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Álgebra e Geometria Uma circunferência é formada por todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto do mesmo plano (centro) é sempre a mesma. Todo segmento que liga dois pontos da circunferência e passa pelo centro é chamado de diâmetro da circunferência. O centro não faz parte da circunferência. Todo segmento que liga um ponto da circunferência ao centro é chamado de raio da circunferência. Todo diâmetro mede o dobro do raio. Todos os raios têm a mesma medida de comprimento. Círculo é a região plana limitada por uma circunferência. Circunferência e círculo A B D O 1

Apresentação circulo e circunferência

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Aula em power point sobre círculo e circunferência

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Page 1: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

• Uma circunferência é formada por todos os pontos de um plano cuja

distância a um ponto do mesmo plano (centro) é sempre a mesma.

• Todo segmento que

liga dois pontos da

circunferência e

passa pelo centro é

chamado de

diâmetro da

circunferência.

• O centro não

faz parte da

circunferência.

• Todo segmento que liga um ponto da circunferência

ao centro é chamado de raio da circunferência.

• Todo diâmetro

mede o dobro

do raio.

• Todos os raios

têm a mesma

medida de

comprimento.

• Círculo é a região plana limitada por

uma circunferência.

Circunferência e círculo

A

B

D

O

1

Page 2: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Circunferência, ângulo central, círculo e setor circular

CircunferênciaÂngulo central em

uma circunferência

CírculoSetor circular

2

Page 3: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Construção de polígonos regulares

Exemplo:

Vamos construir um pentágono regular:

360º 5

7–35

10

–10

0

Divisão da circunferência em partes iguais

72º

3

Page 4: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

A reta u é externa

à circunferência.d > rr

A reta s é secante

à circunferência.d < rr

A

B

A reta t é tangente

à circunferência.d = r

rC

Posições relativas de uma reta e de uma circunferência

4

Page 5: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Propriedades da tangente

1ª propriedade: Toda reta tangente a uma circunferência é

perpendicular ao raio no ponto de tangência

rO

s

T

s é tangente à circunferência, então s

é perpendicular a

Page 6: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Propriedades da tangente

Exemplo: Tendo como base a figura abaixo, calcular as medidas x, y e z, sendo

a reta s tangente à circunferência no ponto A.

Page 7: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Propriedades da tangente

Page 8: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Propriedades da tangente

Veja a figura:

Os triângulos PAO e PBO são congruentes pelo Caso Especial, já que:

(lado comum)

90

AO BO

OP OP

OAP OBP

Page 9: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Propriedades da tangente

Exemplo: Qual o valor de x na figura?

Aplicando a 2ª propriedade:

Page 10: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Circunferência inscrita

no quadrado

Circunferência circunscrita

no hexágono

Circunferência inscrita e circunferência circunscrita a um polígono

10

Page 11: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

O O O

O O O

P

O ponto P é pertencente

à circunferência

P

O ponto P é interno

à circunferência

P

O ponto P é externo

à circunferência

P

P pertence

à circunferência

r

d

P

P é interno

r

d

d = r d < r

Pr

d

P é externo

d > r

Posições relativas entre um ponto e uma circunferência

11

Page 12: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

O1 ≡ O2C2

C1

r1

r2

r1 r2AO1 O2

d

O2O1

A

d

Tangentes externas:

d = r1 + r2

Tangentes internas:

d = r1 – r2, com r1 > r2

Circunferências com um só ponto comum

Circunferências concêntricas

Posições relativas de duas circunferências

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Page 13: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

O2O1

r1 – r2 < d < r1 + r2, com r1 ≥ r2

Circunferências com dois pontos comuns

Circunferências sem pontos comuns

A Br1 r2

d

AB

d

O1 O2

A

B

r1r2

d

O1O2

13

Externas: d > r1 + r2 Internas: d < r1 – r2, com r1 > r2

Page 14: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Ângulo central

• O vértice O é o centro da circunferência.

Ângulos em uma circunferência

O

x

A

B

360º – x

• (laranja): arco de medida

angular 360º – x.

• : ângulo central de medida x.

• Seus lados determinam dois raios da

circunferência ( e ).

• (em azul): arco de medida angular x.

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S

Page 15: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Ângulo inscrito

• O vértice F é um ponto da circunferência.

F

E

G

• O arco correspondente não contém o vértice.

• Os lados determinam duas cordas na

circunferência ( e ).

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Page 16: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e Geometria

Relação entre ângulo central e ângulo inscrito de mesmo arco

Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência têm o

mesmo arco correspondente, então a medida do ângulo central é o dobro

da medida do ângulo inscrito.

Demonstração:

Logo, x = y + y ou x = 2y, como queríamos demonstrar.

A

O

y

Bx

C

é um diâmetro da circunferência.

é um ângulo central de arco e medida x.

é um ângulo inscrito também de arco e

medida y.

Como é um ângulo externo do , sua medida x é igual à soma das

medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (y + y).

O é isósceles, pois (raios). Logo,

também mede y.

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Page 17: Apresentação circulo e circunferência

Álgebra e GeometriaÂngulos de segmento

Um ângulo com o vértice na circunferência,com um dos lados sobre uma

tangente e o outro sobre uma secante, determinando uma corda, é

chamado ângulo de segmento.

O

B

C

A

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