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Interação Feixe Plasma Na Aproximação Quase-Linear
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A Interacao
Feixe-Plasma
Como
Aplicacao da
Teoria
Cinetica de
Plasmas na
Aproximacao
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
Ferrao
Orientador:
Prof. Dr. Luiz
Fernando
Ziebell
A Interacao Feixe-Plasma Como Aplicacao da
Teoria Cinetica de Plasmas na Aproximacao
Quase-Linear
Autora: Sabrina Tigik FerraoOrientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell
Instituto de Fısica - Grupo de Fısica de Plasmas
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil
e-mail: [email protected]
22 de outubro de 2013
A Interacao
Feixe-Plasma
Como
Aplicacao da
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Cinetica de
Plasmas na
Aproximacao
Quase-Linear
Autora:
Sabrina Tigik
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Introducao
Objetivos dessa apresentacao:
Apresentar a mudanca de coordenadas das equacoes dateoria quase-linear aplicadas a interacao feixe-plasma,escritas em coordenadas cartesianas - obtidasanteriormente por integrantes do Grupo de Fısica dePlasmas -, para coordenadas polares - tema principal dessetrabalho.Fazer uma comparacao entre os resultados preliminaresdessa nova abordagem, com alguns resultados equivalentesobtidos com o modelo anterior.
Motivacao para o trabalho:
Contornar a instabilidade numerica, que surgiu com aadicao do termo colisional ao codigo desenvolvido para asequacoes em coordenadas cartesianas, escrevendointeiramente o codigo usando a mesma simetria destetermo, isto e, simetria polar.
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Resumo Da Apresentacao
Apresentacao das equacoes da teoria quase-linear para ainteracao feixe-plasma, considerando ondas de Langmuir,em coordenadas cartesianas.
Apresentacao das equacoes obtidas apos a transformacaopara coordenadas polares.
Comparacao entre alguns resultados obtidos com aintegracao numerica do modelo em coordenadascartesianas, com resultados equivalentes obtidos emcoordenadas polares.
Perspectivas para a nova abordagem.
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Consideracoes Importantes Para Ambos Os
Modelos
Serao consideradas apenas ondas de Langmuir.
Na faixa de frequencia em que estamos trabalhando,podemos considerar os ıons como um “background”estatico neutralizador.
A funcao inicial de distribuicao de velocidades para oseletrons do plasma foi definida como sendo Maxwelliana,adicionada de uma Maxwelliana deslocada representando adistribuicao de velocidades do feixe.
A relacao de dispersao, adimensional, para ondas deLangmuir e dada por
zLq =
(
1 +3
2q2)1/2
,
onde zLq ≡ωωpe
e q ≡kveωpe
.
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Equacoes Quase-Lineares em Coordenadas
Cartesianas
Definindo a direcao do feixe como paralela ao eixo z , asvelocidades e os vetores de onda normalizados sao expressos daseguinte forma
u = ux ex + uz ez,
q = qx ex + qz ez.
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Equacao De Difusao Quase-Linear Em
Coordenadas Cartesianas
A equacao de difusao quase-linear, descreve como a funcao dedistribuicao Φe evolui temporalmente, sob a influencia dasondas geradas por efeitos nao-lineares de interacaoonda-partıcula. Sua forma e a seguinte:
∂Φe
∂τ=
∂
∂ux(Ae
x Φe) +∂
∂uz(Ae
z Φe)
+∂
∂ux
(
Dexx
∂Φe
∂ux+ De
xz
∂Φe
∂uz
)
+∂
∂uz
(
Dezx
∂Φe
∂ux+ De
zz
∂Φe
∂uz
)
.
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Coeficiente De Emissao Espontanea
Na equacao anterior, Aex e Ae
z sao as componentes docoeficiente relacionado a processos de flutuacoes espontaneas.Sua expressao e a seguinte:
Aei = g
∫ ∞
−∞dqx
∫ ∞
−∞dqz
qi
q2x + q2z
∑
σ=±1
σzLq δ(σzLq−qxux−qzuz) .
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Coeficiente De Emissao Induzida
Dexx , D
exz , D
ezx e De
zz , sao as componentes do coeficiente deemissao induzida, que relaciona a evolucao temporal de Φe ,com as ondas geradas por efeitos nao-lineares, atraves daseguinte equacao:
Deij =
∫ ∞
−∞dqx
∫ ∞
−∞dqz
qi qj
q2x + q2z
∑
σ=±1
EσLq δ(σzLq−qxux−qzuz) .
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Espectro De Amplitude
EσLq e a amplitude do espectro das ondas geradas pela
interacao onda-partıcula. Sua evolucao temporal depende deΦe , como pode ser visto na equacao abaixo:
∂EσLq
∂τ=
π
q2ne
n∗
∫ ∞
−∞duz
∫ ∞
−∞dux δ(σz
Lq − qxux − qzuz)
×
[
1
2
ne
n∗g Φe + σzLq E
σLq qx
∂Φe
∂ux
]
+π
q2ne
n∗
∫ ∞
−∞duz
∫ ∞
−∞dux δ(σz
Lq − qxux − qzuz)
×
[
1
2
ne
n∗g∗Φe + σzLq E
σLq qz
∂Φe
∂uz
]
.
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Abordagem Em Coordenadas Polares
Foi definida a direcao de propagacao do feixe como sendoparalela ao eixo z . Sendo assim, as velocidades normalizadas eo vetor de onda normalizados, foram escritos da seguinte forma:
u = uxex + uzez = u sin θex + u cos θez,
q = qxex + qzez = q sinϕex + q cosϕez.
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Equacoes Quase-Lineares em Coordenadas Polares
A equacao de difusao quase-linear obtida apos a mudanca decoordenadas ficou da seguinte forma:
∂Φe
∂τ=
1
u
∂
∂u(uAe
u Φe) +1
u
∂
∂θ(Ae
θ Φe)
+1
u
∂
∂u
(
uDeuu
∂Φe
∂u
)
+1
u
∂
∂u
(
uDeuθ
1
u
∂Φe
∂θ
)
+1
u
∂
∂θ
(
Dθθ1
u
∂Φe
∂θ
)
+1
u
∂
∂θ
(
Deθu
∂Φe
∂u
)
.
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Coeficiente de Emissao Espontanea
As componentes do coeficiente de emissao espontanea Aeu e
Aeθ, por simplicidade, foram escritas em termos das
componentes perpendicular e paralela:
Aeu = (sin θAe
x + cos θAez) ,
Aeθ = (cos θAe
x − sin θAez) .
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Coeficiente de Emissao Induzida
O mesmo procedimento foi feito para as componentes docoeficiente de emissao induzida:
Deuu =
(
Dexx sin
2 θ + Dezz cos
2 θ + Dexz sin θ cos θ + De
zx sin θ cos θ)
,
Deθθ =
(
Dexx cos
2 θ + Dezz sin
2 θ − Dexz sin θ cos θ − De
zx sin θ cos θ)
,
Deuθ =
(
Dexx sin θ cos θ−De
zz sin θ cos θ+Dezx cos
2 θ−Dexz sin
2 θ)
.
Sendo Deθu = De
uθ.
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Metodo
Em ambas as abordagens, as equacoes foram aproximadas porequacoes de diferencas finitas e um codigo numerico utilizandolinguagem de programacao FORTRAN foi desenvolvido. Para aintegracao da equacao de difusao foi usado o metodo“splitting” e para a equacao da onda foi empregado o metodoRunge-Kutta de quarta ordem.
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Comparacao Entre Resultados Obtidos Nas Duas
Abordagens
-15-10
-5051015 -15 -10 -5 0 5 10 15
1e-161e-141e-121e-101e-081e-060.0001
0.011
τ = 0
Fe
u⊥
u‖
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
1e-20
1e-15
1e-10
1e-05
1
τ = 0
Fe
u⊥
u‖
Figura: Estagio inicial de Fe. Podemos ver o pico gerado pelo feixecom velocidade uf = 5. Os resultados sao os mesmos, visto queainda nao ocorreu evolucao temporal.
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-15-10
-5051015 -15 -10 -5 0 5 10 15
1e-161e-141e-121e-101e-081e-060.0001
0.011
τ = 100
Fe
u⊥
u‖
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
1e-20
1e-15
1e-10
1e-05
1
τ = 100
Fe
u⊥
u‖
Figura: Para τ = 100, nao ha muitas diferencas entre as abordagens.Em ambas as figuras, vemos um leve achatamento da funcao dedistribuicao, mas nao ha evolucao aparente no feixe.
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-15-10
-5051015 -15 -10 -5 0 5 10 15
1e-161e-141e-121e-101e-081e-060.0001
0.011
τ = 500
Fe
u⊥
u‖
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
1e-20
1e-15
1e-10
1e-05
1
τ = 500
Fe
u⊥
u‖
Figura: Para τ = 500, a diferenca entre os modelos e consideravel.Comparando com o modelo em coordenadas cartesianas, podemosver que, alem de algumas regioes de instabilidade numerica, hacrescimento de ondas em regioes onde nao deveria ocorrerressonancia.
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Evolucao Temporal do Espectro de Amplitude
-0.6-0.4-0.2
00.20.40.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 0
ETq
q⊥
q‖
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 0
ETq
q⊥
q‖
Figura: Estagio inicial de EσLq , ainda nao ocorrreu o crescimento de
ondas.
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-0.6-0.4-0.2
00.20.40.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 100
ETq
q⊥
q‖
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 100
ETq
q⊥
q‖
Figura: Para τ = 100, aparece um pico na regiao de ressonancia. Aforma e a regiao de surgimento do pico e a mesma em ambas asabordagens.
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-0.6-0.4-0.2
00.20.40.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 500
ETq
q⊥
q‖
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
τ = 500
ETq
q⊥
q‖
Figura: Para τ = 500, o crescimento do pico no espectro deamplitude, aparentemente, e igual, tanto para o modelo emcoordenadas cartesianas, quanto para o modelo em coordenadaspolares.
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Perspectivas
Os resultados obtidos ate o momento, para a simulacao emcoordenadas polares, sao preliminares. O programa ainda estaem fase de testes e algumas revisoes da implementacaonumerica dos coeficientes estao sendo feitas. A perspectiva,daqui para frente, e que solucionemos logo esse problema, paraentao adicionarmos o termo de colisoes e verificarmos aestabilidade do codigo com a nova abordagem.
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Referencias
F. F. Chen. Introduction to Plasma Physics and Controlled
Fusion. Plenum, New York, 1984, 2a. ed.
J. A. Bittencourt. Fundamentals of Plasma Physics.INPE-FAPESP, Sao Jose dos Campos, 1995, 2a. ed.
D. A. Gurnett & A. Bhattacharjee. Introduction to Plasma
Physics. Cambrige University Press, 2005.
V. N. Tsytovich. Non Linear Effects In Plasmas. Plenum Press,New York, 1970.
V. N. Tsytovich. Theory Of Turbulent Plasma. ConsultantsBureau, New York, 1977.
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Referencias
Peter H. Yoon.
Generalized weak turbulence theory.
Phys. Plasmas, 7(12):4858–4871, Dec. 2000.
Peter H. Yoon.
Statistical theory of electromagnetic weak turbulence.
Physics of Plasmas, 13:022302, 15p., 2006.
L. F. Ziebell, R. Gaelzer, J. Pavan, and P. H. Yoon.
Two-dimensional nonlinear dynamics of beam-plasma instability.
Plasma Phys. Contr. Fusion, 50(8):085011, 15p., 2008.
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Agradecimentos
Obrigada!
* Fim *
