Indicativo = estudava, vendia, partia.-ra-, para o Pretérito Mais-que-perfeito do Indicativo = estudara, vendera, partira.-ria-, para o Futuro do Pretérito do Indicativo = estudaria, venderia, partiria.-sse-, para o Pretérito Imperfeito do Subjuntivo = estudasse, vendesse, partisse.

Número-pessoais = indicam a pessoa e o número. São três os grupos das desinências númeropessoais.

Grupo I: i, ste, u, mos, stes, ram, para o Pretérito Perfeito do Indicativo = eu cantei, tu cantaste,ele cantou, nós cantamos, vós cantastes, eles cantaram.

Grupo II: -, es, -, mos, des, em, para o Infinitivo Pessoal e para o Futuro do Subjuntivo = Era para eucantar, tu cantares, ele cantar, nós cantarmos, vós cantardes, eles cantarem. Quando eu puser, tupuseres, ele puser, nós pusermos, vós puserdes, eles puserem.

Grupo III: -, s, -, mos, is, m, para todos os outros tempos = eu canto, tu cantas, ele canta, nóscantamos, vós cantais, eles cantam.

Desinências nominais

de gênero = indica o gênero da palavra. A palavra terá desinência nominal de gênero, quando houver aoposição masculino - feminino. Por exemplo: cabeleireiro - cabeleireira. A vogal a será desinêncianominal de gênero sempre que indicar o feminino de uma palavra, mesmo que o masculino não sejaterminado em o. Por exemplo: crua, ela, traidora.

de número = indica o plural da palavra. É a letra s, somente quando indicar o plural da palavra. Porexemplo: cadeiras, pedras, águas.

Afixos: São elementos que se juntam a radicais para formar novas palavras. São eles:

Prefixo: É o afixo que aparece antes do radical. Por exemplo destampar, incapaz, amoral.

Sufixo: É o afixo que aparece depois do radical, do tema ou do infinitivo. Por exemplo pensamento,acusação, felizmente.

Vogais e consoantes de ligação: São vogais e consoantes que surgem entre dois morfemas, para tornar maisfácil e agradável a pronúncia de certas palavras. Por exemplo flores, bambuzal, gasômetro,canais.

Formação das palavras

Para analisar a formação de uma palavra, deve-se procurar a origem dela. Caso seja formada por apenasum radical, diremos que foi formada por derivação; por dois ou mais radicais, composição. São osseguintes os processos de formação de palavras: Derivação: Formação de novas palavras a partir deapenas um radical.

Derivação Prefixal

Acréscimo de um prefixo à palavra primitiva; também chamado de prefixação. Por exemplo: antepasto,



reescrever, infeliz.

Derivação Sufixal

Acréscimo de um sufixo à palavra primitiva; também chamado de sufixação. Por exemplo: felizmente,igualdade, florescer.

Derivação Prefixal e Sufixal

Acréscimo de um prefixo e de um sufixo, em tempos diferentes; também chamado de prefixação esufixação. Por exemplo: infelizmente, desigualdade, reflorescer.

Derivação Parassintética

Acréscimo de um prefixo e de um sufixo, simultaneamente; também chamado de parassíntese. Porexemplo: envernizar, enrijecer, anoitecer.Obs.: A maneira mais fácil de se estabelecer a diferença entre Derivação Prefixal e Sufixal e DerivaçãoParassintética é a seguinte: retira-se o prefixo; se a palavra que sobrou existir, será Der. Pref. e Suf.; casocontrário, retira-se, agora, o sufixo; se a palavra que sobrou existir, será Der. Pref. e Suf.; caso contrário,será Der. Parassintética. Por exemplo, retire o prefixo de envernizar: não existe a palavra vernizar; agora,retire o sufixo: também não existe a palavra enverniz. Portanto, a palavra foi formada por Parassíntese.

Derivação Regressiva

É a retirada da parte final da palavra primitiva, obtendo, por essa redução, a palavra derivada. Porexemplo: do verbo debater, retira-se a desinência de infinitivo -r: formou-se o substantivo debate.

Derivação Imprópria

É a formação de uma nova palavra pela mudança de classe gramatical. Por exemplo: a palavra gelo éum substantivo, mas pode ser transformada em um adjetivo: camisa gelo.

Composição

Formação de novas palavras a partir de dois ou mais radicais.

Composição por justaposição

Na união, os radicais não sofrem qualquer alteração em sua estrutura. Por exemplo: ao se unirem osradicais ponta e pé, obtém-se a palavra pontapé. O mesmo ocorre com mandachuva, passatempo,guarda-pó.

Composição por aglutinação

Na união, pelo menos um dos radicais sofre alteração em sua estrutura. Por exemplo: ao se unirem osradicais água e ardente, obtém-se a palavra aguardente, com o desaparecimento do a. O mesmoacontece com embora (em boa hora), planalto (plano alto).

Hibridismo

É a formação de novas palavras a partir da união de radicais de idiomas diferentes. Por exemplo:automóvel, sociologia, sambódromo, burocracia.

Onomatopéia

Consiste em criar palavras, tentando imitar sons da natureza. Por exemplo: zunzum, cricri, tiquetaque,pingue-pongue.

Abreviação Vocabular



Consiste na eliminação de um segmento da palavra, a fim de se obter uma forma mais curta. Porexemplo: de extraordinário forma-se extra; de telefone, fone; de fotografia, foto; decinematografia, cinema ou cine.

Siglas

As siglas são formadas pela combinação das letras iniciais de uma seqüência de palavras que constituium nome: Por exemplo: IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística); IPTU (Imposto Predial,Territorial e Urbano).

Neologismo semântico

Forma-se uma palavra por neologismo semântico, quando se dá um novo significado, somado ao que jáexiste. Por exemplo, a palavra legal significa dentro da lei; a esse significado somamos outro: pessoaboa, pessoa legal.

Empréstimo lingüístico

É o aportuguesamento de palavras estrangeiras; se a grafia da palavra não se modifica, ela deve serescrita entre aspas. Por exemplo: estresse, estande, futebol, bife, "show", xampu, "shoppingcenter".

EXERCÍCIOS

Estrutura e Formação de Palavras

1- Os elementos mórficos sublinhados estão corretamente classificados nos parênteses, exceto em:a) aluna (desinência de gênero);b) estudássemos (desinência modo-temporal);c) reanimava (desinência número-pessoal);d) deslealdade (sufixo);e) agitar (vogal temática).

2- Tendo em vista o processo de formação de palavras, não é exemplo de hibridismo:

a) automóvel;b) sociologia;c) alcoômetro;d) burocracia;e) biblioteca.

3-(AL) Tendo em vista a estrutura das palavras, o elemento sublinhado está incorretamente classificadonos parênteses em:

a) velha (desinência de gênero);b) legalidade (vogal de ligação);c) perdeu (tema);d) organizara (desinência modo-temporal);e) testemunhei (desinência número-pessoal).

4- O processo de formação da palavra sublinhada está incorretamente indicado nos parênteses em:

a) Só não foi necessário o ataque porque a vitória estava garantida. (derivação parassintética);b) O castigo veio tão logo se receberam as notícias. (derivação regressiva);c) Foram muito infelizes as observações feitas durante o comício. (derivação prefixal);d) Diziam que o vendedor seria capaz de fugir. (derivação sufixal);e) O homem ficou boquiaberto com as nossas respostas. (composição por aglutinação).



5- Tendo em vista o processo de formação de palavra, todos os vocábulos abaixo são parassintéticos,exceto:a) entardecer;b) despedaçar;c) emudecer;d) esfarelar;e) negociar.

6- É exemplo de palavra formada por derivação parassintética:

a) pernalta;b) passatempo;c) pontiagudo;d) vidraceiro;e) anoitecer.

7- Todas as palavras abaixo são formadas por derivação, exceto:a) esburacar;b) pontiagudo;c) rouparia;d) ilegível;e) dissílabo.8- "Achava natural que as gentilezas da esposa chegassem a cativar um homem". Os elementosconstitutivos da forma verbal grifada estão analisados corretamente, exceto:

a) CHEG - radical;b) A - vogal temática;c) CHEGA - tema;d) SSE - sufixo formador de verbo;e) M - desinência número-pessoal.

9- O elemento mórfico sublinhado não é desinência de gênero, que marca o feminino, em:a) tristonha;b) mestra;c) telefonema;d) perdedoras;e) loba.

10- A afirmativa a respeito do processo de formação de palavras não está correta em: a)Choro e castigo originaram-se de chorar e castigar, através de derivação regressiva; b)Esvoaçar é formada por derivação sufixal com sufixo verbal freqüentativo;c) O amanhã não pode ver ninguém bem. - a palavra sublinhada surgiu por derivação imprópria;d) Petróleo e hidrelétrico são formadas através de composição por aglutinação;e) Pólio, extra e moto são obtidas por redução.

11- O processo de formação de palavras é o mesmo em:a) desfazer, remexer, a desocupação;b) dureza, carpinteiro, o trabalho;c) enterrado, desalmado, entortada; d)machado, arredondado, estragado; e)estragar, o olho, o sustento.

12- O processo de formação da palavra amaciar está corretamente indicado em:a) parassíntese;b) sufixação;c) prefixação;d) aglutinação;e) justaposição.



13- O processo de formação das palavras grifadas não está corretamente indicado em:a) As grandes decisões saem do Planalto. (composição por justaposição);b) Sinto saudades do meu bisavô. (derivação prefixal);c) A pesca da baleia deveria ser proibida. (derivação regressiva);d) Procuremos regularmente o dentista. (derivação sufixal);e) As dificuldades de hoje tornam o homem desalmado. (derivação parassintética).

14- O processo de formação de palavras está indicado corretamente em:

a) Barbeado: derivação prefixal e sufixal;b) Desconexo: derivação prefixal;c) Enrijecer: derivação sufixal;d) Passatempo: composição por aglutinação;e) Pernilongo: composição por justaposição.

15- Apenas um dos itens abaixo contém palavra que não é formada por prefixação. Assinale-o:

a) anômalo e analfabeto;b) átono e acéfalo;c) ateu e anarquia;d) anônimo e anêmico;e) anidro e alma.

16- Em que alternativa a palavra grifada resulta em derivação imprópria?a) "De repente, do riso fez-se o pranto / Silencioso e branco como a bruma / E das bocas fez-se aespuma / E das mãos espalmadas fez-se o espanto." (Vinícius de Moraes);b) "Agora, o cheiro áspero das flores / leva-me os olhos por dentro de suas pétalas."(Cecília Meireles);c) "Um gosto de amora / Comida com sal. A vida / Chamava-se "Agora"." (Guilherme de Almeida); d)"A saudade abraçou-me, tão sincera, / soluçando no adeus de nunca mais. / A ambição de olharverde, junto ao cais, / me disse: vai que eu fico à tua espera." (Cassiano Ricardo).

17- Marque a opção em que todas as palavras possuem um mesmo radical:

a) batista - batismo - batistério - batisfera - batiscafo;b) triforme - triângulo - tricologia - tricípite - triglota;c) poligamia - poliglota - polígono - política - polinésio;d) operário - opereta - opúsculo - obra - operação;e) gineceu - ginecologia - ginecofobia - ginostênio - gimnosperma.

18- Com relação ao seguinte poema, é CORRETO afirmar que:Neologismo"Beijo pouco, falo menos ainda. / Mas invento palavras / Que traduzem a ternura mais funda / E maiscotidiana. / Inventei, por exemplo, o verbo teadorar. / Intransitivo: / Teadoro, Teodora." (ManuelBandeira)

a) o verbo "teadorar" e o substantivo próprio "Teodora" são palavras cognatas, pois possuem o mesmoradical;b) as classes das palavras que compõem a estrutura do vocábulo "teadorar" são pronome e verbo;c) o verbo "teadorar", por se tratar de um neologismo, não possui morfemas;d) a vogal temática dos verbos "beijo", "falo", "invento" e "teadoro" é a mesma, ou seja, "o".

19- Está INCORRETO afirmar que:

a) malcheiroso é formada por prefixação e sufixação;b) televisão é formada por prefixação que significa ao longe;c) folhagem é formada por derivação sufixal que significa noção coletiva;d) em amado e malcheiroso, ambos os sufixos significam provido ou cheio de.

20- Farejando apresenta em sua estrutura:



a) radical farej - vogal temática a - tema fareja - desinência ndo;b) radical far - tema farej - vogal temática e - desinência ndo;c) radical fareja - vogal temática a - sufixo ndo;d) tema farej - radical fareja - sufixo ndo.

Respostas

1- C2- E3- C4- A5- E6- E

7- B8- D9- C10- B11- C12- A

13- A14- B15- E16- D17- D18- B

19- B20- A

Ortografia

Ao escrever uma palavra com som de s, de z, de x ou de j, deve-se procurar a origem dela, pois,na Língua Portuguesa, a palavra primitiva, em muitos casos, indica como deveremos escrever a palavraderivada.

Ç

01) Escreveremos com -ção as palavras derivadas de vocábulos terminados em -to, -tor, -tivo e ossubstantivos formados pela posposição do -ção ao tema de um verbo (Tema é o que sobra, quando seretira a desinência de infinitivo - r - do verbo).Portanto deve-se procurar a origem da palavra terminada em -ção. Por exemplo: Donde provém apalavra conjunção? Resposta: provém de conjunto. Por isso, escrevemo-la com ç.Exemplos:

• erudito = erudição• exceto = exceção• setor = seção• intuitivo = intuição• redator = redação• ereto = ereção• educar - r + ção = educação• exportar - r + ção = exportação• repartir - r + ção = repartição•02) Escreveremos com -tenção os substantivos correspondentes aos verbos derivados do verbo ter.

Exemplos:

• manter = manutenção• reter = retenção• deter = detenção• conter = contenção

03) Escreveremos com -çar os verbos derivados de substantivos terminados em -ce.

Exemplos:

• alcance = alcançar• lance = lançar



S

01) Escreveremos com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -nder e -ndir

Exemplos:

• pretender = pretensão• defender = defesa, defensivo• despender = despesa• compreender = compreensão• fundir = fusão• expandir = expansão

02) Escreveremos com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -erter, -ertir e -ergir.

Exemplos:

• perverter = perversão• converter = conversão• reverter = reversão• divertir = diversão• aspergir = aspersão• imergir = imersão

03) Escreveremos -puls- nas palavras derivadas de verbos terminados em -pelir e -curs-, nas palavrasderivadas de verbos terminados em -correr.

Exemplos:

• expelir = expulsão• impelir = impulso• compelir = compulsório• concorrer = concurso• discorrer = discurso• percorrer = percurso

04) Escreveremos com -s- todas as palavras terminadas em -oso e -osa, com exceção de gozo.

Exemplos:

• gostosa• glamorosa• saboroso• horroroso

05) Escreveremos com -s- todas as palavras terminadas em -ase, -ese, -ise e -ose, com exceção degaze e deslize.

Exemplos:

• fase• crase• tese• osmose

06) Escreveremos com -s- as palavras femininas terminadas em -isa.

Exemplos:

• poetisa



• profetisa• Heloísa• Marisa

07) Escreveremos com -s- toda a conjugação dos verbos pôr, querer e usar.

Exemplos:

• Eu pus• Ele quis• Nós usamos• Eles quiseram• Quando nós quisermos• Se eles usassem

Ç ou S?

Após ditongo, escreveremos com -ç-, quando houver som de s, e escreveremos com -s-, quandohouver som de z.

Exemplos:

• eleição• traição• Neusa• coisa

S ou Z?

01 a) Escreveremos com -s- as palavras terminadas em -ês e -esa que indicarem nacionalidades,títulos ou nomes próprios.

Exemplos:

• português• norueguesa• marquês• duquesa• Inês• Teresab) Escreveremos com -z- as palavras terminadas em -ez e -eza, substantivos abstratos queprovêm de adjetivos, ou seja, palavras que indicam a existência de uma qualidade.

Exemplos:

• embriaguez• limpeza• lucidez• nobreza• acidez• pobreza

02 a) Escreveremos com -s- os verbos terminados em -isar, quando a palavra primitiva já possuir o -s-.Exemplos:



• análise = analisar• pesquisa = pesquisar• paralisia = paralisar

b) Escreveremos com -z- os verbos terminados em -izar, quando a palavra primitiva não possuir -s-.

Exemplos:

• economia = economizar• terror = aterrorizar• frágil = fragilizarCuidado:• catequese = catequizar• síntese = sintetizar• hipnose = hipnotizar• batismo = batizar

03 a) Escreveremos com -s- os diminutivos terminados em -sinho e -sito, quando a palavra primitiva jápossuir o -s- no final do radical.

Exemplos:

• casinha• asinha• portuguesinho• camponesinha• Teresinha• Inesita

b) Escreveremos com -z- os diminutivos terminados em -zinho e -zito, quando a palavra primitivanão possuir -s- no final do radical.

Exemplos:

• mulherzinha• arvorezinha• alemãozinho• aviãozinho• pincelzinho• corzinha

SS

01) Escreveremos com -cess- as palavras derivadas de verbos terminados em -ceder.

Exemplos:

• anteceder = antecessor• exceder = excesso• conceder = concessão

02) Escreveremos com -pressas palavras derivadas de verbos terminados em -primir.

Exemplos:• imprimir = impressão• comprimir = compressa• deprimir = depressivo

03) Escreveremos com -gress- as palavras derivadas de verbos terminados em -gredir.



Exemplos:• agredir = agressão• progredir = progresso• transgredir = transgressor

04) Escreveremos com -miss- ou -mess- as palavras derivadas de verbos terminados em -meter.

Exemplos:

• comprometer = compromisso• intrometer = intromissão• prometer = promessa• remeter = remessa

ÇS ou SS

Em relação ao verbos terminados em -tir, teremos:

01) Escreveremos com -ção, se apenas retirarmos a desinência de infinitivo -r, dos verbos terminadosem -tir.

Exemplo:

• curtir - r + ção = curtição

02) Escreveremos com -são, quando, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for consoante.

Exemplo:

• divertir - tir + são = diversão

03) Escreveremos com -ssão, quando, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for vogal.

Exemplo:

• discutir - tir + ssão = discussão

J

01) Escreveremos com -j- as palavras derivadas dos verbos terminados em -jar.

Exemplos:

• trajar = traje, eu trajei.• encorajar = que eles encorajem• viajar = que eles viajem

02) Escreveremos com -j- as palavras derivadas de vocábulos terminados em -ja.

Exemplos:• loja = lojista• gorja = gorjeta• canja = canjica



03) Escreveremos com -j- as palavras de origem tupi, africana ou popular.Exemplos:

• jeca• jibóia• jiló• pajéG

01) Escreveremos com -g- todas as palavras terminadas em -ágio, -égio, -ígio, -ógio, -úgio.

Exemplos:

• pedágio• colégio• sacrilégio• prestígio• relógio• refúgio

02) Escreveremos com -g- todas as palavras terminadas em -gem, com exceção de pajem, lambujeme a conjugação dos verbos terminados em -jar.

Exemplos:

• a viagem• a coragem• a personagem• a vernissagem• a ferrugem• a penugem

X

01) Escreveremos com -x- as palavras iniciadas por mex-, com exceção de mecha.

Exemplos:

• mexilhão• mexer• mexerica• México• mexerico• mexido

02) Escreveremos com -x- as palavras iniciadas por enx-, com exceção das derivadas de vocábulosiniciados por ch- e da palavra enchova.

Exemplos:

• enxada• enxerto• enxerido• enxurradamas:

• cheio = encher, enchente• charco = encharcar• chiqueiro = enchiqueirar



03) Escreveremos -x- após ditongo, com exceção de recauchutar e guache.

Exemplos:

• ameixa• deixar• queixa• feixe• peixe• gueixa

UIR e OER

Os verbos terminados em -uir e -oer terão as 2ª e 3ª pessoas do singular do Presente do Indicativoescritas com -i-.

Exemplos:

• tu possuis• ele possui• tu constróis• ele constrói• tu móis• ele mói• tu róis• ele rói

UAR e OAR

Os verbos terminados em -uar e -oar terão todas as pessoas do Presente do Subjuntivo escritas com -e-.Exemplos:

• Que eu efetue• Que tu efetues• Que ele atenue• Que nós atenuemos• Que vós entoeis• Que eles entoem

EXERCÍCIOS

Para as perguntas de 01 a 17:Assinale a alternativa em que todos os vocábulos estejam grafados corretamente:

01) X ou CH:

a) xingar, xisto, enxaquecab) mochila, flexa, mexilhãoc) cachumba, mecha, enchurradad) encharcado, echertado, enxotado

02) E ou I:

a) femenino, sequer, periquitob) impecilho, mimeógrafo, digladiarc) intimorato, discrição privilégiod) penico, despêndio , selvícola03) S ou Z:



a) ananás, logaz, vorás, lilazb) maciez, altivez, pequenez, tezc) clareza, duqueza, princesa, rezd) guizo, granizo siso, rizo

04) G ou J:

a) sarjeta, argilab) pajem, monjec) tigela laged) gesto, geito

05) SS, C, Ç:

a) massiço, sucintob) à beça, craçoc) procissão, pretenciosod) assessoria, possessão

06) O ou U:

a) muela, bulir, taboadab) borbulhar, mágoa, regurgitarc) cortume, goela, tabuletad) entupir, tussir, polir

07) S ou Z:a) rês, extaziarb) ourivez, cutizarc) bazar, aziad) induzir, tranzir

08) X ou CH:

a) michórdia, anchob) archote, faxadac) tocha, coxilod) xenofobia, chilique

9) SS ou Ç:a) endosso, alvíssaras, grassar b)

lassidão, palissada, massapê c)chalassa, escasso, massarico d)

arruassa, obsessão, sossobrar

10) X ou CH:

a) chafariz, pixe pechab) xeque, salsixa, esquixoc) xuxu, puxar, coxixard) muxoxo, chispa, xangô

11) G ou J:

a) agiota, beringela, canjicab) jeito, algibeira, tigelac) estranjeiro, gorjeito, jibóiad) enjeitar, magestade, gíria



12) X ou CH:

a) flexa, bexiga, enxarcarb) mexerico, bruxelear, chiliquec) faixa, xalé, chaminéd) charque, chachim, caximbo

13) S ou Z:

a) aridez, pesquizar, catalizarb) abalizado, escassez, clarezac) esperteza, hipnotisar, deslised) atroz, obuz, paralização

14) G ou J:

a) monje tijela lojista ultrajeb) anjinho, rijidez, angina jiac) herege, frege, pajé, jerimumd) rabujento, rigeza, goló, jesto

15) Ortografia:

a) ascensão, expontâneo, privilégiob) encher, enxame, froucho richac) berinjela, traje, vagem, aziad) cincoenta, catorze, aziago, asa

16) S, SS, Ç, C, SC:

a) assédio, discente, suscintob) oscilar, mesce, néscio, lascivoc) víscera, fascinar, discernird) ascenção, ressuscitar, suscitar

17) S ou Z:

a) atrazo, paralizar, reprezáliab) balisa, bazar, aprazível, frizoc) apoteoze, briza, gaze, grizd) espezinhar, cerzir, proeza, paz

Respostas Sobre Ortografia:

01. A02. C03. B04. A05. D

06. B07. C08. D09. A10. D

11. B12. B13. B14. C15. C

16. C17. D

Pontuação

Vírgula (,)

Emprego da vírgula no período simples



Quando se trata de separar termos de uma mesma oração, deve-se usar a vírgula nos seguintes casos:

1. Para isolar adjuntos adverbiais deslocados:

Ex. A maioria dos alunos, durante as férias, viajam.

2. Para isolar os objetos pleonásticos:Ex. Os meus amigos, sempre os respeito.

3. Para isolar o aposto explicativo:Ex. Londrina, a terceira cidade do Sul do Brasil, é aprazibilíssima.

4. Para isolar o vocativo:Ex. Alberto! Traga minhas calças até aqui!

5. para separar elementos coordenados:Ex. As crianças, os pais, os professores e os diretores irão ao convescote.

6. Para indicar a elipse do verbo:Ex. Ela prefere filmes românticos; o namorado, de aventura. (o namorado prefere filmes de aventura)

7. Para separar, nas datas, o lugar:Ex. Londrina, 20 de novembro de 1996.

8. Para isolar conjunção coordenativa intercalada:Ex. Os candidatos, porém, não respeitaram a lei.

9. Para isolar as expressões explicativas isto é, a saber, melhor dizendo, quer dizer...Ex. Irei para Águas de Santa Brárbara, melhor dizendo, Bárbara.

Emprego da vírgula no período composto

Período composto por coordenação: as orações coordenadas devem sempre ser separadas porvírgula.Ex. Todos gostamos de seus projetos, no entanto não há verbas para viabilizá-losNota: as orações coordenadas aditivas iniciadas pela conjunção e só terão vírgula, quando os sujeitosforem diferentes e quando o e aparecer repetido.Ex. Ela irá no primeiro avião, e seus filhos no próximo.Ele gritava, e pulava, e gesticulava como um louco.

Período composto por subordinação

Orações subordinadas substantivas: não se separam por vírgula.Ex. É evidente que o culpado é o mordomo.

Orações subordinadas adjetivas: só a explicativa é separada por vírgula.Ex. Londrina, que é a terceira cidade do Sul do Brasil, é aprazibilíssima.

Orações subordinadas adverbiais: sempre se separam por vírgula.Ex. Assim que chegarem as encomendas, começaremos a trabalhar.

Ponto-e-vírgula (;)

O ponto-e-vírgula indica uma pausa um pouco mais longa que a vírgula e um pouco mais breveque o ponto.O emprego do ponto-e-vírgula depende muito do contexto em que ele aparece.Podem-se seguir as seguintes orientações para empregar o ponto-e-vírgula:



Para separar duas orações coordenadas que já contenham vírgulas:Ex. Estive a pensar, durante toda a noite, em Diana, minha antiga namorada; no entanto, desde o últimoverão, estamos sem nos ver.

Para separar duas orações coordenadas, quando elas são longas:Ex. O diretor e a coordenadora já avisaram a todos os alunos que não serão permitidas brincadeirasdurante o intervalo nos corredores; porém alguns alunos ignoram essa ordem.

Para separar enumeração após dois pontos:Ex. Os alunos devem respeitar as seguintes regras:- não fumar dentro do colégio;- não fazer algazarras na hora do intervalo;- respeitar os funcionários e os colegas;- trazer sempre o material escolar.

Dois-pontos (:)

Deve-se empregar esse sinal:

Para iniciar uma enumeração:Ex. Compramos para a casa o seguinte: mesa, cadeiras, tapetes e sofás.

Para introduzir a fala de uma personagem:Ex. Sempre que o professor Luís entra em sala-de-aula diz:__ Essa moleza vai acabar!

Para esclarecer ou concluir algo que já foi dito:Ex. Essa moleza vai acabar!: essas são as palavras do professor Luís.

Reticências ( ... )

As reticências são empregadas:

Para indicar uma certa indecisão, surpresa ou dúvida na fala da personagem:Ex. João Antônio! Diga-me... você... me traiu?

Para indicar que, num diálogo, a fala de uma personagem foi interrompida pela fala da outra:Ex. __ Como todos já deram sua opinião...__ Um momento, presidente, ainda tenho um assunto a tratar.

Para sugerir ao leitor que complete o raciocínio contido na frase:Ex. Durante o ano ficou claro que o aluno que não atingisse 150 pontos seria reprovado; você atingiu145, portanto...

Para indicar, numa citação, que certos trechos do texto foram exclusos:Ex. "No momento em que a tia foi pagar a conta, Joana pegou o livro..." (Clarice Lispector)

Exercícios

Código:

01) palavra repetida02) termos antepostos (quando repetidos pleonasticamente)03) adjunto adverbial deslocado04) oração coordenada assindética



05) orações coord. sind. aditivas com sujeitos diferentes;06) oração interferente07) vocativo08) conjunção deslocada09) oração subordinada adjetiva explicativa10) zeugma11) aposto12) predicativo13) expressão explicativa, conclusiva, retificativa, enfática...14) termo coordenados15) data16) oração coordenada sindética17) polissíndeto18) oração subordinada adverbial deslocada19) idéias paralelas dos provérbios01) ( ) Possuía lavouras de trigo linho arroz e soja02) ( ) Roda meu carro que é curto o caminho03) ( ) Bem-vindo sejas aos campos do tabajaras senhores da aldeia04) ( ) O aluno enlouquecido queria decorar toda as regras05) ( ) Em suma o concurso foi fraco e as vagas poucas06) ( ) O coitadinho era feio feio...07) ( ) Vitória 10 de março de 199908) ( ) Ganhamos pouco; devemos portanto economizar09) ( ) O dinheiro nós o trazíamos preso ao corpo10) ( ) Amanhã de manhã o Presidente viajará para a Bósnia11) ( ) Ele fez o mar e o céu e a terra e tudo quanto há neles12) ( ) Casa de ferreiro espeto de pau13) ( ) A mocinha olhou sorriu e piscou os olhinhos e entrou14) ( ) A noite não acabava e a insônia a encompridou mais ainda15) ( ) O sinal estava fechado porém os carros não pararam16) ( ) Quanto mais se agitava mais preso à rede ficava17) ( ) A riqueza que é flor belíssima causa luto e tristeza18) ( ) Venham gritavam as crianças ver nossos brinquedos19) ( ) Uns diziam que se matou; outros que fora para Goiás20) Assinale a letra que corresponde ao único período de pontuação corretaa) Pouco depois, quando chegaram, outras pessoas a reunião ficou mais animada b)Pouco depois quando chagaram outras pessoas a reunião ficou mais animada c)Pouco depois, quando chegaram outras pessoa, a reunião ficou mais animada d)Pouco depois quando chegaram outras pessoas, a reunião ficou mais animada

21) Idem ao anterior:

a) Precisando de mim, procure-me; ou melhor, telefone, que eu venhob) Precisando de mim procure-me; ou melhor telefone, que eu venho c)Precisando de mim procure-me, ou, telefone, melhor que eu venhod) Precisando, de mim, telefone-me, ou melhor, procure-me que eu venho

22) Assinale a pontuação errada:

a) Falei com ele com tanta segurança, que nem discordou de mim.b) Porque falei com ela, para mim não há mais dúvidasc) Falei com ela que eu, estaria aqui cedo hoje se tudo corresse bemd) Falei ao chefe que, se o plano corresse bem, estaríamos salvos

23) Dadas as sentenças:

1. Quase todos os habitantes daquela região pantanosa e afastada da civilização morrem de malária2. Pedra, que rola, não cria limo3. Muitas pessoas observavam com interesse, o eclipse solar



- Deduzimos que:

a) apenas a nº 1 está corretab) apenas a nº 2 está corretac) apenas a nº 3 está corretad) todas estão corretas

Para as questões de 24 a 36, assinale o único item correto em relação à pontuação:

24) Correto:

a) Não nego que, ao avistar, a cidade natal tive uma boa sensaçãob) Não nego, que ao avistar a cidade natal tive, uma boa sensaçãoc) Não nego; que ao avistar a cidade natal, tive uma boa sensaçãod) Todos estão incorretos

25) Correto:

a) Os rapazes continuaram a bradar e a rir, e, Rubião foi andando, com o mesmo coro atrás de si b)Os rapazes continuaram a bradar, e a rir, e Rubião foi andando, com o mesmo coro, atrás de si c)Os rapazes continuaram a bradar e a rir, e Rubião foi andando com o mesmo coro atrás de sid) Todos estão incorretos

26) Correto:

a) A dor suspendeu por um pouco, as tenazes; um sorriso alumiou o rosto da enferma, sobre o qual, amorte batia a asa eternab) A dor suspendeu por um pouco as tenazes; um sorriso alumiou o rosto da enferma, sobre o qual amorte batia a asa eternac) A dor suspendeu por um pouco, as tenazes, um sorriso alumiou o rosto da enferma; sobre o qual amorte batia a asa eternad) Todos estão corretos

27) Correto:

a) Longa, foi a agonia longa e cruel, de uma crueldade minuciosa, fria, repisada; que me encheu de dor eestupefação. Era a primeira vez, que eu via morrer alguémb) Longa foi a agonia, longa e cruel, de uma crueldade minuciosa; fria; repisada; que me encheu de dor eestupefação. Era a primeira vez que eu via morrer alguémc) Longa foi a agonia, longa e cruel, de uma crueldade minuciosa, fria, repisada, que me encheu de dor eestupefação. Era a primeira vez que eu via morrer alguémd) Todas estão incorretas

28) Correto:

a) Chegando à vila, tive a má notícia do coronel. Era homem insuportável, estúrdio, exigente, ninguém oaturava, nem os próprios amigosb) Chegando à vila tive más notícias do coronel,. Era homem insuportável, estúrdio, exigente, ninguém oaturava, nem os próprios amigosc) Chegando à vila, tive más notícias do coronel. Era homem insuportável; estúrdio; exigente; ninguém oaturava; nem os próprios amigosd) Todos estão corretos

29) Assinale o item correto:

a) Ouvimos passos no corredor, era D. Fortunata. Capitu compôs-se depressa; tão depressa que,quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e riab) Ouvimos passos no corredor; era D. Fortunata. Capitu, compôs-se depressa, tão depressa, que



quando a mãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e riac) Ouvimos passos no corredor; era D. Fortunata. Capitu compôs-se depressa, tão depressa que: quando amãe apontou à porta, ela abanava a cabeça e riad) Todos estão corretos.


a) Começou porém, um resumo. No fim de dez minutos, a comadre não entendia nada, tãodesconcertados eram os fatos e os conceitos; mais cinco minutos; entrou a sentir medob) Começou, porém, um resumo. No fim de dez minutos, a comadre não entendia nada, tãodesconcertados eram os fatos e os conceitos; mais cinco minutos, entrou a sentir medoc) Começou, porém, um resumo. No fim, de dez minutos, a comadre não entendia nada; tãodesconcertados eram os fatos e os conceitos, mais cinco minutos, entrou, a sentir medod) Todos estão incorretos


a) A cara, ficou séria porque a morte é séria,; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estavaassinada a abdicaçãob) A cara ficou séria: porque a morte é séria; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estavaassinada a abdicaçãoc) A cara ficou séria, porque a morte é séria; dois minutos de agonia, um trejeito horrível, e estavaassinada a abdicaçãod) Todos estão corretos

32) Assinale o item incorreto:

a) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve, porém, no qual não sei se aprendeu ouensinou, ou se fez ambas as coisas, como eu.b) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve, porém, no qual não sei se aprendeu, ouensinou, ou se fez ambas as coisas como eu.c) Tudo era matéria às curiosidades de Capitu. Caso houve porém, no qual não sei, se aprendeu ouensinou, ou se fez ambas as coisas como eu.d) Todos estão incorretos


a) A primeira idéia foi retirar-me logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente; e, na verdade,recebera carta dele, alguns dias antes, dizendo-me que se sentia mal.b) A primeira idéia foi retirar-me, logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente; e na verdade receberacarta dele, alguns dias antes, dizendo-me, que se sentia mal.c) A primeira idéia, foi retirar-me logo cedo, a pretexto de ter meu irmão doente, e, na verdade receberacarta dele, alguns dias antes, dizendo-me que se sentia mal.d) Todos estão incorretosPara as questões de 983 a 985, assinale o item correto em relação ao emprego dos sinais de pontuação.

34) Correto:

a) Um jornal, é lido por muita gente, em muitos lugares; o que ele diz precisa interessar, se não a todos,pelo menos a certo número de pessoas.b) Um jornal é lido por muita gente em muitos lugares, o que ele diz, precisa interessar se não a todospelo menos a certo número de pessoas.c) Um jornal é lido por muita gente, em muitos lugares; o que ele diz precisa interessar, se não a todos,pelo menos a certo número de pessoas.d) Todos estão incorretos

35) Está correto:



a) Salta o primeiro espirro mais outro; outro mais, com a picada leve na garganta, e corre àfarmácia, para tomar a injeção antigripal; que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não podepararb) Salta o primeiro espirro, mais outro; outro mais, com a picada leve na garganta, e corre à farmáciapara tomar a injeção antigripal que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode pararc) Salta o primeiro espirro, mais outro; outro mais; com a picada leve na garganta e você corre à farmácia,para tomar a injeção antigripal, que o mantenha de pé, pois você, como São Paulo, não pode parard) Todos estão incorretos


a) As mães ensinam que é feio escutar conversa dos outros; mas, com os coletivos entupidos de gente,somos forçados a isso; e acabamos nos interessando, pelo que não é de nossa contab) As mães ensinam, que é feio escutar conversa de outros; mas com os coletivos entupidos de gente,somos forçados a isso, e acabamos nos interessando pelo que não é de nossa contac) As mães ensinam que é feio escutar conversa de outros; mas, com os coletivos entupidos de gente,somos forçados a isso, e acabamos nos interessando pelo que não é de nossa contad) Todos estão corretos

37) Em um dos períodos abaixo, há uma vírgula usada erradamente no lugar do ponto-e-vírgula.Assinale-o:

a) Avançamos pela praia, que já não era como a outra. Os pés afundavam na arei fofa, canavial não sevia, só coqueirob) As crianças estavam alvoraçadas e correram para o jardim, o palhaço já tinha chegado e,alegremente, pusera-se a cantar.c) Às vezes, eu quero chamar sua atenção para esse problema, ele, porém, não permite que se toque noassuntod) Sempre fiel a seus princípios, o velho indígena recusou a ajuda dos missionários, convocou osguerreiros e decidiram partir dali.

38) Assinale a alternativa em que a Segunda frase não corrige adequadamente a primeira:

a) 1.A Volkswgen do Brasil está concedendo férias coletivas, de vinte dias a funcionários de suas fábricas.2. A Volkswgen do Brasil está concedendo férias coletivas de vinte dias a funcionários de suas fábricas. b)1. A Academia de Artes e Ciências Cinematográfica de Hollywood adiou para hoje à noite, a cerimônia deentrega dos prêmios Oscar2.A Academia de Artes e Ciências Cinematográfica de Hollywood, adiou para hoje à noite, a cerimônia deentrega dos prêmios Oscarc) 1. A entidade internacional promove a cada dois anos, um congresso2.A entidade internacional promove, a cada dois anos, um congresso d)1. Os soldados da Polícia Militar da Bahia, voltam hoje aos quartéis.2.Os soldados da Polícia Militar da Bahia voltam hoje aos quartéis

39) Assinale a alternativa em que a Segunda alternativa esteja corretamente pontuada:

a) 1. Samuel beija a mão da dama com uma elegância perfeita2. Com uma elegância perfeita, Samuel, beija a mão da dama.b) 1. Um verdadeiro tesouro foi encontrado no cofre de um banco em Paris.2. No cofre de um banco em Paris foi encontrado um verdadeiro tesouroc) 1. O Brasil conseguiu uma Segunda vitória nos bastidores do Mundial2. O Brasil conseguiu, nos bastidores do Mundial uma Segunda vitória d)1. Os estudantes explicaram o motivo do protesto durante a reunião.

2. Durante a reunião, os estudantes explicaram o motivo do protesto

Respostas Sobre Pontuação



01) (14)02) (07)03) (11)04) (12)05) (13)06) (01)07) (15)08) (08)

09) (02)10) (03)11) (17)12) (19)13) (04)14) (05)15) (16)16) (18)

17) (09)18) (06)19) (10)20) C21) A22) C23) A24) D

25) C26) B27) C28) A29) A30) B

31) B32) C33) A

34) C35) D36) C

37) C38) B39) D

Concordância Verbal

Estudar a concordância verbal é, basicamente, estudar o sujeito, pois é com este que o verboconcorda. Se o sujeito estiver no singular, o verbo também o estará; se o sujeito estiver no plural, omesmo acontece com o verbo. Então, para saber se o verbo deve ficar no singular ou no plural,deve-seprocurar o sujeito, perguntando ao verbo Que(m) é que pratica ou sofre a ação? ou Que(m) é quepossui a qualidade? A resposta indicará como o verbo deverá ficar.Por exemplo, a frase

As instalações da empresa são precárias tem como sujeito As instalações da empresa, cujo núcleo é apalavra instalações, pois elas é que são precárias, e não a empresa; por isso o verbo fica noplural.

Até aí tudo bem. O problema surge, quando o sujeito é uma expressão complexa, ou uma palavraquesuscite dúvidas.

Coletivo

Quando o sujeito for um substantivo coletivo, como, por exemplo, bando, multidão, matilha,arquipélago, trança, cacho, etc., ou uma palavra no singular que indique diversos elementos, como,por exemplo, maioria, minoria, pequena parte, grande parte, metade, porção, etc., poderão ocorrer trêscircunstâncias:

A) O coletivo funciona como sujeito, sem acompanhamento de qualquer restritivo:Nesse caso, o verbo ficará no singular, concordando com o coletivo, que é singular.

Ex.

• A multidão invadiu o campo após o jogo.• O bando sobrevoou a cidade.• A maioria está contra as medidas do governo.

B) O coletivo funciona como sujeito, acompanhado de restritivo no plural:Nesse caso, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural.



Ex.

• A multidão de torcedores invadiu / invadiram o campo após o jogo.• O bando de pássaros sobrevoou / sobrevoaram a cidade.• A maioria dos cidadãos está / estão contra as medidas do governo.

C) O coletivo funciona como sujeito, sem acompanhamento de restritivo, e se encontradistante do verbo:

Nesse caso, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural.

Ex.

• A multidão, após o jogo, invadiu / invadiram o campo.• O bando, ontem à noite, sobrevoou / sobrevoaram a cidade.• a maioria, hoje em dia, está / estão contra as medidas do governo.Um milhão, um bilhão, um trilhão:

Com um milhão, um bilhão, um trilhão, o verbo deverá ficar no singular. Caso surja a conjunção e, overbo ficará no plural.

Ex.

• Um milhão de pessoas assistiu ao comício• Um milhão e cem mil pessoas assistiram ao comício.

Mais de, menos de, cerca de...

Quando o sujeito for iniciado por uma dessas expressões, o verbo concordará com o numeral quevierimediatamente à frente.

Ex.• Mais de uma criança se machucou no brinquedo.• Menos de dez pessoas chegaram na hora marcada.• Cerca de duzentos mil reais foram surripiados.Quando Mais de um estiver indicando reciprocidade ou com a expressão repetida, o verbo ficará noplural.

Ex.

• Mais de uma pessoa agrediram-se.• Mais de um carro se entrechocaram.• Mais de um deputado se xingaram durante a sessão.

Nomes próprios no plural

Quando houver um nome próprio usado apenas no plural, deve-se analisar o elemento a que ele serefere:

A) Se for nome de obra, o verbo tanto poderá ficar no singular, quanto no plural.

Ex.

• Os Lusíadas imortalizou / imortalizaram Camões.• Os Sertões marca / marcam uma época da Literatura Brasileira.



B) Se for nome de lugar - cidade, estado, país... - o verbo concordará com o artigo; caso não hajaartigo, o verbo ficará no singular.

Ex.• Os Estados Unidos comandam o mundo.• Campinas fica em São Paulo.• Os Andes cortam a América do Sul.Obs.: Se o nome de lugar possuir artigo, mas este, por alguma razão, não for utilizado, aconcordânciacom o artigo permanecerá sendo a regra, ou seja, o verbo continuará concordando com o artigo.

Ex.

• EUA vencem o México na oitavas de final da Copa do Mundo.

Qual de nós / Quais de nós

Quando o sujeito contiver as expressões ...de nós, ...de vós ou ...de vocês, deve-se analisar oelemento que surgir antes dessas expressões:

A) Se o elemento que surgir antes das expressões estiver no singular (qual, quem, cada um, alguém,algum...), o verbo deverá ficar no singular.

Ex.

• Quem de nós irá conseguir o intento?• Quem de vós trará o que pedi?• Cada um de vocês deve ser responsável por seu material.

B) Se o elemento que surgir antes das expressões estiver no plural (quais, alguns, muitos...), overbotanto poderá ficar na terceira pessoa do plural, quanto concordar com o pronome nós ou vós.

Ex.

• Quantos de nós irão / iremos conseguir o intento?• Quais de vós trarão / trareis o que pedi?• Muitos de vocês não se responsabilizam por seu material.

Sujeito sendo pronome relativo

Quando o pronome relativo exercer a função de sujeito, deveremos analisar o seguinte:

A) Pronome Relativo que:

O verbo concordará com o elemento antecedente.Ex.

• Fui eu que quebrei a vidraça. (Eu quebrei a vidraça)• Fomos nós que telefonamos a você. (Nós telefonamos a você)• Estes são os garotos que foram expulsos da escola. (Os garotos foram expulsos)

B) Pronome Demonstrativo o, a, os, as + Pronome Relativo que:

O verbo concordará com o pronome demonstrativo, ficando, então, na terceira pessoa do singular,ou naterceira pessoa do plural.



Ex.

• Fui eu o que quebrou a vidraça. (O que quebrou a vidraça fui eu)• Foste tu a que me enganou. (A que me enganou foste tu)• Fomos nós os que telefonaram a você. (Os que telefonaram a você fomos nós)• Fostes vós os que me engaram. (Os que me engaram fostes vós)

C) Pronome Relativo quem: O verbo ficará na terceira pessoa do singular.

Ex.

• Fui eu quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fui eu)• Foste tu quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foste tu)• Foi ele quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foi ele)• Fomos nós quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fomos nós)• Fostes vós quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça fostes vós)• Foram eles quem quebrou a vidraça. (Quem quebrou a vidraça foram eles)

Um dos ... que

Quando o sujeito for iniciado pela expressão Um dos que, deveremos analisar o seguinte:

A) É certo que o elemento é o único a praticar a ação:

O verbo ficará no singular. Por exemplo, a frase O Corinthians é um dos times paulistas que maisvezes foi campeão estadual tem o verbo no singular, pois é certo que, dos times de São Paulo, oCorinthians foi mais vezes campeão - 24 vezes.

B) É certo que o elemento não é o único a praticar a ação:

O verbo ficará no plural. Por exemplo, a frase Casagrande é um dos ex-jogadores de futebol quetrabalham como comentarista esportivo tem o verbo no plural, pois é certo que, além de Casagrande,há outros ex-jogadores de futebol, trabalhando como comentarista esportivo - Falcão, Júnior, Tostão,Rivelino...

C) Não se sabe se o elemento é o único a praticar a ação ou não: O verbo tanto poderá ficar noplural, quanto no singular. Por exemplo, a frase São Paulo é uma das cidades que mais sofre /sofrem com a poluição é facultativo, pois não há como medir se São Paulo é a que mais sofre, ou se,além dela, há outras que sofrem tanto. Outra explicação também é a questão de se querer dar ênfaseaoelemento: se se quiser enfatizar o problema em São Paulo, coloca-se o verbo no singular.

Nenhum dos ... Que

Quando o sujeito for iniciado pela expressão Nenhum dos que, o primeiro verbo ficará no plural, e osegundo, no singular.

Ex.

• Nenhum dos alunos que me procuraram trouxe o material.• Nenhuma das pessoas que chegaram atrasadas tem justificativa.

Porcentagem + Substantivo

Quando o sujeito for formado por porcentagem e substantivo, existirão três regras:



A) Porcentagem + Substantivo, sem modificador da porcentagem:

Facultativamente o verbo poderá concordar com a porcentagem ou com o substantivo.Ex.• 1% da turma estuda muito.• 1% dos alunos estuda / estudam muito.• 10% da turma estuda / estudam muito.• 10% dos alunos estudam muito.

B) Porcentagem + Substantivo, com modificador da porcentagem:

O verbo concordará com o modificador, que pode ser pronome demonstrativo, pronomepossessivo,artigo...

Ex.

• Os 10% da turma estudam muito.• Este 1% dos alunos estuda mais.

C) Mais de, menos de, cerca de, perto de, antes da porcentagem:

O verbo concordará apenas com a porcentagem.

Ex.

• Mais de 1% dos alunos estuda muito.• Menos de 10% da turma estudam muito.

Pronomes de Tratamento

Os pronomes de tratamento são pronomes de terceira pessoa, portanto tudo que se referir a elesdeveráestar na terceira pessoa.

Ex.

• Vossa Senhoria deve trazer seus documentos consigo.• Vossa Excelência tem que se contentar com seus assessores.

Silepse de Pessoa

Também chamada de concordância ideológica, a silepse de pessoa é a concordância, não com apalavraescrita, mas sim com o que ela significa. Por exemplo, nós somos brasileiros, portanto, aoutilizarmosa palavra brasileiros, poderemos concordar o verbo com a idéia que essa palavra nos evoca - nós - edizer Os brasileiros estamos torcendo pelo sucesso do Presidente.

Ex.

• Os professores nos reciclamos anualmente. (Nós nos reciclamos)• Os alunos deveis estudar mais. (Vós deveis)

Núcleos ligados pela conjunção "e"01) Verbo após os núcleos:



Ficará no plural o verbo que estiver após o sujeito composto cujos núcleos sejam ligados pelaconjunção e:Ex.• O hotel e a cidade são maravilhosos.• Machado de Assis e Guimarães Rosa estão entre os melhores escritores do mundo.Obs.: Quando os núcleos forem sinônimos ou estiverem formando gradação, o verbo deverá ficar nosingular.

Ex.

• "A lisura e a sinceridade freqüenta pouco o Congresso Nacional." lisura = sinceridade.• "Cada rosto, cada voz, cada corpo lhe lembrava a amada."• "Um olhar, um arquejar de sobrancelhas, um aceno com a cabeça bastava para a paquera serbem sucedida."

02) Verbo antes dos núcleos:

Facultativamente ficará no plural ou concordará com o núcleo mais próximo o verbo que estiverantes dosujeito composto cujos núcleos sejam ligados pela conjunção e:

Ex.

• É maravilhoso o hotel e a cidade.• São maravilhosos o hotel e a cidade.• É maravilhosa a cidade e o hotel.

Sujeito composto por pessoas diferentes

Se o sujeito for formado por pessoas diferentes (eu, tu, ele, ela ou você), o verbo ficará no plural,concordando com a pessoa de número mais baixo na seqüência (1ª, 2ª ou 3ª).Não havendo a 1ª pessoa (eu ou ), e havendo a 2ª pessoa (tu ou vós), o verbo tanto poderá ficarna 2ªpessoa do plural, quanto na 3ª pessoa do plural.Continuam valendo as regras anteriores, ou seja, se o verbo vier depois do sujeito composto, ficará noplural; se vier antes, concordará com o mais próximo ou ficará no plural.

Ex.

• Teté e eu passamos as férias em Águas de Santa Bárbara.• Passei as férias em Águas de Santa Bárbara eu e Teté.• Passamos as férias em Águas de Santa Bárbara eu e Teté.• Tu e Walmor estais equivocados.• Tu e Walmor estão equivocados.• Estás equivocado tu e Walmor.• Estais equivocados tu e Walmor.• Estão equivocados tu e Walmor.

Núcleos ligados pela conjunção ou

Quando os núcleos do sujeito composto forem ligados pela conjunção ou, deve-se analisar se há ounãoexclusão, ou seja, analisar se um elemento, ao praticar a ação, impede que o outro também apratique.



01) Havendo idéia de exclusão:

Quando houver um elemento praticando a ação e, com isso, impedindo que o outro também apratique, overbo ficará no singular.

Ex.

• Dida ou Marcos será o goleiro titular da seleção.• O Presidente ou o Governador fará o discurso de abertura do Congresso.02) Não havendo idéia de exclusão:

Quando não houver um elemento praticando a ação e, com isso, impedindo que o outro também apratique, o verbo ficará no plural.

Ex.

• Dida ou Marcos poderão ser convocados para a Copa de 2002.• O Presidente ou o Governador estarão presentes na abertura do Congresso.

Núcleos ligados pela preposição "com"

01) Verbo após os núcleos:

Facultativamete ficará no plural ou concordará com o primeiro núcleo o verbo que estiver após osujeitocomposto cujos núcleos sejam ligados pela preposição com.

Ex.

• O gerente com os funcionários dará início à promoção de descontos.• O gerente com os funcionários darão início à promoção de descontos.

02) Verbo antes dos núcleos:

Concordará com o núcleo mais próximo o verbo que estiver antes do sujeito composto cujosnúcleossejam ligados pela preposição com.

Ex.

• Dará início à promoção de descontos o gerente com os funcionários.

Aposto resumidor / conectivos correlatos

O Aposto resumidor é normalmente representado por pronome indefinido (tudo, nada, ninguém,alguém, todos...) ou por pronome demonstrativo (isto, isso, aquilo...), resumindo o sujeitocomposto. O verbo, excepcionalmente, concordará com o aposto resumidor.

Ex.

• Brinquedos, roupas, jogos, nada tirava a angústia daquele jovem.• Amigos, parentes, companheiros de trabalho, ninguém se incomodou com sua ausência.Quando o sujeito composto tem os elementos ligados por conectivos correlatos: assim ... como, não só... mas também, tanto ... como, nem ... nem, o verbo ficará no plural. O singular é raro.



Ex.

• Tanto o irmão como a esposa ignoraram seu pedido de ajuda.• Não só Pedro mas também Eduardo estão à sua procura.

Um e outro / um ou outro / nem um nem outro

Um e outro

Quando o sujeito for a expressão um e outro, o substantivo correspondente a ela ficará nosingular, oadjetivo no plural e o verbo facultativamente no singular ou no plural.

Ex.

• Um e outro aluno indisciplinados será punido.• Um e outro aluno indisciplinados serão punidos.

Um ou outroQuando o sujeito for a expressão um ou outro, o verbo ficará no singular.

Ex.

• Um ou outro esteve à sua procura.

Nem um nem outroQuando o sujeito for a expressão nem um nem outro, o verbo ficará no singular,porém há gramáticos que o admitem no plural.

Ex.

• Nem um nem outro terá coragem de se revelar.• "Nem um nem outro compareceram."(Carlos Góis)

Verbos Especiais

01) O verbo Ser:

A) Quando o verbo ser e o predicativo do sujeito forem numericamente diferentes (um no singular,outrono plural), o verbo deverá ficar no plural.

Ex.

• O vestibular são as esperanças dos estudantes.• Tudo são flores, quando se é criança.

B) Se o sujeito representar uma pessoa ou se for pronome pessoal, o verbo concordará com ele.

Ex.

• Aline é as alegrias do namorado.• O Presidente é as esperanças do povo brasileiro.

C) Se o sujeito for uma quantidade no plural, e o predicativo do sujeito, palavra ou expressão comomuito, pouco, o bastante, o suficiente, uma fortuna, uma miséria, o verbo ficará no singular.

Ex.



• Cem reais é muito, por esse produto.• Duzentos gramas de carne é pouco.

D) Na indicação de horas ou distâncias, o verbo concordará com o numeral.

Ex.• Era meio-dia, quando ele chegou.• São duas horas.• É 1h58min.

E) Na indicação de datas, o verbo poderá ficar no singular, concordando com a palavra dia, ou noplural, concordando com a palavra dias.

Ex.

• É 1º de outubro. = É dia 1º de outubro ou É o primeiro dia de outubro.• É 15 de setembro = É dia quinze de setembro.• São 15 de setembro = São quinze dias de setembro.

02) O verbo Haver:

O verbo haver é impessoal, no sentido de existir, de acontecer ou indicando tempo decorrido; porissofica na 3ª pessoa do singular - caso esteja acompanhado de um verbo auxiliar, formando umalocuçãoverbal, ambos ficarão no singular. Nos outros sentidos, concorda com o sujeito.

Ex.

• Havia um mês, nós estávamos à sua procura.• Poderá haver confrontos entre os policiais e os grevistas.• Os alunos haviam ficado revoltados.

Haja vista:

A) Com a prep. a: haver no singular; vista invariável;

Ex.

• Haja vista ao exemplo dado.• Haja vista aos exemplos dados.

B) Sem a prep. a: haver no singular ou concorda com o substantivo; vista invariável.

Ex.

• Haja vista o exemplo dado.• Haja vista os exemplos dados.• Hajam vista os exemplos dados.

03) O verbo Fazer:



O verbo fazer é impessoal, indicando tempo decorrido e fenômeno natural; por isso fica na 3ªpessoa dosingular - caso esteja acompanhado de um verbo auxiliar, formando uma locução verbal, ambosficarãono singular. Nos outros sentidos, concorda com o sujeito.

Ex.

• Faz três meses que não o vejo.• Faz 35º no verão, em Londrina.• Deve fazer cinco anos que ele morreu.

04) Outros verbos impessoais:

Os outros verbos impessoais, que também ficam na terceira pessoa do singular, são os seguintes:

Fenômenos da natureza:

• Chove há três dias sem parar.• Choveram pedras. Nesse caso, o verbo não é impessoal, pois o sujeito está claro.

Passar de, indicando horas:

• Já passa das 11h30.• Já passava das oito horas, quando ela chegou.

Chegar de e bastar de, no imperativo:

• Chega de firulas! Vamos ao assunto.• Basta de conversas, meninos!

05) Os verbos Dar, Bater e Soar:

Concordam com o sujeito, que pode ser:

A) o relógio, a torre, o sino...

Ex.

• O relógio deu quatro horas.• O sino soou cinco horas.

B) as horas.

O numeral que marca as horas funcionará como sujeito, quando o relógio, a torre, o sinofuncionaremcomo adjunto adverbial de lugar - com a prep. em, ou quando eles não aparecerem na oração.

Ex.

• No relógio, deram quatro horas.• No sino, soaram cinco horas.• Bateram sete horas.

06) O verbo Parecer + infinitivo:



Quando o verbo parecer surgir antes de outro verbo no infinitivo, duas ocorrências podemacontecer:

A) Pode ocorrer a formação de uma locução verbal. Nesse caso, o verbo parecer concordará com osujeito, e o verbo no infinitivo ficará invariável.

Ex.

• As meninas parecem estar nervosas.• Os alunos parecem estudar deveras.

B) Pode ocorrer a formação de um período composto, com o verbo parecer na oração principal,invariável, e o verbo no infinitivo, formando oração subordinada substantiva subjetiva reduzida deinfinitivo, concordando com o sujeito.

Ex.

• As meninas parece estarem nervosas.• Os alunos parece estudarem deveras.• Nesses dois casos, se desenvolvermos as orações, teremos:• Parece as meninas estarem nervosas. Proveio de Parece que as meninas estão nervosas.• Parece os alunos estudarem deveras. Proveio de Parece que os alunos estudam deveras.

07) A Partícula Apassivadora:

O verbo na voz passiva sintética, construída com o pronome se, concorda normalmente com osujeito. Amaneira mais fácil de se comprovar que a oração está na voz passiva sintética é passando-a para avozpassiva analítica: Alugam-se casas muda para Casas são alugadas. Sempre que for possível essatransformação, o se será chamado de Partícula Apassivadora. Para relembrar esse estudo cliqueaqui.

Ex.

• Entregam-se encomendas. = Encomendas são entregues por alguém.• Ouviram-se muitas histórias. = Muitas histórias foram ouvidas.• Sabe-se que ele não virá. = Que ele não virá é sabido.

08) O Índice de Indeterminação do Sujeito:

O pronome se, sendo índice de indeterminação do sujeito, deixa o verbo na terceira pessoa dosingular;haverá I.I.S. quando surgir na oração VI, sem sujeito claro; VTI, com OI; VL, com PS e VTD, comODPrep. Para relembrar esse estudo clique aqui.

Ex.

• Morre-se de fome no Brasil.• Assiste-se a filmes interessantes.• Aqui se está satisfeito.• Respeita-se a Robertoldo.



Exercícios

Para as questões de 01 a 32 seque o código abaixo. Assinale com “C” as alternativas corretas ecom “I “ as incorretas:01) ( ) À autora e à leitora do romance só interessam a verdade02) ( ) Tu e teu colega devereis comparecer ao tribunal03) ( ) Juro que tu e tua mulher me pagam04) ( ) Não quero que fique contra ela o pai e os amigos05) ( ) Casarás com a prima e sereis felizes para sempre06) ( ) Aflição, dores, tristezas, nada o fazia abandonar a luta07) ( ) A tranqüilidade e a calma transmite segurança ao público.08) ( ) Um grito, um gemido, um sussurro acordava a pobre mãe.09) ( ) A viúva com o resto da família mudaram-se para Santiago10) ( ) A riqueza ou o poder o livrou do processo11) ( ) Alunos ou aluno farão a homenagem12) ( ) Ler e escrever provocam entusiasmo na juventude13) ( ) O jovem como o adulto têm os mesmos conflitos14) ( ) Um e outro vício nega os foros da natureza15) ( ) Mais de um atleta completaram o percurso da maratona16) ( ) Não serei eu um dos alunos que cruzaremos os braços17) ( ) O bando assaltou a joalheira e, depois, fugiram pelas ruas18) ( ) Um grande número de pessoas observavam os atores19) ( ) Os dez por cento da comissão desapareceu20) ( ) Quantos de nós será aprovado neste concurso?21) ( ) Os Lusíadas imortalizaram Camões22) ( ) Não mais viajaremos, haja visto os problemas23) ( ) Já não se fazem planos mirabolantes24) ( ) Fala-se de festas em que se assistem a filmes instrutivos25) ( ) A partir de agora, sou eu quem passa a transmitir o jogo26) ( ) Com certeza ainda faltam discutir todas as questões27) ( ) Faz muitos anos que não chovem flores em minha vida, mas houve casos de chovertomates.28) ( ) Tudo são apenas sonhos, pois o homem é suas cinzas29) ( ) São seis e meia da tarde e hoje é seis de março de 199930) ( ) Cem mil reais é menos do que preciso31) ( ) O herói és tu, embora a maioria sejam homens valorosos32) ( ) Mentiras era o que me pediam, sempre mentiras.

Respostas sobre Concordância Verbal:

01) I02) C03) C04) C05) C06) C07) C08) C09) C10) I11) I12) I13) C14) C15) I16) I17) C18) C

19) I20) I21) C22) I23) C24) I25) C30) C31) C 32) C



Regência Verbal

A regência estuda a relação existente entre os termos de uma oração ou entre as orações deumperíodo.A regência verbal estuda a relação de dependência que se estabelece entre os verbos e seuscomplementos. Na realidade o que estudamos na regência verbal é se o verbo é transitivodireto,transitivo indireto, transitivo direto e indireto ou intransitivo e qual a preposição relacionadacom ele.

Verbos Transitivos Diretos

São verbos que indicam que o sujeito pratica a ação, sofrida por outro elemento, denominadoobjeto direto.Por essa razão, uma das maneiras mais fáceis de se analisar se um verbo é transitivo direto épassar a oração para a voz passiva, pois somente verbo transitivo direto admite taltransformação, além de obedecer, pagar e perdoar, que, mesmo não sendo VTD, admitem apassiva.O objeto direto pode ser representado por um substantivo ou palavra substantivada, umaoração (oração subordinada substantiva objetiva direta) ou por um pronome oblíquo.Os pronomes oblíquos átonos que funcionam como objeto direto são os seguintes: me, te, se, o, a,nos, vos, os, as.Os pronomes oblíquos tônicos que funcionam como objeto direto são os seguintes: mim, ti, si,ele, ela, nós, vós, eles, elas.Como são pronomes oblíquos tônicos, só são usados com preposição, por isso se classificamcomoobjeto direto preposicionado.

Vamos à lista, então, dos mais importantes verbos transitivos diretos: Há verbos que surgirãoem mais de uma lista, pois têm mais de um significado e mais de uma regência.

Aspirar será VTD, quando significar sorver, absorver.• Como é bom aspirar a brisa da tarde.

Visar será VTD, quando significar mirar ou dar visto.• O atirador visou o alvo, mas errou o tiro.• O gerente visou o cheque do cliente.

Agradar será VTD, quando significar acariciar ou contentar.• A garotinha ficou agradando o cachorrinho por horas.• Para agradar o pai, ficou em casa naquele dia.

Querer será VTD, quando significar desejar, ter a intenção ou vontade de, tencionar.• Sempre quis seu bem.• Quero que me digam quem é o culpado.

Chamar será VTD, quando significar convocar.• Chamei todos os sócios, para participarem da reunião.

Implicar será VTD, quando significar fazer supor, dar a entender; produzir como conseqüência,acarretar.• Os precedentes daquele juiz implicam grande honestidade.



• Suas palavras implicam denúncia contra o deputado.

Desfrutar e Usufruir são VTD sempre.• Desfrutei os bens deixados por meu pai.• Pagam o preço do progresso aqueles que menos o desfrutam. (e não desfrutam dele, comofoi escrito no tema da redação da UEL em julho de 1996)

Namorar é sempre VTD. Só se usa a preposição com, para iniciar Adjunto Adverbial deCompanhia.Esse verbo possui os significados de inspirar amor a, galantear, cortejar, apaixonar, seduzir,atrair, olhar com insistência e cobiça, cobiçar.• Joanilda namorava o filho do delegado.• O mendigo namorava a torta que estava sobre a mesa.• Eu estava namorando este cargo há anos.

Compartilhar é sempre VTD.• Berenice compartilhou o meu sofrimento.

Esquecer e Lembrar serão VTD, quando não forem pronominais, ou seja, caso não sejam usadoscom pronome, não serão usados também com preposição.• Esqueci que havíamos combinado sair.• Ela não lembrou o meu nome.Verbos Transitivos Indiretos

São verbos que se ligam ao complemento por meio de uma preposição. O complemento édenominado objeto indireto.

O objeto indireto pode ser representado por um substantivo, ou palavra substantivada, umaoração(oração subordinada substantiva objetiva indireta) ou por um pronome oblíquo.

Os pronomes oblíquos átonos que funcionam como objeto indireto são os seguintes: me, te, se,lhe,nos, vos, lhes.

Os pronomes oblíquos tônicos que funcionam como objeto indireto são os seguintes: mim, ti, si,ele,ela, nós, vós, eles, elas.

Vamos à lista, então, dos mais importantes verbos transitivos indiretos: Há verbos que surgirãoem maisde uma lista, pois têm mais de um significado e mais de uma regência.

Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. a

Aspirar será VTI, com a prep. a, quando significar almejar, objetivar.• Aspiramos a uma vaga naquela universidade.

Visar será VTI, com a prep. a, quando significar almejar, objetivar.• Sempre visei a uma vida melhor.

Agradar será VTI, com a prep. a, quando significar ser agradável; satisfazer.• Para agradar ao pai, estudou com afinco o ano todo.

Querer será VTI, com a prep. a, quando significar estimar.CENTER7 APOSTILAS - Direitos Reservados 61

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• Quero aos meus amigos, como aos meus irmãos.

Assistir será VTI, com a prep. a, quando significar ver ou ter direito.• Gosto de assistir aos jogos do Santos.• Assiste ao trabalhador o descanso semanal remunerado.

Custar será VTI, com a prep. a, quando significar ser difícil. Nesse caso o verbo custar terácomo sujeitoaquilo que é difícil, nunca a pessoa, que será objeto indireto.• Custou-me acreditar em Hipocárpio. e não Eu custei a acreditar...

Proceder será VTI, com a prep. a, quando significar dar início.• Os fiscais procederam à prova com atraso.

Obedecer e desobedecer são sempre VTI, com a prep. a.• Obedeço a todas as regras da empresa.

Revidar é sempre VTI, com a prep. a.• Ele revidou ao ataque instintivamente.

Responder será VTI, com a prep. a, quando possuir apenas um complemento.• Respondi ao bilhete imediatamente.• Respondeu ao professor com desdém.Caso tenha dois complementos, será VTDI, com a prep. a.Alguns verbos transitivos indiretos, com a prep. a, não admitem a utilização do complementolhe. No lugar, deveremos colocar a ele, a ela, a eles, a elas. Dentre eles, destacam-se osseguintes:

Aspirar, visar, assistir(ver), aludir, referir-se, anuir.

Quando houver, na oração, um verbo transitivo indireto, com a prep. a, seguido de umsubstantivofeminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve sercaracterizado pelo acento grave (à ou às).• Assisti à peça das meninas do terceiro colegial.

Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. com

Simpatizar e Antipatizar sempre são VTI, com a prep. com. Não são verbos pronominais,portanto nãoexiste o verbo simpatizar-se, nem antipatizar-se.• Sempre simpatizei com Eleodora, mas antipatizo com o irmão dela.

Implicar será VTI, com a prep. com, quando significar antipatizar.• Não sei por que o professor implica comigo.

Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. de

Esquecer-se e lembrar-se serão VTI, com a prep. de, quando forem pronominais, ou seja,somentequando forem usados com pronome, poderão ser usados com a prep. de.• Esqueci-me de que havíamos combinado sair.• Ela não se lembrou do meu nome.



Proceder será VTI, com a prep. de, quando significar derivar-se, originar-se.• Esse mau-humor de Pedro procede da educação que recebeu.

Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. em

Consistir é sempre VTI, com a prep. em. Esse verbo significa cifrar-se, resumir-se ou estarfirmado, ter por base, ser constituído por.

• O plano consiste em criar uma secretaria especial.

Sobressair é sempre VTI, com a prep. em. Não é verbo pronominal, portanto não existe o verbosobressair-se.

• Quando estava no colegial, sobressaía em todas as matérias.

Verbos Transitivos Indiretos, com a prep. por

Torcer é VTI, com a prep. por. Pode ser também verbo intransitivo. Somente neste caso, usa-secom a prep. para, que dará início a Oração Subordinada Adverbial de Finalidade. Para ficar maisfácil, memorize assim: Torcer por + substantivo ou pronome. Torcer para + oração (com verbo).

• Estamos torcendo por você.• Estamos torcendo para você conseguir seu intento.

Chamar será VTI, com a prep. por, quando significar invocar.• Chamei por você insistentemente, mas não me ouviu.

Verbos Transitivos Diretos e Indiretos

São os verbos que possuem os dois complementos - objeto direto e objeto indireto.Chamar será VTDI, com a prep. a, quando significar repreender.

• Chamei o menino à atenção, pois estava conversando durante a aula.• Chamei-o à atenção.

Obs.: A expressão Chamar a atenção de alguém não significa repreender, e sim fazer senotado. Por exemplo: O cartaz chamava a atenção de todos que por ali passavam. Implicarserá VTDI, com a prep. em, quando significar envolver alguém.• Implicaram o advogado em negócios ilícitos.

Custar será VTDI, com a prep. a, quando significar causar trabalho, transtorno.• Sua irresponsabilidade custou sofrimento a toda a família.

Agradecer, Pagar e Perdoar são VTDI, com a prep. a. O objeto direto sempre será a coisa, e oobjeto indireto, a pessoa.

• Agradeci a ela o convite.• Paguei a conta ao Banco.• Perdôo os erros ao amigo.



Pedir é VTDI, com a prep. a. Sempre deve ser construído com a expressão Quem pede, pedealgo a alguém. Portanto é errado dizer Pedir para que alguém faça algo.

• Pedimos a todos que tragam os livros.

Preferir é sempre VTDI, com a prep. a. Com esse verbo, não se deve usar mais, muito mais, milvezes, nem que ou do que.

• Prefiro estar só a ficar mal-acompanhado.

Avisar, advertir, certificar, cientificar, comunicar, informar, lembrar, noticiar, notificar,prevenir são VTDI, admitindo duas construções: Quem informa, informa algo a alguém ou Queminforma, informa alguém de algo.

• Advertimos aos usuários que não nos responsabilizamos por furtos ou roubos.• Advertimos os usuários de que não nos responsabilizamos por furtos ou roubos.Quando houver, na oração, um verbo transitivo direto e indireto, com a prep. a, seguido de umsubstantivo feminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve sercaracterizado pelo acento grave (à ou às).

Advertimos às alunas que não poderiam usar a sala fora do horário de aula.

Verbos Intransitivos

São os verbos que não necessitam de complementação. Sozinhos, indicam a ação ou o fato.

Assistir será intransitivo, quando significar morar.• Assisto em Londrina desde que nasci.

Custar será intransitivo, quando significar ter preço.• Estes sapatos custaram R$50,00.

Proceder será intransitivo, quando significar ter fundamento.• Suas palavras não procedem!

Morar, residir e situar-se sempre são intransitivos.• Moro em Londrina; resido no Jardim Petrópolis; minha casa situa-se na rua Cassiano Ricardo.

Deitar-se e levantar-se são sempre intransitivos.• Deito-me às 22h e levanto-me às 6h.

Ir, vir, voltar, chegar, cair, comparecer e dirigir-se são intransitivos. Aparentemente eles têmcomplemento, pois Quem vai, vai a algum lugar. Porém a indicação de lugar é circunstância, enão complementação. Classificamos como Adjunto Adverbial de Lugar. Alguns gramáticosclassificam como Complemento Circunstancial de Lugar.

Esses verbos exigem a prep. a, na indicação de destino, e de, na indicação de procedência.Só se usa a prep. em, na indicação de meio, instrumento.• Cheguei de Curitiba há meia hora.• Vou a São Paulo no avião das 8h.

Quando houver, na oração, um verbo intransitivo, com a prep. a, seguido de um substantivofeminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve sercaracterizado pelo acento grave (à ou às). • Vou à Bahia.



Verbos de regência oscilante

VTD ou VTI, com a prep. a

Assistir pode ser VTD ou VTI, com a prep. a, quando significar ajudar, prestar assistência.• Minha família sempre assistiu o Lar dos Velhinhos.• Minha família sempre assistiu ao Lar dos Velhinhos.

Chamar pode ser VTD ou VTI, com a prep. a, quando significar dar qualidade. A qualidade podevir precedida da prep. de, ou não.

• Chamaram-no irresponsável.• Chamaram-no de irresponsável.• Chamaram-lhe irresponsável.• Chamaram-lhe de irresponsável.

Atender pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• Atenderam o meu pedido prontamente.• Atenderam ao meu pedido prontamente.

Anteceder pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• A velhice antecede a morte.• A velhice antecede à morte.

Presidir pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• Presidir o país.• Presidir ao país.

Renunciar pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.• Nunca renuncie seus sonhos.• Nunca renuncie a seus sonhos.Satisfazer pode ser VTD ou VTI, com a prep. a.

• Não satisfaça todos os seus desejos.• Não satisfaça a todos os seus desejos.

VTD ou VTI, com a prep. de

Precisar e necessitar podem ser VTD ou VTI, com a prep. de.• Precisamos pessoas honestas.• Precisamos de pessoas honestas.

Abdicar pode ser VTD ou VTI, com a prep. de, e também VI.• O Imperador abdicou o trono.• O Imperador abdicou do trono.• O Imperador abdicou.Gozar pode ser VTD ou VTI, com a prep. de.• Ele não goza sua melhor forma física.• Ele não goza de sua melhor forma física.

VTD ou VTI, com a prep. em

Acreditar e crer podem ser VTD ou VTI, com a prep. em.• Nunca cri pessoas que falam muito de si próprias.• Nunca cri em pessoas que falam muito de si próprias.



Atentar pode ser VTD ou VTI, com a prep. em, ou com as prep. para e por.• Em suas redações atente a ortografia.• Deram-se bem os que atentaram nisso.• Não atentes para os elementos supérfluos.• Atente por si, enquanto é tempo.

Cogitar pode ser VTD ou VTI, com a prep. em, ou com a prep. de.• Começou a cogitar uma viagem pelo litoral brasileiro.• Hei de cogitar no caso.• O diretor cogitou de demitir-se.

Consentir pode se VTD ou VTI, com a prep. em.• Como o pai desse garoto consente tantos agravos?• Consentimos em que saíssem mais cedo.

VTD ou VTI, com a prep. por

Ansiar pode ser VTD ou VTI, com a prep. por.• Ansiamos dias melhores.• Ansiamos por dias melhores.

Almejar pode ser VTD ou VTI, com a prep. por, ou VTDI, com a prep. a.• Almejamos dias melhores.• Almejamos por dias melhores.• Almejamos dias melhores ao nosso país.

VI ou VTI, com a prep. a

Faltar, Bastar e Restar podem ser VI ou VTI, com a prep. a.• Muitos alunos faltaram hoje.• Três homens faltaram ao trabalho hoje.• Resta aos vestibulandos estudar bastante.Na última frase apresentada não há erro algum, como à primeira vista possa parecer. Atendência é de oaluno concordar o verbo estudar com a palavra vestibulando, construindo a oração assim:Resta osvestibulandos estudarem.Porém essa construção está totalmente errada, pois o verbo é transitivo indireto, portanto resta aalguém. Então vestibulandos funciona como objeto indireto e não como sujeito. Nenhum verboconcorda com o objeto indireto.

Quando houver, na oração, um verbo transitivo indireto, com a prep. a, seguido de umsubstantivofeminino, que exija o artigo a, ocorrerá o fenômeno denominado crase, que deve sercaracterizado peloacento grave (à ou às).

Assisti à peça das meninas do terceiro colegial.

VI ou VTD

Pisar pode ser VI ou VTD. Quando for VI, admitirá a prep. em, iniciando Adjunto Adverbial deLugar.• Pisei a grama para poder entrar em casa.• Não pise no tapete, menino!



Exercícios Sobre Regências Verbal e Nominal

Para o exercícios de 01 a 19, marcará com “C” as alternativas corretas e com “I “ as incorretas:

01) ( ) A greve geral não agradou os diretores.02) ( ) Você aspirava ao cargo? Sim, aspirava-lhe.03) ( ) O residente assiste o cirurgião na operação04) ( ) Não atenderam seu pedido por falta de amparo legal05) ( ) Quero-a para esposa e companheira06) ( ) Vamos proceder uma investigação minuciosa07) ( ) Devemos visar, acima de tudo ao bem da família08) ( ) Às vezes, chamavam- o tolo e arrogante09) ( ) O pai custava sentir a revolta do filho10) ( ) Já respondi todos os cartões11) ( ) Supressão da liberdade implica, não raro, em violência12) ( ) Lembrei-me que era tarde e corri13) ( ) Avisei-o que os fiscais chegaram14) ( ) Obedecia-lhe porque o respeitava15) ( ) Aos amigos, perdoa-lhes todas as ofensas16) ( ) Os guias ainda não foram pagos17) ( ) À vida prefere a honra18) ( ) Afinal, simpatizei-me com a proposta...19) ( ) Lemos e gostamos muito de seus poemas

Para as questões de 20 a 22, assinale a alternativa, preenchendo as lacunas corretamente:

20) Obedeça- ___, estime-___ e ___ sempre que precisar

a) os – os- recorra a elesb) lhes – os – recorra a elesc) os – lhes – recorra-lhes d)lhes – lhes – recorra-lhes

21) Os encargos ______nos obrigaram são aqueles _____o diretor se referiu

a) de que, queb) a que, a quec) a cujos, cujod) de que, de que

22) Alguns demonstram verdadeira aversão _______ exames, porque nunca se empenharam osuficiente _____ utilização do tempo ______ dispunham para o estudo

a) por, com, queb) a, na, quec) a, na, de qued) com, na, que

23) Assinale a incorreta:

a) O trabalho ansiava o rapaz b)O rapaz ansiava por trabalho c)Você anseia uma vagad) Aquele espetáculo ansiava-o



24) Ansiava ____ encontrá-lo, a fim de ____ pelo sucesso:

a) por, cumprimentá-lob) por cumprimentar-lhec) em, cumprimentar-lhed) para cumprimentar-lhe

25) Assinale a substituição errada:

a) Aspiro o pó – Aspiro-ob) Aspiro ao sucesso – Aspiro-lhe c)Aspiro ao sucesso – Aspiro a ele d)Aspiramos o ar – Aspiramo-lo

26) Assinale a substituição incorreta:

a) O médico assiste o doente – O médico assiste-ob) O médico assiste ao doente – O médico assiste-lhec) O doente assiste ao programa – O doente assiste-lhe d)O doente assiste ao programa – O doente assiste a ele

27) Assinale a opção em que o verbo ASSISTIR é empregado com o mesmo sentido queapresenta em :

“Não direi que assisti às alvoradas do Romantismo”:

a) Não se pode assistir indiferente a um ato de injustiçab) Não assiste a você o direito de me julgarc) É dever do médico assistir a todos os enfermosd) Em sua administração, sempre foi assistido por bons conselheiros

28) Leia os períodos e selecione, depois, a opção correta:

1. O povo assistiu ao jogo? Sim, o povo assistiu a ele2. O professor aspirava o cargo de diretor da escola3. A enfermeira não assistiu o jogo porque assistia a um doente4. Os que vestem roupas delicadas e finas são os que assistem nos palácios dos reis

a) Apenas os períodos 1 e 4 são corretosb) Todos estão corretosc) Apenas os períodos 2 e 3 são corretosd) Apenas o 1º período é correto

29) Assinale a correta:

a) Custa-me descobrir qual a corretab) Custei a resolver os problemasc) Custei rever a matériad) Custou-me para explicar a ele




a) Esqueceu-me a carteirab) Eu me esqueci da carteirac) Eu esqueci da carteirad) Esqueceu-se a carteira

31) A menina ______olhos eu não esqueço, não me sai do pensamento:a) de cujos osb) cujosc) cujos osd) de cujos

32) Correlacione as orações:

1. Era uma grande data...2. Leu o livro...3. Ouviu o tiro...( ) cujas páginas o encantaram( ) de que nunca me esqueço( ) sobre cujas páginas dormiu( ) que nunca esqueço( ) a que escapoua) 2-1-2-1-3b) 3-1-2-1-2c) 2-1-2-2-3d) 1-1-2-1-3

33) Preencha as lacunas:

1. A posição ____ visamos é nobre2. Foram muitos os documentos _____visamos3. Ninguém pode prescindir ______ ajuda de outrem4. Sempre quis muito ____- seus filhos e estes também _____ querem muito5.Seus modos nos se coadunam _____ os princípios de boa educação

A seqüência correta será:

a) que – a que – da – a – o - sobb) a que – que – da – a – lhe - comc) que – que – a - os – lhe - comd) por que - de que - a - os – o - contra

34) Considere os períodos abaixo:

1. Fabiano preferiu ficar escondido do que renunciar à sua liberdade2. Custou-lhe muito falar com Sinhá Vitória a respeito dos meninos3. Agora os meninos tinham obrigação de obedecê-los4. Sempre se lembraria que a seca a tudo esturricava5. Jamais lhe perdoaria as humilhações recebidas

a) Corretos 1 e 4b) Corretos 2 e 5



c) Corretos 2 e 3d) Corretos 1 e 2


a) Prefiro ficar aqui do que sairb) Eles aspiram o ar puro do marc) Estas calças lhe servem bemd) Todos querem bem a seus pais

36) Onde há erro de regência?

a) Esqueceram-lhe os compromissosb) Nós lhe lembramos o compromissoc) Eu esqueci dos compromissosd) Não me lembram tais palavras37) Que homem você viu? Este é o homem que eu vi.

1. Este é o menino ______ eu chamei2. Este é o menino ______ eu vim3. Este é o menino ______ eu assisti4. Este é o menino ______ eu me esqueci5. Este é o menino ______ eu esquecia) quem, com que, a que, de que, queb) que, com que, que, quem de, quec) que, com quem, a quem, de quem, qued) que, que, a que, que, de que

38) Indique a frase correta:

a) Cheguei tarde a casa ontemb) Resido à rua da Independênciac) Viso uma vida e um emprego melhord) Trouxe o livro que você se refere

39) Assinale a frase correta:

a) Devo interromper-lhe para fazer-lhe algumas perguntasb) Não posso atendê-lo agora, mas agradeço-lhe a visita c)Autorizei-lhe a sair agora mesmod) Se nossa conversa não lhe atrapalha, sua irritação é porque lhe impediram de entrar na sala

40) Assinale a frase incorreta:

a) Abraçou os amigos com carinhob) Deus assiste os infelizesc) Chamam ao diabo de cãod) Esta é a primeira vez que o desobedeço, pois sempre lhe quis bem

41) Assinale a alternativa com erro, se houver:

a) Sabemos que o impediram de entrar na sala, mas informo-lhe que sua inscrição foi aceita b)Só não o chamaram de santo e ainda lhe dizem que o amamc) Avise o aluno de que a prova versará sobre todo o conteúdod) Todas estão corretas



42) Incorreta:a) Informei-o de nossos planosb) Informei-lhe nossos planosc) Informei-lhe de nossos planosd) Todas estão corretas

43) Incorreta:

a) Incumbiram-lhe das comprasb) Cientifiquei os candidatos das deliberações tomadac) Não vou comparecer à reunião de hojed) Todas estão corretas44) Incorreta:

a) O fiscal mora na Rua Santos Paivab) Jamais perdoou aos que fugiramc) Sua falta implica rescisão de contratod) Todas estão corretas

45) Incorreta:

a) Ela presidiu aos exames finaisb) A secretária acedeu o convitec) Queremos muito aos nossos mestresd) Todas estão corretas

46) Incorreta:

a) Devemos, acima de tudo, visar ao bem do próximob) Não respondi, ainda, ao telegramac) Não lhe assiste tal direitod) Todas estão corretas

47) Incorreta:

a) É dela a casa em que sempre voub) O resultado a que se chegou foi surpreendentec) Esta é a chave com que abrirei o cofred) Todas estão corretas

48) Incorreta:a) Abraçou-ob) Encontrou-od) Obedeço-od) Respeito-o

49) Assinale a alternativa com erro de regência:

a) Alguns políticos têm hábitos com que não simpatizamosb) Analise o fato a que o povo se insurgiuc) Este é o líder por cuja causa lutaste?d) Um novo Plano Econômico implicará reações imprevisíveis



Respostas Sobre Regências Verbal e Nominal:

01) I02) I03) C04) C05) C06) I07) C08) I09) I10) I11) I12) I

13) I14) I15) C16) C17) C18) C19) I20) I21) B22) B23) C24) C25) A

26) B27) C28) A29) A30) A31) C32) B33) A34) B35) B36) A37) C38) C39) A40) B41) D42) D43) C44) A45) D46) B47) D48) A49) C50)

CRASE

A palavra crase provém do grego (krâsis) e significa mistura. Na língua portuguesa, crase é a fusão de duasvogais idênticas, mas essa denominação visa a especificar principalmente a contração ou fusão da preposiçãoa com os artigos definidos femininos (a, as) ou com os pronomes demonstrativos a, as, aquele, aquela, aquilo,aquiloutro, aqueloutro .

Para saber se ocorre ou não a crase, basta seguir três regras básicas:

01) Só ocorre crase diante de palavras femininas, portanto nunca use o acento grave indicativo de crasediante de palavras que não sejam femininas.Ex.O sol estava a pino. Sem crase, pois pino não é palavra feminina.Ela recorreu a mim. Sem crase, pois mim não é palavra feminina.Estou disposto a ajudar você. Sem crase, pois ajudar não é palavra feminina.

02) Se a preposição a vier de um verbo que indica destino (ir, vir, voltar, chegar, cair, comparecer,dirigir-se...), troque este verbo por outro que indique procedência (vir, voltar, chegar...); se, diante doque indicar procedência, surgir da, diante do que indicar destino, ocorrerá crase; caso contrário, nãoocorrerá crase.

Ex.Vou a Porto Alegre. Sem crase, pois Venho de Porto Alegre.

Vou à Bahia. Com crase, pois Venho da Bahia.

Obs.: Não se esqueça do que foi estudado em Artigo.

03) Se não houver verbo indicando movimento, troca-se a palavra feminina por outra masculina; se,diante da masculina, surgir ao, diante da feminina, ocorrerá crase; caso contrário, não ocorrerá crase.



Ex.Assisti à peça. Com crase, pois Assisti ao filme.Paguei à cabeleireira. Com crase, pois Paguei ao cabeleireiro.Respeito as regras. Sem crase, pois Respeito os regulamentos.

Casos especiais

01) Diante das palavras moda e maneira, das expressões adverbiais à moda de e à maneira de, mesmoque as palavras moda e maneira fiquem subentendidas, ocorre crase.

Ex. Fizemos um churrasco à gaúcha.Comemos bife à milanesa, frango à passarinho e espaguete à bolonhesa.Joãozinho usa cabelos à Príncipe Valente.

02) Nos adjuntos adverbiais de modo, de lugar e de tempo femininos, ocorre crase.Ex. à tarde, à noite, às pressas, às escondidas, às escuras, às tontas, à direita, à esquerda, à vontade, àrevelia ...

03) Nas locuções prepositivas e conjuntivas femininas ocorre crase.Ex. à maneira de, à moda de, às custas de, à procura de, à espera de, à medida que, à proporção que...

04) Diante da palavra distância, só ocorrerá crase, se houver a formação de locução prepositiva, ou seja, senão houver a preposição de, não ocorrerá crase.Ex. Reconheci-o a distância.Reconheci-o à distância de duzentos metros.

05) Diante do pronome relativo que ou da preposição de, quando for fusão da preposição a com opronome demonstrativo a, as (= aquela, aquelas).

Ex. Essa roupa é igual à que comprei ontem.Sua voz é igual à de um primo meu.

06) Diante dos pronomes relativos a qual, as quais, quando o verbo da oração subordinada adjetivaexigir a preposição a, ocorre crase.Ex. A cena à qual assisti foi chocante. (quem assiste assiste a algo)

07) Quando o a estiver no singular, diante de uma palavra no plural, não ocorre crase.Ex. Referi-me a todas as alunas, sem exceção.Não gosto de ir a festas desacompanhado.

08) Nos adjuntos adverbiais de meio ou instrumento, a não ser que cause ambigüidade.Ex. Preencheu o formulário a caneta.Paguei a vista minhas compras.Nota: Modernamente, alguns gramáticos estão admitindo crase diante de adjuntos adverbias de meio,mesmo não ocorrendo ambigüidade.

09) Diante de pronomes possessivos femininos, é facultativo o uso do artigo, então, quando houver apreposição a, será facultativa a ocorrência de crase.Ex. Referi-me a sua professora.Referi-me à sua professora.

10) Após a preposição até, é facultativo o uso da preposição a, portanto, caso haja substantivo feminino àfrente, a ocorrência de crase será facultativa.Ex. Fui até a secretaria.Fui até à secretaria.

11) A palavra CASA:A palavra casa só terá artigo, se estiver especificada, portanto só ocorrerá crase diante da palavra casanesse caso.Ex. Cheguei a casa antes de todos. Chegueià casa de Ronaldo antes de todos.



12) A palavra TERRA:Significando planeta, é substantivo próprio e tem artigo, conseqüentemente, quando houver a preposição a,ocorrerá a crase; significando chão firme, solo, só tem artigo, quando estiver especificada, portanto só nessecaso poderá ocorrer a crase.Ex. Os astronautas voltaram à Terra.Os marinheiros voltaram a terra.Irei à terra de meus avós.

Exercícios

Para as questões de 01 a 34, assinale com ”C” as frases corretas e com “I “as Incorretas:

01) ( ) A assistência às aulas é indispensável02) ( ) É expressamente proibida a entrada de pessoas estranhas03) ( ) Nunca te dirijas à pessoas despreparadas04) ( ) Não vai a festa nem a igreja: não vai a parte alguma05) ( ) Usarias um bigode à Salvador Dali?06) ( ) Notícias ruins vêm à jato, as boas à cavalo07) ( ) Esta novela nem se compara a que assistimos08) ( ) Não me referi a essas caixas, mas as que estão na sala09) ( ) Florianópolis possui muitas praias, as quais visitaremos10) ( ) Prefiro esta matéria a aquela que estudávamos11) ( ) Obedecerei àquilo que for determinado em lei12) ( ) O deputado foi a Grécia comprar vinho13) ( ) O professor foi a Taguatinga comprar pinga14) ( ) Vocês, caros alunos, ainda visitarão a Europa15) ( ) Gostaria de ir a Curitiba dos pinheirais16) ( ) Chegou a casa e logo se jogou na cama17) ( ) Jamais voltou à casa paterna18) ( ) Irei a cada de meus pais19) ( ) Os turistas foram à terra comprar flores20) ( ) Os marujos desconheciam à terra do capitão21) ( ) Acabarão chegando à terra dos piratas22) ( ) Será que aqueles astronautas voltarão a Terra?23) ( ) A polícia observava os manifestantes a distância24) ( ) Via-se, a distância de cem metros, uma pequena rocha25) ( ) Diga a Adriana que a estamos esperando26) ( ) Avisa a Adriana, minha filha, que amanhã teremos prova27) ( ) O diretor fez alusões a sua classe e não a minha28) ( ) O cônsul enviou vária cartas as suas filhas29) ( ) O conselheiro jamais perdoou a Dona Margarida30) ( ) Esta alameda frondosa vai até à chácara de meu pai31) ( ) Os meninos cheiravam a cola32) ( ) Eles viviam à toa, mas sempre à procura de dinheiro33) ( ) Enriqueciam a medida que os vizinhos se empobreciam34) ( ) Estamos esperando desde às oito horas da manhã

35) Nas manchetes a seguir, assinale a alternativa em que não ocorre crase:a) Cárter acusa Israel de criar obstáculos a pazb) Presidente sírio pede a ajuda do Parlamento par vencer a corrupçãoc) Itália pede a Alemanha extradição de nazistasd) Poço na bacia de Campos leva Petrobrás a maior jazida já descoberta



36) Assinale a alternativa com erro:a) Você já esteve em Roma? Eu irei logo a Romab) Refiro-me à Roma antiga, na qual viveu Césarc) Fui a Lisboa de meus avós, pois lá todas as coisas têm gosto da minha infânciad) Já não agrada ir a Brasília. A gasolina está muito cara

37) Marque a alternativa em que a crase é facultativa:a) Contei o caso à Mariab) Paguei o que devia à dona da lojac) Saiu às quinze horasd) Por desobedecer às regras do jogo, fui expulso

38) A crase está errada na alternativa:a) Fiz alusão à Roma antigab) Fazes referências à criaturas estranhasc) Saíram às pressasd) Obedecendo à ordem geral, compareceu ao desfile

39) Não ocorre crase:a) Pediu desculpas a S. Exªb) Assistiremos a missac) não o levaremos aqueles sombrios lugaresd) Lá estaremos as dezessete horas

40) ____noite, todos os operários voltaram ____ fábrica e só deixaram o serviço _____ uma hora damanhã:a) Há – à - àb) A – a - ac) À – à - àd) À – a - há

41) Assinale a alternativa em que a lacuna da primeira frase deve ser preenchida com a e a da Segundacom à:a)I. As moças não gostam de andar ___ cavalo.II. Ele percorreu o Brasil de ponta ___ ponta b)I. Essa é a tua caneta, eu me refiro ____ minhaII. Ele quer as coisa ___ ferro e fogoc)

I. Regresso ___ casa paterna tal qual filhopródigoII. Quem tem boca vai ___ Romad)I. Apresento minhas desculpas ___ VossaExcelênciaII O menino voltou ___ escola com novo ânimo

42) Preencha corretamente as lacunas:

1. Apesar da insistência, não compareci ___jantar2. Ganhou uma jóia semelhante ___ que lhehaviam roubado3. Naquele dia, não atendeu ___ nenhumachamada

4. Aludiu ___ outras obras do autora) aquele – à – a - àb) aquele – a – à - ac) àquele – à – à - ad) àquele – à – a – a

43) Preencha corretamente as lacunas:1. Dirigiu-se ___ cada um em particular2. Encostou a cabeça ___ parede3. Todos vão ___ festa4. Voltou apressado ___ casa do pai

5. O carro estava ___ uma distância de 50 passosa) a – a – à – a – ab) a – à – a – a- àc) a – à – a – à - a



d) à – a – a – à - a

44) “Ele foi ___ cidade; dirigiu-se ___ referida pensão e aí, pondo-se ___ vontade, pediu ___ criada umcozido ___ portuguesa”:a) à – à – a – a – àb) à – a – a – a – àc) a – a – a – à – àd) à – à – à – à - à

45) “Agradeço ___ Vossa Senhoria ___ oportunidade para manifestar minha opinião ___ respeito.”a) à – a – àb) à – a – ac) a – a – àd) a – a – a

46) Muita atenção, observe os períodos abaixo:I. Sempre que ia à Rio Pardo, Maneco Terra costumava apresentar os seus cumprimentos à velha mãeII. Graças à sua formação, ele está sempre mais predisposto ao perdão do que à justiçaIII. Dedica-se com carinho à família, ao amanho da terra e às suas lavouras e plantaçõesIV. Solicito a V. Exº que dê permissão a esta funcionária para apresentar-se a nova repartiçãoV. Aspira, há muito, à nomeação para ao cargo a que tem direito adquirido e indiscutívelVI. A Aeronáutica colocou vários helicópteros à disposição, à fim de socorrer a todos os atingidos peloterremoto

A alternativa em que todos acentos indicadores da crase estão corretos é:a) II, II, V, VIb) II, III, V,c) II, IV.d) I, III

47) “____ esperança jamais _____ de acabar enquanto você tiver forças para vencer _____ decepções,energia para superar ____ dificuldades ____ que todos estamos sujeitos:a) A – há – as – as – ab) À – há – às – as – ac) A – a – as – as – ad) A – há – às – as – à

48) Assinale o período em que há 2 casos de crase:a) Chegando a casa, achou abertas as janelasb) Agradecia as colegas os elogios feitos a pesquisa que apresentac) Referindo-se a poesia romântica, fez comentários a respeito de Castro Alvesd) Indiferentes as queixas, ia respondendo a pergunta

49) Examinando as sentenças:- Refiro-me àquilo que discutimos- Chegamos à Argentina de madrugada- Ele era insensível à dor- Dedico minhas poesia à Rita Maraa) apenas uma está corretab) apenas duas estão corretasc) apenas três estão corretasd) todas estão corretas

50) É preciso completar com à:1. O deputado usou uma tática idêntica ___ que a oposição utilizara2. A máquina de votar reduz ___ zero o número de seções eleitorais3. Outros ataques se dirigem ___ técnica utilizada no filme

4. O filme passa abruptamente de cenas na alta sociedade ___ execução de prisioneirosa) sim, não, sim, simb) não, não, não, nãoc) sim, sim, não, sim



d) não , sim, sim não51) Qual a alternativa conveniente?1. Aquela é a moça ___ que aludi2. Visei a alcançar ___ função3. Os livros pertencem ao irmão e ___ irmã4. Chegando ___ estação, João levantou-sea) a – aquela – à - àb) a – àquela – à - ac) à – aquela – à - àd) à – àquela – à – à

52) Em que frase o “A” não recebeu o acento grave corretamente:a) O poeta chama ira à brutalidade, à violência da lutab) Quanto às iras impotentes, são as mesmas sempre desprezíveisc) À cólera se segue a aflição, que nos traz o arrependimentod) Acredito que à ira nada se atreve, sem que a alma o consinta

53) Em que frase o “A” deve receber o acento indicador da crase?a) Não me refiro aqui senão a catástrofes individuaisb) Assistiu a cena, sem que suas feições denotassem ressentimentoc) A que levam essas questões? A conhecer a ira, a conhecê-la bemd) Não se atente a um mal menor quando um maior nos ameaça

54) Complete as lacunas:1. Os convidados sentaram-se ___ mesa de jantar2. Compareci ___ cerimônia de posse do novo governador3. Não tendo podido ir ___ faculdade hoje, prometo assistir ____ todas as aulas amanhãa) à – a – a - àb) na – na – à - ac) à – à – à - ad) há – na – à – à

55) Não devemos atribuir ___ ciência ___ responsabilidade pelas páginas ruins que a humanidade venha___ escrever:a) à – a - ab) a – à – àc) à – à - ad) a – à - a

56) A vida comunitária impõe ___ todas as pessoas certas restrições e obriga-nos a submeter ___ nossavontade pessoal ___ vontade da maioria:a) a – a - àb) a – à – àc) à – à - ad) à – à - à

57) Preencha s lacunas:

1. Daqui ___ duas hora, dou-lhe isto pronto2. Isto aconteceu ___ muitos anos3. Daí ___ dias encontrei-o solto

a) a – há - ab) à – a – àc) às – a - hád) a – a - a

58) Todas ___ Sexta-feira vamos ___ faculdade ___ pé, percorrendo a rua XV de ponta ___ponta:a) às – à – a - ab) às – à – à - ac) às – à – à - àd) as – à – a - a



59) Em que lacuna empregaríamos crase?a) Joana esteve, ___ noite, em minha casab) Voltei ___ casa muito tardec) O tribuno referia-se ___ quaisquer pessoad) Estamos na vila ___ vinte anos

60) “Estou ___ seu dispor ___ qualquer hora da tarde, ___ menos que surja algum imprevisto:a) a – à – àb) à – à – ac) à – à – àd) a – a – a

61) “Estava ___ voltas com um problema, mas planejava, daí ___ pouco, ir ___ casa do comendador:a) às – à - àb) às – à - ac) as - a - àd) às – a – à

62) “As questões apresentadas ___ alunas do terceiro ano eram semelhantes ___ que enviamos ___ se a)às – às - ab) às – às - àc) às – as - àd) as – as – à

63) ”Resistirei ___ pressão, pois estou prestes ___ transferir-me e devo evitar aborrecimentos ___ queconfiaram em mim:a) à – a – àsb) a – à - àsc) à – à - àsd) a – a- às

64) Foi ___ conselho de amigos que se dirigiu ___ esse médico de quem ___ muito ouvira falar:a) à – à - háb) a – a - àc) a – à – àd) a – a - há

Respostas Sobre Crase



01) C02) C03) I04) C05) C06) I07) I08) I09) C10) I11) C12) I13) C14) C15) I16) C17) C18) C19) I20) I21) C22) I23) C24) I25) C26) I27) I28) I29) C30) C31) C32) C33) I34) I35) B36) C37) A38) B39) A40) C41) D42) D43) C44) D45) D46) B47) A48) B49) D50) A51) A52) D53) B54) C55) A56) A57) A58) D59) A60) D61) D62) B63) A64) D



Significação das palavras (Semântica)

Para os menos avisados, semântica é a parte da gramática que estuda o sentido e a aplicação das palavras emum contexto.

Assim sendo, a palavra manga pode ter alguns significados dependendo o contexto.

Vejamos a palavra nas orações “Me lambuzo todo chupando manga” e “Não posso sair com essa mangarasgada”.

Será que temos o mesmo significado para a palavra manga nas duas orações? Com certeza, não.

Na primeira oração, a palavra tem como significado o fruto da mangueira; já no segundo, ela é uma parte de umapeça do vestuário.

A esta característica das palavras apresentarem a mesma escrita, mas significados diferentes, quando aplicadas emum contexto, chamamos polissemia.

No começo deste artigo encontramos um verbo que, dependendo do contexto, pode ter significados diferentes:cair.

Esse verbo em “ele cai sempre que anda de patins” tem a mesma idéia que “essa questão sempre cai na prova”?Evidentemente que não, como você bem percebeu.

Na primeira oração, o verbo cair está empregado no modo denotativo, da forma que se imagina seu empregoou, como preferem alguns, da forma que ele é encontrado nos dicionários; na segunda, o verbo cair depende docontexto para ser identificado sendo, então, empregado no modo conotativo. Cair na prova não é despencar emcima do teste avaliativo escrito; é tão somente constar um determinado assunto na tal citada prova.

Note que uma palavra – que expressa idéia, conceito, ações – pode ser apresentada em um sentido real oufigurado.

A isso, temos os conceitos de denotação quando uma palavra por si só expressa um significado, com seu valorobjetivo, real, comum em qualquer dicionário e o conceito de conotação quando ela é expressa em sentidofigurado, subjetivo, que depende de uma interpretação do contexto.

Polissemia: é quando uma palavra tem mais de uma significação. Exemplos:

Mangueira => tubo de borracha ou de plástico para regar plantas ou apagar incêndios; árvore frutífera; grandecurral de gado.Pena => pluma; peça de metal para escrever; punição; dó.Velar => cobrir com véu; vigiar; cuidar; relativo ao véu do paladar.

Podemos citar ainda como exemplos de palavras polissêmicas, o verbo Dar e os substantivos linha e ponto,que tem dezenas de acepções.

Sentido próprio e sentido figurado: As palavras podem ser empregadas no sentido próprio ou no sentidofigurado.

Observe:Construí um muro de pedra. ( sentido próprio) Elatem um coração de pedra. ( sentido figurado)



A água pingava lentamente. ( sentido próprio)As horas pingavam de maneira monótona. ( sentido figurado)

Denotação e Conotação: Observe a palavra em destaque destes exemplos:Comprei uma correntinha de ouro.Cássia nadava em ouro.

No primeiro exemplo, a palavra ouro denota ou designa simplesmente o conhecido metal precioso, brilhante, de coramarela: tem sentido próprio, real, denotativo.No segundo, ouro sugere ou evoca riquezas, opulência, poder, glória, luxo, prazeres: tem sentido conotativo,possui várias conotações ( idéias associadas, sentimentos, evocações que irradiam da palavra).

Como se vê, certas palavras têm grande poder evocativo, uma extraordinária carga semântica; são capazes desugerir muito mais do que o objeto designado, desencadeando, conforme a situação, idéias, sentimentos eemoções de toda ordem. Quantas coisas podem sugerir palavras conotativas como selva, mar, praia, sol, festa!

COLOCAÇÃO PRONOMIAL

Próclise: é a colocação dos pronomes oblíquos átonos antes do verbo. Usa-se a próclise, quando houverpalavras atrativas. São elas:

a) Palavras de sentido negativo.- Ela nem se incomodou com meus problemas.

b) Advérbios.- Aqui se tem sossego, para trabalhar.

c) Pronomes Indefinidos.- Alguém me telefonou?

d) Pronomes Interrogativos.- Que me acontecerá agora?

e) Pronomes Relativos- A pessoa que me telefonou não se identificou.

f) Pronomes Demonstrativos Neutros.- Isso me comoveu deveras.

g) Conjunções Subordinativas.- Escrevia os nomes, conforme me lembrava deles.

Mesóclise: É a colocação pronominal no meio do verbo.A mesóclise é usada:1) Quando o verbo estiver no futuro do presente ou futuro do pretérito, contanto que esses verbos não estejamprecedidos de palavras que exijam a próclise.Ex.: Realizar- se-á, na próxima semana, um grande evento em prol da paz no mundo.Não fosse os meus compromissos, acompanhar- te-ia nessa viagem.

Ênclise: É a colocação pronominal depois do verbo.A ênclise é usada quando a próclise e a mesóclise não forempossíveis:1) Quando o verbo estiver no imperativo afirmativo.Ex.: Quando eu avisar, silenciem- se todos.



2) Quando o verbo estiver no infinitivo impessoal.Ex.: Não era minha intenção machucar- te.

3) Quando o verbo iniciar a oração.Ex.: Vou- me embora agora mesmo.

4) Quando houver pausa antes do verbo.Ex.: Se eu ganho na loteria, mudo- me hoje mesmo.

5- Quando o verbo estiver no gerúndio.Ex.: Recusou a proposta fazendo- se de desentendida.

Colocação pronominal nas locuções verbais1) Quando o verbo principal for constituído por um particípio

a) O pronome oblíquo virá depois do verbo auxiliar. Ex.: Haviam- meconvidado para a festa.

b) Se, antes do locução verbal, houver palavra atrativa, o pronome oblíquo ficará antes do verbo auxiliar. Ex.:Não me haviam convidado para a festa.

2) Quando o verbo principal for constituído por um infinitivo ou um gerúndio:

a) Se não houver palavra atrativa, o pronome oblíquo virá depois do verbo auxiliar ou depois do verbo principal.Ex.: Devo esclarecer- lhe o ocorrido/ Devo- lhe esclarecer o ocorrido.Estavam chamando- me pelo alto-falante./ Estavam- me chamando pelo alto-falante.

b) Se houver palavra atrativa, o pronome poderá ser colocado antes do verbo auxiliar ou depois do verboprincipal.Ex.: Não posso esclarecer- lhe o ocorrido./ Não lhe posso esclarecer o ocorrido.Não estavam chamando-me./ Não me estavam chamando.

Observações importantes

Empregode o, a, os, as1) Em verbos terminados em vogal ou ditongo oral os pronomes o,a,os,as não se alteram. Ex.: Chame- o agora.Deixei- a mais tranqüila.

2) Em verbos terminados em r, s ou z, estas consoantes finais alteram-se para lo, la, los, las. Ex.:(Encontrar)Encontrá- lo é o meu maior sonho. (Fiz) Fi- lo porque não tinha alternativa.

3) Em verbos terminados em ditongos nasais (am, em, ão, õe, õe,), os pronomes o, a, os, as alteram-se para no,na, nos, nas.Ex.: Chamem- no agora. Põe- na sobre a mesa.

4) As formas combinadas dos pronomes oblíquos mo, to, lho, no-lo, vo-lo, formas em desuso, podem ocorrer empróclise, ênclise ou mesóclise. Ex.: Ele mo deu. (Ele me deu o livro).

REVISANDO

Denomina-se colocação pronominal o conjunto de regras referentes à colocação dos pronomes pessoais, oblíquos eátonos que funcionam comocomplementos: me, te, se, o, lhe, a, nos, vos, se, os, as, lhes.Relativamente ao verbo, do qual dependem colocar-se antes (próclise), no meio (mesóclise) e depois (ênclise)dele.

Próclise - é de regra com:



1. palavras de sentido negativo.“Ninguém me ama, ninguém me quer...”

2. pronome indefinido.Tudo me parece impossível

3. pronome relativo.Tudo quanto me disseste é falso.

4.com certos advérbios.Bem se vê que lá se vive melhor.Obs.: se depois do advérbio vier vírgula, ocorre ênclise:Aqui se fala muito.Aqui, fala-se muito.

5. conjunções subordinadas.“Quando meu bem-querer me vir, estou certo...”Se você o encontrar,avise-o de que...

6. Gerúndio regido de preposição em.Em se tratando de mulheres, prefiro as inteligentes.

7. infinitivo flexionado regido de preposição.E, por se amarem muito, uniram seus destinos.

Nota: é facultativa quando o infinitivo não flexionado estiver precedido de preposição ou palavra negativa:“Estou aqui para servir-te.”.(ou: para te servir)Meu desejo era não o incomodar”(ou: não incomodá-lo).

Mas, se o infinitivo vier antecedido da preposição a, recomenda-se a ênclise:Estou inclinado a obedecer-lhe.Comecei a compreendê-lo.

8. Nas orações optativas (aquelas que expressam desejo) de sujeito anteposto ao verbo.Macacos me mordam.

9. Nas orações exclamativas.“Quanto sangue se derramou inutilmente!”

10. Nas orações interrogativas.Por que me abandonas?

Mesóclise - É de regra

Com o futuro do presente e com o futuro do pretérito, desde que não ocorra condição para a próclise.“Dir-me-á o leitor que a beleza vive de si mesma!” (M.A.)“Dar-me-iam água para lavar as mãos?” (G. Ramos)

Ênclise - É de regra:

1. Nas orações iniciadas por verbo.Falava-me suavemene.Disseram-me que você me ama.



2. Com verbo no gerúndio, sem partícula atrativaO velho criticava a juventude, dirigindo-se aos presentes.Entendeu o segredo do tempo, olhando-se no espelho.

3. Com verbo no imperativo afirmativo.Dê-me um copo d’água.Faça-me um favor.

4. Com verbo no infinitivo, regido da preposição a.Chegamos a abraçá-lo.“Sabe-se ele se tornará a vê-los algum dia!” (José de Alencar)

5. Junto a infinitivo precedido de artigo.O vender-se; o queixar-se.

6. Nas orações interrogativas, estando o verbo no infinitivo, embora antecedido de palavra ou locuçãoque obrigue a próclise.

“Como alistar-me, se o governo não tem inimigos?”Por que arrepender-me?Como apanhá-lo?

Colocação pronominal nas locuções verbais

1) Auxiliar + infinitivo - há quatro possibilidades:

a) ênclise ao auxiliar.O amigo precisou lhe confiaro segredo.

b) ênclice ao infinitivo.O amigo precisou confiar-lhe o segredo.

c) próclise ao auxiliar.O amigo lhe precisou confiar o segredo. d) próclise ou ênclise aoinfinitivo precedido de preposição. O amigo não deixou de lheconfiar o segredo.O amigo não deixou de confiar-lhe o segredo.

2. Auxiliar + Gerúndio - há três possibilidades:

a) próclise ao auxiliar.O amigo lhe estava confiando o segredo.

b) ênclise ao auxiliar.O amigo estava-lhe confiando o segredo.

c) ênclise ao gerúndio.O amigo estava confiando-lhe o segredo.

3) Auxiliar + particípio - há duas possibilidades:

a) próclise ao auxiliar.Os amigos se tinham despedido.



b) ênclise ao auxiliar.Os Amigos tinham se despedido.

Notas1. Com palavra ou locução atrativas, o pronome não pode ficar no meio da locução.Não lhe quero falar ou Não quero falar-lhe.

2) “A interposição do pronome átono nas locuções verbais sem se ligar por hífen ao auxiliar, é sintaxe brasileiraque se consagrou na língua literária, a partir (ao que parece) do Romantismo.“O morcego vem te chupar o sangue.” (Alencar)“...estava se distanciando da outra.” (Taunay)“Como teria se comportado aquela alma de passarinho diante do mistério da morte?” (Raquel de Queirós)

Adaptações

1..Os pronomes o, a, os, as, enclíticos, sofrem adaptações quando o verbo termina em r, s ou z. Eles passam ater as formas: -lo, -la, -los, -las.Vou amar-a por toda minha vida. (Sem adaptação.)Vou amá-la por toda minha vida. (Com adaptação.)Tu amas-o como a ti mesma.. (Sem adaptação.)Tu ama-lo como a ti mesma. (Com adaptação.)O jogo, fiz-o sozinho. (Sem adaptação.)O jogo, fi-lo sozinho. (Com adaptação.)Obs. Com a expressão eis acontece a mesma coisa:Ei-la aqui, radiante e bela!

2. Os pronomes oblíquos o, a, os, as, quando precedidos de verbos terminados em -m, -ão, -õe, assumem aforma -no, - na, -nos, -nas.Entregaram- o ao professor. (Sem adaptação.)Entregaram-no ao professor. (Com adaptação.)O assunto, dão-o por encerrado. (Sem adaptação.) Oassunto, dão-no por encerrado. (Com adaptação.)

Exercícios Sobre Colocação Pronominal

Para as perguntas de 1 a 28 você deverá assinalar com “C “ o que estiver correto e com “I” os incorretos:

1. ( ) O presente é a bigorna onde se forja o futuro (próclise)2. ( ) Nossa vocação molda-se às necessidades (ênclise)3. ( ) Se não fosse a chuva, acompanhar-te-ia (mesóclise)4. ( ) Macacos me mordam!5. ( ) Caro amigo, muito lhe agradeço o favor...6. ( ) Ninguém socorreu-nos naqueles momentos difíceis7. ( ) As informações que se obtiveram, chocavam-se entre si8. ( ) Quem te falou a respeito do caso?9. ( ) Não foi trabalhar porque machucara- se na véspera10. ( ) Não só me trouxe o livro, mas também me deu presente11. ( ) Ele chegou e perguntou-me pelo filho12. ( ) Em se tratando de esporte, prefere futebol13. ( ) Vamos, amigos, cheguem-se aos bons14. ( ) O torneio iniciar-se-á no próximo Domingo15. ( ) Amanhã dizer-te-ei todas as novidades16. ( ) Os alunos nos surpreendem com suas tiradas espirituosas17. ( ) Os amigos chegaram e me esperam lá fora18. ( ) O torneio iniciará-se no próximo Domingo19. ( ) oferecida-lhes as explicações, saíram felizes



20. ( ) Convido-te a fazeres-lhes, essa gentileza21. ( ) Para não falar- lhe, resolveu sair cedo22. ( ) É possível que o leitor nos não creia23. ( ) A turma quer-lhe, fazer uma surpresa24. ( ) A turma havia convidado-o para sair25. ( ) Ninguém podia ajudar-nos naquela hora26. ( ) Algumas haviam-nos contado a verdade27. ( ) Todos se estão entendendo bem28. ( ) As meninas não tinham nos convidado para sair

29. Assinale a frase com erro de colocação pronominal:

a) Tudo se acaba com a morte, menos a saudadeb) Com muito prazer, se soubesse, explicaria-lhe tudoc) João tem-se interessado por suas novas atividadesd) Ele estava preparando-se para o vestibular de Direito

30. Assinale a frase com erro de colocação pronominal:

a) Tudo me era completamente indiferenteb) Ela não me deixou concluir a frasec) Este casamento não deve realizar-sed) Ninguém havia lembrado-me de fazer as reservas

31. Assinale a frase incorreta:

a) Nunca mais encontrei o colega que me emprestou o livrob) Retiramo-nos do salão, deixando-os sósc) Faça boa viagem! Deus proteja-od) Não quero magoar-te, porém não posso deixar de te dizer a verdade

32. ”O funcionário que se inscreve, fará prova amanhã:

1. Ocorre próclise em função do pronome relativo2. Deveria ocorrer ênclise3. A mesóclise é impraticável4. Tanto a ênclise quanto a próclise são aceitáveis

a) Correta apenas a 1ª afirmativab) Apenas a 2ª é corretac) São corretas a 1ª e a 3ªd) A 4ª é a única correta

33. Assinale a colocação inaceitável:

a) Maria Oliva convidou-ob) Se abre a porta da caleça por dentroc) Situar-se-ia Orfeu numa gafieira?d) D. Pedro II o convidou

34. O pronome pessoal oblíquo átono está bem colocado em um só dos períodos. Qual?

a) Isto me não diz respeito! Respondeu-me ele, afetadamenteb) Segundo deliberou-se na sessão, espero que todos apresentem-se na hora convenientec) Os conselhos que dão-nos os pais, levamo-los em conta mais tarded) Amanhã contar-lhe-ei por que peripécias consegui não envolver-me

35) Estas conservas são para nós __________ durante o inverno.Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna:

a) alimentarmos- nosb) alimentarmo- nosc) nos alimentarmosd) nos alimentarmo- nos



36) Caso _______ lá, _______, para que não _______Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas:

a) se demoram – avisem-nos – nos preocupemosb) se demorem – avisem-nos – preocupemo-nosc) demorem-se – nos avisem – preocupemo-nosd) demorem-se – nos avisem – nos preocupemos

37) Do lugar onde _______, ______um belo panorama, em que o céu ________com a terra

a) se encontrava – se divisava – ligava-se b)se encontravam – se divisava – ligava-se c)se encontravam – divisava-se – se ligavad) encontravam-se – divisava-se – se ligava

38) O pronome está mal colocado em apenas um dos períodos. Identifique-o:

a) Finalmente entendemos que aquela não era a estante onde deveriam-se colocar cristaisb) Ninguém nos falou, outrora, com tanta sinceridadec) Não se vá, custa-lhe ficar um pouco mais?d) A mão que te estendemos é amigaPara as questões que seguem de 39 a 58, marcará com a letra “C” aquelas com o pronome oblíquo bemcolocado, obedecendo as normas da Língua Culta e com “I” assinalará as incorretas:

39) ( ) Quando se estudaram minuciosamente as propostas, descobriram- se todas as falhas40) ( ) Segundo informaram- me na seção, já se encontram prontos os contracheques desta mês41) ( ) Os papéis que remeteram-me estão em ordem, ainda hoje devolvê-los-ei como haviaprometido-lhes42) ( ) Os professores haviam-nos instruído para as provas43) ( ) Nada chegava a impressioná-la em sua passividade44) ( ) Que Deus te acompanhe por toda a vida45) ( ) Quando lhes entregariam as provas, era um mistério que não lhes era possível desvendar46) ( ) A respeito daquelas fraudes, os auditores já haviam prevenido-os há muito tempo47) ( ) Os amigos entreolharam- se emocionados, mas não lhes deram mais nenhuma informação48) ( ) Aquele foi o livro que lhe eu dei como prova de admiração49) ( ) Admirou-me a despesa porque não havias-me dito que o presente iria custar-te tão caro50) ( ) Ainda não me havias falado essas injúrias51) ( ) Já de pé, banhando-me, ouço-lhe os passos no corredor52) ( ) Dir-se-ia que todos preferem-lhe ocultar os fatos53) ( ) Os alunos não têm preocupado-se com as provas54) ( ) Peça a dar- se- lhe- à o perdão55) ( ) Causava-me admiração ver aqueles jovens dedicando-se aos estudos, enquanto outrosnão se esforçavam nem um pouco56) ( ) Nada se faria, se ficassem de braços cruzados57) ( ) No caso de não cumprirem o horário das aulas, romperão-se as cláusulas contratuais58) ( ) Assim que sentiu-se prejudicado, reclamou seus direitos

Respostas Sobre Colocação Pronominal

1. C2. C3. C4. C5. C6. I7. C8. C9. I10. C11. C12. C13. C14. C15. I

16. C17. C18. I19. I20. I21. C22. C23. C24. I25. C26. I27. I28. I29. B30. D

31. C32. C33. B34. A35. C36. A37. C38. A39. C40. I41. I42. C43. C44. C45. C

46. I47. C48. C49. I50. C51. C52. I53. C54. I55. C56. C57. I58. I



Introdução aos conjuntosTeoria dos Conjuntos

Interseção de conjuntosAlguns conceitos primitivosAlgumas notações p/ conjuntosSubconjuntosAlguns conjuntos especiaisReunião de conjuntos

Propriedades dos conjuntosDiferença de conjuntosComplemento de um conjuntoLeis de Augustus de MorganDiferença Simétrica

Introdução aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos semdefinição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory,P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nadaingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

a. O conjunto de todos os brasileiros.b. O conjunto de todos os números naturais.c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo



Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duasformas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

a. A={a,e,i,o,u}b. N={1,2,3,4,...}c. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

a. A={x: x é uma vogal}b. N={x: x é um número natural}c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A



A



7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, talque para todo conjunto A, se tem:

A



Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ouseja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x



Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dosconjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

A



N números naturais N é o conjunto dos números naturais. São os números que vão de0 a + . Todo número natural é seguido imediatamente por outronúmero natural chamado sucessor, ou seja:N = {0,1,2,3,4,...}.

O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de númerosnaturais não-nulos, ou seja:N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Z números inteiros O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos númerosnaturais acrescido dos seus opostos negativos. É representadopela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar"número".Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros,não-nulos:Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de númerosinteiros, não-negativos:Z+ = {0,1,2,3,4,...}

O símbolo Z- é usado para indicar o conjunto de números inteiros,não-positivos:Z - = {..., -3, -2, -1, 0}

O símbolo Z*+ é usado para indicar o conjunto de númerosinteiros positivos:Z*+ = {1,2,3,4,5, ...}

O símbolo Z*- é usado para indicar o conjunto de númerosinteiros negativos:Z*- = {-1, -2, -3, -4, -5...}

Como todos os números naturais também são números inteiros,dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido emZ:N Z.

Q números racionais Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro(b) obtemos um número racional. Todo número racional érepresentado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letraQ deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já queum número racional é um quociente de dois números inteiros.

Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a= 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um númerofinito de casas após a vírgula e são chamados de racionais dedecimal exata.

Existem casos em que o número de casas após a vírgula éinfinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional0,33333... É a chamada dízima periódica.

Podemos considerar que os números racionais englobam todosos números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entreos números inteiros.Q = {a/b | a Z e b Z*}.Lembre-se que não existe divisão por zero!.

O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto de númerosracionais não-nulos:Q* = {x Q | x 0}



O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de númerosracionais não-negativos:Q+ = {x Q | x 0}

O símbolo Q- é usado para indicar o conjunto de númerosracionais não-positivos:Q- = {x Q | x 0}

O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de númerosracionais positivos:Q*+ = {x Q | x > 0}

O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de númerosracionais negativos:Q*- = {x Q | x < 0}

I números irracionais Quando a divisão de dois números tem como resultado umnúmero com infinitas casas depois da vírgula, que não serepetem periodicamente, obtemos um número chamadoirracional.O número irracional mais famoso é o pi ( ).



R números reais O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais éo conjunto dos números reais, indicado por R.Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ouseja, o símbolo R* é usado para representar o conjunto dosnúmeros reais não-nulos:R* = R - {0}

O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reaisnão-negativos:R+ = {x R | x 0}

O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reaisnão-positivos:R- = {x R | x 0}

O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reaispositivos:R*+ = {x R | x > 0}

O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reaisnegativos:R*- = {x R | x < 0}

Conjunto dos Números

Números Inteiros

O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos númerosinteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizerque os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteirospositivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos).

Assim os números inteiros são exemplos:

Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

-3 -2 -1 0 1 2 3

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____



Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem oelemento “ 0”.

Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10}

Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através destesimples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27....}

Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são númerointeiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = N Z.

Números Racionais

Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na formaP/Q (P dividido por Q).

Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), poroutro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Osnúmeros racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária.

Um exemplo simples:

Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5,temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casasapós a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata.

É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois adivisão não é exata.

Um exemplo simples:

Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica.

Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros eaqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros.

-3 -2 -1 0 1 2 3

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

0,8

Numero racional



A letra que representa os Números Racionais = Q

Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3}

0”.O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “

Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)}

Números Irracionais

Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q(P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem comoresultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente(dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática comoIrracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números. Exemplos

de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc. Um númeroirracional famoso é o PI ( ) = 3,141592...

O número de Euler = 2,71828

Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir)

-3 -2 -1 0 1 2 3 ( ) = 3,141592... (???)

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

Números Reais

Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, eé indicado pela letra “R”.

Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo númeroracional é real, temos a seguinte sentença:

N Z Q R

Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se oconjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}.

Números Primos

Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente sãodivisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.

Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:

1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividiro produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos).



2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto emfatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.

Como podemos provar que um número é primo ou não?

Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com númerospequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornammaiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidadepode se tornar muito complexo.

Teste Rápido:

Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo deErastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dosmelhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que osnúmeros atinjam 25 dígitos.

O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se umnúmero é primo.

Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos osnúmeros primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.

Um exemplo simples :

Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então,vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então estenúmero será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo,pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3|323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0

Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100números, existem milhares de números primos.

TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541



SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

TABELAS DAS PRINCIPAIS MEDIDAS DE VOLUMES E ÁREAS

Definição

Como informado no tutorial de número 10, “Sistema Métrico Decimal”, faz parte doSistema de Medidas, e este é adotado no Brasil e tem como unidade principal fundamental ometro.

No sistema de Medidas, são consideradas também outras unidades de medidas,consideradas também fundamentais:

Múltiplos e Submúltiplos Diversos

- O grama

Pertence ao gênero masculino. Tenha cuidado, por tanto, ao escrever e pronunciar essaunidade de medidas em seus múltiplos e submúltiplos, fazendo as devidas concordâncias.

Ex.:

cinco quilogramas

setecentos miligramas

trezentos e vinte gramas

novecentos e dois gramas

CENTER7 APOSTILAS - DireitosReservados [email protected]

100


inferior.Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente

10 dag = 100 hg

1 g = 10 dag

- O Litro

Pertence ao gênero masculino. É uma unidade de medida de volume que está veiculadadiretamente ao sistema métrico decimal e, por tanto, obedecendo aos seus padrões.

Cada Litro corresponde a 01 decímetro cúbico. Em referência ao litro de água (01 l),corresponde a aproximadamente 01 quilograma da substância medida.

Ex.:

(01 l água), um litro de água.

(2,478 dal), dois decalitros e quatrocentos e setenta e oito centilitros

(30, 252 dal), trinta decalitros e duzentos e cinqüenta e dois centilitros

inferior.Atente para isto: cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente

10 l = 100 l

1 l = 10 dal

- O Prefixo Quilo

É simbolizado pela letra (K), que indica que a unidade é resultado da multiplicação por mil.Este prefixo Quilo não pode ser usado sozinho.

Observe:

Errado: quilo; k Certo:

quilograma, kg

Medidas Diversas

- Medidas comprimento

Unidade principal: METRO (m)

Ex.: 01 Km = 1000 m

Ex.: 100 m = 10 dam


101


Esta unidade possui seus múltiplos e submúltiplos nas formas abaixo:

- Medidas de área

Unidade principal: METRO QUADRADO (m²)

Ex.: 1000 m²

Ex.: 1 m²


- Medidas de volume

Unidade principal: METRO CÚBICO (m

Ex.: 1000 m

Ex.: 1 m


- Medidas de capacidade

Unidade principal: LITRO (l)

Ex.: 1 l

Ex.: 1000 Litros



102


- Medidas agráriasUnidade principal: ARE (a)Ex.: 1 a

Ex.: 100 hectare


- Medidas para lenha (madeira)

Unidade principal: ESTÉREO (st)


(metro cúbico) Obs.: Uma unidade de st (estéreo) equivale a 01 m

- Medidas de ângulos

Unidade principal: ÂNGULO RETO (r)

Uma das unidades de ângulo plano é o ângulo reto, e que o símbolo é representado pelaletra (r).

Veja a tabela abaixo:

Obs. Importante: os múltiplos e submúltiplos do ângulo reto não têm designação própria,exceto o “grado”, que é a única designação usada para submúltiplo.


103


Tabela com algumas unidades de medidas

RAZÕES E PROPORÇÕES

Números e Grandezas Proporcionais

* Grandeza

È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um,como conseqüência o outro varia também.

Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quandofalamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezasque estão relacionadas entre si.

Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menordependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.

Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempodepende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída oque se deseja concluir.

A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada,pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

Grandeza Diretamente Proporcional

È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamenteproporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesmaproporção, mesma direção e sentido.

“02 y”.Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará

Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.

Grandeza Inversamente Proporcional


104


Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implicanecessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direçãocontrários.

Exemplo: Velocidade e tempo.

Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos.Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer osmesmos 10 metros.

* RAZÃO E PROPORÇÃO

RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo númerosempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.

Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12

a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10

a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18

Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e2º número é conseqüente.

Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente.

seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente.

Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente deoutra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c

PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.


105


7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos

Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35.

2 – Composição

Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo,assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.


106


a – b = 48

Portanto,


107


7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em umanova proporção.

Aplicação:

A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3.Determinar esses números.

Logo, a² = 144, a = 12.

de “a”.Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor

Divisão Proporcional2 partes diret. proporcionaisn partes diret. proporcionais2 partes invers. proporcionaisn partes invers. proporcionais

2 partes direta e inversan partes direta e inversaRegra de Sociedade

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duasequações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A B=

p q

A solução segue das propriedades das proporções:

BA A+B M = = = = K

qp p+q p+q

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p e B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos osistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

BA A+B 100 = = = = 20

32 5 5

Segue que A=40 e B=60.


108


Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

BA A-B 60 = = = =12

38 5 5

Segue que A=96 e B=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montarum sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.

1X X2 Xn= = ... =

1p p2 pn


1X X2 nX X1+X2+...+Xn M= =...= = = = K

1p p2 np p1+p2+...+pn P

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-semontar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

BA C A+B+C 120 = = = = =10

42 6 P 12

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.


BA C 2A+3B-4C 120 = = = = = – 15

42 6 2×2+3×4-4×6 -8

logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor estenúmero M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de pe q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

BA A+B M M.p.q= = = = = K

1/p 1/q 1/p+1/q 1/p+1/q p+q


109


O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-semontar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

BA A+B 120 120.2.3= = = = = 144

1/2 1/3 1/2+1/3 5/6 5

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

BA A-B 10= = = = 240

1/6 1/8 1/6-1/8 1/24

Assim A=40 e B=30.

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, bastadecompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

1X X2 Xn= = ... =

1/p1 1/p2 1/pn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

1X X2 nX X1+X2+...+Xn M= =...= = =

1/p1 1/p2 1/pn 1/p1+1/p2+...+1/pn 1/p1+1/p2+...+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-semontar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

BA C A+B+C 220= = = = = 240

1/2 1/4 1/6 1/2+1/4+1/6 11/12

A solução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10,devemos montar as proporções:

A

1/2

B= =

1/4

C

1/6

2A+3B-4C= =

2/2+3/4-4/6

10

13/12

120=

13

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.

Existem proporções com números fracionários!


110


Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamenteproporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q ed/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

BA A+B M M.p.q= = = = =K

c/p d/q c/p+d/q c/p+d/q c.q+p.d

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamenteproporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

BA A+B 58= = = = 70

2/5 3/7 2/5+3/7 29/35

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8,sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver asproporções:

BA A-B 21= = = = 72

4/6 3/8 4/6-3/8 7/24

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamenteproporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais ap1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso

1X X2 Xn= =...=

p1/q1 p2/q2 pn/qn


X1=

P1/q1

X2

p2/q2

=...=Xn

pn/qn

X1+X2+...+Xn=

p1/q1+p2/q2+...+pn/qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 einversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma deA+B+C=115 e tal que:

BA C A+B+C 115= = = = = 100

1/4 2/5 3/6 1/4+2/5+3/6 23/20


111


logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2,4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

BA C 2A+3B-4C 01 100= = = = =

1/2 10/4 2/5 2/2+30/4-8/5 69/10 69

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.

Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ouprejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também emtempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivostempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + ... + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamenteproporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital deR$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que podeser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deveráreceber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos.Desse modo:

p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p 3=30x40=1200

A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:

BA C= =

2000 1800 1200


BA C A+B+C 25000= = = = = 5

2000 1800 1200 5000 5000


112


A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezasW e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X W= K e = K

Y Z

assim

X W=

Y Z

Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpocom 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola?(Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:

Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm)10 5415 X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores noproblema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:

01 54=

51 X

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 eX também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obteruma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duasgrandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante deproporcionalidade K.


113


A · B = K e C · D = K

segue que

A · B = C · D

logo

A D=

C B

Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez umcerto percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmopercurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordocom os dados do problema, temos:

Velocidade (Km/h) Tempo (s)180 20200 T

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido.Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

180 T=

200 20

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e Taparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamenteproporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que aprimeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valoresconhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2,E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixolembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 seconhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ?

Situação 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1

Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2


114


Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

1Z A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …=

2Z A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com aletra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada deposição com B2:

1Z A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 …=

2Z A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) queaparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão naordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamenteproporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremosresolver a proporção:

1Z A1 · B2 · C1 · D2=

2Z A2 · B1 · C2 · D1

Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamenteproporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vistageral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplos:

1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peçasdessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinasfuncionarem durante 9 dias?

Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamosorganizar a tabela:

No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C)

5 6 400

7 9 X

A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se asgrandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ouinversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças.

Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso delógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e setivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duasgrandezas são diretamente proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemosusar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de


115


peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos queestas duas grandezas também são diretamente proporcionais.

Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver aproporção:

400=

x

5×6

7×9

que pode ser posta na forma

400 30=

x 63

Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serãoproduzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias essemotociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).

Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema,vamos organizar a tabela:

Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C)

200 4 2

500 5 X

A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas.Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ouinversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias.

Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que serodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menornúmero de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas sãodiretamente proporcionais.

Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificarque para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número dehoras por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para pmesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:

2 200×5=

X 500×4

que pode ser posta como

2 1000=

X 2000

Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h pordia, o motociclista levará 4 dias.


116


PORCENTAGEM

Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas comporcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da formaa/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou aindapercentagem.

Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do séculoXV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo,tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:

Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8

Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N,realizamos o produto:

Produto = M%.N = M.N / 100

Exemplos:

1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com umnúmero par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta comnúmero ímpar?

Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13

Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3.Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?

Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode serexpresso da seguinte forma:

X% de 4 = 3

Assim:

(X/100).4 = 3

4X/100 = 3

4X = 300

X = 75

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.

3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados daindústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?

Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode serrepresentado por:


117


42,5% de X = 255

Assim:

42,5%.X = 255

42,5 / 100.X = 255

42,5.X / 100 = 255

42,5.X = 25500

425.X = 255000

X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.

4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Sepaguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preçoque paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que

92% de X = 690

logo

92%.X = 690

92/100.X = 690

92.X / 100 = 690

92.X = 69000

X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.

JURO SIMPLES

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ouque é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:

1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de

juros.3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso

contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejamcompatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.


118


4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominadomontante.

Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar afórmula:

C · i · tj =

100

Exemplos:

1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferençaentre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é ataxa mensal de juros cobrada por essa loja?

A diferença entre os preços dados pela loja é:

652,00 - 450,00 = 202,50

A quantia mensal que deve ser paga de juros é:

202,50 / 5 = 40,50

Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:

X% de 450,00 = 40,50

X/100.450,00 = 40,50

450 X / 100 = 40,50

450 X = 4050

X = 4050 / 450

X = 9

A taxa de juros é de 9% ao mês.

2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi ocapital aplicado?

O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capitalaplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:

3% de C = 960,00

3/100 C = 960,00

3 C / 100 = 960,00

3 C = 96000

C = 96000/3 = 32000,00 O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.


119


Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:

Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8

Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos oproduto:

Produto = M%.N = M.N / 100

Exemplos:

1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantasfichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?

Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13

Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual aporcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?

Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinteforma:

X% de 4 = 3

Assim:

(X/100).4 = 3

4X/100 = 3

4X = 300

X = 75

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.

3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantaspessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?

Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por:

42,5% de X = 255

Assim:

42,5%.X = 255

42,5 / 100.X = 255

42,5.X / 100 = 255


120


42,5.X = 25500

425.X = 255000

X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.

4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que pagueirepresenta 100%-8%=92% do preço original e isto significa que

92% de X = 690

logo

92%.X = 690

92/100.X = 690

92.X / 100 = 690

92.X = 69000

X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.

FUNÇÃO DO 1o . GRAU

Função do 1º grau

Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiroconjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.

Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modoque cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . Acorrespondência por pares ordenados seria:

Noções de função:

Considere os diagramas abaixo:


121


1 2

3 4

5

Analisando os diagramas acima:

Condições de existência:

(1) Todos os elementos de x têm umcorrespondente em y.(2) Cada elemento de x tem um e somenteum correspondente em y.

O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).

Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.

Domínio, Contradomínio e Imagem

Observe o diagrama a seguir:

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:

f={(1,2),(2,3),(3,4)}

O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.

D(F)=X


122


O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.

C(F)=Y

Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.

f(1)=2

Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.

Logo o conjunto das imagens de f e dado por:

Im(f)={2,3,4}

Determinação de função:

Observe:

1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:

2) Associe cada elemento de X com a sua capital.

3) Determine o conjunto imagem de cada função:

a) D(f) = {1,2,3}y = f(x) = x + 1

[Sol] f(1) = 1+1 = 2f(2) = 2+1 = 3f(3) =3+1 = 4

Logo: Im(f)={2,3,4}

b) D(f) = {1,3,5}y = f(x) = x²


123


[Sol] f(1) = 1² = 1f(3) = 3² = 9f(5) = 5² = 25

Logo: Im(f)={1,9,25}

Plano cartesiano

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:x // x' e y // y'Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'

Nessas condições, definimos:- Abscissa de P é um número real representado por P1- Ordenada de P é um número real representado por P2- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )- O eixo das abscissas é o eixo x- O eixo das ordenadas é o eixo y- A origem do sistema é o ponto 0- Plano cartesiano é o plano A.

Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!

Exemplo:

Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais porproduto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produtovendido.

[Sol] y=salário fixo + comissãoy=500 + 50x

b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?

[Sol] y=500+50x , onde x=4y=500+50.4 = 500+200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

[Sol] y=500+50x , onde y=10001000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10


124


A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau , sendo dada por:

y=f(x)=ax+b com , e

Gráfico da função do 1º grau:

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

O conjunto dos pares ordenados determinadosé f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

x y=f(x)=x+1-2 -1-1 00 11 22 3

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y=f(x)=-x+1-2 3-1 20 11 02 -1

O conjunto dos pares ordenados determinados éf={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}


125


Gráficos crescente e decrescente respectivamente:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1

Função crescente

y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1

Função decrescente


126


Raiz ou zero da função do 1º grau:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau,definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, bastaobtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x,que terá como coordenada o par ordenado (x,0).

1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.

[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0

x+1=0 » x=-1

Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.

2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.

[Sol] Fazendo y=0, temos:0 = -x+1 » x = 1

Gráfico:


127


Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Sinal de uma função de 1º grau:

Observe os gráficos:

a>0 a<0

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem osinal contrário ao de a.

Exemplos:

1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.

a) y=f(x)=x+1

[Sol] x+1>0 » x>-1Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1

x+1<0 » x<-1Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1

b) y=f(x)=-x+1

[Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1

-x+1<0 » -x<-1 » x>1Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1

(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)


128


EQUAÇÃO DO 1º GRAU

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

* Definição

É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeitapara alguns valores que estejam agregados em seus domínios.

Exemplos:

3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois osvalores das incógnitas são desconhecidos.

É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:

x = 2, veja:

3x – 4 = 2

3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2

y = 1, veja:

3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1

Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente

- Equação do 1º grau

Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como todaequação que satisfaça a forma:

ax + b = 0

Onde, tem-se:

a e b , são as constantes da equação, com a 0 (diferente de zero)

Observe:

4x + 10 = 1

a = 4

b = 10 >> constantes (4,10)

3x – 6 = 0


129


a = 3

b = 6 >> constantes (3,6)

Exemplo de fixação:

x + 2 = 6 »

Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4,pois, 4 + 2 = 6.

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriaisanteriores:

ax + b = 0 » ax = - b

x = -b/a

Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém estasegunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir ummesmo número, que seja diferente de zero 0), aos membros da equação dada no problema.

Exemplo:

x – 4 = 0 » x –4 + 2 = 0 + 2 » x = 4

2x = 4 » 3.2x = 3.4 » x = 2

* Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e quesatisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.

Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dosnúmeros, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade edo outro lado as constantes.

Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:

a) Determine o valor do X:

4x – 12 = 8

4x = 8 + 12

4x = 20

x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}

b) Qual o valor da incógnita x:

2 – 3.(2-4x) = 8

2 – 6 + 12x = 8


130


12x = 8 - 2 + 6

12x = 6 + 6

x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}

Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:

x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4

2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)

Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações doprimeiro grau, sempre é colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim asolução verdadeira da questão.

Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.

Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejamagregados na sentença.

* Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a 0)

Observe:

a 0 >> b 0, temos:

x = -b/a

S = {-b/a}

a 0 >> b = 0, temos:

x = 0/a

S = {0}

Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)

b 0 >> x = -b/0

V = {0}

Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero ( a = 0), temos a conjunto“V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça aequação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.

Ainda, se tratando da forma (a 0), observe a seguinte suposição de equação:

b = 0 >> 0x = 0 >> V = R

Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se tornaraiz ou solução da equação ou do problema dado.


131


* Incógnita com valor negativo

Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiveracompanhando a variável seja um número negativo (-).

Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dosprincípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.

Veja alguns exemplos:

a) 4x – 2 = 6x + 8

Reduzindo os termos:

4x – 6x = 8 + 2

-2x = 10

Verifique que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), entãomultiplica-se os termos da equação por (-1).

Assim, temos aos valores:

-2x = 10 .(-1)

2x = - 10

Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na formapositiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.

x = -10/2 >> x = -5

Como o valor de x = -5, então V = {-5}

Observação:

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e asincógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:

Observe:

2x + 4 = 8

Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado".

Veja o que acontece:

2x + 4 - 4 = 8 - 4

2x = 4

x = 2

V={2}


132


A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grandedica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculosdos problemas e sentenças.

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

* Definição

Em sua definição mais simples e compreensível, pode ser definida como toda e qualquersentença da matemática que é aberta por um sinal de desigualdade.


133


» Alimentação: Cerca de 40% da população que vive em ambiente rural, no campo, viveem situação precária.

Se pudéssemos pesar estas diferenças apresentadas acima em uma balança, veríamoscom mais clareza as grandes desigualdades.

O que isto tem haver com as Inequações? Como já informado anteriormente, asinequações são representadas por desigualdades matemáticas.

* Solução de inequações do 1º grau

Nas equações do primeiro grau que estejam na forma ax + b > 0, tem-se o objetivo de seapurar um conjunto de todas e quaisquer possíveis valores que possam assumir uma ou maisvariável que estejam envolvidas nas equações proposta no problema.

Acompanhe:

Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça ainequação:

3x + 5 < 17

Veja os seguintes passos para solução:

Após fazer os devidos cálculos da inequação acima, pode-se concluir que a soluçãoapresentada é formada por todos os números inteiros positivos menores que o número 4.

S = {1, 2, 3,}

* Exemplos de fixação de conteúdo

a) 2 -4x x + 17

Solução:


134


b) 3(x + 4) < 4(2 –x)

Solução:


135


Analise os exemplos:

Inequação

5 > 3

Recurso:

5 > 3 ( somar o valor 2 )

5 + 2 > 3 + 2

7 > 5 (continua sendo uma inequação verdadeira)

Inequação

5 > 3

Recurso:

5 > 3 (subtrair 1)

5-1 > 3 -1


Desta forma, é possível concluir que de acordo com as propriedades das equações deprimeiro grau, podemos usar os mesmos recursos matemáticos de somar ou subtrair um mesmovalor aos membros da inequação do primeiro grau.

Analise os exemplos:

Inequação

5 > 3

Recurso:

5 > 3 (multiplicar pelo valor positivo 2)

5 x (+2) > 3 x (+2)


Inequação

5 > 2

Recurso:

5 > 2 (multiplicar pelo valor negativo -2)

(-2).5 > 2.(-2)

-10 > -4 (a inequação não é verdadeira)


136


Para que a inequação acima se torne verdadeira é preciso inverter o sinal.

-10 < -4 (agora a inequação é verdadeira)

Portanto, é preciso ter o máximo de cuidado ao utilizar o recurso matemático de(multiplicar ou dividir por um mesmo valor os componentes da inequação) para resolver umainequação do primeiro grau. Caso este valor seja um número negativo, o sinal da desigualdade(inequação) deve ser invertido.

FUNÇÃO DO 2 GRAU

Função do 2º grau

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadráticaé uma parábola

Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para amontanha russa.


137


Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Representação gráfica

Exemplo:

Construa o gráfico da função y=x²:

[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valorescorrespondentes para y.

x y = f(x) = x²-2 4-1 10 01 12 43 9

Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo desimetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos osoutros pontos.

Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Temos: a=1, b=-4 e c=3


138


Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábolay=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor dacoordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seusvértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:


139


Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábola

Explicarei esta parte com um simples desenho.

a>0 a<0

Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importaagora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quandoa<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).

Exemplos:

y = f(x) = x² - 4


140


a = 1 >0

y = f(x) = -x² + 4

a = -1 < 0

[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo dafunção. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada yserá igual a zero.


141


Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:

Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízesou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3

x²-4x+3=0

x=1, x`=3

Gráfico:


142


Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros dafunção.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2

x²-x+2=0

Gráfico:

Resumindo:

a>0 a>0 a>0

a<0 a<0 a<0


143


Esboçando o gráfico

Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da funçãoy=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função

-x²-4x-3=0Aplicando a fórmula de Bháskara

x=-1, x`=-3

2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função y= -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3

Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo

Feito isso, vamos esboçar o gráfico:


144


Equação do 2º grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientesnuméricos a.b e c com .

Exemplos:

Equação a b Cx²+2x+1 1 2 15x-2x²-1 -2 5 -1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grauincompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9=0 » x²=9 » x= » x=

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum xx(x-9)=0 » x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0 » x=0

Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolverequações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmulade Bháskara.

Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=04a²x²+4abx=-4ac


145


Somamos b² aos dois membros:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)b²-4ac:

(2ax+b)²=

2ax+b=

2ax=-b

Logo:

ou

Fórmula de Bháskara:

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

=

e


146


Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

» x=2

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possuinenhuma raiz real.

Logo: » vazio

Propriedades:

Duas raízes reais e diferentes

Duas raízes reais e iguais

Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:


147


e

A soma das raízes será:

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo:

Substituindo por e :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

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148


c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resoluçãodestas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a) Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

»

Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}

b ) e

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então:

Eliminando os denominadores:


149


» » »

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador,logo a solução da equação será somente:

x=-1 » S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

Equação a b cx² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0

[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo:

x = 2a e x = a » S={a,2a}

Resolução de equações biquadradas

Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas aoquadrado duas vezes, sua forma é:

onde

Exemplo resolvido:

1)

Fazendo x² = y , temos

Substituindo os valores na equação, temos:

y² - 5y + 4 = 0


150


Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4 e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4 » e x²=1 »

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}ou simplesmente

INEQUAÇÃO DO 2 GRAU

Inequações do 2º grau

Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal. As inequações sãorepresentadas pelas desigualdades: > , > , < , < .

Ex: I) x2 – 3x +6 > 0

Resolução:

x2 – 3x +6 = 0

x´= 1, x´´ = 2

Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos fazer um esboço do gráfico e verpara quais valores de x isso ocorre.

Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2

Resposta: {xÎR| x<1 ou x>2}


151


Inequações simultâneas

Ex: -8 < x2 –2x –8 < 0

Resolução:

1o passo) Separar as inequações , obedecendo o intervalo dado.

Temos: I) x2 – 2x –8 > -8 e II) x2 –2x –8 <0

2o passo) Determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas pela separação.

I) x2 – 2x > 0 II) x2 –2x –8 <0x´ = 0 x´= x´´ = 1

x´´ = 2

3o passo) Determinado x1 e x2 , fazer o estudo do sinal para cada função.

I)x<0 ou x>2 II)x diferente de 1.

4o passo) Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2.

Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.

Resposta: {xÎR| x<0 ou x>2}

o Inequação produto e inequação quociente,

São as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0 e f(x) .g(x) < 0. f(x) / g(x) >0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0, respectivamente.

Ex: I) (x2 –9x –10) (x2 – 4x +4) < 0

Resolução:

1o passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente

x2 –9x –10 = 0 (I)x2 – 4x +4 = 0 (II)


152


2o passo) Determinar as raízes das funções

(I) x´= -1, x´´ = 10

(II) x´= x´´ = 2

3o passo) Fazer o estudo do sinal para cada função.

I) x<-1 ou x>10 II) x¹2

4o passo) Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de origem, isto é:> intervalo positivo e bolinha fechada> intervalo positivo e bolinha aberta< intervalo negativo e bolinha fechada< intervalo negativo e bolinha aberta

Obs1: no quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem em: f(x) positivo e g(x)positivo o h(x) será +,assim temos: + e + = + ; + e - = - ; - e + = - ; - e - = +

Obs2: Na inequação quociente observar a CE do denominador, que influenciará o resultado nos intervalos, noque diz respeito a intervalo fechado ou aberto

Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em x<-1 e x>10

Resposta: {x E R | x<-1 ou x>10}

A partir do estudo dos sinais da função do 2.º grau, podemos resolver inequações de mesmo grau ou inequações que apresentemprodutos ou quocientes de trinômios de 2.º grau. Tais inequações podem também apresentar binômios de 1.º grau, já estudados notablóide anterior.

AplicaçãoResolver a inequação

(-x2 + 3x +4).(x – 2) < 0

Essa é uma inequação produto em que um dos fatores é um trinômio de 2.º grau e o outro é um binômio de 1.º grau.


153


Resposta: S = {x | - 1 < x < 2 ou x >4}

Sistemas LinearesIntrodução aos sistemas linearesEquação linearSolução de uma equação linearSistemas de equações linearesSolução de sistema de eq. linearesConsistência de sistemas lineares

Exemplos de sistemasSistemas equivalentesOperações elementares (sistemas)Solução por escalonamentoSistemas lineares homogêneosRegra de Cramer

Introdução aos sistemas lineares

Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. Asequações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas emcontainers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Tipo do Recipiente I II IIIA 4 3 2B 5 2 3C 2 2 3

Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 423 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 272 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College deCambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores demateriais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele,


154


as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas deequações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas emtermos de transformações lineares homogêneas.

Equação linear

É uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas;a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos);b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

1. 4 x + 3 y - 2 z = 02. 2 x - 3 y + 0 z - w = -33. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 14. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i

Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x> 0.

Exemplos de equações não-lineares

1. 3 x + 3y R[x] = -42. x2 + y2 = 93. x + 2 y - 3 z w = 04. x2 + y2 = -9

Solução de uma equação linear

Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual aomembro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 naequação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

Sistemas de equações lineares


155


Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equaçõeslineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

... ... ... ...am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas;a11, a12, ..., amn são os coeficientes;b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

... ... ... ...am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4x + 3y = 2x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os doismembros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Consistência de Sistemas Lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação àsua consistência:

Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

a. Se tem uma única solução, o sistema é determinado.b. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.

Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções

Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesianoque têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -12x - y = 8


156


Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no planocartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 1008x + 4y = 200

Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo,não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 4x + 3y = 5

Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

S1 3x + 6y = 42 1x + 2y = 142x - 4y = 12 S2 1x - 2y = 6

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações deforma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequênciatrabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. Osegundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhasiniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

Troca a Linha 1 com a Linha 3x + 2y - z = 22x-3y+2z=0 ~

4x + y - 5z = 9

4x + y - 5z = 92x-3y+2z=0x + 2y - z = 2

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

Multiplica a Linha 1 pelo número 3x + 2y - z = 22x-3y+2z=0 ~4x+y-5z=9

3x + 6y - 3z = 62x-3y+2z=04x+y-5z=9

A equação resultante fica na linha 1

3. Adição de duas equações do sistema

Adição da Linha 2 com a Linha 3


157


x+2y-z=22x -3y + 2z = 0 ~4x + y - 5z = 9

3x+6y-3z=62x-3y+2z=0

6x - 2y - 3z = 9A equação resultante fica na linha 3

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamosmostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 202x - y - z = -15

-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos kLi->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

Passo 1: L1-L2->L13x + 1y + 1z = 202x - 1y - 1z = -15-4x+1y-5z=-41

1x + 2y + 2z = 35~ 2x-1y-1z=-15

-4x+1y-5z=-41

Passo 2: L2-2.L1->L21x + 2y + 2z = 35 1x+2y+2z=352x - 1y - 1z = -15

-4x+1y-5z=-41~ 0x - 5y - 5z = -85

-4x+1y-5z=-41

Passo 3: L3+4.L1->L31x + 2y + 2z = 35 1x+2y+2z=35

0x-5y-5z=-85-4x + 1y - 5z = -41

~ 0x-5y-5z=-850x + 9y + 3z = 99

Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L31x+2y+2z=35

0x - 5y - 5z = -850x + 9y + 3z = 99

1x+2y+2z=35~ 0x + 1y + 1z = 17

0x + 3y + 1z = 33

1x+2y+2z=35Passo 5: L3-3.L2->L3

1x+2y+2z=350x + 1y + 1z = 17 ~0x + 3y + 1z = 33

0x+1y+1z=170x + 0y - 2z = -18

Passo 6: (-1/2)L3->L31x+2y+2z=35 1x+2y+2z=350x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18~ 0x+1y+1z=17

0x + 0y + 1z = 9

1x+2y+2z=35Passo 7: L2-L3->L2

1x+2y+2z=350x + 1y + 1z = 17 ~ 0x + 1y + 0z = 8


158


0x + 0y + 1z = 9 0x+0y+1z=9

Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L11x + 2y + 2z = 350x + 1y + 0z = 80x + 0y + 1z = 9

1x + 0y + 0z = 1~ 0x+1y+0z=8

0x+0y+1z=9

Passo 9: Simplificar coeficientes1x + 0y + 0z = 1 x = 10x + 1y + 0z = 80x + 0y + 1z = 9

~ y = 8z = 9

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todosistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim,todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente asolução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x - y + 3z = 04x + 2y - z = 0x - y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.

Regra de Cramer

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X,escreveremos det(X).

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2

... ... ... ...an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pelaletra A.

Matriz dos coeficientesa11 a12 ... a1j ... a1na21 a22 ... a2j ... a2n... ... ... ... ... ...


159


an1 an2 ... anj ... ann

Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e tambémpelos termos independentes.

Matriz Aumentadaa11 a12 ... a1j ... a1n b1a21 a22 ... a2j ... a2n b2... ... ... ... ... ...

an1 an2 ... anj ... ann bn

Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelostermos independentes das equações do sistema.

Matriz da incógnita xj

a11 a12 ... b1 ... a1na21 a22 ... b2 ... a2n... ... ... ... ... ...an1 an2 ... bn ... ann

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, écomum escrever Ax, Ay e Az.

Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:

xj = det(Aj) / det(A)

Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada dosistema forem iguais a zero.

Um sistema impossível: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 7z = 40

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.

2 3 41 -2 33 1 7

2 3 4 271 -2 3 153 1 7 40

Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada sãonulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo odeterminante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

2 3 271 -2 153 1 40

Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 naúltima linha!)


160


2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 7z = 42

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:

2 3 41 -2 33 1 7

2 3 4 271 -2 3 153 1 7 42

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então osistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras ecomo estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y emfunção de z.Um sistema com solução única: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 6z = 40

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.

2 3 4 271 -2 3 153 1 6 40

Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az, etais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das trêsequações, temos:

Ax=27 3 415 -2 340 1 6

Ay=2 27 41 15 33 40 6

Az=2 3 271 -2 153 1 40

Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:

x = det(Ax)/det(A) = 65/7y = det(Ay)/det(A) = 1/7z = det(Az)/det(A) = 14/7

ESTATÍSTICA


161


INTRODUÇÃO

A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, namedida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, não realçando, no entanto, aspectosimportantes.

É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão dassituações que representam.

DADOS, GRÁFICOS E TABELAS

Tipos de Dados

Podemos classificar os dados que constituem a Amostra , ou dados amostrais, em dois tipos fundamentais:Dados qualitativos e dados quantitativos

1.1-Dadosqualitativos

Representam a informação que identifica alguma qualidade, categoria oucaracterística, não susceptível de medida, mas de classificação, assumindo váriasmodalidades.

Exemplo: O estado civil de um indivíduo é um dado qualitativo, assumindo ascategorias: Solteiro, casado, viúvo e divorciado.

1.2-Dadosquantitativos

Representam a informação resultante de características susceptíveis deserem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que podemser de natureza discreta (descontínua) - dados discretos, ou contínua -dados contínuos.

Exemplo: Consideremos uma amostra constituída pelo nº de irmãos de 10alunos de uma determinada turma :

3, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2Estes dados são de natureza discreta.Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm):

153, 157, 161, 160, 158, 155, 162, 156, 152, 159obteremos dados do tipo contínuo.

Representação Gráfica de Dados


162


2.1-Dados discretos

Como organizaros dados ?

Estes dados só podem tomar um númerofinito ou infinito numerável de valoresdistintos, apresentando vários valoresrepetidos - é o caso, por exemplo, do nºde filhos de uma família ou do nº deacidentes, por dia, em determinadocruzamento.

Os dados são organizados na forma deuma tabela de frequências, análoga àconstruída para o caso dos dadosqualitativos. No entanto, em vez dascategorias apresentam-se os valoresdistintos da amostra, os quais vãoconstituir as classes.

Exemplo: Consideremos a amostraconstituída pelo nº de irmãosdos 20 alunos de umadeterminada turma:1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2,1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2

tabela defrequências

classes freq.abs.

freq.rel.

0 4 0.201 8 0.402 4 0.203 3 0.154 1 0.05total 20 1.00

2.2-Dados contínuos No caso de uma variável contínua, esta pode tomar todos os valoresnuméricos, inteiros ou não, compreendidos no seu intervalo de variação -temos por exemplo o peso, a altura, etc...

Como organizar os dados?

Enquanto que no caso de dados discretos, a construção da tabela de frequências não apresentaqualquer dificuldade, no caso das variáveis contínuas o processo é um pouco mais elaborado,distinguindo-se certas etapas principais, que se descrevem nas páginas seguintes...

Medidas de Localização


163


No capítulo Dados, tabelas e gráficos , vimos alguns processos de resumir informação contida na amostra,utilizando os processos gráficos.

Veremos agora um outro processo de resumir essa informação, utilizando determinadas medidas, calculadas apartir de dados, que se chamam ESTATÍSTICAS.

Média

média amostral ou simplesmente média, que se representa por é uma medida de localização do centro daamostra, e obtém-se a partir da seguinte expressão:

onde x1, x2, ..., xn representam os elementos da amostra e n a sua dimensão.

Moda

Mediana

Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo:o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, ointervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos.Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valorque representa a moda ou a classe modal

Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de umconjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes oucategorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes amediana (se não forem susceptíveis de ordenação).

A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguintemodo:Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide aomeio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maioresou iguais à medianaPara a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:

Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.


164


Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n

então uma expressão para o cálculo da mediana será:

Como medida de localização, a mediana émais robusta do que a média, pois não é tãosensível aos dados !

Medidas de Dispersão

Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma quea dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que osdados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:

O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maiorserá a dispersão dos dados.Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:

• o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houverentre os dados.

• se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

* Definição

Podemos chamar de progressão aritmética uma sucessão de termos, tais que a diferençaentre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r).

Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta somaindicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética.

* Classificação de uma P.A.

- Infinita ou Ilimitada


165


Se a progressão aritmética tiver um número infinito de termos, pode ser denominada de“infinita ou ilimitada”.

Ex.:

(8, 10, 12, 14, 16....)

(5, 10, 15, 20, 25....)

(4, 8, 12, 16, 20 ....)

- Finita ou Limitada

Se a progressão aritmética tiver um número finito de termos, pode ser denominada de“finita ou limitada”

Ex.:

(6, 8, 10)

(3, 6, 9)

- Em relação à razão (r)

Pode ser :

a) Crescente

Quando a razão “r” > 0

Ex.:

(3, 6, 9, 12) ----> r = 3

(2, 4, 6, 8) ----> r = 2

(15, 20, 25, 30) ---> r = 5

b) Decrescente

Quando a razão “r” < 0

Ex.:

(6, 4, 2) ---> r = -2

(12, 9, 6, 3) ----> r = -3

(16, 12, 8, 4) ----> r = -4


166


c) Estacionária

Quando a razão “r” = 0

Ex.:

(3, 3, 3) ----> r = 0

(7, 7, 7) ----> r = 0

(5, 5, 5) ----> r = 0

* Notação de uma PA

Observe os termos abaixo:

(a1, a2, a3, a4, ...., an – 1, an)

Logo pela definição, temos o seguinte:

a2 – a1 = a3 – a2 = an – an – 1 = ... = r

Ex.:

a) (4, 8, 12) é uma PA onde a1 = 4 e r = 4

b) (3, 6, 9) é uma PA onde a1 = 3 e r = 3

* Fórmula do Termo Geral de uma PA

Partindo da definição inicial, temos:

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2r

a4 = a1 + 3r

.

.

.

aN = a1 + (n – 1)r

Assim:


167


- Exemplos:

A fórmula geral nos permite obter facilmente um termo qualquer de uma progressãoaritmética.

a) Calcular o 5º termo da P.A. (1,3,5,....)

Dados do problema:

a1 = 1

n = 5

r = 2

Porquê r = 2 ???

Basta olhar na progressão aritmética fornecida (1, 3, 5,...)

1 + 2 = 3

3 + 2 = 5

Fórmula geral da P.A.

an = a1 + (n – 1)r

an = 1 + (5 – 1).2

an = 1 + (4).2 ---> an = 1 + 8 -----> an = 9

* Exercícios para fixação de conteúdo

Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teoriasjuntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possatreinar os fundamentos.

1) A razão da P.A. cujo 1º termo é 8 e o 8º termo é 43 tem valor de :

a. ( ) 4

b. ( ) 5

c. ( ) 6

d. ( ) 7

e. ( ) 9


168


Solução:

Dados do problema:

a1 = 8

an = 43

n = 8

r = ?

an = a1 + (n – 1)r

43 = 8 + (8 – 1)r

43 – 8 = 7r

7r = 35

r = 5

Dessa forma, a resposta correta é a letra “b”

Como saber se o resultado está certo ?

Basta montar a respectiva PA = (8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43...)

2) Calcular o 1º termo de uma P.A., onde r = 2 e a5 = 10

a. ( ) 0

b. ( ) 4

c. ( ) 2

d. ( ) 5

e. ( ) 3

Solução:

Dados do problema:

a1 = ?

an = 10

n = 5

r = 2


169


Fórmula geral da PA. Sempre é bom frisar e buscar escrevê-la sempre que for solucionarproblemas, assim há uma fixação melhor da fórmula.

an = a1 + (n – 1)r

10 = a1 + (5 – 1).2

10 = a1 + (4).2

a1 + 8 = 10

a1 = 10 – 8

a1 = 2

Dessa forma, a resposta correta é a letra “c”

Como saber se o resultado está certo?

Basta montar a respectiva PA = (2, 4, 6, 8, 10, 12...)

No tutorial anterior, foi visto que progressão aritmética é uma sucessão de termos, taisque a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença échamada de razão (r).

Para relembrar o que é o termo PA :

Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta somaindicada dos respectivos termos chama-se de série aritmética.

* Propriedades de uma PA

Iremos abordar agora, as propriedades de uma progressão aritmética, onde é possívelatravés destas resolver várias questões de PA.

- 1ª Propriedade

Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, émédia aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente.

Desta forma na P.A. abaixo temos :

(a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an ...)


170


Ex.:

a) P.A = (1,3,5,7,9,11)

Temos:

5 = (7+3)/2 7 =(5+9)/2

b) P.A = (2,4,6,8,10,12)

Temos:

6 = (4+8)/2 10 =(12+8)/2

- 2ª Propriedade

Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à somados extremos.

Desta forma na P.A. abaixo temos :

(a1, a2, a3, ..., ai, ...ak, ... an-2, an-1, an)

P termos P termos

Ex.:

a) Se em uma P.A. n = 27, então, podemos afirmar que os termos “a7” e “a31”, sãoeqüidistantes dos extremos, pois:

7 + 31 = 31 + 7

b) 1,2,3,...98, 99, 100.

Logo: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100

c) 1,2,3,...88,89,90.

Logo: 2 + 89 = 3 + 88 = ... = 1 + 90

- 3ª Propriedade


171


Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a médiaaritmética dos extremos.

Assim, na P.A. (com número ímpar)

(a1, a2, ..., ai, ...ak, ... an-1, an)

P termo P termo

Conclui-se que:

Ex.:

a) 3, 5, 7, 9, 11,

7 = (3+11)/2

b) 15,17,19,21,23

19 =(15+23)2

* Soma de uma Progressão Aritmética (P.A.)

A soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semi-soma dosextremos pelo número de termos.

Ex.:

Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...)

Sn = (a1 + an)N

2

S20 = (a1 + a20)20

2

a20 = ??

a20 = a1 + 19r =

a20 = 2 + 19r =


172


a20 = 2 + 19.(3) = ---> a20 = 2 + 57 = 59

S20 = (a1 + a20)20 = ---> S20 = (2 + 59)20

2 2

S20 = 61 . 20 = 1.220 = ---> S20 = 610

2 2

* Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.)

Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formaruma P.A. de n = k + 2 termos onde a1 e an são os extremos.

Como a1 é sempre dado, basta determinar a razão (r).

Ex.:

a) Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38

3, ____,____,____,_____,38

a1 = 3

an = 38

n = 6

r = ?

an = a1 + (n – 1)r ---> Resolvendo r = 7

Resposta: 3, 10, 17, 24,31,38

* Exercícios para fixação de conteúdo

Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teoriasjuntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possatreinar os fundamentos.

a) Determinar o valor de x, de modo que os números (x + 4)2, (x – 1)2 e (x + 2)2estejam, nessa ordem, em uma P.A.

Resolvendo:

P.A. [(x + 4)2, (x - 1)2, (x + 2)2]

Sendo: a1 = (x + 4)2 | a2 = (x - 1)2 | a3 = (x + 2)2

Onde : a2 – a1 = a3 – a2 ---> (x - 1)2 - (x + 4)2 = (x + 2)2 - (x - 1)2 ---->


173


(x2 – 2x + 1) – (x2 + 8x + 16) = (x2 + 4x + 4) – (x2 – 2x + 1) = ---->

-2x – 8x + 1 - 16 = 4x + 2x + 4 – 1 = ---> -10x - 15 = 6x + 3 = ---->

-10x – 6x = 3 + 15 = -16x = 18 ---> 16x = -18 ----> x = -18/16 ---> x = -9/8

b) Encontrar o termo geral da P.A. (4,7,...)

Resolvendo:

Dados do problema:

a1 = 4

r = 7 – 4 = 3

n = n

an = a1 + (n – 1)r

an = 4 + (n – 1)3

an = 4 + 3n – 3

an = 3n + 1

Progressão Geométrica

Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da

divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da

progressão.

· Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)

Observamos que:

4 = 2 x 2

8 = 4 x 2

16 = 8 x 2

- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;

- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);

- A esse número fixo damos o nome de razão (q);


174


· Representação Matemática:

q = an / an-1

· Classificação:

1. (2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ;

2. (-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente;

3. (6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ;

4. (-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q < 0 ;

· Termo Geral da P.G.:

- a2 = a1 x q

- a3 = a2 x q ou a3 = a1 x q2

an = a1 . qn-1

· Três números em P.G.:

x/q , x , x.q

· Interpolação Geométrica:

Exemplo: 1,__,__,__,__,243

a6 = a1 .q5

243= 1.q5

q = 3

Logo: (1,3,9,27,81,243);

·

Soma dos Termos de uma P.G. finita :

Sn = a1 . (qn - 1) / q-1


175


· Soma dos Termos de uma P.G. infinita :

- Se expressões do tipo qn quando: 0 <q<1 ou n ®¥ (tende a infinito);

qn = 0 (Aproximadamente)

Sn = a1 / 1-q

Exemplos:

1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG

Resolução: n= 6

a1 = 2

a6 = 486

a6 = a1.q5

486 = 2 . q5

q = 3

Resposta: q = 3

2) Ache a progressão aritmética em que:

a1 + a2 + a3 = 7

a4 + a5 + a6 = 56

Resolução:

transformando, temos:

a1 + a1 .q + a1. q2 = 7 Þ a1 (1 + q + q2 ) = 7 I

3(1 + q + q2 ) = 56 IIa4 + a5 + a6 = 56 Þ a1.q


176


Dividindo-se II por I :

q3 = 8 Þ q = 2

de I vem:

a1 (1 + 2 + 4) = 7 Þ a1 = 1

Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:a1 = 3

an = 48

n = 3 + 2 = 5

Devemos, então, calcular q:

an = a1.qn-1

48 = 3 . q4

q = ±2

Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)

Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)

4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1°membro formam u ma

P.G.

Resolução:


177


a1 = x

q = 3x/x= 3

an = 729x

Sn= 5465

Cálculo de n:

an= a1q n-1

729x = x . 3 n-1 (veja que x ¹ 0)

729 = 3 -1

36 = 3 n-1

n = 7

Sn = a1 . (qn - 1) / q-

5465 = x (37 – 1)/ (3 – 1)

x = 5

Resposta: x = 5

5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131..

Resolução:

0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG)

a1 = 0,31

q = 0,01

Sn = a1 / 1-q


178


Sn = 0,31/1-0,01

Sn= 31/99

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos oufinanciamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar aoperação financeira a um Fluxo de Caixa.

CapitalO Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal,Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nascalculadoras financeiras).

JurosJuros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podemser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos .

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capitalinicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo noinício de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporadoao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere oconsumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar atépossuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia aalguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que aoperação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimosdefinem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio elongo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais comoCaderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime dejuros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros


179


A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Elavem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que serefere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100,

sem o símbolo %:0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLESO regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os

juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicialemprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = jurosP = principal (capital)i = taxa de jurosn = número de períodos

Exemplo : Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de jurossimples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + JurosMontante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo : Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145dias.

SOLUÇÃO:M = P . ( 1 + (i.n) )M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí terdividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:


180


1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125dias.

Temos: J = P.i.nA taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos

calcular diretamente:J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses.

Logo,3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar umcapital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.PDados: i = 150/100 = 1,5Fórmula: M = P (1 + i.n)Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOSO regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de

problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos jurosdo período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses decapitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i)2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:


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M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mêspara n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5%ao mês.

(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

P = R$6.000,00t = 1 ano = 12 meses i

= 3,5 % a.m. = 0,035M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: M

= 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.Portanto o montante é R$9.054,00

PRINCÍPIOS DE CONTAGEM

O princípio fundamental da contagem é um princípio combinatório que indica de quantas formas sepode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto tem k1 elementos,o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, então o número total T de escolhas é dado por:

T = k1 . k2 . k3 . ... kn


182


PROBABILIDADE

Estudo das Probabilidades

· Espaço amostral:É o conjunto que possui todos os eventos que podem ocorrer no exercício

(casos possíveis);

· Amostra ou evento: É um subconjunto do espaço amostral (casos favoráveis);

EX: Seja um urna contendo 3 bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Dessa urna são retiradas

sucessivamente 3 bolas.

Espaço Amostral(S): S = {(PPP),(PPV),(PVP),(PVV),(VPP),(VPV),(VVP),(VVV)}.

Alguns eventos: 1) 2 das bolas são pretas – {(PPV),(PVP),(VPP)}.

2) três bolas tem a mesma cor – {(PPP),(VVV)}

· Cálculo da probabilidade:

Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.

P(E) = n(E) / n(S)

n(E) = no de elementos do evento / n(S) = no de elementos do espaço amostral

Exemplo: De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente , sem reposição , duas cartas. Determinar a

probabilidade dos eventos:

a) As duas cartas dão damas

b) As duas cartas são de ouros

Resolução


183


a) Cálculo do número de possibilidades do espaço amostral:

1º possibilidade: 52

2º possibilidade: 51

Þ n(U) = 52. 51 = 2652

Cálculo do número de eventos do elemento A: duas damas.

Temos duas damas; portanto: A4, 2 = 4 . 3 = 12 Þ n(A) = 12

P(A) = n(A)/n(U) = 12/2652 = 1/221

b) Cálculo do número de elementos do evento B: duas cartas de ouros.

Temos 13 cartas de ouros, portanto A13 , 2 = 13 . 12 = 156

P(B) = n(B)/n(U) = 156/2652 = 1/17

Respostas: a)1/221 b)1/17

Adição de probabilidades

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)

Exemplo: Qual a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar?

Resolução: O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Os eventos são: ocorrência do número 3 Þ A = {3} Þ n(A) = 1

ocorrência de número ímpar Þ B = {1, 3, 5} Þ n(B) = 3

A B = {3} Þ n(A B) = 1

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)


184


P(AUB) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) – n(A B)/n(U)P(AUB) = 1/6 + 3/6 –1/6 = 3/6 = ½ ou P(AUB) = 50%Resposta: 50%

Probabilidade do evento complementar

P(A) + P(Ac) = 1

Exemplo: Consideremos um cnjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragados. Escolhendo – se

aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que:

a) Ambas não estejam estragadas

b) Pelo menos uma esteja estragada

Resolução:

a) Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas podem ser escolhidas:

n(U) = (102) = 10!/2!.8! = 45 maneiras

Cálculo do número de maneiras pelas quais duas frutas boas podem ser escolhidas:

n(A) = (72) = 7!/2!.5! = 21 maneiras

P(A) = n(A)/n(U) = 21/45 = 7 /15

b) Ac é o evento: pelo menso uma furta está estragada.

P(A) + P(Ac) = 1Þ 7/15 + P(Ac) = 1

P(Ac) = 1 – 7/15 Þ P(Ac) = 8/15

Respostas: a) 7/15 b) 8/15


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Probabilidade condicional

P(A/B) = n(A


186


Ex: Em 2 dados: qual é a probabilidade de se obter o nº6 nos dois dados?

P(6+6) = 1/6 x 1/6 = 1/36

GEOMETRIA PLANA

Geometria Plana: Elementos de geometria plana

Introdução

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essasdefinições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos sãoaceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar naprática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos maiscomplexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros degravidade de objetos, etc.

Algumas definições

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Ossegmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices dopolígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão nointerior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendoestes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.

Polígono No. de lados Polígono No. de ladosTriângulo 3 Quadrilátero 4

Pentágono 5 Hexágono 6Heptágono 7 Octógono 8


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Eneágono 9 Decágono 10Undecágono 11 Dodecágono 12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento quetem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

1. Os lados opostos são congruentes;2. Os ângulos opostos são congruentes;3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;4. As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam umângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatrolados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominadosbase menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos deum trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das basesmaior e menor do trapézio.


188


Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ânguloscongruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menorsuperior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seuslados opostos não são congruentes.

Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados peladiagonal menor são congruentes.

Geometria Plana: Áreas de regiões poligonaisTriângulo e região triangularO conceito de região poligonalUnidade de áreaÁrea do retânguloÁrea do quadradoÁrea do paralelogramoÁrea do triângulo

Comparando áreas de triângulosÁrea do losangoÁrea do trapézioPolígonos regularesElementos de um polígonoÁreas de polígonos regularesComparando áreas de polígonos

Triângulo e região triangular

No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos ospontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A regiãotriangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos dointerior do triângulo ABC são pontos da região triangular.

Triângulo ABC Região triangular ABC


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Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é umsegmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares nãosobrepostas.

O conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares(estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma regiãotriangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de váriasmaneiras

Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, éum conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma

das áreas das n-regiões.

Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:

a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade deconfusão entre o polígono e a região.


190


b. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar deexpressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.

Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal emregiões triangulares.

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.

Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. Osegmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seisquadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área doretângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número deunidades da altura BC.

O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo éo produto da medida da base b pela medida da altura h.

A = b × h


191


Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área doquadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e aárea A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x²

Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5unidades.

A = b×h A = (8u)x(5u) = 40u²

No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certaunidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...

Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar aárea em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.

1. Transformando as medidas em metros

Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:

A = b×h

A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²

2. Transformando as medidas em centímetros

Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:

A = b×h

A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²

Área do Paralelogramo

Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas deretângulos podemos obter a área do paralelogramo.

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmentoperpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer umdeles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.


192


No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um delespode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.

A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é,A=b×h.

Área do Triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.Demonstração da fórmula

Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z]denota a raiz quadrada de z> 0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obterh²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.

Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:

A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²

Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possívelobter a razão entre as áreas desses triângulos.


193


Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre oscomprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABC ²a b² c²= = =

Área de RST ²r s² t²

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da basepela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração da fórmula

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura commedida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é,A=(b1+b2).h/2.

Polígonos regulares

Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existemduas circunferências associadas a um polígono regular.


194


Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferênciacircunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém opolígono em seu interior.

Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (pordentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida nopolígono.

Elementos de um polígono regular

1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao

ponto médio de um dos lados.4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices

consecutivos do polígono.

Apótema: OM,Raios: OA,OF

Ângulo central: AOF

Apótema: OX,Raios: OR,OT

Ângulo central: ROT

5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulocentral de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede

360/5=72 graus.

Áreas de polígonos regulares

Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.


195


Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto damedida do apótema a pelo perímetro P, isto é:

A = a × Perímetro / 2

Comparando áreas entre polígonos semelhantes

Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamosdiagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.

Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificadodiretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade sejaválida para polígonos semelhantes com n lados.

Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulose cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.


196


Área de ABCDE... ²s t²= =

Área de A'B'C'D'E'... (s')² (t')²

PERÍMETRO

Perímetro de polígono plano

É a soma das medidas de todos os seus lados. Identifica-se por 2p (perímetro) e p por semi-perímetro.

Exemplo.

perímetro = 2p = a + b + c + d + e + f + g

TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Trigonometria do Triângulo RetânguloTrigonometria e aplicaçõesTriângulo RetânguloLados de um triângulo retânguloNomenclatura dos catetosPropr. do triângulo retângulo

A hipotenusa (base) do triânguloProjeções de segmentosProjeções no triângulo retânguloRelações MétricasFunções trigonométricas básicas

Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo,assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma páginamais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.


197


A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já seusava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodoscomuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

Determinação da altura de um certo prédio.

Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria setorna simples.Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalhodele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, ocomprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenharum mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus,daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de umtriângulo é igual a 180°, então os outros dois ângu los medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominadoscomplementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ânguloscomplementares.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados deacordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é ahipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Termo Origem da palavra

Cateto Cathetós:(perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa:


198


Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medidaa Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°b Cateto B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Seestivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo Ce o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

Ângulo Lado oposto Lado adjacenteC c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nossocotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triânguloretângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

Propriedades do triângulo retângulo

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudoscomplementares.

2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior)e outros dois lados que são os catetos.

3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade numvértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento éperpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo,sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtidatomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD,denotado por h e perpendicular à base.


199


A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a

hipotenusa CB, indicada por a.3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a

hipotenusa CB, indicada por a.

Projeções de segmentos

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início destetrabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é aprojeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter asprojeções destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo queno último caso A'=B' é um ponto.


200


Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.3. a = m+n.4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica .

Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC emdois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decompostona soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menorABC a b cADC b n hADB c h m

Assim:

a/b = b/n = c/ha/c = b/h = c/mb/c = n/h = h/m


201


logo:

a/c = c/m equivale a c² = a.ma/b = b/n equivale a b² = a.na/c = b/h equivale a a.h = b.ch/m = n/h equivale a h² = m.n

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b²,obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

que resulta no Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seusângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo éindicado pela letra x.

Função Notação Definição

medida do cateto oposto a xseno sen(x)

medida da hipotenusa

medida do cateto adjacente a xcosseno cos(x)


medida do cateto oposto a xtangente tan(x)

medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulosob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto atangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

OC CO AC CA OC sen(x)sen(x)= = cos(x)= = tan(x)= =

1H H 1 AC cos(x)

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:

cos²(x) + sen²(x) = 1


202


SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamentecongruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.

Traduzindo a definição em símbolos:

Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência ordenada dos ângulos e aúltima a proporcionalidade dos lados homólogos.

Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos sãosemelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa emJava descrito abaixo).

Razão de Semelhança

Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homólogos, como a razão desemelhança dos triângulos:


203


Exemplo

Dados os triângulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidasdos lados e e d do segundo triângulo.

Solução:

Como os triângulos são semelhantes por hipótese, vem, pela razão de semelhança, que:

c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2

De forma análoga:

a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16

b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12

Propriedades

a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.


204


c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro ésemelhante ao terceiro.


205


Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notaçãocorreta conforme indicado anteriormente.

Critérios de Semelhança de Triângulos

Critério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes,então os triângulos são semelhantes.

Demonstração:


206


Pitágoras estabeleceu, então, em seu mais famoso teorema que: O quadrado da hipotenusa é igual a somados quadrados dos catetos, i.e.:

a2 = b2 + c2

Para finalizar o artigo com chave de ouro vamos demonstrar o Teorema de Pitágoras com o uso dos critérios desemelhança.

Demonstração:

Observe que os triângulos ABH e ABC são semelhantes como decorrência do critério AA, uma vez que ambospossuem um ângulo reto e o ângulo B em comum. Daí tiramos a seguinte relação entre os lados homólogos:

c/a = m/c => c2 = a.m => c2 = a.(a - n) => c2 = a2 - an [1]

Pela mesma razão os triângulos AHC e ABC são semelhantes. Logo:

b/a = n/b => b2 = an [2]

Substituindo [2] em [1] vem que:

c2 = a2 - b2 => a2 = b2 + c2.

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria no triângulo Retângulo

- Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Consideremos um ângulo agudo qualquer d medida , levando-se em conta os infinitos triângulos retângulosque possuem o ângulo de medida .


207


Exemplo:

Os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes. Logo:

Respectivamente, as razões (trigonométricas) r1, r2, r3 são denominadas de: seno do ângulo (sen ), co-seno do ângulo (cos ) e tangente do ângulo (tg )

Co-seno do ângulo agudo (cos ) é a razão entre a medida do cateto adjacente a e a medida dahipotenusa.

Tangente do ângulo (tg ) é razão entre a medida do cateto oposto a e a medida do cateto adjacente a .


208


Seno do ângulo (sen ). A razão k é uma característica de cada ângulo e seu valor é chamado de seno doângulo (sem ).


Ângulos

O triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudoscomplementares.

Lados

Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior)e outros dois lados que são os catetos.

Altura

A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice ea outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento éperpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo,sendo que duas delas são os catetos.

A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, aaltura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular àbase.


Segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa a. SegmentoBD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusaa.Segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a

hipotenusa a.


209



Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no iníciodeste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina umasombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possívelobter as projeções destes segmentos sobre a reta.


Agora iremos estudar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

m = projeção de c sobre a hipotenusa.n = projeção de b sobre a hipotenusa.a = m+n.h = média geométrica entre m e n.


Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triânguloretângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessaforma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CAD=B e DAB=C.


210



Assim:a/b = b/n = c/ha/c = b/h = c/mb/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m => c2 = a.ma/b = b/n => b2 = a.na/c = b/h => a.h = b.ch/m = n/h => h2 = m.n

Temos também outras relações a partir do triângulo inicial ABC.Como a=m+n então, somando c2 com b2 , teremos:

c2 + b2 = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a2


a2 = b2 + c2

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema dePitágoras.

Geometria Espacial

Conceitos primitivos

São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto,reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

• pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto


211


• planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

Axiomas

Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem debase para o desenvolvimento de uma teoria.

Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas

P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.


212


P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

Postulados sobre o plano e o espaço

P5) Por três pontos não colineares passa um único plano.

P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi-planos.

P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.

Posições relativas de duas retas

No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:


213



214


Postulado de Euclides ou das retas paralelas

P10) Dados uma reta r e um ponto P


215



216


Perpendicularidade entre uma reta e um plano

Uma reta r é perpendicular a um plano


217


Posições relativas de dois planos

Consideramos as seguintes situações:

a) planos coincidentes ou iguais

b) planos concorrentes ou secantes

Dois planos,


218


Projeção ortogonal

A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano


219


A distância entre duas retas reversas, r e s,é a distância entre um ponto qualquer de umadelas e o plano que passa pela outra e éparalelo à primeira reta:

Ângulos

O ângulo entre duas retas reversas é o ânguloagudo que uma delas forma com uma reta paralela àoutra:

O ângulo entre uma reta e um plano é o ânguloque a reta forma com sua projeção ortogonal sobre oplano:


220


Observações:


221


Poliedros

Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planosdiferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:


222


• hexaedro: seis faces• heptaedro: sete faces• octaedro: oito faces• icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmonúmero de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Existem cinco poliedros regulares:

Poliedro Planificação Elementos

Tetraedro

4 faces triangulares

4 vértices

6 arestas

Hexaedro

6 faces quadrangulares

8 vértices

12 arestas

Octaedro


6 vértices

12 arestas


12 vértices

30 arestas

Icosaedro


223


Relação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.

Observe os exemplos:

V=8 A=12 F=6

8 - 12 + 6 = 2


224


Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento


225


Classificação

Um prisma pode ser:

• recto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

prisma recto


226


Áreas

Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar asseguintes áreas:

a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos:

AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases

AT = AL + 2AB

Vejamos um exemplo.

Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:


227


Se o paralelepípedo recto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-rectângulo,ortoedro ou paralelepípedo rectângulo.

Paralelepípedo rectângulo

Seja o paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestasindicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base

dp = diagonal do paralelepípedo

Na base ABFE, temos:


228



229


Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode serconsiderada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo rectângulo é o produto da área dabase AB pela medida da altura h:

Cubo

Um paralelepípedo rectângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo.Dessa forma, as seis faces são quadrados.

Diagonais da base e do cubo

Considere a figura a seguir:

dc=diagonal do cubo

db = diagonal da base

Na base ABCD, temos:


230


No triângulo ACE, temos:


231


Generalização do volume de um prisma

Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697),que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano


232


Assim, temos:

Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos


233


Veja:

O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de

um rectângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do rectângulo ABCD pelo lado


234


Geometria Espacial

Áreas

Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

Assim, a área lateral do cilindro recto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é umrectângulo de dimensões :

b) área da base ( AB):área do círculo de raio r

c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases


235


Volume

Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.

Dados dois sólidos com mesma altura e um plano


236


Cilindro equilátero

Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindroequilátero.


237


Cone reto

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone derevolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seuscatetos.

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

g2 = h2 + R2

Secção meridiana

A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamadasecção meridiana.

Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:


238


Áreas

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular recto, obtemos um sector circular de raio g ecomprimento


239


Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo rectânguloem torno do cateto h:

O CG do triângulo está a uma distância


240


• base: o polígono convexo R

• arestas da base: os lados


241


Secção paralela à base de uma pirâmide

Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal demodo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.


242


Assim, temos:

• A base da pirâmide é um polígono regular inscrito num círculo de raio OB = R.


243


Para uma pirâmide regular, temos:


244


Áreas

Temos as seguintes áreas:

a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (Ab) e maior (AB)

AT =AL+AB+Ab

Volume

O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

Tronco do cone

Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:

• as bases maior e menor são paralelas;• a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.


245


Áreas

Temos:

a) área lateral

b) área total


246


Volume

O volume da esfera de raio R é dado por:

Partes da esfera

Superfície esférica

A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual aoraio R.

Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfícieesférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA BÁSICOS

ÁLGEBRA

Exercícios Resolvidos – Conjuntos

Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio eum de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma paranível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatosefetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número decandidatos ao nível fundamental?


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Solução: Sejam: M o número de candidatos de nível médio; S M o número de candidatos aos níveis superior emédio; S o número de candidatos ao nível superior; F número de candidatos ao nível fundamental. DaMatemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13.Então, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S M = 150 - 111 = 39 .Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade deelementos.

Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqüentemente, F = 700 - 411 = 289.

(PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17%têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têmcasa própria nem automóvel?

Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementosdos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção.

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.

(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela(N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum

Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dostrês programas é:

(A) 200 (C) 900(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100 (E) n.d.a.

Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começandosempre pela interseção que tem 100 elementos.

Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que,1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que nãoassistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200.Assim, (A) é a opção correta.


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(PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário éleitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ....

Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que asoma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação : 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60+ 80 - x = 100.

Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.

(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos eos deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos em 1989.A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?

Solução: Temos que encontrar um número que é multiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e mais, estenúmero deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 6. Fatorando3 , 4 e 6 simultaneamente encntramos 22× 3. Logo, M.M.C (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultâneaacontecerá em 1989 + 12 = 2001.

Em uma prova de matematica com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão.Quantos alunos fizeram a prova?

Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas asegunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar odiagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos queacertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é oconjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.


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POTÊNCIAS

n Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido i =

potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

3 Potência = 2

2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8

5 Potência = 3

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243

3Notação: 2 = 8

2 - BASE

3 - EXPOENTE

8 - POTÊNCIA

5Notação: 3 = 243

3 - BASE

5 - EXPOENTE

243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

1 (1/2) = 1/2

15 = 5

31 = 3

2) Expoente igual à zero (0)

0 5 = 1

06 = 1

07 = 1


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Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado seráigual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

3 1) 5 = 5 x 5 x 5 = 125

02) 4 = 1

03) 10 = 1

14) 20 = 20

Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum esubtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

4 1) 2 ÷ 2 = 2

4-1 3 = 2

52) 3

2 ÷ 3 = 3

5-2 2 = 3

63) 4

3 ÷ 4 = 4

6-3 3 = 4

m Temos então: I

n ÷ I = Im-n , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a basecomum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.


4 1) 2 x 2 = 2

4+1 5 = 2

52) 3

2x 3 = 3

5+2 7 = 3

63) 4

3x 4 = 4

6+3 9 = 4

m Temos então: I

n x I = I

m+n


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- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-sea base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.


3 4 1) (2 ) = 2

12 3 , pois = 2

3 3 3x 2 x 2 x 2

32 6 22 22) (3 ) = 3 , pois = 3 x 3 x 3

2 5 103) (4 ) = 4

2 2 , pois = 4 x 4

2 x 4

2 2x 4 x 4

n m Temos então: (I )

nxmI=

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator aesta potência.


35 4 02 4 121) (b ya ) = b y a

22 5 2 44 102) (c d e ) = c d e

43 3 9 123) (d a ) = d a

m Temos então: (I.T)

m m= I x T

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração oqual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porémapresentando o expoente positivo.


1) 2-4 4 = 1/2 = 1/16

-32) 3

3 = 1/3 = 1/27

-23) 4

2 = 1/4 = 1/16

-m Temos então: (I) = 1/I

mI#0


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- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador,respectivamente, a esta potência.

44 4 1) (a/b) = a /b = b#0

2 4 3 6 122) (a /b ) = a /b = b#0

3 2 3 9 63) (a /b ) = a /b = b#0

m Temos então: (a/b)

m m= a /b b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Paraisto guarde bem estas técnicas :

n 1) Para se elevar 10

a direito do número 1.


(N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência

4 a) 10 = 10000

6b) 10 = 1000000

7c) 10 = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potênciaa esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.


a) 10-4 = 0,0001

b) 10-6 = 0,000001

c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

2 a) 300 = 3.100 = 3.10

3b) 7000 = 7.1000 = 7.10


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4c) 10.000 = 1.10000 = 1.10

Exemplos de fixação (números menores que 1):

-3 a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10

-4b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10

-c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10 5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

2 4 Veja: (+2) = 4 / / (-2) = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

3 3 Veja: (+3) = 27 / / (-3) = -27

2 Observação importante: -2 # (-2)

2 2 , pois -2 = -4 e (-2)

2 = 4. A diferença está

que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que nasegunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo,conforme colocado.

Números Primos

Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente sãodivisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.

Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:

3. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre quedividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos).

4. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto emfatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.

Como podemos provar que um número é primo ou não?

Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que comnúmeros pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números setornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar suaprimalidade pode se tornar muito complexo.


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Teste Rápido:

Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo deErastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é umdos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmoque os números atinjam 25 dígitos.

O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se umnúmero é primo.

Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos osnúmeros primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.

Um exemplo simples :

Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então,vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então estenúmero será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo,pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3|323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0

Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100números, existem milhares de números primos.

TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541


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Operações fundamentais com números

* Adição

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato deadicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.

A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.

Relembrar: 10 + 5 = 15

10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acimadenomina-se, então, ADIÇÃO.

A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.

Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feitoisto pode ser efetuada a soma da operação adição.

Exemplo:

1.253 + 2.715

MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE1 2 5 32 7 1 5

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7 centenas(9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades),então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9

Deduz-se :

a. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma.b. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma.c. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade

comutativa.

A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominadacomutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adiçãoentre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos oresultado final a soma 11.

Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)


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Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:

5 + (4+2) = 11 (resultado soma final).

Deduz-se :

Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ouassociar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominaçãopropriedade associativa.

Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a oresultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).

Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)

* Subtração

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação desubtração denomina-se diferença ou resto.

Relembrar: 9 – 5 = 4

Essa igualdade tem como resultado a subtração.

Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é osubtraendo.

O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.

Veja as análises abaixo:

1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo.2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.

Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração serealize em N.

A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário queem uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

a. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N. b.A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:

6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6

Logo: 0 – 6 6 -0

c. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 – 4.


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d. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 10 – (4-2) Aoperação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.Considerando:

7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2

7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7

Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Observe esta sentença:

Y + a = c ou a + y = c

Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, masdesconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x?

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

* Multiplicação

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número,chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar umterceiro número que representa o produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado daoperação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:

A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w

Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

a. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, nocaso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:

a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação

b. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :

(4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), emseguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120

A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa damultiplicação.


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c. A propriedade comutativa nos permite que seja usado:

1 . x = x ou x.1 = x

É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto daoperação o próprio X.

Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.

d. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode sertraduzido a propriedade do fechamento da multiplicação

A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N

* Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantasvezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

1) A divisão exata

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8

Propriedades da divisão exata

a. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a Nb. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a

N. Logo 3:1 é diferente de 1:3c. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15d. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4

Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8

(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então estapropriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações deadição e subtração.

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que emuma operação o divisor tem que ser maior do que zero.

2) A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é oquociente e 1 é o resto.


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A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9

De um modo geral na divisão :

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto ésubentendido “igual a zero”.

Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.

DIVISIBILIDADEM.M.C e M.D.C.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentreeles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum dessesnúmeros. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:mdc (6,12) = 6mdc (12,20) = 4mdc (20,24) = 4mdc (12,20,24) = 4mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

primos.Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores

1) decompomos os números em fatores primos;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles,cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).


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Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assimsucessivamente;

30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximodivisor comum desses números é 1.

Exemplos:Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 318 = 2 x 32

30 = 2 x 3 x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, entãoele é o m.d.c. dos números dados.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentreeles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum dessesnúmeros. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:mdc (6,12) = 6mdc (12,20) = 4mdc (20,24) = 4mdc (12,20,24) = 4mdc (6,12,15) = 3


261


CÁLCULO DO M.D.C.

primos.Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores

1) decompomos os números em fatores primos;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles,cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c.Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assimsucessivamente;

30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximodivisor comum desses números é 1.

Exemplos:Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.


262


PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 318 = 2 x 32

30 = 2 x 3 x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, entãoele é o m.d.c. dos números dados.

NÚMEROS FRACIONÁRIOS E NÚMEROS DECIMAIS

O papel das frações e números Decimais

Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos,propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notóriaimportância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitasvezes passem despercebidas.

Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de café por R$ 2,80 e pagando a compra com uma nota deR$ 5,00, obtém-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de frações e númerosdecimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com osistema de pesagem (1/2 Kg), números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outrassituações utilizam de frações e números decimais.

Observação: Para dividir um número X por outro número não nulo Y, usaremos frequentemente anotação X/Y, por ser mais simples.

Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração 1/2 equivale à fração5/10 que equivale ao número decimal 0,5.

Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas asoperações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturaisordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula nonumeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grandematemático escocês.

1437 1 2 3= 1, 4 3 7

1000

A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço nonumerador indicando o número de zeros existentes no denominador.

437= 4,37

100


263


Este método foi aprimorado e em 1617 Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula paraseparar a parte inteira da parte decimal.

Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronômicos emvirtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram aser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.

Frações e Números Decimais

Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo édenominado fração decimal.

Exemplos de frações decimais, são:

1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103

Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem umaparte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.

A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:

127= 1,27

100

onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que afração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:

127 100+27 100 27= = + = 1+0,27 = 1,27

100 100 100 100

A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aquiobservamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que odenominador da fração.

Leitura de números decimais

Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa aparte inteira da parte decimal.

Um número decimal pode ser colocado na forma genérica:

Centenas Dezenas Unidades , Décimos Centésimos Milésimos


264


Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:

1 Centena 3 dezenas 0 unidades , 8 décimos 2 centésimos 4 milésimos

Exemplos:

0,6 Seis décimos0,37 Trinta e sete centésimos

0,189 Cento e oitenta e nove milésimos3,7 Três inteiros e sete décimos

13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centésimos130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milésimos

Transformando frações decimais em números decimais

Podemos escrever a fração decimal 1/10 como: 0,1. Esta fração é lida "um décimo". Notamos que avírgula separa a parte inteira da parte fracionária:

parte inteira parte fracionária0 , 1

Uma outra situação nos mostra que a fração decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se lêda seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centésimos". Novamente observamos que a vírgulasepara a parte inteira da parte fracionária:

parte inteira parte fracionária2 , 31

Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numeradorda fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Naverdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:

(a) 130/100 = 1,30

(b) 987/1000 = 0,987

(c) 5/1000 = 0,005

Transformando números decimais em frações decimais

Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-secomo numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida detantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:

(a) 0,5 = 5/10

(b) 0,05 = 5/100


265


(c) 2,41 = 241/100

(d) 7,345 = 7345/1000

Propriedades dos números decimais

Zeros após o último algarismo significativo: Um número decimal não se altera quando se acrescentaou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Porexemplo:

(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000

(b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200

(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000

Multiplicação por uma potência de 10: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000,basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, ou três casas decimais. Por exemplo:

(a) 7,4 x 10 = 74

(b) 7,4 x 100 = 740

(c) 7,4 x 1000 = 7400

Divisão por uma potência de 10: Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, bastadeslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ... casas decimais. Por exemplo:

(a) 247,5 ÷ 10 = 24,75

(b) 247,5 ÷ 100 = 2,475

(c) 247,5 ÷ 1000 = 0,2475

Operações com números decimais

Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguiralguns passos:

(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídosacrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:

(a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723

(b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723


266


(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc),de forma que:

i. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades dooutro número,

ii. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas dooutro número,

iii. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número,etc),

iv. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, ev. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos,

centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.

Dois exemplos:

2,400 2,400

+ 1,723 - 1,723

------- -------

(c) Realizar a adição ou a subtração.

Multiplicação de números decimais: Podemos multiplicar dois números decimais transformando cadaum dos números decimais em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador pornumerador e denominador por denominador. Por exemplo:

225 53 225×35 78752,25×3,5 = × = = = 7,875

100 01 100×10 1000

Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantascasas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:

2,25 2 casas decimais multiplicandox 3,5 1 casa decimal multiplicador

1125+ 675

78757,875 3 casas decimais Produto

Divisão de números decimais: Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como odivisor de uma divisão por 10, 100 ou 1000, o quociente não se alterará. Utilizando essasinformações poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões denúmeros inteiros. Por exemplo: 3,6÷0,4=?

Aqui, dividendo e divisor têm apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que oquociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão números inteiros. Na prática,dizemos que "cortamos" a vírgula.

3,6÷0,4 = 3,6 = 36×10 = 36 = 9


267


0,4 4×10 4

Um outro exemplo:

0,35 0,35×100 35 35÷7 50,35÷7= = = = = = 0,05

7 7×100 700 700÷7 100

Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambospor 100 para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.

Exercício: Uma pessoa de bom coração doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas.Sabendo-se que cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual será a área que cadaum receberá?

Divisão com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divisão de 35 (dividendo) por700 (divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 décimos,3500 centésimos, ... até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão setorne possível. Neste caso, há a necessidade de multiplicar por 100.

Assim a divisão de 35 por 700 será transformada numa divisão de 3500 por 700. Comoacrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se umavírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por100, o quociente ficará dividido por 100.

dividendo 3500 700 divisorresto 0 0,05 quociente

Realiza-se a divisão de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.

Divisão de números naturais com quociente decimal: A divisão de 10 por 16 não fornecerá um inteirono quociente. Como 10 < 16, o quociente da divisão não será um inteiro, assim para dividir o número10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.

10 16?

(1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença doalgarismo 0 seguido de uma vírgula no quociente.

100 160,

(2) Realizamos a divisão de 100 por 16. O resultado será 6 e o resto será 4.

100 16-96 0,64


268


(3) O resto 4 corresponde a 4 décimos = 40 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) àdireita do número 4.

100 16-96 0,640

(4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto será 8.

100 16-96 0,6240-328

(5) O resto 8 corresponde a 8 centésimos = 80 milésimos, razão pela qual inserimos um 0 à direitado número 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.

100 16-96 0,62540-3280-800

A divisão 10/16 é igual a 0,625. O o quociente é um número decimal exato, embora não seja uminteiro.

Comparação de números decimais

A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimaisdesses números. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se lê: maior); < (que se lê: menor) ou =(que se lê: igual).

Números com partes inteiras diferentes: O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Porexemplo:

(a) 4,1 > 2,76, pois 4 é maior do que 2.

(b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.

Números com partes inteiras iguais: Igualamos o número de casas decimais acrescentando zerostantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parteinteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatarqual é o maior deles. Alguns exemplos, são:

(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40 e 40 > 31.


269


(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470 e 032 < 470.

(c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3.

Porcentagem

Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:

A inflação do mês foi de 4% (lê-se quatro por cento)Desconto de 10% (dez por cento) nas compras à vista.O índice de reajuste salarial de março é de 0,6% (seis décimos por cento)

A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razõesda proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-seporcentagem.

Exemplos:

(1) Se há 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o número de meninas com onúmero total de alunos da sala, usando para isto uma fração de denominador 100, para significarque se a sala tivesse 100 alunos então 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento é omesmo que

30= 30%

100

(2) Calcular 40% de R$300,00 é o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 amesma proporção que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporção:

40=

100

X

300

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicaçãocruzada para obter: 100X=12000, assim X=120

Logo, 40% de R$300,00 é igual a R$120,00.

(3) Li 45% de um livro que tem 200 páginas. Quantas páginas ainda faltam para ler?

45=

100

X

200


270


o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu já li 90 páginas, ainda faltam 200-90=110páginas.

DÍZIMAS PERIÓDICAS

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se onome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem operíodo dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.Exemplos:

(período: 5) (período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

(Período: 23)

(Período: 2) (Período: 4)

Parte não periódica: 0 Período não periódica: 15 Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte nãoperiódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período.Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:


271


Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e paradenominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zerosquantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA

Média aritmética simples

A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posição maisutilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia que qualquer pessoaentende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto de valores numéricos écalculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementossomados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua

soma dividida por n.


272


1. Calcule a média aritmética entre os número 12, 4, 5, 7.

observe o que foi feito, somamos os quatro número e dividimos pela quantidade de números.

2. O time de futebol do Cruzeiro de Minas Gerai, fez 6 partidas amistosas, obtendo os seguintesresultados, 4 x 2, 4 x 3, 2 x 5, 6 x 0, 5 x 3, 2 x 0.

Qual a média de gols marcados nestes amistoso?

Média ponderada

Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesmaimportância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto,existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo damédia deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-semédia aritmética ponderada.

Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor doconjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.

Exemplo:1. Um colégio resolveu inovar a forma de calcular a média final de seu alunos.

1º bimestre teve peso 2.2º bimestre teve peso 2.3°bimestre teve peso 3.4°bimestre teve peso 3.

Vamos calcular a média anual de Ricardo que obteve as seguintes notas em historia. 1°bim = 3, 2°bim = 2,5, 3°bim = 3,5 e 4°bim = 3

Este tipo de média é muito usada nos vestibulares, você já deve ter ouvido algum colega falarassim, a prova de matemática para quem faz engenharia é peso 3 e historia é peso 1, isto é devido aengenharia ser um curso ligado a ciências exatas. Este peso varia de acordo com a área de atuaçãodo curso.


273


TRIGONOMETRIA

O papel da trigonometria

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vemseu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcularas medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, aaltura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado noestudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

Ponto móvel sobre uma curva

Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmentedizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa serdeslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferênciaem dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) éadotado como sentido positivo.

Arcos da circunferência

Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é aorigem do arco e M é a extremidade do arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode serdenotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência,temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.


274


Medida de um arco

A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferênciatomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é onúmero de vezes que o arco u cabe no arco AB.

Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB porm(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).

A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de umarco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A paraB for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.

O número pi

Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pelaletra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois númerosinteiros. Uma aproximação para o número é dada por:

= 3,1415926535897932384626433832795...

Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares .

Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadaspelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamosmedindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1radiano, que denotaremos por 1 rad.


275


Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamosmedindo o arco.

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo oarco.

Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em umacircunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,

m(AB)=comprimento do arco(AB) 12

=

comprimento do raio 8

Portanto m(AB)=1,5 radianos

Arcos de uma volta

Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r,então:

comprimento do arco(AB) 2 rm(AB)= = = 2

comprimento do raio r

Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,

2 rad=360 graus

Podemos estabelecer os resultados seguintes

Desenho

Grau 90 180 270 360Grado 100 200 300 400

Radiano /2 3 /2 2

0 graus = 0 grado = 0 radianos

Mudança de unidades

Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entreestas medidas é obtida pela seguinte proporção,

2 rad …………… 360 grausR rad …………… G graus


276


Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,

R G=

180

Exemplos

1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos

R 60=

180

2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:

1 G=

180

4. Asim 1 rad=180/ graus.

Círculo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e oponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentidopositivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontosinteriores, é denominada círculo trigonométrico

.

Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquantocircunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a regiãocircular.

Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados comosegue:

2o. quadranteabscissa: negativaordenada: positiva90º<ângulo<180º

3o. quadranteabscissa: negativaordenada: negativa180º<ângulo<270º

1o. quadranteabscissa: positivaordenada: positiva

0º<ângulo<90º

4o. quadranteabscissa: positivaordenada: negativa270º<ângulo<360º


277


Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Porconvenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes.

Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Porexemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para emum ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ouser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeiradeterminação.

Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinadosentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta.Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é oponto M.

Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare emM, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.

Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade dearcos positivos de medidas

m, m+2 , m+4 , m+6 , ...

Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidasalgébricas

m-2 , m-4 , m-6 , ...

e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.

Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemosrepresentar as medidas destes arcos por:

µ(AM) = m + 2k


278


onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.

Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A eextremidade em M.

Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinaçãopositiva medindo 2 /3, então os arcos desta família {AM}, medem:

Determinações positivas (sentido anti-horário)k=0 µ(AM)=2 /3k=1 µ(AM)=2 /3+2 =8 /3k=2 µ(AM)=2 /3+4 =14 /3k=3 µ(AM)=2 /3+6 =20 /3... ...

k=n µ(AM)=2 /3+2n =(2+6n) /3

Determinações negativas (sentido horário)k=-1 µ(AM)=2 /3-2 =-4 /3k=-2 µ(AM)=2 /3-4 =-6 /3k=-3 µ(AM)=2 /3-6 =-16 /3k=-4 µ(AM)=2 /3-8 =-22 /3

... ...k=-n µ(AM)=2 /3-2n =(2-6n) /3

Arcos côngruos e Ângulos

Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2 .

Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.

Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vezque a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelassemi-retas OA e OM.

Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) commedida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2correspondente ao arco AM.

Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicampara ângulos.


279


Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos emrelação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por:µ(AM')=2 -m.

Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k +m,onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2k -m, onde k é um númerointeiro.

Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos emrelação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada pelaexpressão µ(AM')= -m.

Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2k + -m=(2k+1)-m onde k é um número inteiro.

Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem

Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos emrelação a origem (0,0).


280


Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')= +m. Arcos genéricoscom origem em A e extremidade em M' medem:

µ(AM') = 2k + + m = (2k+1) + m

Seno e cosseno

Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arcoorientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos.

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário.Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arcoAM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina umponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y').

A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM quecorresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).

Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos

sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y'

Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco demedida x radianos.

Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida dosegmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M.


281


Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos

cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x'

Tangente

Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. Areta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). Aordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:

tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t'

Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, ocosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.

Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:

cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0

Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes

Ângulos no segundo quadrante

Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixoOX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cossenoestá relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y)possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, ocosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.

Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:

cos( /2)=0 e sen( /2)=1


282


A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.

Ângulos no terceiro quadrante

O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo:<a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem dosistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de umângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.

Em particular, se a= radianos, temos que

cos( )=-1, sen( )=0 e tan( )=0

Ângulos no quarto quadrante

O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, ocosseno é positivo e a tangente é negativa.

Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas sãoparalelas. Quando a=3 /2, temos:

cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1

Simetria em relação ao eixo OX

Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M emrelação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.


283


Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulocorrespondente ao arco AM', obtemos:

sen(a) = -sen(b)cos(a) = cos(b)tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação ao eixo OY

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M emrelação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.

Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulocorrespondente ao arco AM'. Desse modo:

sen(a) = sen(b)cos(a) = -cos(b)tan(a) = -tan(b)

Simetria em relação à origem

Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de Mem relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.


284


Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulocorrespondente ao arco AM'. Desse modo:

sen(a) = -sen(b)cos(a) = -cos(b)tan(a) = tan(b)

Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis

Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência emexercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculotrigonométrico.

Primeira relação fundamental

Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas daMatemática e também das aplicações é:

sin²(a) + cos²(a) = 1

que é verdadeira para todo ângulo a.

Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que arelação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").

Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:


285


Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e adistância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos,d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).

Segunda relação fundamental

Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, édada por:

sen(a)tan(a) =

cos(a)

Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.

Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue quecos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estesúltimos valores de a.

Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica nafigura seguinte.

Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:

TA OA=

NM ON

Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0< a< 2 com a /2 e a 3 /2temos

sen(a)tan(a) =

cos(a)

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Forma polar dos números complexos

Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:

z = r [cos(c) + i sen(c)]

onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do númerocomplexo z.

A multiplicação de dois números complexos na forma polar:

A = |A| [cos(a)+isen(a)]B = |B| [cos(b)+isen(b)]

é dada pela Fórmula de De Moivre:

AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]

Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os seusmódulos e somar os seus argumentos.

Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso

A = cos(a) + i sen(a)B = cos(b) + i sen(b)

Multiplicando A e B, obtemos

AB = cos(a+b) + i sen(a+b)

Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todonúmero complexo z e também para todo número real z:

eiz = cos(z) + i sen(z)

Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra formapara representar números complexos unitários A e B, como:

A = eia = cos(a) + i sen(a)B = eib = cos(b) + i sen(b)

onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,

ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)


287


Por outro lado

ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]

e desse modo

ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)+ i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]

Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)

Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma

cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)

para obter

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)

Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença

Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2 e 0£b£2 , a>b, então;

sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)

Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:

sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)tan(a+b)=

cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:

tan(a)+tan(b)tan(a+b)=

1-tan(a)tan(b)

Como

sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:

tan(a)-tan(b)tan(a-b)=

1+tan(a)tan(b)


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Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum naoitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assuntotratado no âmbito do Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometriapara obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

Determinação da altura de um certo prédio.

Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácilquando ele usa dos recursos trigonométricos.Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de umrio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nometriângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, entã o osoutros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos s ão denominados complementares,portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com aposição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam oângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Termo Origem da palavra

Cateto Cathetós:(perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa:Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)


289


Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medidaa Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°b Cateto B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.

Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Seestivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e olado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

Ângulo Lado oposto Lado adjacenteC c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano.Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo datrigonometria é extenso e minucioso.


1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois

lados que são os catetos.3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra

extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto aovértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura(ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será osegmento AD, denotado por h e perpendicular à base.


290



Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada

por a.3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada

por a.


Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz doSol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destessegmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que noúltimo caso A'=B' é um ponto.


Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

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291


1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.3. a = m+n.4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica .


Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulosretângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B eDÂB=C.


Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menorABC a b cADC b n hADB c h m

Assim:

a/b = b/n = c/ha/c = b/h = c/mb/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m equivale a c² = a.ma/b = b/n equivale a b² = a.na/c = b/h equivale a a.h = b.ch/m = n/h equivale a h² = m.n


292


Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²


a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seusângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo éindicado pela letra x.

Função Notação Definição

medida do cateto oposto a xseno sen(x)


medida do cateto adjacente a xcosseno cos(x)


medida do cateto oposto a xtangente tan(x)

medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análiseé o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ânguloanalisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

OC CO AC CA OC sen(x)sen(x)= = cos(x)= = tan(x)= =

1H H 1 AC cos(x)

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:

cos²(x) + sen²(x) = 1


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