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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
Email:
PRÉ-CÁLCULO
AULA
QUINZE
FUNÇÕES RACIONAIS
Definição de Função Racional
Uma função racional é qualquer função que
pode ser especificada por uma regra escrita
como f(x) = P(x) / Q(x), onde P(x) e Q(x) são
funções polinomiais.
Normalmente, é assumido que a expressão
racional P(x) / Q(x) está na forma de termos de
menor grau, ou seja, P(x) e Q(x) não tem
fatores em comum.
FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplos
*,12
) fDdomíniocomx
xfa
.3,9
)2
2
xxgDdomíniocomx
xxgb
hDdomíniocom
x
xxxhc ,
4
41)
2
FUNÇÕES RACIONAIS
Gráfico de uma função Racional
O gráfico de uma função racional é analisado em
termos de simetria, interceptos, assíntotas e
comportamento do sinal da função.
1) Se Q(x) não tem zeros reais, o gráfico de P(x)/Q(x) é
uma curva suave para todo real x.
2) Se Q(x) tem zeros reais, o gráfico de P(x)/Q(x)
consiste de curvas suaves em cada intervalo aberto
que não inclui um zero. O gráfico tem assíntotas
verticais em cada zero de Q(x).
FUNÇÕES RACIONAIS
Assíntotas Verticais
A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico
de uma função se, à medida que x se aproxima
de a pelos valores maiores ou menores que a, o
valor da função cresce acima de quaisquer
valores positivos ou negativos.
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 1
Explique por que a reta x = 2 é uma assíntota
vertical do gráfico
.2
3
xxf
SOLUÇÃO
FUNÇÕES RACIONAIS
Assíntotas Horizontais
A reta y = a é uma assíntota horizontal do
gráfico de uma função f se, à medida que x
cresce indefinidamente para valores positivos
ou negativos, f(x) se aproxima do valor a.
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplo
Encontre as assíntotas horizontais, se houver,
de
5
12
x
xxf
SOLUÇÃO
Como o grau do numerador é igual ao grau do
denominador (n = m), temos que a reta
y=an/bm é uma assíntota horizontal do gráfico
de f.
Aqui an=2 e bn=1, então a reta y = 2/1 é uma
assíntota horizontal
y = 2
FUNÇÕES RACIONAIS
Assíntotas Oblíquas
Seja
Então, se n=m+1, f(x) pode ser reescrito usando
a divisão longa (capítulo 14) na forma:
0001
01
mnm
m
n
n beacombxbxb
axaxa
xQ
xPxf
xQ
xRbaxxf
FUNÇÕES RACIONAIS
Onde o grau de R(x) é menor que o grau de
Q(x).
Logo, se
é uma assíntota oblíqua do gráfico da função.
baxyretaae
baxxfxoux
,
FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplo
Encontre a assíntota oblíqua do gráfico da
função
.2
12
3
xx
xxf
SOLUÇÃO
Usando o procedimento da divisão longa, temos:
.
11
,,
.2
131
2
funçãodagráfico
doolíquaassíntotaumaé
xyretaaexxf
xouxseLogo
xx
xxxf
FUNÇÕES RACIONAIS
FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplo
Esboce o gráfico de .12
xxf
FUNÇÕES RACIONAIS
Exemplo
Esboce o gráfico de
SOLUÇÃO
1 – O gráfico não tem interceptos x ou y. Como
f(-x) = - f(x), a função é ímpar e o gráfico tem
simetria em relação à origem.
2 – Já que 0 é o único zero do denominador, o
eixo y, x=0, é uma assíntota vertical.
.12
xxf
FUNÇÕES RACIONAIS
3 – Como o grau do denominador é maior que
o grau do numerador, o eixo x, y = 0, é a
assíntota horizontal.
4 – Uma vez que não há solução para a
equação -12/x = 0, o gráfico não intercepta a
assíntota horizontal.
5 – Se x é negativo, f(x) é positivo. Se x é
positivo, f(x) é negativo. Logo,
xfexfx
xlim
00
lim
FUNÇÕES RACIONAIS
O gráfico fica:
Gráfico feito no Matlab
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 2
Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:
42
x
xxf
SOLUÇÃO
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 3
Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:
4
122
x
xxf
SOLUÇÃO
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 4
Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:
2
122
xx
xxf
SOLUÇÃO
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 5
Encontre as assíntotas verticais do gráfico de:
8
33
x
xf
SOLUÇÃO
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 6
Encontre as assíntotas horizontais do gráfico
de:
4
42
2
x
xxf
SOLUÇÃO
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 7
Encontre as assíntotas horizontais do gráfico
de:
4
2
x
xxf
SOLUÇÃO
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 8
Encontre as assíntotas horizontais do gráfico
de:
4
22
x
xxf
SOLUÇÃO
FUNÇÕES RACIONAIS
Exercício 9
Encontre as assíntotas horizontais do gráfico
de:
14
2532
2
x
xxxf
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 10
Suponha que o custo de produção de 50
unidades de certa mercadoria seja de R$
27.000,00, enquanto o custo para produzir
100 unidades da mesma mercadoria seja R$
38.000,00. Se a função custo C(x) é
assumida como sendo linear, encontre a
regra para C(x). Use a regra para estimar o
custo da produção de 80 unidades da
mercadoria.
EXERCÍCIO 11
Um campo é delimitado no formato de um
retângulo no qual um lado é formado por um
rio de percurso retilíneo. Se 100 metros
estão disponíveis para o cercado, determine
as dimensões do retângulo de máxima área
possível, sendo que um dos lados do
retângulo é formado pela margem deste rio.
EXERCÍCIO 12
EXERCÍCIO 13
EXERCÍCIO 14
EXERCÍCIO 15
EXERCÍCIO 16
EXERCÍCIO 17
FIM
DA
AULA
QUINZE
