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Equações do 1º grau Prof: Zaqueu Oliveira

Equação do 1º e 2º grau

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Page 1: Equação do 1º e 2º grau

Equações do 1º grau

Prof: Zaqueu Oliveira

Page 2: Equação do 1º e 2º grau

Objetivos

Reconhecer equações do 1º grau. Descrever uma situação por meio de uma

equação do 1º grau. Identificar os elementos de uma equação

do 1º grau. Resolver equações do 1º grau com uma ou

duas incógnitas. Descrever uma situação por meio de um

sistema de duas equações do 1º grau.

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História

Resoluções de equaçõesMatemáticos egípcios e babilônicos, há cerca

de 4000 anos, já demonstravam interesse pela resolução de equações, que era feita passo a passo, e as incógnitas eram representadas por figuras e palavras.

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Equação do 2º grau com uma incógnita

Rafael possui R$ 43,50, sendo R$ 17,50 em moedas e o restante em cédulas de 2 reais.Quantas cédulas de 2 reais Rafael possui?

2x+17,50 = 43,50 2x = 43,50-17,50 2x = 26 x = 26/2 x = 13

1ºmembro 2º membro

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Definição

Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade em que há menos uma letra que representa um número desconhecido, chamada incógnita.

Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido da incógnita, ou seja obter a solução ou a raiz da equação.

Na equação 2x+17,50 = 43,50, por exemplo, a incógnita é x e a raiz ou solução da equação é x=13, pois 2(13)+17,50=43,50.

Page 6: Equação do 1º e 2º grau

Equações do 1º grau com duas incógnitas

As equações que podem ser escritas na forma ax+by=c, com a≠0 e b≠0.

x+y=6x y X+y

6 0 6+0=6

5 1 5+1=6

4 2 4+2=6

3 3 3+3=6

2 4 2+4=6

1 5 1+5=6

0 6 0+6=6 0 1 2 3 4 5 6 701234567

Valores Y

Valores Y

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Exemplo de Equações do 1º grau

a+5=9, sim

2x+y=10, sim

3y- √6x=0, não

x²+8x+4=0, não

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Resolva as equações a) 3x+2=x+5 3x-x=5-2 2x=3 x=3/2 x=1,5 b)7.(x-6)=21 7x-42=21 7x=21+42 7x=63 x=63/7 x= 9

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Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas

Em um estacionamento, entre carros e motos, há 12 veículos. A diferença entre o número de carros e o dobro do número de motos é igual a 3.

x+y=12 x-2y=3 => x=3+2y Método da Substituição 3+2y+y=12 3y=12-3 => y=9/3 => y=3 Substitui na 1º, temos x+3=12 => x=12-3 => x=9 S=(9;3)

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Equações do 2º grauProf: Zaqueu Oliveira

Page 11: Equação do 1º e 2º grau

Objetivos

Reconhecer uma equação do 2º grau. Identificar os elementos de uma equação do 2º grau Classificar equações do 2º grau em completas ou

incompletas. Representar situações por meio de uma equação do

2º grau. Determinar as soluções de uma equação do 2º grau. Determinar o número de raízes reais diferentes de

uma equação do 2º grau analisando o valor do discriminante.

Page 12: Equação do 1º e 2º grau

Historia

Equação e Álgebra

A parte da matemática que estuda equações ecálculos em que letras representam números échamada de Álgebra. Os primeiros a usar foramo grego Diofanto de Alexandria (cerca de 250d.C), o francês François Viète (1540-1603).

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Equação do 2º grau

Henrique cercou com tela um terreno em forma de quadrado cuja área é 169 m². Quantos metros de tela, no mínimo, Henrique utilizou?

x.x=169 x²=169 x= ±√169 x=± 13

A=169m²

13 m

13 m

Page 14: Equação do 1º e 2º grau

Definição:

  Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

Observe que:

a representa o coeficiente de  x²;b representa o coeficiente de x;c representa o termo independente.

Exemplos:

x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. Completa 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. Incompleta x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36. Incompleta

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Estudando as raízes de equações do 2º grau

De acordo com o valor de Δ, podem ocorrer três casos. Se Δ>0, possui duas raízes reais e diferentes; Se Δ=0, possui duas raízes reais e iguais; Se Δ<0, não possui raízes reais.

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Resolução de Equações Incompletas

Equações da forma:ax² +bx = 0, (c = 0)

De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções:

x = 0

e

x = - b a

Equações da forma:ax² +c = 0, (b = 0)

De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0:

possui duas raízes reais se:- c for um nº positivo

a

não possui raiz real se:- c for um nº negativo

a

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Resolução de equações incompletas do tipo ax² +bx=0 e ax² +c=0

1.Determine o conjunto verdade das equações:a) x²-7x = 0 b) x²- 49 = 0 x=-b/a x=-(-7)/1 x=7As raízes será 0 e 7c) 3x² +25=4 → 3x² +25-4=0 → 3x² +21=0 → 3x² =-21x² = -21/3 x² =-7Não existe raiz real para a raiz quadrada de -7

x²=49/1x = √49x= ±7. As raízes é -7 e 7

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Resolução de equações completas do tipo ax² +bx +c=0

a) x²+3x-10 = 01º passo. Determinar os valores dos coeficientes a=1, b=3 ,c=-10

2º passo. Substituir os valores na formula discriminante Δ=b²-4.a.c Δ=3²-4.(1).(-10) Δ=9+40 Δ=493º passo. Substituir os valores na formula Resolutiva.

As raízes são 2 e -5.

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Composição de uma Equação do

2º Grau, Conhecidas as Raízes

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos:

ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0 a a a a aComo: S = x’+ x” = -b/a e P = x’. x” = c/aPodemos escrever a equação desta maneira:

x2 - Sx + P = 0

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Exercício sobre Composição

Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. Solução:   A soma das raízes corresponde a:  S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5  O produto das raízes corresponde a:  P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14. Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

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Sistema de duas equações com duas incógnitas

Guilherme utilizou 72m de tela para cercar um terreno retangular com 315m². Quais são as dimensões desse terreno?

Método da Substituição. substituindo x por 36-y2x+2y=72 x.y =3152x=72-2y (36-y).y =315x=72-2y/2 36y - y² =315x=36-y -y² +36y -315=0

informação

• Perímetro

• Área

Equação

• 2x+2y=72

• x.y=315

Sistema

• 2x+2y=72

• x.y=315

Page 22: Equação do 1º e 2º grau

Formula Resolutiva

-y² +36y -315=0 a=-1 , b=36, c=-315 Δ=b²-4.a.c Δ= (36)² - 4.(-1).(315) Δ= 1296-1260=36

15m x 21m

Page 23: Equação do 1º e 2º grau

Bibliografia

Slidesdare Google imagens Livro didático Vontade de saber de

matemática Artigos relacionados as equações do 2º

grau.