Aula básica de estatística descritiva. Contem organização de dados em tabelas, classes, médias, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, covariância.
- 1. Estatstica bsicaEstatsticabsica Estatstica a cincia dos
dados, envolvendo oEstatstica a cincia dos dados, envolvendo o
desenvolvimento de processos, mtodos e tcnicas de coleta
classificao organizao resumo anlise ecoleta, classificao,
organizao, resumo, anlise e interpretao de dados sobre uma populao,
e os d d i l f di mtodos de tirar concluses ou fazer predies com
base nesses dados. AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar
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2. Estatstica bsicaEstatsticabsica Organizaoe descrio Descritiva
descrio dosdados Estatstica Clculodemdias, varincias,estudode
grficos, tabelas, etc.Estatstica grficos,tabelas,etc. Indutiva
EstimaodeIndutiva (Inferencial) parmetros,testede hipteses,etc.
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[email protected] 3. Estatstica bsicaEstatsticabsica A estatstica
tem a capacidade de sintetizar os dados;A estatstica tem a
capacidade de sintetizar os dados; A amostragem o ponto de partida
(na prtica) para A amostragem o ponto de partida (na prtica) para
todo um Estudo Estatstico. atravs da amostragem b d d d di d d i
dque obtemos os dados da medio de determinada caracterstica ou
propriedade de um objeto, pessoa ou coisa;
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[email protected] 4. Estatstica bsicaEstatsticabsica Populao: a
coleo de todas as observaesPopulao: a coleo de todas as observaes
potenciais sobre determinado fenmeno; Amostra: o conjunto de dados
efetivamenteAmostra: o conjunto de dados efetivamente observados,
ou extrados; Populao Amostras AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
Contato:Horacimar (21)81262831 [email protected] 5. Estatstica
bsicaEstatsticabsica Cada observao individual ou item
denominadaCada observao individual ou item denominada como unidade
elementar, que pode estar composta por um ou mais itens medidos
propriedadespor um ou mais itens medidos, propriedades, atributos,
etc, denominados como variveis. Varivel uma caracterstica,
propriedade ou, p p atributo de uma unidade da populao, cujo l d i
t id d dvalor pode variar entre as unidades da populao.
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[email protected] 6. Estatstica bsicaEstatsticabsica Exemplo:p
Unidade elementar Variveis Nome Idade Cargo Sexo Peso Escolaridade
Joo 27 Supervisor M 62kg 2 grau Alex 38 Chefe M 78kg 1 grau Ana 32
Secretria F 58kg 3 grau AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
Contato:Horacimar (21)81262831 [email protected] 7. Estatstica
bsicaEstatsticabsica Tipos de variveisTipos de variveis N i l
Qualitativa Nominal Varivel Ordinal Varivel Discreta Quantitativa
Contnua AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar
(21)81262831 [email protected] 8. Estatstica bsicaEstatsticabsica
Exemplo: Para uma populao de peas produzidos em umExemplo: Para uma
populao de peas produzidos em um processo, poderamos ter: Varivel
TipoVarivel Tipo Estado: Perfeitaoudefeituosa QualitativaNominal
Qualidade:1, 2ou3categoria QualitativaOrdinal Nmerode
peasdefeituosas Quantitativa Discreta Dimetrodaspeas
QuantitativaContnua AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar
(21)81262831 [email protected] 9. Estatstica bsicaEstatsticabsica
Agrupamentodedadosedistribuiodefrequncias Quando vamos fazer um
levantamento de uma populao, um dos passos retirar uma amostra
dessa populao e obter dados relativos varivel desejada nessa
amostra; Cabe Estatstica sintetizar tais dados na forma de tabela e
grficos que contenham alm dos valores das variveis o nmero deque
contenham, alm dos valores das variveis, o nmero de elementos
correspondentes a cada varivel; AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
Contato:Horacimar (21)81262831 [email protected] 10. Estatstica
bsicaEstatsticabsica Agrupamentodedadosedistribuiodefrequncias A
esse procedimento est associado o conceito de: Dados brutos: o
conjunto de dados numricos obtidos que ainda f i dno foram
organizados; Rol: o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou
decrescente);decrescente); Amplitude (H): a diferena entre o maior
e o menor dos valores observados;; Frequncia absoluta (ni): o nmero
de vezes que um elemento aparece na amostra;
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[email protected] 11. Estatstica bsicaEstatsticabsica
Agrupamentodedadosedistribuiodefrequncias n : nmero total de dados
da amostra nn k i i =1 k : nmero de valores diferentes na amostra k
i =1 Frequncia relativa (fi): n n f i i = 1 1 == k i if Frequncia
absoluta acumulada (Ni): a soma da frequncia absoluta do valor da
varivel i com todas as frequncias absolutas anteriores; Frequncia
relativa acumulada (Fi): N F i n N F i i =
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[email protected] 12. Estatsticabsica
Agrupamentodedadosedistribuiodefrequncias Exemplo: Os seguintes
dados foram amostrados do nmeros de negcios efetuados diariamente
por um operador financeiro: Populao: Nmero de negcios efetuados
diariamente Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15,
17, 14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12}, ,
, , , , , , , , , , , , } Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13,
13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 15,15,15, 16,16, 17}
Amplitude: 17 11 = 6Amplitude: 17 11 = 6 n = 26 observaes
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[email protected] 13. Estatsticabsica Nmero de Operaes Freq.
Freq. Freq. Absoluta Freq. fechadaspor dia Absoluta Relativa
Absoluta Acumulada Acumulada 11 2 7,69% 2 7,69% 12 5 19,23% 7
26,92% 13 6 23,08% 13 50,00% 14 7 26,92% 20 76,92% 15 3 11,54% 23
88,46% 16 2 7,69% 25 96,15%, , 17 1 3,85% 26 100,00% Total 26 100
00%Total 26 100,00% AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar
(21)81262831 [email protected] 14. Estatsticabsica
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[email protected] 15. Estatsticabsica Classes As classes so um
artifcio para condensar o nmero de elementos diferentes de uma
amostra. Imagine construir uma tabela para 200 l dif ld d bl
ivalores diferentes, nos moldes do problema anterior. Os principais
prrequisitos para uma boa definio de classes em um conjunto de
dados so:conjunto de dados so: a) as classes devem abranger todas
as observaes; b) o extremo superior de uma classe o extremo
inferior da classe subsequente (simbologia: |, intervalo fechado
esquerda e aberto di i )direita); c) cada valor absoluto deve
enquadrarse em apenas uma classe; d) k 25 de modo geral sendo k o
nmero de classes;d) k 25, de modo geral, sendo k o nmero de
classes; e) As unidades das classes devem ser as mesmas dos dados.
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[email protected] 16. Estatsticabsica Classes Clculo de k: Nk l1
(Frmula de Sturges)Nk 2log1 += Nk 2ln ln 22 n knn kk == Obs.: N o
nmero de elementos diferentes da amostra e, muitas vezes, pode ser
considerado N = n (no. de observaes). Intervalo da classe (h): h
H/k Ponto mdio da classe (xi) : Ponto mdio entre o limite inferior
e o limite superior de cada classe. AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
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Estatsticabsica Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior,
temos: 37 k 6=H 3 2l ln 47log1 2 = += Nk k 2 3 6 ==h 3 2ln k 3 Freq
Faixade negcios Xi Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq.Absoluta
Acumulada Freq. Acumulad a 11|13 12 7 26,92% 7 26,92% 13|15 14 13
50,00% 20 76,92% 15|17 16 6 23,08% 26 100,00%| , , Total 26 100,00%
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[email protected] 18. Estatsticabsica MedidasdePosio Mostram o
valor representativo em torno do qual os dados tendem a n p q
agruparse com maior ou menor frequncia. x xxxxx x n i i n = = +++++
= 14321 ... Mdia aritmtica: nn x == = = ++++ = i n i i nn px
pxpxpxpx x 1332211 . ....... Mdia aritmtica ponderada: = = ++++ = n
i i n p pppp x 1 321 ... pi : peso da amostra xi
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[email protected] 19. Estatsticabsica MedidasdePosio Exemplo: Os
dados {11, 13, 15, 17, 19} apresenta a seguintep { , , , , } p g
mdia (n=5, pois temos cinco nmeros) : 1917151311 ++++ 15 5
1917151311 = ++++ =x Se um aluno obteve as notas {7, 10, 6, 8} com
pesos {1, 2, 2,{ } p { 3}, qual ser a nota final do aluno: 875,7 8
63 3221 3.82.62.101.7 == +++ +++ =x AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
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Estatsticabsica MedidasdePosio P R O AsomadosdesviossempreO P R p
igualazero R I E A soma dos quadrados dosE D A Asomadosquadradosdos
desviosdasobservaesdeumaA D E sriesempreumvalormnimo
AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar (21)81262831
[email protected] E 21. Estatsticabsica MedidasdePosio Mdia
aritmtica ponderada para dados agrupados em classes: ++++ i n i i
nx nxnxnxnx 1332211 . ....... = = ++++ ++++ = n i i i n nn n nnnn
nxnxnxnx x 1 1 321 332211 ... ....... =i 1 = n inn n f i i =
Sabendo que: =i i 1 n fi n i i inn fxfxfxfxfxx = =++++= 1 332211
........ fi : Frequncia de ocorrncia da amostra xi
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[email protected] 22. Estatsticabsica MedidasdePosio Exemplo:
Qual a mdia do nmero de operaes fechadasp p por dia:
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[email protected] 23. Estatsticabsica MedidasdePosio A mdia pela
frequncia absoluta :p q 1237652 1.172.163.157.146.135.122.11 ++++++
++++++ =x 5413 352 1237652 = ++++++ x A mdia pela frequncia
relativa : 54,13 26 x p q %08,23.13%23,19.12%69,7.11 +++=x 5413
%85,3.17%69,7.16%54,11.15%92,26.14 +++
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[email protected] 54,13x 24. Estatsticabsica Valor MedidasdePosio
Exemplo: Calcule a mdia da tabela abaixo: Valor mdioda classe p
3626161314712 ++ 92,13 26 362 6137 6.1613.147.12 = ++ ++ =x Observe
que o resultado apresentou uma pequena diferena do anterior (2,8%
maior que 13,54 ). A preciso dos dados na tabela em classes
diminuiu pouco em relao aos dados originais.
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[email protected] 25. Estatsticabsica MedidasdePosio Mediana: o
valor do meio de um conjunto de dados, quando osj , q dados esto
dispostos em ordem crescente ou decrescente, ou seja, o Rol de
Dados. termo n x o + = 1~ Se n impar 2 Senimpar 1 22~ termo n termo
n x oo ++ Senpar 2 x = p AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
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Estatsticabsica MedidasdePosio Exemplo: Qual a mediana dos dados
abaixo:p Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17,
14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12} Rol:
{11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14,
14, 14, 14,14, 15,15,15, 16,16, 17} n = 26 observaes (par) 513
14131413 1 2 26 2 26 ~ ++ ++ termotermo termotermo x oo oo 5,13 222
====x A mediana dos dados 13,5. AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
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Estatsticabsica MedidasdePosio Exemplo: Calcule a mediana dos dados
abaixo:p A mediana estar na faixa de 13 a 15, pois temos no total
26 observaes e mediana i (13 ) ( i i l l di 13 14encontrase no meio
(13 termo) (aqui no iremos calcular a mdia entre o 13 e o 14
Verique !). 71313 ~ ~ x AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
Contato:Horacimar (21)81262831 [email protected] 92,13 720 713
1315 13 13 13 = x x 28. Estatsticabsica MedidasdePosio Moda ou
classe modal (mo): o valor que representa a maior( o) q p frequncia
em um conjunto de observaes individuais. Em alguns casos, pode
haver mais de uma moda. X Xi ni 0| 3 1,5 7 3| 6 4,5 13 Classe
modal3| 6 , 6| 9 7,5 6 9| 12 10 5 2 Classemodal 9| 12 10,5 2
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[email protected] 29. Estatsticabsica MedidasdePosio S l l d j d
b Mdia Sensvelavaloresextremosdeumconjuntodeobservaes
Usatodososdadosdisponveis
Robusta:Nosofremuitocomapresenadealgunsvalores Mediana
muitoaltosoumuitobaixos Nousatodososdadosdisponveis
Noafetadaporvaloresextremos Moda Nousatodososdadosdisponveis
AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar (21)81262831
[email protected] 30. Estatsticabsica MedidasdePosio Percentil:
De forma geral, o percentil de um conjunto de valoresg , p j postos
em ordem crescente um valor que contm p% das observaes abaixo dele.
Os percentis de ordem 25, 50 e 75 so chamados de quartis. Os decis
so os percentis de ordem 10, 20, ..., 90. 10 = xp p 10100 = n x1 n
1 1 .100 = n x p AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar
(21)81262831 [email protected] x1 n 1n 31. Estatsticabsica
MedidasdePosio Calcular o percentil de ordem 50 (2 Quartil).p ( )
Q50 = mediana (so 50 dados o Q50 est no 25 termo) X n AcumX ni
Acum. 1,810| 1,822 7 7 2139 2125 83418461 834,1 ~ = x 1,822| 1,834
14 21 2139834,1846,1 48341 ~ 1,834| 1,846 18 39 18 4 012,0 834,1 =
x 1,846| 1,858 7 46 1 858| 1 870 4 50 837,1 ~ =x1,858| 1,870 4 50
AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar (21)81262831
[email protected] 32. Estatsticabsica As medidas de disperso
possuem a finalidade de verificar quanto os
MedidasdeDispersoouVariabilidade valores da srie esto distantes da
mdia da srie. O principal meio de calcular a variabilidade atravs
da varincia, que l l d l f l b icalculada pela frmula abaixo: ( )2
nn ( ) 2 1 2 1 2 2 xxx n i i n i i 112 x nn s ii == == Onde n o
nmero de observaes, a mdia e xi so os valores individuais. Esta
frmula valida para populao. Para amostra devese x individuais. Esta
frmula valida para populao. Para amostra deve se considerar n1 ao
invs de n. AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar
(21)81262831 [email protected] 33. Estatsticabsica
MedidasdeDispersoouVariabilidade Exemplo: Os dados {1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10} apresentam qual mdia, varincia e desvio padro ? A i
t 10 A di i l d lA sequncia apresenta n=10 nmeros. A mdia igual a
soma dos valores dividido pelo nmero de elementos. A varincia e
desvio padro so calculados na sequncia:calculados na sequncia: 5,5
10 55 ==x 385109...21 2222 1 2 =++++== x n n i i 25,85,5 10 385 22
1 2 2 === = x n x s n i i AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
Contato:Horacimar (21)81262831 [email protected] 87,225,82 == ss
34. Estatsticabsica Para calcular a varincia quando os dados
estiverem dispostos em classes MedidasdeDispersoouVariabilidade
devese utilizar a seguinte frmula: ( ) k 2 ( ) ( ) = = = k ii i ii
fxx nxx s 2 1 2 2 . . k o nmero de classes, ni a frequncia
absoluta, n o nmero de observaes e fi a frequncia relativa; ( )=in
1 relativa; Quando extramos a raiz quadrada da varincia, obtemos o
desvio padro (s). Uma observao importante que a varincia possui as
unidades dos dados individuais elevado ao quadrado enquanto que o
desvio padro edados individuais elevado ao quadrado, enquanto que o
desvio padro e mdia possuem mesma unidade.
AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar (21)81262831
[email protected] 35. Estatsticabsica
MedidasdeDispersoouVariabilidade Exemplo: Calcular a varincia e
desvio padro dos dados abaixo: X Freq. Absoluta Iremos realizar
osAbsoluta 1,810|1,822 7 Iremos realizar os clculos na forma de
tabela, porque os dados 1,822|1,834 14 1,834|1,846 18 , p q ficam
mais organizados e os clculos mais fceis de 1,846|1,858 7
1,858|1,870 4 serem entendidos. 1,858| 1,870 4 ( ) nxx k 2
Verifique que as colunas sero organizadas de acordo com a frmula
para calcular a varincia AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
Contato:Horacimar (21)81262831 [email protected] ( ) n nxx s i
ii= = 12 .calcular a varincia. 36. Estatsticabsica
MedidasdeDispersoouVariabilidade x xi ni xixm (xixm)2 (xixm)2.nix
xi ni xi xm (xi xm) (xi xm) .ni 1,810|1,822 1,816 7 0,0024 0,00058
0,0040 1 822| 1 834 1 828 14 0 012 0 00014 0 00201,822|1,834 1,828
14 0,012 0,00014 0,0020 1,834|1,846 1,840 18 0,000 0,00000 0,0000 1
846|1 858 1,852 7 0,012 0,00014 0,00101,846| 1,858 1,852 7 0,012
0,00014 0,0010 1,858|1,870 1,864 4 0,024 0,00058 0,0023 Soma 9,200
Soma 0,00936 Mdia(xm) 1,840 s2 0,00187m 0430 043,0 00187,02 = = s s
AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar (21)81262831
[email protected] %4,2%100. 840,1 043,0%100. == x sCV 37.
Estatsticabsica MedidasdeDispersoouVariabilidade Outra forma de
expressar a disperso dos dados atravs do Coeficiente de Variao
(CV), que dado pela frmula: %100. x s CV = onde s o desvio padro, e
a mdia.x O Coeficiente de Variao d uma indicao de quanto os dados
esto dispersos em torno da mdia. Quanto maior o valor de CV, maior
a dispersodisperso. AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica Contato:Horacimar
(21)81262831 [email protected] 38. Estatsticabsica
MedidasdeDispersoouVariabilidade Exemplo: No exemplo de clculo de
varincia e desvio padro, obtivemos os valores 8,25 e 2,87
respectivamente. A mdia tinha resultado em 5,5 O l d C fi i t d V i
O valor do Coeficiente de Variao ser: 872s Um valor de 52% indica
que os dados esto muito dispersos com relao %52%100. 5,5 87,2 %100.
== x s CV a mdia. Por exemplo os dados {5 1; 5 2; 5 3; 5 4; 5 5; 5
6; 5 7; 5 8; 5 9; 6 0}Por exemplo, os dados {5,1; 5,2; 5,3; 5,4;
5,5; 5,6; 5,7; 5,8; 5,9; 6,0} apresentam mdia: 5,55; desviopadro:
0,29 e CV = 5% (Confira!) AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
Contato:Horacimar (21)81262831 [email protected] 39.
Estatsticabsica Covarincia: Mede a correlao (dependncia) linear
entre duas variveis x e yvariveis x e y. calculada como: calculada
como: n ( )( ) yxyx yyxx yxCov n i ii .. . ),( 1 = = = yy n y ),( A
covarincia entre as mesmas variveis, isto , Cov(x, x) por exemplo,
igual a prpria varincia Var(x) = s2. AulasdeMatemtica/Fsica/Qumica
Contato:Horacimar (21)81262831 [email protected] exemplo, igual a
prpria varincia Var(x) s . 40. Estatsticabsica ( )( ). xxxx n ii (
)( ) 21 )(),( sxVar n xxCov i === = Os seguintes valores de
covarincia do uma indicao se osOs seguintes valores de covarincia
do uma indicao se os valores so independentes, ou possuem correlao
positiva ou negativa. 0),( =yxCov Variveisindependentes negativa.
),( y 0),( >yxCov Correlaolinearpositiva 0),( yxCov 0),(
