Equações sistemas de equações e inequações

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=

Uma equação é do 1o grau com uma incógnita (x) quando pode ser escrita na forma ax = b, com a e b reais e a ≠ 0.Exemplo

2x + 10 = 2 – 6 – 9x + 15

2x + 9x = 2 – 6 + 15 – 10

9x – 10 + 2x + 10 = 2 – 6 – 9x + 15 + 9x – 10

11x = 1

2(x + 5) = 2 – 3(2 + 3x) + 15

Vamos resolver a equação 2(x + 5) = 2 – 3(2 + 3x) + 15 no conjunto .

Equações do 1o grau com uma incógnita

x = Portanto, x = é a solução da equação em .

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=

Equações literais do 1o grau com incógnita xExemplos

2bx = 8 ax + 3a = bx mx + n = p

Tais letras representam números reais conhecidos que são chamados deconstantes, coeficientes ou parâmetros. A essas equações damos o nomede equações literais do 1o grau com incógnita x.

Resolução de uma equação literal3x + 2m = x + 6m

–x – 2m + 3x + 2m = x + 6m – x – 2m

2x = 4m

x = 2m

2

1

Portanto x = 2m é a solução da equação.


–=

=

Equações fracionárias

Equações fracionárias são aquelas que apresentam incógnita no denominador.

Exemplos

reduzimos ao mesmo denominador

204 – 39 = 33x

33x = 1655

1

x = 5

9x + 24 = 4x

–4x – 24 + 9x + 24 = 4x – 4x – 24

5x = –24

= 11–

=–

=+

+ =

x = –


Uma equação é do 1o grau com duas incógnitas quando pode ser escrita naforma geral, ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.

Soluções de equações do 1o grau com duas incógnitasVamos determinar alguns pares ordenados que sejam soluções da equação 3x + 2y = 10

Fazendo x = 0:3 . 0 + 2y = 10

2y = 10

y = 5

Par ordenado (0, 5)

Fazendo x = 1:3 . 1 + 2y = 10

3 + 2y = 10–3 + 3 + 2y = 10 – 3

2y = 7

Fazendo x = 2:3 . 2 + 2y = 10

6 + 2y = 10–6 + 6 + 2y = 10 – 6

2y = 4

y = 2

Par ordenado (2, 2)

Equações do 1o grau com duas incógnitas

Par ordenado

y = y =

y =


Gráficos das soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitasVamos determinar algumas soluções da equações 3x + y = 1 e representar graficamente os pares ordenados obtidos em um sistema de eixos cartesianos.

x y

0 1

1 –2

–1 4

0

–2 7

Os pontos correspondentes a todos os pares de números reais que são soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas formam uma reta.

12345678

–1–2–3–4

0–1–2–3–4 1 2 3 4 5

y

x

3x + y = 1

(–2, 7)

(–1, 4)

(0, 1)

(1, –2)


x + y = 72x + 4y = 22

Soluções de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

Em um quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 pernas.Quantas são as galinhas? E os coelhos?

x: números de galinhas y: números de coelhos

x + y = 7 (São 7 cabeças, ou seja, 7 animais ao todo.)

2x + 4y = 22 (As galinhas têm 2 pernas e os coelhos tem 4 pernas; total de 22 pernas.)

Então:

Solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitasé um par ordenado que satisfaz, simultaneamente, as duas equações.

Sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas


Na situação temos:

• Soluções da equação x + y = 7 (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); etc.

• Soluções da equação 2x + 4y = 22 (1, 5); (3, 4); (5, 3); (7, 2); etc.

O par ordenado (3, 4) é a solução do sistema, pois é o único par ordenadoque é solução, ao mesmo tempo, das duas equações.

Grafica ou geometricamente:

x + y = 7 2x + 4y = 22

x y x y

0 7

7 0

1 5

5 3

x + y = 72x + 4y = 22

12345

76

8

0

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213

x

(3, 4) (solução do sistema)

2x + 4y = 22

x + y = 7


Métodos de resolução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

Método da substituição

x + y = 55x + 2y = 85

III

x = 55 – y x + 2y = 85

III

“isolamos” o x na equação ISubstituímos em :III

55 – y + 2y = 85–y + 2y = 85 – 55

y = 30

Com o valor determinado de y, podemos substituí-lo em qualquer uma das duas equações ou .III

Em :I

x = 55 – (30)x = 25

Em :II

x + 2(30) = 85x + 60 = 85

x = 85 – 60 = 25


Método da adição

x + y = 59

x – y = 23 II

Adicionamos as duas equações:

I

x + y = 59

x – y = 23+

82+ 02x =2x = 82

Em :I

41 + y = 59y = 59 – 41y = 18

Em :II41 – y = 23

–y = 23 – 41–y = –18y = 18

x = = 41


Método da comparação

3x – 5y = 1

2x + 3y = 7

“isolamos” a mesma incógnita nas duas equações

3x = 1 + 5y

2x = 7 – 3y

x =

x =

Então, comparamos as duas equações.

2 + 10y = 21 – 9y y = 1

Substituímos y em qualquer uma das duas equações:

x = x = x = 2

10y + 9y = 21 – 2 19y = 19

= =


Sistema possível e determinadox + y = 24

y = 3x

x + y = 24 y = 3x

x y12 1210 14

x y0 03 9

Dizemos que o sistema é possível e determinado, pois tem uma única solução.

(6, 18) é a solução do sistema.

Classificação de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas quanto ao número de soluções


Sistema impossível

x + y = 5

2x + 2y = 6

“isolamos” o x na primeira equação

x + y = 5 x = 5 – y

Substituindo na segunda equação:

2(5 – y) + 2y = 6 10 – 2y + 2y = 6 10 = 6 (sentença falsa)

Quando isso ocorre, dizemos que não existe solução para o sistema ou que o sistema é impossível.


Sistema possível e indeterminado

x + 2y = 5

2x + 4y = 10

Ao multiplicar a primeira equação por (–2), temos:

–2x – 4y = –10

2x + 4y = 10somamos as duas equações

00y =0x +

Note que qualquer par de números reais (x, y) satisfaz a equação 0x + 0y = 0.

Quando há infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado.


O conjunto solução é dado por:

3 – 2x ≥ x – 12, em

3 – 2x ≥ x – 12

–2x – x ≥ –12 – 3

(–1) ∙ –3x ≥ –15 ∙ (–1)

3x ≤ 15

x ≤

x ≤ 5

S = {x tal que x ≤ 5} S = {x tal que x > 11}

, em– x >

– x >

9x – 3 – 6x > 2x + 8

9x – 6x – 2x > 8 + 3

x > 11

>–

Revendo as inequações e sistema de inequações do 1o grau

O conjunto solução é dado por:


Sistemas de inequações

Soluções da 1a inequação (S1): Soluções da 2a inequação (S2):

–x + 5 ≥ 0

A solução do sistema será a intersecção das soluções, então:

Portanto: S2 = {x | x ≤ 5}

x >

Portanto: S1 = x tal que x >

S = x tal que < x ≤ 5

3x – 4 > 0 3x > 4

x ≤ 5 (–1) ∙ –x ≥ –5 ∙ (–1)

3x – 4 > 0

–x + 5 ≥ 0, para x

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