Apostila ma52f equações diferenciais

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  • 1. Ministrio da EducaoUniversidade Tecnolgica Federal do ParanCampus CuritibaGerncia de Ensino e PesquisaDepartamento Acadmico de MatemticaEQUAES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA DESTINADA A DISCIPLINA MA52FProfa Paula Francis Benevides

2. Equaes DiferenciaisProfa Paula Francis BenevidesAULA 01 EQUAES DIFERENCIAIS1 INTRODUO:Antes de mais nada, vamos recordar a diferena entre a derivada e a diferencial, pois,embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses doisoperadores tm significados bastante diferentes. As diferenas mais marcantes so:a) a derivada tem significado fsico e pode gerar novas grandezas fsicas, como porexemplo a velocidade e a acelerao; a diferencial um operador com propriedadespuramente matemticas;b) a derivada transforma uma funo em outra, mantendo uma correspondnciaentre os pontos das duas funes (por exemplo, transforma uma funo do segundograu em uma funo do primeiro grau); a diferencial uma variao infinitesimal deuma grandeza;c) a derivada uma operao entre duas grandezas; a diferencial uma operaoque envolve uma grandeza;d) o resultado de uma derivada no contm o infinitsimo em sua estrutura;conseqentemente, no existe a integral de uma derivada; a integral s pode seraplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitsimo);e) Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: em total semelhana com a definio de derivada. A conseqncia direta desse fato que a derivada no o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relao: possvel escrever:dy = f(x).dx que se denomina equao diferencial. f) uma das aplicaes mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais a obteno da equao diferencial, etapa fundamental para a introduo do Clculo Integral.1.1 - Definio: Equao diferencial uma equao que relaciona uma funo e suasderivadas ou diferenciais. Quando a equao possui derivadas, estas devem ser passadas paraa forma diferencial. As equaes diferenciais da forma y = f ( y ) so chamadas deautnomas.Exemplos: dy1)= 3x 1 dx2) xdy ydx = 0 d2y dy3)2+ 3 + 2y = 0 dxdx4) y "+ 2( y ") 2 + y= cos x1 3. Equaes Diferenciais Profa Paula Francis Benevides5) ( y ") 2 + ( y )3 + 3 y = x 2 2 z 2 z6)2+ 2 = x2 + y xy z z7)= z+x x y1.2 - Classificao: Havendo uma s varivel independente, como em (1) a (5), as derivadas so ordinriase a equao denominada equao diferencial ordinria. Havendo duas ou mais variveis independentes, como em (6) e (7), as derivadas soparciais e a equao denominada equao diferencial parcial.1.2.1 - Ordem: A ordem de uma equao diferencial a ordem de mais alta derivada quenela aparece. As equaes (1), (2) e (7) so de primeira ordem; (3), (5) e (6) so de segundaordem e (4) de terceira ordem.1.2.2 - Grau: O grau de uma equao diferencial, que pode ser escrita, considerando aderivadas, como um polinmio, o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.Todas as equaes dos exemplos acima so do primeiro grau, exceto (5) que do segundograu.As equaes diferenciais parciais sero vista mais adiante.Exemplos:2 d3yy d3y d3yx 3 3 =1 x 3 y = 3 dx 3a ordem e 2o grau dxd y dx dx 3dy dy 1 dy dyln Lg x 2 = y ln dx = y 2 . = ey = x 2e y 1a ordem e 1o grau dx x2x dx dxObserve que nem sempre primeira vista, pode-se classificar a equao de imediatoquanto a ordem e grau.1.3 Origem das Equaes Diferenciais:Uma relao entre as variveis, encerrando n constantes arbitrrias essenciais, como42y = x + Cxou y = Ax + Bx , chamada uma primitiva. As n constantes, representadassempre aqui, por letras maisculas, sero denominadas essenciais se no puderem sersubstitudas por um nmero menos de constantes.Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrrias essenciais, dar origem auma equao diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrrias. Esta equao apareceeliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equaes obtidas juntando-se primitiva as nequaes provenientes de n derivadas sucessivas, em relao a varivel independente, daprimitiva. 2 4. Equaes DiferenciaisProfa Paula Francis BenevidesExemplos: Obter a equao diferencial associada s primitivas abaixo: 3x 2a) y =x+62b) y = C1 sen x + C2 cos xc) y = Cx2d) y = C1 x2 + C23 5. Equaes Diferenciais Profa Paula Francis Benevidese) y = a cos(x + b) onde a e b so constantesf) y = C1 e3x + C2 e- 2xAULA 01 EXERCCIOS d3y d 2 y dy1) x2 + y2 = C2 5)2 2 + =02) y = C exdx 3dx dx3) x3 = C (x2 y2)d 2 y dy4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x6) 2y = 0 dx 2 dx5) y = (C1 + C2x) ex + C36) y = C1 e2x + C2 e- xx dy7) x ln y=0x y dx7) ln = 1 + ayy dydy 8) 2 y + 3x+ xy 2 3 y + 5 x = 08) x2y3 + x3y5 = Cdxdx 9) y = Ax2 + Bx + C10) y = Ae2x + Bex + C d3y11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex9) =0 dx312) ln y = Ax2 + BRespostas:d 3 y 3d 2 ydy10) +2=01) xdx + ydy = 0dx3dx 2dx dy2)y=0 dx d3y d2y dy11) 3 6 2 + 11 6 y = 0dydx dx dx3) 3 y x = 2 xy22dx12) xyy " yy x( y ) 2 = 0 2 d y4)+ 4y = 0 dx 2 4 6. Equaes Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 021.4 - Resoluo: Resolver uma ED determinar todas as funes que, sob a forma finita, verificam aequao, ou seja, obter uma funo de variveis que, substituda na equao, transforme-anuma identidade. A resoluo de uma equao diferencial envolve basicamente duas etapas: aprimeira, que a preparao da equao, que consiste em fazer com que cada termo daequao tenha, alm de constantes, um nico tipo de varivel. A segunda etapa a resoluoda equao diferencial e consiste na aplicao dos mtodos de integrao.1.5 - Curvas Integrais: Geometricamente, a primitiva a equao de uma famlia de curvas e uma soluoparticular a equao de uma dessas curvas. Estas curvas so denominadas curvas integraisda equao diferencial.Exemplo: dy= 2x dx1.6 Tipos de Soluo: Soluo geral: A famlia de curvas que verifica a equao diferencial, (a primitiva de uma equao diferencial) contem tantas constantes arbitrrias quantas forem as unidades de ordem da equao. Soluo particular: soluo da equao deduzida da soluo geral, impondo condies iniciais ou de contorno.Geralmente as condies iniciais sero dadas para o instante inicial. J as condies de contorno aparecem quando nas equaes de ordem superior os valores da funo e de suas derivadas so dadas em pontos distintos. Soluo singular: Chama-se de soluo singular de uma equao diferencial envoltria da famlia de curvas, que a curva tangente a todas as curvas da famlia. A soluo singular no pode ser deduzida da equao geral. Algumas equaes diferenciais no apresentam essa soluo. Esse tipo de soluo ser visto mais adiante. As solues ainda podem ser: Soluo explcita: Uma soluo para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f (x) chamada soluo explcita. Soluo Implcita: Quando uma soluo pode apenas ser escrita na forma G (x, y)=0 trata-se de uma soluo implcita 5 7. Equaes DiferenciaisProfa Paula Francis Benevides Exemplo:Consideremos a resoluo da seguinte EDO:dy= 1+ xdx () dy = 1 + x dx 2 32y = x+ x +c 3A soluo geral obtida obviamente uma soluo explicita. Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO: dy y2 y=tem como soluo: y = Ce x , ou seja, uma soluo implcita. dx xy x 21.7 - Existncia e unicidade de soluo para uma EDOTrs perguntas importantes sobre solues para uma EDO.1. Dada uma equao diferencial, ser que ela tem soluo?2. Se tiver soluo, ser que esta soluo nica?3. Existe uma soluo que satisfaz a alguma condio especial?Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existncia e Unicidade desoluo que nos garante resposta para algumas das questes desde que a equao tenhaalgumas caractersticas. dy + p ( x) y = q ( x)Teorema: Considere o problema de valor inicia dxy ( x0 ) = y 0 Se p(x) e q(x) so continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , ento o problemade valor inicial tem uma nica soluo nesse intervalo. Alertamos que descobrir uma soluo para uma Equao Diferencial algo similar aoclculo de uma integral e ns sabemos que existem integrais que no possuem primitivas,como o caso das integrais elpticas. Dessa forma, no de se esperar que todas as equaesdiferenciais possuam solues.1.8 - Problemas de Valor Inicial (PVI)Uma equao diferencial satisfazendo algumas condies adicionais denominadaProblema de Valor Inicial (PVI).Exemplo: exy + 2y = arctan(x) y(0) = Se forem conhecidas condies adicionais, podemos obter solues particulares para aequao diferencial e se no so conhecidas condies adicionais poderemos obter a soluogeral.6 8. Equaes Diferenciais Profa Paula Francis Benevides2 - EQUAES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAUSo equaes de 1a ordem e 1o grau: dy= F ( x, y ) ou Mdx + Ndy = 0 dxem que M = M(x,y) e N = N(x,y).Estas funes tm que ser contnuas no intervalo considerado (- , )2.1 TIPOS DE EQUAO:2.1.1 - EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS. Se a equao diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 puder ser colocada na formaP(x).dx + Q(y).dy = 0, a equao chamada equao diferencial de variveis separveis.Resoluo: P( x).dx + Q( y).dy = CExemplos: Resolver as seguintes equaes: dy1)= 3x 1 dx2) y dx x dy = 0 7 9. Equaes DiferenciaisProfa Paula Francis Benevides 4x3) xdx dy = 0y4) tgx.sec ydx tgy sec xdy = 05) ( x 1) 1 y dx x dy = 0 2 228 10. Equaes Diferenciais Profa Paula Francis Benevidesdy 1 + y26) =dx (1 + x 2 ) xy dy 1 + y 27) = dx 1 + x 2AULA 02 EXERCCIOS Respostas: 1 dy 1) x cos y = C1) tgy. = 012) 2 ln( x + 1) =C x dx 22) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 y3) (2+ y) dx - (3 x) dy = 0 3) (2 + y)(3 x) = C4) xy dx (1 + x2) dy = 04) C y2 = 1 + x2 dy e 2 y x5)= 5) e 2y arctg =C dx x 2 + 426) (1 + x2) y3 dx + (1 y2) x3 dy = 0 x 1 1 1 dy dy6) ln 2 + 2x=C7) a x+ 2 y = xyy 2 y dx dx kln+y8) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 07) x = e 2aya9) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 a2)(y2 b2)dy = 08) tg x . tg y = C10) (x 1) dy y dx = 011) (1 + x2)dy xydx = 0xay9) x + a ln+ y 2barctg = Cdy x+ab12)+ y cos x = 010) y = c(x 1)dx11) y = 1 + x 2 .C K12) y = senx e 9 11. Equaes Diferenciais Profa Paula Francis BenevidesAULA 032.1.2 - EQUAES HOMOGNEAS Uma funo f = f(x, y) denominada homognea de grau k se, para todo t R, vale arel