Apostila i conjuntos numericos

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ETEC PROF CAMARGO ARANHA

APOSTILA IMATEMTICACONJUNTOS NUMRICOSRELAES E FUNES

INCLUDEPICTURE "http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/95ec926f46fe3731a1dd19d2738d4ec9.jpg" \* MERGEFORMATINET

ENSINO MDIO INTEGRADO

TCNICO EM ADMINISTRAO - 1 SRIE PROFESSOR RESPONSVEL JOO EDISON T. MARTINSSite: www.jedisoneteca.com.brPermitida a reproduo pelos alunos da ETEC Prof. Camargo Aranha

Conjuntos

Um conjunto uma coleo qualquer de elementos.

Exemplo 1

X o conjunto dos nmeros naturais pares menores que 10

X = { 2, 4, 6, 8 }

Y o conjunto dos nmeros naturais maiores que 3 e menores que 7

Y = { 4, 5, 6 }

K o conjunto dos nmeros naturais compreendidos entre 1 e 10

K= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Relao de pertinnciaDizemos, por exemplo, que 2 K pois 2 elemento do conjunto K.O quadro a seguir apresenta alguns smbolos utilizados na teoria dos conjuntos:: pertence: existe

: no pertence: no existe

: est contido: para todo (ou qualquer que seja)

: no est contido: conjunto vazio

: contmN: conjunto dos nmeros naturais

: no contmZ: conjunto dos nmeros inteiros

/ : tal queQ: conjunto dos nmeros racionais

: implica queQ'= I: conjunto dos nmeros irracionais

: se, e somente seR: conjunto dos nmeros reais

Operaes com conjuntos

Reunio ou unio: X U YInterseo: X YDiagrama de VennDiferena: X - YComplementar:

No exemplo 1, temos:X U Y = { 2, 4, 5, 6, 8 }X Y = { 4, 6 }

X - Y = { 2, 8 }

= { 1, 3, 5, 7, 9, 10 }EXERCCIO 1 Sendo A = { 3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine:

a) A B =

b) A B = EXERCCIO 2

So dados os conjuntos

A = {x N / x impar}, B = {x Z / 3 x < 4} e C = {x / x < 6}. Calcule

a) A =

b) B =

c) C =

d) ( AB ) ( BC ) = e) A C B =

Subconjuntos

Quando todos os elementos de A pertencem a B, dizemos que A subconjunto de B e indicamos por A B ou ainda que B A

Os smbolos significam:

est contido

contm EXERCCIO 3Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C = {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmao abaixo:

( ) A B ( ) {1} A

( ) A C

( ) B C

( ) B C

( ) {0;2} BEXERCCIO 4Se n(A), n(B) e n(A B) correspondem a 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, calcular: n(A U B) = EXERCCIO 5

Em uma escola, 100 alunos praticam vlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos nenhum. Calcular o nmero total de alunos dessa escola.

EXERCCIO 6

No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a lngua inglesa, 251 a lngua francesa e 321 no falam nenhum desses idiomas. Quantos candidatos falam as lnguas inglesa e francesa?EXERCCIO 7Uma pesquisa de mercado sobre a preferncia de 200 consumidores por trs produtos P, Q e R mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os trs produtos; 30 os produtos P e Q; 50 os produtos Q e R; 60 os produtos P e R; 120 o produto P; e 75 o produto Q. Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferncia a pelo menos um dos produtos, pergunta-se:

a) Quantas consumiam somente o produto R?

b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos?

c) Quantas consumiam os produtos P e Q, e no R?EXERCCIO 8Numa prova constituda de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova?

Sistemas de numerao

Antes mesmo do surgimento dos nmeros, os povos se utilizavam de smbolos como ferramentas auxiliares em processos envolvendo contagem. Os vrios povos que constituram civilizaes no decorrer da histria buscaram desenvolver tcnicas matemticas capazes de solucionar problemas cotidianos. Entre os povos podemos citar os maias, incas, astecas, sumrios, egpcios, gregos, chineses, romanos, povos da regio mesopotmica, entre outros.

Nessa evoluo surgiram sistemas de numerao, tcnicas de contagem, smbolos numricos, calendrios baseados no sistema solar, objetos de contagem como o baco, posicionamento numrico alm de outras descobertas. Os clculos matemticos e os mistrios da natureza sempre fascinaram o homem, que buscou e ainda busca nos nmeros, desvendar determinadas situaes. O surgimento do sistema de numerao indo-arbico facilitou o crescimento da Matemtica e de outras cincias, pois a base decimal facilitou os clculos numricos.

Nos sculos seguintes, a introduo do sistema de base decimal na Europa pelos rabes e os grandes gnios da Matemtica despertaram suas habilidades intelectuais para o desenvolvimento de novas tcnicas. O surgimento de importantes relaes caracterizadas por nmeros constantes como o (pi) constituram importantes passos para a cincia dos nmeros. Os mistrios da natureza comeavam a ser desvendados e explicados com a ajuda dos mesmos.

Os nmeros constituem o alicerce da Matemtica, pois sem estes, ela no teria evoludo como evoluiu. At hoje, os nmeros intrigam as pessoas ligadas rea de exatas atravs de situaes que conduzem a resultados fascinantes. A criatividade e a habilidade em manobrar os nmeros, levam a um mundo cheio de mistrios e segredos. Observe as seguintes situaes:

1 x 8 + 1 = 912 x 8 + 2 = 98123 x 8 + 3 = 9871234 x 8 + 4 = 987612345 x 8 + 5 = 987 65123456 x 8 + 6 = 9876541234567 x 8 + 7 = 987654312345678 x 8 + 8 = 98765432123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 1112 x 9 + 3 = 111123 x 9 + 4 = 11111234 x 9 + 5 = 1111112345 x 9 + 6 = 111111123456 x 9 + 7 = 11111111234567 x 9 + 8 = 1111111112345678 x 9 + 9 = 111111111123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 8898 x 9 + 6 = 888987 x 9 + 5 = 88889876 x 9 + 4 = 8888898765 x 9 + 3 = 888888987654 x 9 + 2 = 88888889876543 x 9 + 1 = 8888888898765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 111 x 11 = 121111 x 111 = 123211111 x 1111 = 123432111111 x 11111 = 123454321111111 x 111111 = 123456543211111111 x 1111111 = 123456765432111111111 x 11111111 = 123456787654321111111111 x 111111111 = 12345678987654321A disposio dos nmeros envolvendo as operaes da adio e da multiplicao resultaram em sequncias numricas com certo grau de curiosidade, e como diria Pitgoras, um clebre matemtico grego: Os nmeros governam o mundo.

O sistema decimal muito usado no cotidiano, pois nos oferece uma forma mais simples de manipular os nmeros em determinadas situaes matemticas. composto por dez dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Conjuntos numricos

Para desenvolver a matemtica hoje estudada, inmeras mudanas na organizao de todos os conceitos matemticos foram necessrias. A concepo dos conjuntos numricos recebeu maior rigor em sua construo com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do nmero infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numricos, constituindo, assim, a teoriados conjuntos. Os conjuntos numricos so compreendidos como os conjuntos dos nmeros que possuem caractersticas semelhantes. Temos ento os seguintes conjuntos numricos:

Conjunto dos nmeros Naturais ();

Conjunto dos nmeros Inteiros ();

Conjunto dos nmeros Racionais ();

Conjunto dos nmeros Irracionais ();

Conjunto dos nmeros Reais ();

Conjunto dos nmeros Complexos ();

Formao dos nmeros naturaisNmeros primos so nmeros divisveis apenas por si prprios e pela unidade: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, .....

Nmeros compostos so formados por fatores primos. Por exemplo, o nmero 6 compostos pelos fatores primos 2 e 3, pois 2 x 3 = 6

Mnimo mltiplo comum (MMC) entre nmeros Exemplo: 12 e 28

Os nmeros so decompostos em fatores primos ao mesmo tempo, isto , divididos pelo mesmo nmero primo. O quociente da diviso colocado abaixo do dividendo. Esse processo deve ocorrer at a simplificao total do dividendo, ou seja, resultar 1:

MMC (12, 28) = 2 2 3 7 = 84

Mximo divisor comum (MDC) entre nmeros

Exemplo: 75 e 125

75 = 3 x 5 x 5 125 = 5 x 5 x 5Observe que a multiplicao dos fatores primos coincidentes nas duas fatoraes, formam o maior divisor comum, ento:MDC (75, 125) = 5 x 5 = 25

Mtodo prtico

50250

125755025

112

Dividir o nmero maior pelo menor, repetindo o resto ao lado do menor. Prosseguir dividindo pelo resto at resultar uma diviso exata.

Aplicaes do MMC e MDC

Exemplo 1

Uma indstria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Aps efetuar os cortes necessrios, verificou-se que duas peas restantes tinham as seguintes medidas: 156 centmetros e 234 centmetros. O gerente de produo ao ser informado das medidas determinou que o funcionrio cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possvel. Como ele poder resolver essa situao?

O MDC entre 156 e 254 corresponder medida do comprimento desejado:

MDC (156, 234) = 2 x 3 x 13 = 78Ou, pela regra prtica:782

23415678

10

Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento.Exemplo 2

Uma empresa de logstica composta de trs reas: administrativa, operacional e vendas. A rea administrativa composta de 30 funcionrios, a operacional de 48 e a de vendas com 36 pessoas. Ao