Aula2 vibracoes

DINÂMICA DE VEÍCULOS

1/2014

Profa. Suzana Moreira Avila, DSc

Noções de Vibrações

AULA 2

Sumário

Vibrações livres de Sistemas de um grau de liberdade (S1GDL)

Resposta de S1GDL a excitações harmônicas

Integração numérica da resposta do SIGDL

Vibrações livres de S1GDL

• Vimos que um sistema de 1GDL é descrito pela seguinte equação de movimento

(1)onde m, c e k representam, respectivamente a

massa, o amortecimento e a rigidez do sistema.• Dividindo-se a equação (1) por m obtemos

(2)

)(...

tpkuucum

)(2

22

...

tpk

uuu nnn


onde e

onde (coeficiente de amortecimento crítico)

é a freqüência natural de vibração com unidade em radianos por segundo

é o fator de amortecimento

m

kn

2

crc

c

n

ncr

kmc

22

n

Vibrações livres de S1GDL • A freqüência natural de vibração e a taxa de

amortecimento são parâmetros muitoimportantes na determinação da resposta deum S1GDL

• Considere que o sistema descrito pelaequação (1) seja submetido a um par decondições iniciais de deslocamento evelocidade

0

..

0

)0(

)0(

uu

uu


• A solução da equação (1), a resposta total,consiste na soma linear de duas partes distintas,uma resposta forçada relacionada à excitação euma resposta natural associada às condiçõesiniciais

• Na literatura matemática a solução geral de umaEDO é a soma da solução particular mais asolução complementar

)()()( tututu cp


• No caso de vibrações livres fazemos com quep(t)=0, a equação (2) toma a forma:

• Considerando o amortecimento nulo, aequação de movimento livre não-amortecidaé a seguinte:

022

...

uuu nn

02

..

uu n


• A equação característica correspondente é

• e suas raízes são

• a solução geral então toma a forma

• ou

022 ns

nis 2,1

titi nn eCeCu

21

tAtAu nn sincos 21


• A1 e A2 podem ser obtidas a partir das condiçõesiniciais, então temos

• Teoricamente este movimento continuariaindefinidamente. Na prática todo sistema possuialgum nível de amortecimento, que dissipaenergia, e reduz a amplitude ao longo do tempo.

tu

tuu n

n

n

sincos0

.

0


• Considere, portanto, a vibração livre de umS1GDL com amortecimento viscoso linear

• Assumindo uma solução na forma

• obtém-se a equação característica

022

...

uuu nn

stCeu

0222 nnss


• Cujas raízes s1,2 são dadas por

• A magnitude do fator de amortecimentocaracteriza três casos distintos:

• subamortecido:

• criticamente amortecido:

• Superamortecido:

12

2,1 nns

10

1

1


• O caso mais comum na prática, é o casosubamortecido com taxas de amortecimentoentre 0.5% e 5%.

• Neste caso definimos a freqüência naturalamortecida

A evolução da resposta, neste caso, tem a forma

21 nD

tuu

tuetu D

D

nD

tn

sincos)( 00

.

0


Resposta do SIGDL a excitações harmônicas

• Caso não-amortecido (ζ=0)

tpkuum cos0

..

n

nn

r

k

pU

tAtAtr

Uu

00

212

0 sincoscos1



• Caso amortecido

• α é o ângulo de fase entre a resposta permanente e a excitação

tpkuucum cos0

...

2

212/1222

0

1

2tan

sincoscos

21

r

r

tAtAet

rr

Uu DD

tn



• Em muitos casos de análise a excitação dinâmica p(t) não possui uma expressão matemática bem definida como é o caso das excitações harmônicas.

• Neste casos não é possível obter uma solução exata para a equação de movimento.

• Lança-se mão portanto de algoritmos numéricos para integrar estas equações de movimento e obter a evolução da resposta no tempo.

• Estes algoritmos são conhecidos na literatura como métodos de integração numérica “passo à passo”.


• Exemplos de métodos de integração numérica:

1. Soma simples

2. Regra Trapezoidal

3. Regra de Simpson

Análise Modal

• A análise modal de um sistema de vários grausde liberdade (SVGL) fornece grandezascaracterísticas do sistema que são as suasfrequências naturais de vibração e respectivosmodos de vibração associados.

• Estas propriedades são intrínsecas ao sistemae estão relacionadas ao material e ageometria do mesmo.

Profa. Suzana Moreira Avila

• A análise modal pode ser realizadaexperimentalmente através de testes onde osistema é monitorado através de sensores,como por exemplo acelerômetros, e sofreuma perturbação externa como fonte deexcitação.


Análise Modal

• Frequências naturais e modos de vibraçãoassociados podem ainda ser determinadosnumericamente.

• A solução do problema de vibração livrefornece estas características do sistema.

• Não há ação de forças externas e omovimento é governado apenas pelascondições iniciais.


Análise Modal

• Um sistema de vários graus de liberdade não-amortecido submetido a vibrações livres é governado pelas equações de movimento:

𝑴 𝒖 𝑡 + 𝑲𝒖 𝑡 = 𝟎 (1)

• O sistema é submetido ao conjunto de condições iniciais:

𝒖 = 𝒖 0 ; 𝒖 = 𝒖(0) (2)


Análise Modal

• Este sistema tem solução na forma:

𝒖 = 𝒖sin(𝜔𝑡 + 𝜙) (3)

• Substituindo (3) em (2), obtem-se:

−𝜔2𝑴 𝒖sin 𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝑲 𝒖sin 𝜔𝑡 + 𝜙 =0 (4)

• Que pode ser simplificado para o problema deautovalor


Análise Modal

• Que pode ser simplificado para o problema deautovalor

𝑲−𝜔2𝑴 𝒖=0 (5)

• Este problema possui solução trivial 𝒖=0 esomente possui soluções não triviais se

𝑲−𝜔2𝑴 = 0 (6)

• A eq. (6) é conhecida como equaçãocaracterística.


Análise Modal

• As raízes da equação característicadeterminam as n frequências naturais 𝜔𝑛

(autovalores).

• Para cada 𝜔𝑛 tem-se um vetor 𝒖correspondente (autovetor).

• Os autovetores determinam os modosnaturais de vibração 𝜙𝑛.


Análise Modal

• A matriz modal Φ é construída com n colunas,onde cada coluna corresponde a um modo devibração do sistema.

• O modo fundamental é aquele associado àfrequência mais baixa.

• Os outros modos são chamados deharmônicos.

• O movimento do sistema é dado pelasuperposição dos harmônicos.


Análise Modal


Análise Modal

• Encontre as frequências naturais e os modos de vibração do sistema massa-mola abaixo. Considere k1 = 2k; k2 = k; m1 = 2m e m2 = m.


Modos de vibração de uma placa biapoiada

Santos (2009)

f = 3,08 Hz

f = 4,37 Hz

f = 8,29 Hz


Análise Modal de um Chassi Automotivo tipo Escada

Furtado (2013)


Análise Modal de um Chassi Automotivo tipo Escada

Furtado (2013)

Referências

• CRAIG R.R., Structural Dynamics, An Introduction to Computer Methods, Wiley, 1981 – Capitulos 2 e 3

• Furtado D. C., Análise Estrutural de Chassis de Veículos Automotivos, Trabalho de conclusão de curso, FGA-UnB, 2013.

• Santos M.D.S., Análise numérica do controle de vibrações em lajes de edifícios utilizando amortecedores de massa sintonizados, Dissertação de Mestrado, PECC-UnB, 2009.

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