Bootstrap: Uma Técnica de Minimização de Viés de um Estimador

Bootstrap:Uma Tecnica de Minimizacao de Vies de um Estimador

Ana Carla de Carvalho CorreiaMaria Helynne Lima SilvaMichel Alves dos Santos

Universidade Federal de AlagoasInstituto de Computacao

Maceio – AL, 31 de Maio de 2011

Bradley Efron Historia do Bootstrap Implementacao da Tecnica Graficos

Bradley Efron

Nasceu em 24 de maio de 1938

Participou do California Institute of Technology, graduando-se emMatematica em 1960

Doutorado em Universidade de Stanford

Suspenso por um ano por seu envolvimento com o Chaparral Stanford

Ana, Helynne e Michel (UFAL) Bootstrap Estatıstica Computacional 2 / 11


Bradley Efron







Bradley Efron







Bradley Efron







Bootstrap

Metodo generico para estimar variabilidade em estatıstica

Originalmente proposto por Efron em (1979)

Publicado no Annals of Statistics“A decada do Bootstrap”

Dependencia do uso de computadores

Popularizacao com os progressos da informatica nas ultimas decadasdo seculo XX

[3]



Bootstrap






[3]



Bootstrap






[3]



Bootstrap






[3]



Bootstrap






[3]



Bootstrap






[3]



Bootstrap

Algumas utilizacoes:

Estimar o vies e a variancia de estimadores ou testes de hipotesescalibrados

Baseia-se na construcao de distribuicoes por reamostragem, comreposicao da amostra original

Tem por base que o pesquisador pode tratar sua amostra como sefosse a populacao que deu origem aos dados

Possibilita estimar caracterısticas da populacao como media,variancia, percentis, etc.

[4]



Bootstrap






[4]



Bootstrap






[4]



Bootstrap






[4]



Bootstrap






[4]



Bootstrap

Metodo nao-parametrico:

Cada amostra de tamanho n e obtida amostrando, com reposicao, osdados originais, onde a estimacao dos parametros e realizada para cadaamostra, sendo este processo repetido B vezes

Na simulacao parametrica:

Os dados sao gerados da distribuicao de probabilidade dos dados



Estimadores utilizados

Reduzindo o vies de tres estimadores:1 Metodo por analogia θ1, baseado no primeiro momento amostral2 Metodo por analogia θ2, baseado no segundo momento amostral3 Estimador de Maxima Verossimilhanca θmv

θ1 = 2n

Pni=1 xi

θ2 =q

3n

Pni=1 x2

i

θmv = max(x1, x2, ..., xn)





θ1 = 2n

Pni=1 xi

θ2 =q

3n

Pni=1 x2

i

θmv = max(x1, x2, ..., xn)





θ1 = 2n

Pni=1 xi

θ2 =q

3n

Pni=1 x2

i

θmv = max(x1, x2, ..., xn)





θ1 = 2n

Pni=1 xi

θ2 =q

3n

Pni=1 x2

i

θmv = max(x1, x2, ..., xn)



Reducao do custo computacional

Substituindo o comando for pela funcao lapply

b o o t s t r a p <− f u n c t i o n (X, B, f u n c ){t <− f u n c (X)t bs <− 2∗ t − mean ( u n l i s t ( l a p p l y ( 1 : B, f u n c t i o n ( i ) i<− f u n c ( sample (X, r e p l a c e=TRUE)

) ) ) )r e t u r n ( t bs )

}

m o n t e c a r l o <− f u n c t i o n ( n ){e1 <− e2 <− emv <− e1B <− e2B <− emvB <− v e c t o r ( mode=” numer ic ” , l e n g t h =1e2 )l a p p l y ( 1 : 1 e2 , f u n c t i o n ( r ){ X <−r u n i f ( 1 0 )

e1 [ r ] <<− U t1 (X)e2 [ r ] <<− U t2 (X)emv [ r ] <<− U tmv (X)e1B [ r ] <<− b o o t s t r a p (X, n ,U t1 )e2B [ r ] <<− b o o t s t r a p (X, n ,U t2 )emvB [ r ] <<− b o o t s t r a p (X, n ,U tmv )

})}

[2]



Estimador: θ1, N ∈ [3,1000] com intercalacoes de 5 , B = 200Estimador: θ1, B ∈ [3,1000] com intercalacoes de 5 , N = 10

[1]



Estimador: θ2, N ∈ [3,1000] com intercalacoes de 5 , B = 200Estimador: θ2, B ∈ [3,1000] com intercalacoes de 5 , N = 10



Estimador: θmv , N ∈ [3,1000] com intercalacoes de 5 , B = 200Estimador: θmv , B ∈ [3,1000] com intercalacoes de 5 , N = 10



Referencias

The lapply function.

Package ‘lattice’.

Paulo Henrique Ferreira da Silva and Francisco Louzada Neto.Medidas do valor preditivo de modelos de classificacao aplicados adados de credito.

Edson Zangiacomi Martinez and Francisco Louzada-Neto.Estimacao intervalar via bootstrap.BRAZILIAN JOURNAL OF MATHEMATICS AND STATISTICS,19:217–251, 2001.


File: /media/SAMSUNG/10-CoursesAndD…011]/00.bootstrap.evaluation.r Page 1 of 10

#------------------------------------------------------------------------------# About : Exemplo de comparação entre algoritmos quadráticos e loglineares# Author : Michel A. dos Santos, Maria Helynne e Ana Carla# Date : 30/05/2011 - Maio - 2011#------------------------------------------------------------------------------#------------------------------------------------------------------------------# Carregamento das bibliotecas necessárias para processamento do script#------------------------------------------------------------------------------# Definindo o nome das bibliotecas que devem ser carregadaspkg = c('lattice')

# Carregando bibliotecasprint('Carregando bibliotecas necessárias para execução do script...')for (idx_pkg in 1:length(pkg)){ myimg.msgerr <- paste('A seguinte biblioteca não pôde ser carregada: ', pkg[idx_pkg])if (!require(pkg[idx_pkg], character.only = TRUE)) stop(myimg.msgerr)

} #------------------------------------------------------------------------------# Configurações iniciais do script e inicialização de variáveis: #------------------------------------------------------------------------------#------------------------------------------------------------------------------# Variável de configuração que verifica se os gráficos devem ser salvos #------------------------------------------------------------------------------my.save.result <- TRUE

#------------------------------------------------------------------------------# Variável de configuração que verifica se o dataframe deve ser salvo #------------------------------------------------------------------------------my.data.frame.save.result <- TRUE

#------------------------------------------------------------------------------# Variável de configuração que verifica se os resultados devem ser vistos # através de uma grade. #------------------------------------------------------------------------------my.view.grid.results <- FALSE

#------------------------------------------------------------------------------# Variáveis de controle do problema (variáveis globais)#------------------------------------------------------------------------------


valor1 <- 0 # Método por analogia | Primeiro momento amostral valor2 <- 0 # Método por analogia | Segundo momento amostralvalormv <- 0 # Máxima verossimilhança

#------------------------------------------------------------------------------# Definição das funções e estruturas implementadas para o problema.#------------------------------------------------------------------------------# Estimador - Teta 1 - Primeiro momento amostralMyU_T1 <- function(X) { return ( 2*mean(X) ) }

# Estimador - Teta 2 - Segundo momento amostralMyU_T2 <- function(X) { return (sqrt(3*mean(X^2))) }

# Estimador - Máxima VerossimilhançaMyU_TMV <- function(X) { return ( max(X) ) }

# Definição da função que calcula o erro quadrático médio (MSE) MyMeanSquaredError <- function(X) { return( (mean(X)-1)^2 + var(X) ) }

# Bootstrap sem o uso de looping de maneira explícitaNotExplicitlyIterativeBootstrap <- function(X, B, func){ t <- func(X) t_bs <- 2*t - mean(unlist(lapply(1:B, function(i) i<- func(sample(X,replace=TRUE))))) return (t_bs)} # Montecarlo sem o uso explicito de looping NotExplicitlyIterativeMontecarlo <- function(number.of.observations = 10, number.of.bootstrap.iterations = 200, length.of.my.vector = 100){ n <- number.of.observations # Número de observações em runif MyNobi <- number.of.bootstrap.iterations # Número de iterações no bootstrap MyLen <- length.of.my.vector # Tamanho do vetor de estimadores

# Criando vetores numéricos e1 <- e2 <- emv <- e1B <- e2B <- emvB <- vector(mode="numeric",length=MyLen)

lapply(1:MyLen, function(r){ X <-runif(n) e1[r] <<- MyU_T1(X)


e2[r] <<- MyU_T2(X) emv[r] <<- MyU_TMV(X) e1B[r] <<- NotExplicitlyIterativeBootstrap(X, MyNobi, MyU_T1) e2B[r] <<- NotExplicitlyIterativeBootstrap(X, MyNobi, MyU_T2) emvB[r] <<- NotExplicitlyIterativeBootstrap(X, MyNobi, MyU_TMV) }) valor1 <<- ( 1 - (MyMeanSquaredError(e1B) / MyMeanSquaredError(e1)) )*100 valor2 <<- ( 1 - (MyMeanSquaredError(e2B) / MyMeanSquaredError(e2)) )*100 valormv <<- ( 1 - (MyMeanSquaredError(emvB) / MyMeanSquaredError(emv)))*100} # Bootstrap com uso de looping de maneira explícitaExplicitlyIterativeBootstrap <- function(X, B, func){ t <- func(X) vecB <- vector(mode="numeric",length=B) for (b in 1:B) vecB[b] <- func(sample(X,replace=TRUE)) t_bs <- 2*t - mean(vecB)

return (t_bs)} # Montecarlo com uso explicito de looping ExplicitlyIterativeMontecarlo <- function(number.of.observations = 10, number.of.bootstrap.iterations = 200, length.of.my.vector = 100){ n <- number.of.observations # Número de observações em runif MyNobi <- number.of.bootstrap.iterations # Número de iterações no bootstrap MyLen <- length.of.my.vector # Tamanho do vetor de estimadores

e1 <- e2 <- emv <- e1B <- e2B <- emvB <- vector(mode="numeric",length=MyLen) for (r in 1:MyLen) { X <- runif(n) e1[r] <- MyU_T1(X) e2[r] <- MyU_T2(X) emv[r] <- MyU_TMV(X)


e1B[r] <- ExplicitlyIterativeBootstrap(X, MyNobi, MyU_T1) e2B[r] <- ExplicitlyIterativeBootstrap(X, MyNobi, MyU_T2) emvB[r] <- ExplicitlyIterativeBootstrap(X, MyNobi, MyU_TMV) }

MyMeanSquaredError(e1) MyMeanSquaredError(e2) MyMeanSquaredError(emv) MyMeanSquaredError(e1B) MyMeanSquaredError(e2B) MyMeanSquaredError(emvB)} #++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++# MAIN - Começo da execução do código.#++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

# Capturando o tempo de inicio da atividade.MyStartTime = Sys.time()

# Executando método montecarlo para um determinado número Nprint("Executando Montecarlo explicitamente iterativo...")my.number.of.observations <- 100my.number.of.bootstrap.iterations <- 200my.length.of.my.vector <- 100ExplicitlyIterativeMontecarlo(my.number.of.observations, my.number.of.bootstrap.iterations, my.length.of.my.vector)

# Capturando o tempo de término das atividade.MyEndTime = Sys.time()

# Visualizando o tempo para processamento do métodoMyMatrixTime <- matrix(c("MyStartTime",MyStartTime, "MyEndTime", MyEndTime, "Total Time:", MyEndTime - MyStartTime), ncol=2, byrow=TRUE)print(MyMatrixTime)if (my.view.grid.results) View( MyMatrixTime, title="Processing Time for Explicit Iterative Montecarlo" ) # Capturando o tempo de inicio da atividade.MyStartTime = Sys.time()

# Executando método montecarlo para um determinado número Nprint("Executando Montecarlo não explicitamente iterativo...")


my.number.of.observations <- 100my.number.of.bootstrap.iterations <- 200my.length.of.my.vector <- 100NotExplicitlyIterativeMontecarlo(my.number.of.observations, my.number.of.bootstrap.iterations, my.length.of.my.vector)

# Capturando o tempo de término das atividade.MyEndTime = Sys.time()

# Visualizando o tempo para processamento do métodoMyMatrixTime <- matrix(c("MyStartTime",MyStartTime, "MyEndTime", MyEndTime, "Total Time:", MyEndTime - MyStartTime), ncol=2, byrow=TRUE)print(MyMatrixTime)if (my.view.grid.results) View( MyMatrixTime, title="Processing Time for Not Explicit Iterative Montecarlo" ) #------------------------------------------------------------------------------# Produção de amostras obtidas através do método bootstrap. A partir daqui # iremos armazenar o data.frame referente as amostras obtidas através do método# bootstrap e os gráficos gerados a partir do montante de dados final. #------------------------------------------------------------------------------# Estipulando vetor de comparações utilizado no bootstrapmy.start.of.sequence <- 3 # Valor inicial do número de iteraçõesmy.end.of.sequence <- 100 # Parâmetro final de iterações B do bootstrap my.jump.of.sequence <- 5 # Valor do salto dado dentro da seqüênciaMyB = c(seq(my.start.of.sequence, my.end.of.sequence, my.jump.of.sequence))

# Exibindo informações relativas ao parâmetro Bprint("")print("Exibindo informações relativas ao parâmetro B")print(paste("Início do intervalo de avaliação:", my.start.of.sequence))print(paste("Fim do intervalo de avaliação:", my.end.of.sequence))print(paste("Incremento do intervalo de avaliação:", my.jump.of.sequence))print("")

# Exeutando o método montecarlo pela primeira vezprint("Obtendo os B valores necessários para efetivação do método...")print(paste("Avaliação com B igual a:", my.start.of.sequence))NotExplicitlyIterativeMontecarlo(my.number.of.observations, my.start.of.sequence, my.length.of.my.vector)

# Amostras para os dados processados transformadas em vetorespE1 = c(valor1)


pE2 = c(valor2)pE3 = c(valormv)

# Executando Montecarlo tomando por base os valores de uma sequência.for (i in seq(my.start.of.sequence + my.jump.of.sequence, my.end.of.sequence, my.jump.of.sequence)){ print(paste("Avaliação com B igual a:", i)) NotExplicitlyIterativeMontecarlo(my.number.of.observations, i, my.length.of.my.vector)

pE1 = c(pE1, valor1) pE2 = c(pE2, valor2) pE3 = c(pE3, valormv)} # Criando um dataframe com os dados adquiridosmy.data.frame <- data.frame(MyB, pE1, pE2, pE3)

# Exibindo valores do dataframeprint(my.data.frame)if (my.view.grid.results) View(my.data.frame, title="Valores Adquiridos - Usando Montecarlo") #------------------------------------------------------------------------------# Inicio da plotagem#------------------------------------------------------------------------------#------------------------------------------------------------------------------# Iniciando dispositivo de saída caso os resultados devam ser salvos em disco #------------------------------------------------------------------------------if (my.save.result){ save.name <- paste('saved.result.01[',my.end.of.sequence,'].pdf', sep='') pdf(file = save.name, onefile = TRUE)} # PLOT CONFIGmy.col <- 'black'my.type <- c("p","r")my.pch <- 20my.scales <- list(x = list( relation = "free", limits = c(1, my.end.of.sequence*1.5)), y = list( relation = "free", limits = c(-50, 50)))my.xlab <- "B"my.ylab <- expression(paste('Estimativa bootstrap do erro quadrático médio para o estimador ', theta[1]))


# PLOTmyplot01 <- xyplot(pE1~MyB, col = my.col, type = my.type, data = my.data.frame, scales = my.scales, xlab = my.xlab, ylab = my.ylab, pch=my.pch)

if (!my.save.result) x11()print(myplot01)

#------------------------------------------------------------------------------# Encerrando dispositivo de saída caso os resultados devam ser salvos em disco #------------------------------------------------------------------------------if (my.save.result) { dev.off() } #------------------------------------------------------------------------------# Iniciando dispositivo de saída caso os resultados devam ser salvos em disco #------------------------------------------------------------------------------if (my.save.result){ save.name <- paste('saved.result.02[',my.end.of.sequence,'].pdf', sep='') pdf(file = save.name, onefile = TRUE)} # PLOT CONFIGmy.col <- 'red'my.type <- c("p","r")my.pch <- 20my.scales <- list(x = list( relation = "free", limits = c(1, my.end.of.sequence*1.5)), y = list( relation = "free", limits = c(-50, 50)))my.xlab <- "B"my.ylab <- expression(paste('Estimativa bootstrap do erro quadrático médio para o estimador ', theta[2]))# PLOTmyplot02 <- xyplot(pE2~MyB, col = my.col, type = my.type, data = my.data.frame, scales = my.scales, xlab = my.xlab, ylab = my.ylab, pch=my.pch)


#------------------------------------------------------------------------------# Encerrando dispositivo de saída caso os resultados devam ser salvos em disco #------------------------------------------------------------------------------if (my.save.result) { dev.off() }


#------------------------------------------------------------------------------# Iniciando dispositivo de saída caso os resultados devam ser salvos em disco #------------------------------------------------------------------------------if (my.save.result){ save.name <- paste('saved.result.03[',my.end.of.sequence,'].pdf', sep='') pdf(file = save.name, onefile = TRUE)} # PLOT CONFIGmy.col <- 'green'my.type <- c("p","r")my.pch <- 20my.scales <- list(x = list( relation = "free", limits = c(1, my.end.of.sequence*1.5)), y = list( relation = "free", limits = c(-50, 50)))my.xlab <- "B"my.ylab <- expression(paste('Estimativa bootstrap do erro quadrático médio para o estimador ', theta[mv]))# PLOTmyplot03 <- xyplot(pE3~MyB, col = my.col, type = my.type, data = my.data.frame, scales = my.scales, xlab = my.xlab, ylab = my.ylab, pch=my.pch)


#------------------------------------------------------------------------------# Encerrando dispositivo de saída caso os resultados devam ser salvos em disco #------------------------------------------------------------------------------if (my.save.result) { dev.off() } #------------------------------------------------------------------------------# Abrindo uma nova janela no X para que não ocorra sobreposição das demais#------------------------------------------------------------------------------if (!my.save.result) x11(title="Confrontando as Estimativas Obtidas") #------------------------------------------------------------------------------# Iniciando dispositivo de saída caso os resultados devam ser salvos em disco #------------------------------------------------------------------------------if (my.save.result){ save.name <- paste('saved.result.04[',my.end.of.sequence,'].pdf', sep='') pdf(file = save.name, onefile = TRUE)


} # PLOT CONFIGmy.col <- 'black'my.ylab <- expression(paste('Estimativa para ', theta[1]))# PLOTmyplot01 <- xyplot(pE1~MyB, col = my.col, type = my.type, data = my.data.frame, scales = my.scales, xlab = my.xlab, ylab = my.ylab, pch=my.pch)

# PLOT CONFIGmy.col <- 'red'my.ylab <- expression(paste('Estimativa para ', theta[2]))# PLOTmyplot02 <- xyplot(pE2~MyB, col = my.col, type = my.type, data = my.data.frame, scales = my.scales, xlab = my.xlab, ylab = my.ylab, pch=my.pch)

# PLOT CONFIGmy.col <- 'green'my.ylab <- expression(paste('Estimativa para ', theta[mv]))# PLOTmyplot03 <- xyplot(pE3~MyB, col = my.col, type = my.type, data = my.data.frame, scales = my.scales, xlab = my.xlab, ylab = my.ylab, pch=my.pch)

#PLOTprint(myplot01, position=c(0.1,0.1,1,1),split=c(1,1,2,2),more=T)print(myplot02, position=c(0.1,0.1,1,1),split=c(1,2,2,2),more=T)print(myplot03, position=c(0.1,0.1,1,1),split=c(2,1,2,2),more=F)

#------------------------------------------------------------------------------# Encerrando dispositivo de saída caso os resultados devam ser salvos em disco #------------------------------------------------------------------------------if (my.save.result) { dev.off() } #------------------------------------------------------------------------------# Escrevendo os dados obtidos em disco#------------------------------------------------------------------------------if (my.data.frame.save.result){ my.file.name <- paste('Dados.Gerados.Em.',format(Sys.time(), "[Data.%F][Hora.%H.%M.%S]."),'[B.',my.start.of.sequence,'.',my.end.of.sequence,'.',my.jump.of.sequence,']','.txt', sep='') write.table(my.data.frame, file=my.file.name)


} #------------------------------------------------------------------------------# Exibindo mensagem de finalização do script#------------------------------------------------------------------------------print('Fim do script ............ [OK]')

B

Est

imat

iva

para

θ 1−4

0−2

00

2040

0 500 1000 1500

q

qq

q

qq

qq

qq

q

qqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

B

Est

imat

iva

para

θ 2−4

0−2

00

2040

0 500 1000 1500

q

qq

q

qqq

qq

q

q

qq

q

qqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

B

Est

imat

iva

para

θ mv

−40

−20

020

40

0 500 1000 1500

q

q

q

qqqq

q

qqqq

q

q

qq

qq

q

qq

qqqq

qq

q

q

qqqq

qq

qq

q

q

qq

q

qqqq

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

qq

qqq

q

qqqq

q

q

q

qq

q

qqqq

qqq

q

qq

q

qq

qq

qq

qqq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

q

q

qq

qqq

qq

q

q

q

q

q

q

qqqq

q

q

q

q

q

q

qqqq

qqqqqq

qqq

qqqq

qqqqq

qq

q

q

q

qq

qqqqq

q

qqq

qq

q

q

qqqq

qq

q

qqqqqq

q

qq

qqqq

q

q

qqq

qq

B

Est

imat

iva

para

θ 1−4

0−2

00

2040

0 500 1000 1500 2000

qq

q

qq

q

q

q

qq

qq

q

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqq

B

Est

imat

iva

para

θ 2−4

0−2

00

2040

0 500 1000 1500 2000

q

q

qqqqq

qqq

qqqq

q

q

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqq

B

Est

imat

iva

para

θ mv

−40

−20

020

40

0 500 1000 1500 2000

q

q

q

qqqqq

q

qq

qqqq

qq

q

q

q

q

q

qqq

q

q

q

qqqqqqq

q

q

q

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

qqqqq

q

qqqqqq

q

qqqq

q

qqq

qq

q

q

q

qqq

q

qqqqqq

qqqqq

qq

q

qqqqqq

q

q

q

qqqq

q

qq

qqqq

q

qqq

q

q

q

qqq

q

qqqqq

q

q

q

qq

q

qqq

qq

qqqq

q

qqqq

q

q

q

qqq

qqq

q

q

qqq

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

qq

q

qqqq

q

q

qq

qq

q

q

qq

q

qqqq

qq

qq

qq

qqqqqq

q

qq

qq

q

qqqqq

qqqqqqq

q

qq

qqq

q

q

q

qqq

qq

qq

q

qq

q

q

q

q

q

qqq

qqq

qq

q

q

qq

q

q

qq

qq

q

q

qq

qq

qq

qq

q

q

qqqq

qqq

qq

qq

qq

q

qqq

B

Est

imat

iva

para

θ 1−4

0−2

00

2040

0 1000 2000 3000 4000 5000

q

q

q

qqqq

q

qqq

q

qqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

B

Est

imat

iva

para

θ 2−4

0−2

00

2040

0 1000 2000 3000 4000 5000

q

q

qq

q

qq

qqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

B

Est

imat

iva

para

θ mv

−40

−20

020

40

0 1000 2000 3000 4000 5000

qq

qqqq

q

qq

q

qq

qq

qqqqqq

qqqq

q

q

qq

q

qq

qq

qqq

qq

qq

qq

qq

q

qqqqq

q

q

q

qqqq

qq

q

q

qqqqq

q

qqqq

q

q

q

q

qqqq

qqqq

q

q

q

qqqq

qqq

qqq

q

q

q

qqqqqq

qqqq

q

q

qq

q

q

q

qqqq

q

qq

qqqq

q

q

q

q

qq

q

q

q

qqqqqqqqq

q

qq

q

q

qqqq

q

qqqqqqqq

qq

q

qqqq

q

qqq

q

qqqqq

qq

q

qqq

qq

qqqq

q

qq

qqq

q

q

q

qqq

q

q

q

q

q

qqq

q

q

qq

qqq

qqq

q

qqq

q

qq

q

qq

q

qq

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

qq

qq

q

q

qqq

qqqq

qq

qqqq

q

qqqqqq

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

qqq

q

q

q

qq

qq

qqq

qqq

qq

q

qqqqqq

q

q

q

qq

q

q

q

q

qqqqq

qq

q

q

qqq

qqqqqq

q

qqq

q

qqq

qq

qq

qq

qqqqqq

qq

qqq

q

qq

q

q

qq

q

qqqqqqq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qqq

q

q

q

qq

qq

q

qq

qqqq

qq

q

qq

qq

qqqqqq

q

q

q

q

q

q

qq

q

qqqq

qq

qq

qqqq

qqqqq

qqq

q

q

qq

q

qqqq

q

q

qq

q

qqqqqq

qq

qq

qq

qq

q

qqq

qqqqq

q

q

q

qqqqq

q

q

q

qq

q

q

q

qqq

q

qq

q

qqq

q

qq

q

q

qqqqqq

q

qqq

qqq

q

q

qqq

qqqqqq

q

qq

q

qq

qqqqqq

qq

q

q

q

q

qqqqqq

q

q

qq

q

q

q

q

qqq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

qqqq

q

qq

q

q

qqqq

q

q

qq

qq

q

q

q

qqqqq

qqq

q

qqqq

q

q

qq

qq

q

qq

qq

qq

q

qq

qqq

q

q

qq

qqq

q

qqq

q

qq

q

q

qq

q

q

q

q

qqq

q

qq

qqqq

q

qqqqqq

q

qqqq

qq

q

q

q

q

qq

q

q

qqqq

qqq

B

Est

imat

iva

para

θ 1−4

0−2

00

2040

0 5000 10000

q

q

q

q

q

qqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

B

Est

imat

iva

para

θ 2−4

0−2

00

2040

0 5000 10000

q

q

q

qqq

qqqqqqqq

q

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

B

Est

imat

iva

para

θ mv

−40

−20

020

40

0 5000 10000

q

q

qqq

q

qqq

q

q

q

qqqq

qq

q

qq

qq

q

qqq

qqq

qqqq

q

qqq

q

q

q

q

q

qqq

qq

q

q

qqq

q

q

qq

q

qqqq

qq

q

q

q

q

qqq

q

qq

q

q

qq

q

q

q

q

q

qq

q

qqq

qq

q

q

q

q

q

qqqqqqqq

qq

qqq

qqqqq

q

q

qq

q

q

qqq

q

qq

q

q

q

q

qq

q

qq

qq

q

q

q

qq

q

q

q

qq

q

qq

q

q

q

q

qq

q

q

q

qqq

qq

q

qqqqq

qqq

qq

q

q

q

qqq

qqqq

q

qq

q

q

qq

qqq

q

qqq

q

qqqq

q

qq

q

q

q

q

qq

qq

q

qq

q

qqqqqqq

q

q

qqqqqq

q

qqq

q

qqq

q

q

qq

qq

q

q

q

qq

qqqqqqqqqq

qq

q

q

q

qq

qq

q

qqqq

q

q

qq

q

q

q

q

qqqq

qqqqqq

q

q

qqqqq

q

qqqq

qqq

q

q

q

qqqq

q

qq

qq

qq

qq

q

q

q

qq

q

qqq

qq

q

qq

qq

qqqqq

q

qq

qqqqqq

q

qqq

q

qq

q

q

qqqqq

qqq

q

q

qqq

q

q

q

q

qqqq

q

q

qqq

q

q

q

qqqqq

q

q

q

q

qqqqqq

q

qqq

qq

q

qq

q

qqq

q

q

qq

qq

q

q

q

q

qqq

q

q

q

qq

q

q

qq

qqq

qq

q

qq

qq

q

qqqqq

qq

qq

qq

q

q

qqqq

q

q

q

q

q

q

q

qqq

q

qqq

q

q

qqq

q

qq

q

q

q

qq

qqq

qq

qqqq

qq

q

q

qqq

q

qqqqq

q

qq

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qqq

q

q

q

q

q

q

qqq

qqqq

q

q

q

q

q

qqqq

qqq

qq

qqqqqq

qq

qq

q

qq

qqq

qqqq

q

qq

q

q

q

q

qq

qq

qqqqq

qqqqq

q

qq

qqqqqqq

q

q

qqq

q

q

q

q

q

qq

qqq

qq

q

qq

qqqqqqq

qqqqqqqqq

q

q

q

qq

q

qq

q

qq

q

qq

q

q

qq

q

q

q

q

qq

q

q

q

qqqq

qq

qqqqq

qq

qq

qqq

qq

qq

q

qq

q

qqqqq

q

qq

q

q

q

q

q

qq

q

q

qqq

qqqqq

qqq

qq

q

q

qqqqq

qq

q

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

q

q

q

q

qqq

qq

q

q

qqq

q

qq

qqqq

q

qq

q

q

q

qqq

q

q

qqqqq

qqq

qq

qqq

q

qq

qq

qqq

q

qqq

q

q

qqq

q

q

q

q

qq

qq

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

qqq

q

qq

q

qq

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

qqq

qqq

q

q

q

q

q

q

qqq

qq

qqqq

q

q

q

qq

q

qqq

q

qqq

qq

qqq

qq

q

q

qq

qq

qqq

qqq

q

q

qqq

qqq

qqq

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

qqqqqq

qq

qqq

q

q

q

qqqqqq

q

q

q

q

qqqqq

qqqq

qqq

q

q

q

q

qqq

q

qqq

q

qq

qqqq

qqqq

q

qq

q

q

q

qq

qq

q

qq

q

q

q

q

qq

q

q

q

qq

qq

q

qqq

qqqqqqqqq

qqqq

qqq

q

q

qq

qqqqqq

qqq

qq

q

q

qqqqq

q

q

q

q

qq

q

qqqqq

qq

qq

q

qqqq

q

q

qq

qqqq

qq

q

q

qq

qq

qq

qqqqqqqq

q

qqqq

q

qq

qq

q

qq

q

qqq

q

q

qq

q

q

q

q

qq

q

q

qqqqqq

qq

qq

q

q

qq

q

q

q

qqqq

q

qqqqq

q

q

qqqqqq

qq

qq

qq

q

q

qqqqqqq

q

q

q

qqqqqq

q

q

q

qq

qqq

qq

q

q

qq

q

q

qqq

qq

q

q

q

q

q

q

qqqqq

qq

qq

qqq

q

qq

q

qq

q

q

q

qq

qq

q

qq

qq

q

qq

q

q

q

qqq

q

q

qqqqqq

q

q

qq

q

qqq

qqqqqqq

qqq

q

q

q

q

q

qq

q

qq

qqq

q

qq

qqq

qqqq

q

q

q

qq

q

qq

q

qq

qqq

qqq

qq

qq

q

q

qqq

qq

qqqqqq

q

q

qqqqq

q

q

qqq

q

qq

q

qq

q

qqq

q

q

q

q

qqqq

q

q

qqq

q

qqq

q

q

qqqqqq

qq

qq

q

qq

qqqq

qq

qqqq

q

q

q

qq

qqqqq

qq

q

qq

qq

qqqq

qq

qq

qqqq

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqqqqqq

qqqq

q

qqqq

q

q

q

qqq

q

q

q

q

qqq

q

qq

q

q

q

q

q

qqqqq

q

q

q

qq

q

q

q

q

qqq

qqq

qq

q

q

qqqq

q

qq

q

q

q

q

qqqqq

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

qqqqqqqq

q

q

qqqq

q

qq

qq

qq

q

qqqq

q

qqqqq

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

qqqqqq

q

qq

q

qqq

qq

q

qqq

q

q

qqq

qq

qqqqqq

qqq

q

q

qqq

q

qqqqq

q

q

q

qq

q

q

qqqqq

q

q

qq

q

q

q

q

qq

qqq

qqqqq

q

q

qqq

qqqqqqqq

q

q

q

qq

qqq

qq

q

q

q

qqqqqq

q

q

qqqqq

q

q

Education

Bootstrap: Uma Técnica de Minimização de Viés de um Estimador