Computação quântica 2012.2 presentation

Introdução à Computação Quântica

(para computatas)

Wilson Rosa de Oliveira Jr.20 e 27/11/2012

Seminários do Quantum Computing Group DEInfo-UFRPEhttp:www.ppgia.ufrpe.br/quantum

1Tuesday, November 20, 2012

http://www.ppgia.ufrpe.br/quantum

http://www.ppgia.ufrpe.br/quantum

Prolegomena• Em Computação Quântica (CQ) testemunhamos a junção de

duas das áreas mais importantes na ciência do sec. XX: – Mecânica Quântica e Informática

• Esta junção traz novos objetivos, desafios e potencialidades para a Informática bem como novas abordagens para a Física explorar o mundo quântico.

• Mesmo que seja no momento difícil prever impactos particulares da CQ sobre a computação em geral, esperamos que esta junção leve a resultados importantes


Mecânica Quântica é ...• Uma teoria excelente para prever probabilidades de

eventos quânticos.• Uma teoria elegante e conceitualmente simples que

descreve com precisão assustadora um amplo espectro de fenômenos naturais:– Experimentalmente verificadas a 14 ordens de precisão;– Até o momento não há conflito entre o teoricamente previsto e o verificado

experimentalmente

• Sem MQ não podemos explicar propriedades dos superfluidos, funcionamento dos lasers, a substância da química, a estrutura e função do DNA, a existência e comportamento de corpos sólidos, cor das estrelas, semicondutores, etc


Mecânica Quântica trata ...• Das entidades fundamentais da Física – partículas tais

como:– Prótons, elétrons e nêutrons (que constituem a matéria);– Fótons (que carregam radiação eletromagnética) – são as únicas partículas

que podemos observar diretamente;– Várias outras “partículas elementares” que mediam outras interações da

Física.

• Partículas? Algumas de suas propriedades são totalmente discordantes das propriedades do que chamamos de partículas no nosso mundo usual!

• Propriedades? Não é claro em que sentido estas “partículas” podem ser ditas possuir propriedades!


Mecânica Quântica

• Independente de sua qualidade, do ponto de vista de explicar fenômenos quânticos, é uma teoria muito insatisfatória!

• É uma teoria que tem princípios difíceis de aceitar e leva a mistérios e paradoxos.


Algumas frases famosas

• Roger Penrose:“Quantum theory seems to lead to philosophical standpoints

that many find deeply unsatisfying.

At best, and taking its descriptions at their most literal, it provides us with a very strange view of the world indeed.

At worst, and taking literally the proclamations of some of its most famous protagonists, it provides us with no view of the world at all”


Algumas frases famosas• Richard Feynman:

– “I think it is safe to say that no one understands Quantum Mechanics”.

– “Nobody knows how it can be like that”.

• Bernard Shaw:– “You have nothing to do but mention the quantum

theory, and people will take your voice for the voice of science, and believe anything”.


Mas afinal o que MQ nos diz?

• Nos diz o que acontece

• Mas não diz porque acontece.

• E não nos diz como acontece.

• Nem quanto custa


Compreensão da FQVou lhe dizer o que acontece na Natureza,

entretanto jamais pergunte a si mesmo:

“Mas como ela pode ser assim?”

Porque senão você será sugado para uma escuridão da qual ninguém conseguiu até hoje escapar!

“Nobody knows how it can be like that”.

Feynman


Exemplo de estranheza: Interferômetro de Mach-Zehnder


Uma outra visão da Mecânica Quântica

• MQ não é Física no sentido usual – não é sobre matéria ou energia ou onda ou partículas – é sobre informação, probabilidades, amplitudes de probabilidades e observáveis; e como eles se relacionam entre si.

• MQ é o que se obtém quando se generaliza teoria da probabilidade a permitir números negativos. Poderia até ter sido descoberta pelos matemáticos sem qualquer motivação dos experimentos (Aaronson, 1997).


Por que Informação e Computação Quântica é tão importante?

• ICP pode levar a novas tecnologias que terão impactos amplos e profundos.

• Muitas das ciências e tecnologias já estão se aproximando do ponto em que precisam isolar, manipular e transmitir partículas.

• Novos conhecimentos sobre os fenômenos e sistemas quânticos complexos podem ser gerados.

• Criptografia quântica nos leva a um novo patamar de segurança.

• ICP tem se mostrado ser mais eficiente em situações importante;interessantes.


Por que devemos tentar construir computadores quânticos?

When you try to reach for stars you may not quite get one, but you won’t come with a handful of mud either.

Leo Burnett


Informação X Física• Norbert Wiener:

– Informação é informação, nem matéria nem energia.

• Ralf Landauer:– Informação é física.

• Deve então fazer parte da Física a Teoria da Informação e a Teoria da Computação?

• Visão corrente:– Física é informacional.

• Deve a mecânica quântica (espaços de Hilbert) fazer parte da Informática?


Curiosidade• Física Quântica é uma teoria extremamente

elaborada, cheia de paradoxos e mistérios. Leva-se anos para um físico desenvolver um sentimento.

• Alguns teóricos da computação e matemáticos, sem qualquer base em FQ têm realizado contri-buições fundamentais a teoria da informação e computação quântica!


Outra motivação

• Lei de Moore que prevê que em 2020 precisaremos de um elétron apenas para amarzenar um bit!


Histórico (um pouco)• Richard Feynman

– 1959: Nanotecnologia•(“Há muito mais espaço lá embaixo”)‏

– 1982:•Sistemas clássicos não modelam eficientemente sistemas quânticos

•Sugere construção de computadores baseados nas leis da mecânica quântica


Histórico • David Deutsch

– 1985: MTQ (Máquina de Turing Quântica) ‏– 1989: publicou primeiro algoritmo quântico

•Problema de determinar se uma função de um bit é cte ou balanceada.


Histórico• Peter Shor

– 1993: Algoritmo de Shor •Fatoração de números grandes

Tempo de Fatoraçãopelo Algoritmo de Shor

Comprimento do número a ser fatorado (bits)

Tempo de Fatoraçãopelo Algoritmo de clássico

34s 512 4 dias4.5m 1024 105 anos36m 2048 1017 anos4,8h 4096 1035 anos


Computação Clássica

• Mais precisamente: Modelos de Circuitos.

• Outros modelos não considerados aqui: Máquinas de Turing, λ-Cálculo, Funções Recursivas, etc.

• Mais próximo do computador digital


f : {0, 1}m ←→ {0, 1}n

f : {0, 1}m ←→ {0, 1}


ou









NAND é universal (crossover, fanout)


Computação Clássica - exemplos

Meio Somador (half adder)


Computação Clássica - exemplos

Somador Completo (full adder)


É uma seqüência enumerável de circuitos :

1. Os circuitos Cn têm n entradas e um números finito de bits suplementares (ancilla) e de saída.

2. A saída de Cn é denotada por Cn(x) e é definida para todo número binário x de no máximo n bits.

3. Se m<n e x tem no máximo m bits então Cm(x) = Cn(x).

É uma família uniforme de circuitos se existe um procedimento efetivo que computa a descrição de Cn para todo n .

A família computa f:N→N se Cn(x(n))=f(x) todo número x e x(n) é a representação binária de no máximo n bits de x .

Família consistentes de circuitos{Cn}∞n=0


Computação Clássica Reversível

• CNot



• Toffoli

Qualquer função f pode ser computada usando apenas Toffoli e crossover!








Quantização Matemática

• NiK Weaver (Washington University):“Substituir conjuntos por um espaço de Hilbert

apropriado” e “funções por mapas lineares"

• O conjunto em consideração passa a ser visto (representado) como uma base (ortonormal).

• As funções consideradas são as lineares (ou subclasse destas).

• Finitamente dimensional = espaço vetorial


|α|2 + |β|2 = 1

Classical Bits: Cbits• bit abstrato: e • Representação como cbit: e

–par de vetores ortonormais, e.g:

• Em R2 ou C2

•Um estado arbitrário:

|1�|0�0 1

|0� =�10

�|1� =

�01

�

|ϕ� = α |0�+ β |1�


Formula de Euler:eiθ = cos(θ) + i sin(θ)

Forma exponencial:c = ρeiθ

|ψ� = cos(θ) |0�+ eiφ sin(θ) |1�

Classical Bits: Cbits


|0� ⊗ |0� , |0� ⊗ |1� , |1� ⊗ |0� , |1� ⊗ |1�

|0� |0� , |0� |1� , |1� |0� , |1� |1�

|00� , |01� , |10� , |11� ,

Classical Bits: Cbits

• quando precisarmos de mais de um Cbit: produto tensorial


|0�2 |1�2 |2�2 |3�2 |x�n 0 ≤ x < 2n

|19�6 = |010011� = |0� |1� |0� |0� |1� |1�= |0� ⊗ |1� ⊗ |0� ⊗ |0� ⊗ |1� ⊗ |1�

Notação

�y0y1

��z0z1

�=

y0z0y0z1y1z0y1z1

�x0

x1

��y0y1

��z0z1

�=

x0y0z0x0y0z1x0y1z0x0y1z1x1y0z0x1y0z1x1y1z0x1y1z1


Operações


Portas Lógicas Quânticas Single-qbit

Hadamard gate

Phase gate

Pauli gates

=


Controlled-not gateControl

Target U

Controlled-phase gate

Z

Exercício: Mostre que HZH = X.

Z

Z=

Simetria faz controlled-phase gate mais natural para implementação

X=

ZH H

CNOT éo caso quando U=X


Toffoli gate

Control qubit 1

Target qubit

Control qubit 2

⊕


quantum NAND

Computando funções clássicas

quantum fanout

Circuito Classico Circuito Quântico

Text

|f(x)〉

|x〉

⊕⊕


• Medida de um estado |ϕ� = α |0�+ β |1�

• {Mm}p(m) = �ϕ|M†

mMm |ϕ�

– |0� com probabilidade |α|2| e– |1� com probabilidade |β|2|

• Completeza �

m

�ϕ|M†mMm |ϕ� = I

• Me = |e� �e|

Medição: obtendo resultados

|β|2|α|2 e


Conjugada Hermitiana; tomando a adjunta

Matrizes Unitárias

A é dita ser unitária se

Usualmente escrevemos unitárias como U.

Exemplo:


|ψ� = |00�+|11�√2

Suponhamos que |ψ� = |a� |b�. Entao:

|ψ� = (α |0�+ β |1�)(γ |0�+ δ |1�)= αγ |00�+ βγ |10�+ αδ |01�+ βδ |11�

Logo (β = 0 ou γ = 0) e (α = 0 ou δ = 0) o que e um absurdo!

Emaranhamento (entanglement) QuânticoAlice Bob

Schroedinger (1935): “I would not call [entanglement] one but rather the characteristic trait of quantum mechanics, the one that

enforces its entire departure from classical lines of thought.”


Estados Emaranhados

Considere os estados de 2-qubits:

|ψ〉 = 1/√2(|00 〉 + |11 〉) e |ϕ〉 = 1/√2(|00 〉 + |01 〉)

|ϕ〉 é composto do produto tensorial |0〉 ⊗ 1/√2(|0〉+|1〉)

Medição do segundo qubit resultará em |0〉ou |1 〉 com uma probabilidade ½ para

cada resultado, independente de o primeiro qubit ser medido ou não. Medição do primeiro dará sempre |0 〉

|ψ〉 não pode ser decomposto em um produto de dois outros qubits

É um estado emaranhado!!.

A medição do primeiro determina completamente o resultado do segundo.


|00� C−→ 1√2(|00�+ |11�)

|01� C−→ 1√2(|01�+ |10�)

|10� C−→ 1√2(|00� − |11�)

|01� C−→ 1√2(|01� − |10�)

|000� C−→ 1√2(|000�+ |111�)

|001� C−→ 1√2(|001�+ |110�)

· · ·etc

⊕

⊕

C-NOT em ação - Bell states

H H

⊕


Emaranhamento("entanglement")• Um experimento usa luz para provocar um

emaranhamento entre dois átomos.• Dois átomos de itérbio para funcionar como qubits.• Excitaram os dois átomos induzindo elétrons a passar para um estado mais baixo de energia e emitir um fóton.• Os átomos de itérbio são capazes de emitir dois tipos de fótons, cada um com um comprimento de onda diferente.• Cada fóton está entrelaçado com seu átomo.• Manipulando os fótons emitidos por cada um dos átomos e guiando-os para interagir no interior de uma fibra óptica, os pesquisadores conseguiram detectar o choque dos dois e entrelaçar os dois átomos.

Entanglement of single-atom quantum bits at a distanceD. L. Moehring, P. Maunz, S. Olmschenk, K. C. Younge, D. N. Matsukevich, L.-M. Duan, C. MonroeNature6 September 2007Vol.: 449, 68-71DOI: 10.1038/nature06118


Cópia (Cloning)


Cópia (Cloning)

Estados quânticos não podem ser copiados ou clonados!


Cópia (Cloning)


Prova: Assuma uma transformação unitária U tal que U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉.


Cópia (Cloning)



Sejam ⏐a〉 e ⏐b〉 estados ortogonais e


Cópia (Cloning)




U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉 e U⏐b〉⏐0〉 = ⏐b〉⏐b〉


Cópia (Cloning)




U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉 e U⏐b〉⏐0〉 = ⏐b〉⏐b〉

Considere agora ⏐c〉 = 1/√2(⏐a〉 + ⏐b〉)


Cópia (Cloning)




U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉 e U⏐b〉⏐0〉 = ⏐b〉⏐b〉


Por linearidade,


Cópia (Cloning)




U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉 e U⏐b〉⏐0〉 = ⏐b〉⏐b〉


Por linearidade,

U⏐c〉⏐0〉 = 1/√2(U⏐a〉⏐0〉 + U⏐b〉⏐0〉) = 1/√2(⏐a〉⏐a〉 + ⏐b〉⏐b〉)


Cópia (Cloning)




U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉 e U⏐b〉⏐0〉 = ⏐b〉⏐b〉


Por linearidade,

U⏐c〉⏐0〉 = 1/√2(U⏐a〉⏐0〉 + U⏐b〉⏐0〉) = 1/√2(⏐a〉⏐a〉 + ⏐b〉⏐b〉)

Mas se U é uma transformação de cópia


Cópia (Cloning)




U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉 e U⏐b〉⏐0〉 = ⏐b〉⏐b〉


Por linearidade,

U⏐c〉⏐0〉 = 1/√2(U⏐a〉⏐0〉 + U⏐b〉⏐0〉) = 1/√2(⏐a〉⏐a〉 + ⏐b〉⏐b〉)


U⏐c〉⏐0〉 = ⏐c〉⏐c〉 = 1/√2(⏐a〉 + ⏐b〉) ⊗ 1/√2(⏐a〉 + ⏐b〉)


Cópia (Cloning)




U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉 e U⏐b〉⏐0〉 = ⏐b〉⏐b〉


Por linearidade,

U⏐c〉⏐0〉 = 1/√2(U⏐a〉⏐0〉 + U⏐b〉⏐0〉) = 1/√2(⏐a〉⏐a〉 + ⏐b〉⏐b〉)


U⏐c〉⏐0〉 = ⏐c〉⏐c〉 = 1/√2(⏐a〉 + ⏐b〉) ⊗ 1/√2(⏐a〉 + ⏐b〉)

= ½ (⏐a〉⏐a〉 + ⏐a〉⏐b〉 + ⏐a〉⏐b〉 + ⏐b〉⏐b〉)50Tuesday, November 20, 2012

Cópia (Cloning)




U⏐a〉⏐0〉 = ⏐a〉⏐a〉 e U⏐b〉⏐0〉 = ⏐b〉⏐b〉


Por linearidade,

U⏐c〉⏐0〉 = 1/√2(U⏐a〉⏐0〉 + U⏐b〉⏐0〉) = 1/√2(⏐a〉⏐a〉 + ⏐b〉⏐b〉)


U⏐c〉⏐0〉 = ⏐c〉⏐c〉 = 1/√2(⏐a〉 + ⏐b〉) ⊗ 1/√2(⏐a〉 + ⏐b〉)

= ½ (⏐a〉⏐a〉 + ⏐a〉⏐b〉 + ⏐a〉⏐b〉 + ⏐b〉⏐b〉)Contradição!!

alalalalalalalalalal


Probabilidade?

P01=P10=0, P00=P11=1 computa identidadeP01=P10=1, P00=P11=0 computa um NOTP01=P10=P00=P11=0.5 resulta 0 e 1 aleatoriamente

a=0 ou 1

ƒ:{0,1}→{0,1}

b=0 ou 1


Probabilidade?Suponha que ao compor duas destas máquina obtemos uma máquina inversora de 0s e 1s

Como pode? Não me pergunto como, mas posso mostrar que ...


Probabilidade?


Probabilidade?


Probabilidade Quântica


Curiosidade


Curiosidade


Exemplo: Problema de Deutsch’s

Caixa preta Reversível

Caixa preta Quântica

Determinar se uma função f dada é constante ou balanceada.

Dada uma caixa preta computando f :{0,1} →{0,1}

Classicamente precisamos avaliar ambos f(0) e f(1)Quanticamente precisamos apenas avaliar f uma única vez!


Esquematicamente ...

C1C2

soma


Pondo informação na fase


|0� → |0�+ |1�

Algoritmo Quântico para o problema de Deutsch

H H

Paralelismo quântico

Problema de Pesquisa: O que faz computadores quânticos serem tão poderosos?

f constante ⇒ todas as amplitudes em |0〉f balanceada ⇒ todas as amplitudes em |1〉

→ (−1) f (0) (|0〉−|1〉) + (−1) f (1) (|0〉−|1〉)


Beam us up Scotty!

…

How do I do that?

Here´s is the code


Circuito Teleportação

H

H x

y

circuito de criação do Bell State

s

Inverso do circuito de criação do Bell

State


Os detalhes ... (1)Alice que enviar a Bob o estado:

Para tal, qdo estão juntos criam o estado emaranhado:

Bob vai para o lugar dele ...

|ϕ� = α |0�+ β |1�

|β00� =|00�+ |11�√

2


O estado geral do “sistema” é:

Aplicando um CNOT ao qubit de Alice:=

Os detalhes ... (2)

|ψ� = |ϕ� ⊗ |β00� = (α |0�+ β |1�)⊗ |00�+ |11�√2

=α(|000�+ |011�) + β(|100�+ |111�)√

2

|ψ�� = UX |ψ�

=α(UX |000�+ UX |011�) + β(UX |100�+ UX |111�)√

2

=α(|000�+ |011�) + β(|110�+ |101�)√

2


Os detalhes ... (3)Aplicando Hadamard ao primeiro qubit de Alice:

resulta em:

Nao esqueça que Bob está com o terceiro qubit!

|ψ�� = α |0� (|00�+ |11�)√2)

+β |1� (|10�+ |01�)√

2

|ψ�� = H |ψ�� = αH |0� (|00�+ |11�)√2)

+βH |1� (|10�+ |01�)√

2

= α

�|0�+ |1�√

2

�|00�+ |11�√

2+ β

�|0� − |1�√

2

�|10�+ |01�√

2


Os detalhes ... (4)Alice mede seu par de qubits, onde o sistema

reescrito está em:

e Bob pode aplicar (resp.) I, X, Z e ZX ao resultado para obetr o estado original.

Como saber o que aplicar?

|ψ�� = 1

2[|00� (α |0�+ β |1�) + |01� (α |1�+ β |0�) + |10� (α |0� − β |1�) + |11� (α |1� − β |0�)]


Os detalhes ... (5)Alice telefone, etc por um cana clássico a Bob

informando o resultado de sua medição!


Busca Desestruturada de GroverDada uma lista desetruturada de tamanho N e uma proposição P, encontre um x tal que P(x) seja verdadeiro

Seja UP a porta quântica que implementa a função booleana P(x) e n tal que 2n ≥ N.

UP : |x,0> |x,P(x)>

UP operando na superposição de todos os estados da base dá: 1/√2n∑|x,P(x)>

N-1

i=0

Se existe único estado tal que P(x)=1, a probailidade de obter este estado após medição é apenas 1/√2n

Precisamos aumentar isto!!!

(verdadeiro

)



Algoritmo de Shor

• Para fatorar N encontre x coprimo com N.

• Usa computador quântico encontrar r tal que xr = 1 mod N.

• Se r é par, então mcd(xr/2+1, xr/2-1, N) é um fator de N que podemos encontrar com o algoritmo de Euclides.


• Para fatorar N = 1295 seja x coprimo com N, e.g., x = 6.

• Use um computador quântico para encontrar r tal que 6r = 1 mod 1295. r = 4.

• Se r é par, então mcd(64/2-1, 64/2+1, 1295) = mcd(35, 37, 1295) é um fator de N que podemos encontrar com o algoritmo Euclides. 1295 = 5 × 7 × 37.

Algoritmo de Shor (exemplo)





Conclusões

• QC possui grande potencial–Capacidade de um paralelismo exponencial–Capacidade exponencial de armazenamento de dados um espaço extremamente pequeno

• É possível utilizar:–portas lógicas (quânticas) ‏–circuitos lógicos (quânticos) ‏


Conclusões

• Não existe:–PC–Instruções–Barramento

• Possui uma arquitetura completamente nova!!


Conclusões

• São necessários aperfeiçoamentos–Nos instrumentos de indução das transformações (RMN, laser)‏

–Necessidade de controle dos erros (melhorar as formas de isolamento e interação com o sistema quântico) ‏


Conclusões

• Talvez a criação de um PC Quântico seja muito complexa

• Solução: utilizar a computação quântica em componentes de um PC


Meu interesse atual• RAMs quânticas

• Programmable gates arrays

• Redes Neurais Quânticas (sem pesos)

• Quantum Computing + Chaos ==> resolvendo problemas NP-completos em tempo polinomial.

• Modelos discretos da geometria differencial (gravidade quântica) ==> Hypercomputação(?)

• Computação Relativística ==> Hypercomputação!


Referência(por ordem de relevância)

1. Noson S. Yanofsky; Mirco A. Mannucci: Quantum Computing for Computer Scientists. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-87996-5 2. David McMahon: Quantum Computing Explained. Wiley-Interscience, Hoboken, New Jersey, USA, 2008, ISBN 978-0-470-09699-43. N. David Mermin: Quantum Computer Science - An Introduc-tion. Cambridge University Press, New York, USA, 2007, ISBN 978-0-521-87658-24. Alexei Yu. Kitaev, Alexander H. Shen e Mikhail N. Vyalyi: Classical and Quantum Computation. Graduate Studies in


Education

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