EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS À FLEXÃO DE VIGAS

(Curso de Engenharia Civil)

Lucas da Mata Rocha Menezes1.Erica Dantas Pereira Gama2.

RESUMO

A base teórica da engenharia em grande parte vem da linguagem e análise

matemática. Por isso o engenheiro deve ter um bom embasamento dos

cálculos diferenciais e integral, equações diferenciais, álgebra linear entre

outros recursos matemáticos para resolver a maioria dos problemas de

engenharia. O objetivo desse artigo é mostrar uma aplicação de um dos

métodos matemáticos chamado equações diferenciais à análise estrutural,

mais especificamente à flexão de vigas, visando um melhor entendimento dos

recursos e da aprendizagem das equações diferenciais através da utilização da

mesma no comportamento de estruturas.

PALAVRAS-CHAVE: Equações Diferenciais. Matemática. Engenharia. Flexão.

Vigas.

ABSTRACT

The theoretical basis of engineering largely comes from the language and

mathematical analysis. For this the engineer must have a good foundation for

differential and integral calculations, differential equations, linear algebra and

other mathematical tools to solve most engineering problems. The aim of this

paper is to show an application of a mathematical method called differential

equations for structural analysis, specifically bending of beams, seeking a better

1 Aluno do Curso de Engenharia Civil – Universidade Tiradentes.2 Professora Titular – Universidade Tiradentes.

understanding of resources and learning of differential equations by using the

same behavior of structures.

KEYWORDS: Differential Equations. Mathematics. Engineering. Flexion.

Beams.

INTRODUÇÃO

As equações diferencias estão presentes em quase todos os tipos de estudo,

não só em áreas de engenharia como em física, biologia, estatística entre

outras, o que faz o seu estudo de grande importância.

Uma das aplicações da equação diferencial é o estudo da mecânica dos

sólidos em função de forças atuantes, podemos incluir como corpo sólido as

vigas, que são elementos estruturais que são projetadas para receber

carregamentos e suportar diversas cargas ao longo de sua extensão.

O principal objetivo desse trabalho é fazer a associação das equações

diferencias e a mecânica dos sólidos. Descrevendo a relação entre eles.

Para melhor entendimento do trabalho será feito uma apresentação superficial

das equações diferenciais priorizando as principais definições e métodos de

resolução, para facilitar o entendimento da utilização dessa ferramenta. Após o

expor os principais conceitos das equações diferenciais, será apresentada a

base para o estudo de vigas assim como as forças que atuam sobre a mesma.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Uma equação diferencial é uma equação em que as suas incógnitas são

funções e a equação envolve as derivadas dessas funções.

Definição: Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação da

forma: F(x, y(x), y’(x), y’’(x),...,y(n)(x)) = 0.

Exemplos: y’ + 5y = ex. ↔

dydx

+ 5y = ex.

Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem.

As equações diferencias de 1ª ordem são equações que podem ser escritas na

forma: F(x, y, y’) = 0

Vamos ver equações de primeira ordem escritas como:

dydx

=f (x , y )

Quando resolvemos uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem

normalmente obtemos uma família de soluções que dependem de uma

constante arbitrária. Se toda solução particular puder ser obtida da família de

soluções que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos

que a família de soluções é a solução geral da equação.

Exemplo:

dydx

=e3x , pode-se resolver por integração direta:

y ( x )=∫ e3x dx= e3 x

3+C ,

Que é uma solução geral da equação diferencial dada.

Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem.

Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da

forma: a(x) y’’ + b(x) y’ + c(x) y = d(x)

Onde a = a(x), b = b(x), c = c(x) e d = d(x) são funções conhecidas somente da

variável independente x.

Exemplos de equações diferenciais lineares de segunda ordem:

a) x2y’’ + sin(x) y’ + exy = u(x)

b) y’’ − 7y’ + 12y = cos(x)

CONCEITOS PRELIMINARES DA MECÂNICA.

Força Normal (N)

Força Normal é a componente da força interna que age perpendicularmente à

seção transversal. Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento

no sentido da aplicação da força, é chamada de força normal de tração ou

solicitação de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando

encurtamento no sentido de aplicação da força, é chamada de força normal de

compressão ou solicitação de compressão.

Força Cortante (V)

Força Cortante é componente de força interna que equilibra uma dada seção

transversal de barra (ou viga), contida no plano da seção transversal que tende

a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte

(deslizamento da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente

que opõem resistência às forças cortantes são denominadas tensões de

cisalhamento ou tensões tangenciais (força por unidade de área),

representadas pela letra grega τ (Thau).

Momento Fletor (M).

Considerando a análise de membros prismáticos sujeitos a dois conjugados ou

momentos, iguais e de sentidos opostos, M e M’, atuando no mesmo plano

longitudinal. Se passarmos uma seção transversal cortando a viga, as

condições de equilíbrio de uma parte da viga exigem que os esforços

elementares exercidos sobre essa parte formem um conjugado equivalente.

Desse modo, a seção transversal da barra submetida à flexão pura apresentará

esforços internos equivalentes a um conjugado. O momento M desse

conjugado é chamado momento fletor da seção. Por convenção, indica-se

como positivo o momento M que flexiona a barra e como negativo o caso em

que M e M’ têm sentidos inversos.

FLEXÃO DE VIGAS

Vigas geralmente são elementos prismáticos retos e longos. Vigas de aço e de

alumínio desempenham um papel importante na engenharia de estruturas e

mecânica.

Vigas de concreto armado e madeira são muito usadas na construção de

casas. Na maioria dos casos, as forças são perpendiculares ao eixo da viga.

Esse carregamento transversal provoca somente flexão e cisalhamento na

viga. Quando as forças não estão em ângulo reto com o eixo da viga, elas

produzem também forças axiais na viga (Ferdinand, 2006).

O projeto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer uma

investigação das cargas que atuam em seu interior para a garantia de que o

material utilizado possa resistir a tal carregamento. Esses efeitos internos

podem ser determinados pelo uso do método das seções.

Em mecânica, os componentes da Força N, atuando à viga na região de corte,

e V que atua tangente a essa região, são denominados força normal ou axial e

força de cisalhamento, respectivamente. O momento M é denominado

momento fletor (Hibbeler, 2005).

As vigas são classificadas de acordo com a maneira como são vinculadas ou

apoiadas. A figura a seguir mostra o tipo de viga usada frequentemente. A

distância L mostrada na viga é chamada de vão.

Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor.

A determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do

momento fletor em uma viga fica muito mais fácil se os valores V e M forem

construídos graficamente em função da distancia x medida a partir de uma

extremidade da viga. Além disso, o conhecimento de M em função de x é

essencial para a determinação do deslocamento de uma viga.

Figura 1(Figura - Representação de uma Viga em 3D Fonte: GASPAR: 2005.)

No exemplo da figura a baixo, os diagramas de força cortante e momento fletor

serão obtidos determinando-se os valores de V e M em pontos selecionados da

viga. Esses valores serão determinados da maneira usual, isto é, cortando-se a

viga no ponto onde eles devem ser determinados (figura 2a) e considerando o

equilíbrio da parte da viga localizada de cada lado da seção (figura 2b). Como

as forças cortantes V e V’ têm sentidos opostos, registrar a força cortante no

ponto C com uma seta para cima ou para baixo não teria significado, a menos

que indicássemos ao mesmo tempo qual dos corpos livres AC e CB estamos

considerando. Por esta razão, a força cortante V será marcada com um sinal:

um sinal positivo se estiverem direcionadas, como mostra a figura 2b, e um

sinal negativo, no caso contrario. Será aplicada uma convenção similar para o

momento fletor M. Ele será considerado positivo se os momentos fletores

estiverem direcionados, conforme mostrado naquela figura, e negativo caso

contrario.

Figura 2 (Ferdinand, 2006)

Curva de Deflexão (Coeficiente de Poisson).

Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma

contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce

seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta.

A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro

da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v);

definido como:

v= Deformação LateralDeformação Longitudinal

Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês

S. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas

propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos,

Poisson achou n » 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de v

usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. Se o material em estudo possuir as

mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto

considerado, então é denominado, material isotrópico. Se o material não

possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material

anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção

de suas fibras a madeira é mais resistente.

Equações Diferenciais das Curvas de Deflexão.

Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando

para cima na extremidade livre.

Figura 3 - Curva de deflexão de uma viga engastada. (Gere, 2003)

Considerações: O plano xy é um plano de simetria da viga e todos os

carregamentos atuam nesse plano (plano de flexão). O material segue a Lei de

Hooke e consideramos somente deformações devido à flexão pura.

Deflexão ν - É o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga,

como apresenta a Figura 3b. Como y é positivo para cima, então ν é positivo.

Vamos considerar a curva de deflexão com mais detalhes como mostra a

Figura 4.

Figura 4 - Curva de deflexão de uma viga. (Gere, 2003)

Ângulo de rotação θ - É o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva de

deflexão, como mostra a Figura 4b.

Observações: θ é positivo no sentido anti-horário.

Notação: Ângulo de rotação = Ângulo de inclinação = Ângulo de declive

Ângulo de rotação em m2 = θ+dθ

dθ - Aumento no ângulo conforme nos movemos do ponto m1 para o ponto m2.

Ângulo entre as normais as tangentes = dθ

Ponto de interseção entre as normais as tangentes = O’ (Centro de curvatura) ρ

- Raio de curvatura – Distância de O’ à curva e é dado pela seguinte

expressão.

ds=ρdθ

onde dθ é dado em radianos e ds é a distância ao longo da curva de deflexão

entre os pontos m1e m2.

A curvatura é dada por:

k=1ρ=dθ

ds

A convenção de sinal para a curvatura é apresentada na Figura 5.

Figura 5 - Convenção de sinal para a curvatura. (Gere, 2003)

A inclinação da curva de deflexão é a primeira derivada dvdx

. Geometricamente,

a inclinação da curva de deflexão é o incremento dν na deflexão (conforme

vamos do ponto m1 para o ponto m2) dividindo pelo incremento dx na distância

ao longo do eixo x.

Como dv e dx são infinitesimais tem-se que:

dvdx

=tgθ→arctg ( dvdx )

De modo similar tem-se:

cos (θ )=dxds

e sen (θ )=dvdx

Essas equações são validas para vigas de qualquer material

Vigas com pequenos ângulos de Rotação:

Estruturas encontradas na vida diária: Edifícios, Automóveis, Aeronaves,

navios e

etc. Essas estruturas sofrem pequenas variações na forma enquanto estão em

serviço e não são percebidas por um observador casual. Dessa forma, a curva

de deflexão da maioria das vigas e colunas tem ângulos de rotação muito

pequenos, deflexões muito pequenas e curvaturas muito pequenas.

De acordo com a Figura 4, se o ângulo de rotação é muito pequeno, a curva de

deflexão

é quase horizontal. Dessa forma tem-se que:

ds ≈dx→cos (θ )=1

Assim a curvatura, pode ser dada por:

k=dθdx

Uma vez que tgθ ≈θ quando θ é pequeno, tem-se o seguinte:

θ≈ tg (θ )=dvdx

Derivando a expressão anterior em relação a x temos:

dθdx

=d ² vdx ²

Igualando com a expressão da curvatura:

dθdx

=k →k=1ρ=d ² v

dx ²

A expressão anterior é válida para uma viga de qualquer material, com a

condição de que as rotações sejam pequenas.

Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke, a curvatura é dada

por:

k=1ρ= M

EI

Em que M é o momento fletor e EI é a rigidez a flexão da viga. Combinando as

duas ultimas equações da deflexão produz-se a equação diferencial da curva

de deflexão básica de uma viga.

d ² vdx ²

= MEI

Essa equação pode ser integrada em cada caso particular para se obter, ν, M e

EI que são funções de x.

Equações adicionais podem ser obtidas a partir das relações entre o momento

fletor M, a força de cisalhamento V e a intensidade q da carga distribuída, como

a seguir:

dVdx

=−qdMdx

=V

Vigas Não-Prismáticas

A rigidez a flexão EIx é variável. A equação d ² vdx ²

= MEI

torna-se:

EIxd ² vdx ²

=M

Diferenciando ambos os lados da equação anterior e usando as equações

dVdx

=−q edMdx

=V obtém-se:

ddx (EIx

d2 vd x2 )=dM

dx=V

d ²dx ² (EIx

d ² vdx ² )=dV

dx=−q

Vigas PrismáticasNo caso de uma viga prismática (EI constante), as equações diferenciais

tornam-se:

EId ² vdx ²

=M

EId ³ vdx ³

=V

EId4 vdx4

=−q

Iremos nos referir a essas equações como a equação do momento fletor, a

equação da força de cisalhamento e a equação do carregamento,

respectivamente.

Deflexões por integração da equação do momento fletor – Método de

integrações

Sucessivas

Objetivo: Integrar duas vezes EId ² vdx ²

=M

1ª Integração → v'=dv

dx

2ª Integração → deflexão v

Passos:

1- Escrever as equações para os momentos fletores da viga

2- Para cada região da viga substituímos as expressões para M na equação

diferencial da elástica e integramos para obter a inclinação ν’

3- Integramos cada equação da inclinação para obter ν.

Observações: Cada integração produz uma constante de integração.

As constantes de integração são obtidas a partir de condições relativas às

inclinações e deflexões. As condições classificam-se em três categorias.

Condições de contorno: relativas às inclinações e deflexões nos apoios das

vigas, como

exemplifica a Figura 6 e a Figura 7.

Figura 6 - Condições de contorno em apoio simples.(Gere, 2003)

Figura 7 - Condições de contorno no engaste (Apoio fixo). Fonte: Gere, 2003

APLICAÇÃO EM VIGAS BIAPOIADAS:

Imaginemos uma viga isolada de uma estrutura de certo empreendimento, para

a determinação da carga devemos levar em conta o próprio pesa desta viga “q”

adicionado o peso resultante da parede sobre esta viga “p”. Esta carga “w”

representada por q + p, é chamada de carregamento e tem como unidade

Kg/m, ou seja, o peso da viga mais o peso da parede sobre esta viga gera

certa quantidade de peso em Kg sobre cada metro ao longo do comprimento

da viga analisada. A viga em analise está apoiada em sobre pilares em cada

uma de sua extremidade (biapoiada), cada uma desses pilares representados

pelas letras A e B, fornecerão as respectivas reações devido o carregamento

aplicado. Conhecida a viga, os conceitos de equações e da mecânica dos

sólidos, determine a equação da linha elástica (deflexão) de uma viga simples

AB suportando um carregamento uniforme de intensidade w atuando por toda a

extensão da viga. Determine também a flecha máxima v no ponto médio da

viga. (Nota: A viga tem comprimento L e rigidez à flexão EI constante).

Figura 8 - Viga Biapoiada com carregamento uniformemente distribuído. Fonte: Beer, 2006

Solução:

Determinando o momento fletor desta viga:

O momento fletor em uma secção transversal distante x de um dos apoios fixo

é obtido considerando a reação no mesmo que é igual a wL /2.

Consequentemente, a expressão para o momento fletor M é:

M = wLx2

−wx ²2

(1)

Considerando a equação diferencial do momento fletor para uma viga prismática EId ² vdx ²

= M e substituindo em (1), obtemos:

EId ² vdx ²

= wLx2

−wx ²2

(2)

Essa equação pode ser utilizada para se obter a inclinação e a elástica da viga dydx

.

Reescrevendo a equação diferencial (2) que é uma equação de variáveis separáveis, e integrando ambos os lados:

EIdvdx

= (wLx2

−wx ²2 )dx

EIdvdx

= wLx ²4

−w x3

6 + C1 (3)

A equação diferencial (3) representa a inclinação da viga (θ). Para

determinarmos C1 na equação (3) observamos, a partir da simetria da viga e de

seu carregamento, que a inclinação da curva de flexão na metade da extensão é

igual a zero, e daí, temos a seguinte condição de simetria:

Para x=L/2 → dvdx

=0, Então:

0 = wL ³16

−w L3

48 + C1

C1=−wL ³24

A equação para a inclinação da viga torna-se então:

EIdvdx

= wLx ²4

−w x3

6−wL ³24

(4)

θ=dvdx

= −w24 EI

(L3−6 Lx2+4 x3) (5)

Para encontrar a deflexão da viga (v), temos que integrar a função (4):

v=wLx ³12

− wx 4

24−w L3 x

24 + C2 (6)

A constante de integração C2 pode ser calculada a partir da condição de que a

deflexão da viga no suporte fixo é igual a zero; isto é, v = 0 quando x = 0.

C2 = 0, então:

v=wLx ³12

− wx 4

24−w L3 x

24 ou ,

v= −wx24 EI

(L3−2 Lx2+x3) (7)

Essa equação da o deslocamento vertical em qualquer ponto ao longo do eixo

da viga. Vale ressaltar que esse deslocamento é zero em ambas as

extremidades da viga e negativa em qualquer outra parte, pois flechas para

baixo são negativas por convenção.

Flecha Máxima: Da simetria, observamos que a flecha máxima (deflexão

máxima) ocorre no ponto médio do comprimento. Assim, fixando x igual a L/2

na equação (7), obtemos:

vmax¿5w L4

384 EI

APLICAÇÃO EM VIGAS EM BALANÇO (ENGASTADAS).

Imaginemos agora outra viga do mesmo empreendimento da aplicação

anterior, só que esta viga não é biapoiada, ou seja, não possui apoio em uma

de suas extremidades. O peso ao longo desta viga será o peso próprio da

mesma w em Kg/m. vamos determinar a equação da linha elástica (deflexão)

para uma viga engastada AB submetida a um carregamento uniforme de

intensidade w. E também o ângulo de rotação θ e a deflexão v em B, na

extremidade livre. (Nota: a viga tem comprimento L e rigidez de flexão EI

constante).

Solução:

Considerando que a reação vertical no apoio é igual a wL e que a reação do

momento é igual a wL²/2 , o momento fletor à distância x do suporte fixo é

expresso pela equação:

M=−w (L−x )²

2

M=−w L2

2−w x2

2+wLx (1)

Quando a expressão precedente para o momento fletor é substituída na equação diferencial:

EId ² vdx ²

=M

Obtemos:

EId ² vdx ²

=−w L2

2−w x2

2+wLx (2)

Agora integramos ambos os lados da equação (2) para obter a inclinação:

EIdvdx

=−w xL2

2−w x3

6+wL x2

2 + C1 (3)

A constante de integração C1 pode ser obtida a partir da condição de contorno

de que a inclinação da viga é zero no suporte. Para x=0, dvdx

= 0.

Quando essa condição é aplicada à equação (3), obtemos C1 = 0. Em

consequência, a equação (3) torna-se:

EIdvdx

=−w xL2

2−w x3

6+wL x2

2(4)

Assim, a inclinação é:

θ=dvdx

=−wx6 EI

(3 L2−3Lx+x2) (5)

Como esperado, a inclinação é zero no suporte (x=0) e negativa por todo o

comprimento da viga.

A integração da equação (4) produz a equação da deflexão:

EIv=−w x ²L2

4−w x4

24+wLx3

6 + C2 (6)

A constante C2 é encontrada a partir da condição de contorno de que a flecha

da viga é zero no suporte. Para x=0, v=0:

Quando essa condição é aplicada na equação (6), vemos imediatamente que

C2 = 0.

Em consequência, a equação para a deflexão v é:

v=−w x2

24 EI(6 L2−4 Lx+x2) (7)

Como esperado, o deslocamento vertical v é zero no suporte (x = 0) e negativa

(para baixo) em outras partes.

O ângulo de rotação θ na extremidade B da viga é igual ao negativo da

inclinação naquele ponto. Assim, usando a equação (5), obteremos, para x = L:

θ=−dvdx

= wL ³6 EI

(8)

Esse é o ângulo de rotação máxima para a viga.

Uma vez que a deflexão v é para baixo, ela é igual ao negativo da deflexão

obtida a partir da equação (7). Para x = L

vmax = −wL ²8EI

Essa flecha é o deslocamento vertical máximo da viga.

CONCLUSÃO

É percebida a importância do entendimento de equações diferenciais enquanto

ferramenta matemática disponível para diversos ramos da ciência, e em

específico, para a engenharia, na necessidade de determinar as tensões e as

deformações usando as propriedades físicas dos materiais, bem como as leis

que regem o comportamento dessas estruturas.

Ao realizar o estudo do comportamento de vigas percebemos a importância da

relação da matemática e engenharia. A matemática fornecendo as ferramentas

úteis para o entendimento de fenômenos que estão à nossa volta e aplicar para

uma melhor produtividade na engenharia.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

SODRÉ, Ulysses (21 de maio de 2003). Equações Diferenciais Ordinárias.

SANTOS, Reginaldo J.Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias /

Reginaldo J. Santos. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2007.

BEER, Ferdinand Pierre, 1915 – Resistencia dos Materiais / Ferdinand P. Beer,

E. Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf; tradução Mario Moro Fecchio; revisão

técnica Walter Libardi. – São Paulo: McGraw-Hill, 2006.

HIBBELER, R. C. Estática : mecânica para engenharia, vol. 1 / R. C. Hibbeler;

tradução Everi Antonio Carrara, Joaquim Nunes Pinheiro; revisão técnica

Wilson Carlos da Silva Junior. – São Paulo: Pearson Prentive Hall, 2005.