Aula de álgebra destinada a alunos do 9o ano do ensino fundamental do CEAL.

O objetivo deste trabalho, é introduzir o estudodas equações de forma descontraída, chamandoatenção para as operações fundamentais e o usodas letras no estudo da matemática. Observa seainda a evolução do aluno no decorrer de suaformação.

Equações algébricas

EAAEAA

Equações algébricas são equações nas quais

a incógnita x está sujeita a operações operações

algébricas como: adição, subtração, algébricas como: adição, subtração,

multiplicação, divisão e radiciação.multiplicação, divisão e radiciação.

EAAEAA

Equação do primeiro grauEquação do primeiro grau

Os números reais a e b são os coeficientes

da equação.

(1o membro) (2o membro)

EAAEAA

As equações de 1o grau são equações na

forma.

ax + b = 0

Resolução de equações

a) x + 8 = 15

x + 8 = 15

x = 7

- 8

b) x - 10 = 12

x = 12 + 10

x = 22

- 10

EAAEAA

= 9 - 15

x= (- 6)

c) +

+ 15

= 9

. 3

= - 6

15

x = 18-

x3

3x

x3

3

EAAEAA

d) 2x = 18

x =

x =3

2

3

2

+15

+15 - 15

2x =

18

2

EAAEAA

Equação do segundo grau

ax² + bx + c = 0

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

Os números reais a, b e c são os

coeficientes da equação.EAAEAA

Exemplo:

x² - 5 x + 6 = 0

Identificando os coeficientes:

ax² + bx + c = 0a = 1

b = -5

c = 6

EAAEAA

Vamos completar a tabela

cbaEquação1 - 6 8

1

1

- 1

- 10 25

2 4 14

0 1

2 0

x² - 10 x + 25 = 0

x² - 6x + 8 = 0

2x² + 4x + 14 = 0

x² + 1 = 0

- x² + 2x = 0

EAAEAA

Fórmula de Bháskara

a

bx

2

∆±−=

∆(delta) letra do alfabeto grego, usada

para representar o valor da equação:

b² - 4ac .

EAAEAA

= b² - 4ac, é o discriminante da equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0. Onde a é o∆

coeficiente de x2, b é o coeficiente de x e c o termo independente.

EAAEAA

Exemplos

3x² - 3x + 6 = 0, a = 3, b = -3, c = 6

1. Calcule o discriminante na equação.∆

= b² - 4ac∆(-3)2 - 4 . 3. 6=∆

9 - 4 . 18= ∆9 - 72= ∆- 63=∆ EAAEAA

x² + 6x + 9 = 0

a = 1, b = - 6, c = 9

2. Calcule o discriminante na equação.∆

= b² - 4ac∆

(- 6)2- 4 .1.9=∆36 - 36= ∆

0 = ∆EAAEAA

x² + 2x - 3 = 0 a = 1, b = 2, c = - 3

3. Calcule o discriminante na equação.∆

= b² - 4ac∆22 - 4 . 2. (- 3)= ∆

4 - 8 . (- 3)= ∆

4 + 24= ∆

28= ∆EAAEAA

Sendo = b² - 4ac e

a

acbbx

2

42 −±−=

a

acx

2

4b- b- '

2 −=

a

ac

2

4b b- x"

2 −+=

Dada a equação de 2o grau.

∆

temos, acb 42 −=∆

logo,

a

bx

2

∆±−=

EAAEAA

ax2 + bx + c = 0.

ExemplosExemplos

a) x² - 5 x + 6 = 0 a = 1, b = -5, c = 6

a

acbbx

2

42 −±−= x = -(-5)+ (-5)2__________________2.1

_ - 4 .1 . 6

x = 5 + 25 ____________2

- 24_x’ =5 1

2

______⇒ x’ = 4

2__

⇒ x” = 2

S ={2; 3}

x” = 5 1 2+_____

⇒ x”= 62

__⇒ x” = 3

⇒

EAAEAA

b) x² + 8x + 15 = 0a = 1, b = 8, c = 15

a

acbbx

2

42 −±−= x = - 8 + 82_________________2.1

_ -4 .1 .15

x = -8 + 64 ____________2

- 60_x’= -8 4

2

_____⇒ x’=-10

2__

⇒ x’ = -5

S ={-5; -3}

x”=-8 4 2

+____⇒ x”= -6

2__

⇒ x”= -3

⇒

EAAEAA

c) x² + 6 x + 9 = 0a = 1 b = 6 c = 9,,

a

acbbx

2

42 −±−= x = - 6 + 62_________________2.1

_ -4 .1 .9

x = -6 + 36 ____________2

- 36_x’= -6 0

2

_____⇒ x’= -6

2__

⇒ x’= -3

S ={-3}

x”= -6 0 2

+____⇒ x”= -6

2__

⇒ x”= -3

⇒

EAAEAA

d) 3 x² - x + 3 = 0a = 3 b = -1 c = 3,,

a

acbbx

2

42 −±−= x = - (-1) + (-1)2______________2.3

_-4. 3 . 3

x = 1 + 1 ____________6

- 36_x= 1 -35

6

_______

S ={ }

⇒

⇒

+ x ℜ∉⇒

EAAEAA

O discriminante∆ há três possíveis situações:

1. Se ∆há duas soluções reais e diferentes:

e

> 0

∆-bx’ = -_______2a

∆-bx” = +2a

_______

EAAEAA

x² - 5 x + 6 = 0 a=1 b=-5 c=6,,

a

acbbx

2

42 −±−= x = -(-5)+ (-5)2_________________2.1

_ -4 .1 .6

5 + 25 ____________2

- 24_x’= 5 1

2

______⇒x’ = 4

2__

⇒ x’ = 2

A equação possui duas raízes diferentes.

x”= 5 12+_____ ⇒ x” = 6

2__

⇒ x” = 3

⇒

Logo,∆ > 0

Exemplo

EAAEAA

x' = x”a

b

2−

2. Se∆há duas soluções reais iguais:

= 0

⇒a

bx

2

∆±−=a

bx

2

0±−=

⇒

EAAEAA

x² + 6 x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9,,

a

acbbx

2

42 −±−= x = - 6 + 62______________2.1

_ -4 .1 .9

-6 + 36 ____________2

- 36_x’= - 6 0

2-____⇒x’= - 6

2__⇒ x’= -3

A equação possui duas raízes iguais.

x”= - 6 02+____ ⇒x”= - 6

2__

⇒ x”= -3

⇒

Logo,∆ = 0

Exemplo

EAAEAA

x =

não há solução real, pois não existe raiz

ax

2

-b-

∆±=

logo, ℜ∉ x

3. Se ∆ < 0

quadrada real de número negativo.

EAAEAA

3 x² - x + 3 = 0 a = 3 b = -1 c = 3,,

a

acbbx

2

42 −±−= x = - (-1) + (-1)2_________________2 . 3

_ - 4. 3 .3

x = 1 + 1 __________6

- 36_x = 1 - 35

6

__________

A equação não possui raízes reais.

⇒

⇒

+ x ℜ∉⇒

Logo,∆ < 0

Exemplo

EAAEAA

Exemplos

3x² - 3x + 6 = 0 a = 3 b = -3 c = 6,,

1. Determine o número de raízes na equação.

= b² - 4ac∆ (-3)2-4 . 3 . 6= ∆

9 - 4.18= ∆ 9 - 72= ∆ - 63= ∆

A equação não possui raízes reais.

EAAEAA

x² + 6x + 9 = 0 a = 1 b = - 6, c = 9,

2. Determine o número de raízes na equação.

= b² - 4ac∆ (-6)2- 4 . 1. 9= ∆

36 - 36= ∆ 0 = ∆

A equação possui duas raízes iguais.

EAAEAA

x² + 2x - 3 = 0 a = 1 b = 2 c = -3,,

3. Determine o número de raízes na equação.

= b² - 4ac∆ 22- 4 . 2.(-3)= ∆

4 - 8.(-3)= ∆ 4 + 24= ∆ 28= ∆

A equação possui duas raízes diferentes.

EAAEAA

Resolva as equações.

a) x² - 3x + 2 = 0

b) 2y² - 14y + 12 = 0

c) - x² + 7x – 10 = 0

d) 5x² - x + 7 = 0

e) 7x² - 3x = 4x + x²

f) z² - 8z + 12 = 0

g) y² - 25 = 0

h) x² - 1/4 = 0

i) 5x² - 10x = 0

j) 5 + x² = 9

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