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ETEC PROF CAMARGO ARANHA APOSTILA I MATEMÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS RELAÇÕES E FUNÇÕES ENSINO MÉDIO INTEGRADO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - 1ª SÉRIE PROFESSOR RESPONSÁVEL JOÃO EDISON T. MARTINS 1

Apostila i conjuntos numericos

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ETEC PROF CAMARGO ARANHA

APOSTILA IMATEMÁTICACONJUNTOS NUMÉRICOSRELAÇÕES E FUNÇÕES

ENSINO MÉDIO INTEGRADO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - 1ª SÉRIE

PROFESSOR RESPONSÁVEL

JOÃO EDISON T. MARTINS

Site: www.jedisoneteca.com.br

Permitida a reprodução pelos alunos da ETEC Prof. Camargo Aranha

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Conjuntos

Um conjunto é uma coleção qualquer de elementos.

Exemplo 1

X é o conjunto dos números naturais pares menores que 10

X = { 2, 4, 6, 8 }

Y é o conjunto dos números naturais maiores que 3 e menores que 7

Y = { 4, 5, 6 }

K é o conjunto dos números naturais compreendidos entre 1 e 10

K= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Relação de pertinência

Dizemos, por exemplo, que 2 K pois 2 é elemento do conjunto K.

O quadro a seguir apresenta alguns símbolos utilizados na teoria dos conjuntos:

: pertence : existe

: não pertence : não existe

: está contido : para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido : conjunto vazio

: contém N: conjunto dos números naturais

: não contém Z : conjunto dos números inteiros

/ : tal que Q: conjunto dos números racionais

: implica queQ'= I: conjunto dos números irracionais

: se, e somente se R: conjunto dos números reais

Operações com conjuntos

Reunião ou união: X U Y

Interseção: X Y

Diagrama de Venn

Diferença: X - Y

Complementar:

No exemplo 1, temos:

X U Y = { 2, 4, 5, 6, 8 }

X Y = { 4, 6 }

X - Y = { 2, 8 }

= { 1, 3, 5, 7, 9, 10 }

EXERCÍCIO 1

Sendo A = { 3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9 ...}, determine:

a) A ∪ B =

b) A ∩ B =

EXERCÍCIO 2

São dados os conjuntos

A = {x ∈ N / x é impar},

B = {x ∈ Z / – 3 ≤ x < 4} e

C = {x ∈ Ζ / x < 6}.

Calcule

a) A =

b) B =

c) C =

d) ( A∩B ) ∪ ( B∩C ) =

e) A ∩ C ∪ B =

2

Subconjuntos

Quando todos os elementos de A pertencem a B, dizemos que A é subconjunto de B e indicamos por A B ou ainda que B A

Os símbolos significam:

está contido

contém

EXERCÍCIO 3

Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C = {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo:

( ) A B

( ) {1} A

( ) A C

( ) B C

( ) B C

( ) {0;2} B

EXERCÍCIO 4

Se n(A), n(B) e n(A ∩ B) correspondem a 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, calcular:

n(A U B) =

EXERCÍCIO 5

Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos nenhum. Calcular o número total de alunos dessa escola.

EXERCÍCIO 6

No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321

não falam nenhum desses idiomas. Quantos candidatos falam as línguas inglesa e francesa?

EXERCÍCIO 7

Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P, Q e R mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P e Q; 50 os produtos Q e R; 60 os produtos P e R; 120 o produto P; e 75 o produto Q. Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se:

a) Quantas consumiam somente o produto R?

b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos?

c) Quantas consumiam os produtos P e Q, e não R?

EXERCÍCIO 8

Numa prova constituída de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a prova?

Sistemas de numeração

Antes mesmo do surgimento dos números, os povos se utilizavam de símbolos como ferramentas auxiliares em processos envolvendo contagem. Os vários povos que constituíram civilizações no decorrer da história buscaram desenvolver técnicas matemáticas capazes de solucionar problemas cotidianos. Entre os povos podemos citar os maias, incas, astecas, sumérios, egípcios, gregos, chineses, romanos, povos da região mesopotâmica, entre outros.

Nessa evolução surgiram sistemas de numeração, técnicas de contagem, símbolos numéricos, calendários baseados no sistema solar, objetos de contagem como o ábaco, posicionamento numérico além de outras descobertas. Os cálculos matemáticos e os mistérios da natureza sempre fascinaram o homem, que buscou e ainda busca nos números, desvendar determinadas situações. O surgimento do sistema de numeração indo-arábico facilitou o crescimento da Matemática e de outras ciências, pois a base decimal facilitou os cálculos numéricos.

Nos séculos seguintes, a introdução do sistema de base decimal na Europa pelos árabes e os grandes gênios da Matemática despertaram suas habilidades intelectuais para o desenvolvimento de novas técnicas. O surgimento de importantes relações caracterizadas por números constantes como o π (pi) constituíram importantes passos para a ciência dos números. Os mistérios da natureza começavam a ser desvendados e explicados com a ajuda dos mesmos.

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Os números constituem o alicerce da Matemática, pois sem estes, ela não teria evoluído como evoluiu. Até hoje, os números intrigam as pessoas ligadas à área de exatas através de situações que conduzem a resultados fascinantes. A criatividade e a habilidade em manobrar os números, levam a um mundo cheio de mistérios e segredos. Observe as seguintes situações:

1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98 

123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 

12345 x 8 + 5 = 987 65 123456 x 8 + 6 = 987654 

1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 

123456789 x 8 + 9 = 987654321 

1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 

123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 

12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 

1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 

123456789 x 9 +10= 1111111111 

9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 

987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 

98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 

9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 

1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 

111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 

11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 

1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 

111111111 x 111111111 = 12345678987654321 

A disposição dos números envolvendo as operações da adição e da multiplicação resultaram em sequências numéricas com certo grau de curiosidade, e como diria Pitágoras, um célebre matemático grego: “Os números governam o mundo.”

O sistema decimal é muito usado no cotidiano, pois nos oferece uma forma mais simples de manipular os números em determinadas situações matemáticas. É composto por dez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Conjuntos numéricos

Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras

mudanças na organização de todos os conceitos matemáticos

foram necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos

recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que

pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos

estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a

teoria dos conjuntos.  Os conjuntos numéricos são

compreendidos como os conjuntos dos números que possuem

características semelhantes. Temos então os seguintes conjuntos

numéricos:

Conjunto dos números Naturais ( );

Conjunto dos números Inteiros ( );

Conjunto dos números Racionais ( );

Conjunto dos números Irracionais ( );

Conjunto dos números Reais ( );

Conjunto dos números Complexos ( );

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Formação dos números naturais

Números primos são números divisíveis apenas por si próprios e pela unidade: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, .....

Números compostos são formados por fatores primos. Por exemplo, o número 6 é compostos pelos fatores primos 2 e 3, pois 2 x 3 = 6

Mínimo múltiplo comum (MMC) entre números

Exemplo: 12 e 28

Os números são decompostos em fatores primos ao mesmo tempo, isto é, divididos pelo mesmo número primo. O quociente da divisão é colocado abaixo do dividendo. Esse processo deve ocorrer até a simplificação total do dividendo, ou seja, resultar 1:

MMC (12, 28) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84

Máximo divisor comum (MDC) entre números

Exemplo: 75 e 125

75 = 3 x 5 x 5

125 = 5 x 5 x 5

Observe que a multiplicação dos fatores primos coincidentes nas duas fatorações, formam o maior divisor comum, então:

MDC (75, 125) = 5 x 5 = 25

Método prático

50 25 0125 75 50 25

1 1 2

Dividir o número maior pelo menor, repetindo o resto ao lado do menor. Prosseguir dividindo pelo resto até resultar uma divisão exata.

Aplicações do MMC e MDC

Exemplo 1

Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após efetuar os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas determinou que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação?

O MDC entre 156 e 254 corresponderá à medida do comprimento desejado:

MDC (156, 234) = 2 x 3 x 13 = 78

Ou, pela regra prática:

78 2234 156 78

1 0

Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento.

Exemplo 2

Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendas. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendas com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.

MDC (48, 36, 30) = 6

12 0 6 048 36 12 30 12 61 3 2 2

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48 + 36 + 30 = 114 (total de funcionários)

114 : 6 = 19 equipes

O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.

Exemplo 3

(PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia?

MMC (3, 4, 6) = 12

Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.

Exemplo 4

Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos simultaneamente?

MMC (2, 3, 6) = 6

De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas.

Exercício 9

Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após efetuar os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 640 centímetros e 560 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas determinou que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação?

Exercício 10

Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendas. A área administrativa é composta de 64 funcionários, a operacional de 56 e a de vendas com 32 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.

Exercício 11

Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 6 dias, na máquina B, a cada 10 dias, e na máquina C, a cada 14 dias. Se, nesta data foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão novamente manutenção no mesmo dia?

Exercício 12

Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 3 em 3 horas, remédio B, de 4 em 4 horas e remédio C, de 8 em 8 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos simultaneamente?

Cálculo numérico

Podemos dividir a Matemática em duas partes, o cálculo

numérico e o cálculo algébrico.

O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração,

multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os

números reais e os complexos.

O calculo algébrico está diretamente ligado às expressões

algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de

equações.

Exemplo 1

{35   –   [20   –   (5   +   3²)   :   2]   +   40}

{35 – [20 – (5 + 9) : 2] + 40} =

{35 – [20 – 14 : 2] + 40} =

6

{35 – [20 – 7] + 40} =

{35 – 13 +40} = 62

Exemplo 2

* indica a operação multiplicação no Excel

Exemplo 3

Exemplo 4

Exemplo 5

Exercício 13

Calcular:

a)

b)

c)

d)

Transformação de dízimas periódicas simples em frações geratrizes

Um método prático para se obter a fração geratriz no caso de dízimas periódicas simples, consiste em utilizarmos o período como numerador e como denominador um número formado por tantos dígitos 9, quantos forem os dígitos do período. Vejamos:

Caso a dízima possua uma parte inteira, basta destacar e

calcular a parte decimal:

Caso a dízima periódica seja composta, ou seja, existir uma parte não periódica, devemos transformar da seguinte forma:

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o mumerador da fração é obtido pela parte não periódica seguida do período e subtrair a parte não periódica;

o denominador da fração deverá ter tantos 9 quantos forem os algarismos do período seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exercício 14

Transformar os números decimais em frações irredutíveis:

a) 1,666666... b) 1,6 c) 1,625

d) 1,6777... e) 2,66454545...

Número quadrado perfeito

Todo número quadrado perfeito tem raiz quadrada exata.

Por exemplo:

  = 12

- 1= 044 = 22 x 2 = 44 - 44 = 0

Exercício 15

Calcular a raiz quadrada de:

729

   = 27

- 4= 329 = 47 x 7 = 329 - 329= 0

276 676

= 526

- 25 = 102 x 2 = 204= 266 - 204= 6276 = 1046 x 6 = 6276 - 6276= 0

Exercício 16

Sabe-se que a área de um terreno quadrado é 1764 m2. Calcular o seu perímetro.

Números irracionais

Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais:

.

  = 1,414

- 1 = 24 x 4 = 96= 100 - 96 = 400 = 281 x 1 = 281 - 281 = 11900 = 2824 x 4 = 11296 - 11296 = 604

O número pi

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Para calcular o comprimento de uma circunferência verificou-se que um número se repetia para qualquer que fosse o seu raio, número que foi denominado π.  Esse número é encontrado através da razão do comprimento pelo diâmetro da circunferência.

onde C é o comprimento da circunferência, d o seu diâmetro e r o raio.

A constante π é de fundamental importância para a área de geometria e trigonometria. Veremos alguns exemplos de números irracionais e notaremos que a sua parte decimal não possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma de fração, assim como ocorre em frações periódicas.

Com isso, podemos falar que números irracionais são aqueles que em sua forma decimal são números decimais infinitos e não periódicos. Em outras palavras, são aqueles números que possuem infinitas casas decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição.

Exercício 17

Calcular a raiz quadrada de 5 até a terceira casa decimal.

Intervalos reais

Pode-se representar o conjunto dos números reais associando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. assim se convencionarmos uma origem O, associando a ela o zero, adotamos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta orientada.

Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos de R a seguir são chamados intervalos.

Intervalos limitados

Intervalo fechado: números reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

Intervalo aberto: números reais maiores do que a e menores do que b.

]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b}

Intervalo fechado à esquerda: números reais maiores ou iguais a a e menores do que b.

[a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b}

Intervalo fechado à direita: números reais maiores do que a e menores ou iguais a b.

]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

Intervalos ilimitados

Semi reta esquerda, fechada, de origem b: números reais menores ou iguais a b.

]-∞ ,b] = {x ∈ R | x ≤ b}

Semi reta esquerda, aberta, de origem b: números reais menores que b.

]-∞ ,b[ = {x ∈ R | x

Semi reta direita, fechada, de origem a: números reais maiores ou iguais a a.

[a,+∞ [ = {x ∈ R | x ≥ a}

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Semi reta direita, aberta, de origem a: números reais maiores que a.

]a, +∞ [ = {x ∈ R | x>a}

Reta numérica: números reais.

] ∞- ,+∞ [ = R

EXERCÍCIO 18

Represente os conjuntos abaixo sob a forma de intervalo:

A =

B =

C =

D =

E =

Determinar:

a) A U B

b) B ∩ D

c) E - (B U C)

d) C ∩ D

Produtos notáveis

Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.

Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.

Quadrado da soma de dois termos

Quadrado da diferença de dois termos

Produto da soma pela diferença de dois termos

Cubo da soma de dois termos

Cubo da diferença de dois termos

Fatoração

Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que seja equivalente à expressão dada; na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável. Há diversas técnicas de fatoração que estudaremos em seguida, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis.

Fator Comum

Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica. Observe os exemplos abaixo.

Agrupamento

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Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência.

Observe:

Diferença de Quadrados

Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos: 1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio; 2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;3º) Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos. Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte forma

Trinômio Quadrado Perfeito

Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios. Por exemplo, o trinômio x4 + 4 x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2 . São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes:

Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c

Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio, , dizemos que:

Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara:

Soma de diferença de cubos

Se efetuarmos o produto do binômio (a + b) pelo trinômio a2 – ab + b2, obtemos o seguinte desenvolvimento:

O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado.Assim, dizemos que:

Equações

Consideremos as três igualdades abaixo:1ª) 2 + 3 = 52ª) 2 + 1 = 53ª) 2 + x = 5

Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas   fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.

Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3.

Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.

Exemplos:

1º) 2x + 1 = 73 é a única raiz, então S = {3}

2º) 3x – 5 = –21 é a única raiz, então S = {1}

Resolução de uma equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

Exemplo 1

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Resolver a equação:x2 = 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

Exemplo 2

Resolver a equação:x2 = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo. Vejamos algumas destas propriedades:

P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Observemos a equação:x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 - 2Assim:

x + 2 = 3 x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Observemos a equação:–2x = 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim:-2x = 6 x = -3

Equação do 1º grau

Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:

onde a e b são números conhecidos com a 0. Exemplo:3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior. Exemplo:3x – 5 = 0 3x - 5 + 5 = 0 + 5 3x = 53x = 5

De modo abreviado, fazemos:3x - 5 = 0

3x = 5

Assim:

Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:

Assim:ax + b = 0

ax = -b

Exemplo:Resolver em R a equação:2x + 5 = 0

Exercícios ResolvidosResolver as equações:

a) 3x – 5 = 2x + 6

3x – 2x = 6 + 5x = 11

12

S = {11}

b) 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 142x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6–2x = 11

Equações fracionárias

Algumas equações são apresentadas com frações em seu desenvolvimento. Dessa forma, requerem algumas técnicas fundamentais para a resolução. No caso das frações, devemos reduzir os denominadores ao mesmo valor, aplicando o cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Depois de calculado, devemos dividir o novo denominador pelo anterior e multiplicar o resultado pelo numerador correspondente.

Exemplo 1

Exemplo 2

Sempre que resolver uma equação desse modelo, fique atento aos sinais existentes e ao jogo de sinal em algumas multiplicações. Ao trocar um elemento de membro, não se esqueça de inverter o sinal. Veja mais exemplos resolvidos detalhadamente:

Exemplo 3

Exemplo 4

Equações algébricas fracionárias

Toda equação fracionária algébrica possui no seu denominador uma incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter divisões por zero. A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que possui restrições: 

Resolução de uma Equação Algébrica Fracionária 

Exemplo 1 

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Exemplo 2

Exemplo 3

A densidade de um corpo de massa igual a 600 g e volume x cm³ e diminuída de 50g/cm³ é igual a 100g/cm³. Qual é o volume desse corpo?

Equação de 2º grau

Chamamos de equação do 2º grau as equações do tipo:

onde a, b e c são números conhecidos com a 0.

Exemplos:

1º) 2x2 – 3x + 5 = 0 (a = 2, b = –3 e c = 5)2º) 5x2 + 7x = 0 (a = 5, b = 7 e c = 0)3º) 4x2– 11 = 0 (a = 4, b = 0 e c = –11)

Resolução da equação do 2º grau

Exemplos:

1º) Resolver em R a equação:

x2-16=0

Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente b é igual a zero por isto ela é chamada de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:

x2-16=0 x2=16

x2-16=0 x = –4 ou x = +4

Assim:

2º) Resolver em R a equação:

x2 + 11x = 0

Notemos que nesta equação do 2º grau o coeficiente c é igual a zero e por isto ela é chamada, também, de equação do 2º grau incompleta. Vamos acompanhar a sua resolução:

x2 + 11x = 0 x(x + 11) = 0

x2 + 11x = 0 x = 0 ou x + 11 = 0

x2 + 11x = 0 x = 0 ou x = –11

Assim:

3º) Resolver em R a equação:

x2 + 4x + 4 = 16

Observemos que x2 + 4x + 4 é, na sua forma fatorada, é igual a

(x + 2)2, então:

x2 + 4x + 4 = 16 passa a ser (x + 2)2 = 16

Assim:

x2 + 4x + 4 = 16 (x + 2)2 = 16

x2 + 4x + 4 = 16 x + 2 = –4 ou x + 2 = 4

x2 + 4x + 4 = 16 x = –6 ou x = 2

Assim:

4º) Resolver em R a equação:

x2– 6x + 5 = 0

Observemos que x2– 6x + 5 não é um quadrado perfeito, donde se conclui que o procedimento utilizado no exemplo anterior não poderá repetido. Não poderá ser repetido a menos que façamos algumas modificações na equação, como veremos a seguir:

x2é “o quadrado do primeiro”, 6x é “duas vezes o primeiro (que é x) pelo segundo”, logo, o segundo só poderá ser o número 3 e, assim, “o quadrado  do  segundo  será   igual  a  9”. Como o quadrado perfeito só aparecerá se tivermosx2 – 6x + 9, acrescentaremos aos dois membros da igualdade o número 9.Assim:x2 – 6x + 5 = 0 x2– 6x + 5 + 9 = 9

x2– 6x + 5 = 0 x2– 6x + 9 = 4

x2– 6x + 5 = 0 (x – 3)2 = 4

x2– 6x + 5 = 0 x – 3 = –2 ou x – 3 = 2

x2 – 6x + 5 = 0 x = 1 ou x = 5

Assim:

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Fórmula de Bhaskara

Vamos resolver a equação: ax2 + bx + c = 0, que é a forma geral da equação do 2º grau.

Inicialmente multiplicamos os dois membros da igualdade por a. Teremos:

a2x2+ abx + ac = 0

Notemos que a expressão:

é um quadrado perfeito e, assim podemos acrescentar aos dois membros da igualdade a expressão:

.

Logo:

Chamando b2– 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que será representado pela letra grega (delta), teremos:

Dessa forma, resolvemos a equação do 2º grau com os coeficientes literais a, b e c o que nos permite estabelecer uma fórmula já nossa conhecida, chamada “fórmula de Bhaskara” a qual resolverá qualquer equação do 2º grau, bastando substituir os coeficientes pelos números na equação a resolver.

Exemplo

Resolver em R a equação

5x2– 12x + 4 = 0

temos, a = 5, b = –12 e c = 4

substituindo na fórmula de Bhaskara:

Observação: Se a equação não estiver na forma ax2 + bx + c = 0 deve ser preparada através das operações conhecidas tais como eliminação de denominadores, retirada de parênteses, dentre outras.

Discussão das soluções da equação de 2º grau

Quando resolvemos uma equação do 2º grau, já colocada na sua forma normal é importante observar que três casos podem surgir em relação ao cálculo do discriminante. Observe:

1º caso: > 0 A equação terá duas raízes reais e distintas.

Exemplo

Resolver em R:

2º caso: = 0 A equação terá duas raízes reais e iguais.

Exemplo

Resolver em R:

15

3º caso: < 0 A equação não terá raízes reais.

Exemplo

Equações biquadradas

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma

geral: ax4 + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua

raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo

grau.

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa

transformação acontece e como chegamos às raízes da equação

biquadrada.

y4 – 10y2 + 9 = 0 → equação biquadrada

(y2)2 – 10y2 + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: y2 = x, isso significa que onde for y2 iremos

colocar x.

x2 – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau

encontrando x` e x``

a = 1 b = -10 c = 9

∆ = b2 – 4ac

∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9

∆ = 100 – 36

∆ = 64

x = - b ± √∆

2a

x = -(-10) ± √64

2 . 1

x = 10 ± 8

2

x’ = 9

x” = 1

Essas são as raízes da equação x2 – 10x + 9 = 0, para

encontrarmos as raízes da equação biquadrada y4 – 10y2 + 9 = 0

devemos substituir os valores de x’ e x” emy2 = x.

Para x = 9

y2 = x

y2 = 9

y = √9

y = ± 3

Para x = 1

y2 = x

y2 = 1

y = √1

y = ±1

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-3, -1, 1, 3}.

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Relações e funções

Relações

Relação entre os conjuntos A e B é um conjunto de pares ordenados (x,y) em que x ∈ A e y ∈ B, mediante uma lei de formação.

Exemplo:

Uma pessoa recebe R$3,00 por objeto que fabrica. Ela consegue produzir de 5 a 10 objetos por dia. O seu salário diário s está determinado pelo número n de objetos produzidos.

Ao conjunto A de pares ordenados de números reais chama-se de relação. As possibilidades de produção diária variam de 5 a 10 objetos, podendo ser obtidos os seguintes pares ordenados:

A = { (5,15), (6,18), (7,21), (8,24), (9,27), (10,30) }

O conjunto dos primeiros números dos pares ordenados de uma relação é chamado de Domínio da relação.

Indica-se por: D (A) = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.

O conjunto dos segundos números dos pares ordenados da relação é chamado de Imagem da relação.

Indica-se por Im (A) = {15, 18, 21, 24, 27, 30}.

O conjunto Imagem é subconjunto do Contradomínio (CD), que corresponde ao conjunto onde está definido o problema. No caso, esse conjunto corresponde ao Conjunto dos Números Naturais.

Nesse exemplo, para cada elemento da relação, o segundo número do par ordenado, chamado de ordenada, é triplo do primeiro número, chamado de abscissa.

Descrevemos a relação mediante uma sentença aberta, chamada lei de formação:

y = 3 . x

Funções

Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma associação onde para todo elemento de A existe um único elemento de B por medio de uma lei de formação. é denominada função.

As funções possuem um conjunto denominado domínio (D) e outro chamado de imagem (Im) da função.

No plano cartesiano o domínio da função é representado no eixo x, enquanto o eixo y são representados os valores y, que constituem a imagem da função:

Exemplo 1

Preço f(x) a ser pago em função da quantidade de litros (x) de combustível abastecidos por um veículo.

Considerando o preço da gasolina de R$ 2,50 o litro, temos a seguinte lei de formação:

f(x) = 2,50 . x,

Exemplo 2

Numa viagem, um automóvel mantém uma velocidade constante de 60 km/h. Com o passar do tempo, esse veículo irá percorrer uma determinada distância.

A equação que determina a distância E(x) percorrida pelo veículo relacionando a velocidade média (V) e o tempo (x) do movimento é dada por:

E(x) = V . x

Observe que se o veículo desenvolveu essa velocidade média por 3 horas consecutivas, percorreu 180 km:

x (h) V E(x) = V . x3 60 km/h E(3) = 60 . 3 = 180 km

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Exemplo 3

Uma indústria de brinquedos possui um custo mensal de produção equivalente a R$ 5.000,00 mais R$ 3,00 reais por brinquedo produzido.

A lei de formação será formada por uma parte fixa e outra variável. Observe:

C (x)= 5000 + 3 . x

onde C(x) é o custo da produção e x o número de brinquedos produzidos. Como serão produzidos 2.000 brinquedos temos:

C = 5000 + 3 . 2 000C = 5000 + 6 000C = R$ 11 000,00

O custo na produção de 2 000 brinquedos será de R$ 11 000,00.

Lei de formação de uma função

Toda função de A em B é definida por uma lei de formação, relacionando elementos desses conjuntos.

Exemplo 1

y = 2x ou f(x) = 2x

Nesse caso temos que y corresponde ao dobro de x.

Veja a relação entre alguns dos valores de x e y:

f : R → R tal que f(x) = 2x

Exemplo 2 

A função que representa o quadrado de um número é dada através da função

f(x) = x² ou y = x²

Veja a relação entre alguns dos valores de x e y:

f : R → R tal que f(x) = x²

Exemplo 3

A função a seguir representa o sucessor do dobro de um número e é dada pela seguinte expressão:

Y = 2x + 1 ou f(x) = 2x + 1

Veja a relação entre alguns dos valores de x e y:

Exemplo 4

A função f(x) = x² + x é uma função do 2º grau.

Veja a relação entre alguns dos valores de x e y:

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Exemplo 5 

f(x) = x³

Veja a relação entre alguns dos valores de x e y:

Exemplo 6 

Observe os gráficos a seguir, que mostram a variação aproximada da velocidade de um atleta que corre cerca de 10m em 10s:

Gráfico I

No entanto, o gráfico II não poderia representar o movimento de um atleta, pois no instante t = 4 ele teria diferentes velocidades ao mesmo tempo:

Gráfico II

Esses dois gráficos representam relações entre velocidade e tempo, mas apenas o Gráfico I representa uma função.

Propriedades das funções

Função sobrejetora

Uma função é sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto do contradomínio, ou seja, todos os elementos do contradomínio participam da relação.

Função injetora

Uma função é injetora se os elementos do conjunto do domínio estiverem ligados a imagens distintas.

Função bijerora

Uma função é bijetora se for sobrejetora e injetora.

Observe o diagrama abaixo que representa uma função f(x) = x²

D(f) = {-3,1,2,3}

Im(f) = {1,4,9}

CD(f) = {1,4,5,9}

Essa função não é sobrejetora; nem injetora.

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Função composta

A função composta pode ser entendida pela determinação de

uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B.

Dizemos função g composta com a função f, representada por

g o f.

Exemplo 1

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5,

determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5

g(4x) = (4x)² + 5

g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5

b) f o g

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = 4x

f(x² + 5) = 4 * (x² + 5)

f(x² + 5) = 4x² + 20

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 20

Exemplo 2

Vamos determinar a) g(f(x)) e b) f(g(x)), em relação às funções

f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1.

a) (g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = 4x² – 1

g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1

g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1

g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1

g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1

g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1

g(x + 2) = 4x² + 16x + 15

b) (g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = x + 2

f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2

f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2

f(4x² – 1) = 4x² + 1

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1

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Função inversa

Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a função A→B definida pela fórmula

y = 2x – 1

Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}

A função inversa será indicada por f -1: B→A definida pela fórmula

Então: f -1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f -1 e vice-versa.

Para obter a inversa, devemos isolar a variável x

y = 3x – 5y + 5 = 3x

e substituir x por y e y por x

Exemplo 1

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Isolando x:y = x²

Invertendo x por y e y por x:

Exemplo 2

Dada a função

a sua inversa será:

Isolando y:

x (3y – 5) = 2y +33xy – 5x = 2y + 33xy – 2y = 3 + 5xy (3x – 2) = 3 + 5x

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Representação gráfica das funções no plano cartesiano

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Parte do texto (com adaptações) foi extraído de

http://www.brasilescola.com/matematica/

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