- 1. Diagramas lgicosProposies categricas As proposies categricas
constituem-se num dos principais tpicos da Lgica Formal. Desde
Aristteles, as proposies categricas tm sido estudadas e inmeras
contribuies de lgicos tm sido feitas. Preste ateno ao conceito de
proposio categrica: Uma proposio categrica aquela formada por um
quantificador associado a um sujeito (primeira classe de atributos)
que se liga a um predicado (segunda classe de atributos) por meio
de um elo (cpula). Exemplos: Todos os animais so carnvoros.
Predicado Elo Sujeito Quantificador Existem apartamentos que no so
modernos. Predicado Elo Partcula de negao Sujeito Quantificador
Alguns cremes so oleosos. Predicado Elo Sujeito QuantificadorEsse
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2. Diagramas lgicosNenhum anfbio inteligente. Predicado Elo
Sujeito QuantificadorNuma proposio categrica, importante que o
sujeito se relacione com o predicado de forma coerente e que a
proposio faa sentido, no importando se verdadeira ou falsa. Assim,
por exemplo, em Todos os esportistas so competitivos temos uma
proposio claramente falsa, mas que provida de sentido
lgico.Classificao das proposies categricas As proposies categricas
podem ser classificadas de acordo com dois critrios fundamentais:
qualidade e extenso ou quantidade.Qualidade O critrio de qualidade
classifica uma proposio categrica em afirmativa ou negativa.
Exemplos: Algumas pessoas viajam no vero. Todas as pessoas so
ingnuas. As proposies so categricas afirmativas. Algumas pessoas no
viajam no vero. Nenhuma pessoa ingnua. As proposies so categricas
negativas. Observe que, nesse critrio, no se classifica a proposio
em verdadeira ou falsa, mas, sim, em afirmativa ou negativa.164
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lgicosExtenso O critrio de extenso ou quantidade classifica uma
proposio categrica em universal ou particular. A classificao
depender do quantificador que utilizado na proposio. Exemplos:
Todos os animais so seres vivos. Nenhum carro tem sete portas. As
proposies so categricas universais, pois os quantificadores todos e
nenhum so universais. Algumas pessoas gostam de sorvete. Existem
animais que no gostam de gua. As proposies so categricas
particulares, pois os quantificadores algumas e existem so
particulares (existenciais). Fica claro que, nesse critrio, a
classificao determinada pelo quantificador, no importando se a
proposio afirmativa ou negativa.Tipos de proposies e relaes entre
proposies Desde a poca de Aristteles, de acordo com a qualidade e a
extenso, a Lgica Formal classifica as proposies categricas em
quatro tipos, representados pelas letras A, E, I e O. Observe o
quadro contendo tais classificaes:
TipoQualidadeExtensoExemploAAfirmativaUniversalTodo S
P.ENegativaUniversalNenhum S P.IAfirmativaParticularAlgum S
P.ONegativaParticularAlgum S no P.165 Esse material parte
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S indica o sujeito e P indica o predicado de uma proposio
categrica. Assim, de acordo com a tabela, temos: Proposio
afirmativa universal (A): Toda cidade limpa. Proposio negativa
universal (E): Nenhuma cidade limpa. Proposio afirmativa particular
(I): Alguma cidade limpa. Proposio negativa particular (O): Alguma
cidade no limpa. Com essas classificaes, pde-se construir um
quadro, denominado Quadrado Geral de Oposio, que apresenta as
relaes existentes entre as proposies. Tal quadro atribudo a
Aristteles. Quadro 1 Quadrado Geral de Oposio Todo S P (SAP)
ANenhum S P (SEP) ContrriasEContraditriasSubalternas e
SuperalternasSubalternas e SuperalternasContraditrias IAlgum S P
(SIP)SubcontrriasO Algum S no P (SOP)Observao: Representa-se SAP
para descrever a ideia de que a sentena possui sujeito (S)
relacionado ao predicado (P) por meio de uma proposio categrica do
tipo A (universal afirmativa). Da mesma forma, ocorre com SEP, SIP
ou SOP. As letras S e P indicam, respectivamente, sujeito e
predicado. A letra do meio identifica o tipo de proposio categrica.
Essas regras que relacionam as proposies so denominadas regras de
contrariedade, contraditoriedade, subcontrariedade e subalternao. A
seguir, estudaremos particularmente cada uma delas.166 Esse
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lgicosContrrias As proposies so ditas contrrias quando so
universais e se opem entre si apenas pela qualidade. O sujeito em
ambas o mesmo, mas enquanto uma afirma um predicado, a outra nega
esse mesmo predicado. Todo S P (SAP) ANenhum S P (SEP)
ContrriasEDuas proposies so contrrias quando ambas no podem ser
verdadeiras ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser
falsas ao mesmo tempo. Exemplo 1: Todo homem mortal. (A) Nenhum
homem mortal. (E) Observe que todo homem mortal uma sentena
verdadeira, enquanto nenhum homem mortal falsa. No pode ocorrer de
ambas serem verdadeiras ao mesmo tempo. Exemplo 2: Todo homem
professor. (A) Nenhum homem professor. (E) Nesse exemplo, a
proposio todo homem professor uma sentena falsa e nenhum homem
professor tambm falsa. Ambas no podem ser verdadeiras ao mesmo
tempo, mas podem ser falsas ao mesmo tempo.Contraditrias As
proposies so ditas contraditrias quando se opem tanto em qualidade
quanto em extenso. Enquanto uma universal, a outra particular;
enquanto uma afirmativa, a outra negativa.167 Esse material parte
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(SAP)Nenhum S P (SEP)AE ContraditriasContraditrias IOAlgum S P
(SIP)Algum S no P (SOP)Duas proposies so contraditrias quando ambas
no podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao
mesmo tempo. Exemplo 1: Todo homem mortal. (A) Algum homem no
mortal. (O) Observe que todo homem mortal uma sentena verdadeira,
enquanto algum homem no mortal falsa. No pode ocorrer de ambas
serem verdadeiras ao mesmo tempo, nem falsas ao mesmo tempo. Se uma
verdadeira, a outra, obrigatoriamente, falsa, e vice-versa. Exemplo
2: Nenhum homem professor. (E) Algum homem professor. (I) Nesse
exemplo, a proposio nenhum homem professor uma sentena falsa e
algum homem professor verdadeira. Ambas no podem ser verdadeiras ao
mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo. Importante: Se
duas proposies categricas so contraditrias, uma a negao da
outra.168 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do
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Diagramas lgicosSubcontrrias As proposies so ditas subcontrrias
quando so particulares e se opem entre si apenas na qualidade. O
sujeito em ambas o mesmo, mas enquanto uma afirmativa, a outra
negativa. IOSubcontrriasAlgum S P (SIP)Algum S no P (SOP)Duas
proposies so subcontrrias quando ambas no podem ser falsas ao mesmo
tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser verdadeiras ao mesmo
tempo. Exemplo 1: Algum homem mortal. (I) Algum homem no mortal.
(O) Observe que algum homem mortal uma sentena verdadeira, enquanto
algum homem no mortal falsa. No pode ocorrer de ambas serem falsas
ao mesmo tempo. Exemplo 2: Algum homem professor. (I) Algum homem
no professor. (O) Nesse exemplo, a proposio algum homem professor
uma sentena verdadeira e algum homem no professor tambm verdadeira.
Ambas no podem ser falsas ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras
ao mesmo tempo.Subalternao e superalternao As proposies so ditas
subalternas ou superalternas quando so iguais em qualidade e se
opem entre si apenas em extenso. Enquanto uma universal, a outra
particular.169 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line
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Diagramas lgicosRaciocnio invlido Todo S P Nenhum S P (SAP) (SEP)
AERaciocnio vlido Todo S P Nenhum S P (SAP) (SEP)
AESuperalternaoSubalternaoIOIOAlgum S P (SIP)Algum S no P
(SOP)Algum S P (SIP)Algum S no P (SOP) AI (vlida)Se algum diz todos
os convidados esto presentes, logo, algum convidado est presente,
est utilizando uma superalternao entre as proposies (A I). O
raciocnio claramente vlido e decorre da seguinte regra: Da verdade
do todo podemos inferir pela verdade das partes, mas da verdade das
partes no podemos inferir pela verdade do todo. A (indeterminada)
ISe algum diz algum convidado est presente e conclui que todos os
convidados esto presentes, est utilizando uma subalternao (I A).
Nesse caso, o raciocnio no vlido, pois no se pode afirmar que todos
os convidados esto presentes apenas porque algum convidado est
presente. Dessa forma, ocorre uma indeterminao, j que no se pode
afirmar que verdadeiro ou que falso que todos os convidados esto
presentes com base em algum convidado est presente. EO (vlida)Se
algum diz nenhum convidado est presente e conclui que algum
convidado no est presente, est utilizando uma superalternao entre
as proposies (E O). O raciocnio vlido, pois se nenhum convidado est
presente, certamente algum convidado no est presente.170 Esse
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OE (indeterminada)Se algum diz algum convidado no est presente e
conclui que nenhum convidado est presente, est utilizando uma
subalternao entre as proposies (O E). O raciocnio no vlido, pois no
se pode afirmar que nenhum convidado est presente apenas porque
algum convidado no est presente. Nesse caso, ocorre uma
indeterminao, pois no se pode afirmar que verdadeiro ou que falso
que nenhum convidado est presente com base em algum convidado no
est presente. Assim, nas proposies superalternas, o raciocnio vlido
e se pode concluir qual o valor lgico nico da concluso. J nas
proposies subalternas, o raciocnio invlido e a concluso
indeterminada, pois no se pode determinar o respectivo valor lgico
dessa concluso. Para destacar, se dissermos que algum A B
verdadeira, a proposio todo A B ser verdadeira ou ser falsa? Temos
a uma proposio indeterminada, pois fica impossvel determinar um
valor verdadeiro ou falso. Observao: A verificao da validade de
argumentos categricos pode ser efetuada por meio de regras gerais
de inferncias, de premissas e de termos. No convm aqui cit-las,
pois a anlise dessas regras pode ser substituda pela anlise de
diagramas. Utilizando apenas diagramas temos uma forma rpida e
eficiente para testar os argumentos categricos.Diagramas lgicos Os
diagramas utilizados na Teoria dos Conjuntos so importantes para
testar a validade de argumentos categricos. Cada diagrama se baseia
num dos quatro tipos de proposies categricas (A, E, I, O). Observe
as ilustraes a seguir:171 Esse material parte integrante do
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lgicosTipoQualidadeExtensoProposioDiagramas PS
AAfirmativaUniversalTodo S PS ENegativaUniversalPNenhum S P
SSIOAfirmativaNegativaParticularParticularPPAlgum S PAlgum S no
PExemplos: Todos os advogados so honestos. (A) AdvogadosHonestos
Nenhum advogado honesto. (E) AdvogadosHonestos Algum advogado
honesto ou existem advogados que so honestos. (I)
AdvogadosHonestosAdvogados honestos172 Esse material parte
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advogado no honesto ou existem advogados que no so honestos. (O)
AdvogadosHonestosAdvogados no honestosQuando um sujeito s tiver
certa propriedade S, diremos que s S. Caso s no tenha a propriedade
S, escreveremos s S. Assim, por exemplo, nas proposies Joo mdico e
Carlos no mdico, podemos ilustrar Joo como um elemento do conjunto
dos mdicos, mas Carlos no: Mdicos Joo CarlosA utilizao de diagramas
til, pois permite visualizar as premissas e a concluso, permitindo
verificar a validade de um argumento. A seguir, analisaremos cada
tipo de proposio categrica, relacionado-a com a teoria dos
conjuntos, com as proposies lgicas e com a lgica de predicados (em
que se faz o uso de quantificadores). Todo S P. (A) Quando dizemos,
por exemplo, que um conjunto S est contido em um conjunto P,
significa que a proposio todo elemento de S elemento de P
verdadeira. Em smbolos de conjuntos: S Na lgica proposicional: x SP
x PNa lgica de predicados: ( x), (S(x)P(x)) ou (~ x), (S(x) ~P(x))
SP173 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE
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Diagramas lgicos Nenhum S P. (E) Se um conjunto S no tem elemento
em comum com um conjunto P, significa que qualquer elemento que
pertence a S certamente no pertence a P. Nesse caso, dizemos que S
e P so conjuntos disjuntos. Em smbolos de conjuntos: S Na lgica
proposicional: x SP= x PNa lgica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x))
ou (~ x), (S(x) P(x)) SP Algum S P. (I) Se algum elemento de S
elemento de P, ento existe pelo menos um elemento que pertence
simultaneamente a S e a P. Nesse caso, a interseco entre S e P no
vazia, pois existe pelo menos um elemento no conjunto S P. Em
smbolos de conjuntos: SPNa lgica proposicional: x, x S x P Na lgica
de predicados: ( x), (S(x) P(x)) ou ~( x), (S(x) ~P(x)) SPS P Algum
S no P. (O) Se algum elemento de S no elemento de P, ento existe
pelo menos um elemento que no pertence simultaneamente a S e a P. A
consequncia disso a de que S no est contido em P. O conjunto
formado pelos elementos de S que no pertencem a P representado por
S P.174 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do
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Diagramas lgicosEm smbolos de conjuntos: SPNa lgica proposicional:
x, x S x P Na lgica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou ~( x),
(S(x) SP(x))PS-PObservao: O conjunto formado pelos elementos que
pertencem a S ou a P (ou a ambos) o conjunto S unio P, representado
por S P. S P SS-PPS PP-SSe for verdadeiro que todo S P e que todo P
S, ento S Nesse caso, os conjuntos S e P so iguais, ou seja, S =
P.PePS.Silogismos categricos Um silogismo um argumento composto de
duas premissas e uma concluso. Um silogismo categrico um argumento
composto por trs proposies categricas nas quais existem exatamente
trs termos; cada um dos quais ocorre precisamente em duas das trs
proposies. Uma das maneiras de verificar a validade ou no de um
silogismo categrico visualizar cada um dos predicados (conjuntos
que satisfazem determinada condio). Se a concluso do argumento for
necessariamente verdadeira, supondo como verdadeira cada uma das
premissas, o argumento considerado vlido, correto ou legtimo. Caso
contrrio, invlido, incorreto ou ilegtimo. Observe alguns exemplos
de silogismos categricos. 175 Esse material parte integrante do
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msicos so talentosos. ................. Premissa 1 Todos os
talentosos so exticos. ................. Premissa 2 Todos os msicos
so exticos. ..................... Concluso Exticos Talentosos
MsicosDe acordo com os diagramas, o argumento vlido. Os termos que
determinam as categorias msicos, talentosos e exticos aparecem em
exatamente duas das trs proposies do argumento. Isso o que
caracteriza um silogismo categrico. Exemplo 2: Todos os artistas so
criativos. .................... Premissa 1 Existem homens que so
artistas. ............. Premissa 2 Existem homens criativos.
............................ Concluso CriativosArtistasHomensO
argumento vlido, pois a concluso necessariamente verdadeira.
Observe que os predicados artistas, criativos e homens aparecem em
exatamente duas das trs proposies do argumento. Trata-se, portanto,
de um silogismo categrico.176 Esse material parte integrante do
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fantico religioso. ...................... Premissa 1 Existem homens
que so religiosos........... Premissa 2 Existem homens que so
fanticos............ Concluso FanticosReligiososHomensO argumento
invlido, pois a concluso no necessariamente verdadeira. Observe
que, supondo como verdadeiro que alguns homens so religiosos e que
nenhum fantico religioso, no h a garantia de que exista algum homem
que seja fantico. Exemplo 4: Nenhum fantico religioso.
............................... Premissa 1 Existem homens que so
religiosos. ................. Premissa 2 Existem homens que no so
fanticos. ......... Concluso FanticosReligiososHomensO argumento
vlido. A concluso necessariamente verdadeira. Pelos diagramas fica
claro que se existem homens religiosos e nenhum fantico religioso,
necessariamente alguns homens (religiosos) no so fanticos.177 Esse
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lgicosExemplo 5: Todos os sbios so introvertidos.
..................... Premissa 1 Existem animais que so
introvertidos. ........... Premissa 2 Existem animais que so sbios.
........................ Concluso Introvertidos SbiosAnimaisO
argumento invlido. A concluso no necessariamente verdadeira.
Observe que mesmo que todos os sbios sejam introvertidos e que
existam animais que sejam introvertidos, pode ocorrer que nenhum
animal seja sbio. Exemplo 6: Todos os sbios so introvertidos.
..................... Premissa 1 Existem animais que so
introvertidos. ........... Premissa 2 Existem animais que no so
sbios. ................ Concluso Introvertidos Sbios AnimaisO
argumento invlido, pois a concluso no necessariamente verdadeira. A
ilustrao uma das possveis configuraes que se pode construir a
partir da suposio da veracidade das premissas. Analisemos cada uma
das premissas e a concluso para explicar porque o argumento
invlido.178 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do
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Diagramas lgicosPremissa 1: Todos os sbios so introvertidos. Essa
proposio categrica possui o quantificador universal todos. Dessa
forma, deve-se destacar o conjunto dos sbios como subconjunto do
conjunto dos introvertidos. Nenhuma outra possibilidade de ilustrao
vivel a partir da veracidade dessa premissa. Premissa 2: Existem
animais que so introvertidos. Essa proposio categrica possui o
quantificador existencial existem. Assim, no possvel se garantir a
exata relao entre os diagramas dos conjuntos animais e
introvertidos. A ilustrao deve destacar que h interseco entre os
conjuntos animais e introvertidos, mas nada impede que possamos
ilustrar o conjunto animais como subconjunto de introvertidos. A
premissa no contrariada nessa situao. Concluso: Existem animais que
no so sbios. Inicialmente, observe que quando colocamos o conjunto
animais como subconjunto de introvertidos, abrimos a possibilidade
de que a concluso possa ser falsa, uma vez que, na ilustrao
apresentada, todos os animais so sbios. Lembre-se sempre que o
argumento s vlido quando a concluso necessariamente verdadeira. Se
houver alguma possibilidade de a concluso ser falsa, mesmo mantendo
a veracidade de cada uma das premissas, deve-se classificar o
argumento como invlido. Exemplo 7: Nenhum lgico louco.
................................ Premissa 1 Existem bichos que so
loucos. .................. Premissa 2 Existem lgicos que no so
bichos. ........ Concluso Bichos LgicosLoucos179 Esse material
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argumento invlido. A concluso no necessariamente verdadeira. Mais
uma vez, observe atentamente que a ilustrao uma das possveis
configuraes que se pode construir, supondo que as premissas sejam
verdadeiras. Vamos analisar as premissas e a concluso para
constatar que o argumento falacioso. Premissa 1: Nenhum lgico
louco. Essa proposio categrica possui o quantificador universal
nenhum. Assim, o conjunto lgicos tem interseco vazia com o conjunto
loucos, no existindo outra possibilidade em relao aos conjuntos.
Premissa 2: Existem bichos que so loucos. Essa proposio categrica
possui o quantificador existencial existem. Logo, no possvel se
garantir a exata relao entre os conjuntos bichos e loucos. A
ilustrao deve destacar que h interseco entre os conjuntos bichos e
loucos. Isso no impede que ilustremos o conjunto lgicos como
subconjunto de bichos. A premissa no contrariada nessa situao.
Concluso: Existem lgicos que no so bichos. Observe que ao
colocarmos o conjunto lgicos como subconjunto de bichos, abrimos a
possibilidade de que a concluso possa ser falsa, pois, na ilustrao
apresentada, todos os lgicos so bichos. Mais uma vez lembremos que
um argumento vlido apenas quando a concluso necessariamente
verdadeira. Como nesse caso existe a possibilidade de a concluso
ser falsa, sem que isso contrarie qualquer premissa, conclumos que
o argumento invlido.Validade de silogismos categricos pelo mtodo de
Venn Para determinar se um tpico silogismo categrico vlido ou no,
existe um mtodo elaborado pelo matemtico John Venn (1834-1923) que
consiste em se representar as premissas e a concluso em trs
diagramas que se interceptam dois a dois. Pelo mtodo, analisando os
diagramas, as premissas e a concluso do argumento pode-se verificar
se o argumento vlido. Considerando que os trs termos de um
silogismo categrico so representados pelas letras S, M e P, observe
a seguinte ilustrao: 180 Esse material parte integrante do
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diagramas (S, M e P) interceptam-se dois a dois, podemos
identificar oito diferentes regies que determinam oito distintas
classes. SP SMPSMPSMPSMP SMPSMP SMPSMPMOs smbolos e os
correspondentes significados de cada uma dessas regies o seguinte:
SMP: Elementos pertencentes a S e a P e a M. SMP: Elementos
pertencentes a S e a M, mas no a P. SMP: Elementos pertencentes a S
e a P, mas no a M. SMP: Elementos pertencentes a M e a P, mas no a
S. SMP: Elementos pertencentes a S, mas no a M, nem a P. S MP:
Elementos pertencentes a P, mas no a S, nem a M. SMP: Elementos
pertencentes a M, mas no a S, nem a P. S MP: Elementos que no
pertencem a S, nem a M, nem a P. Observe que o trao acima da letra
que representa um conjunto indica que o elemento considerado no
pertence a esse conjunto. Ainda, em vez de 181 Esse material parte
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a barra acima da letra que representa um dado conjunto, poderamos
tambm representar utilizando a notao de conjunto complementar. Por
exemplo, o complementar do conjunto A representa-se por Ac. Nos
prximos exemplos, observe como o procedimento de verificao da
validade de silogismos categricos por meio do mtodo de Venn.
Exemplo 1: Todo homem mortal.
.................................................. Premissa 1
Existem homens que so esportistas. ...................... Premissa
2 Existem esportistas que so mortais. .......................
Concluso Inicialmente, construmos os diagramas, considerando H como
conjunto dos homens, M como conjunto dos mortais e E como conjunto
dos esportistas. Em seguida, se, por exemplo, uma premissa indicar
que uma determinada regio vazia, vamos sombrear a rea
correspondente para indicar que na regio sombreada no existe
qualquer elemento. A premissa 1 afirma que todo homem mortal. Logo,
devemos sombrear as regies formadas pelas categorias HME e HME,
pois essas regies so vazias se a premissa 1 for verdadeira. HM
HMEHMEEA premissa 2 afirma que existem homens que so esportistas. A
partir dela, no podemos sombrear alguma regio especfica, mas
podemos colocar um X na regio que, necessariamente, no vazia. Este
X marcado garantir que existe pelo menos um elemento na regio em
que ele se encontra. Essa regio a que, de acordo com a premissa 1,
no foi sombreada e que est contida nos conjuntos H e E
simultaneamente. Na figura a seguir, o X indica que a premissa 2
verdadeira.182 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line
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Diagramas lgicosHM HME HME HMEXEA concluso afirma que existem
esportistas que so mortais. A presena de X na regio comum a H, E e
M, garante que existe pelo menos um homem que seja mortal e
esportista. Por isso, garante a veracidade de existem esportistas
que so mortais. Logo, a concluso verdadeira e consequncia das
premissas. Portanto, o argumento vlido. HM HME HME HMEXA presena de
elementos nesta regio garante que a concluso verdadeira.EExemplo 2:
Nenhum homem louco. .............................. Premissa 1
Existem bichos que so loucos. .................... Premissa 2
Existem homens que no so bichos. ........ Concluso De incio, vamos
construir os diagramas, considerando H como conjunto dos homens, L
como conjunto dos loucos e B como conjunto dos bichos. Em seguida,
de acordo com as premissas, devemos sombrear a rea que indica que a
classe correspondente vazia. A primeira premissa afirma que nenhum
homem louco. Logo, a interseco entre os conjuntos homens e loucos
vazia. Isso ser representado sombreando a regio comum aos conjuntos
homens e loucos. 183 Esse material parte integrante do Videoaulas
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premissa afirma que existem bichos que so loucos. Assim,
colocaremos um X na regio que comum aos conjuntos bichos e loucos.
Isso identifica que a regio que possui o X no vazia. HLXBA concluso
afirma que existem homens que no so bichos. Observe na prxima
ilustrao que a regio exclusiva do conjunto H, formada apenas pelos
elementos que so apenas homens, pode ser vazia. A consequncia disso
que todos os homens seriam bichos, o que tornaria a concluso falsa.
HLSe esta regio for vazia, todos os homens sero bichos. XB184 Esse
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lgicosPortanto, o argumento invlido. Observao: Em geral, a utilizao
de diagramas de Venn na verificao da validade de argumentos
categricos eficiente nos casos em que o argumento um silogismo, ou
seja, um argumento com duas premissas, uma concluso e a presena de
trs termos, cada um aparecendo duas vezes no argumento. Entretanto,
para argumentos com um maior nmero de premissas, a anlise
tradicional, possibilidade por possibilidade, torna-se mais
conveniente.Ampliando seus conhecimentos O prximo texto foi extrado
do livro Lgica Elementar.Lgica Antiga (MATES, 1967, p. 257-260)Se,
com essas observaes em mente, buscamos as origens de nossa cincia,
poderemos dizer, sem rodeios, que a histria da Lgica tem incio com
o filsofo grego Aristteles (384-322 a.C.). Embora, entre os
historiadores, seja quase um lugar comum afirmar que as grandes
conquistas intelectuais nunca se devem a uma pessoa apenas
(Euclides utilizou-se, para fundar a geometria, de resultados
obtidos por Eudoxo e outros; quanto mecnica, Newton pode erguer-se
sobre os ombros de Descartes, Galileu e Kepler; e assim por
diante), Aristteles, segundo todas as evidncias ao nosso alcance,
criou a cincia lgica inteiramente ex nihilo. Com uma franqueza que
desarma, ele prprio nos diz isso, em passagem ao fim das Refutaes
aos Sofistas, e no h motivo para duvidar da preciso de seu relato.
Muitos estudiosos afirmaram, apoiados em argumentos a priori, que
tal ato de criao impossvel e lanaram-se ao exame das obras dos
predecessores de Aristteles, especialmente Plato, procurando
encontrar pelo menos o germe da lgica aristotlica. A busca foi
inteiramente infrutfera; em razo, porm, de confuses de que demos
notcia nos dois pargrafos, tem-se por vezes afirmado o contrrio. Os
escritos de Aristteles a propsito da Lgica contm-se num conjunto de
tratados que pocas posteriores vieram a denominar Organon. Renem-se
nele seis obras: as Categoriae, De Interpretatione, Analytica
Priora, Analyti-185 Esse material parte integrante do Videoaulas
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Tpicos e Refutaes aos Sofistas (os ttulos provavelmente no foram
dados por Aristteles e so pouco indicativos do contedo). Impressos,
eles correspondem a um volume de vrias centenas de pginas, mas a
silogstica, ou teoria do silogismo, que o ncleo essencial da lgica
aristotlica, vem exposta em poucas pginas, ao comeo da Analytica
Priora. O mais que se inclui no Organon diz respeito, em maior
poro, a tpicos estranhos ao campo da Lgica, embora passagens
ocasionais esclaream a terminologia utilizada na silogstica ou
proporcionem outras informaes teis. Antes de nos adiantarmos,
importa anotar, entre parnteses, que o leitor de Aristteles no deve
perder de vistas as vicissitudes a que os escritos de Aristteles
estiveram sujeitos ao longo dos 23 sculos de sua histria. Houve
mutilao de trechos, notas marginais de comentadores foram includas
no texto, alterou-se a ordem dos livros e captulos, perderam-se
pargrafos inteiros e obras esprias surgiram e tudo isso alm dos
erros por omisso, duplicao e substituio normalmente cometidos pelos
copistas. O lgico dado leitura de Aristteles dever tambm
acautelar-se contra a pouca importncia por ele atribuda distino
uso-meno. Locues da forma toda A B e A est includo em B so usadas
indiferentemente por locues da forma B predicado de todo A e B
pertence a todo A; com efeito, a certa altura, o autor diz
redondamente: pois o mesmo uma primeira coisa ser includa como um
todo em outra e esta outra ser predicada de toda a primeira. Assim,
nas Categoriae, nos deparamos com a seguinte afirmao: Sempre que
uma coisa predicado de outra, que sujeito, tudo que predicado do
predicado tambm predicado do sujeito, e.g. homem predicado de homem
especfico, e animal, de homem; assim, animal ser tambm predicado de
um homem especfico. Se propusermos a questo de saber se, nesse
passo, Aristteles est se referindo a palavras ou coisas ou tanto a
umas quanto a outras, estaremos provavelmente fazendo uma pergunta
sem resposta; isso no quer dizer, naturalmente, que no tenha
contedo o que ele afirma. Silogismo, segundo Aristteles, uma parte
do discurso na qual, sendo postas certas coisas, delas decorrem
outras, necessariamente. Essa definio poderia levar a supor que
Aristteles usa o termo silogismo como equivalente aproximado de
argumento vlido, mas, na verdade, o alcance que lhe empresta muito
mais restrito. Prximo ao comeo da Analytica Priora, ele re-186 Esse
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lgicoslaciona as espcies de sentena que podem ser integrantes de um
silogismo. E nos diz que toda premissa ou concluso afirmativa ou
negativa, segundo afirme ou negue algo a propsito de algo.
Classificam-se as sentenas em universais, particulares ou
indefinidas: uma sentena universal assevera que algo pertence a
todo ou a nenhum outro algo; uma sentena particular assevera que
algo pertence ou no a algum ou a no todo algo diverso; e, por fim,
uma sentena indefinida assevera, sem faz-lo em geral nem em
particular, que algo pertence a algo, e.g., que o prazer no um bem.
Na prtica, as sentenas indefinidas so ignoradas por Aristteles;
razo para isso, de acordo com os comentadores, est em que elas
equivalem a correspondentes sentenas particulares. Seja como for,
as componentes do silogismo aristotlico so sempre sentenas
universais ou particulares e afirmativas ou negativas; isto ,
recorrendo a exemplos do prprio Aristteles, so sentenas como Todo
homem branco e Nenhum homem branco, Alguns homens so brancos e Nem
todos os homens so brancos, sentenas posteriormente designadas como
das formas A, E, I ou O, respectivamente. Expresses como homem e
branco so chamadas termos. A teoria do silogismo nada diz a
propsito de sentenas singulares, como Scrates branco, embora
sentenas desse tipo hajam desempenhado papel relevante em descries
da chamada Lgica Tradicional. Nem todo argumento composto de
sentenas A, E, I ou O um silogismo, mas apenas aqueles que
apresentam exatamente duas premissas e uma concluso e envolvem, no
mximo, trs termos. Assim, as duas premissas tem sempre um termo em
comum, pelo menos, e esse o chamado termo mdio. O predicado da
concluso o termo maior e o sujeito da concluso o termo menor. No
tratado De Interpretatione, Aristteles menciona algumas das relaes
lgicas existentes entre as sentenas A, E, I ou O que tenham os
mesmos termos como sujeito e predicado. As sentenas A e O so
contraditrias, assim como o so as E e I; de cada par de
contraditrias, diz ele, uma verdadeira. A e E so chamadas
contrrias; as contrrias no podem ser ambas verdadeiras, mas ambas
podem ser falsas. Essas relaes e outras foram, mais tarde,
representadas esquematicamente no Quadrado de Oposio, figura
encontradia em quase todos os textos de Lgica Tradicional e que
primeiro apareceu no comentrio que Apuleio de Madauros (sculo II a.
C.) escreveu a propsito de De Interpretatione.187 Esse material
parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais
informaes www.videoaulasonline.com.br 26. Diagramas
lgicosAristteles inicia sua exposio dedutiva da teoria
estabelecendo assim as chamadas leis de converso que,
posteriormente, usa para reduzir uma espcie de silogismo a outra.
Diz ele que a sentena negativa universal se converte em negativa
universal; por exemplo, se nenhum prazer um bem, ento nenhum bem
ser prazer. As sentenas afirmativas particulares e universais
convertem-se em afirmativas particulares; por exemplo, se todo
prazer um bem ou se algum prazer um bem, ento algum bem prazer. A
negativa particular no se converte; no o caso de se algum animal no
homem, ento algum homem no animal. Aristteles formula essas leis
valendo-se de variveis: Se A pertence a no B, ento B no pertence a
nenhum A. Se A pertence a todos os B, ento B pertencer a algum A.
Se A pertence a algum B, ento B pertencer a algum A. Essa foi a
primeira vez em que se fez o uso claro de variveis em
cincia.Atividades de aplicao 1. Classifique as proposies categricas
de acordo com a qualidade e a extenso: a) Todo animal carnvoro. b)
Nenhum homem cristo. c) Alguns macacos latem. d) Algumas ruas no so
pblicas. e) Existem praias poludas. f) Existem motoristas sem
carteira. 2. Considere a proposio categrica Todo homem mortal.
Escreva as correspondentes proposies: contraditria, contrria e
superalterna. 3. Se for verdade que todos os alunos so estudiosos,
ento necessariamente verdadeiro que:188 Esse material parte
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informaes www.videoaulasonline.com.br 27. Diagramas lgicosa) Nenhum
aluno estudioso? b) Alguns alunos so estudiosos? c) Alguns alunos
no so estudiosos? 4. Se for verdade que nenhum aluno estudioso,
ento necessariamente verdadeiro que: a) Todos os alunos so
estudiosos? b) Alguns alunos so estudiosos? c) Alguns alunos no so
estudiosos? 5. Se for verdade que alguns alunos so estudiosos, ento
necessariamente verdadeiro que: a) Todos os alunos so estudiosos?
b) Nenhum aluno estudioso? c) Alguns alunos no so estudiosos? 6. Se
for verdade que alguns alunos no so estudiosos, ento
necessariamente verdadeiro que: a) Todos os alunos so estudiosos?
b) Nenhum aluno estudioso? c) Alguns alunos so estudiosos? 7.
Escreva a sentena que nega cada uma das proposies categricas
abaixo: a) Todos os marujos esto no navio. b) Nenhum marujo est no
navio. c) Alguns marujos esto no navio. d) Alguns marujos no esto
no navio.189 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line
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Diagramas lgicos8. Considere o silogismo categrico a seguir.
Nenhuma rvore nativa.
......................................Premissa 1Nenhum nativo
homem. ..................................... Premissa 2Nenhuma
rvore homem. ................................... ConclusoResolva o
que se pede: a) Construa diagramas e verifique se o argumento vlido
pelo mtodo tradicional. b) Verifique se o argumento vlido pelo
mtodo de Venn.9. (Vunesp-adap.)Marque um X nos argumentos em que
ocorre uma concluso verdadeira (real) e o argumento invlido. ( )
Raulino homem e todo homem mortal, portanto Raulino mortal. ( )Toda
a pedra um homem, pois alguma pedra um ser e todo ser homem. (
)Todo cachorro mia e nenhum gato mia, portanto cachorros no so
gatos. ( )Todo o pensamento um raciocnio, portanto todo o
pensamento um movimento, visto que todos os raciocnios so
movimentos. ( )Toda cadeira um objeto e todo objeto tem cinco ps,
portanto algumas cadeiras tm s quatro ps. 10.Verifique a validade
do argumento categrico: Existem mariscos que so txicos. Existem
txicos que so teis. Logo, existem mariscos que so teis.190 Esse
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S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 29. Diagramas
lgicosReferncias ABELARDO, Pedro. Lgica para Principiantes.
Petrpolis: Vozes, 1994. ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciao Lgica
Matemtica. So Paulo: Nobel, 2003. 203 p. ARISTTELES. Tpicos. So
Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleo Os Pensadores). _____. Organon.
So Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleo Os Pensadores). BOLL, Marcel;
REINHART, Jacques. A Histria da Lgica. Lisboa: Edies 70, 1982. 127
p. CASTRUCCI, Benedito. Introduo Lgica Matemtica. 6. ed. So Paulo:
Nobel, 1986. 158 p. DESCARTES, Ren. Discurso do Mtodo. 4. ed. So
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Cleverson L. Aprendendo Lgica. 12. ed. Petrpolis: Vozes, 2000. 179
p. KOPNIN, P. V. A Dialtica como Lgica e Teoria do Conhecimento.
Rio de Janeiro, 1978. 353 p. LAUSCHNER, Roque. Lgica Formal. 4. ed.
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6. ed. So Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p. LIPSCHULTZ,
Seymour. Teoria dos Conjuntos. So Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p.
MACHADO, Nilson Jos. Matemtica 1 por Assunto lgica, conjuntos e
funes. So Paulo: Scipione, 1988. 240 p. _____. Lgica? Lgico! So
Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleo Vivendo a Matemtica). MARITAIN,
Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lgica
menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p. MATES, Benson. Lgica
Elementar. Traduo de: HEGENBERG, Lenidas H. B.; MOTA, Octanny
Silveira da. So Paulo: Nacional/ USP, 1967. 298 p. 191 Esse
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S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 30. Diagramas
lgicosNAHRA, Cnara; WEBER, Ivan Hingo. Atravs da Lgica. 5. ed.
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Raciocnio Lgico. 8. ed. Braslia: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1. _____.
Raciocnio Lgico. 8. ed. Braslia: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2.
SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lgica elementos da Lgica Formal e
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Goffredo. Curso de Lgica Formal. 3. ed. So Paulo: Edusp, 1973. 367
p.192 Esse material parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE
BRASIL S/A, mais informaes www.videoaulasonline.com.br 31.
Diagramas lgicosGabarito 1. a) Extenso: universal. Qualidade:
afirmativa.b) Extenso: universal. Qualidade: negativa.c) Extenso:
particular. Qualidade: afirmativa.d) Extenso: particular.
Qualidade: negativa.e) Extenso: particular. Qualidade:
afirmativa.f) Extenso: particular. Qualidade: negativa (a palavra
sem indica negao).2. Proposio: Todo homem mortal. Contraditria:
Algum homem no mortal.Contrria: Nenhum homem mortal.Superalterna:
Algum homem mortal.3. Observe a ilustrao que destaca a proposio
todos os alunos so estudiosos: Estudiosos AlunosA partir dessa
ilustrao, pode-se corretamente responder: 193 Esse material parte
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informaes www.videoaulasonline.com.br 32. Diagramas lgicosa) No,
pois todo aluno estudioso. b) Sim, pois se todo aluno estudioso,
algum aluno estudioso. c) No, pois todo aluno estudioso. 4. Observe
a ilustrao que destaca a proposio nenhum aluno estudioso:
AlunosEstudiososA partir dessa ilustrao, pode-se corretamente
responder: a) No, pois nenhum aluno estudioso. b) No, pois nenhum
aluno estudioso. c) Sim, pois se nenhum aluno estudioso, ento
alguns alunos no so estudiosos.5. Observe algumas ilustraes
possveis a partir da veracidade da proposio alguns alunos so
estudiosos: AlunosEstudiososEstudiosos AlunosA partir dessas
ilustraes, pode-se corretamente responder: a) No, pois, pela
primeira ilustrao, possvel que existam alunos que no sejam
estudiosos. b) No, pois, pela primeira ilustrao, possvel que
existam alunos que sejam estudiosos. c) No, pois, pela segunda
ilustrao, possvel que todos os alunos sejam estudiosos.194 Esse
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lgicos6. Observe algumas ilustraes possveis a partir da veracidade
da proposio alguns alunos no so estudiosos:
AlunosEstudiososAlunosEstudiososA partir dessas ilustraes, pode-se
corretamente responder: a) No, pois, pela primeira ilustrao,
possvel que existam alunos que no sejam estudiosos. b) No, pois,
pela primeira ilustrao, possvel que existam alunos que sejam
estudiosos. c) No, pois, pela segunda ilustrao, possvel que nenhum
aluno seja estudioso.7. a) Alguns marujos no esto no navio. b)
Alguns marujos esto no navio. c) Nenhum marujo est no navio. d)
Todos os marujos esto no navio. 8. a) Sejam A: conjunto das rvores,
N: conjunto dos nativos e H: conjunto dos homens. Observe uma
possvel ilustrao de tais conjuntos:195 Esse material parte
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acordo com as premissas, no existem elementos comuns aos conjuntos
A e N, e, tambm, aos conjuntos N e H. Mas isso no impede que
existam elementos comuns aos conjuntos A e H. Logo, a concluso
nenhuma rvore homem pode ser verdadeira ou pode ser falsa. Assim, a
concluso no est garantida na hiptese das premissas serem
verdadeiras e, portanto, o argumento no vlido.b) Em primeiro lugar,
devemos representar os trs conjuntos (A, N e H) em diagramas, com
interseces dois a dois. Em seguida, analisar as premissas. A
premissa 1 afirma que nenhuma rvore nativa, logo devemos sombrear
as regies ANH e ANH, pois tais regies so vazias na hiptese da
premissa 1 ser verdadeira. AN ANHANHANHANH ANHANH ANH HANHA
premissa 2 afirma que nenhum nativo homem. Logo, as regies ANH e
ANH devem ser sombreadas, pois so vazias.196 Esse material parte
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ANHANHANHANH ANHANH ANHANHHA concluso nenhuma rvore homem afirma
que os conjuntos A e N no tm elementos comuns. A parte comum aos
conjuntos A e N formada pelas regies ANH e ANH. A regio ANH vazia,
pois foi sombreada. Mas a regio ANH pode no estar vazia, pois no
foi sombreada. Como a regio da concluso do argumento no foi
inteiramente sombreada e, nesse caso, deveria ser inteiramente
sombreada, conclumos que o argumento no vlido.9. Analisando cada
argumento, temos: a) ( ) Raulino homem.
............................ Premissa 1Todo homem mortal.
....................... Premissa 2Raulino mortal.
................................... Concluso Mortais Homens
RaulinoNo sentido real, a concluso Raulino mortal verdadeira. Alm
disso, de acordo com a ilustrao anterior, o argumento vlido.197
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Diagramas lgicosb) ( ) Alguma pedra um ser.
......................... Premissa 1Todo ser homem.
....................................... Premissa 2Toda pedra um
homem. .......................... Concluso Homens SeresPedrasO
diagrama mostra que, mesmo que alguma pedra seja um ser e mesmo que
todo ser seja homem, pode ocorrer de existirem pedras que no so
homens. Logo, o argumento invlido. A concluso toda pedra um homem ,
no sentido real, evidentemente falsa.c) ( ) Todo cachorro mia.
.................................. Premissa 1Nenhum gato mia.
........................................ Premissa 2Cachorros no so
gatos. ........................... Concluso Animais que
miamGatosCachorrosDe acordo com a ilustrao, o argumento vlido. No
sentido real, a concluso cachorros no so gatos verdadeira.d) ( )
Todo o pensamento um raciocnio. ................ Premissa 1198 Esse
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lgicosTodos os raciocnios so movimentos. ..................
Premissa 2Todo o pensamento um movimento. .................
Concluso Movimentos Raciocnios PensamentosO argumento vlido. Embora
no esteja clara a extenso do significado da palavra movimento, no
sentido real a concluso pode ser considerada verdadeira.e) ( X )
Toda cadeira um objeto. ................................. Premissa
1Todo objeto tem cinco ps. .......................................
Premissa 2Algumas cadeiras tm s quatro ps. ....................
Concluso Cinco ps Objetos CadeirasDa ilustrao, conclui-se que todas
as cadeiras tm cinco ps. A partir disso, conclumos ser falsa a
afirmao de que algumas cadeiras tm s quatro ps. Portanto, o
argumento invlido. A questo solicitava que marcssemos o argumento
invlido, cuja concluso, na realidade, verdadeira. Observe que, no
sentido real, entretanto, quando dizemos que algumas cadeiras tm s
quatro ps, tal concluso verdadeira. Ou seja, mesmo que existam
cadeiras com menos que quatro ps ou mais que quatro ps, no sentido
real devemos admitir que existem cadeiras que tm s quatro ps. 199
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Diagramas lgicos10.Observe como podemos organizar os diagramas a
partir das premissas consideradas verdadeiras:
mariscotxicosteisMesmo que existam mariscos que sejam txicos e que
existam txicos que sejam teis, no necessariamente verdadeiro que
existam mariscos que sejam teis. Portanto, o argumento invlido.200
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