Cap9 controlo digital-breveintroducao

Capítulo 9‐ Controlo Digital

CONTROLO1º semestre 2007/20081º semestre – 2007/2008

Cap 9 – Breve Introdução ao Controlo Digital

Transparências de apoio às aulas teóricas

Cap 9 Breve Introdução ao Controlo DigitalEduardo Morgado

Maria Isabel RibeiroMaria Isabel RibeiroAntónio Pascoal

Novembro de 2007Novembro de 2007

Todos os direitos reservadosã d d fi di i d l f

Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal

Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

Cap.9 ‐ 1


Objectivo e Sumário

O é l di i l ?O que é o controlo digital ?

Componentes de um sistema de controlo digitalp g

Como se projectam controladores digitais

Técnicas de projecto

Projecto por emulação

A transformada z

ReferênciasReferênciaso Cap.8 – do livro de Franklin, Powel, Naemi, 5ª edição (referência principal)o Maria Isabel Ribeiro, Análise de Sistemas Lineares, ISR Press, 2002 (Secção

2.13)


2.13)o Notas de Eduardo Morgado

Cap.9 ‐ 2


Diagrama de blocos básicos

Processo( )( )( ) ( )

Controlador contínuo

G(s)C(s)+_

y(t)e(t)r(t) u(t)

y(t)1

Sensor

y(t)

Processo

algoritmo de controlo

Controlador digital

G(s)+_

y(t)e(kT)r(t) u(kT)Equação às diferenças

D/Au(t)

r(kT)

1y(kT)

Clock

A/Dy(t)


Sensor

Cap.9 ‐ 3


Diagrama de blocos básicos

P

algoritmo de controlo

Controlador digital

G(s)

Processo

+_


D/Au(t)

r(kT)

1y(kT)

Clock

A/Dy(t)

1

Sensor

A/D

• O cálculo do erro e o controlador são implementados em computador digital

• O controlador digital actua sobre amostras da saída (contínua) do processo

• A saída do controlador digital é gerada por uma equações algébricas recursivas


sinais contínuossinais digitais

Cap.9 ‐ 4


Componentes do controlador digital

Conversor A/D = Conversor Analógico Digital

A/Dy(t)

Clock

A/D

sinal contínuosinal digital

A/D

• Amostra um sinal contínuo e converte cada amostra num número binário com um

número de bits que depende da resolução do A/D Usualmente 10 ou 16 bitsnúmero de bits que depende da resolução do A/D. Usualmente 10 ou 16 bits

• Entrada = sinal contínuo

• Saída = sinal digital

• A conversão ocorre com período de amostragem T

• Usualmente o computador tem um relógio que fornece interrupts a cada T segundos. O


A/D envia um número para o computador de cada vez que lhe chega uma interrupção

Cap.9 ‐ 5



Amostrador ideal

y(t)

Clock

y(kT)

sinal contínuosinal discreto

y(t) y(kT)

t t0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T t

Nesta análise vamos considerar amostradores ideais• i e desprezar erros de quantificação devidos à resolução finita do conversor


• i.e., desprezar erros de quantificação devidos à resolução finita do conversorA amplitude de cada amostra é um valor real

Cap.9 ‐ 6



Conversor D/A = Conversor Digital Analógico

u(kT) D/Au(t)

• converte um sinal digital num sinal analógico

• Retentores de amostrasd d Z d H ld (ZOH)

Clock

de ordem zero = Zero order Hold (ZOH)de primeira ordem = First Order Hold (FOH)

• ZOH = a saída num intervalo [kT, (k+1)T[ é igual à [ , ( ) [ gentrada no instante kT

u(kT) u(t)

t0 T 2T 3T 4T 5T 6Tt0 T 2T 3T 4T 5T 6T


tZOH

Cap.9 ‐ 7


ZOH: Retentor de amostras de ordem zero

• Qual é a Função de Transferência de um ZOH?Q ç

• Sabendo qual é a resposta (TL da resposta) para uma entrada(TL da entrada) pode obter‐se a Função de Transferência(TL da entrada) pode obter‐se a Função de Transferência.

)(tδ

ZOH0

)(tδ

TImpulso de DiracResposta ao impulsoZOH Resposta ao impulso

)()()( Ttututh −−=

see

ssthTLsH

sTsT

−− −

=−==111)]([)(

Controlo ‐1ºsem‐2007/2008 © Eduardo Morgado, Isabel Ribeiro, António Pascoal Cap.9 ‐ 8


Transformada z

x(t) x*(t)( ) x (t)

x(t)

amostrador ideal

tt

∑∑∞∞

−=−=* )()()()()( kTtkTxkTttxtx δδ

amostrador ideal

∑∑==

==00

)()()()()(kk

kTtkTxkTttxtx δδ

x[k]

x(kT)x(t)

t d id l

x(t) – sinal causal contínuo

x[k]– sinal causal discreto

k

amostrador idealresultado de uma amostragem de x(t) com intervalo de amostragem T

0 1 2 3 4 5 6 7 8


kTttxkx

== )(][

Cap.9 ‐ 9


Transformada z

x(t) – sinal causal contínuo x[k]– sinal causal discreto resultado de uma amostragem de x(t) com intervalo de amostragem T

{ })]([)( txTLsX u= { }][)( kxZzX =Transformada de Laplace unilateral Transformada z unilateral

dtetxsX st∫∞

−= )()( ∑∞

=

−=0

][)(k

kzkxzX0 =0k

• x[k] resulta da amostragem de x(t)• Existe alguma relação entre X(s)=TL(x(t)] e X(z)=Z{x[k]}?g ç ( ) ( ( ) ( )



Transformada z

)(txt

∑∑∞

=

∞

=

−=−=00

* )()()()()(kk

kTtkTxkTttxtx δδ Sinal contínuo resultante da amostragem ideal de x(t)

amostragem

== 00 kk amostragem ideal de x(t)

∞ ∞∞

TL unilateral

dtkTtekTxdtetxtxTLsXk

stst ∑ ∫∫=

−− −===0 00

*** )()()()]([)( δ

skTe−∑∞

=

−=0

* )()(k

sTkekTxsX

∑∞

k

x[k] =x(kT)

sTesXzX = )()( *


∑=

−=0

][)(k

kzkxzX ez=

Cap.9 ‐ 11


Algumas propriedades da transformada z

][kx ∑∞

−== ][]}[{)( kzkxkxZzX][ ∑=0

][]}[{)(k

Teorema do valor inicial )(lim]0[ zXx =Teorema do valor inicial )(lim]0[ zXxz ∞→

=

Teorema do valor final )()1(lim][lim 1 zXzkx −−= )()1(lim][lim1

zXzkxzk →∞→

convolução )()(]}[*][{ zYzXkykxZ =ç )()(]}[][{ y

shift )(]}[{ zXznkxZ n−=− )(}{condições iniciais nulas



Relação entre pólos de X(s) e pólos de X(z)

)()( kTkT akT−

Exemplo

)()( tuetx at−=)()( kTuekTx akT=

sinal amostrado

10 1

1)( −−−

∞

=

−

−==∑ ze

zezX aTk

k

akT

X 1)(zX )(

Plano complexo s Plano complexo z

assX

+=)( aTez

zX −−=)(

pólo de X(s) em s=‐a pólo de X(z) em z=e‐aT

T período de amostragem

sT


sTez =Cap.9 ‐ 13


Relação entre pólos de X(s) e pólos de X(z)

T período de amostragemsTez =

Relação entre os pólos da transformada de Laplace de um sinal

contínuo e os pólos da transformada z do sinal resultante da

amostragem, com período T

Esta relação é geral

Não há uma relação geral para os zeros



Estabilidade

Pólos no semi‐plano complexo esquerdop p q

0<±= σωσ com js

Pólos correspondentes no plano z

TjTsT ωσ ± TjTsT eeez ωσ ±== (T>0)

0<σ 1<= Tez σ

Condição de estabilidade (assimptótica) para sistemas causais em tempo discreto descritos por funções de transferência racionais em z:


⇔ Todos os pólos no interior do círculo unitário no plano‐z


Estabilidade



Localização de pólos no plano‐z e Resposta Transitória



Localização de pólos no plano‐z e Resposta Transitória



Sistema discreto “visto” pelo computador

Controlador digital

Sistemacontínuo

Sistemadiscreto

G(s)

Processo

+_


D/Au(t)

r(kT)Processo

y(kT)A/D

y(t)

Computador

G(s)

Processo

+_

y(t)e(kT)r(t) u(kT) y(kT)A/D

Equação às diferenças

D/Au(t)

r(kT)


Sistema discreto visto pelo computador

Cap.9 ‐ 19



( )(kT) (kT)


G(s)

Processo

y(t)u(kT) y(kT)A/DZOH

u(t)

Vai admitir‐se que o D/A é um ZOH

Gd(z)u(kT) y(kT)

d

Pergunta: Qual é a função de transferência Gd(z) que relaciona a sequência numérica u(kT) fornecida pelo computador ao conversor D/A (no modonumérica u(kT) fornecida pelo computador ao conversor D/A (no modo ZOH) com a sequência numérica y(kT) à saída do conversor A/D ?

Resposta: • Teste‐se o sistema com uma entrada (discreta) conhecida• Calcule‐se a resposta correspondente• A FT é o quociente da Transformada z da saída pela Transformada z da entrada.




y(t)u(kT) y(kT)u(t)


G(s)

Processo

y( )( ) y( )A/DZOH

u(t)

T

][][ kTkTu δ= )()( Ttutu −−

TL

T

se

s

sT−

−1

TL

se sT−−1

=sesGsY

sT−−=

1)()(


s sTL do sinal de entrada de G(s)

TL do sinal de saída de G(s)

Cap.9 ‐ 21



y(t)u(kT) y(kT)u(t)


G(s)

Processo

y( )( ) y( )A/DZOH

u(t)

sesGsY

sT−−=

1)()(

( ))()( 1 sYTLty −=

⎟⎞

⎜⎛ − −e sT1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= −

sesGTLty 1)()( 1

tkT )()(kTt

tykTy=

= )()(sTesGTLkTy

−−

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

=1)()( 1


kTts

sGTLkTy=

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

= )()(

Cap.9 ‐ 22



y(t)u(kT) y(kT)u(t)


G(s)

Processo

y( )( ) y( )A/DZOH

u(t)

T

][][ kTkTu δ=

T

sT

sesGTLkTy−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1)()( 1

kTts

=⎟⎠

⎜⎝

Transformada z Transformada z

1} == ][{)( kTZzU δ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

−−

sT

sesGTLZkTyZzY 1)()}({)( 1


⎪⎭⎪⎩ ⎠⎝ =kTts

Cap.9 ‐ 23



( )(kT) (kT)

Sistema discreto visto pelo computadorGd(z)

G(s)

Processo

y(t)u(kT) y(kT)A/DZOH

u(t)

1} == ][{)( kTZzU δ⎪

⎪⎬⎫

⎪

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

−−

sTesGTLZkTyZzY 1)()}({)( 11} ][{)( kTZzU δ

⎪⎭⎬

⎪⎩⎨ ⎟

⎠⎜⎝ =kTt

sy )()}({)(

⎬⎫

⎨⎧

⎟⎞

⎜⎛−= −− sGTLZzzY 1)()1()( 11

⎭⎬

⎩⎨ ⎟

⎠⎜⎝

==kTts

sGTLZzzY )()1()(

⎫⎧ ⎞⎛ 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

−−

kTtd s

sGTLZzzG 1)()1()( 11

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−= − sGZzzGd

)()1()( 1

Notação abreviada


⎭⎩ s

Cap.9 ‐ 24


Metodologias de projecto de controladores digitais

Sistema contínuo a controlar Modelo discretoAmostragem

Projecto de controlador em t di t

Projecto de controlador em

PROJECTO DIRECTO

tempo discretotempo contínuo

PROJECTO POR EMULAÇÃO

Controlador discretoControlador contínuoAproximação

Equação às diferenças (ou a equivalente função de transferência C(z)) a


função de transferência C(z)) a implementar no computador digital

Cap.9 ‐ 25


Controlo Digital Directo

?Sistema contínuo a controlar Modelo discreto

Amostragem= Gd(z)

?

Projecto de controlador em t di t

PROJECTO DIRECTO

tempo discretoDados:• Especificações pólos no plano‐s

Controlador discretoz=esT

pólos no plano‐z

Equação às diferenças (ou a equivalente função de transferência C(z)) a

Cadeia de acção= Gd(z)

Projecto no plano‐z

não vai ser objecto de

estudo nesta


função de transferência C(z)) a implementar no computador digital disciplina

Cap.9 ‐ 26


Projecto por Emulação

Sistema contínuo a controlar

G(s)

Projecto de controlador em t títempo contínuo

PROJECTO POR EMULAÇÃO

Controlador discretoControlador contínuo

AproximaçãoC(s) C(z)

Equação às diferenças (ou a equivalente função de transferência C(z)) a G(s)C(s)

+


çimplementar no computador digital_

Cap.9 ‐ 27



Projecto por Emulaçãoj p ç• projecto no plano‐s, seguido de discretização do controlador

Dadosados• G(s) – processo a controlador• especificações da resposta temporal em tempo contínuo, em malha fechada

Etapas do processoi. Especificações –> pólos desejados no plano‐s –> escolha e

dimensionamento do controlador C(s)( )ii. Escolha do período de amostragem, Tiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital

“equivalente” C(z)iv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o

projecto e fazer ajustes nos parâmetros se necessário



Discretização de C(s)

• C(z) = aproximação discreta de C(s)( ) p ç ( )

• C(z) controlador equivalente a C(s)

• Como encontrar?Como encontrar?– Não há uma solução exacta

• C(z) tem apenas acesso às amostras do sinal de entrada nos instantes de amostragem enquanto C(s) processa continuamente no tempoamostragem, enquanto C(s) processa continuamente no tempo

• Dois métodos:– Mapeamento dos pólos e zeros

– Método de Tustin ou da transformação bilinear



Discretização de C(s): Mapeamento dos pólos e zerosapea e to dos pó os e e os

• Os pólos de C(z) e de C(s) relacionam‐se como z=esT

d ( ) d ( ) l T• Os zeros de C(z) e de C(s) relacionam‐se como z=esT

• Ganhos estáticos iguais: C(s)|s=0 =C(z)|z=1| |

É atraente pela simplicidade



Discretização de C(s): Método de Tustin

• Baseia‐se numa aproximação numérica da integração

Exemplo

E(s) U(s) sUC 1)()(E(s) U(s)C(s) ssE

sC)()()( ==

C(s) é um integrador puro

)()()()(

tetusEssU

==

&∫=t

detu0

)()( ττ

álid d ≥0válido para todo o t, t≥0

∫=kT

dekTu0

)()( ττÁrea de e(t) no intervalo [(k‐1)T, kT]

∫∫−

−

+=kT

Tk

Tk

dedekTu)1(

)1(

0

)()()( ττττ

∫kT

e(t)


∫−

+−=Tk

deTkukTu)1(

)())1(()( ττt(k‐1)T kT

Cap.9 ‐ 31



• Método de Tustion– A área é aproximada trapezoidalmenteA área é aproximada trapezoidalmente

∫kT

dTkkT )())1(()( e(t) Aproximação da área

∫−

+−=Tk

deTkukTu)1(

)())1(()( ττ e(t)

t(k‐1)T kT

)]())1(([2

)()1(

kTeTkeTdekT

Tk

+−≅∫ ττ2)1( Tk−

)]())1(([2

))1(()( kTeTkeTTkukTu +−+−≅

)}({)( kTZUh d )}({)( kTuZzU =chamando

)]()([2

)()( 11 zEzEzTzUzzU ++= −−

1

1

1)1(

2)()()( −

−

−+

==zzT

zEzUzC


)(

Cap.9 ‐ 32



11

1

1)1(

2)()()( −

−

−+

==zzT

zEzUzCs

sC 1)( =

Esta aproximação numérica corresponde à relação

⎟⎞

⎜⎛ −12 z (transformação bilinear)⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

1zTs (transformação bilinear)

• A discretização por aplicação do método de Tustin, preserva a estabilidade• Mapeia o semi‐plano complexo esquerdo (plano‐s) no círculo de raio unitário


(plano‐z)• A transformação bilinear (derivada para um exemplo) aplica‐se em qq. caso geral

Cap.9 ‐ 33


Método de Tustin: Exemplo

aC )( ?)(Cas

asC+

=)( ?)( =zCpor aplicação do método de Tustin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=112

zz

TsPólo em s=‐a

Sem zeros

azz

T

azC+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=

112

)(

zT ⎠⎝ +1

zaC 1)( +Pólo em z=‐(a‐2/T)/(a+2/T)

TaTaz

Ta

zC

/2/2.2)(

+−

++=Zero em z=‐1




Projecto por Emulaçãoj p ç• projecto no plano‐s, seguido de discretização do controlador

Dadosados• G(s) – processo a controlador• especificações da resposta temporal em tempo contínuo, em malha fechada


dimensionamento do controlador C(s)( )ii. Escolha do período de amostragem, Tiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital

“equivalente” C(z)iv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o

projecto e fazer ajustes nos parâmetros se necessário



Projecto por Emulação: Escolha da frequência de amostragemamostragem

Como escolher o intervalo de amostragem T ?g

202≥=

πω Largura de banda ( 3dB) da malha fechada.20≥=Tsω Largura de banda (‐3dB) da malha fechada

valor em rad/svalor em rad/s

T intervalo de amostragem (seg)



Projecto por Emulação: Exemplo

G(s)

Processo

+ y(t)e(kT)r(t) u(kT)Equação às diferenças

D/Au(t)

(kT) _

y(kT)A/D

y(t)r(kT)

505,0)(

+=

ssG

5,0+s

Especificações pretendidas (em cadeia fechada) na resposta ao escalão

• erro em regime permanente nulo

• Sobreelevação ≅ 16%


• Tempo de estabelecimento a 5% ≅ 10 seg

Cap.9 ‐ 37




dimensionamento do controlador C(s)

Processo

G(s)

Processo

C(s)+_

y(t)e(t)r(t) u(t)

Pólos desejados no plano‐s (supostos dominantes)

• Sobreelevação ≅ 16%T d b l i 5% 10 (supostos dominantes)• Tempo de estabelecimento a 5% ≅ 10 seg

S1,2=‐0,3 ± j0,51

• erro em regime permanente nulo na• erro em regime permanente nulo, na resposta à entrada escalão

Controlador PI

asKsC +=)(


s)(

Cap.9 ‐ 38



)()(1)()(

)()(

sGsCsGsC

sRsY

+=

05,0

5,0.1 =+

++

saasKequação característica

,

05,0)()5,0( =+++ asKss

Polinómio característico desejado

S=‐0,3 ± j0,51 035,06,02 =++ ss

por comparação

K=0,20a = 3 5

ssC )5,3(200)( +=


a = 3,5ssC 20,0)( =

Cap.9 ‐ 39



Resposta ao escalão Root‐Locus



Projecto por emulação: Exemplo

Etapas do processoii. Escolha do período de amostragem, T




Etapas do processoiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital “equivalente” C(z)

Utilizando o método de Tustin (ou transformação bilinear)

)(0589,0)(34,0)()( zEzzEzUzzU −=− Equação às diferenças implementada em computador digital


)(0589,0)1(34,0)()1()(,)(,)()(kekekuku −+=−+ )1(0589,0)(34,0)1()( −−=−− kekekuku

q ç ç p p g



Etapas do processoiv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o projecto e

fazer ajustes nos parâmetros se necessário

Simular em tempo discreto

Gd(z)C(z)+_

1)176,0(340,0)(

−−

=zzzC

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=

−−

kTtd s

sGTLZzzG 1)()1()( 11com

5,05,0)(

+=

ssG


⎭⎩



)176,0(340,0)( −=

zzC1

)(−z

⎬⎫

⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= −−

d sGTLZzzG 1)()1()( 11com

5,0)( =sG⎭⎬

⎩⎨ ⎟

⎠⎜⎝ =kTt

d s)()()( com

5,0)(

+s

50 ⎞⎛)()1(

)5,0(5,0 5,01 tue

ssTL t−− −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

)()()5,0(

5,0 5,01 kTuekTuss

TL kT

kTt

−− −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ),(

kTt=⎠⎝

zzTLZ 1 5,0− −=⎪⎬⎫⎪

⎨⎧

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛


TkTt

ezzssTLZ 5,01)5,0( −

=−

−−

=⎪⎭⎬

⎪⎩⎨ ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ +



⎬⎫

⎨⎧

⎟⎞

⎜⎛−= −− sGTLZzzG 1)()1()( 11

⎭⎬

⎩⎨ ⎟

⎠⎜⎝

==kTt

d ssGTLZzzG )()1()(

181,01)1()(5,0

1 −⎟⎞

⎜⎛ −

− ezzGT

819,0,

1)1()( 5,05,0

1

−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−−= −− zezezz

zzG TTd

T=0,4seg

G (z)C(z)+ Y(z)R(z)Gd(z)C(z)+

_

808075810109,00615,0

)()(

2 +−−

=zz

zzRzY


808,0758,1)( +− zzzR






O que acontecerá se na escolha do período de amostragem nos d d édesviarmos do critério

.202≥=s

πω Largura de banda (‐3dB) da malha fechada ?Ts

Seja T=1seg





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