Ejercicios resueltos del libro de roxana meneses procesos 6

Ejercicios resueltos del libro de Roxana Meneses, Matemática Enseñanza-Aprendizaje 1

Desarrollados por el profesor: Marco Antonio Cubillo Murray

Página 62.

Nivel Octavo Año

PROCESOS 6: Fracciones Algebraicas Racionales

Nivel de Dificultad 1

1. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes

de cero.

(1)

3 2

2

3

4

4

a b

ab

a 2b

a 2b

24a

(2)

2

3

4

2

4

x y

xy

2x y

2 x 3y

2

2x

y

Observemos que todos los

elementos, tanto de numerador

como del denominador se están

multiplicando, entonces podemos

simplificar aplicando la ley de

potencias de igual base de la

División.







División.



(3)

3 2

5

3

2

a b

a b

a 2b52 a b

22

b

a

(4)

4 2

5 2

9

18

9

a x

a x

4a 2x

18 5a 2x

1

2a

(5)

3 2

3

a b

ac

a 2b

a

2 2

c

a b

c







División. Además nunca debe

quedar un negativo en el

denominador







División. Además los negativos se

aplica la ley de signos y queda

positivo.







División. Además aquellos

elementos que no tienen pareja se

quedan igual no se les aplica nada



(6)

4

2

4

a b c

a

a

2

b c

a

2 b c

(7)

6

2 6

6

w

w

w

2 6w

1

2

(8) Esta pregunta está repetida con la número 7.







División. Lo que está entre los

paréntesis no se le aplica nada.

Los elementos del numerador se

ponen entre paréntesis y como se

está multiplicado por el número 1,

entonces se cancela con el

paréntesis que es igual del

denominador, siempre aplicando

la ley de potencias de igual base

donde la base es todo el

paréntesis.



(9)

5

3 5

5

v

v

v

3 5 v

1

3

(10)

23 2

6

3

z z

z

2z 2

6

z

z

2

2

z z

2. Determinar las restricciones (el denominador no puede ser cero) de las

siguientes fracciones algebraicas.

(1)

23

0

0

a b

c

c

c

Los elementos del numerador se

ponen entre paréntesis y como se

está multiplicado por el número 1,

entonces se cancela con el

paréntesis que es igual del

denominador, siempre aplicando

la ley de potencias de igual base

donde la base es todo el

paréntesis.

Lo que debemos hacer es igual a

cero el denominador (parte de

debajo de la fracción) y despejar,

en este caso no fue necesario

despejar por lo que la respuesta

es cero. Recordemos que la

división no está definida ( E ) no

existe por lo que buscamos el

valor que indefine la expresión



(2)

3 2

2

2

2

0

0

0

0

a b

c

c

c

c

c

(3)

3 2

0 y 0

0 y 0

a b

ac

a c

a c

(4)

2 7

2

0

0

m

m

m

m

Lo que debemos hacer es igual a

cero el denominador (parte de

debajo de la fracción) y despejar,

en este caso no fue necesario

despejar por lo que la respuesta

es cero. Recordemos que la

división no está definida ( E ) no

existe por lo que buscamos el

valor que indefine la expresión.

Eliminamos potencias, aplicando

raíces con igual índice. La raíz de

cero es igual a cero.

En este caso tenemos dos

elementos multiplicándose en el

denominador, entonces se iguala

a cada uno a cero y se despejan, lo

valores resultantes serán las

respuestas.

Para esta expresión solo se toma

las variables (letras) y se igualan a

cero, las constantes (números) no

se toman en cuenta.



(5) 0

0

w

v

v

v

(6)

5

0

0

w

w

w

(7)

1

1

1 0

1

1

b

c

c

c

c

En este caso debemos igualar toda

la expresión del denominador por

estarse sumando, igual sería el

caso si se estuvieran restando, y

se despejan, esto da el valor que

no debe nunca valer la variable

del denominador para no indefinir

le expresión.



(8)

2

1

1 0

1

1

h

u

u

u

u

(9)

3

3

3 0

3

3

b

c

c

c

c

(10)

1

3

3 0

3

3

h

u

u

u

u








le expresión.








le expresión.



(11)

0

w z

v z

v z

v z

v z

(12)

1

0

w

v z

v z

v z

v z

(13)

12

3

3 0

3

3

k

k

k

k

El denominador está compuesto

de dos variables que se están

sumando, se iguala toda la

expresión a cero y se despeja, lo

que nos da que la otra variable no

puede asumir el valor opuesto de

la variable que se suma, porque si

no se convierte en una resta y nos

quedaría cero.

El mismo caso del anterior

ejercicio.



(14)

12

3

3 0

3

3

k

k

k

k

(15)

12

3

3 0

3

3

k

k

k

k

(16)

6

2

0

a

a c

a c

a c

a c

Recordar que la variable que se

despeja nunca debe quedar con

un signo negativo, entonces se le

cambia de signo y esto se repite

en el valor despejado por igual.

El denominador está compuesto

de dos variables que se están

sumando, se iguala toda la

expresión a cero y se despeja, lo

que nos da que la otra variable no

puede asumir el valor opuesto de

la variable que se suma, porque si

no se convierte en una resta y nos

quedaría cero.



(17)

2

1

0 y 1 0

1

0 y 1

ab

a b

a b

b

a b

(18)

5

2 5

5 0

5

5

a

a

a

a

a


3. El numerador y el denominador en la expresión 5

5

x

x con 5x son

inversos aditivos ya que 1 5 5 5 .x x x Entonces podeos

simplificar:

551

5 5

xx

x x

Cuando en el denominador hay

dos expresiones multiplicándose

se igualan a cero por separado y

se despejan aquellas que lo

permitan, al final cualquiera de los

dos valores serían aquellos que

me indefinen la expresión.

Aunque esta expresión se puede

simplificar y nos quedaría como

respuesta

5

2 5

5

a

a

a

2 5a

1

2

lo que

No indefine la expresión nunca.



Hallar la mínima expresión de las siguientes fracciones racionales algebraicas.

(1)

4

4

4

x

x

x

4x

1

(2)

2

2

2

a

a

a

2a

1

(3)

3 1

1

3 1

b

b

b

1 b

3

Cuando se le da vuelta a la

expresión, automáticamente se

le pone un negativo afuera de

los paréntesis y se simplifica la

expresión.

Observemos que se le puede

dar vuelta a la parte de arriba o

abajo, siempre que

mantengamos que al darle

vuelta a la expresión debemos

poner un negativo afuera de

paréntesis.



(4)

3

4 3

3

w

w

w

4 3w

1

4

(5)

3 9

3

3 3

3

3 3

c

c

c

c

c

3 c

3

En este caso debemos

factorizar la expresión del

numerador (Arriba de la

fracción) para que luego

podemos tener los mismos

elementos que el

denominador, por último

aplicar darle vuelta y poner un

negativo afuera del paréntesis.



(6)

1

2 2

1

2 1

1

a

a

a

a

a

2 1a

1

2

(7)

5 2

6 15

2 5

3 2 5

2 5

d

d

d

d

d

3 2 5d

1

3



(8)

4 12

6 2

4 3

2 3

4 3

h

h

h

h

h

2 3 h

4

2

2

(9)

2 2

4 2

2

2 2

2

k k

k

k k

k

k k

2 2 k

2

k



(10)

3

2

2

2

2

2

6 12

2

6 2

2

z z

z

z z

z

z z

26 2z

6

z

4. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes

de cero.

(1)

4 3 44 12

4 4

xx

x x

3

4

x 3x

xx

(2)

2 3 22 6

4 4

yy

y y

3

4

y 3

2

y

yy

(3)

2 2 2

2

5 5 5

5 5 1

c c c

c c c c c

5

5 15 1

c

cc

(4)

3 3

2

12 12 12

3 6 3 2

d d

d d d d

3d

3d

24

22

d

dd



(5)

2

2

3 1 33 3

6 9 3 2 3

m m mm m

m m m m

1

3

m

m

1

2 32 3

m

mm

(6)

2

2

22 2 14 2

10 5 5 2 1

yy yy y

y y y y

2 1y

5 y 2 1y

2

5

(7)

4 45 4

2

6 16

1

x x xx x

x x x x

6 1x

x

3 6 1

11

x x

xx

(8)

556 5

8 7 7

1

1

aa aa a

a a a a

1a

7a 1a2

1

a

Nivel de dificultad 3.

5. Decir cuáles expresiones racionales están simplificadas correctamente. Las que

no son correctas, decir qué error se cometió. Considerar los denominadores

diferentes de cero.

(1)

4 2

3 2

4 2

3 2

84

2

88

2

x yx

x y

x y

x y

4x 2y

2 3x 2y4x

(2)

4 3

5 2

4 3

5 2

147

7

14 14

7

a bab

a b

a b

a b

4a 3b

7 5a 2b

2b

a

Si es correcta la respuesta

No es correcta la respuesta. Se

simplificaron mal los números y

las letras al aplicar ley de

potencias de división de igual

base.



(3)

5 21

2 5

2 55 2

2 5 2 5

n

n

nnNO

n n

(4)

2 77

2

2 7

2

m

m

mNO

m

(5)

w z w

v z v

w zNO

v z

(6)

3 1

3 1

3

3

b b

c c

bNO

c

No es correcta la respuesta. No se

puede simplificar la expresión

más.



más.



más. Para poder simplificar las

letras se deben estar

multiplicando entre sí, de lo

contrario no se pueden eliminar.









(7)

5 1 5

1

5 1 5 5

1 1

x

w x w

x xNO

w x w x

(8)

2 3 1 2 1

9 3

2 3 1 2 3 3

9 9

v v

v vNO

(9)

22

2 2

u hh

u

u h u hNO

u u

(10)

2 32

3

2 32 3 2 3

3 3

k

k

kk k

k k 3k

22

1



















No es correcta la respuesta. La

simplificación correcta da -2,

como vemos en el desarrollo.



6. Parear las respuestas.

(1) 2 1

( 1 ) 21

c

c

2 12 1

1

cc

c 1c

22

1

(2) 2 1 1

( 4 ) 1 2

c

c

2 12 1

1

cc

c 1c

22

1

(3) 1

( 2 ) 22 1

c

c 111

2 1 2 1

ccc

c c 2 1c

1 1

2 2

(4) 1

(NO esta ) 12 1

c

c 111

2 1 2 1

ccc

c c 2 1c

1

2

(5) 2

( 5 ) 12

c

c

222

2 2

ccc

c c 2c1




7. Simplificar las fracciones algebraicas. Considerar los denominadores diferentes de cero.

(1)

11

1 1

aa

a a 1 1a a

1

1a

(2)

1 11 1

1

a aa a

a 1a1a

(3) 2

1 11 1

1

a aa a

a 21a

1

1

a

a



(4) 2

11 1

1

aa a

a 2

1

1

a

a

1

1

a

a

(5)

22 11

1 1

aa

a a 1 1a a

1

1

a

a

(6)

22 11

1 1

aa

a a 1a

1

11

a

aa

(7)

14 1 1 1 4

1 1

aa b a a b

a a

4

1

b

a4 b

(8)

1 55 1 1 1 5

5 5

a ca c a a c

c c 5 c1a



(9)

2 12 2 2 2 1

1 1

b a ba b b b b b a b

a b a b 1a b2b

(10)

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

v w z w w v w z w w w v z

w w w

1w 1

1

v z

w1v z ó 1z v

(11)

3 3 3 3 3 3 3 1

1 1 1

u z w z z u z w z z z u w

u w u w u w

3 13 1

1

z u wz u w

u w 1u w3z



(12)

3 23 2 u vu v h h hu v h u v h u v h

h u v h u v

2 1h h h

h u v

u v 2 1h h h

h u v

h 2 1h h

h

2 1h h

(13)

2 11 1 2 11 2 1

1 1

aa aa a

a a

1 2 1

1

a

a1 2 2 2 1a a

(14)

222 2 2 11

1 1

a b ca b ca a b a c

b c b c 1 b c

2a

(15)

22 3 2 1 3 4 22 6 8

2 2

c c c cc c c

c c

21 3 4

2

c c

c

2 21 3 4 4 3 1c c c c

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