Aula1

Sumario

NUMEROS NATURAIS

Luciana Santos da Silva Martino

PROFMAT - Colegio Pedro II

06 de marco de 2015

Introducao Numeros Ordinais Adicao, multiplicacao e ordem Numeros Naturais e Contagem

Sumario

1 Introducao

2 Numeros Ordinais

3 Adicao, multiplicacao e ordem

4 Numeros Naturais e Contagem


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1 Introducao

2 Numeros Ordinais




Numeros Naturais

Processo de contagem: duas etapas

Sequencia de palavras (um, dois, tres, ...), sem atribuirsignificado a elas;Estabelecimento de uma correspondencia entre oselementos de um conjunto e estas palavras quechamamos de numeros.

Nao importa como facamos a correspondencia, o numero finale sempre o mesmo - o numero de elementos do conjunto


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1 Introducao

2 Numeros Ordinais




Numeros Ordinais

Descrever matematicamente a estrutura do conjunto dos numeros naturais,no sentido de numeros ordinais

Os numeros naturais arrumados, organizados, ordenados numa sequenciacrescente estabelece a base matematica para definir os ordinais relativos

Giuseppe Peano (1858-1932): lista de axiomas,baseada na nocao de sucessor de um numeronatural


Os Axiomas de Peano

1 Todo numero natural tem um unico sucessor, que tambeme um numero natural.

2 Numeros naturais diferentes tem sucessores diferentes.3 Existe um unico numero natural, designado por 1, que nao

e sucessor de nenhum outro.4 Seja X um conjunto de numeros naturais (isto e X ⊂ N).

Se 1 ∈ X e se, alem disso, o sucessor de cada elementode X ainda pertence a X , entao X = N.

A nocao de sucessor de um numero natural esta intimamente relacionada aideia de adicao: tomar o sucessor e equivalente a somar uma unidade


Os Axiomas de Peano

1 Todo numero natural n tem um sucessor, representado pon + 1.

2 Se m + 1 = n + 1, entao m = n.3 Existe um unico numero natural, designado por 1, tal que

n + 1 6= 1, para todo n ∈ N.4 Seja X um conjunto de numeros naturais (isto e X ⊂ N).

Se 1 ∈ X e se, alem disso, n + 1 ∈ X , para cada n ∈ X ,entao X = N.

O terceiro axioma estabelece 1 como sendo o unico numero natural que naoe sucessor de nenhum outro e que, portanto, representa o “ponto de partida”

do conjunto N = {1, 2, 3, ...}


O Axioma da Inducao

Seja X um conjunto de numeros naturais (isto e X ⊂ N). Se1 ∈ X e se, alem disso, n + 1 ∈ X , para cada n ∈ X , entao

X = N

Mecanismo para garantir que um dado subconjunto X de Ninclui, na verdade, todos os elementos de N.

Definicoes e provas por inducao ou recorrencia.


O Axioma da Inducao, usando a linguagem depropriedades

`: Uma propriedade P(n) relativa ao numero natural n evalida para todos os valores naturais de N

Basta mostrar que 1 ∈ X e que o sucessor de cada elementode X tambem esta em X .

i) P(1) e valida;ii) Para todo n ∈ N, a validez de P(n) implica na validez deP(n + 1).

⇒ A propriedade P(n) e valida para todos os valores de n.


Princıpio da Inducao Finita ou Inducao Matematica

Seja P(n) uma propriedade relativa ao numero natural n.Suponhamos que

i) P(1) e valida;ii) Para todo n ∈ N, a validez de P(n) implica na validez deP(n + 1).

Entao, P(n) e valida para todos os valores de n.


Exemplos e Exercıcio

Exemplo 1: 1 + 3 + 5 + ...+ (2n − 1) = n2

Exercıcio 1.2 (pag.8): 1 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n+1)(2n+1)6

Exemplo 2: 1 + 3 + ...+ (2n − 1) = n2 + 1 ?


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1 Introducao

2 Numeros Ordinais




Definicao por inducao ou recorrencia

Seja a(n) um atributo relativo ao numero natural n.Se definimos a(1) e estabelecemos como a(n + 1) pode serobtido a partir de a(n), para n ∈ N arbitrario, o Axioma daInducao garante que o atributo a(n) estara definido para cadan ∈ N.

Definicoes construıdas dessa forma sao chamadas definicoespor inducao ou recorrencia


Adicao e multiplicacao

Adicao

Definicao:i) m + 1 e definido como o sucessor de mii) m + (n + 1) e definido como o sucessor de m + n, ou seja, como (m + n) + 1

Ideia intuitiva de que o valor de m + n e obtido acrescentando-se n vezes uma unidadea m

Multiplicacao

Definicao:i) m.1 = mii) m.(n + 1) = m.n + m

Propriedade distributiva da multiplicacao em relacao a adicao

Para quaisquer numeros naturais m, n e p, vale (m + n).p = m.p + n.p


Ordem

Nocao de ordem

Definicao:Sejam m e n numeros naturais. Dizemos que m < n quando existe um numero naturalp tal que m + p = n

Propriedades usuais da ordem

Teorema:a) Se m < n e n < p, entao m < pb) Dados m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das alternativas: m = n, m < n oun < mc) Se m < n entao, para qualquer p ∈ N, tem-se m + p < n + p e mp < np

Propriedade da Boa Ordenacao

Todo subconjunto nao vazio X ⊂ N possui um menor elemento. Isso significa queexiste um elemento n0 ∈ X que e menor que todos os demais elementos de X


Exercıcios

Exercıcio 1.4 (pag.9): Usando inducao e a propriedadeassociativa da adicao, demonstre a lei do corte: Se m, n e psao numeros naturais tais que m + p = n + p, entao m = nSugestao: use inducao em p, notando que o caso base dainducao e o segundo axioma de Peano

Exercıcio 1.5 (pag.9):: Demonstre a propriedade transitiva daordem: Se Se m, n e p sao numeros naturais tais que m < n en < p, entao m < p


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1 Introducao

2 Numeros Ordinais




Numeros Cardinais

Definicao:Contar um conjunto X significa estabelecer uma correspondenciabiunıvoca entre os elementos de X e os de um subconjunto de N daforma In = {x ∈ N|x ≤ n} = {1,2, ...,n}. Quando e possıvelestabelecer tal correspondencia biunıvoca, dizemos que X e umconjunto finito e que n e o numero cardinal ou o numero deelementos de X

Um conjunto X e finito quando e vazio ou quando existe, para algumn ∈ N, uma bijecao

ϕ : In → X


Propriedades Basicas da Contagem

Teorema:a) O resultado da contagem (ou seja, o numero cardinal de X ) esempre o mesmo, nao importando a contagem que seja feitab) Todo subconjunto Y de um conjunto finito X e finito en(Y ) ≤ n(X ). Tem-se n(Y ) = n(X ) somente quando Y = X

Definicao: Um conjunto e infinito quando nao e finito

Exemplo: N e infinto


Um conjunto pode ser “mais infinito” do que outro

Georg Cantor (1845-1918): Em conjuntosinfinitos a relacao “estar contido em” naosignifica “ser menor que” (O Paradoxo daReflexividade)

Definicao:Dizemos que dois conjuntos X e Y tem amesma cardinalidade quando e possıvelestabelecer uma correspondencia biunıvocaentre X e Y (isto e, existe uma funcao bijetivaf : X → Y )

Exemplo: O conjunto N dos numeros naturais eP = {2n|n ∈ N} dos numeros pares tem amesma cardinalidade


Quando nao e possıvel obter uma bijecao entredois conjuntos infinitos

Exemplo: Seja C o conjunto de todas as sequencias infinitasem que todos os termos sao iguais a 0 ou 1. Nao e possıvelestabelecer uma bijacao entre N e C

O conjunto C e um exemplo de um conjunto nao enumeravel

Definicao: Um conjunto X diz-se enumeravel quando e finitoou quando existe uma bijecao f : N→ X . No segundo caso, Xdiz-se infinito enumeravel


Definicao:Uma funcao de domınio igual a N e chamada de sequencia

Conjuntos infinitos e conjuntos enumeraveis podem sercaracterizados em termos das propriedades das sequenciasde elementos destes conjuntos:

Um conjunto X e infinito se, e somente se, e possıvelconstruir uma sequencia (a1,a2,a3, ...) em que os termossao elementos distintos de X (ou seja, quando ha umafuncao injetiva de N em X )Um conjunto infinito X e enumeravel se, e somente se, epossıvel construir uma sequencia (a1,a2,a3, ...) incluindotodos os elementos de X (ou seja, quando ha uma funcaosobrejetiva de N em X )


Exercıcios

Exercıcio 1.7 (pag.13): Prove, por inducao, que um conjuntocom n elementos possui 2n subconjuntos

Exercıcio 1.11 (pag.13): Diga se e finito ou infinito,justificando:

o conjunto de todos os numeros primos

Exercıcio 1.13 (pag.14): Considere o conjunto N2 de todos ospares ordenados de numeros naturais. Encontre umasequencia que inclua todos os elementos de N2, mostrandoassim que N2 e enumeravel. Isto mostra que o conjunto dosnumeros racionais tambem e enumeravel. Por que?

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