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PROF. ALAN CRISPIM CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS NUMÉRICOS

Conjuntos numericos

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Page 1: Conjuntos numericos

PROF. ALAN CRISPIMCONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS

Page 2: Conjuntos numericos

NÚMEROS NATURAISNÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.

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NÚMEROS NATURAIS

A representação matemática deste conjunto é:

IN = {0,1, 2, 3, 4, 5, ... }

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NÚMEROS INTEIROS

Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtração de 3 - 4 era impossível.

A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas.

A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

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NÚMEROS INTEIROS

A representação matemática deste conjunto é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Page 6: Conjuntos numericos

NÚMEROS RACIONAIS

Entretanto...surgiu outro tipo de problema:

“ “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “

Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

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Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar, ou seja, estás a usar alguns elementos do conjunto dos números inteiros

Apartamento 4

Escritórios 3

Cabeleireiro 2

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Page 8: Conjuntos numericos

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro ?2

A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no botão ...

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Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-1

Qual te parece ser o andar do ginásio?

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14 de fevereiro de 201410

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-2

E o andar da garagem?

Page 11: Conjuntos numericos

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem -2

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-3

E o andar das lavagens automáticas?

Page 12: Conjuntos numericos

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem

ser representados numa recta por meio de pontos.

Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.

Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).

Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica.

O r1

+-

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REPRESENTAÇÃO NA RETA

Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.

Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.

+- O +1 +5

A

+- O +1-3

B

Page 14: Conjuntos numericos

REPRESENTAÇÃO NA RETAO número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.

+5A

+- O +1-3

B

A abcissa de A é +5A abcissa de B é -3

A origem tem abcissa zero.

Page 15: Conjuntos numericos

ORDENAÇÃO

Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.

Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.

2 3 4 50 1-1-2-3

Cada vez maior

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ORDENAÇÃO

Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:

2 3 4 50 1-1-2-3

+ 5 > + 2

Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:

+ 2 < + 5

Isto é, se a > b então b < a

• •

Page 17: Conjuntos numericos

ORDENAÇÃODa observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes:

•Qualquer número positivo é maior do que zero.

•Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.

+ 0,012 > 0

0 > - 35

+1 > - 35 + 0,5 > - 100;

•Zero é maior que qualquer número negativo.

Page 18: Conjuntos numericos

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)

Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.

A distância do ponto B à origem é 2.

A distância do ponto A à origem é 3.

2 3

A

4 50 1-1-2

B

-3

2 3

A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.

Page 19: Conjuntos numericos

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)

Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:

Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número.

Portanto, temos ainda que

+3 = 3

-2 = 2

0 = 0

Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:

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NÚMEROS SIMÉTRICOS

Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,

- 4 = 4

Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.

Page 21: Conjuntos numericos

NÚMEROS SIMÉTRICOS

Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto.

Exemplos de números simétricos:

- 0,3 = 0,3- 0,3 e 0,3 porque

1 e - 1 porque 1 = -1

Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:

0 = 0

Page 22: Conjuntos numericos

NÚMEROS SIMÉTRICOSObservação

1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).

Exemplos:

+ 100 > + 40

+ 0,5 > + 0,1

2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).

Exemplos:

- 0,01 > - 10

- 3 > - 50

Page 23: Conjuntos numericos

Números Simétricos

Simplificação da escrita

Na reta também se escreve 1, 2, 3,..., em vez de +1,+2,+3,...

+ (- 8) = - 8+ (+ 8) = + 8

Também:

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Não é obrigatório escrever o sinal +

Page 24: Conjuntos numericos

NÚMEROS SIMÉTRICOS

Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

-2 é maior que - 4 - 2 > - 4

2 é maior que - 1 - 1 é menor que 2

2 > - 1 - 1 < 2

> maior < menor

ou