Superintendência Regional de Ensino de ItuiutabaSuperintendência Regional de Ensino de Ituiutaba

IXº Encontro – PNAIC MatemáticaIXº Encontro – PNAIC Matemática

““O Ensino de Combinatória e Probabilidade O Ensino de Combinatória e Probabilidade

Nos Primeiros Anos Escolares” Nos Primeiros Anos Escolares”

28 de março de 201528 de março de 2015

O ENSINO DE COMBINATÓRIA NOO ENSINO DE COMBINATÓRIA NOCICLO DE ALFABETIZAÇÃOCICLO DE ALFABETIZAÇÃO

Cristiane Cristiane Azevedo dos Santos PessoaAzevedo dos Santos Pessoa

Uma das primeiras aprendizagens matemáticas da criança consiste em contar os elementos de diferentes conjuntos e enumerá-los para determinar quantos são. Conhecida como a arte de contar, a Combinatória, como um tipo de contagem, exige que seja superada a ideia de enumeração de elementos isolados para se passar à contagem de grupos de objetos, tendo como base o raciocínio multiplicativo.

(Caderno 7 p.39)

Quantas blusas e quantas calças estilo corsárioGinger separou para colocar na mala?

Quantas combinações de blusa e calça Ginger pode fazer com estas roupas?

Resposta:

Na resolução de problemas pelas crianças observa-se que uma das maiores dificuldades maiores dificuldades é a contagem de todas as possibilidadesé a contagem de todas as possibilidades. Isso ocorre porque o trabalho com a Combinatória exige organização dos dados de modo particular. Essa organização é realizada em níveis diferenciados de abstração. Sabendo disso, podemos auxiliar as crianças na sistematização de suas estratégias e no desenvolvimento de ferramentas que podem ser úteis.

Maiores dificuldades das Maiores dificuldades das crianças...crianças...

Observações importantes para os Professores Observações importantes para os Professores do Ciclo da Alfabetizaçãodo Ciclo da Alfabetização

Uso de materiais manipulativos;Situações com contextos próximos das vivências das crianças;O estimulo às diversas estratégias de resolução, tais como desenhos, listagens ou árvores de possibilidades;Trabalho com problema que tenha número total de possibilidades pequeno.

É uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos

sem precisar de enumerá-los.

A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais

como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc...

Análise Combinatória

Tipos de Problemas Combinatórios

Os problemas combinatórios normalmente trabalhados

na Educação Básica são de quatro tipos:

Arranjo Combinação Permutação Produto Cartesiano

Uma característica comum a todos os tipos de problemas

é a necessidade de esgotar todas as possibilidades para

se chegar à resposta.

ARRANJODe quantas maneiras diferentes pode ser o resultado de uma corrida – 1º e 2º lugares – se três crianças (Ana, Felipe e Paula) estão correndo?

Esse tipo de problema caracteriza-se por ter apenas um conjunto a partir do qual os elementos são escolhidos (no caso, o conjunto das crianças) e a ordem de disposição dos elementos determina possibilidades distintas. No problema citado há seis possibilidades diferentes (AF, FA, FP, PF, AP e PA), considerando- -se que, por exemplo, Ana em primeiro lugar e Felipe em segundo (AF) é diferente de Felipe em primeiro lugar e Ana em segundo (FA).

(Texto: Salto para o Futuro p.7)

Ana Felipe Paula

Resolvendo o problema:

De quantas maneiras diferentes pode ser o resultado de uma corrida – 1º e 2º lugares – se três crianças (Ana, Felipe e Paula) estão correndo?

1º Lugar 2º Lugar 1º Lugar 2º Lugar 1º Lugar 2º Lugar

1º Lugar 2º Lugar 1º Lugar 2º Lugar 1º Lugar 2º Lugar

Características do ARRANJO

Um único conjunto

Elementos são escolhidos

A ordenação gera novas possibilidades

1º Lugar 2º Lugar

1º Lugar 1º Lugar2º Lugar 2º Lugar

≠

Fórmula do Arranjo Simples

Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos

distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer

à seguinte fórmula:

A = n! (n-p)!

No problema apresentado teríamos: n= 3 p=2A = 3! = 3 x 2x1 = 6 = 6 (3-2)! 1! 1

n,pn,pn,p

3,2

Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e

representamos por n!.

Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.

5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a

3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.

Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

COMBINAÇÃODe quantas maneiras diferentes pode-se escolher duplas a partir de um grupo com cinco crianças (Bárbara, Carlos, Marisa, Gustavo e Luiza)?

Nesse tipo de problema, a escolha também é a partir de um conjunto único (como nos arranjos), mas a ordem de disposição dos elementos não determina possibilidades distintas: a dupla Bárbara e Gustavo (BG) é igual à dupla Gustavo e Bárbara (GB), por exemplo. Tem-se, nesta situação, dez possibilidades: BC, BG, BM, BS, CG, CM, CS, GM, GS e MS.

(Texto: Salto para o Futuro p.7)

Bárbara Carlos Marisa Gustavo Luiza

Resolvendo o problema:De quantas maneiras diferentes pode-se escolher duplas a partir de um grupo com cinco crianças (Bárbara, Carlos, Marisa, Gustavo e Luiza)?

Bárbara Carlos Marisa Gustavo Luiza

Características da Combinação

Um único conjunto

A ordenação não gera novas

possibilidades

=

Fórmula da Combinação SimplesAo trabalharmos com combinações simples, com n elementos

distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à

seguinte fórmula:

C = n! p!(n-p)!

No problema apresentado teríamos: n= 5 p=2C = 5! = 5! = 5x4x3! = 20 = 10 2!(5-2)! 2!x3! 2! x 3! 2 x 1

n,pn,pn,p

5,2

Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e

representamos por n!.

Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.

5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a

3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.

Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

PERMUTAÇÃOPermutação: De quantas maneiras diferentes três livros (de História, Matemática e Ciências) podem ser colocados em pé numa prateleira?

A permutação é um caso particular de arranjo. As escolhas são feitas a partir de um conjunto único, com a diferença de que todos os elementos do conjunto são utilizados, sendo a ordem diferenciada, o que identifica cada possibilidade. Nesse caso, há seis maneiras distintas de colocar os três livros em uma prateleira: HMC, HCM, MHC, MCH, CHM e CMH.

(Texto: Salto para o Futuro p.7)

História Matemática Ciências

Resolvendo o problema:De quantas maneiras diferentes três livros (de História, Matemática e Ciências) podem ser colocados em pé numa prateleira?

História

Matemática Ciências

Matemática

Ciências História

Ciências História

Matemática

História

Matemática Ciências

Matemática

Ciências História

Matemática

Ciências História

Ciências História

Matemática

Características da Permutação

Um único conjunto

Todos os elementos do conjunto são

utilizados

A ordenação gera novas possibilidades

Ciências

História Matemática Ciências

Ciências História

Matemática

Ciências História

Matemática

História

Matemática

≠

Fórmula da Permutação Simples A cada um dos agrupamentos que podemos formar com

certo número de elementos distintos, tal que a diferença

entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança

de posição entre seus elementos, damos o nome de

permutação simples.

Neste caso o agrupamento de livros ( matemática, história,

ciências ), difere do agrupamento ( história, ciências,

matemática ), pois embora os elementos de ambos os grupos

sejam os mesmos, há mudança no posicionamento de ao

menos um dos seus elementos.

Para resolver este problema podemos recorrer à fórmula:

P = n!

No problema apresentado teríamos: n = 3

P = 3! P = 3x 2x 1 P = 6

n 3 3

n

PRODUTO CARTESIANO

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

O produto cartesiano de A por B é igual a: AxB

Vejamos um problema que envolve análise combinatória com Produto Cartesiano

De quantas maneiras diferentes posso escolher um lanche e um suco, se na lanchonete há quatro tipos de lanche (coxinha, empada, pizza e sanduíche) e dois tipos de suco (laranja e abacaxi)? Nesse tipo de problema, as escolhas são efetuadas a partir de distintos conjuntos de elementos (no caso, o conjunto de lanches e o conjunto de sucos)

Resolvendo o problema:

De quantas maneiras diferentes posso escolher um lanche e um suco, se na lanchonete há quatro tipos de lanche (coxinha, empada, pizza e sanduíche) e dois tipos de suco (laranja e abacaxi)?

A B

A x B = 2 x 4 = 8

Características do PRODUTO CARTESIANO

Dois conjuntos distintos

Combinar todos elementos de um grupo com os do outro

grupo

A ordenação dos elementos não gera novas possibilidades

A = Sucos B = Lanches

A x B = 2 sucos x 4 lanches = 8 combinações de suco - lanche

=

TIPO DE PROBLEMA CARACTERISTICAS

Produto Cartesiano

• 2 conjuntos distintos• Combinar todos elementos de um grupo com

todos do outro grupo• A ordenação dos elementos não gera novas

possibilidades

Arranjo• Um único conjunto • Elementos são escolhidos• A ordenação gera novas possibilidades

Combinação• Um único conjunto• A ordenação não gera novas possibilidades

Permutação• Um único conjunto• Todos os elementos do conjunto são utilizados• A ordenação gera novas possibilidades

Pessoa e Borba (2009) realizaram uma pesquisa de sondagem com alunos da Educação Básica, observando o desempenho de educandos do 2º e 3º Anos ao resolverem dois problemas combinatórios de cada tipo (Arranjo; Combinação; Permutação e Produto Cartesiano). Essa pesquisa demonstrou que estas crianças conseguem perceber características dos problemas combinatórios. Porém, os alunos do 2º Ano ainda apresentam dificuldade em esgotar todas as possibilidades. Já os alunos do 3º Ano conseguem chegar ao final das resoluções, mesmo quando os resultados são maiores que 20.

(PNAIC, Caderno 7 – Educação Estatística, p. 42)

Se problemas variados de Combinatória forem trabalhados desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, por meio de representações simbólicas apropriadas e que possibilitem uma gradual construção de procedimentos mais formais, aumenta-se a possibilidade de se chegar ao uso consciente das fórmulas de Análise Combinatória no Ensino Médio.

(PNAIC, Caderno 7 – Educação Estatística, p.50)

Onde quer que haja mulhes e homens,Há sempre o que fazer,Há sempre o que ensinar,Há sempre o que aprender.

Paulo Freire