Aula 13 propriedade condicional, regra do produto e regra de bayes

Estatística Aplicada a Administração

A D M I N I S T R A Ç Ã O – E A A D M

P R O F. E N I O J O S É B O LO G N I N I

2 º S E M E S T R E / 2 0 1 4

A U L A 1 3 – P R O P R I E D A D E C O N D I C I O N A L , R E G R A D O P R O D U TO E R E G R A D EB AY E S

PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP

Nesta propriedade é possível avaliar a ocorrência dos eventos, no casodo evento (A), que é condicional ao outro evento (B).

Note que a diferença esta no evento (A), pois é um evento anterior, ouseja, a ocorrência de é atrelada em A, e sendo calculada a probabilidadede (B) ocorrer.

Pergunta: “Como posso ler esta definição?”.

Dica: Probabilidade de B dado A ou Probabilidade de B condicional àocorrência de A.

𝑃 𝐴/𝐵

Veja no próximo slide o exemplo a seguir:

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PROBABILIDADE CONDICIONAL

Exemplo 1:

Calcule a probabilidade de B ocorrer supondo que A tenha ocorrido.

Dica: “Preste atenção na leitura do slide anterior...”.

Fórmulas: 𝑃 𝐴/𝐵 e 𝑃 𝐴 =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

𝑃 𝐵/𝐴 =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

𝑃 𝐵/𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)=

𝑛 𝐴 ∩ 𝐵𝑛(𝑆)𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)

=𝑛 𝐴 ∩ 𝐵

𝑛(𝐴)

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PROBABILIDADE CONDICIONAL

𝑃 𝐵/𝐴 =𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑛(𝐴)

É uma maneira de se obter a definição do produto por propriedade condicional

como:

𝑃 𝐵/𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)→ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵) × 𝑃 𝐴/𝐵

𝑃 𝐴/𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)→ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) × 𝑃 𝐵/𝐴


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REGRA DO PRODUTO

Exemplo: São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas.

Qual a probabilidade de que as duas cartas sejam de ouros?

Solução:

Total de cartas do baralho: n(S) = 52 cartas

Total de cartas de ouros do baralho: n(A) = 13 cartas

P(A) = 13/52 (probabilidade de que a primeira carta retirada seja ouros)

Como não há reposição de cartas, a primeira carta retirada é de ouros e fica fora

do baralho.


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REGRA DO PRODUTO

Para o cálculo de P(B/A):

n(S) = 51 (O Baralho ficou com uma carta a menos após a primeira retirada);

n(B/A) = 12 ( O conjunto das cartas de ouros diminuiu uma carta após a

primeira retirada ).

P(B/A) = 12/51 (probabilidade de que a segunda carta retirada seja ouros)

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵/𝐴 =13

52×12

51=

156

2652=

3

51


6

REGRA DO PRODUTO

São dois eventos independentes quando realizado (ou não) um evento, que não

interfere na ocorrência (ou não) do evento seguinte:

Se dois eventos são independentes: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)

Se “n” eventos são independentes: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝑐 ∩ ⋯ = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵 ×𝑃 𝐶 …


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EVENTOS INDEPENDENTES

EXEMPLO: Com a introdução do imposto sobre o lixo, uma empresa

encomendou uma pesquisa de opinião junto a parlamentares da Câmara

Municipal. Segundo essa pesquisa, a probabilidade de a empresa vencer a

licitação para coleta de lixo de bairro de Sérvia Amarela é de 60%. A pesquisa

revelou ainda que a probabilidade de a empresa ganhar a licitação para coleta de

lixo no bairro de Conceição é de 90%. Qual é a probabilidade de essa empresa

vencer as duas concorrências?

Solução: Como o fato de vencer uma licitação não interfere com o fato de

vencer ou não outra licitação, fica caracterizado que são eventos independentes.

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵 = 0,60 × 0,90 = 0,54


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EVENTOS INDEPENDENTES

Consideramos n eventos mutuamente exclusivos, tais que a união será os

eventos que resultem igual ao espaço amostral, como:

𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3…∪ 𝐴𝑛 = 𝑆

As probabilidades de cada um dos eventos n, serão consideradas em eventos B

de S, onde todas sejam conhecidas como condicionais em relação a cada um dos

n eventos 𝑃 𝐵/𝐴𝑖 . Para cada probabilidade condicional 𝑃 𝐴𝑖/𝐵 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑃 𝐴𝑖/𝐵 =𝑃 𝐴𝑖 × 𝑃 𝐵/𝐴𝑖

𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐵1/𝐴 + 𝑃 𝐴2 × 𝑃 𝐵2/𝐴 + ⋯+ 𝑃 𝐴𝑛 × 𝑃 𝐵𝑛/𝐴


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REGRA DE BAYES

Um baralho foi separado em três montes, supondo as seguintes distribuições:

Escolhemos um monte ao acaso e retiramos aleatoriamente uma carta. Tendo

sido retirada uma carta de copas, qual a probabilidade de ela ter sido extraída do

terceiro monte?


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REGRA DE BAYES

Naipes 1º Monte (𝑨𝟏)

2º Monte (𝑨𝟐)

3º Monte (𝑨𝟑)

Ouros 4 4 5

Copas 6 3 4

Espadas 2 5 6

Paus 5 7 1

17 19 16

𝑃 𝐴1 = 1/3 𝑃 𝐴2 = 1/3 𝑃 𝐴3 = 1/3

Probabilidades condicionais (copas em cada um dos montes):

𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴1 = 6/17 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴2 = 3/19 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴1 = 4/16

𝑃 𝐴3/𝑐𝑜𝑝𝑎𝑠 =𝑃 𝐴3 × 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴3

𝑃 𝐴1 × 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴1 + 𝑃 𝐴2 × 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴2 + 𝑃 𝐴3 × 𝑃 𝐶𝑜𝑝𝑎𝑠/𝐴3

𝑃 𝐴3/𝑐𝑜𝑝𝑎𝑠 =

13 ×

416

13 ×

617 +

13 ×

319 +

13 ×

416

=323

983


11

REGRA DE BAYES

A probabilidade de a carta tersido extraída do terceiro monteé de 323/983 = 0,3286

AULA 14 - DISTRIBUIÇÕES PROBABILISTICAS: PERMUTAÇÕES,

ARRANJOS E DISTRIBUIÇÃO DISCRETA BINOMIAL E POISSON


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Referências BibliográficasBÁSICA:

CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.

SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 19--.

TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências contábeis, tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--.

COMPLEMENTAR:

HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--.

MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.

MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.

FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.

SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--.

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