Equações diferenciais ordinárias

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  • 1. 1 - Equaes Diferenciais Ordinrias Equaes contendo derivadas so equaes diferenciais. Portanto, para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento de fluidos, o fluxo de corrente eltrica em circuitos, a dissipao de calor em objetos slidos, a propagao e deteco de ondas ssmica, o aumento ou diminuio de populaes, entre muitos outros, necessrio saber alguma coisa sobre equaes diferenciais. Vale lembrar que todo a parte do clculo chamado de clculo de primitivas nada mais nada menos que a determinao de solues de uma equao diferencial.

2. Como Resolver uma Equao Diferencial Ordinria (EDO) Na soluo de uma EDO dois caminhos podem ser seguidos. Isto , o que tenta levar soluo exata do problema (mtodo analtico) ou o que encontra uma soluo aproximada (mtodo numrico). Do ponto de vista analtico, resolver uma EDO do tipo y = f ( x, y ) encontrar uma funo y = F ( x ) que satisfaa a equao dada. Por exemplo, dada a equao diferencial y = f ( x, y ) = 2 x + 3, sua soluo obtida por Na verdade, temos uma famlia de solues (para cada C R tem-se uma soluo particular). Na Figura 1 so mostradas algumas destas solues. No caso para C = 0, C = 2 e C = 4. y = ( 2x + 3) dx = x 2 + 3x + C . 3. Representaes de solues particulares, para alguns valores de C, da funo y= x 2 + 3 x + C. Figura 1 C = 0 C = 2 C = 4 x y 4. Para determinarmos uma soluo especfica necessria a atribuio do valor de y em um dado x. Em outras palavras, deve ser dado um ponto ( x = a , y = s ) por onde a soluo particular deve obrigatoriamente passar. O processo para encontrar esta soluo especfica y da equao y = f ( x, y ) com y ( a ) = s, onde a e s so dados numricos, chamado de problema de condio inicial. Assim, podemos particularizar a soluo do problema anterior atribuindo-lhe, por exemplo, a seguinte condio: Logo, a soluo geral dada por y = x 2 + 3 + C, e a particular ser dada por y ( 0 ) = 0 = 0 2 + 3 x 0 + C C = 0. Ou seja, y = x 2 + 3 x . = += 0)0( 32 y x dx dy 5. Classificao de Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) -- se a funo desconhecida depende de uma nica varivel independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples. Equaes Diferenciais Parciais (EDP) -- se a funo desconhecida depende de diversas variveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais. Sistema de equaes diferenciais -- se existem duas ou mais funes que devem ser determinadas, precisamos de um sistema de equaes. 6. Ordem -- a ordem de uma ED a ordem da mais alta derivada que aparece na equao. Exemplos: 35 += xdx dy 12 2 3 3 4 4 =++++ ydt dy dt yd dt yd dt yd Geralmente a equao F(y, y, y, ..., y(n) ) = 0 uma equao diferencial de ordem n. 4 '"2''' tyyyey t =++ Uma EDO dada para a maior derivada, obtendo-se ),...,",',,( 1 = nn yyyytfy 7. Equaes Lineares e no -lineares -- A equao diferencial 0),...,",',( )( =n yyytF dita linear se F uma funo linear das varveis y, y, y, ... Assim a equao diferencial ordinria linear geral de ordem n )1()()()()( )1( 1 )( 0 tgytaytayta n nn =+++ A equao diferencial que no da forma (1) uma equao no-linear. Exemplo: 4 '"2''' tyyyey t =++ 8. Solues: Uma soluo da equao y(n) = f (t, y, y`, y``, ..., y(n-1) ) em < t < uma funo tal que `, ``, ... (n) existem e satisfazem (n) (t) = f [t, (t), `(t), ``(t), ... (n-1) (t)] para todo t em < t < 9. Algumas questes relevantes Uma equao diferencial sempre tem soluo? (existncia) Quantas solues tem uma equao diferencial dada que ela tem pelo menos uma? Que condies adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma nica soluo? (unicidade) Dada uma ED, podemos determinar, de fato, uma soluo? E, se for o caso, como? 10. Uso de computadores em ED Um computador pode ser uma ferramenta extremamente til no estudo de equaes diferenciais. Algoritmos j esto sendo usados h muito tempo para solucion-las. Entre eles podemos citar: o mtodo de Euler e Runge-Kutta. Existem excelentes pacotes numricos gerais que solucionam uma gama de problemas matemticos com verses para PC, estaes, etc. Entre eles temos: o Maple, o Mathematica e o Matlab. 11. 2 - Equaes Diferenciais de Primeira Ordem A forma geral das equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem dy/dx = f (x,y) (1) Qualquer funo diferencial y = (t) que satisfaa essa equao para todo t em um dado intervalo dita uma soluo desta equao. Ex. y` = 2y + 3e t Sero estudadas trs subclasses de equaes de primeira ordem: - as equaes lineares; - as separveis e as equaes exatas. 12. Equaes Lineares Se a funo f em (1) depende linearmente de y, ento ela chamada de uma equao linear de primeira ordem. Um exemplo com coeficientes constantes dy/dt = - ay + b, onde a e b so constantes dadas. Substituindo os coeficientes a e b por funes em t, temos a forma geral da equao linear de primeira ordem dy/dt +p(t)y = g(t), onde p e g so funes dadas da varivel independente t. 13. Exemplo: Considere a equao diferencial dy/dt + 2y = 3. Encontre sua soluo. Soluo: Temos que dy/dt = -2y + 3 ou dy/dt = -2 y - 3/2 ln |y - 3/2 | = -2t + c Logo, y = 3/2 + ce - 2t Se g(t) = 0, ento a equao dita equao linear homognea. 14. Fator integrante Consiste em multiplicar a equao diferencial por uma determinada funo (t) de modo que a equao resultante seja facilmente integrvel. Exemplo: Considere a equao dy/dt +2y =3. Assim podemos ter (t) dy/dt + 2 (t) y = 3 (t) Vamos tentar encontrar (t) de modo que a expresso anterior tenha a esquerda do sinal da igualdade a derivada de (t) y. Assim, d[(t) y]/dt = (t) dy/dt + d (t)/dt y . 15. Comparando com a equao anterior temos que as duas primeiras parcelas so iguais e que as segundas podem ficar desde que (t) seja tal que d (t) /dt = 2 (t) Logo [d (t) /dt] / (t) = 2 Donde d [ln| (t)|] / dt = 2 O que nos leva ao resultado ln |(t)| = 2t +c ou (t) = c e2 t que um fator integrante para a equao dada. Como no queremos um caso mais geral, tomamos (t) = e2 t Logo, a equao dada, fica: 16. e2 t dy/dt + 2 e2 t y = 3 e2 t Ora, d (e2 t y)/dt = 3 e2 t Ento e2 t y = (3/2) e2 t + c, donde y = (3/2) + c e - 2 t . que a mesma soluo encontrada anteriormente. Em vrias equaes pode-se ter fator integrante como em dy/dt + ay = b, o fator ser (t) = ea t basta apenas fazer as devidas substituies de a e b. 17. Exemplo : Resolver a seguinte equao diferencial com condio inicial y ` + 2y = te 2t , y(1) = 0. Soluo: Temos (t) = e2 t Logo e2 t y` + 2y e2 t = t (e2 t y)` = t e2 t y = (t2 /2) + c. Aplicando a condio inicial, y(1) = 0, Obtemos c = . E finalmente, a resposta y = (e 2t /2) (t2 1) 18. Escolha de (t) dy/dt + p(t)y = g(t) (t) [dy/dt] + (t) p(t)y = (t) g(t) o segundo termo do lado esquerdo igual a derivada do primeiro [d(t)] /dt = p(t) (t), supondo que (t) > 0 {[d(t)] /dt} / (t) = p(t) ento ln (t) = p(t)dt + c, escolhendo c = 0, temos (t) que a funo mais simples, ou seja, (t) = exp [ p(t)dt] = e p(t)dt 19. Exemplo: Seja dy/dt + y/2 = 2 + t. Temos ento a = 1/2, logo (t) = et /2 . Ento d[et /2 y]/dt = 2 et /2 + t et /2 . Temos, integrando por partes, et /2 y = 4 et / 2 + 2t et /2 - 4 et /2 + c, Como c constante, temos y = 2t + c e- t / 2 20. Equaes separveis A equao geral de primeira ordem dy/dx = f(x,y) que pode ser colocada na forma M(x,y) + N(x,y)dy/dx = 0 Onde M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1. Porm se M depende apenas de x e N apenas de y, ela pode ser escrita como M(x) + N(y)dy/dx = 0. Esta equao dita separvel, pois se for escrita na forma diferencial 21. M(x)dx + N(y)dy = 0 Ento as frmulas envolvendo cada varivel pode ser separada pelo sinal da igualdade. Exemplo: Considere a equao diferencial y` = -2xy. Ento podemos fazer y`/y = -2x e da ln|y| = - x2 + c, logo para cada c R temos duas solues: y1 = e - x + c e y2 = - e - x + c 2 2 22. Equaes exatas Uma equao na forma M(x,y) + N(x,y) y` = 0 uma equao exata em R (uma regio) se, e somente se, My (x,y) = Nx (x,y) em cada ponto de R. Exemplo: Verifique se a equao (x2 + 4y)y` + (2xy + 1 ) = 0 exata. Soluo: Neste caso, M(x,y) = 2xy +1 e N(x,y) = x2 + 4y. Logo My = 2x e Nx = 2x, donde My = Nx e 23. Teorema 2.6.1: Suponha que as funes M, N, My, Nx so contnuas na regio retangular R: < x < e < y < . Ento a equao M(x,y) + N(x,y)y` = 0 uma equao exata em R se, e somente se, My(x,y) = Nx(x,y) (1) em cada ponto de R. Isto , existe uma equao satisfazendo as equaes x(x,y) = M(x,y), y(x,y) = N(x,y) se, e somente se, M e N satisfazem a equao (1). 24. As vezes possvel transformar uma equao diferencial que no exata em uma exata multiplicando-se a equao por um fator integrante apropriado. Isto , determinar uma funo (x,y) tal que (M)y = (N)x seja uma equao exata. Exemplo: A equao xy` - y = 0 no exata. Porm se multiplicarmos por 1/x2 = (x,y), temos y`/x - y/x2 = 0 que exata. Facilmente podemos ver que M(x,y) = - y/x2 N(x,y) = 1/x e que My = -1/x2 = Nx 25. Exemplo: Resolva a seguinte equao diferencial (3x2 2xy +2 ) dx + (6y2 - x2 + 3) dy = 0. Soluo: Temos My(x,y) = -2x = Nx(x,y). Logo exata. Assim existe uma (x, y) tal que x (x, y) = 3x2 2xy +2 , y (x, y) = 6y2 - x2 + 3 Integrando a x (x, y), temos (x, y) = (3x2 2xy +2) dx = x3 2 x2 y +2x + h(y). Fazendo y = N, temos - x2 + h(y) = 6y2 - x2 + 3 h(y) = 6y2 + 3 donde h(y) = 2y3 + 3y e por fim (x, y) = x3 2 x2 y +2x + 2y3 + 3y = c. 26. Fatores integrantes para equaes exatas Podemos multiplicar M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 por uma funo e depois tentar escolh-la de modo que a equao resultante (x,y) M(x,y) dx + (x,y N(x,y)dy = 0 seja exata. Sabemos que ela ser exata se, e somente se, (M)y = (N)x. Assim, ela deve satisfazer a equao diferencial M y - N x + (My Nx) = 0. Vamos determinar as condies necessrias sobre M e N de modo que a equao dada tenha um fator integrante dependendo apenas de x. 27. (M)y = (N)x, (Nx) = Nx + N[(d )/dx] Logo, para que (M)y seja igual a (N)x, necessrio que d )/dx = [(My Nx) / N] . Se [(My Nx) / N] depende somente de x, ento existe um fator integrante que depende ape