EJERCICIOS resueltos

(Matriz: conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental, equivalente)

MATRIZ CONMUTABLE

Las matrices A y B son conmutables si A.B=B.A Hallar todas las matrices A conmutables con B si:

A= (a bc d ) y, B= (1 1

0 1)Desarrollo:

A.B= (a a+bc c+d ) Λ B.A= (a+c b+d

c d )

Como A.B=B.A si son conmutables, entonces:

(a a+bc c+d ) = (a+c b+d

c d )(A .B ij=B . A ij¿

a = a+c c = c V a+b = b+d c+d = d

c = 0 a = d c = 0

A es conmutable con B si a, b, d Є R Λ a = d Λ c = 0

MATRIZ IDEMPOTENTE

Una matriz se dice idempotente si y solo si A = A2

Pruebe que la siguiente matriz:

B = ( 2 −3 −5−1 4 51 −3 −4) es idempotente.

Desarrollo:

B2 = ( 2 −3 −5−1 4 51 −3 −4) * ( 2 −3 −5

−1 4 51 −3 −4) = ( 2 −3 −5

−1 4 51 −3 −4) = B

MATRIZ NILPOTENTE

Dada la siguiente matriz A, demostrar que es nilpotente de orden 2

A = (0 −8 00 0 00 5 0)

Desarrollo:

A2 = (0 −8 00 0 00 5 0) * (0 −8 0

0 0 00 5 0) = (0 0 0

0 0 00 0 0)

A2 = (0 0 00 0 00 0 0)Se dice que es nilpotente de orden 2

MATRIZ INVOLUTIVA

Dada la siguiente matriz A, demostrar que es una matriz involutiva

A = (1 −10 −1) ; Por demostrar: A2 = I

Desarrollo:

A2 = (1 −10 −1) * (1 −1

0 −1) = (1 00 1)

A2 = I

MATRIZ ELEMENTAL

La matriz elemental es el resultado de aplicar una operación fundamental de fila a la matriz identidad

Hallar una matriz elemental de la siguiente matriz:

A = ( 0 2 5−4 −1 03 2 1)

Desarrollo:

A = ( 0 2 5−4 −1 03 2 1) ≈ ( 0 2 5

−1 1 13 2 1)

IA = (1 0 00 1 00 0 1) ≈ (1 0 0

0 1 10 0 1) Esta es una matriz elemental

MATRIZ EQUIVALENTE

F2 + F3

F2 + F3

Sean A = ( 1 0 10 −1 1

−1 −2 1) y R = (1 0 10 1 −10 0 0 )

a.- ¿A es inversible?

b.- Demostrar que A ≈ R. Es decir, determinar una matriz P inversible tal que R =

P.A

Desarrollo:

(A I I) = ( 1 0 1 1 0 00 −1 1 0 1 0

−1 −2 1 0 0 1) ≈ (1 0 1 1 0 00 −1 1 0 1 00 −2 2 1 0 1) ≈ (1 0 1 1 0 0

0 1 −1 0 −1 00 0 0 1 −2 1)

Conclusiones:

a.- A no es inversible, puesto que A es equivalente a una matriz R escalonada reducida por filas que no es la matriz identidad

b.- A ≈ R y P = (1 0 00 −1 01 −2 1) donde P.A = (1 0 0

0 −1 01 −2 1)*(

1 0 10 −1 1

−1 −2 1)= (1 0 10 1 −10 0 0 )= R

F3 + F1 F3 -2 F2

(-1)F2

PR