Deber de matemática 1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

SISTEMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIACARRERA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

NOMBRES Y APELLIDOS:

Carmen Alexandra Paneluisa Paredes

CÉDULA: 0603833989ASIGNATURA: Matemática General INIVEL: Tercero MENCIÓN: Educación Básica LUGAR Y FECHA: Riobamba, Octubre de 2016NOMBRE DEL TUTOR: Hugo Bayardo Simaluisa

Copara

TRABAJO AUTÓNOMO A1

Realice un mapa conceptual de los temas de

1.1. Revisión de Conocimientos1.2. Gráficas de Funciones1.3. Álgebra de Funciones1.4. Composición de Funciones1.5. Función Inversa

SEMANA 1

REVISIÓN DE CONOCIMIENTOS

Función

Definición

Una función es una regla que

Asigna a cada elemento de ,

como máximo un elemento de .

Notación

Se escribe para la única , si es que existe.

De tal modo que esté relacionada con mediante .

Representando el número de salida en el rango de .


Función

Entrada

Variable Independiente

Toma los valores presentes en el dominio de una

función

Salida

Variable Dependiente

Toma valores presentes en el

rango de .

También se llaman valores funcionales.


Función

Dominio

El subconjunto de que consiste en todas

las para las cuales está definida.

Rango (Recorrido)

El conjunto de todos los elementos contenidos

en de la forma , para algunas en .

ALGEBRA DE FUNCIONES

Suma

𝑥2+6 𝑥−1

Diferencia

−1−𝑥2

Producto

𝑥3+8 𝑥2−3 𝑥

Cociente

Si

3 𝑥−1𝑥2+3 𝑥

Si y

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Pueden combinarse

dos funciones

Aplicando primero una función a la

entrada.

Y, luego, la otra función al resultado

de la primera.

La salida 6 se convierte en la entrada de .

𝑓 (6 )=(6 )2=36

FUN

CIÓ

N IN

VERS

A Dado que:

es el número para el cual

Para es el número para el cual

Una función .

Puede indagarse

Si existe una función que

satisfaga: = función Identidad.

TRABAJO AUTÓNOMO A2

Resuelva los problemas del texto base (Haeussler), los siguientes:

• Problemas 2.1 del 5 al 16, 45, 47, 49; • Problemas 2.3 los numerales 3, 7, 20; • Problemas 2.4 los numerales 3, 4 y 6; • Problemas 2.5 los numerales 4, 10, 11, 12, 14 y

18.

PROBLEMAS 2.1 Obtenga el dominio de cada función:

EJERCICIO EXPLICACIÓN

No es posible dividir entre 0. Así que se iguala el denominador a 0 y se resuelve para . Por lo tanto el dominio de consiste en todos los números reales excepto 1. Es decir,

Cualquier número real puede utilizarse como , de modo que el dominio de son todos los números reales.


es un número real si es mayor o igual a cero. Así el dominio de es el intervalo .

EJERCICIO RESOLUCIÓN EXPLICACIÓN

es un número real si es mayor o igual a cero.

Sin embargo, dado que no es posible dividir entre 0. El dominio de es el intervalo .


El dominio de son todos los números reales. Es decir,

El dominio de consiste en todos los números reales excepto (-3). Es decir,

El dominio de consiste en todos los números reales excepto . Es decir,


es un número real si es mayor o igual a cero. Así el dominio de es el intervalo:

El dominio de consiste en todos los números reales excepto . Es decir,

El dominio de consiste en todos los números reales excepto y . Es decir,


Ya que es un número no real.El dominio de consiste en todos los números reales. Es decir,

EJERCICIO RESOLUCIÓN EXPLICACIÓN

El dominio de consiste en todos los números reales excepto y . Es decir,

45. VALOR DE UN NEGOCIO.

Un negocio con un capital original de $ 50.000 tiene ingresos y gastos semanales por $ 7.200 y $ 4.900, respectivamente. Si todas las utilidades se conservan en el negocio, exprese el valor de del negocio al final de semanas como una función de .

Explicación:

Resolución:

47. FUNCIÓN DE UTILIDAD.

Cuando se venden q unidades de cierto producto (q es no negativa), la utilidad está dada por la ecuación . ¿Es una función de ? ¿Cuál es la variable dependiente y cuál la independiente?

, por ende sí es una función de .

Explicación: P (utilidad) es la variable dependiente y q (unidades) es la independiente, ya que no se puede determinar la utilidad sin conocer la cantidad de productos vendidos.

49. FUNCIÓN DE OFERTA.

Suponga que la función de oferta semanal por una libra de café casero en un local de venta de café es , donde es el número de libras de café que se ofrecen por semana. ¿Cuántas libras de café a la semana deben ofrecerse si el precio es de $ 8,39 por libra? ¿Cuántas libras de café a la semana deben ofrecerse si el precio es de $ 19,49 por libra? ¿Cómo cambia la cantidad ofrecida conforme se incrementa el precio?

Explicación: En base a esto se puede observar que la cantidad de libras de café ofrecida aumenta conforme se incrementa el precio.

PROBLEMAS 2.3 Si y , encuentre lo siguiente:

RESOLUCIÓN DEL

PROBLEMAEXPLICACIÓN

(a) En este caso, la suma entre funciones se realiza de igual forma a una suma normal entre polinomios.

(b) La resta entre funciones se realiza de igual forma a una resta normal entre polinomios.

RESOLUCIÓN DEL


(c) Teniendo en consideración la expresión obtenida en el literal anterior, se sustituye en y se resuelve la ecuación.

La división entre funciones se realiza de igual forma a una división entre polinomios, sin embargo, para un resultado más eficaz es recomendable tener en cuenta reglas de factorización.

RESOLUCIÓN DEL


(d) La multiplicación entre funciones se realiza de igual forma a una multiplicación entre polinomios.

Teniendo en consideración la expresión obtenida en el inciso e), se sustituye en y se resuelve la ecuación.

RESOLUCIÓN DEL


(g) En este caso, los valores de la función vienen a sustituir los valores de en la función . En otras palabras, sustituye a en .

(h) En este caso, los valores de la función vienen a sustituir los valores de en la función . En otras palabras, sustituye a en .

RESOLUCIÓN DEL


(i)

Para resolver este ejercicio, primero, se determina el valor de la función .

Luego, se sustituye el valor obtenido en . Ya que de esta forma la resolución del ejercicio resulta más fácil de comprender.

7.1. Si y . Encuentre:

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EXPLICACIÓN

Los valores de la función sustituyen los valores de en la

función . Es decir, sustituye a

en .

Los valores de la función sustituyen los valores de en la

función . Es decir, sustituye a

en: .

20. SOCIOLOGÍA.

Se han hecho estudios concernientes a la relación estadística entre posición social, educación e ingresos de una persona. Sea S un valor numérico de la posición social con base en el ingreso anual I. Para cierto tipo de población suponga: . Además suponga que el ingreso I de una persona es una función del número de años de educación E, donde: . Determine . ¿Qué describe esta función?

EXPLICACIÓN: Si se reemplaza por tenemos que es igual a y por consiguiente a Ya que no podemos dar solución a sin conocer .

DESCRIPCIÓN: Esta función describe o hace referencia a la posición social en la que una persona se encuentre y obviamente en base a esta se podrán conocer tanto los ingresos como los egresos de esta.

PROBLEMAS 2.4 Encuentre la inversa de la función

dada:EJERCICIO EXPLICACIÓN

Ya que , se sustituye por y se despeja

.

Luego, se reemplaza por y por ,

obteniendo como resultado:


Ya que , se sustituye por y se despeja . Luego, se reemplaza por y por , obteniendo como resultado:

Siempre que no sea un número negativo.

Suponiendo que , se sustituye por y se despeja . Una vez obtenido el resultado, se reemplaza por y por , obteniendo:

PROBLEMAS 2.54. En la figura se muestra la gráfica de :

Estime y ¿Cuál es el dominio de ?¿Cuál es el rango de ?¿Cuál es una intersección de ?

EXPLICACIÓN: Según la gráfica: y . El dominio de son todos los

números reales positivos.

Mientras el rango de consiste en todos los números reales dentro del intervalo . El punto (2, 0) es una intersección x de .

Determine las intersecciones de la gráfica de cada ecuación y bosqueje la gráfica. Con base en la gráfica que realice ¿es una función de x?, si es así, ¿es una función uno a uno?, ¿cuál es su dominio y cuál es su rango?

La intersección es .

Si es una función de x.Es una función uno a

uno.El dominio de son todos

los números reales.Y el rango de también son todos los números

reales. Es decir,

Las intersecciones son:

Si es una función de x.Es una función uno a uno.

El dominio de son todos los números reales.Y el rango de también son todos los números reales.

Es decir,

En este caso no hay intersecciones ya que si x o y son iguales a 0 no

se puede resolver la ecuación.Aunque, si es una función de x.No es una función uno a uno.

El dominio de son todos los números reales, excepto 0.

Y el rango de también son todos los números reales, excepto 0.

Es decir,

Intersecciones:

Si es una función de x. Pero no es una función uno a uno.El dominio de son todos los números reales.

Y el rango de son todos los números reales dentro del rango .

La intersección es .

Si es una función de x, también es una función uno a uno.

El dominio de son todos los números reales.

Y el rango de también son todos los números reales.

Es decir, ..

TRABAJO AUTÓNOMO B1


1.6. Funciones Polimoniales1.7. Función Lineal1.8. Ecuaciones de la Recta1.9. Condiciones de paralelismo y

perpendicularidad1.10. Aplicaciones en la Administración

SEMANA 2

FUNCIONES ESPECIALES

Función Constante

Función de la forma ,

= constante

Función Polinomial

Función de la forma

= grado del polinomio,

= constante, = coeficiente

principal,

𝑓 (𝑥 )=3 𝑥2−8 𝑥+9

Función Lineal

Si y solo si puede escribirse en la forma:

Donde y son constantes y .

La gráfica es una recta que

no es vertical ni horizontal.

ECUA

CIO

NES

DE

LA R

ECTA

Forma Punto -

Pendiente

Ecuación de la recta que pasa por y tiene pendiente . 𝑦− 𝑦1=𝑚 (𝑥−𝑥1 )

Forma Pendiente - Intersección

Ecuación de la recta con pendiente e intersección

igual a .

Forma Lineal General

Toda línea recta es la gráfica de una

ecuación la forma:

Donde , y son constantes.

y no son ambas iguales a 0.

Rectas Verticales y Horizontales

Los ejes y son las rectas horizontal

y vertical, respectivamente.

Recta vertical:

Recta horizontal:

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelos si y sólo si tienen la misma pendiente, o si ambas son verticales.

Cualquier recta es paralela a sí misma.

Rectas Perpendiculares

Dos rectas con pendientes y son perpendiculares si y solo si

Cualquier recta vertical y cualquier recta horizontal son

perpendiculares entre sí.

APLICACIONES EN LA ADMINISTRACIÓN

Ecuación de Demanda

Para cada nivel de precio de un

producto existe una cantidad

correspondiente de ese producto que los

consumidores demandarán

durante algún período.

A mayor precio la cantidad

demandada es menor; cuando el precio baja la

cantidad demandada es

mayor.

Ecuación de Oferta

Como respuesta ante diferentes precios, existe una cantidad correspondiente de artículos que los productores están dispuestos a suministrar

durante algún periodo.

A mayor precio mayor la cantidad que se dispone surtir;

cuando el precio baja, la cantidad suministrada también.


Costos

Costo TotalEs la

suma de los

costos totales

variables y los

costos totales fijos.

Costos Fijos

Aquellos que bajo condicione

s normales no

dependen del nivel de producción.

Permanecen

constantes

durante todos los niveles de

producción.

Costos Variables

Aquellos que

varían con el

nivel de producci

ón.


Utilidad

Diferencia entre el ingreso total recibido por q unidades y el

costo total de q unidades.

La utilidad es igual al ingreso total menos el

costo total. Si la unidad es negativa,

entonces se tendrá pérdida.

Si el ingreso total es mayor al costo total resulta en utilidad, cuando

ambos están relacionados de

forma lineal.

Punto de Equilibrio

Punto donde las curvas de demanda y oferta de un producto

se intersecan, si se representan en el mismo plano de

coordenadas.

En el que el ingreso total es igual al costo

total. Cuando los niveles de producción y de ventas resultan en 0 pérdidas y 0

utilidades.

TRABAJO AUTÓNOMO B2


• Problemas 2.2: numerales 3, 4, 6, 8, 11, 12, 19, 21, 32;

• Problemas 3.1: numerales 9, 10, 13, 17, 21, 27, 32, 51, 55, 63;

• Problemas 3.2 los numerales 21, 24, 25, 33.

PROBLEMAS 2.2 Determine si la función dada es una

función polinomial:


No es una función polinomial. Como y el exponente para es un entero negativo, esta función no tiene la forma propia de las funciones polinomiales.

Es un función polinomial de grado 3 con

coeficiente principal 3.

Determine si la función dada es una función racional:


Es una función racional, ya que el numerador, también puede escribirse como , por lo que tanto el numerador como el denominador son funciones polinomiales. Sin embargo, la función racional no está definida para .

Es una función racional, ya que el numerador, también puede escribirse como . Por lo que, tanto el numerador como el denominador son funciones polinomiales. Aunque la función racional no está definida para .

Determine el dominio de cada función:


Ya que , el dominio de consiste en todos los números reales. Es decir, .

Ya que , el dominio de consiste en todos los números reales dentro del intervalo .

Determine los valores funcionales de cada función:


EJERCICIO

EXPLICACIÓN

32. INVERSIÓN.

Si un capital se invierte a una tasa de interés simple anual durante años, exprese la cantidad total acumulada del capital y del interés como una función de . ¿Su resultado es una función lineal de .

EXPLICACIÓN:

RESOLUCIÓN: Si es una función lineal de , ya que ambas ecuaciones cumplen con la forma .

9. Pasa por y tiene pendiente

EXPLICACIÓNUtilizando una forma punto-pendiente con

y podemos dar solución a .

PROBLEMAS 3.1 Encuentre una ecuación lineal general de la

recta que tiene las propiedades indicadas y haga el bosquejo de cada resta.

10. Pasa por el origen y tiene pendiente 75

EXPLICACIÓNUtilizando una forma punto-pendiente con y se da

solución a .

x

13. Pasa por y

EXPLICACIÓN

Es este caso, primero se debe determinar la pendiente de la resta a partir de los puntos dados. Para luego sustituir la pendiente y uno de los puntos dados en la forma punto-pendiente:

17. Tiene pendiente 2 y su intersección es 4

EXPLICACIÓN:Utilizando la forma pendiente intersección Entonces, la pendiente es el coeficiente de y la intersección es la constante.

Siendo y .

21. Es horizontal y pasa por

Si

EXPLICACIÓN:Los ejes y son rectas horizontal y vertical, respectiva-mente. Una ecuación de la recta horizontal que pasa por es .

Encuentre, si es posible, la pendiente y la intersección y de la resta determinada por la ecuación y haga el bosquejo de la gráfica.

EXPLICACIÓN:Utilizando la forma pendiente intersección Entonces, la pendiente es el coeficiente de y la intersección es la constante .

Pendiente e intersección

EXPLICACIÓN:

Utilizando la forma pendiente intersección

Entonces, la pendiente es el coeficiente de y la intersección es la constante .

Encuentre una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas. Si es posible, dé la respuesta en forma pendiente-intersección.

51. Pasa por y es paralela a

EXPLICACIÓN:La pendiente de es

4. Por lo tanto, la recta que pasa por y que

es paralela a , también tiene pendiente 4.

55. Es perpendicular a y pasa por

EXPLICACIÓN:La pendiente de es 3. la pendiente de la resta perpendicular a esta debe ser (recíproco negativo de 3).

Se emplea la forma punto-pendiente.

63. ACCIONES

En 1996, las acciones de una compañía productora de hardware se cotizaron en $ 37 por acción. Sin embargo, en 2006 la compañía empezó a tener problemas y el precio de las acciones a cayó a $ 8 por acción. Dibuje una recta que muestre la relación entre el precio por acción y el año en que se comercializó para el intervalo de tiempo [1996 , 2006], con los años en el eje y el precio en el eje . encuentre una interpretación para la pendiente.

EXPLICACIÓN:

Así tenemos la función . Por lo que, sólo queda saber en

cuanto disminuye anualmente el valor de cada acción.

63. ACCIONES

RESOLUCIÓN GRÁFICA

INTERPRETACIÓN: El precio de cada acción disminuye en un promedio de $ 2,90

por año.

(2006 , 8)

(1996 , 37)

𝒚=−𝟐 ,𝟗 𝒙+𝟑𝟕

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

21. TARIFAS DE ELECTRICIDAD

Una compañía de electricidad cobra a clientes residenciales 12,5 centavos por kilowatt-hora más un cargo base mensual. La factura mensual de un cliente asciende a $ 51,65 por 380 kilowatt-hora.

Encuentre una función lineal que describa el monto total por concepto de electricidad si es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes.

PROBLEMAS 3.2

21. TARIFAS DE ELECTRICIDAD.

EXPLICACIÓN RESOLUCIÓN

Así tenemos la función .

Por lo que, sólo queda encontrar el valor del cargo base mensual .

24. DEPRECIACIÓN

Una televisión nueva se deprecia $ 120 por año y tiene un valor de $ 340 después de cuatro años. Encuentre una función que describa el valor de esta televisión si es la edad del aparato en años.

EXPLICACIÓN: La valor de depreciación de un televisor es igual al valor original del televisor – (la depreciación anual ($ 120) por el la edad de dicho aparato).

RESOLUCIÓN:

25. APRECIACIÓN

Una casa se vendió en $ 1’183.000 seis años después de que se construyó y compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $ 53.000 por año mientras ellos fueran los propietarios.

Encuentre una función lineal que describa la apreciación del edificio, en miles, si es el número de años de la compra original.

25. APRECIACIÓN


.

Así tenemos la función en miles de dólares.

Por lo que, sólo queda encontrar el valor adicional con que se vendió.

33. PSICOLOGÍA

En cierto experimento de aprendizaje que involucra repetición y memoria, se estimó que la proporción de elementos recordados se relaciona linealmente con un tiempo de estudio efectivo (en segundos) donde está entre 5 y 9. Para un tiempo de estudio efectivo de 5 segundos, la proporción de elementos recordados fue de 0,32. Por cada segundo más en el tiempo de estudio, la proporción recordada aumentó en 0,059.

(a)Encuentre una ecuación que dé en términos de .(b)¿Qué proporción de elementos se recordará en 9

segundos de tiempo efectivo de estudio?

33. PSICOLOGÍA


.

Así tenemos la función .

Por lo que, sólo queda encontrar la proporción adicional aprendida .

TRABAJO AUTÓNOMO C1


1.11. Sistemas de Ecuaciones Lineales1.12. Métodos de Resolución

SEMANA 3

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

CON DOS VARIABLES

Conjunto de ecuaciones, un sistema de dos ecuaciones

lineales en las variables y .

El paso de un sistema a otro equivalente se logra mediante:

Intercambio de dos

ecuaciones.

Multiplicación de una ecuación por

una constante distinta a 0.

Reemplazo de una ecuación por sí misma

más un múltiplo de otra ecuación.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR ADICIÓN

Se obtiene un sistema equivalente en el que no aparezca

en una ecuación.

Los coeficientes

de los términos en , sean

iguales salvo por el signo.

Ambos lados de la

ecuación son iguales.

Así cada lado puede

sumarse a su corres-

pondiente.

Esto resulta en una sola

variable.

Al reemplazar

en la ecuación, se obtiene

la variable .

Culminando en un

sistema equivalente al original.

Aunque se eligió

eliminar primero ,

pudo haberse hecho lo mismo para .

Mediante un proceso

similar.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN

Se despeja una de las

dos variables en una de las ecuaciones.Sustituyen

do dicha ecuación

por el sistema

equivalente

resultante.

Se reemplaza la variable

despejada en la ecuación restante.Y se

despeja la variable restante, obteniend

o una solución para el sistema original.

Si las ecuaciones

tienen pendientes similares

pero interseccione

s distintas.

Podrían ser rectas paralelas

diferentes, pudiendo no existir

una solución para el sistema original.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

CON TRES VARIABLES

Un sistema de ecuación con tres variables x, y, z; es una ecuación que tiene la

forma

Donde A, B, C y D son

constantes, A, B y C no son todas 0.

Representa geográficam

ente un plano en el

espacio.

Una solución a este

sistema es la

intersección de los planos.

Su resolución también

puede darse por los

métodos antes

observados.

FAMILIA DE SOLUCIONES CON UN PARÁMETRO

Cuando una de las ecuaciones solo cuenta con dos de las tres variables, y , siendo

la tercera variable el parámetro.

En esta ecuación, se despeja la variable .

Se sustituye en las

ecuaciones restantes.

De ser iguales, se elimina una

de ellas.

Se obtiene un sistema equivalente

de dos ecuaciones.

Se expresan tanto como en términos

de .

De no haber restricciones

para .

Al ser , donde r es cualquier

número real.

Pueden existir un número

infinito de soluciones.

FAMILIA DE SOLUCIONES CON DOS PARÁMETROS

Este puede ser un sistema de dos ecuaciones con tres variables , y .

Se elimina en una de las

ecuaciones.

Al multiplicarla por una

constante y luego sumarla o restarla con

la otra ecuación.

Si ambas ecuaciones son iguales.

Puede eliminarse

una de ellas.

Se despeja de la

ecuación restante.

Al no haber restriccione

s para o .

Al ser , y , cualquier

número real.

Pueden existir un número infinito de soluciones.

TRABAJO AUTÓNOMO C2


• Problemas 3.4 los numerales 15,16, 21, 25, 28.

PROBLEMAS 3.4 Resuelva los sistemas

algebraicamente:

EJERCICIO

EXPLICACIÓNAl despejar en la segunda ecuación, , por lo que si se sustituye este valor en las otras dos ecuaciones queda:

Consecuentemente tenemos:

Ahora, si despejamos en la primera ecuación tenemos:

EJERCICIO

Si reemplazamos en la tercera ecuación tenemos:

Una vez obtenido el valor de, podemos encontrar el valor de :

Así, obtenidos los valores de y , podemos regresar a la segunda ecuación y obtener el valor de :

Entonces:

EJERCICIO

EXPLICACIÓN

Al despejar en la primera ecuación, , por lo que si se sustituye este valor en las otras dos ecuaciones queda:


EJERCICIO

Ahora, si despejamos en la segunda ecuación tenemos: Así, obtenidos los valores

de y , podemos regresar a la primera ecuación y obtener el valor de :Si reemplazamos

en la tercera ecuación tenemos:

Una vez obtenido el valor de,

podemos encontrar el valor de :

EJERCICIO

EXPLICACIÓN

Al despejar en la primera ecuación, , por lo que si se

sustituye este valor en las otras dos ecuaciones queda:


Como la segunda y tercera ecuación son iguales, se elimina

una de ellas, quedando un sistema equivalente de dos ecuaciones:

Resolviendo la segunda ecuación para , resulta:

EJERCICIO

Si expresamos a en términos de :

Por lo tanto se tiene:

Como no hay restricciones sobre , podría existir una familia

de soluciones paramétricas.

Haciendo , se tienen la siguiente familia de

soluciones:

Donde r puede ser cualquier número real, dando un número

infinito de soluciones.

25. MEZCLA.

Un fabricante de productos químicos desea surtir un pedido de 800 galones de una solución de ácido al 25%. En existencia tiene soluciones al 20% y 35%. ¿Cuántos galones de cada solución debe mezclar para surtir el pedido?

EXPLICACIÓN Solución Ácida A

Solución Ácida B

Total requerido

Cantidad x y 800% Ácido 20% 35% 25%

25. MEZCLA.

Ya que requerimos 800 galones de solución 25%, pero solo

contamos con soluciones al 20% y 35%, se tiene el siguiente

sistema:

Si multiplicamos la primera ecuación por tenemos:

Dado que las dos ecuaciones poseen componentes similares podemos sumarlas y obtener:

Resultando el sistema equivalente:

25. MEZCLA.

Al reemplazar en la segunda ecuación, se obtiene:

Así el sistema original es equivalente a:

Por lo que, para surtir el pedido se deben mezclar

533,33 galones de solución ácida al 20% y 266,67 galones

de solución ácida al 35%.

28. IMPUESTO

Una compañía tiene ingresos gravables por $ 758.000. El impuesto federal es 35% de la parte restante después que el impuesto estatal ha sido pagado. El impuesto estatal es 15% de la parte restante después que el federal ha sido pagado. Determine los impuestos federal y estatal.

EXPLICACIÓN

En base a lo expresado en el cuadro anterior, se supone:

Si ordenamos los términos queda:

ImpuestoFederal xEstatal y

28. IMPUESTO

Entontes, si multiplicamos la segunda ecuación por :

Como ambas ecuaciones poseen términos semejantes se suma o se

resta quedando:

De donde resulta equivalente:

Al reemplazar en la primera ecuación se obtiene:

Así el sistema original es equivalente a:

Por lo que, el impuesto federal es igual a $ 338 000 y el

impuesto estatal es de $ 78 000.

TRABAJO AUTÓNOMO D1


1.13. Matrices1.14. Suma de Matrices1.15. Multiplicación por un escalar1.16. Sustracción de Matrices1.17. Multiplicación de Matrices

SEMANA 4

MATRICES

Definición

Un arreglo rectangular de números que

consiste en renglones y columnas.

[ 𝐴11 ⋯ 𝐴1𝑛

𝐴12⋮

……

𝐴2𝑛⋮

𝐴𝑚1 ⋯ 𝐴𝑚𝑛]

Tamaño

El tamaño de es de x , por lo que se conoce

como: Matriz de x .

Tiene un tamaño de1 x 3.

MATRICES

Construcción

Para la entrada , el subíndice del renglón es y el subíndice de la columna es .

Si es de y , entonces

Vector Renglón

Matriz que tiene exactamente

un renglón.

𝐴= [1 7 12 ]

Vector Columna

Matriz que consiste en una sola columna.

𝐵=[ 15−29 ]

MATRICES

Igualdad

Dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo

tamaño:

Transpuesta

La traspuesta de una matriz de , es la matriz de cuyo -ésimo renglón es la -ésima

columna de .

MATRICES ESPECIALES

Matriz Cero

Matriz de m x n cuyas entradas son todas 0,

se denota .

0=[0 0 00 0 0]

Matriz Cuadrada

Matriz que posee igual número de renglones y

columnas, .

Matrices que desempeñan funciones importantes en

la teoría de matrices.

MATRICES ESPECIALES

Diagonal Principal

Se constituye por las entradas que están sobre la diagonal extendida desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha.

[1 5 92 6 73 8 4 ]

Matriz Diagonal

Matriz cuadrada donde todas las entradas que se

encuentran fuera de la diagonal principal son 0.

[1 00 1 ][3 0 0

0 7 00 0 5 ]

MATRIZ TRIANGULAR

M. Triangular Superior

Matriz cuadrada donde todas las entradas debajo de la diagonal principal son 0.

[5 1 30 2 70 0 1]

M. Triangular Inferior

Matriz cuadrado donde todas las entradas arriba de la diagonal principal son 0.

[1 0 02 5 03 6 9]

SUMA DE MATRICES

Definición

es la matriz de que se obtiene al sumar las

entradas correspondientes de y .

Tamaño

Si el tamaño de es diferente al de , entonces

no está definida.

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Definición

Al multiplicar un número real por cada entrada de una matriz se

obtiene una matriz de .

Denominación

se denomina múltiplo

escalar de .

En el contexto de las

matrices, los números

reales suelen denominarse escalares.

𝑘=3 𝐴=[9 62 5 ]𝑘𝐴=[3 (9 ) 3 (6 )

3 (2 ) 3 (5 )]=[27 186 10 ]

SUSTRACCIÓN DE MATRICES

Definición

En términos de la suma de matrices: Si y

tienen el mismo tamaño, entonces quiere decir

Denominación

Si es cualquier matriz, entonces el múltiplo

escalar se escribe como y se denomina negativo

de .

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Puede definirse el producto de las matrices y bajo ciertas

circunstancias.

1. El número de columnas de debe ser igual al número de renglones de .

De lo contrario no está definida.

2. El producto tendrá tantos

renglones como y tantas

columnas como .

3. El producto hace referencia al factor izquierdo

y al factor derecho , en ese

orden.

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Vector de Costos

Representa los precios

(por unidad) para los

productos (, , ).

𝐴 𝐵 𝐶𝑃= [2 3 4 ]

Si las cantidades (en unidades) de

, , que se compran están dadas por un

vector columna.

𝑄=[ 7511]𝐴𝐵𝐶

Entonces, el costo total de las compras

está dado por la entrada en el

vector de costos.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Propiedad Asociativa

Se puede calcular de dos maneras.

Agrupando BC

Agrupando AB

𝐴 (𝐵𝐶 )= ( 𝐴𝐵)𝐶

Propiedad Distributiva

Si al lado izquierdo tiene .

Y al derecho tiene .

Queda verificar si ambos lados son

iguales.

𝐴 (𝐵+𝐶 )=𝐴𝐵+𝐴𝐶

MATERIA PRIMA Y COSTOS

Si un contratista ha aceptado pedidos de materia prima

para diferentes tipos de casas.

Estos pedidos se pueden representar

en un vector renglón.

𝑅 𝑀 𝐶𝑄=[5 7 12 ]

Si las materias primas (MP) a emplearse son de distintos

tipos. Cada unidad de MP que se utiliza en cada tipo de casa puede representarse en una

matriz.

𝐴𝑐 𝑀𝑎𝑑𝑉𝑖𝑑 𝑃∫¿𝑀𝑂

T=𝑅𝑀𝐶 [5 207 186 25

16 7 1712 9 218 5 13 ]

Renglón: Cantidad de MP

necesaria para un tipo dado de cada.

Columna: Cantidad que se requiere de una

MP dada para cada tipo de casa.

MATERIA PRIMA Y COSTOS

Si el contratista desea saber:

La cantidad de cada MP necesaria para

satisfacer todos sus pedidos.

Deberá obtener el producto .

Los costos que deberá pagar por estos materiales.

Podrá utilizar un vector columna

de costos .

Y obtener el producto .

El costo total de la MP para todas

las casas.

Requerirá el producto

POTENCIA DE UNA MATRIZ

Si es una matriz cuadrada puede hablarse de una potencia de

La -ésima potencia de , , es el producto de

factores de .

𝐴𝑝=𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴⋯ 𝐴

Si es de tamaño , se

define Se hace notar

que .

TRABAJO AUTÓNOMO D2


• Problemas 6.2 los numerales 41, 42, 46.• Problemas 6.3 los numerales 20, 23, 60, 62, 64.

41. PRODUCCIÓN.

Una compañía de partes automotrices fabrica distribuidores, bujías y magnetos en dos plantas, I y II. La matriz representa la producción de las dos plantas para el minorista X y la matriz representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total alcanzada en las dos plantas para ambos minoristas, donde:

PROBLEMAS 6.2

41. PRODUCCIÓN.

Para determinar la producción total alcanzada por ambas plantas, se debe sumar la producción total efectuada para ambos minoristas, es decir sumar la matriz y la matriz , con lo que se obtiene:

Equivalente a:

42. VENTAS.

Sea la matriz que representa las ventas (en miles) de una compañía de juguetes para tres ciudades, en 2007, y sea la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades en 2009, donde

Si la compañía compra a un competidor y en 2010 duplica las ventas que consiguió en 2009, ¿cuál es el cambio de ventas entre 2007 y 2010?

42. VENTAS.

Para determinar la diferencia de ventas entre 2007 y 2010 debemos conocer cuanto se vendió en 2010, es decir 2B:

Y, luego, restar , así:

Con lo que se observa un incremento de:

Calcule las matrices dadas si:

EJERCICIO

EXPLICACIÓNPara calcular la expresión dada , primero se reemplazan las matrices por sus valores correspondientes:

EJERCICIO

Primero, se resuelve lo que está dentro del paréntesis empezando por el producto , y luego la suma , obteniendo:

Al multiplicar por el resultado de se tiene:

Para finalizar se suma este resultado a la matriz C, quedando:

EJERCICIO

EXPLICACIÓNComo la primera matriz es de 3 x 2 y la segunda matriz es de 2 x 2, el producto tendrá un tamaño de 3 x 2. Para lo cual, se desplaza simultáneamente el dedo índice izquierdo a lo largo de los renglones de y el dedo índice derecho a lo largo de las columnas de , determinando las siguientes entradas.

Con esto, se obtiene:

PROBLEMAS 6.3 Realice las operaciones indicadas:

EJERCICIO

EXPLICACIÓNComo la primera matriz es de 3 x 3 y la segunda matriz es de 3 x 3, el producto tendrá un tamaño de 3 x 3. Así:

Con esto, se obtiene:

Represente el sistema dado por medio de la multiplicación de matrices:

EJERCICIO

EXPLICACIÓN: Si suponemos que:

El producto debe tener un tamaño de 3 x 1 , ya que la matriz es de 3 x 3 y la matriz es de

3 x 1. Así, al resolver la operación en base a los términos antes observados, se determina:

Con lo que se comprueba la hipótesis. Entonces, si suponemos

que este producto da como resultado la matriz , se tiene:

EJERCICIO

Así, al resolver la operación en base a los términos antes observados, se determina:

Con lo que se comprueba la hipótesis. Entonces, si suponemos que este producto da como resultado la matriz , se tiene:

62. MENSAJES SECRETOS.

Los mensajes secretos pueden codificarse por medio de un código y una matriz de codificación. Suponga que se tiene el código siguiente:

Sea la matriz de codificación. Entonces es posible codificar un mensaje al tomar cada vez dos letras del mensaje, convertirlas a sus números correspondientes para crear una matriz de y luego multiplicar cada matriz por . Utilice este código para codificar el mensaje en inglés: “play/it/again/ sam”, dejando las diagonales para separar las palabras.

a b c d e f g h i j k l m1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

n o p q r s t u v w x y z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26


EXPLICACIÓN:Como cada matriz debe ser de

2 x 1, se determinó que:

A fin de poder separar las palabras codificadas con

diagonales.

Además, si damos a estas matrices el nombre de y tenemos en consideración que para obtener el producto , el número de columnas de debe ser igual al número de renglones de , pero al no ser así, no es posible de obtener, aunque si es posible. Por lo que, como es de 2 x 2 y es de 2 x 1, se obtiene un producto de 2 x 1.


Entonces,

Por lo que el mensaje codificado sería:

Play / it / again / sam

64. ACCIONES.

Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los precios por acción A, B, C y D son $ 100, $ 150, $ 200 y $ 300, respectivamente.

• Escriba un vector renglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo.

• Escriba un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo.

• Utilizando la multiplicación de matrices, encuentre el costo total de las acciones.

64. ACCIONES.

Si suponemos que: la matriz representa el número de acciones compradas, la matriz representa el precio de cada acción y el costo total de las acciones, tenemos:

Como es de 1 x 4 y de 4 x 1, será de 1 x 1, así:

Por lo que el valor total de las acciones es de $ 240.000.

TRABAJO AUTÓNOMO E1


1.18. Resolución del SEL mediante la reducción de Matrices.

1.19. Determinante de una matriz cuadrada.1.20. Matriz Inversa.

SEMANA 5

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA MEDIANTE LA REDUCCIÓN DE

MATRICES

Al reescribir el sistema de modo que las variables estén alineadas y los

términos constantes aparezcan en los lados derechos de las ecuaciones.Se

escribe el

sistema en

forma de

matriz aumentada.

La cual se

reduce, al

aplicar operaciones elementales.

Donde la

última matriz reduci

da satisface a

todas las

ecuaciones.

De no ser así,

el sistem

a origina

l no tiene

solución.

MATRIZ DE COEFICIENTES AUMENTADA

Matriz de Coeficientes

En la primera

columna, las

entradas correspon-den a

los coeficien

tes de las x en

las ecuacion

es.

En forma análoga,

las entradas

en la segunda columna correspon-den a

los coeficien

tes de las y.

Matriz Aumentada

Las primeras columna

s correspon-den a

las columna

s, respectiva-mente,

de la matriz

de coeficien

tes.

Las entradas

en la tercera

columna correspon-den a

los términos constant

es del sistema.

OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE

RENGLONESAl reemplazar sucesivamente

el sistema original por otro

equivalente.

El cual se obtiene al

realizar una de las tres

operaciones elementales.

Intercambio de dos renglones de

una matriz.

𝑅𝑖↔𝑅 𝑗

Multiplicar un renglón de una matriz por un

número distinto de 0.

𝑘 𝑅𝑖

Sumar un múltiplo de un renglón de una

matriz a un renglón diferente de esta matriz.

𝑘 𝑅𝑖+𝑅 𝑗

MATRIZ REDUCIDA

Cuando una matriz cumple con todas las afirmaciones siguientes:

Todos los renglones 0 están en

la parte inferior de la matriz.

Para cada renglón

diferente de 0, la entrada principal

es 1 y todas las

otras entradas

en la columna donde

aparece la entrada principal

son 0.

La entrada principal en cada renglón está a la derecha

de la entrada principal

de cualquier renglón que este arriba de

él.

𝐸=[1 00 1

::12]

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

De Orden 2

Dado el sistema

{𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒𝑐𝑥+𝑑𝑦= 𝑓

[𝑎 𝑏𝑐 𝑑] [𝑥𝑦 ]=[𝑒𝑓 ]

División de determinantes


De Orden 3

Dado el sistema

{𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧= 𝑗𝑑𝑥+𝑒𝑦+ 𝑓𝑧=𝑘𝑔𝑥+h𝑦+𝑖𝑧=𝑙

[𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 h 𝑖 ] [

𝑥𝑦𝑧 ]=[ 𝑗𝑘𝑙 ]

División de determinantes


Regla de Cramer

Sea el determinante de la

matriz de coeficientes.

[𝑎11𝑎21⋮𝑎𝑛1

𝑎12𝑎22

⋯…

𝑎1𝑛𝑎2𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

]Todo sistema de Cramer tiene una sola solución.

Dada por las expresiones:

𝑥1=∆1∆

𝑥2=∆2∆

𝑥3=∆3∆

𝑥𝑛=∆𝑛

∆

USO DE LA INVERSA PARA RESOLVER UN SISTEMA

En la forma matricial se tiene

.

= Matriz de coeficientes, = Variables, = Términos constantes.

Se debe cumplir con dos requisitos.

1. El sistema debe tener el mismo

número de ecuaciones que de incógnitas.

2. La matriz de coeficientes, ,

debe ser invertible.

Para resolver el sistema.

Se multiplica la matriz inversa

por las constantes del

sistema, .

𝑋=𝐴−1𝐵

DETERMINACIÓN DE UNA MATRIZ INVERSA

Debe tenerse en consideración los teoremas antes vistos.

A la matriz se le aumentará la

matriz identidad , del tamaño de .

Así si es de e es de , la matriz

será de .

Se aplicarán operaciones

elementales a toda la matriz.

Hasta que las primeras

columnas formen una matriz reducida.

Si el resultado es ,

entonces, es invertible.

Las últimas columnas se transformará

n de a

TRABAJO AUTÓNOMO E2


• Problemas 6.4 los numerales 23, 31.• Problemas 6.6 los numerales 29, 42.

PROBLEMAS 6.4 Resuelva los sistemas por el método de reducción:

EJERCICIO

EXPLICACIÓNAl multiplicar la tercera ecuación

por se obtiene Si se suman estos términos a los correspondientes de la segunda ecuación, se obtiene un sistema

equivalente en el que tanto como se eliminan de las

segunda ecuación.

EJERCICIO

Ahora, si dividimos la segunda ecuación para tenemos:

Conocido el valor de , podemos reemplazarlo en la tercera y cuarta ecuación,

con lo que se obtiene:

Si se multiplica por la tercera ecuación queda , que al sumar con la primera, se elimina, quedando el

siguiente sistema :

EJERCICIO

Entonces, al multiplicar la segunda ecuación por y luego sumarla

con la tercera se tiene:

Así, si dividimos la tercera ecuación para 7 tenemos:

De la tercera ecuación sabemos que , por lo tanto, .

Si reemplazamos esto en la segunda ecuación, se tiene:

Por ende, , y .

31. VITAMINAS.

A una persona el doctor le prescribió tomar 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y 19 unidades de vitamina E diariamente. La persona puede elegir entre tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D y 5 de vitamina E; la marca tiene 1, 3 y 4 unidades, respectivamente; la marca tiene 1 unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 unidad de vitamina E.a) Encuentre todas las combinaciones posibles de píldoras que

proporcionen de manera exacta las cantidades requeridas.b) Si cada píldora de la marca cuesta 1 centavo; de la marca 6

centavos y de la marca 3 centavos, ¿existe alguna combinación del inciso (a) que cueste exactamente 15 centavos por día?

c) ¿Cuál es la combinación menos cara del inciso (a)?¿La más cara?

31. VITAMINAS.

Para resolver el literal a), hay que considerar que:

Si primero cubrimos la vitamina D, requeriríamos y . Como , se

implementa con Siendo la primera combinación: .

Como , se implementaría con , siendo la segunda combinación: .

Ahora, si se piensa mezclar las tres marcas , y , podemos

considerar y . Como , se puede suma , obteniendo , para luego

implementar con , siendo la tercera combinación: .

Vit. A D EX 2 3 5Y 1 3 4Z 1 0 1

Req. 10 9 19

31. VITAMINAS.

Como , se le puede sumar y siendo la cuarta combinación es: .

Otras combinaciones no son posibles, ya que no cumplen

con los requisitos exactos.

Para resolver el inciso b), debemos considerar que:

, y centavos. Que al ser remplazadas en las combinaciones

del inciso a), dan:

Así, la única combinación que tiene un costo de 15 centavos

al día es .

La más cara es con un precio de 39 centavos.

Y, la más barata es con un precio de 15 centavos.

PROBLEMAS 6.6 Si la matriz de coeficientes del sistema es invertible,

resuelva el ejercicio utilizando la inversa. Si no es así, resuelva por el método de reducción.

EJERCICIO

EXPLICACIÓN: Para determinar si este sistema es invertible, primero lo presentamos en forma matricial.

Entonces, se resuelve a fin de encontrar la inversa de A:

EJERCICIO

Para lo cual, multiplicamos la primera fila por (-1) y la sumamos a la tercera fila, sustituyéndola:

Hacemos lo mismo con la segunda fila:

Se divide tanto la segunda como la tercera fila para (-2) y se intercambian de lugares:

Al multiplicar la segunda fila por y sumarla a primera fila:

EJERCICIO

Luego, al multiplicar la tercera fila por y sumarla a la segunda:

Por lo que la inversa de A es:

Para resolver el sistema, se obtiene el producto .

Como es de 3 x 3 y es de 3 x 1, será de 3 x 1:

Lo que nos da como resultado:

Por lo tanto, , y

42. MENSAJE SECRETO.

Un amigo le ha enviado a usted un mensaje secreto que consiste en tres matrices renglón de números como sigue:

Entre los dos han diseñado la siguiente matriz (utilizada por su amigo para codificar el mensaje)

Descifre el mensaje procediendo de la siguiente forma:(a) Calcule los tres productos matriciales , y (b) Suponga que las letras del alfabeto corresponden a los

números del 1 al 26, reemplace los números en estas matrices por letras y determine el mensaje.


Para dar solución al inciso a), primero calculamos por el

método de Gauss:

Sumamos la primera y tercera fila, reemplazando la tercera:

Multiplicamos la primera fila por y la sumamos a la segunda, reemplazando la segunda:

Multiplicamos la segunda ecuación por (-2) y la sumamos a la primera, reemplazándola:


Multiplicamos la tercera fila por 9 y la sumamos a la primera,

reemplazando la primera:

Multiplicamos la tercera fila por y la sumamos a la segunda fila,

reemplazando la segunda:

Por lo que:

Así, al ser una matriz de 3 x 3 y, , y

matrices de 1 x 3, el producto resultante será de 1 x 3.


Dando solución al inciso a):

Si reemplazamos los números por sus correspondientes

letras del alfabeto, se tiene:

Por lo que el mensaje codificado es:

“Just say no”, que quiere decir, “Sólo di no”.

TRABAJO AUTÓNOMO F1


1.21. Función Cuadrática.1.22. Sistemas no lineales.

SEMANA 6

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Definición

Una función es cuadrática:

Si y solo si, ) puede escribirse en la forma

𝑓 (𝑥)=𝑎2+𝑏𝑥+𝑐

Función polinomial de grado 2.

Donde , y son

constantes.

Y .


Vértice

Punto donde el eje

(de simetría) corta la parábola

𝑥=− 𝑏2𝑎 𝑦= 𝑓 (− 𝑏

2𝑎)

Si , el vértice es el punto más bajo de la parábola.

Si , el vértice es el punto más alto de la parábola

Eje de Simetría

Recta vertical,

respecto a la cual cada

parábola es simétrica.

No es parte de la

parábola, pero resulta

útil para bosquejarla.(− 𝑏

2𝑎 ; 𝑓 (− 𝑏2𝑎))


Gráfica

Es una parábola.

Si , abre hacia arriba

Si , abre hacia abajo

La intersección

es .Vértice

(− 𝑏2𝑎 : 𝑓 (− 𝑏

2𝑎))


Dominio y Recorrido

Cuando se restringe a

La función restringida pasará

la prueba de la recta horizontal.

Y, por lo tanto, será

de uno a uno.

Existen muchas restricciones

que son uno a uno.

Sus dominios consisten en más de un intervalo.


Maximización

Cuando , la parábola abre

hacia abajo y, por lo tanto, tiene un punto más alto.

De modo que es el valor máximo

de .

Minimización

Cuando , la parábola abre

hacia arriba y, por lo tanto, tiene un punto más bajo.

Es decir, que tiene un valor

mínimo en ese punto.

Al realizarse manipulaciones

algebraicas sobre

Puede determinarse este valor mínimo y, también, dónde

ocurre.

APLICACIONES

Ingresos

Si se usa la ecuación de demanda

puede expresarse en términos de , de modo que será una

función de :

Al graficar la función de ingreso

Sólo se dibuja la parte para la que

y

Puesto que la cantidad y el ingreso no pueden ser negativos.

SISTEMAS NO LINEALES

Sistema de ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal.

Con frecuencia, puede

resolverse por sustitución. Como se

hace con los

sistemas lineales.

Si contuviera una ecuación

lineal.Se

despeja una de las variables de

la ecuac

ión lineal.

Y se sustituye esa

variable en

la otra

ecuación.

TRABAJO AUTÓNOMO F2


• Problemas 3.3 los numerales 11, 19, 23, 24, 34, 40.

• Problemas 3.5 los numerales 12, 13, 17.

PROBLEMAS 3.311. Para la parábola

Encuentre:(a) La intersección ,(b) Las intersecciones , y, (c) El vérticeNo incluya una gráfica.

EXPLICACIÓN:

Inciso a) Como ,la intersección es .

Inciso b) Para encontrar las intersecciones , se iguala a 0

en y se despeja .Si , y . Como , la parábola se abre hacia arriba.

EJERCICIO 11.

Entonces, o . De modo que las

intersecciones son y .

Inciso c).Se deben determinar las

coordenadas y del vértice.

Ya que el vértice es

La coordenada del vértice es

Y la coordenada es:

Así, el vértice es:

Grafique cada función. Obtenga el vértice y las intersecciones, y determine el rango.

EJERCICIO

EXPLICACIÓN:Si es la función de

una parábola. Tenemos que: , y

. Y como , la parábola se abre

hacia abajo.

Ya que el vértice es

La coordenada del vértice es

Y la coordenada es:

Así, el vértice es:

EJERCICIO

Como , la intersección es . Para encontrar las

intersecciones , se iguala a 0 en

y se despeja .

Dado que, la ecuación no puede factorizarse con

facilidad, se empleará la fórmula cuadrática para

encontrar los valores de :

Como la raíz cuadrada de es un número no real, no podemos determinar

el valor de .

EJERCICIO

Por lo que se entiende que no hay intersecciones .

Así, con base en la gráfica, se ve que el

rango de es toda

Esto es el intervalo

Establezca si tiene un valor máximo o mínimo y encuentre ese valor.

EJERCICIO

EXPLICACIÓN , y .

Como la curva se abre hacia arriba. Y, por lo tanto, tiene un punto más bajo, es decir, tiene un valor mínimo en ese punto.

Por lo que, para determinar dicho punto se debe hallar el

vértice.

Así tenemos que:

El valor mínimo de es: Y el vértice es:

EJERCICIO

EXPLICACIÓN , y .

Como la curva se abre hacia abajo y, por lo tanto, tiene un punto más alto. Es decir que

tiene un valor máximo. La coordenada del vértice es:

La coordenada es:

Así el vértice es

De modo que el valor máximo de es:

34. PSICOLOGÍA. EXPLICACIÓN

Una predicción hecha por la psicología relaciona la magnitud de un estímulo, , con la magnitud de una respuesta, , lo cual se expresa mediante la ecuación , donde es una constante del experimento. En un experimento sobre reconocimiento de patrones, .

Determine el vértice de la función y trace la gráfica de su ecuación (suponga que no hay restricción sobre ).

Si , .Donde:

, y

Por ende:

En consecuencia, el valor mínimo de es 0 y el vértice es

(0 , 0).

34. PSICOLOGÍA.

En este cas, el eje es el eje de simetría, una

parábola que abre hacia arriba con vértice no

puede tener ninguna otra intersección.

De modo que para hacer un buen bosquejo

de esta parábola, se grafica un punto a cada lado del vértice.

Si , .

Así, se obtiene el punto

Y, por simetría el punto .

40. ÁREA.

Exprese el área del rectángulo que se muestra en la figura como una función cuadrática de .

¿Para qué valor de el área será máxima?

EXPLICACIÓN:Como el área de un

rectángulo es igual a la base por la altura.

Donde, , y .

11−𝑥𝑥

40. ÁREA.

Si se emplea la fórmula para determinar la coordenada del

vértice de la parábola:

Siendo, el área:

Por ende, si el área del rectángulo será de 30,25.

Donde es un valor intermedio entre 11 y 0, pues, si o el

área sería 0.

Por otro lado, si fuera mayor a 11 o menor a 0 el resultado sería negativo y las áreas de

cualquier figura, sin importar cual sea, no pueden ser negativas.

PROBLEMAS 3.5 Resuelva el sistema no lineal dado.

EJERCICIO

EXPLICACIÓN: Al despejar en la segunda

ecuación se tiene: .Si sustituimos en la primera

ecuación, queda:Por lo tanto,

Entonces:

EJERCICIO

EXPLICACIÓNAl despejar en la primera

ecuación se tiene: . Si sustituimos en la segunda

ecuación, queda:

Por lo tanto,

Entonces:

Como ambos lados se elevaron al cuadrado, es necesario verificar los

resultados. Así, aunque el primer par satisface a ambas ecuaciones, no

ocurre lo mismo con el segundo par.

Por lo tanto, la solución es

EJERCICIO

EXPLICACIÓN: En la figura, se estima que la intersección es 1, mientras las intersecciones son 1 y -1. La gráfica de es cónica, mientras la gráfica de es una parábola. Por ende, la solución del sistema no lineal dado es y .

Determine gráficamente cuántas soluciones tiene el sistema:

TRABAJO AUTÓNOMO G1


1.23. Funciones Racionales.1.24. Funciones definidas por pares.1.25. Función Valor Absoluta.1.26. Función Raíz Cuadrada.

SEMANA 7

FUNCIONES RACIONALES

Una función que es cociente de

funciones polinomiales.

𝑓 (𝑥 )=𝑥2−6 𝑥𝑥+5

Es racional ya que tanto el numerador como el

denominador son funciones polinomiales.

Es racional ya que

De hecho, toda función polinomial

es una función racional.

FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES

La regla para su especificación está dada por reglas para cada uno de los

diferentes casos que puedan presentarse.

𝑓 (𝑥 )={ 𝑥 , 𝑠𝑖0≤𝑥<34 ,𝑠𝑖5<𝑥 ≤7

𝑥−1 ,𝑠𝑖3≤ 𝑥≤5

Aquí, es la variable

independiente.El dominio es toda tal que .

El valor de determina cual expresión debe

usarse.

FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTESGRAFICA

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Función

El valor absoluto de un número real se denota mediante

|𝑥|={−∧𝑥 ,𝑠𝑖 𝑥<0¿𝑥 ,𝑠𝑖 𝑥≥0

El dominio de son todos los

números reales.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

GRÁFICA

Si

marcará el eje

horizontal y los valores funcionales.

Las intersecciones y están en

el punto

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Función

denota la raíz cuadrada

principal de .

no

El dominio de es

Sus valores se declaran como números reales.

Si

Entonces, , de modo que

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

GRÁFICA

Si

Entonces, , de modo que

Las intersecciones

y son lo mismo:

Haeussler, E.; Paul, R.; Wood, R. (2015). “Matemáticas para Administración y Economía”, décimo tercera edición. México: Pearson.

Carvallo, J.; Marcellán, F.; Sánchez, J. (2006) “Paso a

Paso: Problemas resueltos de Álgebra Lineal”, primera edición. España: Paraninfo.

https://www.geogebra.org/m/Amh8MEXK

BIBLIOGRAFÍA

https://www.geogebra.org/m/Amh8MEXK

Education

Deber de matemática 1