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Maria José Araújo Souza INFORMÁTICA EDUCATIVA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Estudo de Geometria no ambiente do software Cabri-Géomètre Dissertação de Mestrado Fortaleza - CE - Brasil Setembro - 2001

Dissertacao cabri

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  • Maria Jos Arajo Souza

    INFORMTICA EDUCATIVA NA

    EDUCAO MATEMTICA

    Estudo de Geometria no ambiente

    do software Cabri-Gomtre

    Dissertao de Mestrado

    Fortaleza - CE - Brasil Setembro - 2001

  • 2

    Universidade Federal do Cear UFC Faculdade de Educao - FACED Programa de Ps-Graduao em Educao Brasileira

    Informtica Educativa na Educao Matemtica:

    Estudo de Geometria no ambiente do software

    Cabri-Gomtre

    Maria Jos Arajo Souza

    Dissertao apresentada ao Programa de

    Ps-Graduao em Educao Brasileira da

    Faculdade de Educao da Universidade

    Federal do Cear UFC, como requisito

    parcial para a obteno do ttulo de mestre,

    tendo como orientador o Prof. Dr. Hermnio

    Borges Neto - UFC.

    Fortaleza Cear Setembro - 2001

    Universidade Federal do Cear UFC Faculdade de Educao - FACED Programa de Ps-Graduao em Educao Brasileira

  • 3

    Informtica Educativa na Educao Matemtica:

    Estudo de Geometria no ambiente do software

    Cabri-Gomtre

    Maria Jos Arajo Souza

    ________________________________________ Prof. Dr. Hermnio Borges Neto - UFC

    Orientador

    ________________________________________ Maria Jos Arajo Souza

    Orientanda

    Fortaleza CE Setembro - 2001

    Universidade Federal do Cear UFC Faculdade de Educao - FACED Programa de Ps-Graduao em Educao Brasileira

  • 4

    Informtica Educativa na Educao Matemtica:

    Estudo de Geometria no ambiente do software

    Cabri-Gomtre

    Maria Jos Arajo Souza

    Dissertao defendida em _______ de ______________________ de 2001.

    BANCA EXAMINADORA:

    1. __________________________________________________ Prof. Dr. Hermnio Borges Neto - UFC 2. ___________________________________________________ Prof. Ph.D. Paulo Gileno Cysneiros - UFPE 3. ___________________________________________________ Prof. Dra. Maria Gilvanise de Oliveira Ponte UECE

    Fortaleza - CE Setembro - 2001

  • 5

    das hipteses simples que mais devemos

    desconfiar; porque so aquelas que tm mais

    possibilidades de passar despercebidas.

    Poincar

  • 6

    Dedico este trabalho a todos os professores que,

    com seu rduo trabalho, buscam os ideais da

    dignidade e liberdade humana.

    AGRADECIMENTOS

    A Deus, pela vida e pela f para vencer os obstculos. Ao meu orientador, professor e amigo, Prof. Hermnio Borges Neto, por tudo o que tenho aprendido na convivncia diria, nas discusses, orientaes e trabalhos desenvolvidos juntos, pela pacincia, compreenso e direcionamentos. A voc, meu carinho, admirao e agradecimentos. Ao Prof. Alex Sandro Gomes, pelas reflexes e consideraes acerca deste trabalho. Aos professores do Curso de Ps-Graduao da UFC, pelos ensinamentos. Ao Professor Paulo Gileno e Professora Gilvanise, pela aceitao ao convite para fazer parte da banca examinadora desta dissertao.

  • 7

    Diretora do CREDE 06, Prof Joana de Ftima Menezes C. Vasconcelos, pela compreenso, pacincia e apoio durante o perodo de realizao do presente ensaio. Aos amigos e companheiros de trabalho do CREDE 06, em especial aos do NTE - Aglair e Aninha - pela fora e apoio em todos os momentos. Aos amigos e companheiros de pesquisa do Laboratrio Multimeios FACED/UFC, pelas discusses durante a pesquisa que muito enriqueceram este relatrio final. s alunas do Curso de Pedagogia da UFC, que participaram como voluntrias da pesquisa, viabilizando parte do trabalho. Aos professores da Escola Estadual Maria da Conceio Porfrio Teles, no nome da Diretora Aurineide Matias da Silva, pela participao no projeto. s amigas Marclia, Izabel, Natlia e Marta, pelas discusses e contribuies acerca desta busca ora relatada. s amigas Aninha, Izabel e Shirleyde, pela amizade e harmoniosa convivncia no espao que dividimos. minha famlia, especialmente aos meus pais, meus primeiros educadores. A todos os que contribuam de maneira direta ou indireta para realizao deste trabalho.

    RESUMO

    Trata de um estudo acerca da influncia do computador no ensino da

    Matemtica, dando especial nfase ao trabalho com o software Cabri-Gomtre.

    Tivemos como objetivo maior identificar dificuldades enfrentadas pelo professor no

    ensino de Geometria, quando trabalhada com o referido software. Para realizarmos

    tal intuito, achamos por bem fazer um breve resgate histrico de assuntos

    relacionados com a temtica abordada, a fim de oferecer maior compreenso sobre a

    realidade atual, atravs do conhecimento de fatos que influenciaram e continuam

    influenciando a prtica profissional do professor. No desenvolvimento do trabalho,

    fazemos um estudo ligado aos seguintes subtemas: o ensino da Matemtica nas

    escolas e as tendncias e perspectivas atuais da Educao Matemtica; uma

    recuperao histrica do desenvolvimento da Geometria Euclidiana e a sua

    vinculao ao currculo escolar; o desenvolvimento da infomtica na educao no

    Brasil, desde os primeiros projetos na rea, at o mais atual, que o Proinfo,

  • 8

    enfatizando a sua execuo no Estado do Cear. Como a pesquisa realizada neste

    trabalho foi desenvolvida junto ao Tele-Ambiente, projeto executado pela Faculdade

    de Educao da Universidade Federal do Cear UFC, fazemos ento uma

    caracterizao do projeto a fim de situar e contextualizar o ambiente de

    desenvolvimento da pesquisa. Os referenciais tericos que norteiam este estudo esto

    ligados Teoria das Situaes Didticas de Brousseau, Seqncia de Fedathi e

    Geometria Dinmica, do software Cabri-Gomtre. Ao finalizar, foi possvel

    percebermos que o ensino da Geometria na escola bsica ainda muito deficiente.

    Entre os fatores que influenciam este fato, podemos destacar a formao do

    professor, que acaba sendo insuficiente, tanto no que diz respeito ao ensino dos

    contedos, quanto aos processos didticos, tericos e metodolgicos do ensino da

    Matemtica. Acreditamos que, para melhorar essa realidade, necessrio que haja

    mudanas e adaptaes nos currculos dos cursos que formam professores para o

    ensino da Matemtica, como tambm nos currculos escolares, tanto no que diz

    respeito utilizao crtica das novas tecnologias de informao, como tambm de

    um ensino crtico dos contedos, numa perspectiva de dar aos educandos uma slida

    formao para que se possam inserir na sociedade de uma maneira crtica,

    competente, humana, atuante e justa.

  • 9

    ABSTRACT

    This work is about a study concerning the influence of the computer in the

    teaching of the mathematics, giving special emphasis to the work with the software

    Cabri-Gomtre. We had as larger objective to identify difficulties faced by the

    teacher in the geometry teaching, when worked with referred him software. For we

    accomplish such intention, we found for well to do an approached brief historical

    ransom of subjects related with the thematic, in order to give a larger understanding

    about the current reality, through the knowledge of last facts that you/they influenced

    and they continue influencing the teacher's practice professional. In the development

    of the work we make a study linked to the following under themes: the teaching of

    the mathematics in the schools and the tendencies and current perspectives of the

    Mathematical Education; a historical ransom of the development of the Geometry

    Euclidian and its entail to the school curriculum; the development of the computer

    science in the education in Brazil from the first projects in the area until the most

    current that it is Proinfo, emphasizing its execution in the State of Cear. As the

    research accomplished in this work was developed the Tele-Ambient, project that

    comes close to being executed by the Ability of Education of the Federal University

    of Cear - UFC, makes a characterization of the project then in order to place and to

    characterize the atmosphere of development of the research. The theoretical

    references that direction this study is tied up the Theory of the Didactic Situations of

    Brousseau, the Sequence of Fedathi and the Dynamic Geometry of the software

    Cabri-Gomtre. When concluding the work it was possible we notice that the

    teaching of the geometry in the basic school is still very faulty. Among the factors

    that influence this fact, the teacher's formation, that ends up being so much

    insufficient in what can highlight he/she says respect to the teaching of the contents,

    with relationship to the didactic, theoretical and methodological processes of the

    teaching of the mathematics. We believed that to improve that reality is necessary

    that there are changes and adaptations in the curricula of the courses that form

    teachers for the teaching of the mathematics, as well as in the school curricula, so

    much in what he/she says respect to the critical use of the new technologies of

    information, as well as of a critical teaching of the contents, in a perspective of

  • 10

    giving to the students a solid formation so that they can interfere in the society in a

    critical, competent way, octant and just.

    SUMRIO

    Pg. Lista de Quadros..................................................................................................... 14 Lista de Figuras....................................................................................................... 15

  • 11

    Lista de Protocolos.................................................................................................. 16 Lista de Anexos........................................................................................................ 17 APRESENTAO.................................................................................................. 18 INTRODUO....................................................................................................... 20 Captulo 1 A EDUCAO MATEMTICA E O ENSINO DA GEOMETRIA 1.1 Consideraes acerca do ensino da Matemtica................................................ 25 1.1.1 Importncia do ensino da Matemtica na escola......................................... 25 1.2 Conhecendo a Geometria................................................................................... 27 1.2.1 E a Geometria, ensin- la porqu?................................................................... 29 1.2.2 Breve histrico da Geometria......................................................................... 36 1.2.3 A Geometria Euclidiana.................................................................................. 38 1.2.4 Euclides e o desenvolvimento dos princpios da Geometria......................... 39 1.3 Educao Matemtica: algumas tendncias....................................................... 46 Captulo 2 REFLEXES ACERCA DA DIDTICA DA MATEMTICA 2.1 A Didtica da Matemtica, de Guy Brousseau.............................................. 51 2.1.1 O papel do professor no ensino-aprendizagem da Matemtica................... 52 2.1.2 Obstculos no ensino da Matemtica............................................................. 53 2.1.3 A Devoluo do Problema.............................................................................. 54 2.1.4 A Teoria das Situaes Didticas.................................................................... 55 2.1.5 As Situaes a-didticas.................................................................................. 58 2.2 A Seqncia de Fedathi...................................................................................... 60 2.3 Seqncia de Fedathi e Situaes Didticas: algumas relaes...................... 66 Captulo 3 EDUCAO E INFORMTICA 3.1 Informtica no contexto educativo..................................................................... 68 3.2 Uma classificao sobre o uso do computador na escola.................................. 70 3.3 Breve histrico da Informtica na Educao..................................................... 71 3.3.1 Nos Estados Unidos........................................................................................ 72 3.3.2 Em Frana....................................................................................................... 73 3.3.3 No Brasil......................................................................................................... 75 3.3.4 A Informtica na Educao no Cear............................................................. 76 3.4 A Formao do professor para a utilizao das novas tecnologias................. 82 3.5 Conhecendo a Geometria do software Cabri-Gomtre................................ 85 3.5.1 Sobre a criao do software Cabri-Gomtre................................................. 86 3.5.2 Explorando funes do Cabri-Gomtre......................................................... 87 CAPTULO 4 DELINEANDO A PESQUISA 4.1 O que o Tele-Ambiente ?................................................................................. 95 4.2 Descrevendo o Projeto Tele-Cabri.................................................................... 98 4.2.1 Etapas de execuo do Tele-Cabri.................................................................. 100 4.3. Experincias vivenciadas na implementao do Tele-Cabri.............................. 101 4.3.1 Atividades desenvolvidas no Laboratrio Multimeios................................... 101 4.3.2 Implementao do Curso de Geometria.......................................................... 104 4.3.3 Atividades desenvolvidas na Escola Conceio Teles.................................... 105 4.4 Descrevendo o Estudo Piloto 1......................................................................... 105

  • 12

    4.4.1 Metodologia Aplicada no Estudo Piloto 1...................................................... 106 4.5 A utilizao do software ScreenCam como instrumento de apoio a pesquisa em Informtica Educativa.........................................................................................

    110

    4.5.1 Conhecendo o software Lotus ScreenCam.................................................... 110 4.5.2 O trabalho com o ScreenCam no Tele-Cabri................................................ 112 CAPTULO 5 ANLISE DOS DADOS 5.1 Anlise das sesses do Estudo Piloto 1.......................................................... 116 5.1.1 Dificuldades no gerenciamento do Computador.......................................... 116 5.1.2 Dificuldades no domnio do software Cabri-Gomtre................................ 117 5.1.3 Dificuldades com os conceitos da Geometria................................................. 123 5.2. Anlise do modelo das atividades................................................................. 131 5.3 Classificao dos problemas.......................................................................... 132 5.4 Tipos de Mediao......................................................................................... 133 5.5 Anlise do Contrato Didtico........................................................................ 135 5.6 Algumas contribuies para o ensino distncia no Tele-Cabri................. 136 6 CONSIDERAES FINAIS............................................................................. 141 7 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.............................................................. 145 8 ANEXOS............................................................................................................... 154

    LISTA DE QUADROS

    Pg. 01: Obstculos no Sistema Didtico, segundo Brousseau (1976)...................... 53

  • 13

    02: Esquema representativo de uma Situao Didtica...................................... 60

    03: Relao Professor-Aluno-Saber, na Seqncia de Fedathi........................... 61

    04: Estrutura Administrativa do Acompanhamento Pedaggico da Informtica

    Educativa nas Escolas Pblicas do Estado do Cear.....................................

    77

    05: Breve histrico do Cabri-Gomtre.............................................................. 86

    06: Esquema de integrao dos subprojetos do Tele-Ambiente.......................... 97

    07: Esquema grfico da estrutura do Tele-Cabri................................................. 99

    08: Prottipo da homepage do Tele-Cabri......................................................... 104

    09: Mdulos dos contedos do Curso de Geometria do Tele-Cabri................... 104

    10: Descrio do perfil das alunas participantes do Estudo Piloto 1.................. 108

    11: Participao das alunas nas sesses do Estudo Piloto 1................................ 108

    12: Modelo da atividade da fase de formao do Estudo Piloto 1..................... 131

    13: Modelo da atividade da fase de coleta do Estudo Piloto 1............................ 131

    LISTA DE FIGURAS

    Pg.

    1: Atividade proposta para professores na disciplina Ensino de Matemtica...... 34

    2: Esquema representativo da soluo da atividade por uma aluna da

    disciplina Ensino de Matemtica......................................................................

    35

  • 14

    3: Representao geomtrica do Quinto Postulado de Euclides.......................... 42

    4: Construo geomtrica de um tringulo eqiltero segundo Euclides............ 45

    5-A e 5-B: Exemplificao das funes ponto sobre objeto e ponto de

    intercesso........................................................................................................

    88

    6-A e 6-B: Exemplificao do comando de verificao de propriedades........... 89

    7-A, 7-B, 7-C e 7-D: Exemplificao do comando compasso............................. 89

    8-A e 8-B: Exemplo de investigao de propriedades geomtricas..................... 90

    9-A e 9-B: Exemplificao sobre suprimir funes do menu............................ 91

    10-A e 10-B: Exemplificao de situaes de experimentao geomtrica ....... 91

    11-A e 11-B: Exemplificao de construes algbricas..................................... 92

    12-A, 12-B e 12-C: Exemplificao sobre etapas de construo de uma figura 92

    13-A, 13-B e 13-C: Exemplificao sobre o comando ocultar............................ 93

    14: Tela de abertura do software Lotus ScreenCam............................................ 110

    15: Painel de interrupo visvel durante uma gravao no software

    ScreenCam.....................................................................................................

    111

    16: Janela de controle dos arquivos do ScreenCam............................................. 114

    LISTA DE PROTOCOLOS

    Pg.

    01: Bianca Mudar de funo............................................................................ 117

    02: Karina Apagar objetos................................................................................ 118

  • 15

    03: Michele Construir figuras estveis............................................................. 119

    04: Sara Marcar ponto de interseco.............................................................. 120

    05: Bianca Ocultar objetos............................................................................... 121

    06: Tas Arrastar e movimentar objetos........................................................... 122

    07: Michele Circunferncia e Arco.................................................................. 123

    08: Iris Paralelogramo...................................................................................... 125

    09: Bianca Retas Perpendiculares.................................................................... 126

    10: Bruna Diviso de Segmentos..................................................................... 127

    11: Michele Simetria........................................................................................ 128

    12: Tas ngulo ............................................................................................... 129

    LISTA DE ANEXOS Pg. 01: Cartaz-convite para voluntrios do Estudo Piloto 1...................................... 154

    02: Ficha de inscrio para os voluntrios do Estudo Piloto 1.......................... 155

  • 16

    03: Atividade 1 - Paralelas e Perpendiculares..................................................... 156

    04: Atividade 2 - Ponto Mdio............................................................................ 157

    05: Atividade 3 - Bissetriz................................................................................... 158

    06: Atividade 4 - Tringulo Retngulo............................................................... 159

    07: Atividade 5 - Paralelogramo......................................................................... 160

    08: Atividade 6 - Diviso de Segmentos............................................................. 161

    09: Atividade 7 - Simetria................................................................................... 162

    10: Atividade 8 - Semelhana de Tringulos..................................................... 163

    11: Atividade da Coleta 1 - Ponte sobre o Rio.................................................. 164

    12: Atividade da Coleta 2 - Tringulos e Simetria.......................................... 165

    13: Ficha de observao das sesses do Estudo Piloto 1.................................... 166

    14: Ficha de anlise das sesses do Estudo Piloto 1..................................... 168

    15: Formulrio de Entrevista Final para as Alunas participantes do

    Estudo Piloto 1..............................................................................................

    169

    16: Modelo do protocolo de transcrio dos arquivos do ScreenCam................ 171

    APRESENTAO

    O texto que segue resultado do trabalho junto ao Projeto Tele-Cabri,

    desenvolvido pela Faculdade de Educao da UFC, juntamente com reflexes e

    estudos que vimos realizando a partir de experincias vivenciadas em nossa

    prtica docente.

  • 17

    Com ele, pretendemos trazer tona algumas questes relacionadas ao

    ensino de Matemtica, mais especificamente da Geometria e da Informtica

    Educativa, especialmente no que concerne ao uso do computador como instrumento

    de apoio para o professor no ensino-aprendizagem da Matemtica.

    Para melhor compreenso e sequenciamento da problemtica estudada,

    dividimos o texto em cinco captulos distintos e interligados.

    O Captulo 1 questiona alguns problemas enfrentados pelo professor no

    ensino-aprendizagem da Matemtica, ressaltando a Geometria Plana, buscando

    mostrar a importncia dessas reas atravs de suas razes histricas e as tendncias

    atuais das pesquisas em Educao Matemtica.

    O Captulo 2 define o quadro terico utilizado na pesquisa, focaliza

    basicamente aspectos relevantes da Teoria das Situaes Didticas, de Brousseau,

    aspectos de uma seqncia metodolgica para o ensino de Matemtica denominada

    Seqncia de Fedathi.

    O Captulo 3 enfatiza a introduo da Informtica no contexto educativo,

    suas razes histricas no Brasil, fazendo tambm breve recuperao de seu

    desenvolvimento no Cear at a implantao do Proinfo e a Geometria Dinmica do

    software Cabri-Gomtre.

    O Captulo 4 descreve os Projetos Tele-ambiente e Tele-Cabri, nos quais a

    pesquisa desse estudo est inserida. Detalha as atividades desenvolvidas na

    pesquisa, bem como a metodologia adotada para a realizao do estudo-piloto que

    constou de intervenes junto a professores em formao do Curso de Pedagogia.

    Alm disso, buscamos mostrar as vantagens identificadas na pesquisa em Informtica

    Educativa com a utilizao do software ScreenCam.

    O Captulo 5 apresenta e analisa os resultados obtidos nas intervenes,

    buscando compreender as dificuldades encontradas pelo professor, tanto no ambiente

    do software Cabri-Gomtre, como tambm, na compreenso de conceitos de

  • 18

    Geometria abordados nas atividades. Evidenciamos ainda elementos que venham a

    contribuir com o ensino a distncia que ser propiciado pelo Tele-Ambiente.

    Esperamos que esse trabalho possa dar uma contribuio, embora que

    modesta, para a elaborao de situaes didticas mais eficientes no ensino de

    Geometria, essencialmente quando trabalhada com o software Cabri-Gomtre.

  • 19

    INTRODUO

    A idia de que a Matemtica oferece mais obstculos aprendizagem do que

    as demais disciplinas, confirmada na prtica das salas de aula por muitos e muitos

    anos, certamente muito antiga, e, por isso mesmo, tem merecido, nos ltimos anos,

    especial ateno por parte dos educadores matemticos e dos professores em geral.

    Apesar desta ateno, o ensino de Matemtica ainda continua sendo proposto

    de maneira pouco refletida, seja quanto aos contedos, mtodos de ensino e

    avaliao. Quando olhamos para as propostas programticas das ltimas dcadas,

    vemos que os objetivos da educao mudaram, passando, por exemplo, pela

    preparao profissional, por maior cobrana no desenvolvimento do intelecto, dos

    sentimentos e do fsico, pela preparao para a cidadania, pelo desenvolvimento do

    senso crtico, em todas as fases; contudo, o ensino de Matemtica permaneceu

    basicamente o mesmo e, ainda que algumas propostas faam referncias a processos

    metodolgicos, eles pouco mudaram, chegando quase a no alterar a maioria dos

    livros didticos e a prtica escolar. Fica difcil pensar como aqueles objetivos

    poderiam ser alcanados se os instrumentos bsicos escolares de que dispem para

    sua consecuo - os contedos e os mtodos - ficavam invariantes.

    Em contraste com esse imobilismo do ensino, a sociedade muda, e muito, no

    mesmo perodo. Ressaltamos aqui dois fatores, ambos frutos do desenvolvimento

    tecnolgico, associados a mudanas sociais radicais: a Comunicao e a Informtica.

    Os satlites tornam o acesso informao um fenmeno instantneo e mundial. Se

    at pouco os homens eram receptores passivos das informaes, as redes de

    computador comeam a dar a cada usurio a possibilidade de interao. Mudam os

    transportes, a telefonia; a vida diria permeada pela presena da Informtica e da

    tecnologia em geral. As relaes globais entre os pases passam por alteraes

    drsticas. O equilbrio econmico instvel. As trocas de mercadorias e a

    convivncia com outras culturas so muito mais intensas. O ritmo global de vida,

    incluindo as relaes familiares e profissionais, torna-se outro. Os adultos tentam

    adaptar-se a esse impacto, as crianas e os jovens crescem sob a influncia dessa

    nova realidade. Para eles, a tecnologia faz parte do mundo cotidiano, so muito mais

  • 20

    soltos na estrutura familiar e social. Desemprego e violncia tambm fazem parte do

    cotidiano.

    A escola, como unidade social, tambm tem sua dinmica, seu ritmo, suas

    relaes internas alteradas. Percebe que o pacote instrucional antigo, que ela tem

    tradicionalmente por misso transmitir, j no funciona to bem, no se adequa a

    essa nova realidade e s mentalidades de seus alunos. Na falta de uma poltica global

    mais gil, que repense o papel da escola e incorpore gradativamente mudanas

    necessrias, ela persiste em um certo obsoletismo, lutando por fazer funcionar o

    modelo antigo, cada vez com maior desgaste e menores resultados.

    Se, por um lado, a necessidade por algumas mudanas parece bvia, h, por

    outro, certa dvida: mas os alunos no tm que aprender isso que ns sempre lhes

    ensinamos?

    Torna-se necessrio tomar conscincia, no global, de que consiste um novo

    ensino, que dever satisfazer s demandas da nova sociedade. Entendemos que o

    conhecimento continua a ser um bem importante, em qualquer sociedade. Sem

    conhecimento no h servios, nem progressos, nem mudanas. Sem ele no h

    (entre muitos outros) professores, mdicos, engenheiros, padeiros ou costureiros.

    Sem ele no h pesquisas visando melhoria da sade e das condies gerais de

    vida.

    Por outro lado, o conhecimento que se exige das pessoas na sociedade atual

    caracterizado por agilidade e funcionalidade. Faamos a comparao com um curso

    de Informtica, por exemplo: os alunos no iro a um desses cursos para ver, durante

    um ano ou mais, aspectos tericos, ou conhecimentos que eles no sabem para que

    servem nem tm condies de coloc- los logo em prtica no computador, mas que

    os informam de que sero teis somente mais tarde.

    Na sociedade atual, as pessoas enfatizam o aspecto funcional do

    conhecimento. Querem adquiri- lo por uma aprendizagem e participar dela. Essa

    conscincia ativa, atenta e participante altamente desejvel na sociedade moderna,

    que no comporta mais, pela diversidade e interrelao das suas funes, sujeitos

  • 21

    meramente treinados em nica habilidade, incapazes de discuti- la, modific- la,

    adapt- la e com dificuldade de aprenderem outras.

    A escola, entretanto, insiste no modelo antigo, despejando conhecimentos que

    o aluno ir utilizar mais tarde, na maioria das vezes sem question- los e

    contextualiz- los, muitos dos quais o prprio professor desconhece sua importncia,

    por que o est ensinado e como deveria ensin- lo.

    Essas so caractersticas desejveis para o conhecimento que se veicula

    atualmente: gil, funcional, participativo, libertador - no sentido de remover barreiras

    que impeam a plena criatividade de uma pessoa, sua compreenso dos processos e

    autonomia de pensamento para resolver situaes-problema das mais variadas

    naturezas.

    Frente a este contexto, o presente trabalho tem como intuito trazer tona e

    discutir algumas questes referentes ao ensino de Matemtica, especificamente na

    rea da Geometria no mbito da Informtica Educativa, numa perspectiva de que

    estes temas, como um todo, esto subordinados aos objetivos da educao.

    Envolvimento com o tema

    Nosso interesse em trabalhar com os recursos da Informtica no ensino de

    Matemtica, particularmente na rea de Geometria, vem de nossa prtica como

    professora dessa disciplina e tambm de nossa atuao profissional num mbito

    mais global.

    Desde 1990 passamos a lecionar a disciplina Matemtica em sries do

    ensino fundamental e mdio. A partir de 1994, lecionamos por trs anos, a disciplina

    Geometria em uma escola privada de Ensino Fundamental e Mdio. Essa experincia

    foi de grande importncia para termos uma viso de como o ensino de Geometria

    encarado por professores e alunos. Nessa escola, tnhamos 40% de nossa carga

    horria destinada a aulas de apoio para tirar dvidas dos alunos. Nas aulas de apoio,

    tivemos a oportunidade de nos deparar com as dvidas mais freqentes dos alunos e

  • 22

    tambm com situaes difceis de serem explicadas e justificadas pelo professor, os

    itens que eram menos compreendidos na sala de aula, os depoimentos e desabafos

    dos alunos sobre suas aulas e sobre seus professores de Matemtica.

    Junto experincia de professora, ainda como estudante universitria da

    graduao, fomos monitora durante dois anos e meio da disciplina Geometria

    Euclidiana. Nesse perodo, tivemos parte de nosso trabalho dedicado realizao de

    cursos mirins de Matemtica para alunos de escolas pblicas que apresentavam

    baixo desempenho nesta disciplina.

    Durante trs anos, fizemos parte de um projeto da PROLICEN (Programa

    das Licenciaturas), atravs da Pr-Reitoria de Extenso da Universidade Estadual

    Vale do Acara UVA, sobre a implantao de laboratrios para o ensino de

    Cincias e Matemtica junto s secretarias de educao municipais da regio norte

    do Cear.

    Em 1996, fomos coordenadora do Laboratrio de Informtica do Colgio

    Estadual Dom Jos Tupinamb da Frota, em Sobral. Nesse perodo, apesar da

    preocupao com a aprendizagem curricular dos alunos, os trabalhos que

    desenvolvemos atravs de cursos bsicos ainda no tinham a percepo da

    Informtica Educativa, e sim da formao profissional, pois 70% dos alunos da

    escola eram do ensino mdio e nossa inteno era, atravs da Informtica, melhor

    prepar- los para o mercado de trabalho. Em 1998, aps concluirmos uma

    Especializao em Informtica na Educao, passamos a integrar o Ncleo de

    Tecnologia Educacional NTE do CREDE 06, trabalhando com a formao de

    professores, agora na perspectiva da Informtica Educativa.

    Em 1997/98, fomos instrutora de Informtica do Centro Vocacional

    Tecnolgico CVT/Sobral, ministrando cursos de Informtica Bsica e Aplicada

    para professores e alunos de escolas pblicas.

    Desde 1998, lecionamos a disciplina Metodologia do Ensino de Matemtica,

    no Curso de Pedagogia e no Curso de Especializao em Metodologia do Ensino

    Fundamental e Mdio da Universidade Estadual Vale do Acara - UVA. Atravs

  • 23

    dos trabalhos e reflexes junto aos professores, foi possvel reconhecermos a

    necessidade urgente de um forte investimento nos cursos de Magistrio e

    Licenciaturas em Matemtica no que diz respeito ao ensino de Matemtica e,

    consequentemente, de Geometria.

    Lecionamos a disciplina Informtica na Educao no Curso de Especializao

    em Informtica Educativa no Campus da UECE Quixad, e no Curso de

    Formao de Professores (Pedagogia) da UVA Sobral.

    Nossas aprendizagens, reflexes e questionamentos em torno das experincias

    citadas anteriormente, juntamente com nosso compromisso profissional e social,

    conduziram-nos construo da temtica escolhida para nosso projeto de pesquisa,

    visando, assim, a poder buscar contribuies para superao dos problemas de

    ensino com os quais nos deparamos.

    Objetivos da Pesquisa

    . Objetivo geral

    Analisar as dificuldades do professor na compreenso de conceitos da

    Geometria Plana, atravs da resoluo de problemas no ambiente do software Cabri-

    Gemtre.

    . Objetivos especficos

    - Identificar dificuldades no manuseio do computador e no domnio do software

    Cabri-Gemtre;

    - Verificar a compreenso dos professores acerca de conceitos da Geometria Plana;

    - Reconhecer aspectos que determinam a evoluo da aprendizagem Matemtica

    dentro de uma situao didtica que contemple o uso do computador;

    - Identificar elementos que contribuam para o Ensino Distncia, no ambiente

    computacional.

  • 24

    CAPTULO 1 EDUCAO MATEMTICA E O ENSINO DE GEOMETRIA

    1.1 Consideraes acerca do ensino da Matemtica

    A educao abrange vrios campos do saber. Na escola, estes esto

    interligados e tm por objetivo a formao do homem em suas vrias dimenses

    (cognitiva, afetiva e social). A Matemtica como um saber, ainda que parte dela

    esteja imersa no cotidiano, uma disciplina que se apresenta com grandes entraves

    para a aprendizagem de muitos e situa-se como uma rea que necessita ser bem

    compreendida para que possa ser bem ensinada. O grande desafio a busca de

    opes que venham a contribuir na superarao das dificuldades encontradas por

    professores e alunos no ensino-aprendizagem dessa disciplina.

    A forma como o ensino de Matemtica tratado na escola nos leva a vrios

    questionamentos que constroem a nossa problemtica. Vrias perguntas vm tona,

    como, por exemplo: quais so as maiores dificuldades enfrentadas pelo professor no

    ensino dessa disciplina? Por que um nmero to pequeno de alunos aprende

    Matemtica? Por que a Geometria sempre relegada ao final dos livros? Por que

    muitos professores se apresentam resistentes ao ensino da Geometria? De que

    maneira a utilizao do computador pode contribuir para que o ensino da Geometria

    seja mais bem efetivado? Como os professores interagem com as propostas de

    inovao do ensino, principalmente com o computador?

    Os alunos, nas mais diferentes regies do Brasil, apresentam resultados

    insatisfatrios quando avaliados em relao a conhecimentos bsicos da Matemtica,

    pois, segundo a afirmao de STEGEMANN (1994), o Brasil amargou a penltima

    colocao na ltima avaliao internacional (1992) de desempenho na rea de

    Matemtica, realizada com crianas de 9 a 13 anos de 20 pases, ficando na frente

    apenas de Moambique uma pauprrima ex-colnia portuguesa da frica, com

    67% de analfabetos.

  • 25

    STEGEMANN (1994) se refere ainda opinio dos educadores em relao ao

    fracasso nos diversos nveis de estudo de Matemtica, revelando que estes afirmam

    que no so os alunos que desconhecem a Matemtica, a Matemtica ensinada nas

    escolas que desconhece a realidade dos alunos. Os currculos e suas propostas

    metodolgicas e principalmente sua exeqibilidade ainda se encontram um pouco

    distantes dos propsitos que deveriam ter para um ensino de Matemtica eficiente.

    Na verdade, o professor de Matemtica continua recitando receitas e frmulas

    de maneiras mal-definidas, propriedades no compreendidas que devem ser somente

    decoradas, apresentando modelos matemticos prontos sobre os quais os alunos

    pouco refletem na sua construo. O professor continua valorizando em seu trabalho

    a memorizao e a repetio como nica forma de ensinar e aprender, o que faz

    aumentar o distanciamento e o desinteresse pela Matemtica, como tambm o pouco

    desenvolvimento do raciocnio matemtico. Esse problema no recente, MORRIS

    KLINE (1976) tambm evidenciava tais realidades.

    Evidentemente so inmeros os defeitos do currculo tradicional. O confiar na memorizao de processos e provas, os tratamentos dspares de lgebra e Geometria, pequenos defeitos de Lgica, a reteno de alguns tpicos antiquados e ausncia de qualquer motivao ou atrao explicam a razo porque os jovens no apreciam a matria e, portanto, porque no saem bem nela (Kline, 1976: pg. 30).

    Segundo DAMBROSIO (1996), esta forma de conceber o ensino de

    Matemtica oriunda principalmente das deficincias da formao do professor que

    antecede sua chegada sala de aula e agravada pela falta de capacitao que lhe

    permita revisar as suas aes como professor que ensina Matemtica.

    Os alunos dos cursos de Magistrio e das Licenciaturas em Matemtica so

    formados para exercer suas funes nas escolas de Ensino Fundamental e Mdio,

    porm, na maioria desses cursos so escassas as disciplinas de Didtica da

    Matemtica ou afins que questionem e reflitam os processos de ensino e

    aprendizagem em Matemtica e, quando oferecidas, as instituies encontram

    dificuldade para encontrar professores formadores para o seu ensino. Assim, os

    alunos terminam seus cursos e vo para as escolas, reproduzindo o modelo de ensino

  • 26

    no qual foram formados, introduzindo-se ainda em um sistema de pouca abertura

    para questionamentos e mudanas em sua prtica de ensino.

    A falta de professores com formao Matemtica tambm um fator

    agravante para seu ensino, pois muito comum vermos as aulas de Matemtica

    sendo ministradas por professores de outras reas. Com isso, ficamos a nos

    perguntar: ser que o lugar da Matemtica no seio das instncias administrativas,

    universitrias e escolares apreciado no seu justo valor?

    Se se for considerar o uso do computador como recurso didtico no ensino de

    Matemtica, torna-se cada vez mais raro encontrar profissionais habilitados, o que

    nos leva a confirmar a necessidade dos cursos que formam professores para

    ensinar Matemtica de dar maior nfase s discusses acerca da Educao

    Matemtica e da Informtica Educativa nos processos de ensino-aprendizagem,

    como uma forma de tentar trazer melhorias para o ensino dessa disciplina.

    1.1.1 Importncia do ensino da Matemtica na escola

    A Matemtica um dos campos do saber presente em nossa vida de todas as

    formas e em todos os momentos e parte substanc ial de todo o patrimnio cognitivo

    da Humanidade. Da a grande importncia de seu ensino em nossas escolas e

    universidades. Se o currculo escolar deve levar a uma boa formao humanstica,

    ento o ensino de Matemtica indispensvel para que essa formao seja completa.

    evidente que uma pessoa pode prescindir de conhecimento matemtico e

    mesmo assim ser um grande ator, escritor, jornalista, enfim, um profissional

    realizado em muitos domnios do conhecimento. Mas certamente, se seu raciocnio

    matemtico no foi desenvolvido, seus horizontes culturais podero ser mais

    restritos. A situao anloga de uma pessoa que, mesmo possuindo competncia

    Matemtica, tenha poucos conhecimentos humansticos; seus horizontes culturais

    tambm sero mais limitados.

  • 27

    O ensino de Matemtica importante tambm pelos elementos

    enriquecedores do pensamento matemtico na formao intelectual do aluno, seja

    pela exatido do pensamento lgico-demonstrativo que ela exibe, seja pelo exerccio

    criativo da intuio, da imaginao e dos raciocnios indutivos e dedutivos.

    O ensino de Matemtica se prope tambm dotar o aluno de um instrumental

    necessrio no estudo das outras cincias e capacit- lo no trato das atividades prticas

    que envolvem aspectos quantitativos da realidade.

    A utilidade da Matemtica algo sempre questionado nas aulas dessa

    disciplina. Acreditamos que no fcil para o professor justificar essa utilidade de

    maneira imediata, principalmente quando os alunos ainda no tm maturidade para

    compreender a amplitude dessa discusso. uma resposta que necessita de tempo,

    leitura e experincia para que se possa compreend- la de maneira clara e

    convincente, at mesmo para o professor.

    Percebemos que o instrumental oferecido pela Matemtica, quando bem

    apreendido, servir a cada um, quase sempre, de maneira diferenciada. A

    aplicabilidade dos conhecimentos matemticos se manifestar em nossa vida de

    maneira sutil, associados, estes, a outras informaes, auxiliando-nos a resolver

    situaes-problema diversificadas, atravs de solues distintas, convenientes e

    possveis a cada indivduo.

    DAVIS & HEARSH (1985) diz em que geralmente a Matemtica til para

    todos, mas, como a variedade de seus usos grande, valer a pena ver que

    significados distintos podem ser dados palavra til:

    Um Pedagogo, particularmente do tipo clssico, poder dizer-nos que a Matemtica til na medida em que nos ensina a raciocinar com preciso. Um arquiteto ou escultor, mais uma vez do tipo clssico, poder dizer-nos que a Matemtica til porque conduz percepo e criao da beleza visual. Um filsofo poder dizer-nos que a Matemtica til na medida em que permite escapar das realidades da vida quotidiana. Um professor poder dizer que a Matemtica til, pois lhe fornece po e manteiga. Um editor de livros sabe que a Matemtica til, pois lhe permite vender muitos livros-texto. Um astrnomo ou fsico dir que a Matemtica til, pois ela a linguagem da cincia.

  • 28

    Um engenheiro civil afirmar que a Matemt ica lhe permite construir eficientemente uma ponte. Um matemtico dir que, na prpria Matemtica uma parte ser til quando puder ser aplicada a uma outra (Davis & Hearsh, 1985: pg. 109).

    Assim, podemos perceber que apesar dos objetivos curricula res propostos

    para o ensino da Matemtica, outros objetivos estaro integrados a vida de cada um,

    de maneira pessoal, mesmo quando no temos conscincia de que estamos

    utilizando princpios da Cincia Matemtica.

    1.2 Conhecendo a Geometria

    1.2.1 E a Geometria, ensin-la por que?

    Em tempos muito remotos, um jovem, resolvendo ser espirituoso, perguntou a seu mestre qual o lucro que poderia lhe advir do estudo de Geometria. Idia infeliz: o mestre era o grande matemtico grego Euclides, para quem a Geometria era coisa muito sria. E a sua resposta ousadia foi arrasadora: chamando um escravo, passou-lhe algumas moedas e mandou que as entregasse ao aluno que a partir daquele momento deixou de ser aluno de Euclides. Esse rapaz preciso diz-lo, no foi o nico a sofrer nas mos de Euclides por causa da Geometria. Alm dele, muita gente passou maus bocados com o grande grego, inclusive o prprio fara do Egito. Os problemas de Ptolomeu I surgiram no dia em que pediu a Euclides que adotasse um mtodo mais fcil para ensinar-lhe Geometria e recebeu a lacnica resposta: No existem estradas reais para se chegar Geometria".

    (Tadeu Seabra)

    Segundo GLVEZ (1996) a Geometria Euclidiana constituiu, durante muitos

    sculos, um paradigma para o resto da Matemtica e inclusive para o restante das

    cincias. De fato, foi a primeira axiomatizao na histria da Matemtica, alm de

    constituir um patrimnio cultural construdo pela humanidade.

    A Geometria considerada uma ferramenta para a compreenso, descrio e

    interrelao com o espao em que vivemos. A importncia de desenvolv- la na

    escola ressaltada por vrias causas. Uma delas que, sem estudar Geometria, os

    alunos acabam por no desenvolver bem o pensamento geomtrico e o raciocnio

    visual e, sem essa habilidade, eles tero dificuldades para resolver situaes de vida

    que forem geometrizadas; tambm no podero se utilizar da Geometria como fator

  • 29

    altamente facilitador para a compreenso e resoluo de questes de outras reas do

    conhecimento humano. Sem conhecer a Geometria, a leitura interpretativa do mundo

    torna-se incompleta, a comunicao das idias fica reduzida e a viso da Matemtica

    torna-se diminuta.

    A Geometria est em toda parte, mas preciso enxerg-la...; mesmo no

    querendo, lidamos, em nosso cotidiano, com as idias de paralelismo,

    perpendicularismo, congruncia, semelhana, proporcionalidade, medio

    (comprimento, rea, volume), simetria: seja pelo visual (formas), seja pelo uso no

    lazer, na profisso, na comunicao oral, cotidianamente estamos envolvidos com a

    Geometria. Pesquisas psicolgicas indicam que a aprendizagem geomtrica muito

    necessria ao desenvolvimento da criana, pois inmeras situaes escolares

    requerem percepo espacial, tanto em Matemtica como na leitura e na escrita.

    O ensino de Geometria comparado com o ensino de outras partes da

    Matemtica, ainda muito ausente das salas de aula. No Brasil, no apenas na escola

    elementar, mas tambm ao longo de todo o Ensino Fundamental e Mdio, na prtica,

    seu ensino foi consideravelmente reduzido. Isso decorreu de muitos motivos. Entre

    eles, MIGUEL & MIORIM (1986) ressaltam os seguintes os fatores:

    A marginalizao imposta ao ensino de Geometria em nosso Pas por parte do

    Movimento Renovador do Ensino de Matemtica, conhecido por "Matemtica

    Moderna" (dcada de 70), privilegiando a lgebra em detrimento da Geometria,

    associando-a a um tratamento rido e inadequado do tema para principiantes no

    assunto.

    A marginalizao imposta pelos manuais didticos (como conseqncia do fator

    anterior) aos tpicos geomtricos, tanto em termos de quantidade em relao aos

    demais assuntos abordados em cada srie, como tambm em termos de releg- los

    aos captulos finais dos livros, aos quais o professor nunca consegue chegar, e

    ainda sem conexo com os demais temas.

    A ausncia, nos currculos dos cursos de formao de professores para o Ensino

    Fundamental e Mdio (Licenciaturas e Magistrio), de uma ou mais disciplinas

  • 30

    que visassem transmisso de conhecimentos geomtricos elementares sob um

    ponto de vista avanado e na perspectiva de quem os dever trabalhar de forma

    didtica.

    O conseqente despreparo da grande maioria dos professores que atuam nas

    escolas no que se refere ao ensino de Geometria.

    A divulgao generalizada (e que acabou se tornando senso-comum entre os

    professores) da falsa afirmao de que a Geometria uma parte muito abstrata e

    de compreenso difcil por parte das crianas.

    O desconhecimento, por parte dos professores, da importncia que o ensino de

    Geometria cumpre na formao e desenvolvimento cognitivo da criana e mesmo

    na concretizao e compreenso de tpicos no geomtricos.

    Apesar de tentativas solitrias de superao dos fatores ora citados, o ensino

    de Geometria continua sendo muito neglicenciado nas escolas e nos cursos de

    Magistrio. O grande desconhecimento da Geometria por parte dos alunos e at dos

    professores, nos preocupa, pois, na medida que a escola deixa os alunos sem acesso a

    conhecimentos importantes, acaba contribuindo para que as desigualdades sociais se

    acentuem e se perpetuem. De acordo com PAVANELLO (1989):

    As escolas das elites se preocupam com o desenvolvimento das capacidades intelectuais, e a enfatizao dos processos dedutivos, atravs dos quais se pretende o desenvolvimento do raciocnio lgico. As escolas para as camadas inferiores so orientadas a preparar os estudantes para o trabalho, por isso, a nfase em contedos bsicos e as aplicaes prticas dos princpios das cincias (Pavanello, 1989: pg. 34 ).

    Em um artigo intitulado como Os Dilemas Permanentes da Geometria

    Escolar, USISKIM (1994) relata que, em uma Avaliao Nacional dos EUA

    (1992), menos de 10% das crianas com 13 anos de idade sabiam determinar a

    medida do terceiro ngulo de um tringulo, dadas s medidas dos outros dois.

    Observou que em uma questo mais difcil como determinar a hipotenusa de um

    tringulo retngulo, dados os dois catetos foi resolvida por 20% das crianas. Com

    esse resultado, ressalta que, alm do baixo desempenho dos alunos, foi possvel

  • 31

    verificar um fator interessante: que como o Teorema de Pitgoras foi resolvido por

    mais alunos, deduzimos que ele deve ser mais ensinado do que o Teorema da Soma

    dos ngulos Internos. O autor enfatiza que os resultados obtidos ilustram a ligao

    fundamental entre currculo e desempenho, ou seja, que os alunos aprendero aquilo

    que lhes for mais ensinado.

    Uma deduo nossa a respeito do resultado da pesquisa, que, talvez, o fato

    de mais alunos resolverem o Teorema de Pitgoras em relao ao Teorema dos

    ngulos Internos do tringulo seja conseqncia de um ensino inadequado da

    Geometria, pois, para encontrar o valor da hipotenusa dados os valores dos dois

    catetos, os alunos, geralmente, lanam mo de conhecimentos muito mais

    aritmticos e algbricos, do que geomtricos, ou seja, provavelmente eles se

    utilizaro de propriedades das potncias e das equaes do 1 grau e no dos entes

    geomtricos da figura (ngulos, lados, medidas). Devemos chamar ateno para o

    fato de que, alm da Geometria ser pouco explorada, alguns tpicos seus mais

    ensinados acabam sendo explorados de maneira inadequada, ou seja, sem extrair

    desses tpicos a riqueza do pensamento geomtrico.

    USISKIM (1994) relata ainda que, para se melhorar o desempenho dos

    alunos, precisa-se ampliar o grupo de pessoas que desejam estudar Geometria e para

    ampliar esse grupo, preciso que haja um nmero maior de alunos com bom

    desempenho em seus estudos de Geometria. O autor diz que esses fatos constituem

    um dilema do tipo o ovo ou a galinha e na tentativa de superao desse dilema,

    sugere alguns passos:

    1 Especificar um currculo de Geometria para o ensino fundamental e mdio, por

    srie.

    2 No afastar os alunos da Geometria por eles serem fracos em Aritmtica ou

    lgebra.

    3 Exigir do aluno um grau significativo de competncia em Geometria.

    4 Exigir que todos os futuros professores de Matemtica, do Ensino Fundamental ou

    Mdio, estudem Geometria na faculdade.

    5 Tornar clara a semntica usada nas discusses de Geometria.

  • 32

    6 Elevar o nvel, a qualidade e a quantidade dos discursos nas discusses sobre

    Geometria.

    7 Analisar, de uma perspectiva curricular, as vrias maneiras de formar conceitos em

    Geometria.

    Acreditamos que os sete itens so de grande importncia, mas consideramos

    o item quatro como essencial, pois, se os professores tiverem boa formao

    geomtrica, com certeza, os outros fatores sero atingidos e resolvidos com maior

    facilidade.

    Sabemos que a maior parte dos professores dos cursos de Magistrio acabam

    no tendo possibilidade para aprofundar seus estudos em Geometria. Os professores

    licenciados em Matemtica, mesmo tendo um nmero significativo de disciplinas

    que explorem a Geometria, pouco exploram aspectos metodolgicos sobre seu

    ensino. Enquanto no houver esse investimento na formao dos professores e nos

    currculos dos cursos que os formam, as deficincias formativas dos alunos

    continuaro. Assim, no podemos esperar que os professores ministrem um

    conhecimento de maneira eficiente se no foram bem formados na rea. O que se

    percebe na prtica que alguns professores fogem da matria, e outros, apesar da

    deficincia formativa, se lanam ao seu ensino, mas, mesmo com sua boa vontade e

    dedicao, acabam trabalhando alguns conceitos de maneira equivocada ou com

    pouca base de conhecimentos para assegurar o que esto ensinando.

    Essa realidade no difcil de ser identificada. Tivemos a oportunidade de

    nos deparar com fatos dessa natureza quando trabalhamos em cursos de formao

    de professores. Podemos citar um exemplo: em um curso de formao continuada

    para professores graduados, no qual ministramos a disciplina Ensino de Matemtica,

    perguntamos turma qual era a rea da Matemtica, ao nvel de ensino

    fundamental, que mais lhe deixava dvidas. No s nessa turma, como tambm em

    outras onde trabalhamos, os professores foram unnimes em responder a Geometria.

    Logo no incio do curso, propusemo-lhes alguns problemas para fazer breve

    diagnstico e tentar compreender o tipo de dificuldades sentidas por eles. Dentre os

    problemas, propusemos a seguinte questo:

  • 33

    Na figura abaixo, sabe-se que o segmento AB = dimetro = 9 cm.

    Baseado nesse dado, quanto mede o segmento FG? Justifique.

    Figura 1

    De uma turma de trinta e dois, apenas uma aluna conseguiu chegar reposta

    correta, justificando sua resoluo por meio de propriedades geomtricas. Do

    restante, 10 conseguiram chegar ao valor numrico da resposta, mas com

    justificativas insuficientes, baseadas somente no plano visual, sem nenhuma

    argumentao e deduo do ponto de vista de conceitos geomtricos. As solues

    obtidas foram as seguintes:

    1) A aluna que chegou resposta correta justificou sua resposta por argumentos

    geomtricos: utilizou a estratgia de prolongamento dos segmentos e das

    propriedades do retngulo, argumentando que FG=OE=r por serem as diagonais

    do retngulo EFOG, sendo FG=OE=r e se r=D/2 ento FG=r= 4,5cm.

    Figura 2

  • 34

    2) Os outros dez alunos que chegaram resposta 4,5cm justificaram apenas que se

    o D=9cm e era o nico valor numrico dado no problema, provavelmente o

    segmento FG=4,5cm, pois visualmente parecia ser mais ou menos a metade do

    dimetro. Podemos perceber, na resposta desse grupo, efeitos de um contrato

    didtico implcito na resoluo de problemas em Matemtica, onde os alunos

    comeam a operar com os dados do problema mesmo sem estabelecer uma

    conexo coerente entre os dados numricos e a interpretao do problema.

    O restante do grupo no resolveu o problema, argumentando no ter

    conhecimento terico de Geometria para a resoluo.

    Queremos enfatizar com o exemplo acima que nem a escola bsica, nem

    mesmo a universidade, esto conseguindo atingir os objetivos de ensino no que diz

    respeito formao geomtrica dos alunos. preciso amplo e contnuo esforo dos

    educadores para que mudanas possam ser efetivadas e levadas em frente.

    Acreditamos que essas mudanas trazem em parte grande responsabilidade

    para os grupos de pesquisa em Educao Matemtica, pois, nesse momento, as

    investigaes podero apontar alguns caminhos para ajudar a responder a vrios

    questionamentos acerca das mudanas que devero ocorrer, como, por exemplo: qual

    deve ser o currculo geomtrico mnimo presente na educao? Qual deve ser o ponto

    de equilbrio entre o concreto e o abstrato, o indutivo e o dedutivo, tendo-se em vista

    uma aprendizagem significativa para o aluno? Como aproveitar os recursos e

    avanos tecnolgicos em favor dessa aprendizagem? Como devem ser feitas as

    mudanas curriculares dos cursos de formao de professores? Que adaptaes

    devem ser feitas aos livros didticos e s metodologias de ensino?

    1.2.2 Breve histrico da Geometria

    Como nosso trabalho enfatiza essa importante parte da Matemtica, que a

    Geometria, achamos importante trazer tona um pouco de sua histria: como se

    originou, que necessidades levaram o homem a praticar e reconhecer a Geometria em

  • 35

    seu cotidiano e em suas atividades, sua criao e seu status para a cincia e a

    Matemtica.

    Afirmaes sobre a origem da Matemtica, seja da Aritmtica, seja da

    Geometria, so necessariamente arriscadas, pois os primrdios do assunto so mais

    antigos do que a arte de escrever. Foi somente nos ltimos seis milnios, numa

    carreira que pode ter coberto milhares de milnios, que o homem se mostrou capaz

    de pr seus registros e pensamentos em forma escrita.

    Herdoto e Aristteles no quiseram se arriscar a propor origens mais antigas que a civilizao egpcia, mas claro que a Geometria que tinham em mente possua razes mais antigas. Herdoto mantinha que a Geometria se originava no Egito, pois acreditava que tinha surgido da necessidade da prtica de fazer novas medidas de terras aps cada inundao anual no vale do Rio Nilo. Aristteles achava que a existncia no Egito de uma classe sacerdotal com lazeres que tinha conduzido ao estudo da Geometria (Boyer, 1996: pg. 4 ).

    Na discusso sobre a afirmao anterior, o prprio autor considera as idias

    de Herdoto e Aristteles como representando duas teorias opostas quanto s origens

    da Matemtica: um acreditando que a origem foi a necessidade prtica, outro que a

    origem est no lazer sacerdotal e ritual. Considera, ainda, que o fato de os gemetras

    egpcios serem s vezes chamados estiradores de corda (medidores de terra) pode

    ser tomado como apoio de qualquer das teorias, pois cordas eram usadas tanto para

    traar as bases de templos como para realinhar demarcaes apagadas de terras.

    De acordo com Boyer, no podemos contradizer nem Herdoto nem

    Aristteles quanto motivao que produziu a Matemtica, mas admite que ambos

    subestimaram a idade do assunto.

    O Homem neoltico pode ter tido pouco lazer e pouca necessidade de medir terras, porm seus desenhos e figuras sugerem uma preocupao com relaes espaciais que abriu caminho para a Geometria. Seus potes, tecidos e cestas mostram exemplos de congruncia e simetria, que em essncia so partes da Geometria elementar. Para o perodo pr-histrico no h documentos, portanto impossvel acompanhar a evoluo da Matemtica desde um desenho especfico at em teorema familiar. Mas idias so como

  • 36

    sementes resistentes, e s vezes a origem presumida de um conceito pode ser apenas a reapario de uma idia muito mais antiga que ficara esquecida (Boyer, 1996: pg. 5).

    A preocupao do homem pr-histrico com relaes e configuraes pode

    ter origem no seu sentimento esttico e no prazer que lhe dava a beleza das formas,

    razes que muitas vezes motivam tambm a Matemtica de hoje.

    Resultados geomtricos muito antigos foram encontrados na ndia e

    chamados de Sulvasutras, ou regras de corda. Tratava-se de relaes simples, que

    aparentemente se aplicavam construo de templos e altares. Pensa-se, atualmente,

    que a motivao geomtrica dos estiradores de corda no Egito era mais prtica do

    que a dos seus colegas na ndia; mas sugeriu-se que tanto a Geometria da ndia

    como a egpcia podem provir de fonte comum - uma Geometria relacionada com

    ritos primitivos mais ou menos do modo como a cincia se desenvolveu, a partir da

    Mitologia, da Filosofia e da Teologia.

    Boyer ressalta que a teoria da origem da Geometria numa secularizao de

    prticas rituais no est de modo nenhum provada. O desenvolvimento da Geometria

    pode tambm ter sido estimulado por necessidades prticas de construo e

    demarcao de terras, ou por sentimentos estticos em relao a configuraes e

    ordem. Segundo o autor os comeos da Matemtica so mais antigos do que as

    mais antigas civilizaes.

    1.2.3 A Geometria Euclidiana

    A Matemtica comea a ganhar contornos de cincia com os gregos da

    Antiguidade Clssica, nos sculos VII a III a.C.

    O conhecimento acumulado at ento no passava de regras prticas para

    resolver problemas concretos. Os gregos sistematizam a Aritmtica e a Geometria

    empricas das civilizaes do Mediterrneo, principalmente a Egpcia e as da

    Mesopotmia. Privilegiam a Geometria como fio condutor de suas investigaes.

    Vivendo no em grandes imprios, mas em cidades-estados, e integrantes da primeira

  • 37

    civilizao que desenvolve o conceito de cidado, os gregos valorizam o indivduo e

    a razo, e so os primeiros a relacionar as obras ao nome de seus autores.

    Os gregos perceberam o que os egpcios eram capazes de fazer, e assimilaram

    seus princpios empricos. Ao contrrio dos egpcios, apreciaram a Geometria no

    apenas em virtude de suas aplicaes prticas, mas em razo de seu interesse terico,

    desejando compreender a matria por ela mesma, e no em termos de sua utilidade.

    A eles no bastou o critrio emprico; procuraram encontrar demonstraes dedutivas

    rigorosas das leis acerca do espao que governavam as aplicaes prticas da

    Geometria.

    Os gregos, em particular Pitgoras e Plato, davam enorme importncia

    intelectual Geometria, considerando que em sua forma pura e abstrata ela se

    aproximava bastante da Metafsica e da Religio.

    Foi no perodo entre 600 e 300 a.C. que a Geometria se firmou como um

    sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides, mestre na escola de Alexandria

    (Cidade do Egito), que publicou, por volta de 325 a.C., Os Elementos, uma obra com

    treze volumes, propondo um sistema indito no estudo da Geometria. Esse trabalho

    de Euclides to vasto que alguns historiadores no acreditaram que fosse obra de

    um s homem. Mas essas desconfianas no foram suficientes para tirar o mrito de

    Euclides, o primeiro a propor um mtodo para um estudo lgico da Matemtica. Esta

    obra um dos clssicos que exerceu grande influncia no pensamento ocidental, no

    que diz respeito ao desenvolvimento do mtodo dedutivo e da Matemtica.

    Euclides sistematizou em Os Elementos quase tudo o que a humanidade

    sabe at hoje sobre pontos, retas, planos, figuras geomtricas elementares.

    Apresentou a Geometria como uma cincia na qual todas as proposies (expresses

    com que se afirma ou se nega alguma coisa) podem ser logicamente demonstradas a

    partir de algumas afirmaes bsicas chamadas postulados e axiomas. A obra de

    Euclides sintetiza tambm a Aritmtica at ento conhecida, estabelece as primeiras

    relaes algbricas e a primeira teoria dos nmeros.

  • 38

    Dos tempos antigos at o sculo XIX, os Elementos de Euclides foram no

    apenas o livro-texto da Geometria, mas tambm o modelo daquilo que o pensamento

    cientfico devia ser.

    1.2.4 Euclides e o desenvolvimento dos princpios da Geometria

    Euclides apresenta alguns traos caractersticos nas tcnicas adotadas para

    desenvolver seus sistemas. Em primeiro lugar, ele anuncia as suas leis em forma

    universal, no examina as propriedades de uma determinada linha ou figura; pelo

    contrrio, examina as propriedades que todas as linhas ou figuras de uma espcie

    devem ter. Formula as leis de modo a torn- las rigorosas e absolutas, nunca como

    simples aproximaes. Por exemplo: diz que a soma dos ngulos internos de um

    tringulo sempre igual a dois ngulos retos; no fala que se trata de um valor

    aproximado, mas prope como algo rigoroso e absolutamente verdadeiro.

    O interessante que Euclides no teve a preocupao em enunciar um grande

    nmero de leis geomtricas; mas sim em demonstr-las. Sabe-se que seu livro

    consiste em demonstraes. Por exemplo, ele no prope jamais que efetuemos a

    soma de ngulos de tringulos reais para verificarmos se a soma igual soma de

    dois ngulos retos. Em seus trabalhos, no aparecem preocupaes com

    experimentos ou observaes desse gnero. Em vez disso, apresenta demonstraes,

    de carter dedutivo, procurando estabelecer as suas concluses com o rigor da

    absoluta necessidade lgica (BARKER, 1969 ).

    Euclides resumiu suas leis em dez premissas bsicas: cinco postulados e

    cinco axiomas (axiomas so premissas evidentes, que se admitem como verdadeiras

    sem exigncia de demonstrao. Postulados so proposies no evidentes e no

    demonstrveis que se admitem como princpio de um sistema lgico).

    De acordo com Barker, para os gregos, a diferena entre axiomas e

    postulados, sob o prisma da credibilidade, est nisto: se uma pessoa duvidasse dos

    postulados da Geometria, estaria, de fato, cometendo um erro, tornando-se, pois,

    incapaz para o estudo dessa disciplina, sem, no, entanto, tornar-se incapaz para

  • 39

    outros tipos de estudo (Aritmtica, Biologia, Msica); se, porm, duvidasse dos

    axiomas, estaria evidenciando incapacidade para qualquer tarefa intelectual, j que a

    noo de grandeza indispensvel para quase todas as disciplinas (reas de

    conhecimento).

    Os Axiomas e Postulados de Euclides so os seguintes:

    - Os Axiomas:

    1 Duas coisas iguais a uma terceira so iguais entre si.

    2 Se parcelas iguais foram adicionadas a quantias iguais, os resultados ficaro

    sendo iguais.

    3 Se quantias iguais forem subtradas das mesmas quantias, os restos sero iguais.

    4 Coisas que coincidem uma com a outra so iguais.

    5 O todo maior do que as partes.

    - Os Postulados

    1 - Pode-se traar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer ponto.

    2 - Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente para

    constituir uma reta.

    3 - Dados um ponto qualquer e uma distncia qualquer se pode traar um crculo de

    centro naquele ponto e raio igual dada distncia.

    4 - Todos os ngulos retos so iguais entre si.

    5 - Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ngulos

    interiores, de um mesmo lado, seja menor que dois ngulos retos, ento as duas

    outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas.

    Podemos ver que as idias de Euclides diferem muito das concepes

    indutivas e empricas adotadas pelos egpcios, pois apresentam rigor cientfico.

    BARKER (1969) faz breve discusso a respeito dos postulados de Euclides.

    Em suas anlises, Barker prope que os trs primeiros postulados de Euclides

    revelam que ele no est, de maneira direta, discutindo nenhum problema concreto

  • 40

    de mensurao de terras. Observa, com efeito que, em condies reais, no sempre

    possvel traar uma reta que passe por dois pontos dados, pois obstculos vrios

    (montanhas, lagos, edifcios) impedem, muita vez, o traado. Tambm no verdade,

    nas condies reais, que um segmento seja indefinidamente prolongvel. obvio,

    por exemplo, que um segmento s pode ser prolongado um pouco para cima e para

    baixo; mesmo um segmento horizontal s pode ser prolongado at a primeira barreira

    impenetrvel. No se pode, igualmente, desenhar um crculo cujo centro tenha sido

    arbitrariamente selecionado e cujo raio seja apreciavelmente grande, pois os

    obstculos impediro, por certo, o traado. Diz que Euclides sabia de tudo isso,

    claro, mas as condies prticas simplesmente no o interessavam.

    A concepo de Euclides era de que, em princpio, uma reta poderia ser

    traada de modo a ligar dois pontos quaisquer, fosse ou no possvel tra- la em

    realidade; imaginava que um segmento de reta sempre poderia, em princpio, ser

    prolongado para constituir uma reta, fosse ou no fosse possvel realiz- lo

    concretamente, e admitia que um crculo sempre seria configurado por um centro e

    uma distncia dada, fosse ou no fosse possvel concretiz- lo. Para Euclides, havia

    um espao em que inexistiam obstculos absolutos e em volta do qual inexistiam

    fronteiras exteriores absolutas.

    Analisando o quarto postulado, Barker diz que, a princpio parece que

    poderia ser dispensado, to trivialmente verdadeiro aquilo que assegura. Se dois

    ngulos retos parece bvio que so iguais, por que postul- lo? Segundo Barker, se

    Euclides tivesse dito que todos os ngulos retos so ngulos retos, teria, de fato,

    afirmado algo to trivial que o postulado seria dispensvel. Com efeito, a observao

    seria verdadeira apenas em virtude de sua forma lgica, pois tratar-se-ia de uma

    verdade lgica, no de uma verdade geomtrica. Segundo as concepes de Euclides,

    entretanto, um ngulo reto pode ser obtido sobrepondo-se duas retas de tal maneira

    que os ngulos adjacentes sejam iguais. Dessa definio no se deduz, com auxlio

    da lgica apenas, que os ngulos obtidos dessa maneira sejam sempre iguais. O

    quarto postulado, por conseguinte, tal como Euclides o coloca, no descreve uma

    verdade dependente apenas da forma lgica; uma vez que ele ser necessrio para

    demonstraes futuras, o gemetra precisou, de fato, enunci- lo explicitamente, na

    qualidade de postulado.

  • 41

    Sobre o quinto postulado de Euclides, Barker afirma que este encerra uma

    lei mais complicada do que as fixadas nos postulados precedentes. Diz que seu

    significado pode ser compreendido e interpretado atravs da figura abaixo:

    Figura 3

    Suponhamos que temos trs retas AA, BB e CC, o postulado diz que se AA cortar BB e CC de modo que os ngulos CEA e BDA, somados, sejam um ngulo menor do que dois ngulos retos, ento BB e CC ho de cortar-se, desde que sejam suficientemente prolongadas.

    De fato, o quinto postulado foi alvo de muitas discusses. Segundo Barker,

    esse postulado parece anmalo e fora do contexto, dada a sua complicada forma.

    Ressalta que a formulao desse postulado requer uma sentena muito mais

    complexa do que as sentenas necessrias para a enunciao dos outros postulados.

    Diz que a complexidade do quinto postulado assemelha-se de alguns teoremas

    demonstrados por Euclides, no possuindo o carter de bvia verdade auto-

    evidente que caracteriza os outros postulados, sendo muito mais intricado e menos

    claramente compreensvel do que os outros.

    Comentadores de Euclides, gregos e rabes, procuraram diversas vezes

    eliminar o quinto postulado. Buscavam mostrar que este no era independente dos

    demais; desejavam mostrar que era um teorema dedutvel dos quatro primeiros

    postulados; tentaram mostrar que poderia ser substitudo por algum princpio mais

    simples e mais evidente, princpio esse que passaria a ocupar o quinto postulado. As

    tentativas, no resultaram satisfatrias. No entanto, outras iniciativas revelaram, que

  • 42

    existem numerosos princpios geomtricos capazes de substituir o quinto postulado

    de Euclides: princpios que, associados aos outros postulados, permitiam a

    demonstrao dos teoremas euclidianos. Assim, o princpio que assevera que por

    um ponto situado fora de uma reta s se pode traar uma paralela reta dada um

    princpio que pode substituir o quinto postulado de Euclides. Esse princpio ocupou

    o lugar do quinto postulado em uma verso da Geometria que esteve em voga no

    sculo XVIII. O fato de o princpio poder substituir o quinto postulado responsvel

    pelo nome de Postulado das Paralelas".

    Outros pensadores, como Sacchieri, Lobachevski e Riemann tambm

    levantaram argumentos sobre a validade do quinto postulado, chegando a dar

    origem a outras Geometrias, denominadas Geometrias No-Euclidianas. Relatar o

    estudo desses pensadores nos levaria a um estudo mais aprofundado e a uma grande

    discusso que fugiria dos objetivos desse trabalho. Portanto, deixamos aqui apenas a

    sua evidencia.

    - As Definies

    Segundo Barker, para garantir que os postulados e axiomas fossem

    interpretados corretamente atravs do significado das palavras, Euclides apresentou

    as definies de vrios termos que utilizava. Vejamos algumas importantes

    definies, citadas por Barker e extradas do Livro Primeiro dos Elementos:

    1- Um ponto aquilo que no tem partes.

    2- Uma linha um comprimento sem largura.

    4- Uma linha reta uma linha traada uniformemente com os pontos sobre si.

    5- Uma superfcie aquilo que s tem comprimento e largura.

    7- Uma superfcie plana uma superfcie traada uniformemente com suas retas

    sobre si.

  • 43

    8- Um ngulo plano a inclinao, em relao uma com a outra de duas retas de um

    plano que se cruzam entre si e no esto na mesma reta.

    10- Quando uma reta colocada sobre outra reta de maneira que os ngulos

    adjacentes sejam iguais, cada um dos ngulos chamado reto, e a reta superposta

    diz-se perpendicular primeira.

    14- Uma figura tudo aquilo que fica delimitado por qualquer fronteira ou fronteiras.

    15- Um crculo uma figura plana fechada por uma linha tal que todos os segmentos

    que sobre elas estejam e que passem por um ponto determinado do interior da

    figura sejam iguais entre si.

    23- Retas paralelas so linhas retas que, estando no mesmo plano, prolongadas

    indefinidamente nos dois sentidos, no se cruzam.

    De acordo com Barker, os postulados, axiomas e definies constituem os pontos

    de partida para as demonstraes de Euclides. Destaca que o objetivo de Euclides era

    demonstrar todos os princpios geomtricos, revelando que so decorrncias

    necessrias dos princpios. Outras asseres demonstradas por Euclides no tomaram

    a forma de leis universais. Essas asseres exprimem tarefas a executar. A rotina

    apresentada por Euclides torna possvel demonstrar que segui- la executar a tarefa.

    Vejamos um exemplo que se refere ao tratamento dado por Euclides proposio I,

    do Livro Primeiro dos Elementos.

    Construir um tringulo equiltero, dado um de seus lados.

  • 44

    Figura 4

    Seja AB o segmento dado. Pede-se um tringulo equiltero, construdo sobre AB. Trace-se uma circunferncia de centro em A e distncia (raio) AB; seja C1 essa circunferncia (Postulado 3). Repita-se o processo, tomando-se o centro em B e a distncia BA; obtm-se a circunferncia C2 (Postulado 3). Sejam traadas as retas CA e CB, unindo o ponto C, em que as circunferncias se cortam, aos pontos A e B (Postulado 1). Ora, sendo A o centro da circunferncia C1, segue-se que AC igual a AB (pela definio 15). De modo anlogo, sendo B o centro de C2, BC igual a BA (pela definio 15). Como j se mostrou que CA era igual a AB; logo, os segmentos CA e CB so tambm iguais a AB. Mas (Axioma 1) CA igual a CB. Em consequncia, os segmentos CA, AB e BC so iguais entre si. Segue-se que o tringulo ABC equiltero e foi construdo sobre um segmento dado, AB.

    A demonstrao uma ilustrao de como Euclides usava os postulados, os

    axiomas e as definies, nas demonstraes de teoremas.

    Acreditamos que, se o ensino de Geometria fosse iniciado introduzindo as

    construes geomtricas, passaria a ter um aspecto muito mais rico e significativo,

    levando o aluno a um maior exerccio do esprito investigativo e cientfico,

    aproximando-o cada vez mais do modelo e do rigor do raciocnio dedutivo iniciado

    por Euclides.

    Uma das maiores contribuies da Geometria Euclidiana o uso da

    demonstrao, que se refere s propriedades de um espao puro e formal.

    A Geometria foi o campo de treinamento para o pensamento lgico e seu

    estudo tem sido considerado como capaz de fornecer ao estudante um treinamento

    bsico em tal maneira de pensar.

  • 45

    1.3 Educao Matemtica: algumas tendncias

    Conforme ns referimos anteriormente, as possveis mudanas para o ensino

    da Geometria estaro intimamente ligadas ao resultado dos trabalhos desenvolvidos

    em Educao Matemtica, por isso, achamos necessrio falar um pouco sobre o que

    a Educao Matemtica, como se desenvolve e quais seus objetivos.

    H tempos, pesquisadores psiclogos, pedagogos e educadores matemticos

    de vrias nacionalidades vm estudando as causas do fracasso do ensino de

    Matemtica e as maneiras de super- lo. Com esses estudos, formou-se um

    movimento internacional conhecido como Educao Matemtica, o qual vem

    realizando propostas de mudanas bem-sucedidas nos contedos e nos mtodos de

    ensino. Esse movimento vem tentando produzir mudanas nos currculos e formas

    de ensinar em pases do mundo inteiro. Atualmente, uma das naes que mais tem

    investido nas pesquisas em Educao Matemtica a Frana. Seus estudos tericos

    so, portanto, base importante para as pesquisas que tratam sobre ensino e

    aprendizagem em Matemtica.

    So muito recentes os cursos de ps-graduao em Educao Matemtica,

    mostrando que s h pouco tempo comeou-se a perceber a necessidade do

    desenvolvimento de pesquisas, tentando dar subsdios para a correo das falhas

    formativas existentes nos profissionais envolvidos com o ensino da disciplina

    Matemtica. A Educao Matemtica, como rea autnoma de estudos e pesquisas,

    tem poucos anos no Brasil. No entanto, o reconhecimento de sua importncia cresce

    aceleradamente entre ns, haja vista os muitos congressos em Educao Matemtica

    realizados ultimamente em vrios pontos do Brasil, sempre com um nmero cada vez

    maior de ativos participantes.

    A nova proposta tenta reaver a funo social do saber matemtico. Com base

    na histria da Matemtica, podemos perceber que esta no foi simplesmente

    inventada, mas construda desde os primrdios da humanidade a fim de solucionar

  • 46

    os problemas que foram surgindo na evoluo do homem e suas aspiraes

    intelectuais.

    No entanto, preciso que os professores se apropriem cada vez mais dos

    fundamentos e da histria da Matemtica, como tambm de seus significados e

    aplicaes no mundo atual, para que assim tenham possibilidade de pensar e

    planejar o ensino dessa disciplina de maneira adequada realidade dos alunos.

    Segundo FOSSA & MENDES (1998), a pesquisa em Educao Matemtica

    tem a finalidade geral de desenvolver, testar e divulgar mtodos inovadores do

    ensino da Matemtica, assim como elaborar e implementar mudanas curriculares,

    desenvolver e testar materiais de apoio para o ensino de Matemtica, delinear e, se

    possvel, provocar mudanas nas atitudes do aluno e do professor com a Matemtica

    e seu ensino. Os autores destacam algumas tendncias e diretrizes atuais da

    Educao Matemtica, que so:

    - O uso de jogos no ensino de Matemtica

    - Estudos psicolgicos

    - O uso de materiais concretos

    - O uso da Etnomatemtica

    - A resoluo de problemas

    - A modelagem matemtica

    - O uso da Histria no ensino da Matemtica

    - O uso de computadores no ensino da Matemtica

    O estudo do uso do computador no ensino da Matemtica, ou como

    ferramenta de investigao cognitiva, ou como maneira de renovar os cursos

    tradicionais, tem se firmado como uma das reas mais ativas e relevantes da

    Educao Matemtica. Existem atualmente inmeros grupos estudando o uso de

    computadores no ensino de Matemtica. Enquanto h grupos desenvolvendo

    programas de instruo assistida por computadores, em que o ensino por treino e

    teste reforado e enfatizado, h tambm grupos utilizando a mesma tecnologia

    para desenvolver um trabalho moderno, baseando-se numa linha psicolgica

    construtivista de aprendizagem. Em geral, as pesquisa procuram criar ambientes de

  • 47

    investigao e explorao Matemtica. Exemplos de programas com essa abordagem

    so os trabalhos com o Logo, o Geometric Supposer, o Cabri-Gemtre, entre outros.

    BORGES NETO et alli (1998) destacam a grande importncia do computador

    para o ensino de Matemtica quando dizem que:

    O computador um instrumento excepcional que torna possvel simular, praticar ou vivenciar verdades Matemticas (podendo at sugerir conjecturas abstratas), de visualizao difcil por parte daqueles que desconhecem determinadas condies tcnicas, mas fundamentais compreenso plena do que est sendo proposto (BORGES NETO et alii, 1998: pg. 149 ).

    D`AMBROSIO (1999) tambm relata a importncia dos recursos

    tecnolgicos na escola e no ensino de Matemtica, asseverando que:

    A modernizao da Matemtica n