MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICACOLÉGIO PEDRO II - CPIIPró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e CulturaAvaliação 2 - Aritmética - MA14 - 2016Prof.a Luciana S. da Silva Martino

Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]

Sobre o que estudamos à respeito dos Números Primos, leia com atenção os seguintes itens e faça o que é pedido:

a) Seja p > 1 um número natural com a seguinte propriedade:

Se p divide o produto de dois números naturais quaisquer, então p divide um dos fatores

Mostre que p é necessariamente primo

b) Enuncie o Lema de Euclides, a recíproca do resultado exposto no item a

c) Ache o resto da divisão de 12p−1 por p quando p é primo

Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]

Após os pitagóricos, o próximo matemático a fazer parte da história dos números perfeitos foi Euclides(aproximadamente 300 a. C.). Seu IX livro dos Elementos contém, além da de�nição de números perfeitos, umaproposição muito particular a respeito desses números:

�Se tantos números quantos se queira começando a partir da unidade forem dispostos continuamente numa proporção

duplicada até que a soma de todos resulte em um número primo, e se a soma multiplicada pelo último origina algum

número, então o produto será um número perfeito�

a) Traduza essa proposição para a linguagem matemática atual, incluindo sua recíproca, enunciando o Teorema deEuclides-Euler, visto em sala de aula quando estudamos os Números Especiais

b) De�na número perfeito

c) Mostre que os únicos dois números primos cujo produto é perfeito são 2 e 3

Questão 3 [2,00 pts]

Prove, utilizando o conceito de congruências, que o quinto número de Fermat F5 = 225

+ 1 não é primo

Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 0,50 pt; (d) = 0,50]

a) De�na um sistema reduzido de resíduos módulo m

b) De�na a função ϕ : N→ N, que em sala chamamos de função � de Euler

c) O Pequeno Teorema de Fermat pode ser generalizado como segue:

Se p é um número primo, então para todo a ∈ Z e todo k ∈ N, tem-se que ak(p−1)+1 ≡ a mod p

Demonstre esse resultado

d) No entanto, não é verdade em geral que para todo a ∈ Z e todo k ∈ N se tenha akϕ(m)+1 ≡ a mod m. Justi�que essaa�rmação.

Questão 5 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]

a) De�na resíduo quadrático módulo p, para a um número inteiro

b) Determine os valores de a para os quais a é resíduo quadrático módulo 125