Desenho Geométrico e Técnico

NORMALIZAÇÃO DO PAPEL PARA DESENHO. Pelas Normas Técnicas brasileiras, série ISO “A”, o formato de papel padrão para desenho é a folha

retangular cuja área mede 1,00 m² e tem os lados extraídos do seguinte modo:

O lado menor é equivalente a um lado de um quadrado e o lado maior é a diagonal do mesmo.

A diagonal � do quadrado de lado � divide o quadrado em dois triângulos retângulos e pelo teorema de

Pitágoras temos:

�² � �² � �² Ou seja �² � 2�² � � � 2�²

De onde concluímos que � � �√2. Sendo a área � � � · � Vem � � � · �√2 � � � �² · 2 �Como � � 1,0 �² chegamos a 1 � �² · √2 ,ou seja, �² � �

√� o mesmo que

� � � � �√� de onde concluímos que � � �

√��

Logo temos � � 0, 840896 … aproximadamente a 0,841 m o que equivale a 841 mm, fazendo as

contas encontramos � � 1189 ��, aproximadamente.

Assim o formato padrão A0 equivale às medidas de 1189 mm por 841 mm. Daí, tiramos as outras

medidas e formatos de papel para desenho.

A sequência dos formatos de papel para desenho a partir de A0 segue o esquema abaixo:

Pela NB-8 da (ABNT) os formatos

de papel para desenho devem Ser

dobrados até assumirem o formato

A4. O quadro das legendas

(carimbo) previsto no canto

inferior direito da folha deve ficar

totalmente visível após o

dobramento da folha.

As indicações mais importantes

que devem constar do carimbo

são:

• Nome da Empresa, Firma,

Repartição, etc.

• Título do desenho.

• Escalas

• Unidades em que são expressas as dimensões.

• Número do desenho e, se necessário, outras indicações para classificação e arquivamento.

• Datas e assinaturas dos responsáveis pela execução, verificação e aprovação.

• Indicação de outras quando houver...

2

FORMATOS DE PAPEL A tabela a seguir nos dá os tamanhos usuais de formato para desenho.

Condição Formatos Série A Dimensões

mm

Margens, Superior, Direita e inferior

mm

Múltiplos 4A0 1682 x 2378 20

2A0 1189 x 1682 15

Padrão A0 841 x 1189 10

Submúltiplos

A1 594 x 841 10

A2 420 x 594 7

A3 297 x 420 7

A4 210 X 297 7

A margem esquerda em qualquer formato deve ter 25 mm de largura para favorecer o arquivamento em

pastas classificadoras.

Também devemos observar um ligeiro acréscimo nas medidas para o corte do papel.

Veja os formatos mais utilizados com as devidas dobras. Observe que, nas dobras, existem variações de

em alguns formatos.

1. Formato A0

3

2. Formato A1

3. Formato A2

4

4. Formato A3

5. Formato A4

OBSERVAÇÕES • Em todos os formatos a margem esquerda total é 25 mm.

• O formato deve ser escolhido em função das dimensões do projeto.

• Quando o projeto exigir mais de uma prancha (folha de desenho) devemos mantê-las todas no

mesmo formato, com exceção da planta de situação em projeto Arquitetônico, ou qualquer

planta inicial (rosto) de um projeto, que em geral usa-se o formato A4.

• Os desenhos representativos do projeto devem ocupar a área de desenho do formato de modo

claro, limpo e bem definido.

• Não devemos utilizar a faixa acima do Carimbo com desenhos. Reserve este espaço para

legendas observações e outras notas.

5

TEXTO TÉCNICO Pela norma devemos usar o formato de texto indicado.

As letras minúsculas correspondem a 2/3 das letras maiúsculas.

Exercício 1: Casa

6

Pegue algumas folhas de caderno e divida as linhas em duas traçando uma linha reta exatamente na

metade da distância entre elas. Considerando as linhas que você traçou; separe grupos de quatro linhas

saltando sempre duas e faça o exercício das letras observando quatro linhas, para cada linha de letras

sendo as duas linhas centrais reservadas para letras minúsculas do tipo: (a, c, e, i, m, n, o, r, s, u, v, w, x,

z) o traço superior que limita as letras maiúsculas será utilizado nas letras minúsculas: (b, d, f, h, k, l, t) e

o traço inferior será utilizado para limitar as letras minúsculas como: (g, j, p, q, y).

Observe que uma letra minúscula mede exatamente 2/3 de uma letra maiúscula.

Repita o exercício fazendo as letras inclinadas de 75°.

Noções primitivas

São as noções que adquirimos com a nossa vivência do dia-a-dia, isto é: aceitamos sem Definição.

Para nomear pontos usamos letras maiúsculas do nosso

alfabeto: A, B, C... X, Y, Z; para nomear às retas usamos letras

minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c... x, y, z; quanto aos planos

usamos letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, γ... π, θ, ω

etc.

Postulados Postulados são proposições aceitas sem demonstração, inspiradas na experiência e na observação, o

matemático, escritor e geômetra grego: Euclides fez vários enunciados de postulados para retas e

planos.

Alguns postulados da Reta:

P1 – Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

� �� !"�!�#! á "!�� ", %á � �� & �ã� �!"�!�#! P2 – Por um ponto passam infinitas retas.

� �� !"�!�#! á ��(�) �) "!��), )!�(� � *��!")!#çã� !��"! !,!) � -" . ) . � . /0.

P3 – Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. ! &�!"�!�#! á "!�� "

Alguns postulados do Plano:

P1 – Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

� �� !"�!�#! �� ,�� 1, %á � �� & �ã� �!"�!�#!

7

P2 – Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente contida nesse plano.

� �� !"�!�#! �� ,�� 1, ! � �� & ��é� �!"�!�#! �� ,�� 1,!��ã� � "!�� " !)�á #��*(� �� ,�� 1

P3 – Três pontos não situados na mesma reta (não colineares) determinam um único plano.

�) ��) , & ! 3 �!"�!�#!� �� ,�� 1. P4 – Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semiplanos.

) "!4*õ!) 11 ! 12 )ã� �) )!�*�,��) (! �"í4!� �� "!�� ".

P5 – Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semiespaços.

As regiões E1 e E2 são os semi-espaços e o plano α é a orígem dos semi-espaços.

A reta r que atravessa o plano α tem uma semireta no semi-espaço E1 e outra no

semi-espaço E2. O ponto P que pertence, simultaneamente, ao plano α e à reta

r, chamado de intersecção (7 . α0.

P6 – Por uma reta passam infinitos planos.

Os planos α1, α, α2 e α3 são alguns dos planos e r é a intersecção entre todos

eles.

Determinação de um plano Um plano pode ficar determinado de quatro modos distintos:

1. Por três pontos distintos e não alinhados – Postulado P3.

2. Por uma reta e um ponto fora dela.

3. Por duas retas concorrentes.

4. Por duas retas paralelas.

Os casos 2, 3 e 4 se resumem ao caso 1, pois sempre podemos escolher dois pontos em uma reta e outro

ponto fora dela ou em outra reta.

8

O segmento é

perpendicular ao segmento

Material Utilizado em Desenho Geométrico

Exercício 2: Casa

Seguindo a orientação dos esquadros do retângulo abaixo, desenhe linhas paralelas aos segmentos

tracejados em cada retângulo.

A distância entre as retas deve ser de 0,5 cm, ou seja, 5 mm.

Lembre-se: só podemos marcar distância em relação a um segmento

sobre uma perpendicular a este segmento.

Veja o modo como traçamos perpendiculares com o para de

esquadros

Veja os esquemas do exercício. O jogo de esquadros nos permite

traçar diversos ângulos. Mais à frente vamos aprender a construir

ângulos usando o par de esquadros ou compasso e régua.

9

Exercícios 3: Sala de Aula

1º

TRAÇAR A MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO DE RETA. 1. Com uma abertura do compasso maior que a metade

do segmento, com centro em A traçam-se segmentos de arcos por cima e por baixo do segmento.

2. Com a mesma abertura do compasso centro em B traçam-se segmentos de arcos cortando os anteriores e determinando os pontos 1 e 2.

3. Ligando-se o ponto 1 ao ponto 2 temos a mediatriz pedida.

2º

TRAÇAR UMA PERPENDICULAR POR UMA DAS EXTREMIDADES DE UM SEGMENTO. (Processo 1)

1. Com abertura qualquer do compasso centro na extremidade desejada (A) traça-se um arco marcando o ponto 1 no segmento.

2. Com a mesma abertura do compasso, centro no ponto 1 marca-se o ponto o ponto 2 sobre o arco marcado anteriormente.

3. Centro em 2 traça-se um arco marcando o ponto 3 sobre o arco inicial e em seguida, com centro em 3 e ainda a mesma abertura do compasso traça-se outro arco cortando o anterior e, determinando o ponto 4.

4. Liga-se a extremidade (A) ao ponto 4 e temos a perpendicular pedida.

10

3º

TRAÇAR UMA PERPENDICULAR POR UMA DAS EXTREMIDADES DE UM SEGMENTO. (Processo 2)

1. Seja a extremidade A, traça-se uma circunferência de centro C e raio CA determinando o ponto 1 sobre o segmento AB.

2. Do ponto 1, passando pelo centro C, traça-se o diâmetro 12.

3. Ligando-se o ponto A ao ponto 2 temos a perpendicular pedida.

4º

TRAÇAR UMA PERPENDICULAR POR UM PONTO DADO SOBRE UM SEGMENTO.

1. Com centro no ponto dado (P) raio qualquer determinam-se os pontos 1 e 2.

2. Com centro em 1 e 2, respectivamente e raio qualquer, traçam-se os segmentos de arcos 1 e 2, interceptando-se no ponto 3.

3. Ligando-se o ponto 3 ao ponto dado (P) e prolongando-se temos a perpendicular pedida.

5º

TRAÇAR UMA PERPENDICULAR POR UM PONTO DADO FORA DE UM SEGMENTO.

1. Centro no ponto dado (P), com abertura do compasso maior que a distância do ponto ao segmento marcam-se os pontos 1 e 2 sobre o segmento.

2. Com centro em 1 e 2, abertura do compasso maior que a metade da distância entre os pontos 1 e 2 traçam-se dois arcos determinando o ponto 3 na intersecção destes últimos arcos.

3. Ligando-se o ponto 3 ao ponto dado (P).

6º

TRAÇAR UMA RETA PARALELA QUALQUER, A UM SEGMENTO DADO

1. Com abertura qualquer do compasso, centro em A e B traçam-se segmentos de arcos, respectivamente a partir de cada extremo.

2. Com abertura do compasso igual a medida do segmento, com centro no extremo A marca-se sobre o segmento de arco em B, o ponto 1.

3. Com a mesma abertura anterior e centro do compasso em 1, corta-se o segmento de arco do ponto A, determinando o ponto 2.

4. Ligando-se o ponto 1 ao ponto 2 temos a paralela pedida.

11

7º

TRAÇAR UMA RETA PARALELA A UM SEGMENTO POR UM PONTO DADO (Processo 1)

1. Com centro no ponto dado (M), raio maior que a distância do ponto dado à reta, traça-se um segmento de arco sobre o segmento determinando o ponto 1.

2. Com centro em B e mesma abertura do compasso marca-se o arco (a).

3. Com centro em (M), abertura do compasso igual a medida de 1 ao ponto B corta-se o arco (a) determinando o ponto 2.

4. Ligando-se o ponto da (M) ao ponto 2 temos a paralela pedida.

8º

TRAÇAR UMA RETA PARALELA A UM SEGMENTO POR UM PONTO DADO (Processo 2)

1. Com centro no ponto M, abertura do compasso maior que a distancia de M ao segmento, traça-se o arco a determinando o ponto 1 sobre o segmento.

2. Com a mesma abertura, agora, com o centro no ponto 1, traça-se o arco b cortando o segmento no ponto 2.

3. Com centro em 1 e raio igual a distância de 2 à M marca-se no arco a o ponto 3.

4. Ligando-se M a 3, temos a paralela pedida.

9º

DIVIDIR UM SEGMENTO EM PARTES IGUAIS.

No nosso exemplo vamos dividir em cinco partes.

1. Em um dos extremos (A), traçamos uma reta não paralela a &;;;;.

2. Sobre esta reta, com o auxílio de uma régua marcamos os pontos, equidistantes <�, �, #, (, !=.

3. Com o par de esquadros traçamos os segmentos

paralelos !5;;;, (4;;;;, #3;;;, �2;;; e �1;;;;. - Obs. 5 ? &

10º

DESENHAR TRIÂNGULOS COM O USO DE COMPASSO E RÉGUA.

Para se desenhar um triângulo, em qualquer caso marca-se um dos lados com o uso do compasso marcam-se os outros. Veremos os exercícios em sala.

12

Construção de Ângulos Ângulo é a região interna ou externa a dois segmentos de retas consecutivos interseccionados

em um ponto A chamado de vértice.

Na construção de ângulos podemos utilizar vários instrumentos como compasso (construção

GEOMÉTRICA), esquadros (construção TÉCNICA) ou simplesmente o transferidor.

Instrumentos para Medir e Construir Ângulos

Exemplo da marcação de um único ângulo com o uso das três técnicas:

13

Veja como podemos manusear o material.

Com o para de esquadros podemos marcar ângulos múltiplos de 15° Vamos ver a marcação dos múltiplos de 15° com o par de esquadros sobre uma linha horizontal, de 0°

180°.

14

O ângulo de 180° é uma reta que tem um ponto (A) dividindo o segmento e servindo de vértice.

CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS COM O USO DO PAR DE ESQUADROS Com o uso exclusivo do par de esquadros podemos traçar ângulos múltiplos de 15°

Ângulo de 15°

CONSTRUIR UM ÂNGULO DE 15°

Para se construir um ângulo de 15° sobre uma linha base, procedemos do seguinte modo: 1. Fixamos o esquadro de 60° com o lado menor

(ângulo de 60° e 90°), alinhado com a linha base; 2. Posicionamos o esquadro de 45°, coincidido os

lados maiores (hipotenusas dos triângulos) dos esquadros;

3. Movemos o esquadro de 45° para vértice indicado “V” indicado, traçamos a linha conforme mostra a figura e temos o ângulo pedido.

Ângulo de 30°


Para se construir um ângulo de 30° sobre uma linha base, procedemos do seguinte modo: 1. Fixamos o esquadro de 60° com o lado médio

(ângulo de 30° e 90°), alinhado com a linha base; 2. Movemos o esquadro para o vértice indicado “V”,

traçamos a linha conforme mostra a figura e temos o ângulo pedido. OBS: Se colocarmos o lado maior sobre a linha base

podemos construir o ângulo do mesmo modo. Vai

aparecer o ângulo de 30° no lado esquerdo e o de

60° no outro lado, marque o de 30°, no lado

esquerdo.

Ângulo de 45°


Na construção de um anglo de 45° procedemos do

seguinte modo:

1. Alinhamos um dos lados (ângulo de 45°) com a linha base;

2. Movemos o esquadro para o vértice indicado “V”, traçamos a linha conforme mostra a figura e temos o ângulo pedido.

OBS: Se colocarmos o lado maior sobre a linha base

podemos construir o ângulo do mesmo modo. Vão

aparecer ângulos de 45° nos dois lados, marcamos

no da esquerda.

15

Ângulo de 60°


Na construção de um ângulo de 60°procedemos do

seguinte modo:

1. Alinhamos o lado menor (ângulo de 60°) com a linha base;




aparecer o ângulo de 60° no lado esquerdo e o de

30° no lado direito, marque o de 60°, no lado

esquerdo.

Ângulo de 75°


Na construção de um ângulo de 75° fazemos assim:

1. Fixamos o esquadro de 45° com um dos lados (ângulo de 45°) sobre a linha base;

2. Colocamos o esquadro de 60°, com o ângulo de 30° adjacente ao ângulo de 45° na linha de base;

3. Como mostra a figura, movemos o esquadro de 60° para o vértice “V” indicado, traçamos a linha e temos o ângulo pedido.

OBS: - O esquadro de 45° pode ser colocado com o

lado maior sobre a linha base.

Ângulo de 90°


Para construir um ângulo de 90° procedemos do

seguinte modo:

1. Fixamos o esquadro de 60° com o lado menor (ângulos de 90° e 60°) sobre a linha base;

2. Movemos o esquadro para o vértice “V”, dado, como mostra a figura;

3. Traçamos a linha perpendicular à linha de base e temos o ângulo de 90° pedido.

OBS: Podemos também usar o esquadro de 45°

colocando um dos lodos menores (ângulo de 90° e

45°) sobre a linha base. Ou mesmo o esquadro de

60°, com o lado maior (ângulos de 30° e 90°).

16

Ângulo de 105°


Para se construir um ângulo de 15° sobre uma linha base, procedemos do seguinte modo: 1. Fixamos o esquadro de 60° com o lado menor

(ângulo de 60° e 90°), alinhado com a linha base; 2. Posicionamos o esquadro de 45°, coincidido os

lados maiores (hipotenusas dos triângulos) dos esquadros;

3. Movemos o esquadro de 45° para vértice indicado “V” indicado, traçamos a linha conforme mostra a figura e temos o ângulo pedido. Esta construção é idêntica a do ângulo de

Ângulo de 120°


Para construir um ângulo de 90° procedemos do

seguinte modo:

1. Fixamos o esquadro de 60° com o lado menor (ângulos de 90° e 60°) sobre a linha base;

2. Movemos o esquadro, pela esquerda, para o vértice “V”, dado, como mostra a figura;

3. Traçamos a linha, pelo ângulo de 60°, inclinando-a para a esquerda e temos o ângulo de 120° pedido.



aparecer o ângulo de 30° na esquerda e o de 60° na

direita, marcamos no da direita.

Ângulo de 135°


Na construção de um anglo de 45° procedemos do

seguinte modo:

1. Alinhamos um dos lados do esquadro de 45° (ângulo de 90° e 45°) com a linha base;



podemos construir o ângulo do mesmo modo. Vão

aparecer ângulos de 45° nos dois lados, marcamos no da

direita.

17

Ângulo de 150°


Para se construir um ângulo de 30° sobre uma linha base, procedemos do seguinte modo: 1. Fixamos o esquadro de 60° com o lado maior

(ângulo de 90° e 30°), alinhado com a linha base; 2. Movemos o esquadro para o vértice indicado “V”,

traçamos a linha conforme mostra a figura e temos o ângulo pedido.



aparecer o ângulo de 30° no lado direito e o de 60° no

outro lado, marque no de 30°, no lado direito.

Ângulo de 165°

Lembre-se que: 15°= 45°- 30°


Para construir um ângulo de l165° sobre uma linha base,

procedemos do seguinte modo:

1. Fixamos o esquadro de 60° com o lado médio (ângulos de30° e 90°), alinhado com a linha base;

2. Posicionamos o lado menor esquadro de 45°(ângulo de 90° e 45°), coincidindo o ângulo de 45° com o ângulo de 60° do outro esquadro;

3. Movemos o esquadro de 45° para o vértice dado, traçamos a linha conforme a figura.

Outros modos de posicionar os esquadros:

18

Exercício 4: Casa

Divida a folha de papel como indicado e com o uso apenas do par de esquadro trace as retas paralelas.

Construir Ângulos com o uso de Compasso e Régua:

Bissetriz: é a reta que divide um ângulo qualquer em dois ângulos iguais, partindo do vértice deste

ângulo.

Para traçar ângulos com o compasso e a régua, na maioria das vezes termos que usar a bissetriz como

instrumento auxiliar.

19

Exercício 5: Sala de aula.

1º

TRAÇAR A BISSETRIZ DE UM ÂNGULO QUALQUER. 1. Com uma abertura qualquer do compasso e centro no

vértice do ângulo (A) traçam-se segmentos de arcos determinando-se os pontos 1 e 2 nos lados AB e AC respectivamente.

2. Com a mesma abertura do compasso centro em 1 e em 2 traçam-se segmentos de arcos cortando-se no ponto 3.

3. Ligando-se o vértice (A) ao ponto 3 temos a bissetriz pedida.

2º

CONSTRUIR UM ÂNGULO DE 45°. 1. Levante uma perpendicular pela extremidade desejada

(A); ângulo de 90°. 2. Procedendo como no exercício anterior, trace a

bissetriz do ângulo de 90º, determinando dois ângulos de 45°. Um deles é o ângulo pedido.

3º

CONSTRUIR UM ÂNGULO DE 60°. 1. Com abertura qualquer do compasso, centro em A

traça-se um arco, marcando-se o ponto 1 no lado AB. 2. Com a mesma abertura do compasso, centro em 1

marca-se o ponto 2 sobre o arco. 3. Ligando-se o ponto A ao ponto 2, e prolongando até C

temos o ângulo pedido.

4º

CONSTRUIR UM ÂNGULO DE 30°. 1. Construa um ângulo de 60°. 2. Trace a sua bissetriz e terá o ângulo de 30° pedido. 3. O ângulo DÂB é o ângulo de 30° pedido.

5º

CONSTRUIR UM ÂNGULO DE 15°. 1. Construa o ângulo de 30°. 2. Trace a sua bissetriz e terá o ângulo de 15° pedido. 3. O ângulo DÂB é o ângulo de 15°.

20

Polígonos

Polígono é uma figura plana formada por uma linha poligonal fechada sem autointersecções, isto é, cada

lado tem apenas um ponto comum com o lado anterior e com o seguinte, mas não com os demais. A

palavra polígono pode designar tanto o contorno como a região do plano limitada por ela. Se falarmos

em área de um polígono, estamos nos referindo à região descrita pela poligonal, se falarmos em

perímetro estamos nos referindo à linha poligonal.

Os polígonos podem ser côncavos ou convexos:

Um polígono é convexo quando o segmento que une dois pontos quaisquer de sua região interior está

inteiramente contido nela, caso contrário o polígono é côncavo ou, não convexo. Para fazer uma

verificação rápida traçamos um segmento &;;;; ligando dois lados consecutivos do polígono: se acontecer

pelo menos um caso em que o segmento fique inteiramente fora da região interna da poligonal, o

polígono é côncavo, caso contrário é convexo.

Exemplo:

Quanto à medida dos lados os polígonos podem ser regulares ou irregulares:

Os polígonos regulares são aqueles que têm todos os lados iguais, caso contrário, são chamados

de polígono irregulares.

Os polígonos regulares podem ser inscritos: quando têm todos os seus vértices sobre uma

circunferência ou circunscrito: quando seus lados tangenciam a circunferência de mesmo

raio.

Exemplo:

Quanto ao número de lados, alguns polígonos recebem nomes especiais, os mais importantes são

mostrado na tabela abaixo.

21

Polígonos quanto ao número de lados:

Número de

Lados

Nome do

Polígono Figura Nº.

3 Triângulo 1

4 Quadrilátero 2

5 Pentágono 3

6 Hexágono 4

7 Heptágono 5

8 Octógono 6

9 Eneágono 7

10 Decágono 8

11 Undecágono 9

12 Dodecágono 10

15 Pentadecágono 11

20 Icoságono 12

Representação Gráfica dos Polígonos:

Observe que para os polígonos regulares, à medida que o número de lados vai aumentando, mantendo-

se o mesmo raio de inscrição ou circunscrição, o polígono vai se aproximando de uma circunferência,

pois as medidas dos lados vão diminuindo até chegar à dimensão de um ponto.

Diagonais

São retas que ligam dois vértices não consecutivos de um polígono. O número de diagonais depende do

número de lados e é dado pala expressão:

( � @-@AB0� Onde d é a diagonal e n é o número de lados.

22

Os triângulos e os quadriláteros são os polígonos que mais se destacam na

geometria, devido à sua importância.

Triângulos:

Temos vários tipos de triângulos a depender do número de lados ou tipo de ângulos.

De acordo com o número de lados:

Equilátero, quando todos os seus lados são iguais. Todo triângulo equilátero tem também os ângulos

iguais.

Isósceles, quando dois dos seus lados são iguais. Todo triângulo isósceles tem os ângulos da base iguais.

Escaleno, quando nenhum dos seus lados é igual. Nos escalenos todos os ângulos também são

diferentes.

De acordo com os ângulos:

Acutângulo, quando todos seus ângulos são agudos, isto é, todos os ângulos são menores que 90°.

Retângulo, tem um ângulo reto, isto é, um dos ângulos mede exatamente 90°.

Obtusângulo, tem um ângulo obtuso, isto é, tem um ângulo maior que 90°.

NOTA IMPORTANTE: Em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180°, pois a soma dos ângulos

internos de um polígono é dado pela expressão: ∑ � -D E F0 · GHI°K . Onde n = número de

lados.

Entre os quadriláteros, os polígonos da família dos paralelogramos são os mais importantes.

Paralelogramo.

É todo quadrilátero que tem lados e ângulos opostos congruentes. Por ser um quadrilátero, todo

paralelogramo tem duas diagonais apenas e, neste caso, as diagonais cortam-se ao meio.

23

Retângulos.

É todo paralelogramo que tem os lados opostos congruentes e os quatro ângulos retos.

Quadrado.

É o paralelogramo que tem os quatro ângulos os quatro lados e os quatro ângulos congruentes.

Losango.

É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes e as diagonais perpendiculares, entre si, sendo

que as diagonais são também, as bissetrizes dos ângulos internos do losango.

Trapézio.

É o quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos que são chamados de bases (base maior e base

menor). A distância entre as duas bases é a altura (h) do trapézio. (h) é perpendicular às duas bases.

Trapézio Retângulo: é o trapézio que tem um dos lados não paralelos perpendicular às

bases. Este lado é a própria altura do trapézio.

Trapézio Isósceles: é o trapézio no qual os lados não paralelos são congruentes.

Circunferência. Circunferência é a uma curva plana fechada que tem todos os seus pontos equidistantes de um ponto central, chamado de centro da circunferência. A distância constante de todos os pontos ao centro da circunferência é denominada de raio da circunferência.

24

Círculo. Círculo é a região plana interna à circunferência. Como podemos deduzir das duas definições: circunferência é a linha que contorna o círculo, logo é um comprimento e o círculo é uma área

Elementos Principais da Circunferência:

Outros Elementos da Circunferência são:

Tangente: reta que intercepta (toca) a circunferência em um único ponto;

Secante: reta que intercepta a circunferência em dois pontos;

Corda: é a parte interna da secante na circunferência;

Diâmetro: é a maior corda possível, da circunferência. O diâmetro passa pelo centro da circunferência e é igual a medida de dois raios;

Flecha: é uma porção do raio. È a parte do raio que vai da corda até a linha da circunferência.

Arco: é uma parte da circunferência, entre dois pontos. O comprimento de A até C é um arco.

Divisão de Circunferência em partes iguais formando Polígonos Regulares Inscritos:

Na divisão de uma circunferência em partes iguais usamos apenas compasso e régua milimetrada, não

precisando de nenhum outro material. Para tanto veremos algumas regras particulares e um modo geral

de resolução.

25

Exercício 6: Casa Siga a orientação à direita construa os polígonos inscritos na circunferência.

DIVISÃO EM TRÊS PARTES IGUAIS (Triângulo):

1. Traça-se o diâmetro A1.

2. Centro em 1, raio igual ao raio da

circunferência determina-se os pontos B e C

na circunferência.

3. A circunferência está dividida em três partes

iguais.

4. Ligando-se o ponto A ao ponto B, B ao ponto

C e C ao ponto A temos o triângulo equilátero

ABC inscrito à circunferência.

DIVISÃO EM QUATRO PARTES IGUAIS

(Quadrado):

1. Traça-se o diâmetro AC na vertical.

2. Traça-se a mediatriz do diâmetro AC dividindo

a circunferência em quatro partes iguais,

determinando sobre a circunferência o

diâmetro BD.

3. Ligando-se os pontos A, B, C e D,

respectivamente, temos um quadrado.

DIVISÃO EM CINCO PARTES IGUAIS (Pentágono):

1. Traça-se o diâmetro 1 a 2 na horizontal.

2. Com centro no ponto 1 e raio igual ao raio da

circunferência traça-se um arco cortando a

circunferência nos pontos 3 e 4.

3. Ligando o ponto 3 ao ponto 4 determinamos

o ponto 5 no diâmetro 12.

4. Com centro no ponto 5 e raio igual à medida

do ponto 5 ao ponto A marcamos no

diâmetro 12 o ponto 6, determinando a

medida do lado do PENTÁGONO.

5. Com centro em A e raio igual a medida do

segmento A6 marcamos o ponto B sobre a

circunferência e repetimos o processo para os

pontos C, D e E.

6. Ligando-se os pontos A, B, C, D e E,

respectivamente, temos o Pentágono pedido.

26

DIVISÃO EM SEIS PARTES IGUAIS (Hexágono):

1. Tomamos o ponto A sobre a circunferência.

2. Com abertura do compasso igual ao raio da

circunferência, centro no ponto A traçamos

um arco, cortando a circunferência no ponto

B.

3. Procedemos do mesmo modo,

respectivamente em B, C, D e E.

4. Uma vez determinado o ponto F, ligamos

respectivamente os pontos A, B, C, D, E, e F,

dois a dois.

DIVISÃO EM SETE PARTES IGUAIS (Heptágono):

1. Traça-se o diâmetro 12 na horizontal.

2. Com centro no ponto 1 e raio igual ao raio da

circunferência traça-se um arco cortando a

circunferência nos pontos 3 e 4.

3. Ligando o ponto 3 ao ponto 4 determinamos

o ponto 5 no diâmetro 12 e encontramos a

medida de 3 a 5, igual a medida do sétimo

lado.

4. Com a abertura do compasso igual a medida

L7 a partir do ponto A marcamos os pontos B,

C, D, ... G encontrando o Heptágono pedido.

DIVISÃO EM OITO PARTES IGUAIS (Octógono):

1. Traça-se o diâmetro AE na vertical.

2. Traça-se a mediatriz do diâmetro AE dividindo

a circunferência em quatro partes iguais e

determinando o diâmetro GC.

3. Com centro no ponto A e G, abertura do

compasso igual ao raio da circunferência,

marcamos o ponto 1. De 1 traçamos uma

linha passando pelo centro da circunferência

até tocar a mesma no ponto D.

4. Do mesmo modo procedemos com os pontos

A e C, determinando o ponto F.

5. Ligamos respectivamente os pontos A, B, C,

D... H dois a dois determinando o Octógono. Exercício 7: Sala de aula.

27

Agora faremos Dois exemplos com um processo geral que nos permite dividir a circunferência em

qualquer número de lados.

Método de Bion.

DIVISÃO EM TRÊS PARTES IGUAIS (Triângulo):

1. Traça-se o diâmetro A3 o qual iremos dividir em partes iguais pelo processo de divisão de um segmento em partes iguais.

2. Com centro em A e em 3, abertura do compasso igual ao raio da circunferência, determinamos o ponto x.

3. Ligando x à segunda divisão (ponto 2) e prolongando até a circunferência encontramos o ponto C.

4. Com centro em A, abertura do compasso igual a AC, marcamos o ponto B sobre a circunferência.

5. Ligando os pontos encontramos o Triângulo.

DIVISÃO EM SEIS PARTES IGUAIS (Hexágono):

1. Traça-se o diâmetro AD o qual iremos dividir em partes iguais pelo processo de divisão de um segmento em partes iguais.

2. Com centro em A e em D, abertura do compasso igual ao raio da circunferência, determinamos o ponto x.

3. Ligando x à segunda divisão (ponto 2) e prolongando até a circunferência encontramos o ponto F.

4. Com centro em A, abertura do compasso igual a AF, marcamos o ponto B sobre a circunferência.

5. Com esta mesmo abertura a partir de B marcamos os outros pontos.

6. Ligando os pontos encontramos o Hexágono.

Exercício 8: Casa

Divida a circunferência 1 em três parte iguais, e a 2 em seis.

28

Exercício 9: Casa

Dividir a circunferência em 11 partes iguais:

Use o resto da página para outros exercícios.

29

Exercício 11: Casa

Divida uma folha de papel de ofício marque os eixos tracejados e faça o exercício usando compasso

esquadros e régua.

A finalidade destes exercícios é desenvolver as habilidades manuais e o controle motor das mãos

associando-as ao cérebro no uso do compasso e esquadros. Logo o sofrimento vai acabar.

30

DESENHO TÉCNICO

A finalidade do Desenho Técnico é representar objetos em três dimensões numa folha de papel, usando

a perspectiva ou mesmo as suas projeções, secções e cortes, elementos que serão definidos mais tarde.

Para isso faz-se o desenho técnico faz

uso da GEOMETRIA DESCRITIVA

a qual utiliza os planos, vertical (PV) e

horizontal (PH), de projeções dividindo

o espaço em quatro partes, chamadas

de Diedros.

DIEDRO

Diedro é o ângulo formado por dois

semiplanos. No caso de diedros, a

linha que une os dois semiplanos é

chamada de ARESTA.

Exemplos:

O 1º Diedro é o ângulo formado pelo

semiplano horizontal anterior (PHa) e

o semiplano vertical superior (PVs).

O 2º Diedro é o ângulo formado pelo

semiplano horizontal posterior (PHp) e

o plano vertical superior (PVs).

O 3º Diedro é o ângulo formado pelo semiplano horizontal posterior (PHp) e o semiplano vertical inferior

(PVi).

O 4º Diedro é o ângulo formado pelo semiplano horizontal anterior (PHa) e o semiplano vertical inferior

(PVi).

Veja que pelo o ponto P, situado no 1º Diedro da figura desta página passam duas retas: uma vertical e

outra horizontal, indicadas por duas setas. Observe sobre que sobre o plano horizontal aparece a

projeção ph, na direção vertical, e sobre o plano vertical aparece a projeção PV na direção horizontal; e,

tanto de ph, como de pv partem linhas tracejadas (horizontal ou vertical) até à linha indicada como linha

de terra (LT) que é a intersecção entre os planos horizontal e vertical.

Na figura, as setas que convergem para o ponto P representam os raios visuais de um observador

situado no infinito, tanto frontal (seta horizontal) como superior (seta vertical). Quando um raio visual

passa por um ponto P, este se comporta como um obstáculo impedindo a passagem da Luz e se projeta

sobre o plano como se fosse uma sombra.

31

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

Como vimos o diedro fornece duas projeções para o ponto, mas os objetos são tridimensionais,

necessitando mais uma projeção para que possamos entender o objeto com mais clareza.

Da necessidade desta outra

projeção surgiu um novo plano:

O Plano de Perfil.

PLANO DE PERFIL

É o plano de projeções que é

perpendicular aos planos vertical

e horizontal, dividindo os quatro

diedros em oito Triedros.

O plano de perfil é o plano que

antepara a projeção dos raios

visuais laterais ao ponto.

TRIEDRO

Triedro é o ângulo formado por

três planos. Um triedro tem três

arestas.

Para um melhor entendimento espacial, só foram mostrados, na figura, os quatro triedros esquerdos,

onde se situa o 1º triedro, que é o principal triedro, onde normalmente, se situa o objeto e o observador

(observador no infinito).

REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO

Dado um ponto qualquer P, este é representado através de suas projeções (ph), sobre o plano horizontal

e (pv) sobre o plano vertical e (PP) sobre o plano de perfil. Como já vimos a projeção é como se fosse a

sombra de um objeto sobre um plano, o ponto antepara o raio visual, impedindo a passagem da luz,

gerando uma sombra que se projeta sobre o plano. Observe que em nosso desenho o ponto P está

situado no primeiro diedro e existem pequenas setas (raios visuais) indicando as direções e sentidos das

projeções, que são ortogonais: perpendiculares em relação aos planos de projeções.

REPRESENTAÇÃO DE UMA RETA

Como foi visto nos postulados de Euclides, uma reta fica perfeitamente definida apenas por dois pontos

não coincidentes. Deste modo podemos concluir que para representar a projeção de um segmento de

reta &;;;;, basta representar as projeções dos pontos extremos A e B. A projeção do segmento será a

sombra entre as projeções do ponto A e do ponto B.

REPRESENTAÇÃO DE UM PLANO

A projeção de um plano poderá ser representada pela região interna à projeção do quadrilátero formado

pelas projeções de quatro retas, lados do polígono: projeção das arestas do POLIEDRO.

32

Como já vimos no DESENHO TÉCNICO é comum utilizarmos o 1º triedro representar as projeções de

um objeto.

No PHa teremos a representação da Vista Superior (vista de cima), no PVs temos a representação da

Vista Frontal (vista de frente), no plano de perfil (PPs) temos a representação da Vista de Perfil (vista de

lado, pela esquerda).

Neste curso veremos as noções básicas deste assunto e representação de peças simples em plantas e em

Perspectivas Isométricas e Cavaleiras.

REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA SIMPLES Exercício 12: Sala de aula.

Tomando-se uma caixa no 1º Triedro, acima do PH à frente de PV e ao lado do PP, podemos verificar as

três projeções em cada plano.

O rebatimento destes planos sobre a folha do papel gera uma nova figura, agora denominada de ÉPURA.

ÉPURA Como vimos épura é o resultado do

rebatimento dos três planos de projeções. A

épura é a área do papel utilizada para a

realização do desenho. Uma vez terminado

todo o desenho; devemos eliminar as linhas

de construção e, as linhas da própria épura.

Mantendo-se a posição dos desenhos e das

cotas.

ESCALA Escala é a relação das medidas do desenho

com as medidas reais da peça a ser

desenhada.

L � M(M�

Quando o valor relativo ao desenho é menor

que o valor relativo ao objeto a escala é de

REDUÇÃO, caso contrário a escala é de

AMPLIAÇÃO.

A escala é dita NATURAL quando usamos no

desenho a medida real do objeto. Ou seja, 1

para 1.

Representam-se as escalas de vários modos.

Os principais são: Escala �@; Escala 1 N �;

Escala 1/n, em qualquer um dos casos

lemos “1 para n”.

33

Exemplos:

a. Escala 1 : 2. Quer dizer que uma unidade de medida no desenho corresponde a duas unidades de

medida no objeto, escala de REDUÇÃO.

b. Escala 2 : 1. Quer dizer que duas unidades de medida no desenho correspondem a uma unidade

de medida no objeto, escala de AMPLIAÇÃO.

c. Escala 1 : 1. Quer dizer que uma unidade de medida no desenho corresponde a uma unidade de

medida no objeto, escala de NATURAL.

É importante que a unidade de medida (milímetro, centímetro, metro, polegada etc.) seja indicada no

carimbo. Em Mecânica a unidade usual é o milímetro, mas o uso mais comum nos outros tipos de

representação (projetos arquitetônicos, mapas... e outros) usam o centímetro como unidade de

representação gráfica.

PERSPECTIVA

A perspectiva pretende mostra o objeto de forma aparente com a sua realidade, em três dimensões. São

vários tipos de perspectiva, mas no geral elas se dividem em CÔNICAS e PARALELAS. Em desenho técnico

são utilizadas as perspectivas Paralelas: CAVALEIRA e ISOMÉTRICA.

Cônica

Paralela Cavaleira Paralela Isométrica

A perspectiva artística é usada somente em obras de arte e baseiam-se no sentimento do artista, não é

considerada como perspectiva técnica. As cônicas são mais utilizadas em projetos de Arquitetura, e com

diversas técnicas, métodos e processo. Praticamente baseiam-se em três PONTOS DE FUGA: dois

horizontais e um vertical, os dois pontos de fuga horizontais localizam-se sobre a linha de Horizonte (LH).

A perspectiva Cavaleira é muito pouco usada, em geral somente em estudos, quanto a Isométrica é

muito usada em desenho técnico para apresentar a visão espacial de uma peça.

Sendo a perspectiva isométrica a mais importante para o nosso curso, é ela que nós vamos dá maior

ênfase.

ISOMÉTRICA quer dizer medidas iguais, claro, com relação à escala. Mas não é bem assim, de acordo

como se convencionou observar o objeto na confecção da perspectiva isométrica, todas as suas medidas

ficaram sujeitas a um fator de redução equivalente a 0,816 unidade em todas as suas dimensões..tic-tic,

mas mesmo assim... continua sendo iso...

34

Exercício 13: Sala de aula.

Exemplo 14: Sala de aula.

35


Dada as projeções da peça, esboce a sua perspectiva isométrica.


Dada as projeções da peça, esboce a sua perspectiva isométrica.

Um dia eu assino esta genérica.

Alfredo Coelho

Education

Desenho Geométrico e Técnico