Espaços metricos

Notas do Curso de SMA-343 - Espacos Metricos

Prof. Wagner Vieira Leite Nunes

Sao Carlos 2.o semestre de 2008

2

Sumario

1 Introducao 5

2 Espacos Metricos 72.1 Definicoes basicas e exemplos de espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espacos metricos . . . . . . . . . . . . 212.3 Subconjuntos limitados de um espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 Distancia de um ponto a um subconjunto em um espaco metrico . . . . . . . . . 412.5 Distancia entre dois subconjuntos de um espaco metrico . . . . . . . . . . . . . . 462.6 Imersoes isometricas e isometrias entre espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Funcoes Contınuas Definidas em Espacos Metricos 533.1 Definicao de funcao contınua em espacos metricos e exemplos . . . . . . . . . . . 533.2 Propriedades elementares de funcoes contınuas entre espacos metricos . . . . . . 643.3 Homeomorfismos entre espacos metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4 Metricas equivalentes em um espaco metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5 Transformacoes lineares e multilineares definidas em espacos vetoriais normados . 100

4 Conjuntos Abertos, Fechados - Espacos Topologicos 1154.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2 Relacoes entre conjuntos abertos e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3 Espacos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.4 Conjuntos fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5 Conjuntos Conexos 1655.1 Definicoes e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.2 Propriedades gerais de conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3 Conexao por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.4 Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6 Limites 2136.1 Limites de sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.2 Sequencias de numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.3 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.4 Convergencia e topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.5 Sequencias de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.6 Produtos cartesianos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.7 Limites de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3

4 SUMARIO

7 Continuidade Uniforme de Funcoes em Espacos Metricos 253

8 Espacos Metricos Completos 2638.1 Sequencias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638.2 Espacos metricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.3 Espacos de Banach e espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2748.4 Extensao de funcoes contınuas ou uniformemente contınuas . . . . . . . . . . . . 2818.5 Completamente de um espaco metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.6 Espaco metricos topologicamente completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2948.7 O teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.8 Metodo das aproximacoes sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9 Bibliografia 315

Capıtulo 1

Introducao

Este trabalho podera servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de espacosmetricos.

Serao exibidos todos os conceitos relacionados com o conteudo acima, bem como propriedadese aplicacoes dos mesmos.

As referencias ao final das notas poderao servir como material importante para o conteudoaqui desenvolvido.

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Capıtulo 2

Espacos Metricos

5.08.2008 - 1.a7.08.2008 - 2.a

2.1 Definicoes basicas e exemplos de espacos metricos

Comecaremos com a:

Definicao 2.1.1 Seja M um conjunto nao vazio.Diremos que uma aplicacao

d : M ×M → R

e uma metrica (ou distancia) em M se as seguintes condicoes estao satisfeitas:

(d1) d(x, x) = 0;

(d2) se x, y ∈ M e x 6= y entao d(x, y) > 0;

(d3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ M ;

(d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ M .

Observacao 2.1.1

1. (d1) e (d2) implicam que d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ M e que d(x, y) = 0 se, e somentese, x = y.

2. (d3) nos diz que d(x, y) e um funcao simetrica nas variaveis x e y.

3. (d4) e conhecida como desigualdade triangular.

Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de um lado de umtriangulo e sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados do triangulo.

7

8 CAPITULO 2. ESPACOS METRICOS

x

y

zd(x, z) < d(x, y) + d(y, z)

Com isto temos a:

Definicao 2.1.2 Se d e uma metrica em M entao o par (M,d) sera denominado espacometrico.

Observacao 2.1.2 Quando nao houver possibilidade de confusao nos referiremos ao espacometrico M (ao inves de (M, d)) deixando subentendido a metrica d a ser considerada.

Notacao 2.1.1 Se (M,d) e um espaco metrico, os elementos de M serao ditos pontos de M .

A seguir daremos alguns exemplos de espacos metricos.

Exemplo 2.1.1 Seja M um conjunto nao vazio.Consideremos a aplicacao d : M ×M → R dada por

d(x, y) =

{0, se x = y

1, se x 6= y.

Afirmamos que d e uma metrica em M .De fato, as condicoes (d1), (d2) e (d3) sao verificadas facilmente e serao deixadas como

exercıcio para o leitor.Mostremos que (d4) ocorre.Se x = z entao temos que

d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) + d(y, z)

independente de y ∈ M (pois d(x, y), d(y, z) ≥ 0).Se x 6= z entao temos que

d(x, z) = 1 ≤ d(x, y) + d(y, z) (∗)

independente de y ∈ M (pois se y = z teremos d(x, y) = 0 mas como y = x 6= z segue qued(y, z) = 1 assim (*) ocorrera; de modo semelhante se y = z).

Portanto vale (d4), ou seja, d e uma metrica em M .

2.1. DEFINICOES BASICAS E EXEMPLOS DE ESPACOS METRICOS 9

Observacao 2.1.3 A metrica acima e denominada metrica zero-um.

Exemplo 2.1.2 Sejam (M,d) um espaco metrico e S ⊆ M nao vazio.Entao tomando-se a restricao de d sobre S, isto e, d|S : S × S → R dada por d|S(x, y) .=

d(x, y) para x, y ∈ S entao segue que d|S e uma metrica em S.A veririficacao que (d1)-(d4) valem para d|S sera deixada como exercıcio para o leitor.

Observacao 2.1.4 No caso acima S sera dito subespaco (metrico) de M e a metrica d|Ssera dita metrica induzida pela metrica d de M .

Exemplo 2.1.3 Seja M = R ed : R× R→ R

dada pord(x, y) .= |x− y|

para x, y ∈ R.Entao d e uma metrica em R pois (d1)-(d4) sao consequencias das propriedades elementares

da funcao valor absoluto (a verificacao disto sera deixado como exercıcio para o leitor).

Observacao 2.1.5 No caso acima diremos que a metrica d e a metrica usual de R.

Podemos generalizar o exemplo acima, a saber:

Exemplo 2.1.4 Seja M = Rn.Podemos considerar as seguintes aplicacoes

d, d′, d′′ : Rn × Rn → R, j = 1, 2, 3 :

1. d(x, y) .=√

(x1 − y1)2 + · · · (xn − yn)2 =

[n∑

i=1

(xi − yi)2] 1

2

.

2. d′(x, y) .= |x1 − y1|+ · · · |xn − yn| =n∑

i=1

|xi − yi|.

3. d′′(x, y) .= max{|x1 − y1|, · · · , |xn − yn|} = max1≤i≤n

|xi − yi|.

As aplicacoes d, d′, d′′ sao metricas em Rn.De fato, elas cumprem as condicoes (d1),(d2) e (d3) (isto sera deixado como exercıcio para

o leitor).A condicao (d4) e facilmente verificada para d′ e d′′ (isto sera deixado como exercıcio para

o leitor).A condicao (d4) para d sera verificada num exemplo a seguir.

Observacao 2.1.6

1. A metrica d acima definida sera denominada metrica euclideana.

Ela provem da formula da distancia entre dois pontos (em coordenadas cartesianas) que euma consequencia do Teorema de Pitagoras (a verificacao disto sera deixado como exercıciopara o leitor).

Devido a este fato a metrica d sera dita metrica usual de Rn.


2. Se n = 2 a metrica d e a que da a distancia entre os pontos p e q do plano (ou seja, ocomprimento do segmento de reta que une os pontos p e q, vide figura abaixo).

p

q

d(p, q)

A metrica d′ nos da a distancia entre dois pontos do plano utilizando-se dos catetos de umtriangulo retangulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo).

p

q

r

¾ -

6

?

Y

M

d′(p, q)

A metrica d′′ nos da a distancia entre dois pontos do plano utilizando-se o comprimentodo maior cateto de um triangulo retangulo determinado pelos pontos p e q (vide figuraabaixo).

p

q

r

¾ -Y

d′(p, q)

Geometricamente, temos a seguinte configuracao para as tres distancias acima:


p

q

d(p, q)

d′′(p, q)

-¾

-¾

6

?

9

M

d′(p, q)

3. Se n = 2 temos o plano R2 cujos elementos serao representados por (x, y) ou (u, v), ondex, y, u, v ∈ R.

4. Em algumas situacoes identificamos R2 com C, o conjunto dos numeros complexos pormeio da correspondencia (x, y) 7→ x + iy, onde i2

.= −1.

5. Se n = 3 temos o espaco R2 cujos elementos serao representados por (x, y, z) ou (u, v, w),onde x, y, z, u, v, w ∈ R.

Com isto temos a

Proposicao 2.1.1 Consideremos d, d′, d′′ as metricas definidas no exemplo (2.1.4).Entao, para todo x, y,∈ Rn temos

d′′(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ nd′′(x, y).

Demonstracao:Observemos que para todo a, b ≥ 0 temos que:

√a + b ≤ √

a +√

b (∗).De fato, pois

[√

a +√

b]2 = [√

a]2 + 2√

a√

b + [√

b]2 = a + 2√

a√

b + b ≥ a + b.

Portanto√

a + b ≤ √a +

√b como afirmamos.

Observemos que para todo x, y,∈ Rn temos

d′′(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi| [|a|=√

a2]= max

1≤i≤n

√(xi − yi)2 ≤

n∑

j=1

(xj − yj)2

12

= d(x, y),

d(x, y) =

n∑

j=1

(xj − yj)2

12

(∗)≤

n∑

j=1

√(xj − yj)2

[√

a2=|a|]=

n∑

j=1

|xj − yj | = d′(x, y) e

d′(x, y) =n∑

j=1

|xj − yj | ≤n∑

j=1

max1≤j≤n

{|xj − yj |} = max1≤j≤n

{|xj − yj |}n∑

j=1

1

= max1≤j≤n

{|xj − yj |}.n = n.d′′(x, y)


completando a demonstracao.¤

Para o proximo exemplo introduziremos a seguinte definicao:

Definicao 2.1.3 Seja X um conjunto nao vazio.Diremos que uma funcao f : X → R e limitada se existir k = kf > 0 tal que

|f(x)| ≤ k, para todo x ∈ X.

Denotaremos por B(X;R) o conjunto formado por todas as funcoes, f : X → R que saolimitadas, isto e,

B(X;R) .= {f : X → R : f e limitada}.

Com isto temos o:

Exemplo 2.1.5 Na situacao acima temos que B(X;R) tornar-se-a um espaco vetorial sobre Rcom as operacoes usuais de adicao de funcoes e multiplicacao de numero real por funcao (istosera deixado como exercıcio para o leitor).

Definimosd : B(X;R)× B(X;R) → R

pord(f, g) .= sup

x∈X|f(x)− g(x)|,

onde f, g ∈ B(X;R).Afirmamos que d e uma metrica em B(X;R).De fato:

1. Se f ∈ B(X;R) entaod(f, f) = sup

x∈X|f(x)− f(x)| = 0,

mostrando que vale (d1);

2. Se f, g ∈ B(X;R) e f 6= g entao existe x0 ∈ X tal que f(x0) 6= g(x0).

Assimd(f, g) = sup

x∈X|f(x)− g(x)| ≥ |f(x0)− g(x0)| > 0,


3. Se f, g ∈ B(X;R) entao

d(f, g) = supx∈X

|f(x)− g(x)| = supx∈X

| − [g(x)− f(x)]| = supx∈X

|g(x)− f(x)| = d(g, f),


4. Se f, g, h ∈ B(X;R) entao para cada x ∈ X temos que

|f(x)− g(x)| = |[f(x)− h(x)] + [h(x)− g(x)]|[|a+b|≤|a|+|b|]

≤ |f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)|.

Logo


d(f, g) = supx∈X

{|f(x)− g(x)|} ≤ supx∈X

{|f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)|}. (∗)

Sabemos que se A e B sao limitados superiormente em R entao A + B e limitado superi-ormente em R e

sup[A + B] ≤ supA + supB.

Aplicando isto ao lado direito de (*) obteremos

d(f, g) ≤ supx∈X

{|f(x)− h(x)|+ |h(x)− g(x)|} ≤ supx∈X

{|f(x)− h(x)|}+ supx∈X

{|h(x)− g(x)|}

= d(f, h) + d(h, g),

mostrande que (d4) e verdadeira.

Deste completamos a prova que d e uma metrica em B(X;R).

Observacao 2.1.7

1. A metrica definida no exemplo acima e denominada metrica da convergencia uniformeou metrica do sup.

2. Para ilustrar, se X.= [0, 1], f, g : [0, 1] → R sao dadas por f(x) = x e g(x) = x2, x ∈ [0, 1]

entao, geometricamente, d(f, g) sera o comprimento da maior corda vertical unindo ospontos dos graficos das funcoes f e g (vide figura abaixo).

6

-1

1

fg

?

d(f, g) = |f( 12 )− g( 1

2 )| = 12 − 1

22

= 14

x

y

6+

12

3. Vale observar que se X = {1, 2, · · · , n} entao toda funcao f : X → R sera limitada (pois|f(x)| ≤ kf

.= max1≤i≤n

|f(i)|, x ∈ X), ou seja, f ∈ B(X;R).

Logo podenos identificar f com a n-upla (x1, x2, · · · , xn) onde xi.= f(i), 1 ≤ i ≤ n.

Portanto B(X;R) pode ser identificado com Rn.

Neste caso a metrica d em B(X;R) definida no exemplo acima, induzira a metrica d′′ emRn, pois

d(f, g) = supx∈X

|f(x)− g(x)| = max1≤i≤n

|f(i)− g(i)| = max1≤i≤n

|xi − yi| = d′′(x, y),

onde xi = f(i), yi = g(i), i = 1, · · · , n.

Conclusao, temos a seguinte identificacao: (B(X;R), d) = (Rn, d′′).


12.08.2008 - 3.aPara o proximo exemplo precisaremos da:

Definicao 2.1.4 Seja E um espaco vetorial sobre R.Diremos que uma funcao ‖.‖ :→ R e uma norma em E se as seguintes condicoes sao

verificadas:

(n1) Se ~x ∈ E e tal que ~x 6= ~0 entao ‖~x‖ 6= 0;

(n2) Se λ ∈ R e ~x ∈ E entao ‖λ~x‖ = |λ| ‖~x‖;

(n3) Se ~x, ~y ∈ E entao ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖.

Observacao 2.1.8 Suponhamos que ‖.‖ seja uma norma em E, espaco vetorial sobre R.

1. Observemos para todo ~x ∈ E temos que

‖~0‖ = ‖0.~x‖ (n2)= |0|‖~x‖ = 0 e ‖ − ~x‖ = ‖(−1).~x‖ (n2)

= | − 1|‖~x‖ = ‖~x‖ (∗).

2. Se ~x ∈ E temos

0 = ‖~x + (−~x)‖(n3)

≤ ‖~x‖+ ‖ − ~x‖ (∗)= ‖~x‖+ ‖~x‖ = 2‖~x‖.

Logo ‖~x‖ ≥ 0, para todo ~x ∈ E.

3. Segue de (n1) e do item 2. acima segue que se ~x ∈ E, ~x 6= ~0 entao ‖~x‖ > 0.

Com isto temos a

Definicao 2.1.5 Um espaco vetorial normal e um par (E, ‖.‖) onde E e um espaco vetorialsobre R e ‖.‖ e uma norma definida em E.

A seguir exibiremos alguns exemplos de espacos vetoriais normados.

Exemplo 2.1.6 Consideremos em Rn as seguintes funcoes ‖.‖, ‖.‖′, ‖.‖′′ : Rn → R dadas por

‖~x‖ .=

√√√√n∑

i=1

x2i , ‖~x‖′ .=

n∑

i=1

|xi|, ‖~x‖′′ .= max1≤i≤n

|xi|,

onde ~x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn.Deixaremos como exercıcio para o leitor mostrar que as funcoes ‖.‖′, ‖.‖′′ acima sao normas

em Rn.Alem disso sera deixado para o leitor a verificacao que ‖.‖ satisfaz as condicoes (n1), (n2).Logo adiante mostraremos que ‖.‖ tambem satisfaz a condicao (n3) e portanto tambem sera

uma norma em Rn.

Outro exemplo importante e


Exemplo 2.1.7 No exemplo (2.1.5) acima podemos considerar a funcao

‖.‖ : B(X;R) → R

dada por‖f‖ .= sup

x∈X|f(x)|, f ∈ B(X;R).

Deixaremos como exercıcio para o leitor mostrar que ‖.‖ e uma norma em B(X;R), ou seja,(B(X;R), ‖.‖) e um espaco vetorial normado.

Tal norma sera denomiada de norma da convergencia uniforme (ou do sup) emB(X;R).

Podemos agora obter uma colecao de exemplos de espacos metricos, a saber:

Exemplo 2.1.8 Seja (E, ‖.‖) um espaco vetorial normado.Consideremos a funcoes d : E × E → R dada por

d(~x, ~y) .= ‖~x− ~y‖, ~x, ~y,∈ E.

Afirmamos que d e um metrica em E.De fato:

1.

d(~x, ~x) = ‖~x− ~x‖ = ‖~0‖ [Observacao (2.1.8) item 1.]= 0,

ou seja, vale (d1);

2. Se ~x 6= ~y temos que ~x− ~y 6= ~0, logo

d(~x, ~y) = ‖~x− ~y‖ [observacao (2.1.8) item 3.]> 0,

ou seja, vale (d2);

3. Se ~x, ~y ∈ E temos que

d(~x, ~y) = ‖~x− ~y‖ [observacao (2.1.8) item 1.]= ‖ − (~x− ~y)‖ = ‖~y − ~x‖ = d(~y, ~x),

ou seja, vale (d3);

4. Se ~x, ~y, ~z ∈ E temos que

d(~x, ~z) = ‖~x− ~z‖ = ‖(~x− ~y) + (~y − ~z)|(n4)

≤ ‖~x− ~y‖+ ‖~y − ~z‖ = d(~x, ~y) + d(~y, ~z),

ou seja, vale (d4).

Portanto d e um metrica em E e assim (E, d) e um espaco metrico.

Observacao 2.1.9


1. O exemplo acima nos mostra que todo espaco vetorial normado e um espaco metrico (ondea metrica sera a metrica do exemplo acima).

Neste caso diremos que a metrica d provem da norma ‖.‖.Por exemplo, as metricas d, d′, d′′ de Rn provem das normas ‖.‖, ‖.‖′, ‖.‖′′, respectiva-mente (sera deixado como exercıcio para o leitor a verificacao destes fatos).

De modo semelhante temos que a metrica

d(f, g) = ‖f − g‖definida em B(X;R) (onde a norma ‖.‖ e a do exemplo (2.1.7)) e proveniente da normada convergencia uniforme.

2. Pergunta-se:

Seja E e um espaco vetorial sobre R e d e um metrica em E.

Existira uma norma em E de modo que a metrica dada d provem dessa norma? ou seja,uma metrica qualquer definida E provem de alguma norma definida em E?

Infelizmente isto e falso, ou seja, existem espacos vetoriais que possuem metricas que naoprovem de normas definidas no espaco vetorial em questao.

O exercıcio 3 da 1.a lista de exercıcios nos da uma condicao necessaria e suficiente paraque um metrica em um espaco vetorial seja proveniente de uma norma do espaco vetorialem questao.

Mais precisamente temos que:

Seja E um espaco vetorial sobre R.

Uma metrica, d, em E provem de uma norma em E se, e somente se,

d(~x + ~a, ~y + ~a) = d(~x, ~y) e d(λ~x, λ~y) = |λ|d(~x, ~y),

para todo ~x, ~y,~a ∈ E e λ ∈ R.

No exercıcio 4 da 1.a lista de exercıcios o leitor e convidado a produzir um exemplo deespaco vetorial que possua uma metrica que nao provem de nenhuma norma definida noespaco vetorial em questao.

3. Observemos tambem que se (E, ‖.‖) e um espaco vetorial normado entao para todo ~x ∈ Etemos

d(~x,~0) = ‖~x−~0‖ = ‖~x‖,isto e, a norma do vetor ~x ∈ E e a distancia do ponto ~x ∈ E a origem ~0 ∈ E.

Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da

Definicao 2.1.6 Seja E um espaco vetorial sobre R.Diremos que a funcao

< ., . >: E × E → R

e um produto interno (ou escalar) em E se satisfas as seguintes condicoes:

(p1) Para ~x, ~x′, ~y ∈ E temos

< ~x + ~x′, ~y >=< ~x, ~y > + < ~x′, ~y >;


(p2) Para ~x, ~y ∈ E e λ ∈ R temos

< λ~x, ~y >= λ < ~x, ~y >;

(p3) Para ~x, ~y ∈ E temos< ~x, ~y >=< ~y, ~x >;

(p4) Para ~x ∈ E, ~x 6= ~0 temos< ~x, ~x >> 0.

Neste caso diremos que (E,< ., . >) e um espaco com produto interno (ou escalar).

Observacao 2.1.10

1. Se (E, < ., . >) e um espaco com produto interno entao para ~x, ~y, ~y′ ∈ E e λ ∈ R temosque

< ~x, ~y + ~y′ >(p3)= < ~y + ~y′, ~x >

(p1)= < ~y, ~x > + < ~y′, ~x >

(p3)= < ~x, ~y > + < ~x, ~y′ >

e

< ~x, λ~y′ >(p3)= < λ~y, ~x >

(p2)= λ < ~y, ~x >

(p3)= λ < ~x, ~y >, (∗)

ou seja, < ., . > e linear em cada uma das suas entradas (denominada bilinear).

2. De (p4) temos que se ~x ∈ E e < ~x, ~x >= 0 entao ~x = ~0.

Logo temos que< ~x, ~x >≥ 0

para todo ~x ∈ E e < ~x, ~x >= 0 se, e somente se, ~x = ~0.

No curso de Algebra Linear dirıamos que a funcao < ., . > e bilinear, simetrica e positivadefinida.

A seguir exibiremos alguns exemplos de espacos com produto interno:

Exemplo 2.1.9 Seja E = Rn e definamos

< ., . >: Rn × Rn → R

por

< ~x, ~y >.= x1y1 + · · ·+ xnyn =

n∑

i=1

xi yi,

onde ~x = (x1, x2, · · · , xn), ~y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn.Sera deixado como exercıcio para o leitor mostrar que a funcao < ., . > definida acima

satisfaz as condicoes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, < ., . > e um porduto interno em Rn.

Outro exemplo importante e:


Exemplo 2.1.10 Seja C([a, b];R) = {f : [a, b] → R; f contınua em [a, b]}.Pode-se mostrar que C([a, b];R) munido das operacoes usuais de adicao de funcoes e multi-

plicacao de numero real por funcao e um espaco vetorial.Para isto basta mostrar que C([a, b];R) e um subsepaco vetorial de B([a, b];R) (a verificacao

deste fato sera deixado como exercıcio para o leitor; lembremos que se f e contınua em [a, b]entao f sera limitada).

Considere a seguinte funcao

< ., . >: C([a, b];R)× C([a, b];R) → R

dada por:

< f, g >.=

∫ b

af(x)g(x) dx,

se f, g ∈ C([a, b];R).Sera deixado como exercıcio para o leitor mostrar que < ., . > definida acima satisfaz as

condicoes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, e um produto interno em C([a, b];R) .

Com isto temos uma colecao de espacos vetoriais normados (e portanto, de espacos metricos),a saber:

Exemplo 2.1.11 Seja (E,< ., . >) um espaco vetorial com produto interno.Considere a funcao

‖.‖ : E → R

dada por‖~x‖ .=

√< ~x, ~x >, (∗)

para ~x ∈ E.Afirmamos que ‖.‖ e uma norma em E.De fato:

1. Se ~x ∈ E e ~x 6= ~0 entao

‖~x‖ =√

< ~x, ~x >(p4), <~x,~x>0

6= 0,

isto e, vale (n1);

2. Se ~x ∈ E e λ ∈ R entao

‖λ~x‖ =√

< λ~x, λ~x >[ (p1) e a observacao (2.1.10) (*)]

=√

λ2 < ~x, ~x > =√

λ2√

< ~x, ~x > = |λ|‖~x‖,

isto e, vale (n2);

3. Nesta situacao temos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, a saber: se (E, < ., . >) espacovetorial com produto interno entao para todo ~x, ~y ∈ E temos que

| < ~x, ~y > | ≤ ‖~x‖ ‖~y‖.

De fato:

Se ~x = ~0 valera a igualdade, logo sera verdadeira.


Se ~x 6= ~0 podemos definir

λ.=

< ~x, ~y >

‖~x‖2e ~z

.= ~y − λ~x.

Observemos que

< ~z, ~x > =< ~y − λ~x, ~x >=< ~y, ~x > −λ < ~x, ~x >=< ~y, ~x > −< ~x, ~y >

< ~x, ~x >< ~x, ~x >

=< ~x, ~y > − < ~x, ~y >= 0,

(isto e, os vetores em questao sao ortogonais).

Logo

‖~y‖2 =< ~y, ~y >=< ~z + λ~x, ~z + λ~x >=< ~z, ~z > +λ < ~z, ~x > +λ < ~x, ~z > +λ2 < ~x, ~x >

[<~x,~z>=<~z,~x>=0]= ‖~z‖2 + λ2‖~x‖2.

Logoλ2‖~x‖2 ≤ ‖~y‖2,

ou seja, [< ~x, ~y >

‖~x‖2

]2

‖~x‖2 ≤ ‖~y‖2,

isto e,< ~x, ~y >2≤ ‖~x‖2 ‖~y‖2

implicando a desigualdade acima, como querıamos demonstrar.

4. Utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que

‖~x + ~y‖2 < ~x + ~y, ~x + ~y >=< ~x, ~x > + < ~x, ~y > + < ~y, ~x > + < ~y, ~y >

= ‖~x‖2 + 2 < ~x, ~y > +‖~y‖2 ≤ ‖~x‖2 + 2‖~x‖ ‖~y‖+ ‖~y‖2 = (‖~x‖+ ‖~y‖)2,

inplicando que‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖,

ou seja , vale (n3).

Com isto temos que ‖.‖ e uma norma em E.

5. Segue do item acima que a aplicacao d do exemplo (2.1.4) satisfaz a condicao (d4), ouseja, sera uma metrica em Rn, como havıamos afirmado.

Observacao 2.1.11

1. No caso acima diremos que a norma (*) definida acima e uma norma que provem doproduto interno de E.

2. O exemplo acima nos mostra que todo espaco vetorial com produto interno pode tornar-seum espaco vetorial normado (com a norma que provem do produto interno dado).


3. Pergunta-se:

Seja E um espaco vetorial normado.

Toda norma de E provem de um produto interno?

A resposta e negativa, isto e, existem espacos vetoriais que possuem normas que naoprovem de nenhum produto interno no espaco vetorial em questao.

No exercıcio 5 da 1.a lista de exercıcios o leitor e convidado a mostrar que em B(X;R) anorma da convergencia uniforme nao provem de um produto interno.

Um outro exemplo pode ser obtido utilizando-se o item abaixo.

4. Deixaremos como exercıcio para o leitor mostrar que: [Ex1.1 - +0.5]

Seja (E, ‖.‖) um espaco vetorial normado.

A norma ‖.‖ de E provem de um produto interno se, e somente se, temos que

‖~x + ~y‖2 + ‖~x− ~y‖2 = 2[‖~x‖2 + ‖~y‖2],

para tod ~x, ~y ∈ E, que e conhecida como lei do paralelogramo.

5. Logo a norma ‖.‖′ em R2 nao provem de um produto interno pois tomando-se ~x = (1, 0)e ~y = (0, 1) temos que estes vetores nao satisfazem a lei do paralelogramo (verifique!).

6. Como consequencia do que vimos acima todo espaco vetorial com produto interno e umespaco metrico (basta tomar a metrica que provem da norma que e proveniente do produtointerno).

Para concluir a secao temos o:

Exemplo 2.1.12 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) dois espacos metricos.Em M ×N podemos considerar as seguinte funcoes

d, d′, d′′ : [M ×N ]× [M ×N ] → R

dadas por:

d(z, z′) .=√

[dM (x, x′)]2 + [dN (y, y′)]2;d′(z, z′) .= dM (x, x′) + dN (y, y′);d′′(z, z′) .= max{dM (x, x′), dN (y, y′)},

onde z = (x, y), z′ = (x′, y′) ∈ M ×N .Sera deixado como exercıcio para o leitor mostrar que d, d′, d′′ sao metricas em M ×N .

Observacao 2.1.12

1. Podemos generalizar o exemplo acima para um produto finito de espacos metricos.

Mais precisamente, se (M1, d1), (M2, d2), · · · , (Mn, dn) sao n-espacos metricos entao pode-mos definir as seguintes metricas no produto cartesiano M1 ×M2 × · · · ×Mn:

2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPACOS METRICOS 21

d(x, y) .=√

[d1(x1, y1)]2 + · · ·+ [dn(xn, yn)]2 =

√√√√n∑

j=1

[dj(xi, yi)]2;

d′(x, y) .= d1(x1, y1) + · · ·+ dn(xn, yn) =n∑

j=1

dj(xi, yi);

d′′(x, y) .= max{d1(x1, y1), · · · , dn(xn, yn)} = max1≤j≤n

{dj(xi, yi)},

onde x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ M1 ×M2 × · · · ×Mn.

A verificacao sera deixcada como exercıcio para o leitor.

2. A metrica d definida acima sera dita metrica produto em M.= M1 ×M2 × · · · ×Mn.

A metrica d′ definida acima sera dita metrica da soma em M.= M1 ×M2 × · · · ×Mn.

A metrica d′′ definida acima sera dita metrica do maximo em M.= M1×M2×· · ·×Mn.

3. De modo analogo ao feito na proposicao (2.1.1) pode-se mostrar (sera deixado como exer-cıcio para o leitor) que para todo x, y,∈ M1 ×M2 × · · · ×Mn temos

d′′(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ nd′′(x, y).

4. Quando M1 = M2 = · · · = Mn = R reobteremos o espaco euclideano Rn como produtocartesiano de n copias do espcao metrico R.

14.08.2008 - 4.a

2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espacos metricos

Comecaremos introduzindo a:

Definicao 2.2.1 Seja (M, d) um espaco metrico, a ∈ M e r > 0.Definimos a bola aberta de centro em a e raio r, denotada por B(a; r) como sendo o

seguinte subconjunto de M :

B(a; r) .= {x ∈ M : d(x, a) < r}.

a

3r

Definimos a bola fechada de centro em a e raio r, denotada por B[a; r] como sendo oseguinte subconjunto de M :

B[a; r] .= {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}.


a

r

K

Definimos a esfera de centro em a e raio r, denotada por S(a; r) como sendo o seguintesubconjunto de M :

S(a; r) .= {x ∈ M : d(x, a) = r}.

a

r

6

Observacao 2.2.1

1. A bola aberta de centro em a e raio r e o conjunto dos pontos de M cuja a distancia aoponto a e menor do que r.

A bola fechada de centro em a e raio r e o conjunto dos pontos de M cuja a distancia aoponto a e menor ou igual do que r.

A esfera aberta de centro em a e raio r e o conjunto dos pontos de M cuja a distancia aoponto a e igual r.

2. E facil ver que (sera deixado como exercıcio para o leitor)

B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r),

onde a reuniao e disjunta, isto e, B(a; r) ∩ S(a; r) = ∅.

3. Se M = E e um espaco vetorial e a metrica d provem de uma norma ‖.‖ em E, entaosegue que

B(~a; r) .= {~x ∈ E : ‖~x− ~a‖ < r},B[~a; r] .= {~x ∈ E : ‖~x− ~a‖ ≤ r},S(~a; r) .= {~x ∈ E : ‖~x− ~a‖ = r}.

Temos o seguinte resultado:


Proposicao 2.2.1 Sejam (M, d) um espaco metrico, X ⊆ M um subsepaco (metrico) de M ,a ∈ X e r > 0.

Denotemos por BX(a; r) a bola aberta de centro em a e raio r em X.Entao

BX(a; r) = B(a; r) ∩X,

onde B(a; r) e a bola aberta de centro em a e raio r em M .Reciprocamente, dada a bola aberta de centro em a e raio r em M entao B(a; r)∩X e a bola

aberta de centro em a e raio r em X, ou seja,

B(a; r) ∩X = BX(a; r).

M

X

a

Ur

ª

BX (a; r)

*B(a; r)

Demonstracao:Observemos que

BX(a; r) = {x ∈ X : dX(x, a) < r} = {y ∈ M : d(y, a) < r} ∩X = B(a : r) ∩X,

completando deste modo a demonstracao do resultado.¤

De modo semelhante podemos provar a:

Proposicao 2.2.2 Sejam (M, d) um espaco metrico, X ⊆ M um subsepaco (metrico) de M ,a ∈ X e r > 0.

Denotemos por BX [a; r] e SX(a; r) a bola fechada e esfera de centro em a e raio r em X,respectivamente.

EntaoBX [a; r] = B[a; r] ∩X, SX [a; r] = S(a; r) ∩X

onde B[a; r], S(a; r) sao a bola fechada e a esfera de centro em a e raio r em M , respectivamente.Reciprocamente, dada a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em M entao

B[a; r] ∩ X, ou S(a; r) ∩ X e a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em X,respectivamente ou seja,

B[a; r] ∩X = BX [a; r], S(a; r) ∩X = SX [a; r].

Demonstracao:A demonstracao sera deixada como exercıcio para o leitor.

¤Para ilustrar temos os seguintes exemplos:


Exemplo 2.2.1 Consideremos R2 com a metrica usual e X = S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 = 1}.Seja ~a ∈ S1 e r > 0.

Da proposicao (2.2.1) segue que BS1(~a; r) sera um arco (sem os extremos) da circunferenciaS1 cujo ponto medio (no arco) sera o ponto ~a (vide figura abaixo).

-

6

~x

~y

-S1

~a

6r

9BR2 (~a : r)?

BS1 (~a; r)

De modo semelhante, da proposicao (2.2.2) segue que BS1 [~a; r], SS1(~a; r) sao o arco (com osextremos) da circunferencia S1 cujo ponto medio sera o ponto ~a e os pontos extremos do mesmoarco, respectivamente (vide figura abaixo).

-

6

~x

~y

-S1

~a

6r

9BR2 [~a : r]?

BS1 [~a; r]

*

z

SS1 (~a; r)

Exemplo 2.2.2 Sejam M 6= ∅ munido da metrica zero-um, a ∈ M e r > 0.


Entao

Se r > 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} [d(x,a)≤1<r]= M,

B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} [d(x,a)≤1<r]= M ;

Se r < 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} [r<1]= {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a},

B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} [r<1]= {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a};

Se r = 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} [r<1]= {a},

B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} [r=1]= M,

Como consequencia temos que

S(a, r) = B[a; r] \B(a; r) = ∅, se r 6= 1, S(a; 1) = B[a; 1] \B(a; 1) = M − {a}.

Exemplo 2.2.3 Sejam R com a metrica usual, a ∈ R e r > 0.Entao:

B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {x ∈ M : |x− a| < r} = (a− r, a + r), ou seja, um intervalo aberto,

B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = {x ∈ M : |x− a| ≤ r} = [a− r, a + r], ou seja, um intervalo fechado;S(a, r) = B[a; r] \B(a; r) = {a− r, a + r}, ou seja, os extremos do intervalo.

Geometricamente temos:

-a

a + ra− r

Bola aberta de centro em a e raio r

-a + ra − r a

Bola fechada de centro em a e raio r

-a + r

a

a− r

Esfera de centro em a e raio r

Exemplo 2.2.4 Consideremos em R2 as metricas d, d′, d′′ definidas no exemplo (2.1.4).Sejam ~a = (a1, a2) ∈ R2 e r > 0. Entao:

B(~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d[(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2 :√

(x− a1)2 + (y − a2)2 < r}= {(x, y) ∈ R2 : (x− a1)2 + (y − a2)2 < r2},isto e, a regiao interior de um cırculo de centro no ponto ~a e raio r (veja figura abaixo).


~a = (a1, a2)

3r

B′(~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d′[(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2 : |x− a1|+ |y − a2| < r}isto e, a regiao interior do quadrado de centro em a e cujas diagonais

sao paralelas aos eixos coordenados (veja figura abaixo).

Observemos que

|x− a1|+ |y − a2| = r se, e somente se,

x− a1 + y − a2 = r

−(x− a1) + y − a2 = r

−(x− a1)− (y − a2) = r

x− a1 − (y − a2) = r

que sao as quatro retas que determinam o losango abaixo.

-

6

~a = (a1, a2)

¾ x− a1 − y + a2 = r

¾ x− a1 + y − a2 = r-−x + a1 + y − a2 = r

-−x + a1 − y + a2 = r

(a1, a2 − r)

(a1 + r, a2)(a1 − r, a2)

(a1, a2 + r)

B′′(~a; r) = {(x, y) ∈ R2 : d′′[(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2 : max{|x− a1|, |y − a2|} < r}= {(x, y) ∈ R2 : |x− a1| < r e |y − a2| < r} = (a1 − r, a1 + r)× (a2 − r, a2 + r)isto e, a regiao interior do quadrado [a1 − r, a1 + r]× [a2 − r, a2 + r]) (veja figura abaixo).


~a = (a1, a2)

-

6

a1 − r a1 + ra1

a2 − r

a2 + r

a2

Observacao 2.2.2 Geometricamente, o exemplo (2.2.4) ilustra que uma bola (aberta ou fechada)pode nao corresponder ao que pensamos (por exemplo, uma bola ser um quadrado!).

Exemplo 2.2.5 Seja (B([a, b];R)), d) onde d e a metrica do sup (veja exemplo (2.1.5)).Sejam f ∈ B([a, b];R)) e r > 0.Observemos que g ∈ B(f ; r) se, e somente se,

r > d(f, g) = supx∈[a,b]

|f(x)− g(x)|

que implicara

|f(x)− g(x)| < r, para todo x ∈ [a, b],

ou ainda,

f(x)− r < g(x) < f(x) + r, para todo x ∈ [a, b].

Geometricamente podemos interpretar isso da seguinte forma: encontremos a representacaografica do grafico de f , isto e,

G(f) .= {(x, f(x)) : x ∈ [a, b]}.

Encontremos a faixa de amplitude 2r em torno do grafico de f , isto e, o conjunto

F2r(f) .= {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f(x)− r < y < f(x) + r}.



6

-

G(f)

f(x)

x

?

6

6

?

r

r

F2r(f)

®

Deste modo, se g ∈ B(f ; r) entao o grafico de g estara contido na faixa de amplitude 2r emtorno do grafico de f , isto e, G(g) ⊆ F2r(f).

Geometricamente temos

6

-

G(f)

f(x)

x

?

6

6

?

r

r

G(g)

Observacao 2.2.3 No exemplo acima, pode ocorrer de G(g) ⊆ F2r(f) e d(f, g) = r.

Para ver isto basta considerar f(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] e g(x) =

{x, 0 ≤ x < 10, x = 1

.

Neste caso

d(f, g) = sup0≤x≤1

|f(x)− g(x)| = 1,

logo g 6∈ B(f ; 1) mas G(g) esta contido em F2(f) (veja figura abaixo).


-

6

G(f)

G(g)

F2r(f)

)

Exemplo 2.2.6 Seja M.= {~z = (x, y) ∈ R2 : ‖z‖ ≤ 1} subespaco (metrico) de R2 munido da

metrica usual.Logo se r > 1 temos que BM (~0; r) = BM [~0; r] = M e assim SM (~0; r) = ∅.

Exemplo 2.2.7 Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espacos metricos e M.= M1 × · · ·Mn munido da

metrica do maximo (isto e, d′′ da observacao (2.1.12) itens 1. e 2.).Sejam a = (a1, · · · , an) ∈ M e r > 0.Entao

B(a; r) = {x ∈ M : d′′(x, a) < r} = {(x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · ×Mn : max1≤i≤n

di(xi, ai) < r}= {(x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · ×Mn : di(xi, ai) < r, para todo i = i, · · · , n}= {x1 ∈ M1 : d1(x1, a1) < r} × · · · × {xn ∈ Mn : dn(xn, an) < r}= BM1(a1; r)× · · · ×BMn(an; r)

De modo semelhante (sera deixado como exercıcio para o leitor) temos

B[a; r] = BM1 [a1; r]× · · · ×BMn [an; r]

Logo acabamos de mostrar que a bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano com a metricado maximo e o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores doproduto cartesiano.

Observacao 2.2.4

1. Se no exemplo acima mudarmos a metrica do maximo pela metrica produto ou pela metricada soma a afirmacao sera falsa, isto e, uma bola aberta (ou fechada) no produto cartesianopode nao ser o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatoresdo produto cartesiano.

Como exercıcio para o leitor deixaremos que o mesmo encontre um contra-exemplo em R2.


2. Se considerarmos R3 como sendo o produto cartesiano de R2 × R onde R2 e R estaomunidos das correspondentes metricas euclieanas e tormarmos em R3 = R2×R a metrica

d[(x, t), (x′, t′)] .= max{dR2(x, x′), dR(t, t′)},

onde (x, t), (x′, t′) ∈ R2 × R entao uma bola aberta, B(a; r) (ou fechadas) em R3 munidoda metrica d acima serao cilindros retos com base circular (contida no plano z = a), comcentro em a e raio r)e altura 2r.

De fato, pois se (A, a) ∈ R2 × R e r > 0 entao, do exemplo (2.2.7), segue que

BR2×R((A, a); r) = BR2(A; r)×BR(a; r) = {(x, y) : x2 + y2 < r2} × {t ∈ R : |t− a| < r},

ou seja, o produto cartesiano do interior de um cırculo por um intervalo aberto que nosda, geometricamente, um cilindro reto com base circular.

6

B(0; r)

6

?6

?

1

r

r

r

-

=

A verificacao deste fato sera deixada como exercıcio para o leitor.

Temos a

Definicao 2.2.2 Seja (M, d) um espaco metrico.Diremos que um ponto a ∈ M e um ponto isolado de M se existir uma bola aberta de M

que contenha somente o ponto a, isto e, existe r > 0 tal que B(a; r) = {a}.

Observacao 2.2.5

1. Um ponto a ∈ M e isolado em M se existe r > 0 tal que nao existem pontos diferentes doponto a a uma distancia menor que r do proprio ponto.

2. Um ponto a ∈ M nao e ponto isolado de M se toda bola aberta centrada em a contem,pelo menos, um ponto de M diferente do ponto a, isto e, para todo r > 0 temos

[B(a; r) ∩M ] \ {a} 6= ∅.

Consideremos os


Exemplo 2.2.8 Seja (M,d) um espaco metrico onde d e a metrica zero-um.Entao todo ponto de M e ponto isolado de M .De fato, se a ∈ M e 0 < r ≤ 1 entao vimos no exemplo (2.2.2) que B(a; r) = {a}, mostrando

que a e ponto isolado de M .

Exemplo 2.2.9 Seja Z o conjunto formado por todos os numeros reais inteiros munido dametrica usual induzida de R.

Afirmamos que todo ponto de Z e ponto isolado de Z.De fato, se n ∈ Z e 0 < r ≤ 1 entao B(n; r) ∩ Z = {n} (pois B(n; r) = {x ∈ Z : |x − n| <

r ≤ 1} = {n}), mostrando que n ∈ Z e ponto isolado de Z.

Exemplo 2.2.10 Seja P.= {0, 1,

12,13, · · · ,

1n

, · · · } munido da metrica usual induzida de R.

Observemos que o ponto 0 ∈ P nao e um ponto isolado de P .

De fato, dado r > 0 existe n0 ∈ N tal que n0 >1r.

Logo

d(1n0

, 0) = | 1n0− 0| = 1

n0< r,

isto e,1n0

∈ [B(0; r) ∩ P ] \ {0},

ou seja, 0 nao e ponto isolado de P .Por outro lado, qualquer outro ponto de P e ponto isolado de P .

De fato, se1n∈ P entao o ponto mais proximo dele em P e o ponto

1n + 1

, cuja distancia

a1n

e1

n(n + 1)(pois d(

1n

,1

n + 1= | 1

n− 1

n + 1| = (n + 1)− n

n(n + 1)=

1n(n + 1)

).

Logo se tomarmos

0 < r <1

n(n + 1)

temos que se x ∈ P e

d(x,1n

) < r <1

n(n + 1)

temos que x =1n, ou seja,

[B(1n

; r) ∩ P ] \ { 1n} = ∅,

mostrando que1n

e ponto isolado de P .

1n

1n−1

1n+1

-¾1

n(n+1)

-¾1

(n−1)n

Observacao 2.2.6 Se P.= {1,

12,13, · · · ,

1n

, · · · } munido da metrica usual induzida de R entao,segue do exemplo acima, que todo ponto de P e um ponto isolado de P .


Exemplo 2.2.11 Seja E um espaco vetorial normado com E 6= {~0}.Afirmamos que nenhum ponto de E e ponto isolado de E.De fato, dado ~a ∈ E, para todo r > 0 mostremos que

[B(~a; r) ∩ E] \ {~a} 6= ∅.Para mostrar isso, consideremos ~y ∈ E, ~y 6= ~0.Logo o vetor

~z.=

r

2‖~y‖~y

e diferente do vetor ~0 e‖~z‖ = ‖ r

2‖~y‖~y‖ =r

2‖~y‖‖~y‖ =r

2,

logo0 < ‖~z‖ < r.

Seja ~x.= ~a + ~z.

Entao ~x 6= ~a (pois ~z 6= ~0) e‖~x− ~a‖ = ‖~z‖ < r,

ou seja,~x ∈ B(~a; r) ∩ E e ~x 6= ~a,

mostrando que ~x ∈ [B(~a; r) ∩ E] \ {~a}, isto e,

[B(~a; r) ∩ E] \ {~a} 6= ∅.Portanto todo ponto de E nao e ponto isoldado de E.Geometricamente temos:

~

~ar

*~y

>~x

.= ~a + r

2‖~y‖ ~y

19.08.2008 - 5.aTemos a

Definicao 2.2.3 Diremos que um espaco metrico (M,d) e discreto se todo ponto de M e umponto isolado de M .

Exemplo 2.2.12 O exemplo (2.2.9) mostra que Z com a metrica usual induzida de R e umespaco metrico discreto.


Exemplo 2.2.13 A observacao (2.2.6) mostra que P = {1,12,13, · · · ,

1n

, · · · } com a metricausual induzida de R e um espaco metrico discreto.

Exemplo 2.2.14 Seja M um conjunto nao vazio e d a metrica zero-um em M .Entao (M, d) e um espaco metrico discreto, pois se a ∈ M entao para 0 < r ≤ 1 temos, do

Exemplo (2.2.2), que B(a; r) = {a}, ou seja todo ponto de M e ponto isolado de M , portantoM e um espaco metrico discreto.

Definicao 2.2.4 Seja (M, d) um espaco metrico.Diremos que um subconjunto X ⊆ M e discreto se X como subsepaco (metrico) de M for

um espaco metrico discreto.

Observacao 2.2.7 Na situacao acima, X e um espaco metrico discreto se, e somente se, paracada x ∈ X existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ X = {x} (pois, da proposicao (2.2.1) temos queB(x; r) ∩X = BX(x; r)).

Exercıcio 2.2.1 Seja (M,d) um espaco metrico e X um subconjunto finito de M .Deixaremos como exercıcio para o leitor mostrar que X e um subconjunto discreto de M .

Para finalizar a secao temos a:

Proposicao 2.2.3 Sejam (M, d) espaco metrico, a, b ∈ M com a 6= b.Consideremos r, s > 0 tais que

r + s ≤ d(a, b).

Entao as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) sao disjuntas (veja figura abaixo), isto e,

B(a; r) ∩B(b; s) = ∅.

ab

- ¾r

s

-¾d(a, b) > r + s

Demonstracao:Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B(a; r) ∩B(b; s).Logo

d(a, x) < r e d(b, x) < s.

Portantod(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) < r + s ≤ d(a, b),

ou seja, d(a, b) < d(a, b), o que e um absurdo.Logo

B(a; r) ∩B(b; s) = ∅


como querıamos mostrar.¤

De modo semelhante temos a:

Proposicao 2.2.4 Na situacao da proposicao acima, se

r + s < d(a, b)

entao as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] sao disjuntas , isto e,

B[a; r] ∩B[b; s] = ∅.

Demonstracao:Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B[a; r] ∩B[b; s].Logo

d(a, x) ≤ r e d(b, x) ≤ s.

Portantod(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ r + s < d(a, b),

ou seja, d(a, b) < d(a, b), o que e um absurdo.Logo

B[a; r] ∩B[b; s] = ∅como querıamos mostrar.

¤

2.3 Subconjuntos limitados de um espacos metricos

Iniciaremos com a

Definicao 2.3.1 Seja (M, d) um espaco metrico.Diremos que um subconjunto X ⊆ M , nao vazio, e limitado em M se existir c > 0 tal que

d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X.

Observacao 2.3.1 Se X ⊆ M e limitado em M entao podemos considerar o conjunto

D.= {a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ X} ⊆ R.

Como X e limitado em M segue que D e nao vazio e limitado superiormente (ou seja, existec ∈ R tal que c ∈ D).

Como todo subconjunto limitado superiormente em R admite supremo, segue que existe

0 ≤ supD < ∞.

Logo podemos introduzir a

Definicao 2.3.2 Na situacao acima, supD sera denominado diametro de X e indicado pordiam(X), ou seja,

diam(X) = sup{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para x, y ∈ X}.

2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPACOS METRICOS 35

Observacao 2.3.2

1. Se X ⊆ M nao for limitado em M escreveremos

diam(X) .= ∞.

Isto significa que para todo c > 0 existem xc, yc ∈ X tal que d(xc, yc) > c.

2. Se X ⊆ M for limitado entao

d(x, y) ≤ diam(X), para todo x, y,∈ X.

3. E facil mostrar que (sera deixado como exercıcio para o leitor) que se X ⊆ M for limitadoem M e Y ⊆ X entao Y ⊆ M e limitado em M e

diam(Y ) ≤ diam(X).

Consideremos alguns exemplos

Exemplo 2.3.1 Sejam (M,d) um espaco metrico.Entao toda bola aberta (ou fechada; ou esfera) e subconjunto limitado de M e seu diametro

e menor ou igual ao dobro do seu raio.De fato, seja a ∈ M e r > 0.Se x, y ∈ B(a; r) entao

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r

mostrando que B(a; r) e um subconjunto limitado de M .Alem disso segue que 2r e um limitante superior do conjunto

{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ B(a; r)}.

Portantodiam[B(a; r)] ≤ 2r,

como afirmamos acima.Vale o analogo para a bola fechada B[a; r] e para a esfera S(a; r) (sera deixado como exercıcio

para o leitor).

Observacao 2.3.3 Em geral, nao podemos garantir que o diametro da bola aberta (ou fechada,ou esfera) seja igual ao dobro do seu raio, como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos Z com a metrica usual induzida de R, r = 1 e n ∈ Z.Como vimos no Exemplo (2.2.9) temos que B(n; 1) = {n} cujo diametro e zero (que e menor

que 2).Quando vale a igualdade?O exemplo a seguir responde esta questao:

Exemplo 2.3.2 Seja E um espaco vetorial normado tal que E 6= {~0}.Afirmamos que toda bola aberta (ou fechada, ou esfera) tem diametro igual ao dobro do raio

da mesma, isto e,

diam(B(~a; r)) = 2r (ou diam(B[~a; r]) = 2r, diam(S(~a; r)) = 2r).


De fato, sejam a ∈ E e r > 0.Sabemos que B(~a; r) e um subconjunto limitado de E e que diam[B(~a; r)] ≤ 2r.Mostremos que se 0 < s < 2r entao s nao podera ser pode ser diametro de B(~a; r), ou seja,

existem ~x1, ~y1 ∈ B(~a; r) tal que d(~x1, ~y1) > s.Consideremos ~y ∈ E tal que ~y 6= ~0 e seja t ∈ R tal que

s < 2t < 2r, ou seja, 0 <s

2< t < r.

Observemos que o vetor

~x.=

t

‖~y‖~y ∈ E

tem a seguinte propriedade:

‖~x‖ = ‖ t

‖~y‖~y‖ = t‖~y‖‖~y‖ = t,

ou seja, ‖~x‖ = t < r.Afirmamos que os vetores

~x1.= ~a + ~x, ~x2

.= ~a− ~x ∈ B(~a; r).

De fato,d(~a + ~x,~a) = ‖(~a + ~x)− ~a‖ = ‖~x‖ = t < r

e, de modo semelhante, temos

d(~a− ~x,~a) = ‖(~a− ~x)− ~a‖ = ‖ − ~x‖ = ‖~x‖ = t < r.

Alem disso

d(~a + ~x,~a− ~x) = ‖(~a + ~x)− (~a− ~x)‖ = ‖2~x‖ = 2‖~x‖ = 2t > s,

ou seja, d(~x1, ~y1) > s.Logo todo s ∈ (0, 2r) nao podera ser o diametro da bola aberta B(~a; r).Geometricamente temos

~a

Kr

µ~y

µ

ª

~x1 = ~a + t ~y‖~y‖

~y1 = ~a− t ~y‖~y‖

Sera deixado como exercıcio para o leitor o

Exercıcio 2.3.1 Mostrar que, na situacao acima, temos

diam[B[~a; r]] = 2r e diam[S(~a; r)] = 2r.


Observacao 2.3.4

1. Dado um espaco metrico qualquer (mesmo sendo nao limitado) podemos considerar subes-pacos (metricos) do mesmo que sejam limitados.

Basta considerarmos os subconjunto limitados do mesmo e colocar a metrica induzida doespaco metrico dado neste subconjunto.

2. Seja E um espaco vetorial normado tal que E 6= {~0}.Entao E nao e limitado.

De fato, consideremos ~x ∈ E, ~x 6= ~0 e definamos, para cada n ∈ N,

~xn.=

2n

‖~x‖~x.

Observemos que

‖~xn‖ = ‖ 2n

‖~x‖~x‖ = 2n‖~x‖‖~x‖ = 2n > n,

logod(~xn, 0) = ‖~xn − 0‖ = ‖~xn‖ > n,

mostrando que E nao e limitado.

3. Seja (M,d) um espaco metrico.

Vale observar que um subconjunto X ⊆ M e limitado em M se, e somente se, X estacontido em alguma bola aberta de M , isto e, existe a ∈ M e r > 0 tal que X ⊆ B(a; r).

De fato, se existe a ∈ M e r > 0 tal que X ⊆ B(a; r) entao para todo x, y ∈ X temos que

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r,

ou seja, X e limitado (e seu diamentro e menor ou igual a 2r).

Reciprocamente, se X e limitado em M entao existe c > 0 tal que

d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X.

Consideremos x0 ∈ X.

Temos qued(x, x0) ≤ c para todo x ∈ X,

assim se X ⊆ B(x0; c), ou seja X esta contido em uma bola aberta de M , como querıamosmostrar.

Temos a

Proposicao 2.3.1 Sejam (M, d) espaco metrico e X, Y ⊆ M limitados em M .Entao X ∪ Y e X ∩ Y sao limitados em M .


Demonstracao:Observemos que X ∩ Y ⊆ X e como X e limitado em M segue, da Observacao (2.3.2) item

3., que X ∩ Y tambem sera limitado em M .Se X = ∅ ou Y = ∅ segue que X ∪ Y = Y ou X ∪ Y = X, respectivamente, implicando que

X ∪ Y e limitado.Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que X, Y 6= ∅.Como X, Y sao limitados em M existem c, d > 0 e a, b ∈ M tais que

d(x, a) ≤ c e d(y, b) ≤ d

para todo x ∈ X e y ∈ Y .Considere

k.= c + d + d(a, b) > 0.

Logo se x ∈ X e y ∈ Y temos que

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ c + d(a, b) + d = k.

Portanto se x, y ∈ X ∪ Y temos que:

Se x, y ∈ X temos que d(x, y) ≤ c < k

Se x, y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ c < k

Se x ∈ X e y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ k,

ou seja, d(x, y) ≤ k para todo x, y ∈ X ∪ Y , mostrando que X ∪ Y e limitado em M .¤

Como consequencia temos o:

Corolario 2.3.1 Sejam (M,d) espaco metrico e X1, X2, · · · , Xn ⊆ M limitados em M .Entao X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn e X1 ∩X2 ∩ · · · ∩Xn sao limitados em M .

Demonstracao:Utiliza-se inducao matematica e a proposicao acima (sera deixado como exercıcio para o

leitor).¤

Como outra consequencia imediata temos que

Corolario 2.3.2 Seja (M, d) espaco metrico. Todo subconjunto finito de M e limitado.

Demonstracao:Basta observar que se X e um subconjunto finito de M ele sera uma reuniao finita dos

conjuntos formados por cada um dos seus pontos e como o conjunto formado por um ponto elimitado segue, do corolario acima, que X sera limitado em M .

¤

Notacao 2.3.1 Dada uma funcao f : X → Y denotaremos seu conjunto imagem por f(X),isto e,

f(X) .= {f(x) : x ∈ X} ⊆ Y.

Podemos agora introduzir a


Definicao 2.3.3 Sejam (M, d) espaco metrico e X um subconjunto nao vazio.Diremos que uma funcao f : X → M e limitada em X se seu conjunto imagem, f(X), for

um subconjunto limitado de M .

Vejamos alguns exemplos

Exemplo 2.3.3 Seja R com a metrica usual e f : R→ R dada por

f(x) .=1

1 + x2, x ∈ R.

Observemos que |f(x)| ≤ 1, para todo x ∈ R, logo f e uma funcao limitada (neste caso temosf(R) = (0, 1]).

A figura abaixo nos da o grafico de f .

-

6

G(f)

1

Exemplo 2.3.4 Na situacao acima se considerarmos g : R→ R dada por g(x) .= x2 para x ∈ Rtemos que g(R) = [0,∞) logo nao sera um subconjunto limitado de R, mostrando que a funcaog nao sera uma funcao limitada.

A figura abaixo nos da o grafico de g.

-

6

G(g)

Exemplo 2.3.5 Se a metrica d em Rn provem de uma norma de Rn entao d nao e uma funcaolimitada.

De fato, da Observacao (2.3.4) item 2. temos que Rn nao e limitado, logo

d(Rn,Rn) = [0,∞) ⊆ Rnao podera ser um subconjunto limitado de R, logo a funcao d nao sera uma funcao limitada.


Podemos agora generalizar o exemplo (2.1.5) por meio do

Exemplo 2.3.6 Sejam X um conjunto nao vazio e (M, dM ) um espaco metrico.Indiquemos por B(X;M) o conjunto de todas as funcoes limitadas definidas em X e tomando

valores em M , isto e,

B(X; M) .= {f : X → M : f e limitada em X}.

Dadas f, g ∈ B(X; M) temos que o conjunto

{dM (f(x), g(x)) : x ∈ X}

e limitado em R.De fato, como f e g sao limitadas segue que f(X) e g(X) sao subconjuntos limitados em M .Logo da Proposicao (2.3.1) segue que f(X) ∪ g(X) e um subconjunto limitado em M , ou

seja, {dM (f(x), g(x)) : x ∈ X} e limitado em R, portanto admite supremo.Logo, dadas f, g ∈ B(X; M), podemos definir

d(f, g) .= supx∈X

{dM (f(x), g(x))}.

Pode-se mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que d e uma metrica em B(X; M)que e denominada metrica da convergencia uniforme ou metrica do sup.

Observacao 2.3.5

1. Na situacao acima podemos considerar o conjunto F(X;M) formado por todas as funcoesdefinidas em X com valores em M .

Neste caso a metrica do sup nao tem sentido em F(X; M) pois existem funcoes f, g : X →M tais que o conjunto {dM (f(x), g(x)) : x ∈ X} nao e limitado em R (logo nao poderemosconsiderar o supremo desse conjunto).

Nesta situacao podemos decompor F(X; M) como uma reuniao de espacos metricos nosquais podemos introduzir a metrica do sup.

Para mais detalhes ver [1] pag. 15.

2. Seja (E, ‖.‖) um espaco vetorial normado.

Pode-se mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que se f, g ∈ B(X; E) e λ ∈ Rentao (f +g) ∈ B(X; E) e λf ∈ B(X; E), ou seja, B(X;E) tornar-se-a um espaco vetorialsobre R.

Neste caso a metrica da convergencia uniforme em B(X; E) provem da seguinte norma deB(X; E):

‖f‖ .= supx∈X

‖f(x)‖E , f ∈ B(X; E),

que e denominada norma da convergencia uniforme ou do sup.

De fato, pois

d(f, g) = sup{dE(f(x), g(x)) : x ∈ X} = supx∈X

‖f(x)− g(x))‖.

2.4. DISTANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPACO METRICO41

2.4 Distancia de um ponto a um subconjunto em um espacometrico

Observacao 2.4.1 Como motivacao consideremos o seguinte caso:Em um plano consideremos X uma reta e a um ponto que nao pertence a reta X.Consideremos x0 ∈ X o pe da perpendicular a reta X que contem o ponto a (vide figura

abaixo).

x0

a

X

Seja x ∈ X tal que x 6= x0.Entao aplicando o Teorema de Pitagoras ao triangulo retangulo ∆ax0x (veja figura abaixo)

obtemos[d(a, x)]2 = [d(a, x0)]2 + [d(x0, x)]2.

x0

a

X

x

Em particular temos que d(a, x) ≥ d(a, x0) para todo x ∈ X, ou seja, x0 e o ponto maisproximo do ponto a que pertence a reta X.

Deste modo podemos escrever

d(a, x0) = infx∈X

{d(a, x)}.

Podemos generalizar este fato, para isto observemos que se (M, dM ) um espaco metrico, X ⊆ Mnao vazio e a ∈ M entao o conjunto {dM (x, a) : x ∈ X} ⊆ R e limitado inferiormente por 0(pois dM (a, x) ≥ 0).

Logo admite ınfimo, assim temos a:

Definicao 2.4.1 Sejam (M, dM ) um espaco metrico, X ⊆ M , nao vazio e a ∈ M .Definimos a distancia do ponto a ao conjunto X, indicada por d(a,X), como sendo

d(a,X) = inf{dM (a, x) : x ∈ X}.


21.08.2008 - 6.a

Observacao 2.4.2

1. Das propriedades de ınfimo temos:

(a) Para todo x ∈ X temos qued(a,X) ≤ d(a, x)

(isto e, d(a,X) e um limitante inferior do conjunto {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ R);

(b) Se d(a, X) < c entao existe x ∈ X tal que d(a, x) < c (isto e, d(a,X) e o maior doslimitantes inferiores).

2. Para todo x ∈ X temos que d(a, x) ≥ 0 logo

d(a, X) ≥ 0.

3. Observemos que se a ∈ X entaod(a, X) = 0.

De fato, se a ∈ X entao 0 = d(a, a) ∈ {d(a, x) : x ∈ X}.4. Alem disso, se X ⊆ Y entao

d(a, Y ) ≤ d(a,X).

Lembremos que se A ⊆ B entao inf B ≤ inf A (*) (sera deixado como exercıcio para oleitor).

Logo, se X ⊆ Y entao {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ {d(y, a) : y ∈ Y }, assim de (*) temos que

d(a, Y ) = inf{d(y, a) : y ∈ Y } ≤ inf{d(x, a) : x ∈ X} = d(a,X),

como querıamos mostrar.

5. Se d(a,X) = 0 isto nao implica, necessariamente, que a ∈ X como vereremos em exemplosa seguir.

O que podemos afirmar e que:

d(a,X) = 0 se, e somente se, dado ε > 0 existe x ∈ X tal que d(a, x) < ε.

6. Vale observar que, em geral, nao podemos substituir o ınfimo na definicao acima pelomınimo, isto e, pode nao existir um ponto em x0 ∈ X de tal modo que

d(a,X) = d(a, x0),

como veremos em exemplos a seguir.

A seguir consideraremos alguns exemplos.

Exemplo 2.4.1 Seja (M, d) um espaco metrico, a ∈ M e X = {x1, x2, · · · , xn} um subconjuntofinito de M .

Entao

d(a,X) = inf{d(a, x) : x ∈ X} [conjunto finito]= inf

1≤i≤n{d(a, xi)} [conjunto finito]

= min1≤i≤n

{d(a, xi)}.


Exemplo 2.4.2 Seja R2 como a metrica usual e S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} a circun-ferencia unitaria de centro na origem e raio 1.

Entao se ~z = (x, y) ∈ S1 e ~0 = (0, 0) temos que

d(~0, ~z) =√

(x− 0)2 + (y − 0)2 =√

x2 + y2 = 1,

ou seja, d(~0, S1) = 1 (veja figura abaixo).

-

6

x

y

~z = (x, y)

~0 = (0, 0)

d(~0, ~z) = 1

S1

R

Exemplo 2.4.3 Seja R munido da metrica usual e X = (a, b) (= B(a + b−a2 ; b−a

2 )).Entao temos que

d(a, X) = d(b,X) = 0.

Podemos provar isto diretamente ou utilizar o seguinte resultado geral:

Proposicao 2.4.1 Sejam E um espaco vetorial normado, ~a ∈ E e r > 0.Entao dado ~b ∈ E,

d(~b,B(~a; r)) = 0 se, e somente se, ~b ∈ B[~a; r].

Demonstracao:(⇐=)Suponhamos que ~b ∈ B[~a; r], ou seja, ‖~b− ~a‖ ≤ r.Se tivermos ‖~b− ~a‖ < r seguira que ~b ∈ B(~a; r), logo d(~b,B(~a; r)) = 0.Afirmacao: se ‖~b − ~a‖ = r > 0 entao dado ε > 0 afirmamos que existe ~x ∈ B(~a; r) tal que

d(~b, ~x) < ε.De fato, definamos

~u.=

1r(~b− ~a) ∈ E.

Segue que

‖~u‖ = ‖1r(~b− ~a)‖ =

1r‖~b− ~a‖ =

1r

r = 1.

Escolhamos t ∈ (r − ε, r), assim 0 < r − t < ε.Consideremos

~x.= ~a + t.~u ∈ E.


Temos que

d(~x,~a) = ‖~x− ~a‖ = ‖(~a + t.~u)− a‖ = |t|‖~u‖ [‖~u‖=1]= t < r,

ou seja, x ∈ B(~a; r).Alem disso, temos

d(~x,~b) = ‖~b− ~x‖ = ‖~b− (~a + t.~u)‖ = ‖(~b− ~a)− t.~u‖[~b−~a=r.~u]

= ‖r.~u− t.~u‖ = |r − t|‖~u‖ [‖~u‖=1]= r − t < ε,

logo concluimos a prova da afirmacao acima. (veja figura abaixo).

>

~a

~b

¸ε

]

r

~x = ~a + t~u

o

Logo dado ε > 0 existe ~x ∈ B(~a; r) tal que 0 ≤ d(~b, ~x) < ε, ou seja,

0 ≤ d(~b,B(~a; r)) ≤ d(~b, ~x) < ε,

isto e,d(~b,B(~a; r)) = inf{d(~b, ~x) : ~x ∈ B(a; r)} = 0.

(=⇒)Reciprocamente, suponhamos que d(~b, B(~a; r)) = 0.Seja ~p ∈ E tal que ~p 6∈ B[~a; r].Afirmamos que d(~p,B(~a; r)) > 0.De fato, como ~p 6∈ B[~a; r] temos que

‖~p− ~a‖ > r, logo ‖~p− ~a‖ = r + c

para algum c > 0.Se ~x ∈ B(~a; r) temos que ‖~x− ~a‖ < r e como

‖~p− ~a‖ ≤ ‖~p− ~x‖+ ‖~x− ~a‖segue que

d(~p, ~x) = ‖~p− ~x‖ ≥ ‖~p− ~a‖ − ‖~x− ~a‖ = (r + c)− ‖~x− ~a‖ > (r + c)− r = c,

ou seja, c e um limitante inferior do subconjunto

{d(~p, ~x) : ~x ∈ B(~a; r)} ⊆ R.

Como d(~p,B(~a; r)) e o ınfimo do conjunto acima segue que

d(~p,B(~a; r)) ≥ c > 0,

concluindo a prova da afirmacao (veja figura abaixo).


6

~a

~p

6

r

c

Como d(~b,B(~a; r)) = 0, da afirmacao, segue que ~b ∈ B[~a; r], como querıamos demonstrar.¤

Observacao 2.4.3 Em particular a afirmacao acima nos diz que podemos ter ~b ∈ E comd(~b,X) = 0 e ~b 6∈ X (onde X = B(~a; r)), como afirmamos anteriormente.

Temos a:

Proposicao 2.4.2 Sejam (M, d) um espaco metrico, a, b ∈ M e X ⊆ M nao vazio. Entao

|d(a,X)− d(b,X)| ≤ d(a, b).

A figura abaixo ilustra o resultado

X

d(a, X)

d(b, X)

d(a, b)

a

b

Demonstracao:A desigualdade acima e equivalente a

−d(a, b) ≤ d(a,X)− d(b,X) ≤ d(a, b).

Observemos que para todo x ∈ X temos que

d(a,X) ≤ d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x),


ou seja,d(a,X)− d(a, b) ≤ d(b, x),

ou ainda, o numero reald(a,X)− d(a, b)

e um limitante inferior do subconjunto {d(b, x) : x ∈ X} ⊆ R.Da definicao de ınfimo segue

d(a,X)− d(a, b) ≤ d(b,X), isto e, d(a,X)− d(b,X) ≤ d(a, b). (∗)Observemos que para todo x ∈ X temos que

d(b,X) ≤ d(b, x) ≤ d(b, a) + d(a, x),

ou seja,d(b,X)− d(a, b) ≤ d(a, x)

ou ainda, o numero reald(b,X)− d(a, b)

e um limitante inferior do subconjunto {d(a, x) : x ∈ X} ⊆ R.Da definicao de ınfimo segue

d(b,X)− d(a, b) ≤ d(a,X), isto e, d(a,X)− d(b,X) ≥ −d(a, b). (∗∗)De (*) e (**) segue a desiguladade e a conclusao da prova.

¤Como consequencia temos o

Corolario 2.4.1 Seja (M, d) um espaco metrico e a, b, x ∈ M . Entao

|d(a, x)− d(a, y)| ≤ d(a, b).

Demonstracao:Basta considerar X

.= {x} na proposicao acima e verificar que d(a, {x}) = d(a, x).¤

2.5 Distancia entre dois subconjuntos de um espaco metrico

Temos a

Definicao 2.5.1 Sejam (M, d) um espaco metrico e X, Y ⊆ M nao vazios.Definimos a distancia entre os conjuntos X e Y , indicada por d(X,Y ), como sendo

d(X, Y ) .= inf{d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.

Consideremos o

Exemplo 2.5.1 Consideremos R com a metrica usua, X = (−∞, 0) e Y = (0,∞).Entao dada ε > 0 existem x ∈ X e y ∈ Y tal que

d(x, y) < ε, ou seja, d(X, Y ) = 0.

Observemos que X ∩ Y = ∅ e mesmo assim d(X,Y ) = 0.

2.6. IMERSOES ISOMETRICAS E ISOMETRIAS ENTRE ESPACOS METRICOS 47

Observacao 2.5.1 Se (M,d) e um espaco metrico e X, Y ⊆ M nao vazios entao:

1. Se X ∩ Y 6= ∅ entao d(X, Y ) = 0;

2. Observemos qued(X, X) = 0 e d(X, Y ) = d(Y,X).

3. Pode ocorrer de d(X,Y ) = 0 e X ∩ Y = ∅.Deixaremos para o leitor encontrar um exemplo onde isto ocorre.

2.6 Imersoes isometricas e isometrias entre espacos metricos

Comecaremos pela

Definicao 2.6.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos.Diremos que uma funcao f : M → N e um imersao isometrica de M em N se

dN (f(x), f(y)) = dM (x, y), x, y ∈ M.

No caso acima diremos que a funcao f preserva as distancias de M e N , respectivamente.

Observacao 2.6.1 Na situacao acima se f : M → N e uma imersao isometrica temos que f einjetora.

De fato, se f(x) = f(y) entao

dM (x, y) = dN (f(x), f(y)) = 0,

logo x = y, mostrando que f e injetora.

Com isto temos a:

Definicao 2.6.2 Um imersao isometrica que e sobrejetora sera denomiada isometria de Mem N .

Observacao 2.6.2

1. Na situacao acima f : M → N e ums isometria se, e somente se, f preserva as distanciasde M e N e for sobrejetora.

2. Em particular se f : M → N e isometria entao f e bijetora.

Logo admite funcao inversa f−1 : N → M e esta tambem e uma isometria.

De fato, pois se w, z ∈ N temos que existe x, y ∈ M tal que z = f(x) e w = f(y) (pois fe sobrejetora) assim

dM (f−1(z), f−1(w)) = dM (f−1(f(x)), f−1(f(y))) = dM (x, y)[f e isometria]

= dN (f(x), f(y)) = dN (z, w),

mostrando que f−1 preserva as distancias de N e M .


3. Sejam (M,dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espacos metricos e f : M → N , g : N → P imersoesisometricas de M em N e de N em P , respectivamente.

Entao (g ◦ f) : M → P e uma imersao isometrica de M em P .

De fato, se x, y ∈ M temos que

dP ((g ◦ f)(x), (g ◦ f)(y)) = dP (g(f(x)), g(f(y)))[g preserva distancias]

= dN (f(x), f(y))[f preserva distancias]

= dM (x, y),

mostrando que g ◦ f preserva as distancias de M e P .

4. Como consequencia temos que composta de isometrias tambem sera uma isometria entreos respectivos espacos metricos.

5. Toda imersao isometrica f : M → N define uma isometria de M sobre f(M) (pois nestecaso f : M → f(M) sera sobrejetora e continuara a preservar as distancias de M e N).

Com isto temos a:

Definicao 2.6.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos.Diremos que M e N sao isometricos se existir uma isometria de M em N e neste caso

escreveremos M ∼ N .

Observacao 2.6.3 1. Temos que M ∼ M (basta considerar a identidade de M em M);

2. Se M ∼ N entao N ∼ M (pois, como vimos na Observacao (2.6.2) item 2., a inversa deuma isometria e uma isometria);

3. Se M ∼ N e N ∼ P entao M ∼ P (pois, como vimos na Observacao (2.6.2) item 3., acomposta de isometrias e uma isometria).

4. Os tres itens acima nos dizem que ∼ e uma relacao de equivalencia no conjunto formadopor todos os espacos metricos (isto e, ∼ satisfaz as propriedades: reflexiva, simetrica etransitiva).

5. Se existir uma imerao isometrica f : M → N entao temos que M ∼ f(M) (pois a funcaof : M → f(M) sera sobrejetora e preservara as distancias de M e f(M)).

26.08.2008 - 7.a

6. Sejam X um subconjunto nao vazio, (M, dM ) um espaco metrico e f : X → M uma funcaoinjetora.

Nosso objetivo e introduzir uma metrica em X de tal modo que a funcao f torne-se umaimersao isometrica de X e M .

Para isto definamosdX : X ×X → R

pordX(x, y) .= dM (f(x), f(y)), x, y ∈ X.

E facil verificar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que dX e uma metrica emX (precisamos usar do fato que f e injetora!) e deste modo a funcao f tornar-se-a umaimersao isometrica de (X, dX) em (M, dM ).


Podemos mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que a metrica dX em X e aunica metrica que torna f uma imersao isometrica de X em M .

Com isto temos a:

Definicao 2.6.4 Na situacao acima diremos que a metrica dX e a metrica induzida por fem X.

Observacao 2.6.4 Um caso particular da situacao acima e quando X ⊆ M , nao vazio onde(M, dM ) e um espaco metrico.

Neste caso se considerarmos a aplicacao inclusao

i : X → M dada por i(x) .= x, para x ∈ X,

temos que a funcao i e injetora.Logo podemos considerar em X a metrica induzida pela funcao i que coincidira com a metrica

induzida de M em X (pois dX(x, y) = dM (i(x), i(y)) = dM (x, y), para todo x, y ∈ X).

A seguir consideraremos alguns exemplos.

Exemplo 2.6.1 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn.Sejam ~a, ~u ∈ Rn tal que ‖u‖ = 1.Consideremos a funcao f : R→ Rn dada por

f(t) .= ~a + t ~u, t ∈ R.

Afirmamos que f e um imersao isometrica de R em Rn.De fato, se t, s ∈ R temos que

dRn(f(t), f(s)) = ‖f(t)− f(s)‖ = ‖(~a + t ~u)− (~a + s ~u)‖ = ‖(t− s) ~u‖= |t− s|‖~u‖ [‖~u‖=1]

= |t− s| = dR(t, s),

mostrando que a funcao f preserva as distancias de R e Rn.

Observacao 2.6.5

1. Observemos que o grafico de f e a reta que passa pelo ponto a = ~a ∈ Rn e tem a direcaodo vetor unitario ~u ∈ Rn.

Em particular, f nao e uma isometria de R em Rn se n 6= 1 (pois, neste caso, nao esobrejetora).

2. Se n = 1 entao f sera isometria de R em R (isto sera deixado como exercıcio para oleitor).

Exemplo 2.6.2 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn e ~a ∈ Rn.Afirmamos que a funcao f : Rn → Rn dada por

f(~x) .= ~x + ~a, ~x ∈ Rn,

e uma isometria de Rn em Rn.


De fato, se ~x, ~y ∈ Rn entao

d(f(~x), f(~y)) = ‖f(~x)− f(~y)‖ = ‖(~x + ~a)− (~y + ~a)‖ = ‖~x− ~y‖ = d(~x, ~y),

mostrando que f preserva a distancia em Rn (ou seja, e uma imersao isometrica de Rn em Rn).Alem disso f(Rn) = Rn pois se ~y ∈ Rn se tomarmos

~x.= ~y − ~a

segue quef(~x) = ~x + ~a = (~y − ~a) + ~a = ~y,

ou seja, f e sobrejetora, ou seja, f e uma isometria de Rn em Rn.

Com isto temos a

Definicao 2.6.5 A funcao f acima definida sera denominada translacao pelo vetor ~a.

Exemplo 2.6.3 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn.Afirmamos que a funcao f : Rn → Rn dada por

f(~x) .= −~x, ~x ∈ Rn,

e uma isometria em Rn.De fato, se ~x, ~y ∈ Rn entao

d(f(~x), f(~y)) = ‖f(~x)− f(~y)‖ = ‖(−~x)− (−~y)‖ = ‖ − ~x + ~y‖ = ‖~x− ~y‖ = d(~x, ~y),

mostrando que f preserva a distancia em Rn (ou seja, e uma imersao isometrica de Rn em Rn).Alem disso f(Rn) = Rn pois se ~y ∈ Rn se tomarmos

~x.= −~y

segue quef(~x) = ~x = −(−~y) = ~y,

ou seja, f e sobrejetora, isto e, f e uma isometria de Rn em Rn.

Com isto temos a

Definicao 2.6.6 A funcao f acima definida sera denominada reflexao em torno da origemde Rn.

Observacao 2.6.6

1. Observemos que na situacao acima, dados ~a,~b ∈ Rn existe uma isometria f : Rn → Rn talque f(~b) = ~a (basta considerar a translacao f(~x) .= ~x + (~a−~b)).

2. Podemos substituir o Rn por um espaco vetorial normado qualquer que os exemplos acimacontinuarao validos neste novo contexto.

A verificacao deste fato sera deixada como exercıcio para o leitor.


Exemplo 2.6.4 Consideremos C o conjunto formado pelo numeros complexos munido da metricainduzida pelo valor absoluto de um numero complexo (isto e, se ~z = a+bi entao ‖~z‖ =

√x2 + y2

e assim a metrica sera d(~z1, ~z2) = ‖~z1 − ~z2‖, ~z1, ~z2 ∈ C).Sejam ~u ∈ C tal que ‖~u‖ = 1 e a funcao

f : C→ C

dada porf(~z) .= ~u.~z,

para ~z ∈ C (onde . e a multiplicacao de numeros complexos).Afirmamos que f e uma isometria.De fato, f e imersao isometrica em C, pois

d(f(~z1), f(~z2)) = ‖f(~z1)− f(~z2)‖ = ‖~u.~z1 − ~u.~z2‖ = ‖~u.(~z1 − ~z2)‖= ‖~u‖‖~z1 − ~z2‖ [‖~u‖=1]

= ‖~z1 − ~z2‖ = d(~z1, ~z2),

mostrando que f preserva a distancia em C.Alem disso, se ~w ∈ C consideremos

~z.=

~w

~u∈ C.

Logo

f(~z) = ~u.~z = ~u.~w

~u= w,

mostrando que f e sobrejetora, portanto uma isometria de C em C.

Observacao 2.6.7 A aplicacao f do exemplo acima e uma rotacao (no sentido horario) de um

angulo θ =π

2se ~u = i e θ = arctg(

b

a) se ~u = a + bi, se a 6= 0 (veja figura abaixo).

-

6 C

~z

f(~z) = ~u.~z

θ

Finalizaremos esta secao com a

Proposicao 2.6.1 Seja (M, dM ) um espaco metrico limitado.Entao existe uma imersao isometrica ϕ : M → B(M ;R), onde em B(M ;R) consideraremos

a metrica induzida pela norma da convergencia uniforme.


Demonstracao:Definamos ϕ : M → B(M ;R) por

ϕ(x) .= dx,

onde dx : M → R e dada pordx(y) .= dM (x, y)

(ou seja, a distancia ao ponto x).Como M e limitado segue que dx ∈ B(M ;R), ou seja ϕ esta bem definida.Mostremos que ϕ preserva as ditancias de M e B(M ;R).Observemos que se x, x′, y ∈ M entao

|dx(y)− dx′(y)| = |d(x, y)− d(x′, y)|[corolario (2.4.1)]

≤ dM (x, x′),

assim

dB(M ;R)(ϕ(x), ϕ(x′)) = ‖ϕ(x)− ϕ(x′)‖ = ‖dx − dx′‖ = supy∈M

|dx(y)− dx′(y)|≤dM (x, x′).

Por outro lado, se tomarmos y = x′ temos que

|dx(y)− dx′(y)| = |dM (x, y)− dM (x′, y)| [y=x′]= |dM (x, x′)− dM (x′, x′)| = dM (x, x′).

Logo‖dx − dx′‖ = sup

y∈M|dx(y)− dx′(y)|≥dM (x, x′),

portantodB(M ;R)(dx, dx′) = ‖dx − dx′‖ = sup

y∈M|dx(y)− dx′(y)| = dM (x, x′),

ou seja, ϕ preserva as distancias de M e de B(M ;R).¤

Observacao 2.6.8

1. Pode-se provar um resultado analogo ao exibido acima retirando-se a hipotese de M serlimitado.

Uma demonstracao para esse fato pode ser encontrada em [1] pag. 20.

2. O resultado acima garante que todo espaco metrico pode ser imerso, isometricamente, emum espaco vetorial normado.

Capıtulo 3

Funcoes Contınuas Definidas emEspacos Metricos

3.1 Definicao de funcao contınua em espacos metricos e exem-plos

Temos a:

Definicao 3.1.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e a ∈ M .Diremos que uma funcao f : M → N e contınua no ponto a se dado ε > 0 existir

δ = δ(ε, a) > 0 tal que

dM (x, a) < δ implicar dN (f(x), f(a)) < ε.


f(a)

~

ε-

fa

= δ

f(B(a; δ))

¼

M

N

Diremos que f : M → N e contınua em M se ela for contınua em cada um dos pontos deM .

Observacao 3.1.1

1. Na situacao acima, f e contınua no ponto a se, e somente se, se dado ε > 0 existirδ = δ(ε, a) > 0 tal que

f(B(a; δ)) ⊆ B(f(a); ε),

ou seja, dada uma bola aberta de centro em f(a) e raio ε > 0 em N , existe uma bola abertade centro em a e raio δ > 0 em M , tal que a imagem pela funcao f desta segunda bolaesta contida na primeira bola.

53

54 CAPITULO 3. FUNCOES CONTINUAS DEFINIDAS EM ESPACOS METRICOS

2. Se M ⊆ R e N = R munidos da metrica usual de R entao f : M → R sera contınua ema ∈ M se, e somente se, dado ε > 0 existir δ = δ(ε, a) > 0 tal que se x ∈ M e

a− δ < x < a + δ

implicarf(a)− ε < f(x) < f(a) + ε,

ou seja,f((a− δ, a + δ)) ⊆ (f(a)− ε, f(a) + ε),

pois as bolas abertas em R (com a metrica usual) da definicao de contiuidade serao os,respectivos, intervalos abertos obtidos acima.


6 6

-f

f(a)

a

a + δ

a− δ

f(a) + ε

f(a)− ε

A seguir exibiremos alguns exemplos.Antes porem temos a:

Definicao 3.1.2 Sejam (M,dM ) e (N, dN ) espacos metricos e uma funcao f : M → N que tema seguinte propriedade: existe c > 0 tal que

dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.

Neste caso diremos que a funcao f e lipschitziana em M .A constante c sera dita constante de Lipschitz da funcao f .

Exemplo 3.1.1 Se f : M → N e lipschitiziana em M entao f e contınua em M .De fato, como f e lipschitiziana em M existe c > 0 tal que

dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.

Logo, dado ε > 0 seja δ.=

ε

c> 0.

Entao se a ∈ M e dM (x, a) < δ temos que

dN (f(x), f(a)) ≤ c dM (x, a) < cδ ≤ cε

c= ε,

mostrando que a funcao f e contınua no ponto a ∈ M .Como a ∈ M e arbitrario segue que a funcao f e contınua em M .

3.1. DEFINICAO DE FUNCAO CONTINUA EM ESPACOS METRICOS E EXEMPLOS 55

Exemplo 3.1.2 Sejam (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado e λ ∈ R.Afirmamos que a aplicacao

fλ : E → E

dada porfλ(~x) .= λ.~x, ~x ∈ E,

e lipschitiziana em E.De fato,

dE(fλ(~x),fλ(~y)) = ‖fλ(~x), fλ(~y)‖E = ‖λ.~x− λ.~y‖E = ‖λ(~x− ~y)‖E

= |λ|‖~x− ~y‖E = |λ|dE(~x, ~y),

ou seja,dE(fλ(~x),fλ(~y)) = |λ|dE(~x, ~y), ~x, ~y ∈ E,

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao fλ : E → E sera contınua em E para cada λ ∈ R fixado.

Observacao 3.1.2

1. Se f1, · · · , fn : E → E, onde E e um espaco vetorial normado, sao lipschitzianas entaodados a1, · · · , an ∈ R temos que

f.= a1f1 + · · · anfn

tambem sera uma aplicacao lipschitziana em E.

A verificacao deste fato sera deixado como exercıcio para o leitor.

Conclusao: combinacao linear de funcoes lipschitzianas e uma funcao lipschitziana.

Em particular, a aplicacao f : E → E sera contınua em E.

2. Seja R munido da metrica usual.

Entao f : R→ R e lipschitiziana em M se, e somente se, existe c > 0 tal que

|f(x)− f(y)||x− y| =

dR(f(x), f(y))dR(x, y)

≤ c, x, y ∈ R, x 6= y.

3. Observemos se f : I → R e diferenciavel em I, um intervalo de R e |f ′(x)| ≤ c para todox ∈ I entao a funcao f e lipschitziana em I.

De fato, dados x, y ∈ I do Teorema do Valor Intermediario segue que existe x ∈ [x, y] ( ou[y, x]) tal que

f(x)− f(y)x− y

= f ′(x).

Logo|f(x)− f(y)||x− y| = |f ′(x)| ≤ c,

ou seja, a funcao f e lipschitziana em I, como afirmamos acima.

Conclusao: toda funcao real, de variavel real, diferenciavel em um intervalo da reta e talque sua derivada e limitada neste intervalo e uma funcao lipschitiziana no intervalo emquestao.


2.09.2008 - 8.aUma situacao mais geral e dada pela

Definicao 3.1.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N .Diremos que a funcao f e localmente lipschitziana em M se para cada a ∈ M existe

ra > 0 tal que a restricao da funcao f a bola aberta B(a; ra) (isto e, f|B(a;ra)) e uma funcao

lischitziana, ou seja, existe c = c(B(a; ra)) > 0 satisfazendo

dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ B(a; ra).


-a

o ra

fx

y

f(x)

f(y)

dN (f(x), f(y)) ≤ c dM (x, y)

Com isto temos o

Exemplo 3.1.3 Se f : M → N e localmente lipschitziana em M entao f e contınua em M .De fato, dado a ∈ M seja ra > 0 tal que restricao da funcao f a bola aberta B(a; ra) seja

uma funcao lipschitziana, isto e, existe c = c(B(a; ra)) > 0 tal que

dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ B(a; ra).

Dado ε > 0 seja δ.= min{ε

c, ra} > 0.

Logo se, dM (x, a) < δ temos que

dN (f(x), f(a))[dM (x,a)<δ≤ra]

≤ c dM (x, a)<c δ[dM (x,a)<δ≤ ε

c]

≤ cε

c= ε,

mostrando que a funcao f e contınua no ponto a ∈ M .Como a ∈ M e arbitrario segue que a funcao f : M → N sera contınua em M .

Observacao 3.1.3 Se f1, · · · , fn :→ E, onde E e um espaco vetorial normado, sao localmentelipschitzianas em E entao, dados a1, · · · , an ∈ R, temos que

f.= a1f1 + · · · anfn

tambem sera localmente lipschitziana em E.A verificacao deste fato sera deixada como exercıcio para o leitor.Conclusao: combinacao linear de funcoes localmente lipschitzianas num espaco vetorial nor-

mado e uma funcao localmente lipschitziana neste espaco.Em particular, a aplicacao f : E → E acima definida sera contınua em E.


Exemplo 3.1.4 Seja f : R→ R dada por f(x) .= xn, x ∈ R e n ∈ N.Afirmamos que f e localmente lispchitziana em R.De fato, sejam x, y ∈ B(0; a), isto e, |x|, |y| ≤ a.Entao temos que

dR(f(x), f(y)) = |f(x)− f(y)| = |xn − yn| = |(x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·xyn−2 + yn−1)|≤ |x− y|[|x|n−1 + |x|n−2|y|+ · · · |x||y|n−2 + |y|n−1]

≤ |x− y|[|a|n−1 + |a|n−2|a|+ · · · |a||a|n−2 + |a|n−1

︸︷︷︸n−parcelas

]

= nan−1|x− y| = nan−1dR(x, y),

ou seja, f e localmente lischitziana em R (a constante de Lipschitz sera c.= nan−1).

Em particular, a aplicacao f : R→ R sera contınua em R.

Observacao 3.1.4 Do exemplo acima e da observacao (3.1.3) segue que toda funcao polinomialp : R→ R (isto e, se a1, · · · , an ∈ R temos que

p(x) .= a0 + a1x + · · · , anxn, x ∈ R

e uma funcao localmente lispchitziana em R e portanto sera uma aplicacao contınua em R.

Exemplo 3.1.5 Seja f : R∗ .= R \ {0} → R dada por

r(x) .=1x

, x ∈ R∗.

Para cada a > 0 temos que f e lipschitiziana em Ra, onde Ra.= {x ∈ R : |x| ≥ a}.

De fato, se x, y ∈ Ra entao |x|, |y| ≥ a logo,

dR(f(x), f(y)) = |f(x)−f(y)| = |1x−1

y| = |y − x

x.y| = 1

|x|.|y| |x−y|[|x|,|y|≥a>0]

≤ 1a2|x−y| = 1

a2dR(x, y),

mostrando que f e lipschitziana em Ra (basta tomar a constante de Lipschitz como sendo c.=

1a2

)para cada a > 0.

Em particular, a aplicacao f : R∗ → R e contınua em Ra para todo a > 0, isto e, f econtınua em R∗.

Exemplo 3.1.6 Sejam (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado, R com a metrica usual e λ ∈ R.Afirmamos que a aplicacao

m : R×E → E

dada porm(λ, ~x) .= λ.~x, λ ∈ R, ~x ∈ E,

e localmente lipschitiziana em R×E onde no produto cartesiano R×E considerarmos a normada soma (isto e,

‖(λ, ~x)‖R×E = |λ|+ ‖~x‖E ,

(λ, ~x) ∈ R×E) e assim podemos tomar a metrica

dR×E [(λ, ~x), (β, ~y)] = |λ− β|+ ‖~x− ~y‖E ,


se (λ, ~x), (β, ~y) ∈ R× E).De fato, dado (λ0, ~x0) ∈ R× E, fixado r > 0, se

(λ, ~x), (β, ~y) ∈ B((λ0, ~x0); r) ⊆ R× E

temos que|λ− λ0|, |β − β0| < r e ‖~x− ~x0‖E , ‖~y − ~x0‖E < r.

Logo

dE(m(λ, ~x),m(β, ~y)) = ‖m(λ, ~x)−m(β, ~y)‖E = ‖λ.~x− β.y‖E = ‖λ.x− λ.y + λy − β.~y‖E

= ‖λ.(~x− ~y) + (λ− β).~y‖E ≤ ‖λ(~x− ~y)‖E + ‖(λ− β)~y‖E

= |λ|‖~x− ~y‖E + |λ− β|‖~y‖E

[|λ|≤|λ−λ0|+|λ0|≤r+|λ0|]≤ [r + |λ0|]‖~x− ~y‖E + |λ− β|‖~y‖E

[‖~y‖E≤‖~y−~x0‖E+‖~x0‖E≤r+‖~x0‖E ]

≤ [r + |λ0|]‖~x− ~y‖E + [r + ‖~x0‖E ]|λ− β|≤ max{r + |λ0|, r + ‖~x0‖E}[‖~x− ~y‖E + |λ− β|][c

.=max{r+|λ0|,r+‖~x0‖E}]= c[|λ− β|+ ‖~x− ~y‖E ]

= c dR×E [(λ, ~x), (β, ~y)]

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao m : R × E → E sera contınua em R × E (munido da metrica

acima).

Exercıcio 3.1.1 Em particular, vale o mesmo para multiplicacao de numeros reais ou multi-plicacao de numeros reais por vetores de Rn.

Uma outra classe de funcoes importantes e dada pela

Definicao 3.1.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N .Diremos que a funcao f e uma contracao fraca se

dN (f(x), f(y)) ≤ dM ((x, y), x, y ∈ M.

e uma subclasse desta e dada pela

Definicao 3.1.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N .Diremos que a funcao f e uma contracao (forte) se existir c ∈ [0, 1) tal que

dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.

Observacao 3.1.5

1. E facil de ver que toda contracao forte e uma contracao fraca.

2. Tambem e evidente que toda contracao fraca ou forte e uma aplicacao lipschitiziana eportanto contınua em todo o espaco metrico.

Seguir daremos alguns exemplos de contracoes fracas.


Exemplo 3.1.7 Sejam (M,dM ) e (N, dN ) espacos metricos e k ∈ N fixo.Se f : M → N e dada por

f(x) .= k, para todo x ∈ M

entao f e uma contracao forte, pois

dN (f(x), f(y)) = dN (k, k) = 0 ≤ 12

dM (x, y), x, y ∈ M,

(no caso escolhemos c.=

12

< 1).Em particular, a aplicacao f : M → N e contınua em M .

Exemplo 3.1.8 Sejam (M,dM ) espaco metrico e X ⊆ M subespaco metrico de M .A aplicacao de inclusao, i : X → M dada por i(x) .= x, x ∈ X e uma contracao fraca pois

dM (i(x), i(y)) = dX(x, y), x, y ∈ X.

Em particular, a aplicacao i : X → M e contınua em X.

Em geral temos o

Exemplo 3.1.9 Sejam (M,dM ) e (N, dN ) espacos metricos.Se f : M → N e uma imersao isometrica entao f e uma contracao fraca pois

dN (f(x), f(y)) = dM (x, y), x, y ∈ M.

Em particular, a aplicacao f : M → N sera contınua em M .

Observacao 3.1.6 Como caso particular do exemplo acima temos que toda isometria e umacontracao fraca, logo contınua em todo o espaco metrico.

Exemplo 3.1.10 Sejam (M,dM ) e (N, dN ) espacos metricos.Independente de uma das tres metricas que escolhamos para M ×N (ver exemplo (2.1.12) e

observacao (2.1.12) item 3.), para cada a ∈ M e b ∈ N se considerarmos as aplicacoes

ib : M → M ×N e ja : N → M ×N

dadas porib(x) .= (x, b) e ja(y) .= (a, y),

entao ib e ja sao uma contracoes fracas.De fato, pois

dM×N (ib(x1), ib(x2)) = dM×N [(x1, b), (x2, b)](∗)≤ dM (x1, x2), x1, x2 ∈ M,

dM×N (ja(y1), ib(y2)) = dM×N [(a, y1), (a, y2)](∗∗)≤ dN (y1, y2), y1, y2 ∈ N

mostrando a afirmacao acima.Vale observar que as desigualdades (*) e (**) sao validas, independentementes, de qual das

tres metricas que considerarmos no produto cartesiano (verifique!).Em particular, as aplicacoes ib : M → M ×N e ja : N → M ×N sao contınuas em M e N ,

respectivamente.


Exemplo 3.1.11 Sejam (M, dM ) espaco metrico e X ⊆ M nao vazio.Definamos dX : M → R por

dX(y) .= d(y, X), y ∈ M.

Afirmamos que dX e uma contracao fraca.De fato, se y1, y2 ∈ M temos que

dR(dX(y1), dX(y2)) = |dX(y1)− dX(y2)| = |d(y1, X)− d(y2, X)|[proposicao (2.4.2)]

≤ dM (y1, y2),

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao dx : M → R e contınua em M .

Observacao 3.1.7 Do exemplo acima segue que para cada x ∈ M temos que a aplicacao

dx : M → R dada por dx(y) .= dM (x, y), y ∈ M,

e uma contracao fraca.Para ver isto basta considerar X

.= {x} ⊆ M .Em particular, a aplicacao dx : M → R sera contınua em M .

Exemplo 3.1.12 Seja (E, ‖.‖) um espaco vetorial normado.A aplicacao ‖.‖ : E → R e uma contracao fraca.De fato, se ~x, ~y ∈ E temos que

dR(‖~x‖, ‖~y‖) = |‖~x‖ − ‖~y‖| = |dE(~x, 0)− dE(~y, 0)| ≤ |dE(~x, ~y)| = ‖~x− ~y‖ = dE(~x, ~y),

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao ‖.‖ : E → R e uma funcao contınua em E.

Exemplo 3.1.13 Seja (M1, d1), · · · (Mn, dn) espacos metricos.Pra cada i = 1, · · ·n a aplicacao

pi : M1 × · · · ×Mn → Mi, dada por pi(x) .= xi,

onde x = (x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · ×Mn (conhecida como i-esima projecao) e uma contracaofraca onde podemos considerar no produto cartesiano M

.= M1×· · ·×Mn qualquer uma das tresmetricas da observacao (2.1.12).

De fato, se xi, yi ∈ Mi temos que

dM1(pi(x), pi(y)) = dMi(xi, yi) ≤ dM (x, y),

onde x = (x1, · · · , xi−1, xi, xi+1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yi−1, yi, yi+1, · · · , yn) ∈ M , mostrandoque a afirmacao e verdadeira.

Em particular, a aplicacao pi : M1×· · ·×Mn → Mi e contınua em M1×· · ·×Mn para cadai = 1, · · · , n.

Exemplo 3.1.14 Seja (M,dM ) espaco metrico.Entao a aplicacao

dM : M ×M → R


e uma contracao fraca se em M×M considerarmos a metrica da soma ou do maximo em M×M(veja exemplo (2.1.12)).

De fato, se (x, y), (x′, y′) ∈ M ×M entao

dR(dM (x, y), dM (x′, y′)) = |dM (x, y)− dM (x′, y′)| = |dM (x, y)− dM (x′, y) + dM (x′, y)− dM (x′, y′)|≤ |dM (x, y)− dM (x′, y)|+ |dM (x′, y)− dM (x′, y′)| ≤ dM (x, x′) + dM (y, y′)≤ dM×M [(x, y), (x′, y′)],

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao dM : M ×M → R sera contınua em M ×M .

4.09.2008 - 9.a

Exemplo 3.1.15 Seja (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado e λ ∈ R.Afirmamos que a aplicacao

s : E ×E → E

dada pors(x, y) .= x + y, x, y ∈ E,

e uma contracao fraca onde em E×E estamos considerando a norma da soma (isto e, ‖(x, y)‖E×E.=

‖x‖E + ‖y‖E e sua respectiva metrica associada).De fato,

dE(s(x, y), s(x′, y′)) = ‖s(x, y)− s(x′, y′)‖E = ‖(x + y)− (x′ + y′)‖E = ‖(x− x′) + (y − y′)‖E

≤ ‖x− x′‖+ ‖y − y′‖E = ‖(x, y)− (x′, y′)‖E×E = dE×E((x, y), (x′, y′)).

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao s : E × E → E sera contınua em E × E.

Exercıcio 3.1.2 Em particular, vale o mesmo para soma numeros reais ou soma de vetores emRn e B(X; M) munido da metrica do sup.

Exemplo 3.1.16 Sejam (M, dM ) um espaco metrico, a ∈ M , X um conjunto nao vazio eB(X; M) munido da metrica do sup.

Definamos a aplicacao

va : B(X; M) → M por va(f) .= f(a), f ∈ B(X;M).

Entao va e uma contracao em B(X; M).De fato, se f, g ∈ B(X; M) temos que

dM (va(f), va(g) = dM (f(a), g(a)) ≤ sup{dM (f(x), g(x)) : x ∈ M} = dB(X;M)(f, g),

mostrando que a afirmacao e verdadeira.Em particular, a aplicacao va : B(X;M) → M sera contınua em B(X; M).

Observacao 3.1.8


1. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e a ∈ M um ponto isolado de M .

Afirmamos que f : M → N e contınua em a ∈ M .

De fato, como a ∈ M e um ponto isolado de M , existe δ0 > 0 tal que B(a; δ0)∩M = {a}.Dado ε > 0 seja 0 < δ ≤ δ0.

Se dM (x, a) < δ ≤ δ0 temos que x = a logo

dN (f(x), f(a)) = dN (f(a), f(a)) = 0 < ε,

mostrando que a afirmacao e verdadeira.

2. Como consequencia da observacao acima temos que se (M, dM ) for um espaco discreto(isto e, todo ponto dele e ponto isolado) entao toda funcao f : M → N e contınua em M .

Em particular, a metrica de M e a metrica zero-um entao vale o mesmo.

3. Por outro lado se (N, dN ) for um espaco discreto temos que: f : M → N contınua emM se, e somente se, para cada a ∈ M a funcao f e constante em alguma bola aberta decentro em a.

De fato, se a ∈ M entao dado 0 < ε ≤ 1 temos que B(f(a); ε) = {f(a)} assim para todoδ > 0 se x ∈ B(a; δ) para que f(x) ∈ B(f(a), ε) = {f(a)} deveremos ter f(x) = f(a) nabola aberta B(a; δ), como afirmamos acima.

Em particular, a metrica de N e a metrica zero-um entao vale o mesmo.

Temos a

Definicao 3.1.6 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e a ∈ M .Diremos que uma funcao f : M → N e descontınua no ponto a se ela nao for contınua

no ponto a.

Observacao 3.1.9

1. Na situacao acima f e descontınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe ε > 0 tal quepara todo δ > 0 existe xδ ∈ M tal que

dM (xδ, a) < δ mas dN (f(xδ), f(a)) ≥ ε.

2. Um formulacao equivalente seria: f e descontınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existeε > 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ M tal que

dM (xn, a) <1n

mas dN (f(xn), f(a)) ≥ ε.

Isto poderia ser dito da seguinte forma: existe uma sequencia (xn)n∈N em M que e con-vergente para a em M tal que a sequencia (f(xn))n∈N em N nao e convergente em N .

Vale observar que ainda nao introduzimos a nocao de convergencia de sequencias.

Na verdade isto sera tratado num capıtulo mais adiante.


Exemplo 3.1.17 A funcao f : R → R dada por f(x) =

{1, se x ∈ Q0, se x ∈ I nao e contınua em

nenhum ponto de R.

De fato, sejam a ∈ Q e ε =12

> 0.

Dado δ > 0 consideremos x ∈ I tal que |x− a| < δ, isto e, d(x, a) < δ (veja figura abaixo).

-a ∈ Q a + δa − δ

?

x ∈ I

Como f(x) = 0 e f(a) = 1 segue que

dR(f(x), f(a)) = |f(x)− f(a)| = |0− 1| = 1 ≥ 12

= ε,

mostrando que f nao e contınua em nenhum a ∈ Q.

Por outro lado, sejam a ∈ I e ε =12

> 0.

Dado δ > 0 consideremos x ∈ Q tal que |x− a| < δ, isto e, d(x, a) < δ (veja figura abaixo).

-a ∈ I a + δa − δ

?

x ∈ Q

Como f(x) = 1 e f(a) = 0 segue que

dR(f(x), f(a)) = |f(x)− f(a)| = |1− 0| = 1 ≥ 12

= ε,

mostrando que f nao e contınua em nenhum a ∈ I.Portanto f nao e contınua em nenhum ponto de R.

Observacao 3.1.10 Observemos que no exemplo acima temos que f|Q e f|I sao contınuas (naverdade a primeira e constante e igual a 0 e a segunda e constante e igual a 1).

Para f : M → N e X ⊆ M nao vazio, o exemplo acima nos mostra a diferenca entre:

1. f|X : X → N contınua em X;

2. f : M → N contınua em todos os pontos de M .

Podemos sempre afirmar que na situacao acima (b) implicara sempre em (a).Mas, em geral, (a) pode nao implicar em (b), como mostra o exemplo acima.

Exemplo 3.1.18 Consideremos f : R→ R dada por

f(x) =

{sen( 1

x), se x 6= 00, se x = 0

.

Afirmamos que f e descontınua em x = 0.

De fato, seja ε =12

> 0.


Dado δ > 0 seja N0 ∈ N tal que N0 ≥ 1δ.

Consideremos x ∈ R dado por

x.=

2(2N0 + 1)π

.

Como (2N0 + 1)π > 2N0 temos que

dR(x, 0) = ‖x‖ =2

(2N0 + 1)π<

22N0

=1

N0< δ.

Mas

dR(f(x), f(0)) = |sen(12

(2N0+1)π

)− 0| = |sen((2N0 + 1)π

2)| [sen(

(2N0+1)π2

)=±1]= 1 ≥ 1

2= ε,

mostrando que a afirmacao e verdadeira.

Observacao 3.1.11 Seja f : M → N e consideremos N1.= f(M) = {f(x) : x ∈ M} visto

como subsepaco metrico de N (ou seja, com a metrica induzida de N).Definamos f1 : M → N1 por f1(x) .= f(x), x ∈ M .Afirmamos que f e contınua em M se, e somente se, f1 e contınua em M .A demonstracao deste fato sera deixada como exercıcio para o leitor.

3.2 Propriedades elementares de funcoes contınuas entre espacosmetricos

Comecaremos pela

Proposicao 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espacos metricos e a ∈ M .Se f : M → N e contınua em a e g : N → P e contınua em f(a) entao g ◦ f : M → P e

contınua em a.

Demonstracao:Dado ε > 0, como g e contınua no ponto f(a), existe λ > 0 tal que se y ∈ N e

dN (y, f(a)) < λ entao dP (g(y), g(f(a))) < ε. (∗)

Mas f e contınua em a, logo dado λ > 0 (obtido acima), existe δ > 0 tal que se x ∈ M e

dM (x, a) < δ entao dN (f(x), f(a)) < λ.

Logo, se f(x) ∈ N , de (*) temos

dP (g(f(x)), g(f(a))) < λ,

mostrando que g ◦ f e contınua em a, como querıamos mostrar.¤

Observacao 3.2.1

1. O resultado acima nos diz que a composta de duas funcoes contınuas e uma funcaocontınua.

3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNCOES CONTINUAS ENTRE ESPACOS METRICOS65

2. Temos a seguinte caracterizacao geometrica para a demonstracao do resultado acima:

g(f(a))

^

ε

-gf(a)

Uλ

g(B(f(a); λ))

W-f

^δ

f(B(a; δ))

?

a

Como consequencia temos

Corolario 3.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos.Se f : M → N e contınua em a ∈ X ⊆ M entao f|X : X → N e contınua em a.

Demonstracao:Sabemos que a aplicacao inclusao, i : X → M e contınua em X (ver exemplo (3.1.8)).Observemos que f|X = f ◦ i.Como f e contınua em a segue, da proposicao acima, que f|X = f ◦ i sera contınua no ponto

a, completando a demosntracao do corolario.¤

Observacao 3.2.2 O corolario acima nos diz que a restricao de uma funcao contınua a umsubconjunto do seu domınio sera uma funcao contınua nesse subconjunto.

Antes de prosseguir temos a

Observacao 3.2.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espacos metricos, f : M×N → P onde emM ×N consideramos uma das tres metricas usuais (da raiz quadrada, da soma ou do maximo).

Logo f sera contınua em (a, b) ∈ M ×N se dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

dM×N ((x, y), (a, b)) < δ implicar dP (f(x, y), f(a, b)) < ε.

Neste caso e comum dizermos que f e contınua (conjuntamente) no ponto (a, b).

Temos tambem a:

Definicao 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espacos metricos, f : M ×N → P e (a, b) ∈M ×N .

Diremos que f e contınua em relacao a 1.a variavel no ponto (a, b) se a aplicacao

fb : M → P

dada porfb(x) .= f(x, b), x ∈ M,

for contınua no ponto a.Diremos que f e contınua em relacao a 2.a variavel no ponto (a, b) se a aplicacao

fa : N → P


dada porfa(y) .= f(a, y), y ∈ N,

for contınua no ponto b.Diremos que f e contınua separadamente no ponto (a, b) se ela for contınua em relacao

a cada uma das variaveis no ponto (a, b).

Observacao 3.2.4

1. Na situacao acima se f e contınua (conjuntamente) no ponto (a, b) entao temos que

fa = f ◦ ja fb = f ◦ ib,

onde ib : M → M × N e ja : N → M × N sao as aplicacoes de M , e de N , em M × Ndadas pelo exemplo (3.1.10), respectivamente.

Assim, como ib e ja sao contınuas em M e N , respectivamente, segue que que fa e fb saocontınuas nos pontos a e b, respectivamente.

Portanto f sera contınua separadamente no ponto (a, b).

2. Nao vale, em geral, a recıproca do resultado acima, isto e, existem funcoes f : M×N → Pque sao contınuas separadamente no ponto (a, b) mas nao sao contınuas (conjuntamente)no ponto (a, b).

Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo:

Sejaf : R× R→ R

dada por

f(x) .=

xy

x2 + y2, se (x, y) 6= (0, 0)

0 , se (x, y) = (0, 0).

No ponto (0, 0) temos que f e contınua separamente (pois f(x, 0) = 0 e f(0, y) = 0 paratodo x, y,∈ R que sao contınuas em R).

Mas f nao e contınua (conjuntamente) no ponto (0, 0) pois se tomarmos a restricao dafuncao f a reta y = ax, com a 6= 0 (que torna-se um espaco metrico com a metricainduzida pela metrica de R2) entao teremos

f(x, ax) =ax2

x2 + a2x2=

a

1 + a26= 0 se x 6= 0

e se x = 0 teremos que f(0, a.0) = (0, 0), mostrando que f e descontınua no ponto (0, 0).

Para o proximo resultado precisaremos da

Definicao 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1, d1), (N2, d2) espacos metricos,

f : M → N1 ×N2

dada porf(x) .= (f1(x), f2(x)), x ∈ M

onde fj : M → Nj, j = 1, 2 sao ditas funcoes coordenadas da funcao f .Neste caso escreveremos f = (f1, f2).


Com isto temos a

Proposicao 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1, d1), (N2, d2), N1×N2 espacos metricos, onde no ultimoconsideramos uma das tres metricas usuais, f : M → N1 ×N2 dada por f(x) .= (f1(x), f2(x)),x ∈ M onde fj : M → Nj, j = 1, 2 e a ∈ M .

Entao f e contınua no ponto a se, e somente se, f1 e f2 sao contınuas no ponto a.

Demonstracao:Suponhamos que f e contınua no ponto a.Temos que

f1 = p1 ◦ f e f2 = p2 ◦ f,

onde pj : N1 × N2 → Nj , j = 1, 2 sao as projecoes em N1 e N2 definidas no exemplo (3.1.13),respectivamente.

Como p1, p2 sao contınuas em N1 e N2, respectivamente, segue que f1 e f2 sao contınuas ema ∈ M .

Reciprocamente,

(i) Consideremos em N1 ×N2 a metrica do maximo.

Se f1 e f2 sao contınuas em a ∈ M entao dado ε > 0 segue que existem δ1, δ2 > 0 tal quese

dM (x, a) < δi implicara dNi(fi(x), fi(a)) < ε, i = 1, 2. (∗)

Seja δ.= min{δ1, δ2} > 0.

Assim, se dM (x, a) < δ logo dM (x, a) < δ1 e dM (x, a) < δ2 e de (*) teremos

dN1×N2(f(x), f(a)) = max{d1(f1(x), f1(a)), d2(f2(x), f2(a))} < ε,

mostrando que f e contınua no ponto a.

(ii) Se considerarmos em N1 ×N2 a metrica da raiz quadrada temos que dado ε > 0 existemδ1, δ2 > 0 tal que se

dM (x, a) < δi implicara dNi(fi(x), fi(a)) <ε√2, i = 1, 2. (∗)

tomando-se δ.= min{δ1, δ2} > 0.


dN1×N2(f(x), f(a)) =√

[d1(f1(x), f1(a))]2 + [d2(f2(x), f2(a))]2 <

√[

ε√2]2 + [

ε√2]2

=

√ε2

2+

ε2

2=√

ε2 = ε,


(iii) Se considerarmos em N1×N2 a metrica da soma temos que dado ε > 0 existem δ1, δ2 > 0tal que se

dM (x, a) < δi implicara dNi(fi(x), fi(a)) <ε

2, i = 1, 2. (∗)


tomando-se δ.= min{δ1, δ2} > 0.


dN1×N2(f(x), f(a)) = d1(f1(x), f1(a)) + d2(f2(x), f2(a)) <ε

2+

ε

2= ε,


Completamos assim a demonstracao.¤

Como consequencia temos o

Corolario 3.2.2 Sejam (M1, d1), (M2, d2), (N1, d1), (N2, d2) espacos metricos e f1 : M1 → N1,f2 : M2 → N2 duas funcoes.

Se f1 e f2 sao contınuas em M1 e M2, respectivamente entao a aplicacao

f1 × f2 : M1 ×M2 → N1 ×N2

(f1 × f2)(x1, x2).= (f1(x1), f2(x2)), (x1, x2) ∈ M1 ×M2

sera contınua em M1 ×M2.

Demonstracao:Temos que as coordenadas de f1 × f2 sao

(f1 × f2)1 = f1 ◦ p1 e (f1 × f2)2 = f2 ◦ p2,

onde pi : M1×M2 → Mi, i = 1, 2, sao as projecoes de M1×M2 em Mi, i = 1, 2 que sao contınuasem M1 ×M2 ( ver exemplo (3.1.13) ).

Como f1 e f2 sao contınuas em M1 e M2, respectivamente, da proposicao (3.2.1) segue que(f1× f2)1 e (f1× f2)2 sao contınuas M1×M2 e assim a proposicao (3.2.2) implicara que f1× f2

sao contınuas em M1 ×M2 concluindo a demonstracao do resultado.¤

Como consequencia dos resultados acima temos a

Proposicao 3.2.3 Sejam (M, dM ) espaco metrico, (E, ‖.‖E) espaco vetorial normado, R coma metrica usual, f, g : M → E, α, β : M → R contınuas, com β(x) 6= 0 para x ∈ M .

Entao as funcoes f + g, α.f : M → E sao contınuas em M eα

β: M → R e contınua em M ,

onde

(f + g)(x) .= f(x) + g(x), (α.f)(x) .= α.f(x), (α

β)(x) .=

α(x)β(x)

,

para x ∈ M .

Demonstracao:Vimos anteriormente (exemplos (3.1.5), (3.1.15) e (3.1.6)) que as funcoes r : R \ {0} → R,

s : E × E → E e m : E → E dadas por

r(x) .=1x

, s(x, y) .= x + y, m(λ, x) .= λ.x,

onde x, y ∈ E e λ ∈ R, sao contınuas nos seus respectivos domınios.


Com isto temos:M

(f,g)−→ E × Es−→ E

x −→ (f(x), g(x)) −→ f(x) + g(x),

logo f + g e contınua em M ;

M(α,f)−→ R×E

m−→ Ex −→ (α(x), f(x)) −→ α(x).f(x)

,

logo α.f e contınua em M e

M(α,β)−→ R× R \ {0} (id,r)−→ R× R m−→ R

x −→ (α(x), β(x)) −→ (α(x), 1β(x)) −→ α(x). 1

β(x)

,

logoα

βe contınua em M (onde id : R → R e a aplicacao identidade, isto e id(x) = x, x ∈ R),

completando a demonstracao do resultado.¤

Como consequencia imediata temos o

Corolario 3.2.3 Sejam (M, dM ) espaco metrico, R com a metrica usual, f, g : M → R contınuasem M .

Entao as funcoes f +g, f.g : M → R sao contınuas em M ef

g: M \{x ∈ M : g(x) 6= 0} → R

e contınua no seu domınio.

Para finalizar a secao temos a

Observacao 3.2.5

1. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos.

Denotaremos por C(M ;N) o conjunto formado por todas as funcoes contınuas de M emN , isto e,

C(M ; N) .= {f : M → N : f e contınua em M}.

Denotaremos por C0(M ; N) o conjunto formado por todas as funcoes contınuas de M emN que sao limitadas, isto e,

C0(M ; N) .= {f : M → N : f e contınua e limitadas em M} ⊆ C(M ; N).

Neste ultimo podemos introduzir uma metrica da seguinte forma:

Consideremosd : C0(M ; N)× C0(M ; N) → R

definida da seguinte forma: se f, g ∈ C0(M ; N)

d(f, g) .= sup{dN (f(x), g(x)) : x ∈ M}.

Ficara a como exercıcio para o leitor mostrar que d e uma metrica em C0(M ; N).


2. Em C0([a, b];R) podemos considerar a norma

‖f‖ .= supx∈[a,b]

|f(x)|, f ∈ C0([a, b];R)

e assim temos a metrica associada a esta norma que sera denotada por dsup.

Por outro lado, sabemos que toda funcao contınua f : [a, b] → R e (Riemann)-integravelem [a, b].

Em particular, existe∫ b

a|f(x)| dx.

Afirmamos que

‖f‖1.=

∫ b

1|f(x)| dx, f ∈ C0([a, b];R)

tambem e uma norma em C0([a, b];R).

As propriedades (n2) e (n3) serao deixadas como exercıcio para o leitor.

Mostremos que (n1) ocorre.

Para isto seja f ∈ C0([a, b];R) tal que f 6= 0, ou seja, existe x0 ∈ [a, b].

Do Calculo 1 sabemos que se uma funcao e contınua e nao-negativa tem integral nula se,e somente se, ela for identicamente nula.

Logo segue que, se f 6= 0 (*) temos que∫ b

a|f(x)| dx 6= 0 pois se fosse zero deverıamos ter

|f(x)| = 0 para todo x ∈ [a, b] implicando que f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b], contrariando(*)), com isto obtemos (n1).

Logo podemos considerar a metrica associada a norma ‖.‖1 (que sera denominada metricada integral em f ∈ C0([a, b];R)).

3. Sejam (M, dM ) espaco metrico e (E, ‖.‖E) espaco vetorial normado.

Entao e facil ver que C0(M ; E) e um subespaco vetorial do espaco vetorial B(M ; N).

16.09.2008 - 10.a

3.3 Homeomorfismos entre espacos metricos

Observacao 3.3.1 O objetivo desta secao e estudar funcoes bijetoras e contınuas que admitamfuncao inversa contınua.

Ao contrario do que ocorre em Algebra Linear (onde a inversa de uma transformacao linear e,necessariamente, uma transformacao linear) e da Algebra (onde a inversa de um homomorfismoe, necessariamente, um homomorfismo) na Topologia existem funcoes contınuas e bijetoras cujasfuncoes inversas nao sao contınuas, como mostra o exemplo a seguir:

Exemplo 3.3.1 Consideremos (M, d) onde M = R e dM e a metrica zero-um e R com a metricausual.

Tomemos a aplicacao identidade i : M → R, dada por i(x) .= x, x ∈ M .Observemos que neste caso aplicacao i e bijetora e contınua (veja observacao (3.1.8 item

2.)Afirmamos que a funcao inversa associada a i, que e a aplicacao i−1 : R → M dada por

i−1(y) .= y, y ∈ R, nao e contınua em qualquer ponto de R pois a metrica em M e a metricazero-um (ver obervacao (3.1.8) item 3.).

3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPACOS METRICOS 71

A seguir exibiremos um outro exemplo menos artificial

Exemplo 3.3.2 Sejam M.= [−1, 0]∪ (1,∞) e N = [0,∞) ambos com a metrica usual induzida

de R.Consideremos f : M → N dada por

f(x) = x2, x ∈ M.

Temos que f e uma aplicacao bijetora e contınua em M (sera deixado como exercıcio parao leitor a verificacao deste fatos - veja grafico de f na figua abaixo).

6N

-

M

−1

1

1 x

f(x)

A funcao inversa associada a f sera f−1 : N → M dada por

f−1(y) .=

{−√y, 0 ≤ y ≤ 1√

y, y > 1

cujo grafico e dado pela figura abaixo.

-

6

1

1

−1

M

Ny

f−1(y)

Observemos que f−1 nao e contınua em y = 1.

De fato, dado ε =12

> 0, para todo δ > 0 seja z ∈ (1, 1 + δ).


Logo z ∈ B(1; δ) mas

dR(f−1(z), f−1(1)) = |f−1(z)− f−1(1)| [f−1(1)=−1]= |f−1(z) + 1| = f−1(z) + 1 >

12

= ε,

mostrando que f−1(z) 6∈ B(f−1(1); ε).Portanto f−1 nao sera contınua no ponto y = −1.

-

6

1

1

−1

M

N

¾

?

-

?

O proximo exemplo e o mais interessante.

Exemplo 3.3.3 Sejam M = [0, 2π) com a metrica induzida pela metrica usual de R,

S1 .= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}com a metrica induzida pela metrica usual de R2 e

f : E → S1

dada porf(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ E.

Observemos que f e contınua em M (pois suas componentes sao contınuas em M) e bijetora(sera deixado como exercıcio para o leitor a verificacao deste fato).

Logo existe a funcao inversa f−1 : S1 → E.Afirmamos que f−1 nao e contınua em (1, 0) = f(0).De fato, consideremos as sequencias (Pn)n∈N e (Qn)n∈N sobre S1 de modo que Pn → (1, 0)

e esta contida no semi-plano superior y > 0 e Qn → (1, 0) e esta contida no semi-plano inferiory < 0.

6

-(1, 0) 6

?Pn

Qn

6

-f

2π

0

f−1(Pn)

?

6f−1(Qn)

¾

f−1


Assim f−1(Pn) → 0 e f−1(Qn) → 2π, mostrando que nao existe lim(x,y)→(1,0)

f−1(x, y).

Em particular f−1 nao e contınua em (1, 0).

Quando a funcao inversa for contınua temos a seguinte definicao

Definicao 3.3.1 Sejam (M, dM ) e N(, dN ) espacos metricos.Diremos que uma funcao f : M → N e um homemorfismo de M em N se a funcao f for

contınua, for bijetora (logo admite funcao inversa) e a funcao inversa for contınua em N .Neste caso diremos que o espaco metrico M e homeomorfo ao espaco metrico N e es-

creveremos M ∼ N .

A seguir temos a

Proposicao 3.3.1 Sejam (M, dM ), N(, dN ) espacos metricos e f : M → N uma isometria.Entao f e um homeomorfismo de M em N .

Demonstracao:Se a funcao f e uma isometria entao, como vimos na observacao (2.6.2) item 2., sua funcao

inversa tambem sera uma isometria, ou seja, f e sua funcao inversa, f−1, serao contınuas, logoa funcao f sera um homeomorfismo.

¤

Observacao 3.3.2

1. Temos que M ∼ M pois a aplicacao identidade i : M → M e sempre um homeomorfismode M em M (isto e, ∼ e reflexiva);

2. Observemos que se f : M → N e um homeomorfismo (de M em N) entao f−1 : N → Mtambem sera um homeomorfismo (de N em M).

Logo se M ∼ N entao N ∼ M (isto e, ∼ e simetrica);

3. Se (M, dM ), N(, dN ) e (P, dP ) sao espacos metricos e f : M → N , g : N → P saohomeomorfismos entao, da proposicao (3.2.1) segue que (g ◦ f) : M → P tambem sera umhomeomorfismo (de M em P ) (isto e, ∼ e transitiva).

Logo se M ∼ N e N ∼ P entao N ∼ P ;

4. Dos iten 1., 2. e 3. segue que ∼ e uma relacao de equivalencia no conjunto formado portodos os espacos metricos.

5. Diremos que uma certa propriedade P de um espaco metrico M e uma propriedadetopologica se todo espaco metrico homeomorfo a M tem a propriedade P, ou seja pro-priedades topologicas sao aquelas preservadas por homeomorfismos.

6. Diremos que uma certa propriedade Q de um espaco metrico M e uma propriedademetrica se todo espaco metrico isometrico a M tem a propriedade Q, ou seja, propriedadesmetricas sao aquelas preservadas por isometrias.


7. A proposicao (3.3.1) garante que toda propriedade topologica e uma propriedade metrica(pois se uma propriedade P e preservada por homeomorfismo entao tambem sera preservapor isometrias, pois toda isometria e um homeorofismo).

Mas, em geral, nao vale a recıproca, isto e, existem propriedades metricas que nao saopropriedades topologicas.

Ou seja, existem propriedades Q que sao preservada por isometrias e nao sao preservaspor homeomorfismos.

Veremos isto na observacao (3.3.3) item 4.

Temos os seguinte resultados:

Proposicao 3.3.2 Sejam (M, dM ) um espaco metrico e (N, dN ) um espaco metrico discreto ef : M → N um homeomorfismo de M e N .

Entao M e um espaco metrico discreto.

Demonstracao:Seja a ∈ M .Mostremos que a e um ponto isolado de M , isto e, existe δ > 0 tal que BM (a; δ) = {a}.Para isto, como N e discreto e f(a) ∈ N , existe ε > 0 tal que BN (f(a); ε) = {f(a)}.Como f e contınua, existe δ > 0 tal que f(BM (a; δ)) ⊆ BN (f(a); ε) = {f(a)}.Mas f e injetora, logo segue que BM (a; δ) so podera ter um unico ponto, caso contrario, se

existisse x 6= a tal que x ∈ B(a; δ) entao f(x) ∈ B(f(a); ε) = {f(a)}, ou seja, f(x) = f(a), oque e um absurdo, pois f e injetora.

Assim BM (a; δ) = {a}, ou seja, a e um ponto isolado de M , mostrando que M e discreto,como querıamos demonstrar.

¤

Observacao 3.3.3

1. Na verdade provamos um caso mais geral, a saber: se f : M → N e contınua, injetora epara algum a ∈ M temos f(a) um ponto isolado de N entao a sera um ponto isolado deM .

2. Em particular, a proposicao acima garante que ser discreto (ou nao ser discreto) e umapropriedade topologica (isto e, e preservada por homeomorfismos).

3. Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos discretos.

M e N sao homeomorfos se, e somente se, M e N tem a mesma cardinalidade. De fato,se M ∼ N entao, em particular, existe uma aplicacao bijetora de M em N , logo M e Ntem a mesma cardinalidade

Por outro lado, lembremos que toda aplicacao definida num espaco metrico discreto econtınua (ver observacao (3.1.8) item 2.).

Logo toda aplicacao bijetora entre espacos metricos discretos sera um homeomorfismo (poisela e sua inversa estao definidas em espacos metricos discretos, logo sao contınuas).

Em particular, se M e N sao discretos e tem a mesma cardinalidade, segue que existe umaaplicacao bijetora de M em N que, pelo que observamos acima, sera um homemorofismode M em N e portanto M ∼ N .


4. Afirmamos que ser limitado e uma propriedade metrica mas nao e uma propriedadetopologica, como mostra o seguinte exemplo:

Sejam N e P.= { 1

n: n ∈ N} ambos com a metrica induzida pela metrica usual de R.

Temos que N e P sao homeomorfos, pois eles tem a mesma cardinalidade (observemos que

f : N→ P dada por f(n) .=1n, n ∈ N e uma aplicacao bijetora de N em P ).

Observemos que N nao e limitado mas P e limitado.

Um outro resultado interessante e dado pela

Proposicao 3.3.3 Sejam (E, ‖.‖E) um espaco vetorial sobre R normado, ~a ∈ E e λ ∈ R, λ 6= 0.Entao a translacao

t~a : E → E

e a homotetiamλ : E → E

definidas port~a(~x) .= ~x + ~a, mλ(~x) .= λ.~x, ~x ∈ E,

sao homeomorfismos de E.

Demonstracao:De fato, da proposicao (3.2.3) segue que t~a e mλ sao contınuas em E.Alem disso, elas admitem funcoes inversas

t−1~a : E → E e m−1

λ : E → E

definidas por

t−1~a (y) .= ~y − ~a, m−1

λ (~y) .=1λ

.~x, ~y ∈ E.

A verificacao destes fatos serao deixadas como exercıcio para o leitor.Observemos que t−1

~a : E → E e m−1λ : E → E sao contınuas em E, logo sao homeomorfismos

de E.¤

Como consequecia temos o

Corolario 3.3.1 Sejam (E, ‖.‖E) um espaco vetorial sobre R normado, ~a,~b ∈ E e r, s > 0.Entao as bolas abertas B(~a; r) e B(~b; s) sao homeomorfas (munidas da metrica induzida de

E).

Demonstracao:Consideremos a aplicacao

ϕ : B(~a; r) → E

dada porϕ(~x) .= (t~b ◦m s

r◦ t−~a)(~x), ~x ∈ B(~a; r).

Veja figura abaixo:


~a

or

-t−~a

~0

]

r

-m s

r

~0

]

s

?

tb

~b

}s

s

ϕ = t~b ◦m sr◦ t−~a

Observemos que

ϕ(~a) = (t~b ◦m sr◦ t−~a)(~a) = (t~b ◦m s

r)(t−~a(~a)) = (t~b ◦m s

r)(~a− ~a) = (t~b ◦m s

r)(~0)

= t~b(m sr(~0)) = t~b(

s

r.0) = t~b(~0) = ~0 +~b = ~b.

Se ~x ∈ B(~a; r) e

dE(ϕ(~x), ϕ(~a)) = ‖ϕ(~x)− ϕ(~a)‖E = ‖(t~b ◦m sr◦ t−~a)(~x)−~b‖E = ‖(t~b ◦m s

r)(t−~a(~x))−~b‖E

= ‖(t~b ◦m sr)(~x− ~a)−~b‖E = ‖t~b(m s

r(~x− ~a))−~b‖E

= ‖t~b(s

r(~x− ~a))−~b‖E = ‖[s

r(~x− ~a) +~b]−~b‖ = ‖s

r(~x− ~a)‖ =

s

r‖~x− ~a‖

[~x∈B(~a;r)]<

s

r.r = s,

ou seja, ϕ(~x) ∈ B(ϕ(~a); s)[ϕ(~a)=~b]

= B(~b; s), mostrando que

ϕ : B(~a; r) → B(~b; s).

Da proposicao (3.3.3) segue que ϕ e um homeomorfismo (pois e uma composta de homeo-morfismos), mostrando que as bolas abertas B(~a; r) e B(~b; s) sao homeomorfas.


¤De modo semelhante pode-se mostrar o

Corolario 3.3.2 Sejam (E, ‖.‖E) um espaco vetorial sobre R normado, ~a,~b ∈ E e r, s > 0.Entao as bolas fechadas B[~a; r] e B[~b; s] sao homeomorfas (munidas da metrica induzida pela

norma de E).Alem disso, as esferas S(~a; r), S(~b; s) tambem sao homeomorfas.

Demonstracao:Sera deixada como exercıcio para o leitor.

¤

Observacao 3.3.4

1. Sabemos que o diametro de um conjunto e invariante metrico (isto e, e preservado porisometrias) mas nao e um invariante topologico (isto e, nao e preservado por homeomor-fismo) como afirmam os corolarios acima (no caso de espacos vetoriais normados).

2. Observemos que em um espaco metrico arbitrario duas bolas abertas (ou fechadas) podemnao ser homeomorfas, como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos (M, dM ) um espaco metrico que possua um ponto a que seja ponto isoladode M e um ponto b que nao seja ponto isolado de M .

Logo existe ε > 0 tal que B(a; ε) = {a}, portanto essa bola aberta nao sera homeomorfaa uma bola aberta de centro em b, pois, para todo s > 0 temos que B(b; s) e um conjuntoinfinito (pois b nao e ponto isolado de M ; na verdade, nao podera existir uma aplicacaobijetora de B(a; ε) = {a} no conjunto B(b; s))).

Portanto as bolas B(a; ε) e B(b; s) nao sao homeomorfas em M .

Temos a

Definicao 3.3.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos.Diremos que uma funcao f : M → N e uma imersao topologica se f : M → f(M) for

um homeomorfismo.

Observacao 3.3.5

1. Toda imersao isometrica f : M → N sera uma imersao topologica (pois se f e imersaoisometrica entao dN (f(x), f(y)) = dM (x, y) para todo x, y ∈ M , mostrando que f : M →f(M) e bijetora, contınua em M com funcao inversa, f−1 : f(M) → M , contınua emf(M)).

2. Nao vale a recıproca do item 1., ou seja, nem toda imersao topologica e uma imersaoisometrica, como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos R e R2 com as metricas usuais e f : R→ R2 dada por

f(t) .= (t, t2), t ∈ R.

Observemos que f e contınua em R, bijetora sobre f(R) e sua inversa sera

f−1 : f(R) → R


dada porf−1(t, t2) .= t, (t, t2) ∈ f(R)

que corresponde a restricao da projecao p1 : R2 → R (que e contınua) a f(R), logof : R→ f(R) e um homeomorfismo, mostrando que f : R→ R2 e uma imersao topologica.

Observemos que f : R → R2 nao e uma imersao isometrica, pois , se t, s ∈ R e t 6= stemos que

df(M)(f(t), f(s))

e o comprimento do arco de parabola que une os pontos (s, s2) e (t, t2) enquanto dR(t, s) eo comprimento do segmento de reta que une os pontos (s, 0) e (t, 0).

Logodf(M)(f(t), f(s)) > dM (s, t),

mostrando que f nao sera uma imersao isometrica (veja figura abaixo).

-

6

ts

f(t) = (t, t2)

f(s) = (s, s2)

M = R

N = f(R)

A seguir daremos dois exemplos geometricos de funcoes que nao sao imersoes topologicas.

Exemplo 3.3.4 Consideremos M.= (0, 1) munido da metrica induzida pela metrica ususal de

R, R2 com a metrica usual e f, g : (0, 1) → R2 dadas pelos seguintes configuracoes geometricas:

6

-f

0

1

tf(t)

6

0

1

-g

t g(t)


18.09.2008 - 11.aOutro resultado importante e dado pela

Proposicao 3.3.4 Seja (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado.Entao toda bola aberta e homeomorfa a E, isto e, se ~a ∈ E e r > 0 entao B(~a; r) ∼ E.

Demonstracao:Do corolario (3.3.1) basta mostrar que B(~0; 1) ∼ E, isto e, construiremos um homeomorfismo

f : E → B(~0; 1).Consideremos

f : E → E

dada por

f(~x) .=1

1 + ‖~x‖E~x, ~x ∈ E.

Observemos que

‖f(~x)‖E = ‖ 11 + ‖~x‖E

x‖E =1

1 + ‖~x‖E‖~x‖E < 1,

mostrando que f(E) ⊆ B(~0; 1), ou seja f : E → B(~0; 1).Alem disso f e uma funcao contınua (pois a aplicacao ~x → ‖~x‖E e contınua e como 1+‖~x‖E 6=

0, segue que a funcao f sera contınua em E).Definamos

g : B(0; 1) → E

por

g(~y) .=1

1− ‖~y‖E~y, ~y ∈ B(~0; 1).

Temos que a funcao g e contınua em B(0; 1) (pois a aplicacao ~y → ‖~y‖E e contınua e como1− ‖~y‖E 6= 0 para ~y ∈ B(0; 1), segue que a funcao g sera contınua em B(~0; 1)).

Alem disso se ~y ∈ B(~0; 1) temos que

f(g(~y)) = f(1

1− ‖~y‖E~y) =

11 + ‖ 1

1−‖~y‖E~y‖E

11− ‖~y‖E

~y

=1

1 + 11−‖~y‖E

‖~y‖E

11− ‖~y‖E

~y =1− ‖~y‖E

1− ‖~y‖E + ‖~y‖E

11− ‖~y‖E

~y = ~y.

De modo semelhante mostra-se que (sera deixado como exercıcio para o leitor)

g(f(~x)) = ~x, ~x ∈ E,

ou seja g = f−1, mostrando que f : E → B(~0; 1) e um homeomorfismo de E em B(~0; 1), ou sejaB(~0; 1) ∼ E, como querıamos demonstrar.

Portanto B(~a; r) ∼ E.¤

Observacao 3.3.6


1. Do exemplo acima segue que o intervalo (a, b) ⊆ R e homeomorfo a R (munidos da metricainduzida da metrica usual de R e da metrica usual de R, respectivamente), pois

(a, b) = B(a + b

2;b− a

2)

(veja figura abaixo).

a ba+b2

-¾-¾b−a2 b−a

2

2. Na situacao acima, temos que o intervalo (a,∞) e homeomorfo a R.

Para mostrar isto basta considerar a funcao

f : R→ (a,∞)

dada por

f(x) .= a + ex, x ∈ R.

-

6

x

f(x) = a + ex

y = a

Com isto pode-se mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que f e contınua emR e se definirmos

h : (a,∞) → R

por

h(y) .= ln(y − a), y ∈ (a,∞)

teremos que h sera contınua em (a,∞).


-

6

y

h(y) = ln(y − a)

Alem disso, pode-se verificar, que

f(h(y)) = y, y ∈ (a,∞) e g(f(x)) = x, x ∈ R,

mostrando que h = f−1, isto e, f e um homeormorfismo de (a,∞) em R, mostrando que(a,∞) ∼ R.

3. De modo semelhante ao que fizemos no item 2. pode-se mostrar (sera deixado como exer-cıcio para o leitor) que (−∞, b) ∼ R.

Um outro exemplo importante e

Exemplo 3.3.5 Sejam

Sn .= {x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1}

a esfera n-dimensional unitario de centro na origem munida da metrica induzida pela metricausual de Rn+1 e p

.= (0, · · · , 0, 1) ∈ Rn+1 (o polo norte da esfera Sn).Mostraremos que Sn \ {p} e homeomorfa a Rn.Para isto exibiremos uma aplicacao

Π : Sn \ {p} → Rn

que e um homeomorfismo.A aplicacao Π e definida da seguinte forma:Dado x ∈ Sn \ {p} consideremos a semi-reta

→px que liga os pontos p e x (que esta bem

definida pois x 6= p).Definimos π(x) como sendo o ponto de interseccao da semi-reta

→px como o hıper-plano

xn+1 = 0


R0

p = (0, 1)

x

π(x)

y

π(y)

semi-reta→px

semi-reta→py

6

¾

S1 \ {p}

w

A seguir obteremos uma expressao para π(x), x ∈ S1 \ {p}.Observemos se x ∈ S1 \ {p}, que os pontos da semi-reta

→px sao da forma

p + t.(x− p), t > 0,

logoπ(x) = p + t.(x− p), para algum t > 0.

Mas π(x) devera pertencer ao hıper-plano xn+1 = 0.Como a ultima coordenada e da forma

1 + t(xn+1 − 1),

(pois a ultima coordenada do ponto p e 1) deveremos ter

1 + t(xn+1 − 1) = 0

.Logo para que π(x) pertenca ao hıper-plano xn+1 = 0 deveremos ter

t =1

1− xn+1.

Escreveremosx = (x1, · · · , xn, xn+1) = (x′, xn+1),

onde x′ = (x1, · · · , xn) e xn+1 ∈ R.Deste modo teremos que

p + t(x− p) = p +1

1− xn+1(x− p) = (0, · · · , 0, 1) +

11− xn+1

[(x1, x2, · · · , xn, xn+1)− (0, · · · , 0, 1)]

= (0, · · · , 0, 1) +1

1− xn+1(x1, x2, · · · , xn, xn+1 − 1) = (0, · · · , 0, 1) + (

11− xn+1

x′,−1)

= (1

1− xn+1x′, 0),

Observemos que {(x1, · · · , xn, 0) : xi ∈ R, i = 1 · · · , n} e homeomorfo a Rn.


Para ver isto basta considerar

φ : {(x′, 0) : x′ ∈ Rn} ⊆ Rn+1 → Rn

dada porφ(x′, 0) .= x′ ∈ Rn

e mostrar que esta e um homeomorfismo (sera deixado como exercıcio para o leitor).Assim definimos Π : S1 \ {p} → Rn por

Π(x) = (φ ◦ π)(x), x ∈ S1 \ {p},

ou seja,

Π(x) =1

1− xn+1x′, x ∈ S1 \ {p},

onde x = (x′, xn+1).Como xn+1 6= 1 segue que Π : S1 \ {p} → Rn e uma funcao contınua em S1 \ {p}.Consideremos a aplicacao ϕ : Rn → Rn+1 dada por

ϕ(y) .= x, y ∈ Rn,

onde x = (x′, xn+1) com

x′ .=2

‖y‖2Rn + 1

y e xn+1.=‖y‖2

Rn − 1‖y‖2

Rn + 1,

isto e

ϕ(y) .= (2

‖y‖2Rn + 1

y,‖y‖2

Rn − 1‖y‖2

Rn + 1) ∈ Rn+1, y ∈ Rn.

Observemos que

‖ϕ(y)‖2Rn+1 = ‖ 2

‖y‖2Rn + 1

y‖2Rn + |‖y‖

2Rn − 1

‖y‖2Rn + 1

|2 =4

(‖y‖2Rn + 1)2

‖y‖2Rn +

(‖y‖2Rn − 1)2

(‖y‖2Rn + 1)2

=4‖y‖2

Rn + (‖y‖2Rn − 1)2

(‖y‖2Rn + 1)2

=4‖y‖2

Rn + (‖y‖4Rn − 2‖y‖2

Rn + 1(‖y‖2

Rn + 1)2=‖y‖4

Rn + 2‖y‖2Rn + 1)

(‖y‖2Rn + 1)2

=(‖y‖2

Rn + 1)2

(‖y‖2Rn + 1)2

= 1,

ou seja, ϕ(y) ∈ Sn.Alem disso, se ϕ(y) = (0, · · · , 0, 1) = p ∈ Rn+1 deverıamos ter

2‖y‖2

Rn + 1y = (0, · · · , 0) ∈ Rn

‖y‖2 − 1‖y‖2

Rn + 1= 1

e das n-primeiras equacoes teremos y = (0, · · · , 0) ∈ Rn e este nao satisfaz a ultima equacao (olado esquerda da −1), ou seja p 6∈ ϕ(Rn).

Conslusao: ϕ : Rn → Sn \ {p}.


Observemos que ϕ e contınua em Rn e alem disso se x ∈ Sn \ {p} temos que

1 = ‖x‖2Rn+1 = ‖x′‖2

Rn + (xn+1)2 e xn+1 6= 1.

Assim‖x′‖2

Rn = 1− (xn+1)2,

logo

ϕ(Π(x)) = (2

‖Π(x)‖2Rn + 1

Π(x),‖Π(x)‖2

Rn − 1‖Π(x)‖2

Rn + 1) = (

2‖ 1

1−xn+1x′‖2

Rn + 1[

11− xn+1

x′],‖ 1

1−xn+1x′‖2

Rn − 1

‖ 11−xn+1

x′‖2Rn + 1

)

= (2

1(1−xn+1)2

‖x′‖2Rn + 1

[1

1− xn+1x′],

1(1−xn+1)2

‖x′‖2Rn − 1

1(1−xn+1)2

| ‖x′‖2Rn + 1

)

= (2(1− xn+1)2

[‖x′‖2Rn + (1− xn+1)2].(1− xn+1)

x′,‖x′‖2

Rn − (1− xn+1)2

‖x′‖2Rn + (1− xn+1)2

)

= (2(1− xn+1)2

[(1− (xn+1)2) + (1− xn+1)2].(1− xn+1)x′,

(1− (xn+1)2)− (1− xn+1)2

(1− (xn+1)2) + (1− xn+1)2)

= (2(1− xn+1)

[‖x′‖2Rn + (1− xn+1)2]

x′,‖x′‖2

Rn − (1− xn+1)2

‖x′‖2Rn + (1− xn+1)2

)

= (2(1− xn+1)

[(1− (xn+1)2) + (1− xn+1)2].x′,

(1− (xn+1)2)− (1− xn+1)2

(1− (xn+1)2) + (1− xn+1)2)

= (2(1− xn+1)

[1− (xn+1)2 + 1− 2xn+1 + (xn+1)2]x′,

1− (xn+1)2 − [1− 2xn+1 + (xn+1)2]1− (xn+1)2 + [1− 2xn+1 + (xn+1)2]

)

= (2(1− xn+1)(2− 2xn+1)

x′,2xn+1 − 2(xn+1)2

2− 2xn+1) = (x′,

2(1− xn+1)xn+1

2(1− xn+1)) = (x′, xn+1) = x.

Por outro lado, se y ∈ Rn, denotando por

ϕ(y) = ([ϕ(y)]′, [ϕ(y)]n+1) ∈ Rn × R

temos

Π(ϕ(y)) =1

1− [ϕ(y)]n+1[ϕ(y)]′ =

1

1− [‖y‖2Rn−1

‖y‖2Rn+1]

{(

2‖y‖2

Rn + 1y,‖y‖2

Rn − 1‖y‖2

Rn + 1)}′

=1

1− [‖y‖2Rn−1

‖y‖2Rn+1]

2‖y‖2

Rn + 1y =

‖y‖2Rn + 1

(‖y‖2Rn + 1)− (‖y‖2

Rn − 1)2

‖y‖2Rn + 1

y

=2(‖y‖2

Rn + 1)2(‖y‖2

Rn + 1)y = y.

PortantoΠ(ϕ(x)) = x, x ∈ Sn \ {p} e ϕ(Π(y)) = y, y ∈ Rn,

mostrando que ϕ e a funcao inversa de Π e como isto podemos concluir que

Π : Sn \ {p} → Rn

e um homeormorfismo e assim Sn \ {p} ∼ Rn, como querıamos mostrar.



Definicao 3.3.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N .Definimos o grafico da funcao f , indicado por G(f), como sendo o seguinte subconjunto

de M ×N :G(f) .= {(x, f(x)) : x ∈ M}.

Com isto temos a

Proposicao 3.3.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N contınua em M .Entao G(f) (munido de uma das tres metrica do produto M ×N) e homeomorfo a M .

Demonstracao:Consideremos a seguinte aplicacao

f : M → M ×N

dada porf(x) .= (x, f(x)), x ∈ M.

Observemos que f e uma aplicacao contınua em M (pois suas funcoes coordenadas saocontınuas em M) e e injetora (pois se x1 6= x2 entao (x1, f(x1)) 6= (x2, f(x2))) e portantobijetora sobre a sua imagem G(f).

Observemos que p1 : G(f) → M dada por

p1(x, f(x)) .= x, (x, f(x)) ∈ G(f)

(a restricao a G(f) da projecao no primeiro fator) e contınua em G(f) e

f(p1(x, f(x))) = f(x) = (x, f(x)), (x, f(x)) ∈ G(f) e p1(f(x)) = p1(x, f(x)) = x x ∈ M,

mostrando que p1 e a funcao inversa associada a f .Logo f : M → f(M) e um homeomorfismo, mostrando que M ∼ G(f), como querıamos

demonstrar.¤

Exemplo 3.3.6 Como exemplos da situacao acima temos os:

1. R \ {0} e homeomorfo a hiperbole H.= {(x, y) ∈ R2 : x.y = 1}.

De fato, segue da proposicao acima que isto e verdade pois H e grafico da funcao

f : R \ {0} → R

dada por

f(x) .=1x

, x ∈ R \ {0}

que e contınua em R \ {0} (veja figura abaixo).


-

6

x

y

f(x) = 1x

(x, 1x

)

x

2. De modo analogo, o hemisferio norte da esfera unitaria centrada na origem de Rn, quesera indicada por

Sn+

.= {y = (y1, · · · , yn, yn+1) ∈ Sn : yn+1 > 0}

e homeomorfa a bola aberta unitaria centrada na origem em Rn, isto e,

Sn+ ∼ B(~0; 1) ⊆ Rn.

De fato, pois Sn+ = G(f) onde

f : B(~0; 1) → R

e dada por

f(x) .=√

1− ‖x‖2, x ∈ B(~0; 1)

e f e contınua em Sn+ (pois e composta de funcoes contınuas; veja figura abaixo).

Observemos que y = (y1, · · · , yn, yn+1) ∈ Sn+ se, e somente se,

1 = ‖y‖2 = y21 + · · ·+ y2

n + y2n+1 e yn+1 > 0

que e equivalente a

yn+1 =√

1− y21 + · · ·+ y2

n.

Logo, se x.= (y1, · · · , yn) ∈ Rn a condicao acima sera equivalente a

‖x‖ < 1 e yn+1 =√

1− ‖x‖2,

ou, seja,

y = (y1, · · · , yn, yn+1) ∈ Sn+ ⇐⇒ y = (x,

√1− ‖x‖2), x

.= (y1, · · · , yn) ∈ Rn.

3.4. METRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPACO METRICO 87

Rn

¼

Sn+

91

O

x

f(x)

(x, f(x))

3.4 Metricas equivalentes em um espaco metrico

Iniciaremos com a

Definicao 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas metricas em M .Diremos que a metrica d1 e mais fina que a metrica d2, escrevendo d1 Â d2 se a

aplicacaoi12 : (M, d1) → (M,d2)

dada pori12(x) .= x, x ∈ M

for contınua em M .

Observacao 3.4.1 Da definicao acima segue que a metrica d1 e mais fina que a metrica d2 se,e somente se, para cada a ∈ M , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que

Bd1(a; δ) = (i12)−1(Bd1(a; δ)) ⊆ Bd2(a; ε),

ou seja, toda bola aberta segundo a metrica d2 contem uma bola aberta segunda a metrica d1.

a

Áε

Y δ

¾ Bd2 (a; ε)

3

Bd1 (a; δ)

Com isto temos a

Proposicao 3.4.1 Seja (M, d1) um espaco metrico discreto (isto e, d1 e a metrica discreta) ed2 uma outra metrica qualquer em M .

Entao d1 Â d2.Alem disso, se d e uma metrica em M tal que d Â d1 entao d e uma metrica discreta.


Demonstracao:Lembremos que na metrica discreta todo ponto de (M,d1) e isolado.Logo se a ∈ M existe δ > 0 tal que Bd1(a; δ) = {a}.Logo dado ε > 0 temos que

Bd1(a; δ) = {a} ⊆ Bd2(a; ε),

mostrando que d1 Â d2.Se d e uma metrica em M tal que d Â d1 entao para todo a ∈ M , como d1 e a metrica

discreta existe ε > 0 tal que Bd1(a; ε) = {a}.Mas d Â d1, logo existe δ > 0 tal que

Bd(a; δ) ⊆ Bd1(a; ε) = {a},

ou seja, Bd(a; δ) = {a}, mostrando que a metrica d e discreta.¤

Outro resultado interessante e dado pela

Proposicao 3.4.2 Sejam d1 e d2 duas metricas em M satisfazendo a seguinte relacao: existec > 0 tal que

d2(x, y) ≤ c d1(x, y), x, y ∈ M.

Entao d1 Â d2.

Demonstracao:A desigualdade acima implica que a aplicacao

i12 : (M, d1) → (M,d2)

e lischitziana em M , em particular contınua em M , mostrando assim que d1 Â d2.¤

Observacao 3.4.2 Podemos provar o resultado acima diretamente, ou seja, para cada a ∈ M ,dado ε > 0 seja δ

.=ε

c> 0.

Logo se a ∈ M temos que se x ∈ Bd1(a; δ) segue que

d2(x, a) ≤ c d1(x, a) < c δ = cε

c= ε,

ou seja, x ∈ Bd2(a; ε), mostrando que

Bd1(a; δ) ⊆ Bd2(a; ε),

isto e, d1 Â d2.

Como caso partitular temos o

Exemplo 3.4.1 Seja E.= C0([a, b]) o espaco vetorial sobre R formado pelas funcoes reais

contınuas e limitadas em [a, b] (veremos mais a frente que isto implicara que f devera serlimitada).

Sabemos que se f ∈ C0([a, b]) entao

‖f‖ .= sup{|f(x)|; x ∈ [a, b]}


e uma norma em E = C0([a, b]) e portanto definira uma metrica, dsup, em E = C0([a, b]).De modo semelhante temos que

‖f‖1.=

∫ b

a|f(x)| dx, f ∈ C0([a, b])

tambem e uma norma em E = C0([a, b]) e portanto definira uma metrica, d1, em E = C0([a, b])(veja observacao (3.2.5) item 2.).

Observemos que se f, g ∈ C0([a, b]) temos

d1(f, g) =∫ b

a|f(x)− g(x)| dx ≤

∫ b

asup

y∈[a,b]|f(y)− g(y)| dx

= supy∈[a,b]

|f(y)− g(y)|∫ b

adx = ‖f − g‖sup(b− a)

= (b− a)dsup(f, g).

Logo da proposicao acima segue que dsup e mais fina que d1 (ou seja, dsup Â d1).

Observacao 3.4.3

1. o exemplos acima nos diz que, em C0([a, b]), a metrica da convergencia uniforme e maisfina que a metrica da integral.

2. Nao vale a recıprova, isto e, a metrica da integral nao e mais fina que a metrica daconvergencia uniforme (ou seja, d1 6Â dsup), como mostra o exemplo abaixo.

Dado ε > 0 seja δ > 0 qualquer.

Escolhamos 0 < c <δ

2εe definamos g : [a, b] → R como na figura abaixo

-

6

a ba + c

+

Grafico de g

2ε

a + c2

Observemos que

∫ b

a|g(x)| dx =

∫ a+c

a|g(x)| dx

[area deum triangulo de base [a, a + c] e altura 2ε]=

c.2ε

2= c.ε <

δ

2.


Logo se f ∈ C0([a, b]) temos que

f + g ∈ Bd1(f ; δ),

pois d1(f + g, f) = ‖(f + g)− f‖1 =∫ ba |g(x)| dx < δ

2 < δ.Mas, como

g(a +c

2) = 2ε

segue que‖g‖sup ≥ 2ε > ε,

ou seja,f + g 6∈ Bdsup(f ; ε),

pois dsup(f + g, f) = ‖(f + g)− f‖sup = ‖g‖sup = supa≤x≤b

|g(x)| ≥ 2ε > ε.

Logo nenhuma bola aberta Bdsup(f ; ε) contera uma bola aberta Bd1(f ; δ) para todo δ > 0, ouseja d1 6Â dsup, como afirmamos.

23.09.2008 - 12.aTemos a

Proposicao 3.4.3 Sejam M1.= (M, d1) e M2

.= (M,d2) espacos metricos.As afirmacoes sao equivalentes;

1. d1 Â d2 (isto e, a aplicacao i12 : M1 → M2 e contınua em M1);

2. Para todo espaco metrico (N, dN ) se uma funcao f : M2 → N e contınua em M2 entaof : M1 → N e contınua em M1 (ou seja, toda aplicacao contınua segundo a metrica d2

sera contınua segundo a metrica d1);

3. Consideremos em R a metrica usual. Se uma funcao f : M2 → R e contınua em M2 entaof : M1 → R e contınua em M1 (ou seja, toda aplicacao real contınua segundo a metricad2 sera contınua segundo a metrica d1);

4. Para todo a ∈ M a funcao

d2a : M1 → R dada por d2a.= d2(a, x), x ∈ M,

e contınua em M1;

5. Toda bola aberta, segundo a metrica d2, contem uma bola aberta segundo d1, de mesmocentro que a primeira;

6. A funcao d2 : M1 ×M1 → R e contınua em M1 ×M1 onde neste consideramos uma dastres metricas do produto cartesiano (a saber, da raiz quadrada, da soma ou do maximo).

Demonstracao:Mostraremos a seguinte sequencia de implicacoes:


-1. 2.

?3.¾4.

?

6

5.

6.

j

+6

Mostremos que (1. ⇒ 2.):Indicaremos por

f1 .= f : M1 → N e f2 .= f : M2 → N.

Como i12 : M1 → M2 entao temos que

f1 = f2 ◦ i12. (∗)

O diagrama abaixo ilustra a situacao

-

R ª

M1M2

N

i12

f1f2

Se d1 Â d2 entao temos que a aplicacao i12 : M1 → M2 e contınua em M1.Como f2 e contınua em M2 segue que (*) que f1 sera contınua em M1, mostrando que 2. e

verdadeira.Mostremos que (2. ⇒ 3.):Segue como caso particular de 2. (basta tomar N

.= R), com isto obtemos que 3. e verdadeira.Mostremos que (3. ⇒ 4.):Sabemos que a aplicacao

d2a : M2 → R dada por d2a(x) .= d2(a, x), x ∈ M

e contınua em M2.Logo do item 3. segue a aplicacao d2a : M1 → R tambem sera contınua em M1, mostrando

que 4. e verdadeira.Mostremos que (4. ⇒ 1.):Por hipotese, sabemos que a aplicacao

d2a : M1 → R dada por d2a(x) .= d2(a, x), x ∈ M

e contınua em M1.Mostremos que a aplicacao i12 : M1 → M2 e contınua em M1.Para isto precisamos mostrar que i12 : M1 → M2 e contınua em b ∈ M , b arbitrario.


Como a aplicacao d2a : M1 → R e contınua em a ∈ M , dado ε > 0 temos que existe δ > 0tal que se d1(x, a) < δ entao

|d2a(x)− d2a(a)| < ε, isto e, ε > |d2(x, a)− d2(a, a)| = d2(x, a).

Portanto

Bd1(a; δ) ⊆ Bd2(a; ε).

Logo se d1(x, a) < δ, isto e, se x ∈ Bd1(a; δ), segue que x ∈ Bd2(a; ε), ou seja,

ε > d2(x, a) = d2(i12(x), i12(a)),

ou aindad2(i12(x), i12(a)) < ε.

Logo i12 : M1 → M2 e contınua em a ∈ M .Assim que d1 Â d2, mostrando que (4. ⇒ 1.).Mostremos que (4. ⇔ 5.):Sabemos que a aplicacao

d2a : M1 → R dada por d2a(a, x), x ∈ M1

e contınua em M1.Logo dada a bola aberta Bd2(a; ε), da contınuidade da aplicacao acima no ponto a, segue

que existe δ > 0 tal que se d1(x, a) < δ (ou seja, se x ∈ Bd1(a; δ)) entao

ε > |d2a(x)− d2a(a)| = |d2(x, a)− d2(a, a)| = d2(x, a),

(ou seja, x ∈ Bd2(a; ε)).Portanto, se

x ∈ Bd1(a; δ) entao x ∈ Bd2(a; ε).

LogoBd1(a; δ) ⊆ Bd2(a; ε),

mostrando que (4. ⇒ 5.).Por outro lado, se toda bola aberta segundo d2 contem uma bola aberta de mesmo centro

segundo d1 entao dados a ∈ M e ε > 0 segue que existe δ > 0 tal que

Bd1(a; δ) ⊆ Bd2(a; ε).

Logo se d1(x, a) < δ (ou seja, x ∈ Bd1(a; δ)) teremos que x ∈ Bd2(a; ε) (*), isto e,

|d2a(x)− d2a(a)| = |d2(x, a)− d2(a, a)| = d2(x, a)(∗)< ε,

mostrando que a aplicacao d2a : M1 → R e contınua em M1, ou seja, que (5. ⇒ 4.).Mostremos que (6. ⇒ 4.):Se a aplicacao d2 : M1 ×M1 → R e contınua em M1 ×M1 entao a sua restricao ao conjunto

{a} ×M1 tambem sera, isto e,

d2|{a}×M1: {a} ×M1 → R


sera contınua em {a} ×M1.Observemos que d2a = d2|{a}×M1

, portanto d2a sera contınua em M1, mostrando que (6. ⇒4.).

Mostremos que (1. ⇒ 6.):Se d1 Â d2 entao a aplicacao i12 : M1 → M2 sera contınua em M1.Logo do corolario (3.2.2) segue que a aplicacao identidade

id : M1 ×M1 → M2 ×M2

tambem sera contınua em M1 ×M1 (pois id = (i12, i12) e i12 e contınua em M1).Portanto a metrica em M1 ×M1 e mais fina que a metrica em M2 ×M2.Sabemos que d2 : M2 ×M2 → R e contınua em M2 ×M2 logo, como (1. ⇒ 3.), segue que

d2 : M1 ×M1 → R tambem sera contınua em M1 ×M1, mostrando que (1. ⇒ 6.).¤

Um outro resultado util e dado pela

Proposicao 3.4.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e uma aplicacao f : M → Ninjetiva. Entao

f e contınua em M se, e somente se, a metrica dM Â d1, onde d1 e a metrica induzida emM pela aplicacao f .

Demonstracao:Podemos supor, sem perda de generalidade que f e sobrejetora, isto e, N = f(M) (pois caso

contrario trocamos N por f(M) munido da metrica induzida por N).Indicaremos por M1

.= (M, d1), onde d1 : M ×M → R e dada por

d1(x, y) .= dN (f(x), f(y)), x, y ∈ M

ef1 : M1 → N dada por f1(x) .= f(x), x ∈ M

(que sera uma isometria) e por

iM1 : (M, dM ) → (M, d1)

a aplicacao identidade.Com isto temos o seguinte diagrama

-

?

3(M, dM ) (N, dN )

(M, d1)

iM1

f

f1 e isometria

Temos que f1 e uma isometria, pois a metrica d1 e a metrica induzida por f em M .Como f1 e bijetora segue que sera um homeomorfismo de M1 em N .Como

f = f1 ◦ iM1


segue que f e contınua em M se, e somente se, iM1 e contınua em M , ou seja, dM Â d1,completando a demostracao da proposicao.

¤Temos a seguinte definicao

Definicao 3.4.2 Sejam d1 e d2 metricas em M .Diremos que as metricas d1 e d2 sao equivalentes, denotando por d1 ∼ d2, se a aplicacao

i12 : (M, d1) → (M, d2) for um homeomorfismo.

Observacao 3.4.4

1. As metricas d1 e d2 em M sao equivalentes se, e somente se, d1 Â d2 e d2 Â d1.

2. A relacao ∼ no conjunto formado por todas as metricas definidas em M e uma relacao deequivalencia, isto e, satisafaz as seguintes condicoes:

(a) para toda metrica d1 em M temos d1 ∼ d1 (reflexiva);

(b) se d1 e d2 sao metricas em M satisfazem d1 ∼ d2 entao d2 ∼ d1 (simetrica);

(c) se d1, d2 e d3 sao metricas em M satisfazem d1 ∼ d2 e d2 ∼ d3 entao d1 ∼ d3

(transitiva).

A demonstracao deste fatos sera deixada como exercıcio para o leitor.

3. Segue da proposicao (3.4.3) que duas metricas em M sao equivalentes se, e somente se,toda bola aberta segundo uma das metricas contenha uma bola aberta, de mesmo centro,segundo a outra metrica.

4. Observemos que duas metricas discretas em M sao sempre equivalentes, pois toda bolaaberta segundo uma sera uma bola aberta segunda a outra.

Alem disso, vale observar que se d1 ∼ d2 e d1 e uma metrica discreta em M entao, daproposicao (3.4.1) segue que d2 tambem sera uma metrica discreta em M .

5. A proposicao (3.4.3) nos garante que se d1 ∼ d2 em M entao uma aplicacao

f : (M, d1) → (N, dN )

sera contınua em (M,d1) se, e somente se,

f : (M, d2) → (N, dN )

sera contınua em (M,d2).

Conclusao: se trocarmos a metrica de uma espaco metrica por uma outra equivalente amesma, estudar a continuiade de uma funcao segundo a primeira metrica e equivalente aestudar a continuidade da funcao segundo a outra metrica.

A seguir consideraremos alguns exemplos importantes.

Exemplo 3.4.2 Consideremos [0, 2π) e S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 = 1} munidos das metricas,d[0,2π), dS1, induzidas pelas metricas usuais de R e R2, respectivamente e

f : [0, 2π) → S1


dada porf(t) .= (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π).

Vimos que a aplicacao f e contınua e bijetora em [0, 2π).Logo, da proposicao acima, segue que a metrica d[0,2π) e mais fina que a metrica induzida

pela aplicacao f , isto e, que a metrica

d1(x, y) .= dS1(f(x), f(y)) = dS1((cos(x), sen(x)), (cos(y), sen(y)))

=√

[cos(x)− cos(y)]2 + [sen(x)− sen(y)]2, x, y ∈ [0, 2π).

Exemplo 3.4.3 As metricas d, d′ e d′′ em Rn sao equivalentes.De fato, da proposicao (2.1.1) segue que para todo x, y,∈ Rn temos

d′′(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ nd′′(x, y). (∗)Logo a proposicao (3.4.2) implicara que as metricas d, d′ e d′′ sao equivalentes em Rn.

Observacao 3.4.5No exemplo acima se n = 2 temos garantido que toda bola aberta, segundo a metrica d

(neste caso as bolas sao os interiores dos discos), contem uma bola aberta, segundo a metricad′ (neste caso as bolas sao os interiores dos quadrados cujas diagonais sao paralelas aos eixoscoordenados) que, por sua vez, contem uma bola aberta, segundo a metrica d′′ (neste caso asbolas sao os interiores dos quadrados cujos lados sao paralelas aos eixos coordenados) que, porfim, contem uma bola aberta, segundo a metrica d (neste caso as bolas sao os interiores dosdiscos).

Geometricamente temos a seguinte configuracao:

Bd(a; r)

?

¾ Bd′ (a, r′)

?

Bd′′ (a; r′′)

i

Bd(a; s)

a

Em particular, para estudar a continuidade de uma funcao f : Rn → R onde em Rn temos,por exemplo, a metrica d, podemos trocar a mesma pela metrica d′ ou d′′, e estudar a conti-nuidade da funcao dada com relacao a esta nova metrica que o resultado obtido sera o mesmoo obtido com a metrica d.

Como consequencia da proposicao (3.4.2) temos o

Corolario 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas metricas em M tais que existem α, β > 0 tais que

αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y), x, y ∈ M. (∗)Entao d1 ∼ d2.


Demonstracao:Denotemos por

αd1(x, y)(I)

≤ d2(x, y)(II)

≤ βd1(x, y), x, y ∈ M.

De (I) temos que

d1(x, y) ≤ 1α

d2(x, y), x, y ∈ M.

Logo, da proposicao (3.4.2), segue que d2 Â d1.Como

d2(x, y) ≤ βd1(x, y), x, y ∈ M,

da proposicao (3.4.2), segue que d1 Â d2, portanto d1 ∼ d2, como querıamos demonstrar.¤

Exemplo 3.4.4 Seja d uma metrica em M .Definamos em M :

d1, d2 : M ×M → R por d1(x, y) .=d(x, y)

1 + d(x, y), d2(x, y) .= min{1, d(x, y)}, x, y ∈ M.

Pode-se mostrar (sera como exercıcio para o leitor) que d1 e d2 sao metricas em M .Afirmamos que d1 ∼ d ∼ d2.De fato, observemos que

d1(x, y) ≤ d(x, y), e d2(x, y) ≤ d(x, y), x, y ∈ M,

logo d Â d1 e d Â d2.Por outro lado, dado ε > 0 sejam

δ1.=

ε

1 + ε> 0 e δ2

.= min{1, ε} > 0.

Se x ∈ Bd1(a; δ1) temos qued1(x, a) < δ1

assimd(x, a)

1 + d(x, a)<

ε

1 + ε⇐⇒ d(x, a)[1 + ε] < ε[1 + d(x, a)] ⇐⇒ d(x, a) < ε,

ou seja, dado ε > 0 existe δ1 > 0 tal que

Bd1(a; δ1) ⊆ Bd(a; ε),

mostrando que d1 Â d.De modo semelhante, se x ∈ Bd2(a; δ2) temos que

d2(x, a) < δ2 ≤ 1.

Logo d2(x, a) < 1 e assim

d(x, a) = d2(x, a) < min{1, ε} < ε

que implicara que d(x, a) < ε, ou seja, dado ε > 0 existe δ2 > 0 tal que

Bd2(a; δ2) ⊆ Bd(a; ε),

mostrando que d2 Â d.Com isto temos que d1 ∼ d ∼ d2, como querıamos mostrar.


Observacao 3.4.6

1. Observemos que as metricas d1 e d2 sao limitadas em M ×M pois

d1(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)

[d(x,y)≤1+d(x,y)]

≤ 1, x, y ∈ M

ed2(x, y) ≤ 1, x, y ∈ M.

Conclusao: toda metrica em M e equivalente a uma metrica limitada em M .

2. Observemos que se a metrica d e nao limitada em M entao nao existe β > 0 tal que

d(x, y) ≤ β dj(x, y), x, y ∈ M, j = 1, 2. (∗∗)

De fato, se existisse β > 0 com a propriedade (**) deverıamos ter, no caso j = 1:

d(x, y) ≤ βd(x, y)

1 + d(x, y)=⇒ d(x, y)[1 + d(x, y)] ≤ β d(x, y)

[x 6=y]=⇒ d(x, y) ≤ β − 1, x, y ∈ M,

ou seja, a metrica d deveria ser limitada, o que e um absurdo.

Para o caso j = 2, se existisse β > 0 com a propriedade (**) deverıamos ter:

d(x, y) ≤ β min{1, d(x, y)}︸︷︷︸≤1

=⇒ d(x, y) ≤ β, x, y ∈ M,

ou seja, a metrica d deveria ser limitada, o que e um absurdo.

Logo podemos concluir que a condicao (*) dada pelo corolario (3.4.1) e suficiente, masnao e necessaria, para que duas metricas sejam equivalentes em M .

3. A observacao (3.4.3) item 2. nos mostra que em C0([a, b]) as metricas

d(f, g) = supa≤x≤b

|f(x)− g(x)| e d1(f, g) =∫ b

a|f(x)− g(x)| dx,

onde f, g ∈ C0([a, b]), nao sao metricas equivalentes.

Temos a

Proposicao 3.4.5 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N bijecao. Entao:f e um homeomorfismo de M em N se, e somente se, a metrica dM e equivalente a metrica

dN em M , induzida pela aplicacao f .

Demonstracao:Definamos

f1 : (M, d1) → (N, dN ) dada por f1(x) .= f(x), x ∈ M.

Logo f1 e bijetora de M em N .Alem disso, temos que f1 e uma isometria de (M, d1) em (N, dN ), pois

d1(x, y) .= dN (f(x), f(y)), x, y ∈ M.


Logo um homeomorfismo de M em N .Assim sua funcao inversa

(f1)−1 : (N, dN ) → (M,d1)

sera contınua em N .Consideremos as aplicacoes identidades

i1M : (M, d1) → (M,dM ) e iM1 : (M, dM ) → (M, d1).

Entao teremosiM1 = (f1)−1 ◦ f i1M = f−1 ◦ f1.

(veja diagrama abaixo)

-

6 3(M, dM ) (N, dN )

(M, d1)

i1M

f

f1 e isometria

¾

+

f−1

f−11

?

iM1

Logo d1 Â dM (ou seja, a aplicacao i1M e contınua) se, e somente se, f−1 for contınua.Por outro lado, dM Â d1 (ou seja, a aplicacao iM1 e contınua) se, e somente se, f for contınua.Conclusao: d1 ∼ dM se, e somente se, f e um homeomorfismo.

¤

Observacao 3.4.7 Da proposicao acima segue que no exemplo (3.4.2) a metrica induzida em[0, 2π) pela metrica usual de R e a metrica induzida em [0, 2π) pela funcao contınua e bije-tora f : [0, 2π) → S1 nao sao equivalentes (pois, como vimos no exemplo (3.3.3), f nao ehomeomorfismo).

A seguir temos os

Exercıcio 3.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N . Entao:f e contınua em M se, e somente se, a metrica df : M ×M → R dada por

df (x, y) .= d(x, y) + dN (f(x), f(y)), x, y ∈ M

e equivalente a metrica dM .De fato, se f e contınua em M entao tomando-se a metrica

dM×N [(x, y), (x′, y′)] .= dM (x, x′) + dN (y, y′) (x, y), (x′, y′) ∈ M ×N,

da proposicao (3.3.5), temos que a aplicacao

f : M → G(f) ⊆ M ×N

dada porf(x) .= (x, f(x)), x ∈ M

e um homeomorfismo de M sobre o grafico de f , isto e, sobre G(f) ⊆ M ×N .


Observemos que a metrica df e a metrica induzida em M pelo homeomorfismo f , logo, pelaproposicao (3.4.5), ela sera equivalente a metrica dM .

Reciprocamente, como a aplicacao

f : (M, df ) → (M, d1)

e um contracao fraca segue que sera contınua segundo df .Como dM ∼ d1 segue que a aplicacao f sera contınua segundo dM , completando a demon-

stracao do resultado.

Como consequecia temos o

Exercıcio 3.4.2 Consideremos R com a metrica usual. Se f : (M, dM ) → R e contınua em Mentao a metrica

df (x, y) .= d(x, y) + dR(f(x), f(y)), x, y ∈ M

sera equivalente a metrica dM .Para ver isto basta tomar N = R com a metrica usual.


Proposicao 3.4.6 Sejam M1 = (M,d1), M2 = (M, d2), (N, dN ) espacos metricos e em R ametrica usual .

Sao equivalentes:

1. d1 ∼ d2;

2. f : M1 → N e contınua em M1 se, e somente se, f : M2 → N e contınua em M2;

3. f : M1 → R e contınua em M1 se, e somente se, f : M2 → R e contınua em M2;

4. Para todo a ∈ M as funcoes d1a : M2 → R e d2a : M1 → R dadas por

d1a(x) .= d1(a, x), d2a(x) .= d2(a, x), x ∈ M

sao contınuas no ponto a;

5. Toda bola aberta segundo a metrica d1 contem uma bola aberta, de mesmo centro, segundoa metrica d2 e toda bola aberta segundo a metrica d2 contem uma bola aberta, de mesmocentro, segundo a metrica d1;

6. As funcoes d1 : M2 × M2 → R e d1 : M1 × M1 → R sao contınuas em M2 × M2 eM1 ×M1, respectivamente (onde nos correspondentes produtos cartesianos consideramosuma das tres metricas canonicas).

Demonstracao:Consequencia da proposicao (3.4.3).

¤25.09.2008 - 13.a


3.5 Transformacoes lineares e multilineares definidas em espacosvetoriais normados

Comecaremos pela

Definicao 3.5.1 Sejam E, F espacos vetoriais sobre R.Diremos que uma aplicacao f : E → F e uma transformacao linear de E em F se ela

tem as seguintes propriedades:

f(~x + ~y) = f(~x) + f(~y), (3.1)f(λ~x) = λf(~x), (3.2)

onde ~x, ~y ∈ E, λ ∈ R.Se na situacao acima F = E (isto e, f : E → E) entao a aplicacao f sera dita operador

linear em E.Se na situacao acima F = R (isto e, f : E → R) entao a aplicacao f sera dita funcional

linear em E.

Observacao 3.5.1

1. Vale observar que a adicao do lado esquerdo de (3.1) e adicao em E e a adicao do ladodireito de (3.1) e adicao em F .

Alem disso, a multiplicacao por numero real do lado esquerdo de (3.1) e a multiplicacaopor numero real em E e a multiplicacao por numero real do lado direito de (3.1) e amultiplicacao por numero real em F .

2. Como consequencia de (3.1) e (3.2) temos que

f(λ1~x1 + λ2~x2 + · · ·+ λn~xn) = λ1f(~x1) + λ2f(~x2) + · · ·+ λnf(~xn),

onde ~x1, ~x2, · · · , ~xn ∈ E e λ1, λ2, · · · , λn ∈ R.

A demonstracao deste fato e vista no curso de Algebra Linear.

3. Nosso objetivo nesta secao e estudar a continuidade de transformacoes lineares entreespacos vetoriais normados.

Com isto temos o

Teorema 3.5.1 Sejam Rn com uma das tres normas usuais e (F, ‖.‖F ) espaco vetorial nor-mado.

Se f : Rn → F e uma transformacao linear entao f e contınua em Rn.

Demonstracao:Seja B .= {~e1, ~e2, · · · , ~en} a base canonica do Rn (ou seja, ~ek

.= (0, · · · , 0, 1︸︷︷︸k−esima posicao

, 0, · · · , 0)).

Logo se ~x ∈ Rn temos que

~x = x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xn~en,

para xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n.

3.5. TRANSFORMACOES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPACOS VETORIAIS NORMADOS101

Como f e uma trasformacao linear temos que

f(~x) = f(x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xn~en) = x1f(~e1) + x2f(~e2) + · · ·+ xnf(~en).

Portanto

‖f(~x)‖F = ‖x1f(~e1) + x2f(~e2) + · · ·+ xnf(~en)‖F

≤ ‖x1f(~e1)‖+ ‖x2f(~e2)‖+ · · ·+ ‖xnf(~en)‖F

= |x1|‖f(~e1)‖+ |x2|‖f(~e2)‖+ · · ·+ |xn|‖f(~en)‖F . (3.3)

Consideremosc

.= max{‖f(~e1)‖, ‖f(~e2)‖, · · · , ‖f(~en)‖F }.Logo segue de (3.3) que

‖f(~x)‖F ≤ c(|x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|).

Se considerarmos a norma em Rn da soma (isto e, ‖~x‖ = |x1| + |x2| + · · · + |xn|, onde~x = (x1, x2, · · · , xn)) entao segue da desigualdade acima que

‖f(~x)‖F ≤ c‖~x‖Rn , ~x ∈ Rn.

Logo se ~x, ~y ∈ Rn temos que

‖f(~x)− f(~y‖F = ‖f(~x− ~y)‖F ≤ c‖~x− ~y‖Rn ,

mostrando que a aplicacao f e lipschitiziana, em particular contınua em Rn.Como as metricas d, d ′ e d ′′ (que provem das tres normas usuais) sao equivalentes temos que

a transformacao linear f : Rn → F sera contınua em Rn com qualquer uma das tres metricasusuais.

¤

Observacao 3.5.2 O resultado acima nos diz que uma transformacao linear definida em espacovetorial normado de dimensao finita e tomando valores em outro espaco vetorial normado esempre contınua.

Isto segue do fato que todo espaco vetorial de dimensao finita e isomorfo a Rn para algumn ∈ N.

O mesmo nao e verdade se a dimensao do espaco vetorial do domınio nao for finita, comomostra o seguinte exemplo.

Exemplo 3.5.1 Seja E o conjunto formado por todos os polinomios reais de uma variavel realmunido dadas operacoes usuais de adicao de funcoes e multiplicacao de numero real por funcoes.

No curso de Algebra Linear mostra-se que E munido das operacoes acima e um espacovetorial sobre R (na verdade e um subespaco vetorial das funcoes reais contınuas de uma variavelreal).

Podemos definir em E a seguinte norma: se p ∈ E temos

‖p‖ .= sup0≤x≤1

|p(x)|.

A verificacao que de fato isto define uma norma em E sera deixada como exercıcio para oleitor.


Consideremos f : E → R dada por

f(p) .= p(2), p ∈ E.

Sera deixado para o leitor verificar que f e um funcional linear definido em E.Afirmamos que f nao e contınua em 0 ∈ E (o polinomio nulo).

De fato, se tomarmos ε =12

> 0, para cada n ∈ N consideramos o polinomio pn(x) .= (x

2)n,

x ∈ R.Obviamente que para todo n ∈ N temos que pn ∈ E e

‖pn − 0‖ = sup0≤x≤1

|pn(x)− 0(x)| = sup0≤x≤1

|pn(x)| [pn e crescente]= pn(1) = (

12)n =

12n

.

Logo pn → 0 em E, quando n →∞ mas

|f(pn)− f(0)| = |f(pn)| = pn(2) = (22)n = 1 >

12

= ε,

mostrando que f e um funcional linear que nao e contınuo em E.

Em geral temos o seguinte resultado importante:

Teorema 3.5.2 Sejam (E, ‖.‖E) e (F, ‖.‖F ) espacos vetoriais e f : E → F uma transformacaolinear.

Sao equivalentes:

1. f e contınua em E;

2. f e contınua em 0 ∈ E;

3. Existe c > 0 tal que‖f(~x)‖F ≤ c ‖~x‖E , ~x ∈ E; (∗)

4. Existe c > 0 tal que

‖f(~x)− f(~y)‖F ≤ c ‖~x− ~y‖E , ~x, ~y ∈ E. (∗∗)

Demonstracao:Mostraremos que o diagram abaixo ocorre:

-

?¾

61. 2.

3.4.

A implicacao (1. ⇒ 2.) e trivial;Mostremos que (2. ⇒ 3.):Como f e contınua em ~0 ∈ E e f(~0) = ~0 (pois f e uma transformacao linear) tomando-se

ε = 1 > 0 existira δ > 0 tal que

‖~x‖ = ‖~x−~0‖E < δ entao ‖f(~x)‖ = ‖f(~x)− f(~0)︸︷︷︸=0

‖F < ε = 1. (∗ ∗ ∗)


Seja c > 0 tal que 0 <1c

< δ.

Se ~x = ~0 entao teremos

‖f(~x)‖F = ‖~0‖ = 0 ≤ c.0 = c‖~0‖E = c‖~x‖E ,

mostrando que (*) ocorrera.

Se ~x 6= ~0 entao1

c‖~x‖E~x ∈ E e um vetor que satisfaz

‖ 1c‖~x‖E

~x‖E =1

c‖~x‖E‖~x‖E =

1c

< δ.

Logo, de (***), segue que

‖f(1

c‖~x‖E~x)‖F ≤ 1. (∗ ∗ ∗∗)

Mas f e uma trasformacao linear, logo

f(1

c‖~x‖E~x) =

1c‖~x‖E

f(~x),

assim (****) implicara em

1c‖~x‖E

‖f(~x)‖F = ‖ 1c‖~x‖E

f(~x)‖F ≤ 1,

ou ainda,‖f(~x)‖F ≤ c‖~x‖E ,

como querıamos mostrar.Mostremos que (3. ⇒ 4.):Observemos que se ~x, ~y ∈ E temos que

‖f(~x)− f(~y)‖F[f e linear]

= ‖f(~x− ~y)‖F

(∗)≤ c‖~x− ~y‖F ,

como querıamos mostrar.A implicacao (4. ⇒ 1.) e imediata (pois (**) garante que f e lischitiziana em E logo contınua

em E).¤

Como consequemcia temos o

Corolario 3.5.1 Sejam (E, ‖.‖E) e (F, ‖.‖F ) espacos vetoriais e f : E → F uma transformacaolinear bijetora.

f e um homeomorfismo de E em F se, e somente se, existem c, C > 0 tais que

c ‖~x‖E ≤ ‖f(~x)‖F ≤ C ‖~x‖E , ~x ∈ E.

Demonstracao:Lembremos que se f : E → F e uma transformacao linear bijetora entao sua funcao inversa

f−1 : F → E tambem sera uma transformacao linear (bijetora).


Da proposicao acima temos que a condicao:

‖f(~x)‖F ≤ C ‖~x‖E , ~x ∈ E

e equivalente a f ser contınua em E.Por outro lado se ~y ∈ F entao ~y = f(~x) para algum ~x ∈ E, entao ~x = f−1(~y), logo a

desigualdadec ‖~x‖E ≤ ‖f(~x)‖F , ~x ∈ E.

nos diz quec ‖f−1(~y)‖E ≤ ‖~y‖F , ~y ∈ F,

ou seja,

‖f−1(~y)‖E ≤ 1c‖~y‖F , ~y ∈ F,

que, pela proposicao acima, e equivalente a dizer que f−1 ser contınua em F , como querıamosmostrar.

¤A seguir exibiremos um exemplo de uma transformacao linear bijetora que nao e um homeo-

morfismo (isto e, sua transformacao linear inversa nao sera contınua).

Exemplo 3.5.2 Consideremos R∞ o conjunto formado por todas as sequencias de numerosreais, ~x = (xn)n∈N, tal, no maximo, um numero finito de coordenadas xn e nao nula, isto e,

~x ∈ R∞ ⇔ ~x = (xn)n∈N e xn 6= 0, somente para n ∈ {n1, n2, · · · , nm} ⊆ N.

Podemos mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que R∞ e um espaco veto-rial sobre R munido das operacoes de adicao de sequencias e multiplicacao de numero real porsequencias.

Consideremos em R∞ a seguinte norma (cuja verificacao sera deixada como exercıcio doleitor): se ~x ∈ R∞ temos que

‖~x‖E.=

√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n + · · · =√√√√

∞∑

j=1

|xj |2

que provem do produto interno: se ~x, ~y ∈ R∞ temos que

< ~x, ~y >E.= x1.y1 + x2.y2 + · · ·+ xn.yn + · · · =

∞∑

j=1

xj .yj .

Observemos que ambas as series acima reduzem-se a somas finitas (pois as sequencias saonulas, exceto para um numero finito de termos).

Definamosf : R∞ → R∞

por

f(~x) = f(x1, x2, · · · , xn, · · · ) .= (x1

1,x2

2, · · · ,

xn

n, · · · ), ~x = (x1, x2, · · · , xn, · · · ) ∈ R∞.


Observemos que f e um operador linear (sera deixado como exercıcio para o leitor) e

‖f(~x)‖2E =

∞∑

j=1

|f(xj)|2 =∞∑

j=1

|xj

j|2

[|xjj|≤|xj |]≤

∞∑

j=1

|xj |2 = ‖~x‖2E ,

se ~x ∈ R∞, ou seja,‖f(~x)‖E ≤ ‖~x‖E , ~x ∈ E.

Logo do teorema (3.5.2) segue que f e contınua em R∞.Observemos que a funcao f admite funcao inversa que e dada por

f−1(~y) = f−1(y1, y2, · · · , yn, · · · ) .= (y1, 2.y2, · · · , n.yn, · · · ), ~y = (y1, y2, · · · , yn, · · · ) ∈ R∞

cuja verificacao sera deixada como exercıcio para o letor (isto e, f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = idR∞).Mostremos que f−1 nao e contınua.Para isto, para cada n ∈ N temos que o vetor ~en

.= (0, · · · , 0, 1︸︷︷︸n−esima posicao

, 0, · · · ) que

pertence R∞ (pois so o termo da n-esima posicao e nao nulo, e igual a 1).Observemos que

‖~en‖2 =∞∑

j=1

|xj |2 [xj=0, n 6=j, xn=1]= 1 e ‖f−1(en)‖2 =

∞∑

j=1

|j.xj |2 [xj=0, n 6=j, xn=1]= n2.

Em particular,‖f−1(~en)‖ ≥ n‖~en‖.

Fazendo n →∞ segue, do teorema (3.5.2) item 3., que f−1 nao sera contınua.

Observacao 3.5.3 Sejam (E, ‖.‖E), (F, ‖.‖F ) espacos vetoriais sobre R normados.Consideremos

L(E; F ) .= {f : E → F ; f transformacao linear contınua de E em F}

que torna-se um espaco vetorial sobre R munido das operacoes de adicao de funcoes e multi-plicacao de numero real por funcao (a verificacao deste fato sera deixado como exercıcio para oleitor).

1. Vale observar que f ∈ L(E; F ) se, e somente se, f e limitada na bola fechada unitariacentrada na origem.

De fato, se f ∈ L(E; F ), isto e, f e uma transformacao linear contınua em E entao, doteorema (3.5.2) item 3., segue que existe c > 0 tal que

‖f(~x)‖F ≤ c.‖~x‖E , ~x ∈ E.

Logo se ~x ∈ B[~0; 1] temos que ‖~x‖E ≤ 1 logo segue que

‖f(~x)‖F ≤ c‖~x‖E ≤ c,

mostrando que f e limitada em B[~0; 1].


Reciprocamente, se f e limitada em B[~0; 1], existe c > 0 tal que

‖f(~x)‖F ≤ c, ~x ∈ B[~0; 1]. (∗)

Logo se ~x = ~0 temos que f(~0) = ~0 assim

‖f(~x)‖F = 0 ≤ c.0 = c.‖~x‖E .

Se ~x 6= ~0 temos que se ~y.=

~x

‖~x‖E∈ E entao ~y ∈ B[~0; 1].

Logo de (*) temos que

c ≥ ‖f(~y)‖F = ‖f(~x

‖~x‖E)‖F

[f e transformcao linear]= ‖ 1

‖~x‖Ef(~x)‖F =

1‖~x‖E

‖f(~x)‖F ,

ou seja,‖f(~x)‖F ≤ c‖~x‖E , ~x ∈ E,

logo, do teorema (3.5.2) item 3., segue que f sera contınua em E.

2. Vale observar que f ∈ L(E; F ) se, e somente se, f e limitada na esfera unitaria centradana origem.

De fato, se f ∈ L(E; F ), isto e, f e uma trasnformacao linear contınua em E entao, doteorema (3.5.2) item 3., segue que existe c > 0 tal que

‖f(~x)‖F ≤ c.‖~x‖E , ~x ∈ E.

Logo se ~y ∈ S[~0; 1] = {~y ∈ E : ‖~y‖E = 1} segue que

‖f(~y)‖F ≤ c,

mostrando que f e limitada em S[~0; 1].

Reciprocamente, se f e limitada em S[~0; 1], existe c > 0 tal que

‖f(~y)‖F ≤ c, ~y ∈ S[0; 1]. (∗∗)

Logo se ~x = ~0 temos que f(~0) = ~0 assim

‖f(~x)‖F = 0 ≤ c.0 = c.‖~0‖E = c.‖~x‖E .

Para ~x 6= ~0 temos que se ~y.=

~x

‖~x‖E∈ E entao ~y ∈ S[~0; 1].

Logo de (**) temos que

c ≥ ‖f(~y)‖F = ‖f(~x

‖~x‖E)‖F

[f e transformcao linear]= ‖ 1

‖~x‖Ef(~x)‖F =

1‖~x‖E

‖f(~x)‖F ,

ou seja,‖f(~x)‖F ≤ c‖~x‖E , ~x ∈ E,

logo, do teorema (3.5.2) item 3., segue que f sera contınua em E.


3. Podemos introduzir a seguinte norma em L(E;F ):

‖f‖ .= sup‖x‖E=1

‖f(x)‖F , f ∈ L(E; F ).

Sera deixado como exercıcio para o leitor a verificacao que ‖.‖ definida acima e uma normaem L(E;F ).

Temos a

Definicao 3.5.2 Sejam ‖.‖1 e ‖.‖2 normas definidas em E, um espaco vetorial sobre R.Diremos que a norma ‖.‖1 e mais fina que a norma ‖.‖2 se a aplicacao identidade

i12 : E1.= (E, ‖.‖1) → E2

.= (E, ‖.‖2)

e contınua em E1.Diremos que a norma ‖.‖1 e equivalente a norma ‖.‖2 se a aplicacao identidade

i12 : (E, ‖.‖1) → (E, ‖.‖2)

e um homeomorfismo entre E1 e E2.

Observacao 3.5.4 Suponhamos que a metrica em E1, que indicaremos por d1, e a provenienteda norma ‖.‖1 e metrica em E2, que indicaremos por d2, e a proveniente da norma ‖.‖2.

Entao temos que: a norma ‖.‖1 e mais fina que a norma ‖.‖2 se, e somente se, a metricad1 e mais fina que a metrica d2.

Com isto temos a:

Proposicao 3.5.1 Sejam ‖.‖1 e ‖.‖2 normas definidas em E, um espaco vetorial sobre R.As normas ‖.‖1, ‖.‖2 sao equivalentes se, e somente se, existem α, β > 0 tal que

α‖~x‖1 ≤ ‖~x‖2 ≤ β‖~x‖2, ~x ∈ E.

Demonstracao:A demonstracao e uma consequencia do corolario (3.4.1).

¤Temos a

Definicao 3.5.3 Sejam E1, E2, · · · , En, F espacos vetoriais sobre R.Diremos que uma aplicacao

f : E1 ×E2 × · · · × En → F

e n-linear se ela for linear em cada uma de suas n-variaveis, ou seja, para cada j = 1, 2, · · · , ntemos que

f(~x1, · · · , ~xj−1, ~xj+~yj , ~xj+1, · · · , ~xn) = f(~x1, · · · , ~xj−1, ~xj , ~xj+1, · · · , ~xn)+f(~x1, · · · , ~xj−1, ~yj , ~xj+1, · · · , ~xn)

ef(~x1, · · · , ~xj−1, λ~xj , ~xj+1, · · · , ~xn) = λ f(~x1, · · · , ~xj−1, ~xj , ~xj+1, · · · , ~xn),

onde (~x1, · · · , ~xj−1, ~xj , ~xj+1, · · · , ~xn), (~x1, · · · , ~xj−1, ~yj , ~xj+1, · · · , ~xn) ∈ E1 × · · · ×Ej × · · · ×En

e λ ∈ R,


Observacao 3.5.5

1. Sejam E1, E2, · · · , En, F espacos vetoriais sobre R. e suponhamos que

f : E1 ×E2 × · · · × En → F

e n-linear.

Entao se ~xj = ~0 ∈ Ej para algum j ∈ {1, 2, · · · , n} entao

f(~x1, · · · , ~xj−1, ~xj , ~xj+1, · · · , ~xn) = ~0,

isto e,f(~x1, · · · , ~xj−1,~0, ~xj+1, · · · , ~xn) = ~0,

De fato, pois

f(~x1, · · · , ~xj−1, ~xj , ~xj+1, · · · , ~xn) = f(~x1, · · · , ~xj−1,~0, ~xj+1, · · · , ~xn)

= f(~x1, · · · , ~xj−1, 0.~0, ~xj+1, · · · , ~xn)[f e n-linear]

= 0.f(~x1, · · · , ~xj−1,~0, ~xj+1, · · · , ~xn)= 0,

ou seja,f(~x1, · · · , ~xj−1,~0, ~xj+1, · · · , ~xn) = ~0.

2. Na situacao acima se n = 2 entao

f : E1 × E2 → F

sera dita bilinear e e caracterizada pelas seguintes propriedades:

(a) f(~x1 + ~y1, ~x2) = f(~x1, ~x2) + f(~y1, ~x2);

(b) f(~x1, ~x2 + ~y2) = f(~x1, ~x2) + f(~x1, ~y2);

(c) f(λ~x1, ~x2) = λ f(~x1, ~x2) e

(d) f(~x1, λ ~x2) = λ f(~x1, ~x2),

para ~xj , ~yj ∈ Ej, j = 1, 2 e λ ∈ R.

Observemos que do item 1. acima segue que

f(~0E1 , ~x2) = f(~x1,~0E2) = ~0F ,

para ~xj ∈ Ej, j = 1, 2 (onde ~0Ej ∈ Ej e o elemento neutro da adicao de Ej, j = 1, 2 e~0F ∈ F e o elemento neutro da adicao de F ).

Temos os seguintes exemplos importantes de aplicacoes bilineares:

Exemplo 3.5.3 Seja E um espaco vetorial sobre R.A multiplicacao de numero real por vetor de E,

m : R× E → E, m(λ, ~x) .= λ.~x, λ ∈ R, ~x ∈ E,

e uma aplicacao bilinear.A verificacao deste fato e simples e sera deixada como exercıcio para o leitor.


Exemplo 3.5.4 Seja E um espaco vetorial sobre R com produto interno.O produto escalar de E,

< ., . >: E ×E → R,

e uma aplicacao bilinear.A verificacao deste fato e simples e sera deixada como exercıcio para o leitor.

Observacao 3.5.6

1. Suponhamos que E, F e G sao espacos vetoriais sobre R.

(a) Consideremos a aplicacaoα : L(E; F )× E → F

dada porα(f, ~x) .= f(~x), (f, ~x) ∈ L(E; F )× E.

E facil mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que a aplicacao α e bilin-ear.

(b) Consideremos a aplicacao

µ : L(F ; G)× L(E; F ) → L(E; G)

dada porµ(g, f) .= g ◦ f, (g, f) ∈ L(F ; G)× L(E; F ).

E facil mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que a aplicacao µ e bilinear.

2. Seja Rm espaco vetorial sobre R com as operacoes usuais de adicao de m-uplas e multi-plicacao de numero real por m-upla.

A aplicacao

det : Rm × · · · × Rm︸︷︷︸

m−fatores

→ R, det(~x1, · · · , ~xm) .=∣∣ ~x1 · · · ~xm

∣∣ ,

para (~x1, · · · , ~xm) ∈ Rm × · · · × Rm︸︷︷︸

m−fatores

, onde det denota o determinante da matriz quadrada

obtida colocando-se na j-esima coluna da matriz as coordenadas do vetor ~xj, j ∈ {1, · · · ,m}(matriz das coordendas do vetor ~xj e da forma (xij)1≤i≤m, j ∈ {1, · · · ,m} ).

A funcao determinante tem a seguinte propriedade:

det(~x1, · · · , ~xj−1, λ~xj + ~yj , ~xj+1 · · · ~xm) = λdet(~x1, · · · , ~xj−1, ~xj , ~xj+1 · · · ~xm)+ det(~x1, · · · , ~xj−1, ~yj , ~xj+1 · · · ~xm),

para (~x1, · · · , ~xj−1, ~xj , ~xj+1 · · · ~xm), (~x1, · · · , ~xj−1, ~yj , ~xj+1 · · · ~xm) ∈ Rm × · · · × Rm︸︷︷︸

m−fatores

e λ ∈

R.

A demonstracao deste fato e vista no curso de Algebra Linear.

Logo, da relacao acima, segue que a aplicacao

det : Rm × · · · × Rm︸︷︷︸

m−fatores

→ R

e m-linear.


30.09.2008 - 14.aCom isto temos a:

Proposicao 3.5.2 Sejam (E, ‖.‖E), (F, ‖.‖F ), (G, ‖.‖G) espacos vetoriais sobre R normados,E × F com uma das tres normas usuais e f : E × F → G e bilinear.

Sao equivalentes:

1. f e contınua em E × F ;

2. f e contınua em (~0E ,~0F ) ∈ E × F ;

3. Existe c > 0 tal que‖f(~x, ~y)‖G ≤ c‖~x‖E‖~y‖F ,

para (~x, ~y) ∈ E × F ;

4. f e uma aplicacao lischitziana em cada subconjunto limitado de E × F .

Demonstracao:Mostraremos que o seguinte diagrama ocorre:

-

?¾

61. 2.

3.4.

Segue imediatamente que (1. ⇒ 2.) e que (4. ⇒ 1).Mostremos que (2. ⇒ 3.):Consideremos em E × F a norma da soma das normas, isto e,

‖(~x, ~y)‖E×F = ‖~x‖E + ‖~y‖F

(para os outros dois casos utilizamos o fato que as tres normas usuais sao equivalentes).Se f e contınua em (~0E ,~0F ) ∈ E×F entao, como f(~0E ,~0F ) = ~0G segue, tomando-se ε = 1 > 0

existira δ > 0 tal que

‖~x‖E + ‖~y‖F = ‖(~x, ~y)‖E×F < δ entao ‖f(~x, ~y)‖G ≤ ε = 1. (∗)

Seja c.=

4δ2

> 0.

Se (~x, ~y) ∈ E × F e ~x = ~0E ou ~y = ~0F entao temos que f(~x, ~y) = ~0G logo para

‖f(~x, ~y)‖G = ‖~0G‖ = 0 ≤ c (‖~x‖E‖~y‖F ) (= 0).

Se (~x, ~y) ∈ E × F sao tais que ~x 6= ~0E e ~y 6= ~0F entao os vetores

~X.=

δ

2‖~x‖E~x ∈ E, ~Y

.=δ

2‖~y‖F~y ∈ F,


satisfazem

‖ ~X‖E = ‖ δ

2‖~x‖E~x‖E =

δ

2‖~x‖E‖~x‖E =

δ

2< δ,

‖~Y ‖F = ‖ δ

2‖~y‖F~y‖F =

δ

2‖~y‖F‖~y‖F =

δ

2< δ,

assim‖ ~X‖E + ‖~Y ‖F < δ.

Logo (*) implicara que

1 ≥ ‖f( ~X, ~Y )‖G = ‖f(δ

2‖~x‖E~x,

δ

2‖~y‖E~y)‖G

[fbilinear]= ‖ δ

2‖~x‖E

δ

2‖~y‖Ef(~x, ~y)‖G

=δ

2‖~x‖E

δ

2‖~y‖E‖f(~x, ~y)‖G,

ou seja,

‖f(~x, ~y)‖G ≤ 4δ2︸︷︷︸=c

‖~x‖E‖~y‖F , (~x, ~y) ∈ E × F,

mostrando que 3. e verdadeira.Mostremos que (3. ⇒ 4.):Seja U ⊆ E × F um subconjunto limitado de E × F .Logo existe r > 0 tal que U ⊆ B[(~0E ,~0F ); r].Mostremos que f e lipschitiziana na bola B[(0E , 0F ); r].Se z

.= (~x, ~y), z′ .= (~x ′, ~y ′) ∈ B[(~0E ,~0F ); r] entao

‖f(z)− f(z′) = ‖f(~x, ~y)− f(~x ′, ~y ′)‖G = ‖f(~x, ~y)− f(~x, ~y ′) + f(~x, ~y ′)− f(~x ′, ~y ′)‖G

[fbiliear]= ‖f(~x, ~y − ~y′) + f(~x− ~x ′, ~y ′)‖G ≤ ‖f(~x, ~y − ~y ′)‖G + ‖f(~x− ~x ′, ~y ′)‖G

[3.]

≤ c‖~x‖E‖~y − ~y ′‖G + c‖~x− ~x ′‖E‖~y ′‖G

[‖~x‖e,‖~y ′‖F≤r]

≤ cr‖~y − ~y ′‖G + cr‖~x− ~x ′‖E

= cr[‖~y − ~y ′‖G + ‖~x− ~x ′‖E ] = cr‖z − z′‖E×F ,

mostrando que 4.a e verdadeira e assim completando a demonstracao da proposicao.¤

Por inducao pode-se demostrar o

Corolario 3.5.2 Sejam (E1, ‖.‖1), (E2, ‖.‖2), · · · , (En, ‖.‖n), (F, ‖.‖F ) espacos vetoriais sobre Rnormados, E1 × · · · × En munido de uma das tres normas usuais e f : E1 × · · · × En → F en-linear.

Sao equivalentes:

1. f e contınua em E1 × · · · × En;

2. f e contınua em (~0E1 , · · · ,~0En) ∈ E1 × · · · × En;

3. Existe c > 0 tal que‖f(~x1, · · · , ~xn)‖F ≤ c‖~x1‖E1 · · · ‖~xn‖En ,

para (~x1, · · · , ~xn) ∈ E1 × · · · × En;


4. f e uma aplicacao lischitziana em cada subconjunto limitado de E1 × · · · × En.

Demonstracao:Sera deixada como exercıcio para o leitor.

¤Como consequencia temos o:

Corolario 3.5.3 Seja (F, ‖.‖F ) um espaco vetorial sobre R normado e Rj espaco vetorial sobreR munido de uma das tres normas usuais, j = m,n.

Se f : Rm × Rn → F e uma aplicacao bilinear entao f e contınua em Rm × Rn.

Demonstracao:Consideraremos a norma da soma das normas em Rm, Rn (para as outras duas podemos

utilizar o fato que as respectivas normas sao equivalentes as respectivas norma da soma).De fato, sejam Bm

.= {~e1, · · · , ~em} e Bn.= {~e1

′, · · · , ~en′} as bases canonicas de Rm e Rn,

respectivamente.Dado (~x, ~y) ∈ Rm × Rn temos que existem x1, · · ·xm ∈ R e y1, · · · yn ∈ R tais que

x =m∑

i=1

xi~ei, e y =n∑

j=1

yj ~ej′.

Como f e bilinear segue que

f(~x, ~y) = f(m∑

i=1

xi~ei,n∑

j=1

yj ~ej′) =

m∑

i=1

n∑

j=1

xiyjf(~ei, ~ej′).

Sejac

.= max{f(~ei, ~ej′) : i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · , n} ≥ 0. (∗)

Observemos que

‖~x‖Rm =m∑

i=1

|xi| e ‖~y‖Rn =n∑

j=1

|yj |,

assim

‖f(~x, ~y)‖F = ‖m∑

i=1

n∑

j=1

xiyjf(~ei, ~ej′)‖F ≤

m∑

i=1

n∑

j=1

|xi||yj | ‖f(~ei, ~ej′)‖F

[(∗)]≤

m∑

i=1

n∑

j=1

|xi||yj |c = c‖~x‖Rm‖~y‖Rn ,

e assim, da proposicao (3.5.2) item 3., segue que f e lipschitziana em Rm × Rn e portantocontınua em Rm × Rn.

¤

Observacao 3.5.7

1. Se (E, ‖.‖E) e um espaco vetorial sobre R, normado entao a aplicacao bilinear (ver ob-servacao (3.5.6) item 1.)

m : R× E → E m(λ, ~x) = λ~x, (λ, ~x) ∈ R×E,


sera contınua em R×E.

Isto segue do fato que se (λ, ~x) ∈ R×E temos que

‖m(λ, ~x)‖E = ‖λ~x‖E = |λ|‖~x‖E = ‖λ‖R‖~x‖E ,

ou seja, vale 3. da proposicao (3.5.2) (com c = 1).

Logo m sera contınua em R×E (munido de uma das tres normas usuais).

2. Se (E, < ., . >E) e um espaco vetorial sobre R com produto interno entao a aplicacao

< ., . >E : E × E → R,

e uma aplicacao bilinear contınua em E ×E.

O fato de ser bilinear e evidente da definicao de produto interno.

Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que

| < ~x, ~y >E | ≤ ‖~x‖E‖~y‖E), ~x, ~y ∈ E.

Logo o item 3. da proposicao (3.5.2) ocorre (com c = 1) assim a aplicacao < ., . > seracontınua em E × E.

3. Do corolario acima segue que a funcao determinante (ver observacao (3.5.6) item 2.) seracontınua em Rm × · · · × Rm

︸︷︷︸m−fatores

.

Para finalizar temos o

Exercıcio 3.5.1 Sejam (E, ‖.‖E), (F, ‖.‖F ) e (G, ‖.‖G) sao espacos vetoriais sobre R normadosentao a aplicacao

µ : L(F ; G)× L(E; F ) → L(E; G), µ(g, f) .= g ◦ f, (g, f) ∈ L(F ; G)× L(E; F ).

que e bilinear (ver observacao (3.5.6) item 1.) e contınua em L(F ; G) × L(E; F ) munido danorma usual.

De fato, observemos que se (f, g) ∈ L(F ; G)× L(E; F ) entao

‖(g ◦ f)(x)‖G ≤ ‖g(f(x)‖G ≤ ‖g‖L(F ;G)‖f(x)‖F ≤ ‖g‖L(F ;G)‖f‖L(E;F ), x ∈ S[0; 1].

Logo, se x ∈ S[0; 1] temos que

‖µ(f, g)(x)‖G = ‖(g ◦ f)(x)‖G ≤ ‖g‖L(F ;G)‖f‖L(E;F )

ou seja,‖µ(f, g)‖L(E;G) ≤ ‖g‖L(F ;G)‖f‖L(E;F ), (f, g) ∈ L(F ; G)× L(E; F ),

e da proposicao (3.5.2) item 3., segue que µ e contınua em L(F ; G)× L(E; F ).

Ate aqui para a 1.a Prova


Capıtulo 4

Conjuntos Abertos, Fechados -Espacos Topologicos

4.1 Conjuntos abertos

Comecaremos introduzindo uma serie de definicoes que serao importantes no que se seguira:

Definicao 4.1.1 Seja X um subconjunto de (M,dM ) espaco metrico.Diremos que um ponto a ∈ X e ponto interior ao conjunto X se o ponto a for centro de

uma bola aberta inteiramente contida em X, isto e, existe r > 0 tal que

B(a; r) ⊆ X.

A figura abaixo ilustra a situacao

za

r X

M

O interior de X, indicado por int(X) ou◦X, e o conjunto formado por todos os pontos

interiores de X.Definimos a fronteira de X em M, indicada por ∂X, como sendo o conjunto formado

pelos pontos b ∈ M tais que toda bola aberta centrada em b contem um ponto de X e um pontodo complementar de X em M (ou seja, de M \X), isto e, b ∈ ∂X se, e somente se, para cadas > 0

B(b; s) ∩X 6= ∅ e B(b; s) ∩ (M \X) 6= ∅.A figura abaixo ilustra a situacao:

115

116 CAPITULO 4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS - ESPACOS TOPOLOGICOS

X

M

>b

sx ∈ X

m ∈ M \X

Observacao 4.1.1

1. Na situacao acima, se b ∈ X nao e ponto interior de X significa que toda bola abertacentrada em b contem algum ponto de M que nao esta em X, ou seja, para todo s > 0temos que

B(b; s) ∩ (M \X) 6= ∅.Neste caso, b ∈ ∂X.

2. Como veremos a seguir, um ponto de ∂X pode nao pertencer a X.

Consideremos alguns exemplos:

Exemplo 4.1.1 Consideremos R munido da metrica usual e X = [0, 1) ⊆ R.Neste caso temos que

int([0, 1)) = (0, 1), ∂([0, 1)) = {0, 1}.De fato, se 0 < a < 1 entao tomando-se

r.= min{a, 1− a} > 0

segue que(a− r, a + r) ⊆ [0, 1) = X.

De fato, se x ∈ (a− r, a + r) entao

0 = a− a[r≤a]

≤ a− r < x < a + r[r≤1−a]

≤ a + (1− a) = 1,

mostrando que a ∈ int([0, 1)).Logo (0, 1) ∈ int([0, 1)).

0 1

a︸︷︷︸(a− r, a + r) ⊆ [0, 1)

Por outro lado, se 0, 1 ∈ ∂X pois toda bola aberta centrada em 0 contem numeros reaismenores que 0 (que nao pertencem a [0, 1)) e numeros reais maiores que zero e menores que 1(logo pertencentes a [0, 1)) e toda bola aberta centrada em 1 contem numeros reais menores que 1e maiores que zero (que pertencem a [0, 1)) e numeros reais maiores que 1 (logo nao pertencentesa [0, 1)).

4.1. CONJUNTOS ABERTOS 117

0 10− s = −s 0 + s = s

6 6 6 6

1− r 1 + r

x 6∈ [0, 1) a ∈ [0, 1) a ∈ [0, 1) x 6∈ [0, 1)

Conclusao: int([0, 1)) = (0, 1) e ∂([0, 1)) = {0, 1}.

Observacao 4.1.2 No exemplo acima 0 ∈ [0, 1) e 0 ∈ ∂X, por outro lado, 1 6∈ [0, 1) e 1 ∈ ∂X.

Exemplo 4.1.2 Consideremos R munido da metrica zero-um e X = [0, 1) ⊆ R.Neste caso temos que

int([0, 1)) = [0, 1), ∂([0, 1)) = ∅.De fato, se a ∈ X entao tomando-se r

.= 12 segue que

B(a; r) = {a} ⊆ X.

Portanto int(X) = X.Por outro lado, para todo b ∈ R temos que B(b; 1

2) = {b} que so contem o ponto b.Portanto nenhum ponto de R e ponto de fronteira de X, ou seja, ∂X = ∅.

Exercıcio 4.1.1 Consideremos R munido da metrica usual e X = Q ⊆ R.Neste caso temos que

int(Q) = ∅, ∂Q = R.

De fato, se a ∈ Q entao toda bola centrada em a contera numeros irracionais, logo naopertecentes a Q.

Portanto nenhum ponto de Q sera ponto interior de Q, ou seja, int(Q) = ∅.Por outro lado, se b ∈ R entao toda bola aberta centrada em b contera numeros racionais e

irracionais, ou seja, pontos que estao em Q e ponto que nao estao em Q.Portanto b ∈ ∂Q, isto e, ∂Q = R.

c

6 6

∈ Q ∈ I

c + rc − r

Observacao 4.1.3

1. Na situacao acima, se b ∈ X nao e ponto interior de X significa que para toda bola abertacentrada em b contem algum ponto de M que nao esta em X, ou seja, para todo s > 0temos que

B(b; s) ∩ (M \X) 6= ∅.

Neste caso, b ∈ ∂X.

2. Como veremos a seguir, um ponto de ∂X pode nao pertencer a X.



Exemplo 4.1.3 Consideremos R munido da metrica usual (da raiz quadrada) e X = [0, 1) ⊆ R.Neste caso temos que

int([0, 1)) = (0, 1), ∂([0, 1)) = {0, 1}.

De fato, se 0 < a < 1 entao tomando-se r.= min{a, 1 − a} > 0 segue que (a − r, a + r) ⊆

[0, 1) = X, pois se x ∈ (a−r, a+r) entao a−a ≤ a−r < x < a+r ≤ a+(1−a) = 1, mostrandoque a ∈ int([0, 1)).

0 1

a︸︷︷︸(a− r, a + r) ⊆ [0, 1)

Por outro lado, se 0, 1 ∈ ∂X pois toda bola aberta centrada em 0 contem numeros reaismenores que 0 (que nao pertencem a [0, 1)) e numeros reais maiores que zero e menores que 1(logo pertencentes a [0, 1)) e toda bola aberta centrada em 1 contem numeros reais menores que 1e maiores que zero (que pertencem a [0, 1)) e numeros reais maiores que 1 (logo nao pertencentesa [0, 1)).

0 10− s = −s 0 + s = s

6 6 6 6

1− r 1 + r

x 6∈ [0, 1) a ∈ [0, 1) a ∈ [0, 1) x 6∈ [0, 1)

Observacao 4.1.4 No exemplo acima 0 ∈ [0, 1) e 0 ∈ ∂X, por outro lado, 1 6∈ [0, 1) e 1 ∈ ∂X.

Exemplo 4.1.4 Consideremos R munido da metrica usual (da raiz quadrada) e X = Q ⊆ R.Neste caso temos que

int(Q) = ∅, ∂Q = R.

De fato, se a ∈ Q entao toda bola centrada em a contera numeros irracionais, logo naopertecentes a Q.

Portanto nenhum ponto de Q sera ponto interior de Q, ou seja, int(Q) = ∅.Por outro lado, se b ∈ R entao toda bola aberta centrada em b contera numeros racionais e

irracionais, ou seja, pontos que estao em Q e ponto que nao estao em Q.Portanto b ∈ ∂Q, isto e, ∂Q = R.

c

6 6

∈ Q ∈ I

c + rc − r

Observacao 4.1.5

1. As nocoes de interior de fronteira de um conjunto X sao relativas, isto e, dependem doespaco metrico M que contem X.

Para ilustrar este fato observemos que no exemplo (4.1.3) vimos que

int([0, 1)) = (0, 1), ∂([0, 1)) = {0, 1}.


Consideremos agora M = R2 com a metrica usual e X = [0, 1) ⊆ R2 (ou seja, X =[0, 1)× {0} ⊆ R2) entao teremos

int(X) = ∅, ∂(X) = [0, 1]× {0}.

A figura abaixo ilustra a situacao:

6

-0 1c

} r

I

I

x 6∈ [0, 1)

a ∈ [0, 1)

Observemos que no exemplo acima as bolas abertas sao consideradas em R2 e por issonenhum ponto de X e ponto interior do mesmo.

Por outro lado toda bola aberta centrada em um ponto de [0, 1] × {0} contera pontos queestao em X e pontos que nao estao em X, mostrando que estes estao na fronteira domesmo.

Assim o interior ou fronteira de um conjunto sao relativas ao espaco metrico que consi-deramos.

2. Sejam (M, dM ) um espaco metrico e X ⊆ M .

Dado um ponto qualquer c ∈ M temos, exatamente, tres possibilidades que sao excludentes:

(a) ou existe uma bola centrada em c inteiramente contida em X, ou seja, o ponto c eponto interior de X (c ∈ int(X); veja figura abaixo));

zc

r X

M


(b) ou toda bola centrada em c contem pontos que estao em X e pontos de M que naoestao em X , ou seja, o ponto c e ponto de fronteira de X (c ∈ ∂(X); veja figuraabaixo));

X

M

>c

sx

m

(c) ou existe uma bola centrada em c inteiramente contida em M \X, ou seja, o pontoc e ponto interior de M \X (c ∈ int(M \X); veja figura abaixo).

X

M

c

µr

3. Na situacao acima, podemos obter a seguinte decomposicao do espaco metrico M :

M = int(X) ∪ ∂(X) ∪ int(M \X), (∗)onde a reuniao acima e formada por conjuntos dois a dois disjuntos (isto e, int(X) ∩∂(X) = ∅, int(X) ∩ int(M \X) = ∅ e int(M \X) ∩ ∂(X) = ∅).

4. Pode ocorrer de um dos tres subconjuntos acima ser vazio (como no exemplo do item 1.desta observacao).

5. Esta decomposicao mostra que

∂(X) = ∂(M \X), (∗∗)

pois se considerarmos X.= M \X em (*) obteremos

M = int(M \X)∪∂(M \X)∪int(M \(M \X))[M\(M\X)=X]

= int(M \X)∪∂(M \X)∪int(X),

e comparando esta com (*) deveremos ter (**).

6. No caso do exemplo (4.1.3) temos que

R = int([0, 1)) ∪ ∂([0, 1)) ∪ int(R \ [0, 1)) = (0, 1) ∪ {0, 1} ∪ (−∞, 0) ∪ (1,∞),

pois R \ [0, 1) = (−∞, 0) ∪ [1,∞) assim int(R \ [0, 1)) = (−∞, 0) ∪ (1,∞).


Temos a

Definicao 4.1.2 Seja (M, dM ) um espaco metrico e A ⊆ M .Diremos que o conjunto A e aberto em M se todos os seus pontos sao pontos interiores de

A, isto e, seint(A) = A.

Observacao 4.1.6

1. Na situacao acima, um subconjunto A de M e aberto se, e somente se,

A ∩ ∂A = ∅.

De fato, se A de M e aberto entao todo ponto de A e ponto interior de A, ou seja, sea ∈ A entao a 6∈ ∂A.

Logo A ∩ ∂A = ∅.Por outro lado, se A ∩ ∂A = ∅ entao se a ∈ A temos que a 6∈ ∂A, isto e, existe umabola aberta centrada em a que nao contem pontos de M \ A, ou seja, existe r > 0 tal queB(a; r) ∩ [M \A] = ∅ que implicara que B(a; r) ⊆ A.

Portanto, todo ponto a ∈ A e ponto interior de A, mostrando que A e um subconjuntoaberto de M .

2. Para mostrar que um subconjunto A de M e aberto em M precisamos provar que paracada a ∈ A existe ra > 0 tal que

B(a; ra) ⊆ A.

A figura abaixo ilustra a situacao

za ra A

M

Um exemplo importante de subconjunto aberto de um espaco metrico e dado pela

Proposicao 4.1.1 Sejam (M.dM ) um espaco metrico, a ∈ M e r > 0.Entao B(a; r) e um subconjunto aberto de M .

Demonstracao:Seja x ∈ B(a; r).Mostremos que existe s > 0 tal que B(x; s) ⊆ B(a; r).Como x ∈ B(a; r) temos que dM (x, a) < r.


Seja s.= r − d(x, a) > 0.

Afirmamos que B(x; s) ⊆ B(a; r).De fato, se y ∈ B(x; s) teremos que dM (y, x) < s.Logo

dM (a, y) ≤ dM (a, x) + dM (x, y) < dM (a, x) + s = dM (a, x) + (r − dM (a, x)) = r,

mostrando que y ∈ B(a; r).Portanto B(a; r) e um subconjunto aberto de M , como querıamos mostrar.A figura abaixo ilustra a situacao

a-r

x1?

s.= r − d(x, a)

¤2.10.2008 - 15.a - 1.a Prova

7.10.2008 - 16.aComo consequencia temos o

Corolario 4.1.1 Sejam (M,dM ) espaco metrico e X ⊆ M .Entao int(X) e um subconjunto aberto de M .

Demonstracao:Devemos mostrar que todo ponto de int(X) e ponto interior de int(X).Para isto seja a ∈ int(X).Devemos mostrar que existe um ra > 0 tal que B(a; ra) todo ponto dessa bola aberta seja

ponto interior de X (isto e, B(a; ra) ⊆ int(X)).Da definicao de int(X) segue que se a ∈ int(X), existe ra > 0 tal que B(a; ra) ⊆ X.Afirmamos que todo ponto de B(a; ra) e ponto interior de X.De fato, da proposicao (4.1.1) segue que dado x ∈ B(a; ra), existe s > 0 tal que B(x; s) ⊆

B(a; ra) ⊆ X, isto e, x ∈ int(X).Portanto, se a ∈ int(X), todo ponto da bola aberta B(a; ra) e ponto interior de X, isto

e, B(a; ra) ⊆ int(X), mostrando que int(X) e um subconjunto aberto de M , como querıamosmostrar.

¤

Observacao 4.1.7


1. Se (M,dM ) e um esapco metrico e A,B ⊆ M entao

int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B).

A demonstracao deste fato sera deixada como exercıcio para o leitor.

2. Na situacao acima temos que int(X) tem a seguinte propriedade: ele e o maior subconjunto abertode M que esta contido em X.

Mais especificamente, afirmamos que se A ⊆ X e A e aberto em M entao A ⊆ int(X) (*).

Para verificar isto basta ver que se a ∈ A e ponto interior de A entao a sera ponto interiorde X (pois A ⊆ X), ou seja, se A ⊆ X entao int(A) ⊆ int(X).

Assim teremos que a ∈ int(X), mostrando que A ⊆ int(X), como afirmamos acima.

Alem disso, int(X) e um subconjunto aberto de M que esta contido em X.

Afirmamos que ele e o maior com essa propriedade pois, como vimos em (*) temos que seum subconjunto aberto de M esta contido em X ele tambem estara contido em int(X).

3. Baseado no item acima temos que

int(X) =⋃

A∈AA,

onde A .= {A ⊆ X : A e um subconjunto aberto de M}.4. Seja a ∈ M , (M,dM ) espaco metrico.

{a} e um subconjunto aberto em M se, e somente se, a e um ponto isolado de M .

De fato, pois se {a} e um subconjunto aberto em M entao existe ra > 0 tal que B(a; ra) ⊆{a}, ou seja,

B(a; ra) = {a}mostrando que o ponto a e um ponto isolado de M .

Reciprocamente, se a e um ponto isolado de M entao existe r > 0 tal que B(a; ra) = {a},em particular,

B(a; ra) ⊆ {a},mostrando que o subconjunto {a} de M e um subconjunto aberto em M .

5. Do item 3. acima segue que um espaco metrico (M,dM ) e discreto se, e somente se, todoos seus subconjuntos unitarios sao subconjuntos abertos em M .

6. Seja (M,dM ) um espaco metrico.

Entao M e um subconjunto aberto de M .

De fato, pois se a ∈ M entao para r > 0 temos que B(a; r) ⊆ M , ou seja, todo ponto a deM e ponto interior de M mostrando que M e um subconjunto aberto de M .

7. A propriedade ”X ser aberto em M” e relativa, ou seja, depende do espaco metrico M quecontem X.

Por exemplo, no exemplo (4.1.3) temos que X = [0, 1) e um subconjunto aberto em M =[0, 1] onde neste ultimo consideramos a metrica induzida pela metrica usual de R.


Para ver isto observemos que se 0 < ε < 1 entao

BX(0; ε) = [0, ε) ⊆ X = [0, 1),

mostrando que 0 e ponto interior de X.

Se x ∈ (0, 1) entao x ∈ int(X) pois tomando-se r.= min{x, 1− x} > 0 segue que

BX(x; r) ⊆ X,

ou seja, x e ponto interior de X, mostrando que X = [0, 1) e aberto em M = [0, 1].

Mas X = [0, 1) nao e aberto em R (munido da metrica usual) pois 0 nao e ponto interiorde X = [0, 1) em R.

8. Um outro exemplo da situacao do item 5. seria considerar X = (0, 1), que e um subcon-

junto aberto em R (pois (0, 1) = BR(12;12)) e nao e um subconjunto aberto se for visto

como subconjunto de R2.

9. Um exemplo de subconjunto de um espaco metrico que e um subconjunto aberto emtodo espaco metrico e o conjunto vazio, ∅.Para mostrar isto basta observar que para um subconjunto de um espaco metrico nao seraberto basta exibirmos um ponto do subconjunto que nao seja ponto interior do mesmo.

Isto e impossıvel de fazer se o subconjunto for vazio.

Portanto ∅ e um subconjunto aberto de qualquer espaco metrico.

Temos a

Proposicao 4.1.2 Seja (M, dM ) um espaco metrico, a ∈ M e r > 0.Entao o complementar, em M , da bola fechada B[a; r] e um subconjunto aberto de M , isto

e, A.= M \B[a; r] e subconjunto aberto de M .

Demonstracao:De fato, mostremos que todo ponto de A e um ponto interior de A.Para isto, seja b ∈ A = M \B[a; r], isto e, b 6∈ B[a; r], logo d(a, b) > r.Seja s > 0 tal que

0 < s < d(a, b)− r.

Da proposicao (2.2.4) segue que as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] sao disjuntas (pois s+ r <d(a, b)).

Em particularB[a; r] ∩B(b; s) = ∅

que implicaraB(b; s) ⊆ M \B[a; r],

logo b ∈ A = M \B[a; r] e ponto interior de A = M \B[a; r], mostrando que A = M \B[a; r] eum subconjunto aberto de M , completando a demonstracao.



a

1r

1sb

¤Temos a

Proposicao 4.1.3 Na situacao acima, o completamentar de um subconjunto unitario de M eum subconjunto aberto de M , isto e, se a ∈ M entao A

.= M \ {a} e um subconjunto aberto deM .

Demonstracao:De fato, mostremos que todo ponto de A = M \ {a} e ponto interior de A = M \ {a}.Se b ∈ A

.= M \ {a} entao b 6= a.Seja r

.= d(a, b) > 0.Entao B(b; r) ∩ {a} = ∅ que implicara em

B(b; r) ⊆ M \ {a} = A,

ou seja, b ∈ A = M \ {a} e um ponto interior do conjunto A = M \ {a}, isto e, A = M \ {a} eum subconjunto aberto de M , completando a prova.

A figura abaixo ilustra a situacao acima.

a

b

ª

r = d(a, b)

¤Mais geralmene temos a

Proposicao 4.1.4 Sejam (M, dM ) espaco metrico, a1, a2, · · · , an ∈ M .Entao A

.= M \ {a1, a2, · · · , an} e um subconjunto aberto de M .

Demonstracao:De fato, mostremos que todo ponto de A e ponto interior de A.


Se b ∈ A entao b 6= aj , j = 1, 2, · · · , n.Seja r

.= min{d(b, aj) : j = 1, 2, · · · , n} > 0.Entao B(b; r) ∩ {aj : j = 1, 2, · · · , n} = ∅ que implicara em

B(b; r) ⊆ M \ {aj : j = 1, 2, · · · , n} = A,

ou seja, b ∈ A e um ponto interior do conjunto A, isto e, A = M \ {aj : j = 1, 2, · · · , n} e umsubconjunto aberto de M , completando a prova.

A figura abaixo ilustra a situacao acima.

a1

a2

a3

a4

b

s

r

r = min{d(b, aj) : j − 1, · · · , n}

¤A seguir daremos alguns exemplos importantes de subconjuntos abertos de R.

Exemplo 4.1.5 Consideremos R com a metrica usual e a, b ∈ R.Entao os intervalos (a, b), (−∞, b) e (a,∞) sao subconjunto abertos de R.De fato,Temos que

(a, b) = BR(b− a

2;b− a

2),

isto e, e uma bola aberta centrada emb− a

2, ou seja, um subconjunto aberto de R (veja figura

abaixo).

-a b

b−a2

-¾-¾b−a2

b−a2

Se c ∈ (−∞, b), entao, para r.= d(c, b) = b− c > 0, temos que

BR(c; r) = (c− r, c + r) ⊆ (−∞, b),

mostrando c ∈ (−∞, b) e um ponto interior de (−∞, b), isto e, (−∞, b) e um subconjunto abertoem R (veja figura abaixo).

bc

-¾ -¾r = b− cr = b− c

-


De modo analogo, se c ∈ (a,∞), entao, para r.= d(a, c) = c− a > 0, temos que

BR(c; r) = (c− r, c + r) ⊆ (a,∞),

mostrando c ∈ (a,∞) e um ponto interior de (a,∞), isto e, (−∞, b) e um subconjunto abertoem R (veja figura abaixo).

-a c

-¾ -¾r = c− ar = c− a

Observacao 4.1.8

1. Observemos que uma bola fechada em um espaco metrico pode ser um subconjunto abertodo mesmo.

Para ilustrar isso consideremos o seguinte exemplo: sejam M = R \ {−1, 1} munido dametrica induzida pela metrica usual de R, a = 0 ∈ M e r = 1 > 0.

Observemos que

BM [0; 1] = {x ∈ M : d(x, 0) ≤ 1} = (−1, 1) = {x ∈ M : d(x, 0) < 1} = BM (0; 1),

logo BM [0; 1] e um subconjunto aberto de M (ver figura abaixo).

-−1 10

2. Por outro lado, se (E, ‖.‖E) e um espaco vetorial sobre R normado com E 6= {~0} entao,para ~a ∈ E e r > 0 temos que a bola fechada BE [~a; r] nao e um subconjunto aberto de E.

De fato, seja ~x 6= E \ {~0} (isto e, um vetor de E diferente do vetor nulo).

Consideremos~u

.=~x

‖~x‖Ee ~b

.= ~a + r~u.

Entao temos que

dE(~b,~a) = ‖~b− ~a‖E = ‖(~a + r~u)− ~a‖ = ‖r~u‖E = |r|‖~u‖E[‖~u‖E=1]

= r,

ou seja, ~b ∈ B[~a; r].

Por outro lado, para todo s > 0 se considerarmos

~c.= ~a + (r +

s

2)~u ∈ E.

Entao

dE(~c,~a) = ‖~c− ~a‖E = ‖(~a + (r +s

2)~u)− ~a‖E = ‖(r +

s

2)~u‖

= |r +s

2|‖~u‖E

[‖~u‖E=1]= r +

s

2> r, (4.1)

dE(~c,~b) = ‖~c−~b‖E = ‖(~a + (r +s

2)~u)− (~a + r~u)‖E = ‖s

2~u‖

= |s2|‖~u‖E

[‖~u‖E=1]=

s

2< s. (4.2)


Logo de (4.1) temos que ~c 6∈ B[~a; r] e (4.2) temos que ~c ∈ B(~b; s), para todo s > 0, isto e,que ~b 6∈ int(B[~a; r]), mostrando que ~b nao e ponto interior de B[~a; r], ou seja, B[~a; r] naoe um subconjunto aberto de E.

~a

-r

~b = ~a + r~u

~c = ~a + (r + s2 )~u

¾ s

3. Observemos que se ~b ∈ S(~a; r) entao mostramos no item 2. que toda bola B(~b; s) contempontos que nao estao em B[~b; r] (a saber ~c

.= ~a + (r + s2)~u ∈ E).

Por outro lado toda bola B(~b; s) contem pontos que estao em B[~b; r] (o proprio ~b).

Coom isto concluimos que ~b ∈ ∂B[~a; r], ou seja, S(~a; r) ⊆ ∂B[~a; r].

4. Do corolario (4.1.1), da proposicao (4.1.1) e da observacao (4.1.7) item 2. segue que

int(B[a; r]) = B(a; r).

5. A demonstracao da proposicao (4.1.2) mostra que se ~b ∈ E e tal que

dE(~b,~a) = ‖~b− ~a‖ > r

entao ~b 6∈ ∂B[~a; r].

Logo, dos itens acima, temos que

∂B[~a; r] = S(~a; r).

Temos a

Proposicao 4.1.5 Sejam (M,dM ) um espaco metrico e U a colecao formada por todos os sub-conjutos abertos de (M, dM ). Entao:

1. M ∈ U , ∅ ∈ U (ou seja, o espaco todo e o vazio sao subconjuntos abertos de (M,dM ));

2. Se A1, · · · , An ∈ U entao A1 ∩ · · · ∩An ∈ U (ou seja, a intereseccao finita de subconjuntosabertos de (M,dM ) e um subconjunto aberto de (M, dM ));

3. Se Aλ ∈ U para λ ∈ L entao⋃

λ∈L

Aλ ∈ U (ou seja, a reuniao qualquer de subconjuntos

abertos de (M,dM ) e um subconjunto aberto de (M, dM )).


Demonstracao:De 1.:Segue da observacao (4.1.7) itens 5. e 7. .De 2.:Mostremos que todo ponto a ∈ A1 ∩ · · ·An e ponto interior de A1 ∩ · · ·An.Para isto observemos que se a ∈ A1 ∩ · · ·An entao a ∈ Aj , j = 1, · · · , n.Para cada j = 1, · · · , n temos que Aj e um subconjunto aberto de M assim a ∈ AJ devera

ser ponto interior do mesmo, isto e, existe rj > 0 tal que

B(a; rj) ⊆ Aj , j = 1, · · · , n.

Seja r.= min{rj : j = 1, · · · , n} > 0.

Para todo j = 1, · · · , n temos que 0 < r ≤ rj assim

B(a; r) ⊆ B(a; rj) ⊆ Aj ,

ou seja,B(a; r) ⊆ A1 ∩ · · ·An,

mostrando que o ponto a ∈ A1 ∩ · · ·An e ponto interior de A1 ∩ · · ·An, isto e, A1 ∩ · · ·An e umsubconjunto aberto de M , como querıamos mostrar.

De 3.:Mostremos que todo ponto a ∈

⋃

λ∈L

Aλ e ponto interior de⋃

λ∈L Aλ.

Para isto observemos que se a ∈ ⋃λ∈L Aλ entao a ∈ Aλ0 para algum λ0 ∈ L.

Mas Aλ0 e um subconjunto aberto de (M,dM ) assim, como a ∈ Aλ0 , segue que existe r0 > 0tal que

B(a; r0) ⊆ Aλ0 ⊆⋃

λ∈L

Aλ,

ou seja, a e ponto interior de⋃

λ∈L

Aλ mostrando que este e um subconjunto aberto de (M, dM ),



Corolario 4.1.2 Seja (M, dM ) um espaco metrico e A ⊆ M , a 6= ∅.A e subconjunto aberto de (M,dM ) se, e somente se, A e um reuniao de bolas abertas de

(M, dM ).

Demonstracao:Suficiencia (⇐):

Seja A =⋃

λ∈L

Bλ onde para cada λ ∈ L temos que Bλ e uma bola aberta de (M, dM ).

Da proposicao (4.1.1) segue que Bλ e um subconjunto aberto de (M, dM ) para todo λ ∈ L.Logo, da proposicao (4.1.5) item 3., segue que A =

⋃λ∈L Bλ e um subconjunto aberto de

(M, dM ), como querıamos mostrar.Necessidade (⇒):Seja A e um subconjunto aberto, nao vazio, de (M, dM ).


Para cada a ∈ A, como A um subconjunto aberto de (M,dM ), segue que existe ra > 0 talque

B(a; ra) ⊆ A.

Assim temos que {a} ⊆ B(a; ra) ⊆ A logo

⋃

a∈A

B(a; ra) ⊆ A =⋃

a∈A

{a}[{a}⊆B(a;ra)]

⊆⋃

a∈A

B(a; ra),

ou seja,A =

⋃

a∈A

B(a; ra),

como querıamos demonstrar.¤

Observacao 4.1.9

1. O corolario acima nos diz que as bolas abertas formam uma ”base de abertos” para o espacometrico (M, dM ) (no sentido que todo subconjunto aberto nao vazio de (M, dM ) pode serescrito como reuniao de bolas abertas de (M,dN )).

2. Observemos que, em geral, a interseccao qualquer de subconjunto abertos de um espacometrico (M, dM ) pode nao ser um subconjunto aberto do espaco metrico (M,dM ).

De fato, suponhamos que (M,dM ) e a ∈ M um ponto nao isolado de M .

Entao {a} e um subsconjunto que nao e aberto do espaco metrico (M, dM ) (veja observacao(4.1.7) item 3.).

Observemos que se x 6= a entao d(x, a) > 0 logo existe n ∈ N tal que d(x, a) >1n, logo

x 6∈ B(a;1n

), ou seja

{a} =⋂

n∈NB(a;

1n

).

Logo o conjunto {a}, nao aberto em (M, dM ), {a} pode ser obtido como interseccao (naofinita) de bolas abertas (que sao conjuntos abertos de (M,dM )).

Temos a

Proposicao 4.1.6 Sejam (M, dM ) espaco metrico e X ⊆ M nao vazio munido da metricainduzida pela metrica dM .

B ⊆ X e um subconjunto aberto de (X, dM ) se, e somente se, existe A ⊆ M subconjuntoaberto de (M, dM ) tal que B = A ∩X.

Demonstracao:Do corolario (4.1.2) temos que B ⊆ X e um subconjunto aberto em (X, dM ) se, e somente

se,B =

⋃

λ∈L

BXλ ,

onde, para cada λ ∈ L, BXλ e uma bola aberta em (X, dM ).


Da proposicao (2.2.1) temos que toda bola aberta de X devera ser da forma

BXλ = Bλ ∩X,

onde Bλ denota uma bola aberta em M .Logo B ⊆ X e um subconjunto aberto em (X, dM ) se, e somente se,

B =⋃

λ∈L

[Bλ ∩X].

MasB =

⋃

λ∈L

[Bλ ∩X] = [⋃

λ∈L

Bλ] ∩X = A ∩M,

ondeA

.=⋃

λ∈L

Bλ.

Do corolario (4.1.2) temos que A ⊆ M e um subconjunto aberto de (M,dM ) se, e somentese, A e uma reuniao de bolas abertas de (M, dM ).

Resumindo temos:B ⊆ X e um subconjunto aberto em (X, dM ) ⇔ B =

⋃

λ∈L

BXλ ⇔ B =

⋃

λ∈L

[Bλ ∩ X] ⇔

B = [⋃

λ∈L

Bλ] ∩ X ⇔ B = A ∩ X, A e um subconjunto aberto em (M,dM ), completando a

demonstracao.¤

Observacao 4.1.10 O resultado acima nos diz que um conjunto e aberto num subespaco metricode um espaco metrico se, e somente se, ele pode ser escrito como interseccao de um aberto doespaco metrico com o subespaco metrico.

Por exemplo: dados a < b consideremos X = [a, b] com a metrica induzida pela metricausual de M = R e 0 < ε < b− a.

Entao B.= [a, a + ε) e um subsconjunto aberto de X = [a, b] pois

B = (a− ε, a + ε) ∩ [a, b] = BR(a, ε) ∩X.

Observemos que B nao e um subconjunto aberto de R.

Consideremos o

Exercıcio 4.1.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos.Afirmamos que o conjunto formado pelas aplicacoes f : M → N que sao limitadas e des-

contınuas em algum ponto de M e um subconjunto aberto de B(M ; N).Mostremos, primeiramente que, dado a ∈ M , o conjunto, que indicaremos por Da, formado

pelas aplicacoes f : M → N que sao limitadas e descontınuas no ponto a e um subconjuntoaberto de B(M ;N).

Precisamos mostrar que todo f ∈ Da e ponto interior de Da, ou seja, existe ε > 0 tal queBB(M;N )(f ; ε) ⊆ Da.

Como f ∈ Da temos que f e descontınua no ponto a, ou seja, existe ε > 0 tal que para todoδ > 0, existe xδ ∈ M tal que

dM (xδ, a) < δ e dN (f(xδ), f(a)) > 3.ε.


Afirmamos que se g ∈ B(M ; N) e dB(M ;N)(g, f) < ε entao g ∈ Da.De fato, pois

3.ε < dM (f(xδ), f(a)) ≤ dM (f(xδ), g(xδ)) + dM (g(xδ), g(a)) + dM (g(a), f(a)).

Como dB(M ;N)(g, f) < ε temos que dM (f(xδ), g(xδ)) < ε e dM (g(a), f(a)) < ε, assim teremos

3.ε < ε + dM (g(xδ), g(a)) + ε,

implicando queε < dM (g(xδ), g(a)),

isto e, g nao e contınua no ponto a, logo g ∈ Da.Portanto se g ∈ BB(M;N )(f ; ε) segue que g ∈ Da, isto e, BB(M;N )(f ; ε) ⊆ Da, mostrando que

Da e um subconjunto aberto de B(M;N ).Para finalizar observemos que se denotarmos por D, o conjunto de todas as aplicacoes f :

M → N limitadas e descontınuas em algum ponto de M entao teremos:

D =⋃

a∈Da

Da

que sera um subconjunto aberto de BB(M;N ) (pois e reuniao de subconjuntos abertos de BB(M;N )),como querıamos mostrar.

9.10.2008 - 17.aPara finalizar temos a:

Definicao 4.1.3 Sejam (M, dM ) um espaco metrico e a ∈ M .Diremos que V ⊆ M e uma vizinhanca do ponto a em M se a ∈ int(V ).

Observacao 4.1.11 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espaco metrico e a ∈ M .

1. V e uma vizinhanca do ponto a em M se, e somente se, existe um aberto contido em V quecontenha o ponto a (a saber, qualquer subconjunto aberto de (M,dM ) que esteja contidoem int(V ) e que contenha o ponto a).

2. A interseccao de um numero finito de vizinhancas do ponto a em M e ainda uma vizin-hanca do ponto a em M pois se Vj e vizinhanca do ponto a em M para j = 1, · · · , n entaoa ∈ int(Vj), j = 1, · · · , n.

Logo a ∈n⋂

j=1

int(Vj) = int[n⋂

j=1

Vj ] que, pela proposicao (4.1.5) item 2., e um subconjunto

aberto de (M, dM ) e esta contido emn⋂

j=1

Vj, ou seja, V.=

n⋂

j=1

Vj e uma vizinhanca do ponto

a em M .

3. Se V e uma vizinhaca do ponto a em M e V ⊆ W entao W tambem sera uma vizinhacado ponto a em M (pois como a ∈ int(V ) e int(V ) ⊆ int(W ) segue que a ∈ int(W )).

4.2. RELACOES ENTRE CONJUNTOS ABERTOS E CONTINUIDADE 133

4. Um subconjunto A e aberto em (M,dM ) se, e somente se, ele for uma vizinhanca de cadaum de seus pontos.

De fato, se A e um subconjunto aberto e a ∈ A entao A e uma vizinhanca do ponto a emM (pois a ∈ int(A) = A, pois A e um subconjunto aberto de (M,dM )).

Por outro lado se A e uma vizinhanca de qualquer um de seus pontos segue que se a ∈ Aentao a ∈ int(A), ou seja, a e ponto interior de A implicando que todo ponto de A e pontointerior de A, isto e, o subconjunto A e aberto em (M, dM ), como querıamos mostrar.

5. Uma aplicacao f : M → N e contınua no ponto a ∈ M se, e somente se, para todavizinhanca, V , do ponto f(a) em N existir uma vizinhanca, U , do ponto a, em M tal que

f(U) ⊆ V.

De fato, suponhamos que a funcao f seja contınua no ponto A.

Entao dada uma vizinhanca V do ponto f(a) em N temos que f(a) ∈ int(V ), logo existeuma bola aberta em N centrada em f(a) e raio ε > 0 tal que BN (f(a); ε) ⊆ int(V ).

Da observacao (3.1.1) item 1. segue que devera existir δ = δ(ε, a) > 0 tal que

f(BM (a; δ)) ⊆ BN (f(a); ε) ⊆ int(V ) ⊆ V, (4.3)

Logo, existira uma vizinhanca do ponto a em M , U.= BM (a; δ), que tem a seguinte

propriedade:f(U) = f(BM (a; δ)) ⊆ BN (f(a); ε) ⊆ V,

isto e, f(U) ⊆ V , como querıamos mostrar.

Por outro lado, se para toda vizinhanca, V , do ponto f(a) em N existir uma vizinhanca,U , do ponto a em M tal que f(U) ⊆ V mostremos que a aplicacao f e contınua no pontoa.

Para isto, dado ε > 0 temos que V.= BN (f(a); ε e uma vizinhanca do ponto f(a) em N .

Logo, por hipotese, deve existir uma vizinhanca U do ponto a em M tal que f(U) ⊆ V =BN (f(a); ε).

Como U e vizinhanca de a em M temos que a ∈ int(U), logo segue que exitira δ > 0 talque BM (a; δ) ⊆ U .

Portantof(BM (a; δ)) ⊆ f(U) ⊆ BN (f(a); ε),

que pela observacao (3.1.1) item 1. implicara que a funcao f e contınua no ponto a,completando a prova da afirmacao.

4.2 Relacoes entre conjuntos abertos e continuidade

Iniciaremos a secao com o principal resultado da mesma, a saber:

Teorema 4.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N .Uma condicao necessaria e suficiente para que a funcao f seja contınua e que para todo V

subconjunto aberto em N , a imagem inversa deste, f−1(V ) ⊆ M , seja um subconjunto abertoem M , onde

f−1(V ) .= {x ∈ M : f(x) ∈ V }.


Demonstracao:Necessidade (⇒):Suponhamos que a funcao f seja contınua em M e que V seja um subconjunto aberto de N .Se f−1(V ) = ∅ nada temos a fazer pois ∅ e um subconjunto aberto de M (ver observacao

(4.1.7) item 7.).Se f−1(V ) 6= ∅ consideremos a ∈ f−1(V ).Precisamos mostrar que a e ponto interior de f−1(V ).Observemos que f(a) ∈ V e V e um subconjunto aberto de N , logo existe ε > 0 tal que

BN (f(a); ε) ⊆ V .Como a funcao f e contınua em a, devera existir δ > 0 tal que

f(BM (a; δ)) ⊆ BN (f(a); ε) ⊆ V,

ou seja, BM (a; δ) ⊆ f−1(V ) (pois se x ∈ BM (a; δ) entao f(x) ∈ V ).Portanto todo ponto a ∈ f−1(V ) e um ponto interior de f−1(V ), ou seja f−1(V ) e aberto.

-

f−1(V )

a

Rδ f(a)

>ε

V

M N

f

Suficiencia (⇐):Suponhamos que para todo V , subconjunto aberto de N temos que f−1(V ) seja um subcon-

junto aberto de M .Mostremos que a funcao f e contınua em a ∈ M .Para isto, dado ε > 0, como V

.= BN (f(a); ε) e um subconjunto aberto de N temos, porhipotese, que f−1(V ) e um subconjunto aberto de M .

Mas a ∈ f−1(V ) (pois f(a) ∈ V ) logo a devera ser ponto interior de f−1(V ), ou seja, existiraδ > 0 tal que BM (a; δ) ⊆ f−1(V ), isto e

f(BM (a; δ) ⊆ V = BN (f(a); ε).

Logo, a observacao (3.1.1) item 1. implicara que a funcao f e contınua no ponto a, comple-tando a demonstracao.

¤Como consequencias do resultado acima temos os:

Corolario 4.2.1 Sejam (M,dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N .A funcao f e contınua no ponto a ∈ M se, e somente se, para cada subconjunto aberto, V ,

de N contendo o ponto f(a), deve existir um subconjunto aberto, U , de N contendo o ponto a,tal que f(U) ⊆ V .


Demonstracao:Basta olhar, com cuidado, a demonstracao do teorema acima.

¤

Corolario 4.2.2 Sejam (Mj , dj) espacos metricos e Aj ⊆ Mj subconjuntos abertos de (Mj , dj),j = 1, · · · , n.

Entao A.= A1× · · ·×An e um subconjunto aberto de M

.= M1× · · ·×Mn onde neste ultimoconsideramos um das tres metricas usuais.

Demonstracao:Do exemplo (3.1.13) temos que, para cada j = 1, · · · , n, a j-esima projecao,

pj : M → Mj dada por pj(x) .= xj ,

onde x = (x1, · · · , xn) ∈ M = M1 × · · · ×Mn, e uma aplicacao contınua em M .Logo, do teorema (4.2.1) segue que, para cada j = 1, · · · , n, p−1

j (Aj) e um subconjuntoaberto de M .

Da proposicao (4.1.5) item 2. temos que p−11 (A1)∩ · · · p−1

n (An) e um subconjunto aberto emM .

Maspj(M1 × · · · ×Mj−1 ×Aj ×Mj+1 ×Mn) = Aj , j = 1, · · · , n

logoM1 × · · · ×Mj−1 ×Aj ×Mj+1 ×Mn = p−1

j (Aj), j = 1, · · · , n.

Como (sera deixado como exercıcio para o leitor a verificacao deste fato)

A1 × · · · ×An = p−11 (A1) ∩ · · · p−1

n (An),

(veja figura abaixo o caso n = 2)

-

6

M1

M2

A1

A2

p−11 (A1)

p−12 (A2)A1 × A2

temos que A1 × · · · ×An e um subconjunto aberto em M , como querıamos demonstrar.¤


Corolario 4.2.3 Sejam (M, dM ) espaco metrico, R com uma das tres metricas usuais e f1, · · · , fn :M → R contınuas em M .

Entao o conjuntoA

.= {x ∈ M : f1(x) > 0, · · · , fn(x) > 0}e um subconjunto aberto de M .

Demonstracao:Consideremos f : M → Rn dada por

f(x) .= (f1(x), · · · , fn(x)), x ∈ M.

Como f1, · · · , fn sao contınuas em M segue, da proposicao (3.2.2), que f sera contınua emM .

ConsideremosB

.= {y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn : xj > 0, j = 1, · · · , n}.Pelo corolario anterior segue que B = (0,∞)× · · · × (0,∞)︸︷︷︸

n−fatores

e um subconjunto aberto de Rn.

Observemos quex ∈ A = {x ∈ M : f1(x) > 0, · · · , fn(x) > 0}

se, e somente se

f(x) ∈ B = {y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn : yj > 0, j = 1, · · · , n},

isto e, A = f−1(B).Como f e contınua em M segue, do teorema (4.2.1), que

A = {x ∈ M : f1(x) > 0, · · · , fn(x) > 0}

sera um subconjunto aberto de M , como querıamos demonstrar.¤

Observacao 4.2.1

1. Uma outra demonstracao do resultado acima e utilizando o fato que f−1j ((0,∞) e aberto

em M (pois fj e contınua em M e (0,∞) e um subconjunto aberto de R) para j = 1, · · · , n.

Logo

A =n⋂

j=1

f−1j ((0,∞))

isto e, uma interseccao finita de subconjuntos abertos de M , logo sera aberto em M .

2. Como consequencia imediata do corolario acima temos que se as funcoes

f1, · · · , fn : M → R

sao contınuas e poisitivas no ponto a ∈ M entao existira uma bola aberta em M centradano ponto a, B(a; r), tal que

f1(x), · · · , fn(x) > 0, x ∈ B(a; r).


De fato, se fj(a) > 0 para todo j = 1, · · · , n entao

a ∈ A = {x ∈ M : f1(x) > 0, · · · , fn(x) > 0}que e um subconjunto aberto em M .

Logo existira r > 0 tal queB(a; r) ⊆ A,

isto e, se x ∈ B(a; r) teremos f1(x), · · · , fn(x) > 0, como querıamos mostrar.

Corolario 4.2.4 Sejam (M,dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f, g : M → N funcoes contınuasem M .

Entao o conjuntoA

.= {x ∈ M : f(x) 6= g(x)}e um subconjunto aberto de M .

Em particular, o conjuntoA

.= {x ∈ M : f(x) 6= 0}e um subconjunto aberto de M .

Demonstracao:Consideremos ϕ : M → R dada por

ϕ(x) .= dN (f(x), g(x)), x ∈ M,

onde em R estaremos considerando a metrica usual.Como f, g, dN sao contınuas nos seus respectivos espacos metricos segue que ϕ sera contınua

em M .Observemos que

f(x) 6= g(x) se, e somente se, dN (f(x), g(x)) > 0.

Logo A = {x ∈ M : ϕ(x) > 0} que, pelo corolario (4.2.3), e um subconjunto aberto de M ,como querıamos demonstrar.

Para a ultima parte basta tomar g(x) = 0, x ∈ M e aplicar a 1.a parte do corolario.¤

Observacao 4.2.2

1. Ha um outro modo de mostrar que uma bola aberta, B(a; r), em um espaco metrico (M, dM )e um subconjunto aberto de M .

Para isto, consideremos f : M → R dada por

f(x) .= r − dM (a, x), x ∈ M.

A funcao f e contınua em M .

Notemos quex ∈ B(a; r) se, e somente se, d(x, a) < r

ou, equivalentemente, f(x) > 0.

LogoB(a; r) = {x ∈ M : f(x) > 0}.

Logo, do corolario (4.2.3), segue que B(a; r) e um subconjunto aberto de M .


2. De modo analogo, podemos dar uma outra demosntracao para o fato que o conjunto

A.= M \B(a; r)

e um subconjunto aberto de M .

Para tanto, consideremos g : M → R dada por

g(x) .= dN (a, x)− r, x ∈ M.

Temos que a funcao g e contınua em M .

Notemos quex ∈ M \B(a; r) se, e somente se, d(x, a) > r

ou, equivalentemente, g(x) > 0.

LogoM \B(a; r) = {x ∈ M : g(x) > 0}.

Logo, do corolario (4.2.3), segue que M \B(a; r) e um subconjunto aberto de M .

3. Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos.

Observemos que se f : M → N e contınua em M e A ⊆ M e um subconjunto aberto deM isto nao implica, necessariamente, que f(A) ⊆ N seja um subconjunto aberto de N .

Para ilustrar isso, consideremos o seguinte exemlo: seja

f : R→ R dada por f(x) = x2, x ∈ R(onde em R estamos considerando a metrica usual).

Sabemos que f e uma funcao contınua em R, que A.= (−1, 1) e um subconjunto aberto de

R mas f(A) = [0, 1) nao e um subconjunto aberto de R.

-

6

−1 10

1

x

f(x)

y = x2

Devido a ultima observacao acima temos a

Definicao 4.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N uma funcao.Diremos que a funcao f e aberta se para todo A ⊆ M subconjunto aberto de M temos que

f(A) ⊆ N e um subconjunto aberto de N .


Observacao 4.2.3

1. Logo uma aplicacao entre dois espacos metricos e aberta se, e somente se, ela leva subcon-juntos abertos de M em subconjuntos abertos de N .

2. O exemplo dado na observacao (4.2.2) item 3. nos mostra que uma aplicacao entre doisespacos metricos pode ser contınua e nao ser aberta.

3. De outro lado, nem toda aplicacao entre dois espacos metricos que e uma aplicacao abertaprecisa, necessariamente, ser contınua.

Para ilustrar este fato consideremos (M, dM ) espaco metrico e (N, dN ) o espaco metricodiscreto.

Entao toda aplicacao f : M → N sera aberta em M mas nao, necessariamente, contınuaem M .

Por exemplo se considerarmos f : M → N uma aplicacao injetora e p e um ponto naoisolado de M entao f e uma aplicacao aberta (pois qualquer subconjunto de N e umsubconjunto aberto de N) mas nao sera contınua em p, pois se defirmos q = f(p) entaocomo f e injetora segue que f−1({q}) = {p} que nao e um subconjunto aberto de M apesarde {q} ser um subconjunto aberto de N (pois q e ponto isolado de N e p nao e um pontoisolado).

4. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N uma bijecao.

Como consequencia do teorema (4.2.1), f e contınua em M se, e somente se, f−1 : N → Me uma aplicacao aberta em N .

-

¾f−1

CONTINUA

ABERTA

M N

f (bijetora)

V

f−1(V )

Baseado no ultimo item da observacao acima temos a

Proposicao 4.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N uma bijecao.f e um homeomorfismo de M em N se, e somente se, f induz uma bijecao entre os abertos de

M e N , isto e, U e um subconjunto aberto de M se, e somente se, V.= f(U) e um subconjunto

aberto de N , isto e, f e f−1 sao aplicacoes abertas em M e N , respectivamente.


-

¾f−1

CONTINUA

CONTINUA

-

¾f−1

ABERTA

f (bijetora)

ABERTA

M Nf (bijetora)

m V = f(U)

U = f−1(V )

Demonstracao:Basta observar que f e um homeomorfismo de M em N se, e somente se, f e f−1 sao

contınuas em M e N , respectivamente e utilizar o teorema (4.2.1).¤

Observacao 4.2.4 Um outro modo de interpretar o resultado acima seria: suponhamos quef : M → N bijetora.

f e um homeomorfismo de M em N se, e somente se, f e f−1 sao aplicacoes abertas.

Corolario 4.2.5 Sejam (M,d1) e (M, d2) espacos metricos.d1 ∼ d2 se, e somente se, todo subconjunto aberto em (M, d1) e aberto em (M, d2) e recipro-

camente.

-

¾i21

CONTINUA

CONTINUA

-

¾i21

ABERTA

i12

ABERTA

(M, d1) (M, d2)i12

m

U = i−112 (V ) = i21(V ) V = i12(U) = i−1

21 (U)

U V

Demonstracao:Lembremos que para as metricas d1 e d2 serem equivalentes e necessario e suficiente que a

aplicacao identidada i12 : (M, d1) → (M,d2) seja um homeomorfismo.Devido a proposicao acima e necessario e suficiente que as aplicacoes identidades

i12 : (M, d1) → (M,d2) e i21 : (M,d2) → (M, d1)

sejam abertas, ou seja, todo todo subconjunto aberto em (M, d1) e aberto em (M, d2) e re-ciprocamente.

¤


Observacao 4.2.5 Como consequencia do resultado acima os subconjuntos abertos do produtocartesiano de espacos metricos independem de uma das tres metricas usuais que utilizarmos noespaco produto (pois, como vimos no capıtulo anteior, elas sao equivalentes).

Um outro resultado interessante sobre abertos no produto cartesiano e dado pela

Proposicao 4.2.2 Sejam (M,dM ), (N, dN ) e (M ×N, dM×N ) espacos metricos onde dM×N euma das tres metricas usuais do espaco produto.

Um subconjunto A ⊆ M × N e um subconjunto aberto em M × N se, e somente se, A ereuniao de ”retangulos abertos”, isto e,

A =⋃

λ∈Λ

[Uλ × Vλ],

onde, para cada λ ∈ Λ temos que Uλ ⊆ M e um subconjunto aberto de M e Vλ ⊆ N e umsubconjunto aberto de N .

Demonstracao:Suficiencia (⇐):

Suponhamos que A =⋃

λ∈Λ

[Uλ × Vλ], onde, para cada λ ∈ Λ temos que Uλ ⊆ M e um

subconjunto aberto de M e Vλ ⊆ N e um subconjunto aberto de N .Do corolario (4.2.1) segue que, para todo λ ∈ Λ, temos que Uλ × Vλ ⊆ M × N e um

subconjunto aberto de M ×N .Logo, da proposicao (4.1.5) item 3., segue que A e um subconjunto aberto de M ×N .Necessidade (⇒):Suponhamos que A ⊆ M ×N e um subconjunto aberto de M ×N .Pelo corolario (4.2.5), podemos supor, sem perdade de generalidade, que a metrica em M×N

e a metrica do maximo, isto e,

dmax((x, y), (x′, y′)) = max{dM (x, x′), dN (y, y′)},

onde (x, x′), (y, y′) ∈ M×N (pois as outras duas metricas usuais sao equivalentes a esta e temoso corolario (4.2.5)).

Mas em (M × N, dmax) uma bola aberta e o produto cartesiano de uma bola aberta de Mpor uma bola aberta de N (*).

Como A e aberto em (M ×N, dmax), dado z ∈ A temos que existe uma bola aberta, Bz, em(M ×N, dmax) tal que z ∈ Bz.

Mas pelo que vimos em (*)Bz = UM

z × V Nz

onde UMz e V N

z sao bolas abertas em M e N , respectivamente.Portanto

A =⋃

z∈A

Bz =⋃

z∈A

[UMz × V N

z ],

mostrando que todo subconjunto aberto de M×N pode ser escrito como reuniao de ”retangulosabertos” (isto e, produto cartesiano de bolas abertas de M e N , respectivamente).



Corolario 4.2.6 Sejam (M,dM ), (N, dN ) e (M × N, dM×N ) espacos metricos onde dM×N euma das tres metricas usuais do espaco produto.

As projecoes p1 : M × N → M e p2 : M × N → N sao aplicacoes abertas em M e N ,respectivamente.

Demonstracao:Suponhamos que A ⊆ M ×N seja um subconjunto aberto em M ×N .Da proposicao (4.2.2) segue que

A =⋃

λ∈Λ

[Uλ × Vλ],

onde Uλ e Vλ sao subconjuntos abertos em M e N , respectivamente.Mas

p1(A) = p1(⋃

λ∈Λ

[Uλ × Vλ])[exercıcio para o leitor]

=⋃

λ∈Λ

p1(Uλ × Vλ)[p1(Uλ×Vλ)=Uλ]

=⋃

λ∈Λ

Uλ

e como Uλ e um subconjunto aberto de M segue, da proposicao (4.1.5) item 3., que p1(A) seraum subconjunto aberto de M .

De modo semelhante mostram-se que

p2(A)[exercıcio para o leitor]

=⋃

λ∈Λ

Vλ

sera um subconjutno aberto de N , completando a demonstracao do corolario.¤

Para finalizar esta secao temos a

Observacao 4.2.6 Podemos estender a proposicao (4.2.2) e o corolario (4.2.6) para o produtocartesiano de um numero finito de espacos metricos.

14.10.2008 - 19.a

4.3 Espacos topologicos

Como veremos a seguir no estudo da continuidade de funcoes nao precisamos, necessariamente,ter metricas envolvidas no domınio e contra domınio da funcao em questao.

Na verdade, o que precisamos e saber como sao os conjuntos ”abertos”do domınio e do contradomınio da funcao.

O que faremos a seguir e definir e estudar o que sao esses conjuntos ”abertos”.

Definicao 4.3.1 Seja X um conjunto.Diremos que uma colecao τ de subconjuntos das partes de X (isto e, τ ⊆ P(X)) e uma

topologia em X se as seguintes condicoes estao satisfeitas:

(T1) ∅, X ∈ τ ;

(T2) Se A1, A2, · · · , An ∈ τ entaon⋂

i=1

Ai ∈ τ ;

4.3. ESPACOS TOPOLOGICOS 143

(T3) Se (Aλ)λ∈L e uma famılia tal que Aλ ∈ τ para λ ∈ L entao⋃

λ∈L

Aλ ∈ τ .

Neste caso, os elementos de τ serao denominados abertos de X.Ao par (X, τ) daremos o nome de espaco topologico.

Observacao 4.3.1 Resumindo, uma topologia e uma colecao formada por subconjuntos de Xque contem ∅, X, que a interseccao finita de elementos da colecao esteja na colecao e que areuniao qualquer de elementos da colecao tambem devera estar na colecao.

Exemplo 4.3.1 Seja (M,d) um espaco metrico.Consideremos τ a colecao de todos os subconjuntos abertos de M relativamente a metrica d.Afirmamos que τ e uma topologia em M .De fato:

(T1) Da Proposicao (4.1.5) item 1. ∅ e M sao abertos em relacao a metrica d, logo ∅,M ∈ τ ;

(T2) Se A1, · · · , An ∈ τ entao A1, · · · , An sao abertos relativamente a metrica d.

Da Proposicao (4.1.5) item 2. segue quen⋂

i=1

Ai sera um subconjunto aberto relativamente

a metrica d, isto e,n⋂

i=1

Ai ∈ τ ;

(T3) Se Aλ ∈ τ para todo λ ∈ L entao Aλ sao abertos relativamente a metrica d para todoλ ∈ L.

Da Proposicao (4.1.5) item 3. segue que⋃

λ∈L

Aλ sera um subconjunto aberto relativamente

a metrica d, isto e,⋃

λ∈L

Aλ ∈ τ ,

mostrando com isto que τ e uma topologia em M .

Notacao 4.3.1 A topologia τ acima sera dita topologia induzida pela metrica d de M .

Definicao 4.3.2 Diremos que uma topologia τ em X e metrizavel se existir uma metrica dem X tal que todo subconjunto aberto da topologia τ e subconjunto aberto segundo a metrica d ereciprocamente, todo subconjunto aberto relativamente a metrica d e um subconjunto aberto datopologia τ .

Observacao 4.3.2

1. O exemplo (4.3.1) nos mostrar que todo espaco metrico e um espaco topologico (com atopologia induzida pela metrica).

Pergunta-se:

Todo espaco topologico e metrizavel?

A resposta e negativa, em geral.

Na lista de exercıcios ha um exercıcio que exibe um exemplo de um espaco topologico quenao e metrizavel (Exercıcio 41 Capıtulo 3).


2. Sejam d1 e d2 metricas em M .

Entao d1 e d2 sao equivalentes se, e somente se, elas determinam a mesma topologia emM .

De fato, do corolario (4.2.5) segue que todo aberto segundo uma das metricas sera abertosegundo a outra metrica, ou seja, as topologias induzidas pelas metricas d1 e d2 coincidem.

Um tipo importante de espaco topologico e o dado pela

Definicao 4.3.3 Diremos que um espaco topologico (X, τ) e um espaco de Hausdorff sedados x, y ∈ X, x 6= y existirem A,B ∈ τ tais que x ∈ A, y ∈ B e A ∩B = ∅.

Observacao 4.3.3

1. Um espaco topologico e de Hausdorff se, e somente se, dados dois pontos distintos, existemabertos, disjuntos, cada um deles contendo um dos pontos dados.

Empiricamente, a topologia ”separa pontos”(vide figura abaixo).

x y

A ∈ τB ∈ τ

2. Afirmamos que todo espaco topologico metrizavel e um espaco de Hausdorff.

De fato, dados dois pontos distintos, a proposicao (2.2.3), garante que existem bolas aber-tas, disjuntas, centradas nos pontos em questao e, da proposicao (4.1.1) temos que bolasabertas sao conjuntos abertos, completando a prova da afirmacao.

A seguir exibiremos alguns exemplos de topologias que serao uteis em varias situacoes queserao abordadas mais adiante.

Exemplo 4.3.2 Seja X e consideremos τ = P(X), ou seja, τ e formado por todos os subcon-juntos de X.

Segue que τ e uma toplogia em X pois:

(T1) ∅ e X sao subconjuntos de X, logo ∅, X ∈ τ ;

(T2) Se A1, · · · , An ∈ τ , isto e, se A1, · · · , An sao subconjuntos de X entao .n⋂

i=1

Ai sera um

subconjunto X, ou seja,n⋂

i=1

Ai ∈ τ ;

4.3. ESPACOS TOPOLOGICOS 145

(T3) Se Aλ ∈ τ para todo λ ∈ L entao Aλ sera subconjunto de X para todo λ ∈ L.

Logo⋃

λ∈L

Aλ sera um subconjunto de X, ou seja,⋃

λ∈L

Aλ ∈ τ ,

mostrando com isto que τ e uma topologia em X.

Observacao 4.3.4 Na topologia acima todo subconjunto de X sera um subconjunto aberto (se-gundo a topologia acima).

Nenhuma outra topologia de X podera conter mais abertos do que a topologia acima.

Notacao 4.3.2 A topologia acima sera dita topologia discreta em X.

Um outro exemplo interessante (e importante) e

Exemplo 4.3.3 Seja X e consideremos τ = {∅, X}, ou seja, τ e formado somente por estesdois subconjuntos de X.

Segue que τ e uma toplogia em X pois:

(T1) ∅, X ∈ τ ;

(T2) Se A1, · · · , An ∈ τ entao Ai =

∅ouX

, i = 1, · · · , n.

Logon⋂

i=1

Ai =

∅ouX

, ou seja,n⋂

i=1

Ai ∈ τ ;

(T3) Se Aλ ∈ τ para todo λ ∈ L entao Aλ =

∅ouX

para todo λ ∈ L.

Logo⋃

λ∈L

Aλ =

∅ouX

, ou seja,⋃

λ∈L

Aλ ∈ τ ,

mostrando com isto que τ e uma topologia em X.

Notacao 4.3.3 A topologia do exemplo (4.3.3) sera dita topologia caotica em X.

Observacao 4.3.5

1. Na topologia acima os unicos subconjuntos abertos serao o conjunto ∅ e X.

Nenhuma outra topologia de X podera conter menos abertos do que a topologia acima.

2. Se o conjunto X possue pelo menos dois pontos distintos entao o espaco topologico (X, τ),onde τ e a topologia acima nao sera um espaco de Hausdorff (pois o unico aberto diferentedo ∅ e X).

3. Quando estamos trabalhando com espacos topologicos, (X, τX), (Y, τY ) (nao metricos) umafuncao f : X → Y sera dita contınua em X se, e somente se, para todo B ⊆ Y aberto emY tenhamos f−1(B) ⊆ X aberto em X.


4.4 Conjuntos fechado

Comecaremos pela

Definicao 4.4.1 Sejam (M, d) um espaco metrico e X ⊆ M .Diremos que o ponto a ∈ M e aderente a X quando

d(a,X) = 0.

Observacao 4.4.1

1. Logo o ponto a ∈ M sera aderente a X se, e somente se,

0 = d(a,X) = inf{d(a, x) : x ∈ X}

que e equivalente a. dado ε > 0 exitir xε ∈ X tal que

d(xε, a) < ε.


a

sε

xε ∈ X

2. Outros modos, equivalentes, de dizer que um ponto a ∈ M e ponto aderente de X seriam:

(a) Para todo ε > 0 temos que B(a; ε) ∩X 6= ∅;(b) Para todo subsconjunto A ⊆ M aberto em M contendo o ponto a temos que A∩X 6= ∅;(c) Toda vizinhanca do ponto a tem, pelo menos, um ponto de X.

A verificacao destas equivalencias e imediata e sua redacao sera deixada como exercıciopara o leitor.

Exemplo 4.4.1 Seja (M, d) um espaco metrico e X ⊆ M nao vazio.Entao todo ponto a ∈ X e ponto aderente de X (pois toda vizinhanca do ponto a contem o

ponto a que pertence a X).Alem disso, os pontos da fronteira de X (isto e, de ∂X) sao pontos aderentes a X (pois, da

definicao de fronteira, se um ponto esta na fronteira toda vizinhaca dele possui pontos que estaoem X).

Em particular, o ponto 1 ∈ R e ponto aderente a X = [0, 1) onde neste consideramos ametrica induzida pela metrica usual de R (mas nao pertence a X).

Com isto temos a

Definicao 4.4.2 Sejam (M, d) espaco metrico e X ⊆ M .Definimos o fecho de X (em M), indicado por X, como sendo o conjunto formado por

todos os pontos de M que sao aderentes a X.

4.4. CONJUNTOS FECHADO 147

Observacao 4.4.2

1. Assim, a ∈ X se, e somente se, o ponto a ∈ M e ponto aderente a X.

2. Pode-se ver que:

(a) ∅ = ∅;(b) M = M ;

(c) Se X ⊆ Y ⊆ M entao X ⊆ Y .

A verificacao destes fatos sera deixada como exercıcio para o leitor.

3. Da definicao temos que: a ∈ X se, e somente se, d(a, X) = 0.

Em particular, se (E, ‖.‖) e um espaco vetorial noramdo, da Proposicao (2.4.1), segue que~b ∈ B(~a; r) se, e somente se, ~b ∈ B[~a; r], ou seja,

B(~a; r) = B[~a; r].

4. Em geral, num espaco metrico, isto nao sera verdade.

Para ver isto, consideremos M.= [0, 1] ∪ {2} ⊆ R com a metrica induzida pela metrica

usual de R.

Notemos que B(0; 2) = [0, 1], logo B(0; 2) = [0, 1].

Mas B[0; 2] = M , ou seja,B(0; 2) ⊆ B[0; 2].

Em geral temos:

Proposicao 4.4.1 Seja (M, d) e um espaco metrico, a ∈ M e r > 0.Entao

B(a; r) ⊆ B[a; r].

Demonstracao:Seja b ∈ B(a; r), isto e, b e ponto aderente a bola aberta B(a; r).Suponhamos, por absurdo, que b 6∈ B[a; r], isto e,

d(b, a) > r.

Consideremos s.= d(b, a)− r > 0.

Entao para todo x ∈ B(a; r) temos que

d(b, x) ≥ d(a, b)− d(a, x)[d(a,x)<r]

> d(a, b)− r = s,

ou seja,d(b, B(a; r)) = inf{d(b, x) : x ∈ B(a; r)} ≥ s > 0,

mostrando que b nao e ponto aderente de B(a; r), o que e um absurdo, logo d(b, a) ≤ r, isto e,b ∈ B[a; r], como querıamos mostrar.

¤

Observacao 4.4.3


1. Para que um ponto a ∈ M nao seja aderente a um subconjunto X de M basta que existauma bola aberta centrada no ponto a que nao contenha nunhum elemento de X, isto e,existe r > 0 tal que

B(a; r) ∩X = ∅.

2. Observemos que B(a; r)∩X = ∅ se, e somente se, B(a; r) ⊆ M \X, ou, equivalentemente,o ponto a e ponto interior de M \X.

a

sε

X

Com isto temos que: a 6∈ X se, e somente se, a ∈ int[M \X].

3. Com isto temos as seguintes identidades:

M \X = int[M \X],

isto e,[X]c = int[Xc].

4. Sabemos queM = int(X) ∪ ∂X ∪ int[M −X],

onde a reuniao e disjunta.

LogoX = int(X) ∪ ∂(X)

e a reuniao sera disjunta.

Um conceito importante e dado pela

Definicao 4.4.3 Sejam (M, d) espaco metrico e X ⊆ M .Diremos que X e denso em M se X = M .

Observacao 4.4.4 Temos que X ⊆ M e denso em M , se e somente se, todo ponto de M forponto aderente de X, ou seja, toda bola aberta centra em um ponto a ∈ M contiver, pelo menos,um ponto de X.

Equivalentemente, todo aberto, A, nao vazio, de M contendo o ponto a satisfaz

A ∩X 6= ∅.


a ∈ M

1r

x ∈ X

Exemplo 4.4.2 O conjunto formado pelos numeros racionais, Q, e denso em R.O conjunto formado pelos numros irracionais, I = R \Q, e denso em R.De fato, pois todo bola aberta centrada em um numero real (sito e, intervalo aberto) contem

numeros raionais e irracionais, mostrando que todo numero real e ponto aderente de Q e de I.

Proposicao 4.4.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, X ⊆ M e Y ⊆ N .Se X e denso em M e Y e denso em N entao X × Y e denso em M ×N munido de uma

das tres metricas usuais.

Demonstracao:Seja A ⊆ M ×N aberto, nao vazio, em M ×N .Da Proposicao (4.2.2) segue que existem abertos U ⊆ M e V ⊆ N tal que U × V ⊆ A.Como X e denso em M , Y e denso em N , U ⊆ M e V ⊆ N sao abertos em M e N ,

respectivamente, segue que existem x ∈ U ∩X e y ∈ V ∩ Y .Logo o ponto

z.= (x, y) ∈ (U × V ) ∩ (X × Y )

ou ainda,z

.= (x, y) ∈ A ∩ (X × Y ),

mostrando que X × Y e denso em M ×N .¤


Corolario 4.4.1 Sejam (M1, d1), · · · , (Mn, dn) espacos metricos, Xj ⊆ Mj , j = 1, · · · , n.Se Xj e denso em Mj para todo j = 1, · · · , n entao X1×· · ·×Xn e denso em M1×· · ·×Mn.

Demonstracao:A demonstracao e feita por inducao e sera deixada como exercıcio para o leitor.

¤Tambem como consequencia temos

Corolario 4.4.2 Qn e In sao densos em Rn, onde Qn (ou In) sao as n-uplas cujas entradassao numeros racionais (ou irracionais).

Demonstracao:Segue do fato que Q e I sao densos em R e do corolario acima.

¤Temos a


Proposicao 4.4.3 Sejam (M, d) espaco metrico, a ∈ M e X ⊆ M nao vazio. Entao

d(a,X) = d(a,X).

Demonstracao:Como X ⊆ X segue que

d(a,X) = inf{d(x, a) : x ∈ X}[X⊆X]

≤ inf{d(y, a) : y ∈ X} = d(a,X). (∗)Afirmamos que se

d(a,X) < m entao d(a, X) < m. (∗∗)De fato, se d(a,X) < m entao existe x0 ∈ X tal que d(a, x0) < m.Como x0 e ponto aderente de X segue que, dado

ε.= m− d(a, x0) > 0,

existe x1 ∈ X tal qued(x1, x0) < ε = m− d(a, x0).

Logo

d(a,X) ≤ d(a, x1) ≤ d(a, x0) + d(x0, x1) < d(a, x0) + (m− d(a, x0)) = m,

ou seja, d(a,X) < m.Assim

d(a,X) ≤ d(a, X), (∗ ∗ ∗)pois, suponhamos, por absurdo que d(a,X) > d(a,X).

Logo existe m ∈ (d(a, X, d(a,X)), isto e, d(a,X < m < d(a,X) contrariando (**).Portanto de (*) e (***) temos que d(a,X) = d(a,X), como querıamos demonstrar.


Corolario 4.4.3 Sejam (M,d) espaco metrico e X ⊆ M nao vazio. Entao

X = X.

Demonstracao:

Sabemos que X ⊆ X.Por outro lado, se a ∈ X entao a e ponto aderente a X, isto e, d(a,X) = 0.Mas da proposicao acima temos que

0 = d(a, X) = d(a,X),

isto e, a e ponto aderente a X, ou ainda, a ∈ X, como querıamos demonstrar.¤

16.10.2008 - 20.aTemos a

Definicao 4.4.4 Seja (M, d) espaco metrico.Diremos que F ⊆ M e um subconjunto fechado de M se seu complementar, M \F , for um

subconjunto aberto de M .


O resultado a seguir relaciona o conceito de um conjunto ser fechado com o de fecho doconjunto, a saber

Proposicao 4.4.4 Sejam (M, d) espaco metrico e F ⊆ M . EntaoF = F se, e somente se, M \ F e um subconjunto aberto de M (isto e, F e um subconjunto

fechado de M).

Demonstracao:Observemos que:F = F , se, e somente se, os pontos que nao pertecem a F nao sao pontos aderentes a F

ou, equivalentemente, para todo ponto a ∈ M \ F existe uma bola aberta, B(a; r), tal queB(a; r) ∩ F = ∅ ( isto e, B(a; r) ⊆ M \ F ).

Isto e equivalente a dizer que para todo ponto de a ∈ M \F existe uma bola aberta, B(a; r),tal que B(a; r) ⊆ M \ F , ou seja, que M \ F e um subconjunto aberto de M .

¤

Observacao 4.4.5 A proposicao acima nos diz que um subconjunto de um espaco metrico efechado se, e somente se, ele contem todos seus pontos aderentes.

De modo analogo, a proposicao acima nos diz que um subconjunto de um espaco metrico efechado se, e somente se, ele e igual ao seu fecho.


Corolario 4.4.4 Sejam (M, d) espaco metrico e X ⊆ M .Entao X e um subconjunto fechado de M .

Demonstracao:

Do corolario (4.4.3) sabemos que X = X, assim, da proposicao acima segue que X e umsubconjunto fechado de M .

¤

Observacao 4.4.6

1. Na situacao acima temos que X e o menor subconjunto fechado de M que contem F , istoe, se F ⊆ M e um subconjunto fechado em M e X ⊆ F entao X ⊆ F .

De fato, se X ⊆ F entao, da observacao (4.4.2 ) item 2. (c), segue que

X ⊆ F[proposicao (4.4.4)]

= F.

Deste modo podemos obter o fecho de um subconjunto X de M da seguinte forma:

X =⋂

F e fechado em M e X⊆F

F.

2. Um subconjunto X de M nao e fechado se, e somente se, existe a 6∈ X que e ponto aderentea X.

Equivalentemente, existe a 6∈ X e para cada ε > 0 temos B(a; r) ∩X 6= ∅.Conclusao: tal ponto a devera pertencer a fronteira de X.

Em particular mostramos que: X e subconjunto fechado de M se, e somente se, ∂X ⊆ X.


3. Todo cuidado e pouco! ”ser fechado” nao e o contrario de ”ser aberto”, isto e, existemsubconjuntos de um espaco metrico que podem nao ser nem fechado e nem aberto.

Por exemplo o subconjunto Q em R nao e aberto (pois todo intervalo aberto contendo umnumero racional contera um numero irracional).

Por outro lado ele tambem nao sera fechado em R (pois todo numero irracional e aderentea Q).

Conclusao: Q nao e nem um subconjunto aberto e nem um subconjunto fechado em R.

4. Pode acontecer de um subconjunto de um espaco metrico ser aberto e fechado neste espacometrico.

Um exemplo geral disto e ver que espaco todo e o conjunto vazio sao subconjuntos abertose fechados nele mesmo.

Um outro exemplo e considerar

M.= R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)

com a metrica induzida pela metrica usuas de R.

Observemos que (−∞, 0) e (0,∞) sao subconjuntos abertos em M .

Alem disso temos que (−∞, 0)c = (0,∞) e (0,∞)c = (−∞, 0) (o complementar e tomadoem M(−∞, 0) ∪ (0,∞)).

Logo os complementares (em M) de (−∞, 0) e de (0,∞) sao subconjunto abertos de M ,ou seja, (−∞, 0) e de (0,∞) tambem sao subconjunto fechados de M .

5. Seja (M, d) um espaco metrico discreto.

Como todo subconjunto de M e aberto segue todo subconjunto de M e fechado (pois seucomplementar e um subconjunto de M , logo aberto em M)

Exercıcio 4.4.1 Consideremos Q munido da metrica induzida pela metrica usual de R.Temos que

(√

2,∞)Q = {x ∈ Q :√

2 < x < ∞}e um subconjunto aberto de Q (por que?).

Observemos que(√

2,∞)cQ = {x ∈ Q : −∞ < x <

√2}

(o complementar do conjunto em Q) que e um subconjunto aberto em Q.Logo (

√2,∞)Q e um subconjunto fechado em Q.

Portanto (√

2,∞)Q e um subconjunto aberto e fechado em Q.

Exemplo 4.4.3 Seja (M, d) um espaco metrico, a ∈ M e r > 0.Entao B[a; r] e um subconjunto fechado de M pois, da proposicao (4.1.2) segue que M\B[a; r]

e um subconjunto aberto de M .

Exemplo 4.4.4 Seja (M, d) um espaco metrico e X ⊆ M subconjunto de M .Entao ∂X e subconjunto fechado de M .De fato, a observacao (4.4.3) item 4. implica que

[∂X]c = M \ ∂X = int(X) ∪ int(M \X).


Como int(X) e int(M \X) sao subconjuntos abertos de M segue que int(X) ∪ int(M \X)sera um subconjunto aberto de M , ou seja, [∂X]c sera um subconjunto aberto de M , mostrandoque ∂X e um subconjunto fechado de M .

int(X)

int(M \X) ?

∂X

Exemplo 4.4.5 Seja (M, d) um espaco metrico e F = {a1, · · · , an} (isto e, um subconjuntofinito de M).

Entao F e fechado em M .De fato, se a 6∈ F entao

d(a, F ) = inf{d(a, aj) : j = 1, · · · , n} = d(a, aj0),

para j0 ∈ {1, · · · , n}.Mas

d(a, aj0) > 0

pois a 6∈ F .Logo d(a, F ) > 0, isto e, a 6∈ F nao sera ponto aderente de F .Conclusao: os unicos pontos aderentes de F sao os pontos de F , isto e, F contem todos os

seus pontos aderentes, ou seja, F e um subcojnuto fechado de M .

Observacao 4.4.7 Na situacao acima, se a ∈ M entao {a} e um subcojnuto fechado de M .

Em geral temos as seguintes propriedades para subconjuntos fechados de um esapco metrico

Proposicao 4.4.5 Seja (M, dM ) um espaco metrico.Entao

1. O conjunto vazio, ∅ e o espaco inteiro, M , sao subconjuntos fechados de M ;

2. A reuniao finita de subconjuntos fechados de M e um subconjunto fechado de M , isto e, se

Fi e um subconjunto fechado de M , i = 1, 2, · · · , n entaon⋃

i=1

Fi e um subconjunto fechado

de M ;

3. A interseccao qualquer de subconjuntos fechados de M e um subconjunto fechado de M ,isto e, se Fλ e um subconjunto fechado de M , para todo λ ∈ A, entao

⋂

λ∈AFλ e um

subconjunto fechado de M .


Demonstracao:Lembremos que todo espaco metrico e um estaco topologico (munido da topologia gerada

pelos abertos definidos pela metrica).De 1.:Do exemplo (4.3.1), item (T1), segue que ∅ e M sao subconjuntos abertos de M .Mas

∅c = M e M c = ∅,ou seja, os complementares de ∅ e M sao subconjuntos abertos de M , mostrando que ∅ e M saosubconjuntos fechados de M .

De 2.:Sabemos que, para cada i ∈ {1, 2, · · · , n}, Fi e um subconjunto fechado de M , ou seja, que

F ci e um subconjunto aberto de M .

Logo do exemplo (4.3.1), item (T2), segue quen⋂

i=1

F ci sera um subconjunto aberto de M .

Mas

[n⋃

i=1

Fi]c =n⋂

i=1

F ci ,

e [n⋃

i=1

Fi]c e um subconjunto aberto de M implicando quen⋃

i=1

Fi sera um subconjunto fechado

de M .De 3.:Sabemos que, para cada λ ∈ A, Fλ e um subconjunto fechado de M , ou seja, que F c

λ e umsubconjunto aberto de M .

Logo do exemplo (4.3.1), item (T3), segue quen⋃

λ∈AF c

λ sera um subconjunto aberto de M .

Mas[⋂

λ∈AFλ]c =

⋃

λ∈AF c

λ,

e [⋃

λ∈AFλ]c e um subconjunto aberto de M implicando que

⋂

λ∈AFλ sera um subconjunto fechado

de M , completando a demonstracao da proposicao.¤

Um outro resultado importante e

Proposicao 4.4.6 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e uma aplicacao f : M → N .Entao

f e contınua em M se, e somente se, para todo F , subconjunto fechado de N , tivermos quef−1(F ) e um subconjunto fechado de M .

Demonstracao:Pode-se mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que, para todo G ⊆ N , temos

f−1(Gc) = [f−1(G)]c. (∗)

Logo, se f e contınua em M e F e um subconjunto fechado de N entao F c um subconjuntoaberto de N .


Como f e contınua em M segue do teorema (4.2.1) que f−1(F c) sera um subconjunto abertode M , logo, de (*), temos que [f−1(F )]c sera um subconjunto aberto de M mostrando quef−1(F ) sera um subconjunto fechado de M .

Reciprocamente, se para todo F , subconjunto fechado de N , tivermos que f−1(F ) e umsubconjunto fechado de M entao dado A, um subconjunto aberto de N temos que Ac sera umsubconjunto fechado de N .

Logo, por hipotese, temso que f−1(Ac) sera subconjunto fechado de M .Assim, de (*), segue que [f−1(A)]c sera subconjunto fechado de M , ou seja, f−1(A) sera

subconjunto aberto de M .Portanto, do teorema (4.2.1) segue que f e uma funcao contınua em M , completando a prova

da proposicao.¤

Observacao 4.4.8 Conclusao: uma condicao necessaria e suficiente para que uma funcao entreespacos metricos seja contınua e que imagem inversa de subconjuntos fechados sejam subcon-juntos fechados.

Antes do proximos resultados introduziremos a seguinte

Definicao 4.4.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e uma aplicacao f : M → N .Diremos que a funcao f e fechada se para todo A subconjunto fechado de M tivermos que

f(A) e um subconjunto fechado de N .

Com isto temos o

Corolario 4.4.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e uma aplicacao f : M → Nbijetora. Entao

f e um homeomorfismo de M em N se, e somente se, f e contınua e fechada em M .

Demonstracao:Se f e um homeomorfismo de M em N entao f e f−1 serao contınuas em N .

-f

A

¾f−1

f(A) = [f−1]−1(A)

M N

Logo se A e subconjunto fechado de M , da proposicao acima deveremos ter que [f−1]−1(A)e um subconjunto fechado de N .

Como f e bijetora temos que

f(A) = [f−1]−1(A). (∗)


Logo f(A) e um subconjunto fechado de N .Reciprocamente, se f e fechada em M e A e um subconjunto aberto em M entao Ac sera

um subconjunto fechado em M .Logo f(Ac) sera um subconjunto fechado em N .Como [f(A)]c = f(Ac) temos que f(A) sera um subconjunto aberto em N .Assim, de (*), segue que [f−1]−1(A) sera um subconjunto aberto de N .Logo, do teorema (4.2.1) segue que a funcao f−1 sera contınua em N , ou seja, f e um

homeomorfismo de M em N , completando a demonstracao.¤

Observacao 4.4.9 Conclusao: uma condicao necessaria e suficiente para que uma funcao bi-jetora entre espacos metricos seja um homeomorfismo e que imagem inversa de subconjuntosfechados sejam subconjuntos fechados e que imagem de subconjuntos fechados sejam subconjun-tos fechados.

Uma outra consequencia da proposicao acima e

Corolario 4.4.6 Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espacos metricos e Fi ⊆ Mi subconjuntos fechadosde Mi, i = 2, · · · , n.

Entao F1 × · · · × Fn e um subconjunto fechado de M1 × · · · ×Mn (este munido de uma dastres metricas basicas).

Demonstracao:Sabemos, do exemplo (3.1.13), que as projecoes

pi : M1 × · · · ×Mn → Mi,

dadas porpi(x1, · · · , xi, · · · , xn) = xi, (x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · ×Mn

sao contınuas para todo i = 1, 2, · · · , n.Alem disso vimos anteriormente que

F1 × · · · × Fn = p−11 (F1) ∩ · · · p−1

n (Fn). (∗)Assim, como para cada i = 1, · · · , n temos que Fi ⊆ Mi e um subconjunto fechado de Mi,

i = 2, · · · , n, da proposicao acima segue que p−1i (Fi) ⊆ M1 × · · · × Mn sera um subconjunto

fechado de M1 × · · · ×Mn.Portanto da proposicao (4.4.5) item 3. segue que

p−11 (F1) ∩ · · · p−1

n (Fn)

sera um subconjunto fechado de M1× · · ·×Mn e assim, de (*), segue que F1× · · ·×Fn sera umsubconjunto fechado de M1 × · · · ×Mn, como querıamos demonstrar.

¤A seguir daremos mais duas consequencias da proposicao acima:

Corolario 4.4.7 Sejam (M,dM ), (R, d) espacos metricos (onde a metrica d em R e a usual) e(fλ)λ∈L uma famılia de funcoes reais, fλ : M → R, contınuas em M .

Entao o conjunto{x ∈ M : fλ(x) ≥ 0, para todo λ ∈ L}

e um subconjunto fechado de M .


Demonstracao:Para cada λ ∈ L temos que fλ e contınua em M .Como [0,∞) e um subconjunto fechado de R (pois seu complementar em R sera (−∞, 0) que e

um subconjunto aberto de R), da proposicao acima, segue que f−1λ ([0,∞)) sera um subconjunto

fechado de M .Observemos que

f−1λ ([0,∞)) = {x ∈ M : fλ(x) ≥ 0}.

Assim, da proposicao (4.4.5) item 3., segue que⋂

λ∈Lf−1

λ ([0,∞)) sera um subconjunto fechado

de M .Finalmente, observemos que

{x ∈ M : fλ(x) ≥ 0, para todo λ ∈ L} =⋂

λ∈Lf−1

λ ([0,∞)),

mostrando que

{x ∈ M : fλ(x) ≥ 0, para todo λ ∈ L}

e um subconjunto fechado de M , como querıamos mostrar.¤

Corolario 4.4.8 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N , contınua em M .Entao o grafico de f , G(f), e um subconjunto fechado de M ×N (munido de uma das tres

metricas usuais), isto e, o conjunto

G(f) = {(x, f(x) ∈ M ×N : x ∈ M}

e um subconjunto fechado de M ×N .Em particular, a diagonal

∆ .= {(x, y) : M ×M : y = x}

e um subconjunto fechado de M ×M .

Demonstracao:Observemos que a funcao

ϕ : M ×N → R

dada por

ϕ(x, y) .= dN (f(x), y), (x, y) ∈ M ×N

e uma funcao contınua em M ×N (onde em R consideramos a metrica usual) pois e compostade funcoes contınuas (veja diagrama abaixo).


-

6

M

N

-

(f, id)

6

-N

N

?

dN

-

R

ϕ = d ◦ (f, id)

(x, y)

(f(x), y)

ϕ(x, y) = dN (f(x), y)

Alem disso, (x, y) ∈ G(F ) se, e somente se, y = f(x) ou, equivalentemente, dN (f(x), y) = 0,ou ainda, ϕ(x, y) = 0.

Conclusao:

G(f) = {(x, y) ∈ M ×N : y = f(x)} = {(x, f(x)) ∈ M ×N : x ∈ M}= {(x, y) ∈ M ×N : ϕ(x, y) = 0} = ϕ−1({0})

Do exemplo (4.4.5) temos que {0} e um subconjunto fechado de R.Logo da proposicao acima segue que ϕ−1({0}) e um subconjunto fechado de M ×N , ısto e,

G(f) e um subconjunto fechado de M ×N , como querıamos provar.Para mostrar que a diagonal de M × M , ∆, e um subconjunto fechado de M × M basta

observar que ∆ e o grafico da aplicacao identidade, isto e,

∆ = G(id)

e que a aplicacao identidade e contınua em M .Portanto do corolario segue que seu grafico sera um subconjunto fechado de M ×M , ou seja,

a diagonal de M ×M , ∆, e um subconjunto fechado de M ×M .¤

Observacao 4.4.10

1. Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espacos metricos e F e um subconjunto fechado de M1×· · ·Mn

isto nao implica, necessariamente, que a projecao de F em cada um dos fatores de M1 ×· · ·Mn seja um subconjunto fechado no correspondente fator.

Para ver isto, consideraremos o seguinte exemplo:

Sejam M1 = M2 = R munido da metrica usual, M1 ×M2 = R2 munido da metrica usuale F

.= {(x, y) ∈ R2 : x.y = 1}.Observemos que se

m : R2 → R e dada por m(x, y) .= x.y, (x, y) ∈ R2


entao vimos anteriormente que m e uma funcao contınua em R2.

Logo, da proposicao (4.4.6) segue que F = m−1({1}) sera um subconjunto fechado de R2

(pois {1} e um subconjunto fechado de R).

Mas p1(F ) = R \ {0} que nao e um subconjunto fechado em M1 = R.


6

- x

y

(0, 0)

(x, 1x

)

2. A reuniao qualquer de subconjuntos fechados de um espaco metrico pode nao ser umsubcojunto fechado do mesmo.

Para ver isto basta considerar um espaco metrico (M, dM ) que tenha um subconjunto, Aque seja aberto e nao seja fechado.

Observemos que se x ∈ M entao {x} sera um subconjunto fechado de M .

Mas A =⋃

a∈A

{a}, ou seja, a reuniao dos subsconjuntos fechados {a}, a ∈ A, e o conjunto

A, que e um subconjunto aberto de M que nao e um subconjunto fechado de M .

Exemplo 4.4.6 Seja (M,dM ) um espaco metrico, a ∈ M e r > 0.Entao S[a; r] e um subconjunto fechado de M .De fato, se considerarmos

da : M → R dada por da(x) .= dM (a, x), x ∈ M

entao vimos anteriormente que a funcao da sera contınua em M (onde em R tomamos a metricausual).

Podemos ver queS[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) = r} = d−1

a ({r}).Mas {r} em um subconjunto fechado de R.Logo da proposicao acima segue que S[a; r] e um subconjunto fechado de M .

Observacao 4.4.11

1. Se f : M → R entao dado c ∈ R o conjunto f−1({c}), ou seja, o conjunto formado pelospontos de M onde a funcao vale c (que pode ser vazio!) sera denominado superfıcie denıvel c da funcao f .

Se a funcao f for contınua em M ((M, dM ) um espaco metrico e R munido da metricausual) entao, a proposicao acima garante que todas as superfıcies de nıvel de f sao sub-conjunto fechados de M .


2. As nocoes de fecho e conjunto fechado sao relativas, isto e, dizem respeito ao espacometrico considerado.

Por exemplo, se M = [0, 1) com a metrica induzida pela metrica usual de R e A = (12, 1)

entao o fecho de A em M sera A = [12 , 1) enquanto o fecho de A em R sera A = [12 , 1].

A relacao entre fecho num subespaco metrico e o fecho no espaco todo e dado pela:

Proposicao 4.4.7 Sejam (M, dM ) espaco metrico e S ⊆ M com a metrica induzida de M .Se X ⊆ S indicaremos por X

S, o fecho de X em S e por XM , o fecho de X em M .

EntaoX

S = XM ∩ S.

Demonstracao:Indicaremos por dM a metrica em M e por dS a metrica induzida em S pela metrica dM de

M .Observemos que se a ∈ S entao

dM (a,X) = inf{dM (a, x) : x ∈ X}

que e a mesma se considerarmos X como subconjunto de S, ou seja,

dS(a,X) = inf{dS(a, x) : x ∈ X}.

Logo

XS = {a ∈ S : dS(a,X) = 0} = {a ∈ M : dM (a,X) = 0} ∩ S = X

M ∩ S,



Corolario 4.4.9 Sejam (M,dM ) espaco metrico e S ⊆ M com a metrica induzida de M .Se S e um subconjunto fechado de M e X ⊆ S entao

XS = X

M.

Demonstracao:Observemos que

X ⊆ S[observacao (4.4.2 ) item 2.c.]⇒ X

M ⊆ SM [S e fechado em M ]

= S[corolario acima]⇒ X

M ∩ S = XS.


Observacao 4.4.12 Segue do corolario acima que se S e um subconjunto fechado de M entaoX ⊆ S e um subconjunto fechado de S se, e somente se, X e um subconjunto fechado de M(pois um conjunto e fechado se, e somente se, ele e igual ao seu fecho).

Temos tambem a


Proposicao 4.4.8 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, F1, F2 subconjuntos fechados deM tal que M = F1 ∪ F2 e f : M → N .

Suponhamos que as restricoes f|Fi: Fi → N , i = 1, 2 sao contınuas em F1 e F2, respectiva-

mente.Entao f e contınua em M .

Demonstracao:Se H e um subconjunto fechado de N , como M = F1 ∪F2, pode-se provar que (sera deixado

como exercıco para o leitor; vide figura aabixo)

f−1(H) = f−1|F1

(H) ∪ f−1|F2

(H).

-f

MN

H

F1

F2

f−1|F1

(H)

-

-

f|F1

f|F2

f−1|F2

(H)

f−1(H)-

-

Comof|F1e f|F2

sao contınuas em F1 e F2, respectivamente, segue, da proposicao (4.4.6) quef−1|F1

(H) e f−1|F2

(H) sao fechados em F1 e F2, respectivamente.

Como F1 e F2 sao fechados em M segue do corolario acima que f−1|F1

(H) e f−1|F2

(H) sao fechadosem M .

Logo, da proposicao (4.4.5) item 2., segue que f−1(H) e fechado em M e aplicando aproposicao (4.4.6) temos que f sera contınua em M , completando a demonstracao do resul-tado.

¤Um outra consequencia importante e

Exercıcio 4.4.2 Sejam (N, dN ) um espaco metrico, [a, b], [c, d] munidos da metrica usual deR e f : [a, b] → N e g : [c, d] → N contınuas em [a, b] e [c, d], respectivamente e que satisfazemf(b) = g(b).

Entao a funccao h : [a, c] → N dada por

h(t) =

{f(t), a ≤ t ≤ b

g(t), b ≤ t ≤ c

e contınua em [a, c].De fato, observemos que F1

.= [a, b] e F2.= [c, d] sao subconjuntos fechados de M

.= [a, c] =F1 ∪ F2 (sera deixado como exercıco para o leitor a verificacao deste fato).

Alem disso temos, por hipotese, que h|[a,b]= f e h|[b,c]

= g sao contınuas em F1 = [a, b] eF2[c, d], respectivamente.

Logo da proposicao acima temos que h sera contınua em [a, c], como querıamos mostrar.


17.10.2008 - 21.aPara finalizar temos a

Definicao 4.4.6 Sejam (M, dM ) espaco metrico e X ⊆ M .Diremos que um ponto a ∈ M e ponto de acumulacao de X se toda bola aberta de centro

em a contem, pelo menos, um ponto de X, diferente do ponto a, isto e, para todo r > 0 temos

[B(a; r) ∩X] \ {a} 6= ∅.

Indicaremos por X ′ o conjunto formado por todos os pontos de acumulacao do conjunto Xe a este daremos o nome de derivado de X.

Observacao 4.4.13

1. Tenos queX ′ ⊆ X,

isto e, todo ponto de acumulacao de um conjunto e um ponto aderente ao conjunto.

A recıproca e falsa, como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos R com a metrica usual e X = [0, 1] ∪ {2}.Temos que 2 e ponto aderente a X mas nao e ponto de acumulacao de X (isto e, 2 ∈X \X ′).

2. Na situacao acima temos que

a ∈ X ′ ⇐⇒ a ∈ X \ {a}.

De fato, se a ∈ X ′ entao para todo r > 0 temos

[B(a; r) ∩X] \ {a} 6= ∅.

Afirmamos que a 6∈[X \ {a}

]c.

De fato, suponhamos, por absurdo, que a ∈ [X \ {a}] c.

Sabemos que[X \ {a}

]c e um subconjuto aberto de M , logo todo ponto de [X \ {a}] ,c sera

ponto interior do mesmo.

Em particular, a ∈[X \ {a}

]c logo devera existir r > 0 tal que

B(a; r) ⊆[X \ {a}

]c,

ou seja,B(a; r) ∩X \ {a} = ∅.

Como X \ {a} ⊆ X \ {a} segue que

B(a; r) ∩X \ {a} = ∅,

o que e uma absurdo, pois a ∈ X ′.

Logo a 6∈ [X \ {a}]c assim a ∈ X \ {a}.


Reciprocamente, se a ∈ X \ {a} entao temos que a 6∈ [X \ {a}] c, este e um subconjuntoaberto de M .

Logo a nao sera ponto interior de [X \ {a}] c, ou seja, para todo r > 0 temos que B(a; r)nao estara contida em [X \ {a}] c, ou ainda,

B(a; r) ∩X \ {a} 6= ∅.

Logo se b ∈ B(a; r) ∩X \ {a} segue que para todo s > 0 temos

B(b; s) ∩X \ {a} 6= ∅. (∗)

Como B(a; r) e aberto e b ∈ B(a; r) existe 0 < s0 < r tal que

B(b; s0) ⊆ B(a; r),

implicando queB(a; r) ∩X \ {a} 6= ∅. (∗∗)

De (*) e (**) temos que, a ∈ X ′.

3. Como consequencia temos: para todo subconjunto finito F de M temos que F ′ = ∅.4. Se X e um subconjunto de M entao temos

X = X ∪X ′.

Com X,X ′ ⊆ X segue que X ∪X ′ ⊆ X.

Por outro lado, se a ∈ X entao ou a ∈ X ou a 6∈ X.

Neste ultimo caso toda bola centrada em a devera conter, pelo menos, um ponto diferente doponto a (pois caso contrario o ponto a pertenceria ao aberto X c, o que seria um absurdo),logo a ∈ X ′.

Para finalizar o capıtulo consideremos o seguinte

Exemplo 4.4.7 Consideremos em R a metrica usual,

X = Q, Y = Z, U = [0, 1], V = {0, 1,12, · · · ,

1n

, · · · }, W = {(1 +1n

)n : n ∈ N}.

Entao pode-se mostrar que (sera deixado como exercıcio para o leitor):

X ′ = R, Y ′ = ∅, , U ′ = U, V ′ = {0}, W ′ = {e}.

Ou seja, nestes casos teremos:

X6=⊆ X ′, Y ′ 6=⊆ Y, U ′ = U, V ′ 6=⊆ V, W ′ 6⊆ W.


Capıtulo 5

Conjuntos Conexos

5.1 Definicoes e exemplos

Comecaremos pela

Definicao 5.1.1 Seja (M, dM ) um espaco metrico.Uma cisao de M e uma decomposicao de M do tipo

M = A ∪B

onde A, B sao subconjuntos abertos e disjuntos de M .Uma cisao de M = A ∪B sera dita cisao trivial se A ou B for o conjunto vazio.

Observacao 5.1.1

1. Se M = A ∪B e uma cisao de M entao temos que

A = M \B e B = M \A.

Logo os conjuntos A, B tambem serao fechados em M (pois seus complementares saoabertos em M).

2. Se M = A ∪B e uma cisao trivial entao A = M ou B = M .

Consideremos os seguintes exemplos:

Exemplo 5.1.1 Seja M = R \ {0} munido da metrica usual de R.E facil ver que M = (−∞, 0) ∪ (0,∞) e uma cisao de M (pois (−∞, 0), (0,∞) sao subcon-

juntos abertos de M).

Exemplo 5.1.2 Sejam M = Q munido da metrica usual de R e α ∈ I.Se A

.= {x ∈ Q : x > α} e B.= {x ∈ Q : x < α} entao e facil ver que M = A ∪ B e uma

cisao de M (pois A, B sao subconjuntos abertos de M).

Exemplo 5.1.3 Se (M,dM ) e um espaco metrico discreto entao para todo A ⊆ M temos queM = A ∪ (M \ A) sera um cisao de M (pois neste caso todo subconjunto de M sera umsubconjunto aberto de M).

165

166 CAPITULO 5. CONJUNTOS CONEXOS

Observacao 5.1.2 Indicaremos por Mn(R) o espaco vetorial das matrizes reais quadradas deordem n.

Dada uma matriz real quadrada de ordem n podemos identifica-la com uma lista de n2

numeros reais da seguinte forma:

(aij)1≤i,j≤n ∈ Mn(R) 7→ (a11, · · · , a1n, a21, · · · , a2n, · · · , an1, · · · , ann) ∈ Rn2

e reciprocamente todo elemento de Rn2pode ser identificado com uma matriz real quadrada de

ordem n.Logo podemos munir Mn(R) com a metrica de Rn2

.

Com isto temos o

Exemplo 5.1.4 Vimos anteriormente que a funcao determinante det : Rn2 → R e uma funcaocontınua em Rn2

.Consideremos Gn o conjunto formado pelas matrizes quadradas reais de ordem n que tem

determinante diferente de zero, munido da metrica de Rn2.

Sabemos que Gn e o conjunto formado pelas matrizes quadradas reais de ordem n que saoinversıveis.

Do corolario (4.2.4) sabemos que Gn e um subconjunto aberto de Rn2.

Definindo-se G+n como sendo o conjunto formado pelas matrizes quadradas reais de ordem

n que tem determinante maior que zero e G−n como sendo o conjunto formado pelas matrizes

quadradas reais de ordem n que tem determinante menor que zero segue, do corolario (4.2.3),que G+

n e G−n sao subconjuntos abertos de Gn.

Alem disso temosGn = G+

n ∪G−n ,

isto e, uma cisao de Gn.

Observacao 5.1.3 Em todos os exemplos acima as cisoes obtidas nao sao cisoes triviais.

Definicao 5.1.2 Um espaco metrico (M,dM ) sera dito conexo se toda cisao de M deve ser acisao trivial.

Um subconjunto X de M sera dito conexo se (X, dM ) for um espaco metrico conexo.Um espaco metrico sera dito desconexo se ele admite uma cisao nao trivial.

Observacao 5.1.4

1. Logo um espaco metrico (M, dM ) sera dito conexo se, e somente se, M = A ∪ B comA,B subconjuntos abertos de M implicar que ou A = ∅ ou B = ∅ (ou, equivalentemente,A = M ou B = M).

2. Em todos os exemplos acima os espacos metricos envolvidos sao espacos metricos des-conexos.

3. A propriedade de ser conexo e intrınseca do conjunto, ou seja, se X e subespaco metricode M e N (ou seja, as metricas dM e dN induzem a mesma metrica em X) entao X eum subconjunto conexo de M se, e somente se, X e um subconjunto conexo de N .

Com isto temos a

5.1. DEFINICOES E EXEMPLOS 167

Proposicao 5.1.1 Seja (M, dM ) um espaco metrico.Sao equivalentes:

1. M e um espaco metrico conexo;

2. M e ∅ sao os unicos subconjuntos de M que sao abertos e fechados em M ;

3. se X e um subconjunto de M que tem a fronteria igual o conjunto vazio entao X = M ouX = ∅.

Demonstracao:Observemos que se M = A ∪B entao A,B sao subconjuntos abertos de fechados de M pois

A e um subconjunto aberto de M e B = M \ A = Ac, logo B sera um subconjunto fechado deM .

De moto semelhante, A e subconjunto fechado de M pois B e um subconjunto aberto de Me A = M \B = Bc, logo A sera um subconjunto fechado de M .

(1) ⇒ (2):Se M e um espaco metrico conexo entao se A ⊆ M for um subconjunto aberto e fechado em

M entao Ac tambem sera um subconjunto aberto de M (pois A e um subconjunto fechado deM).

Logo M = A ∪Ac sera uma cisao de M .Como M e conexo ou A = M ou Ac = M , isto e, ou A = M ou A = ∅, como querıamos

mostrar.(2) ⇒ (1):Se M = A∪B e uma cisao de M , como vimos acima, A,B devem ser abertos e fechados em

M .Portanto ou A = M e B = ∅ ou B = M e A = ∅, ou seja, toda cisao de M deve ser a cisao

trivial, mostrando que M e conexo.(2) ⇒ (3):Se X ⊆ M sabemos que:

(i) X ∩ ∂X = ∅ se, e somente se, X e um subconjunto aberto de M e

(ii) ∂X ⊆ X se, e somente se, X sera subconjunto fechado de M .

Logo se X ⊆ M tem fronteira vazia entao X ∩ ∂X = X ∩ ∅ = ∅ e ∂X = ∅ ⊆ X.De (i) e (ii) acima segue que X sera um subconjunto aberto e fechado de M .De (2) deveremos ter X = M ou X = M .(3) ⇒ (2):Seja X ⊆ M e um subconjunto aberto e fechado de M .Como X e um subconjunto aberto M teremos, por (i), que

X ∩ ∂X = ∅. (∗)

Por outro lado, como X e um subconjunto fechado de M , por (ii), devermos ter

∂X ⊆ X. (∗∗)

De (*) e (**) segue que ∂X = ∅.Lodo, de (3), deveremos ter X = M ou X = M , ou seja, os unicos subconjuntos de M que

sao aberto e fechados em M sao M e ∅.¤


Observacao 5.1.5 A proriedade 3. nos diz que num espaco metrico os unicos subconjuntos deum espaco metrico que tem a fronteira igual o conjunto vazio sao o espaco todo e o conjuntovazio.


Exemplo 5.1.5 Seja M.= R \ {0} munido da metrica usual de R.

Entao M nao e conexo.De fato, pois se A

.= (0,∞) e um subconjunto aberto de M e seu complementar (em M)sera Ac = (−∞, 0) que tambem e um subconjunto aberto de M implicando que A tambem seraum subconjunto fechado em M .

Logo o subconjunto A = (0,∞) um subconjunto aberto e fechado em M e e diferente de Me do conjunto ∅.

Logo da proposicao (5.1.1) segue que M nao pode ser um conjunto conexo.

Exercıcio 5.1.1 , M.= Q munido da a metrica usual de R.

Entao M nao e conexo.De fato, pois se A

.= (√

2,∞)Q e um subconjunto aberto de M e seu complementar (em M)sera Ac = (−∞,

√2)Q que tambem e um subconjunto aberto de M implicando que A tambem

sera um subconjunto fechado em M .Logo o subconjunto A = (

√2,∞) um subconjunto aberto e fechado em M e e diferente de M

e do conjunto ∅.Logo da proposicao (5.1.1) segue que M nao pode ser um conjunto conexo.

Exemplo 5.1.6 Seja (M, dM ) um espaco metrico discreto contendo mais de um ponto.Entao M nao e conexo.De fato, se x 6= y e x, y ∈ M entao temos que A

.= {x} e um subconjunto aberto de M e seucomplementar (em M) sera Ac que tambem e um subconjunto aberto de M implicando que Atambem sera um subconjunto fechado em M .

Logo o subconjunto A = {x} um subconjunto aberto e fechado em M e e diferente de M(pois y 6= A) e do conjunto ∅.

Logo da proposicao (5.1.1) segue que M nao pode ser um conjunto conexo.

Exemplo 5.1.7 (R, |.|) e um espaco metrico conexo.De fato, suponhamos, por absurdo, que exista uma cisao nao trivial

R = A ∪B,

ou seja, A,B sao abertos, disjuntos e nao vazios.Consideremos a ∈ A e b ∈ B.Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b.Seja X

.= {x ∈ A : x < b}.Como a ∈ X segue X 6= ∅ e alem disso e limitado superiormente (pois b e um limitante

superior de X).Logo existe c

.= supX e temos que c ≤ b (pois b e e um limitante superior de X).Da definicao de supremo, dado ε > 0 existe x ∈ X ⊆ A tal que

c− ε < x ≤ c,

5.2. PROPRIEDADES GERAIS DE CONJUNTOS CONEXOS 169

ou ainda, para todo ε > 0 temos que

B(c; ε) ∩A 6= ∅,

implicando que c ∈ A.Como A e um subconjunto fechado de R (pois Ac = R \A = B que e um subconjunto aberto

de R) deveremos ter c ∈ A.Como b ∈ B e A ∩B = ∅ segue que c 6= b, logo c < b (pois c ≤ b).Como A e um subconjunto aberto de R e c ∈ A segue que existe δ > 0 tal que

c + δ < b e(c− δ, c + δ) = B(c; δ) ⊆ A.

Em particular, (c, c + δ) ⊆ A.Logo todos os pontos de (c, c+δ) pertencerao a X (pois c+δ < b e se x < c+δ entao x ∈ A).Logo c nao podera ser o supremo de X (pois c + δ

2 ∈ X), o que e uma absurdo.Portanto a unica cisao de (R, |.|) e cisao trivial, ou seja, (R, |.|) e um espaco metrico conexo.

5.2 Propriedades gerais de conjuntos conexos

Comecaremos pela

Proposicao 5.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e f : M → N contınua em M .Se (M, dM ) e conexo entao (f(M), dN ) sera um espaco metrico conexo.

Demonstracao:Consideremos primeiramente o caso em que f e sobrejetora (isto e, N = f(M)).Consideremos N = A ∪B uma cisao de N . (*)Como A,B ⊆ N sao subconjuntos abertos em N e f e uma funcao contınua em M segue

que f−1(A), f−1(B) ⊆ M sao subconjuntos abertos em M .Alem disso, como N = A ∪B teremos

M = f−1(A) ∪ f−1(B),

ou seja, uma cisao de M .Como M e conexo segue que esta cisao deve ser a trivial, isto e,

(i) ou f−1(A) = ∅ e f−1(B) = M ;

(ii) ou f−1(A) = M e f−1(B) = ∅.

Deste modo, se (i) ocorrer, como f e sobrejetora, concluimos que B = f(M) = N e assimA = ∅.

De modo semelhante, se (ii) ocorrer, como f e sobrejetora, concluimos que A = f(M) = Ne assim B = ∅.

Em qualquer um dos casos temos que a cisao (*) de N sera a trivial, ou seja, N = f(M)sera conexo.

Se f e contınua em M e nao for sobrejetora, entao temos que f : M → f(M) sera contınuaem M e sobrejetora.

Neste caso, pelo que acabamos de ver, teremos que (f(M), dN ) sera conexo.¤


Observacao 5.2.1 Resumindo: a imagem de um conexo por uma aplicacao contınua sera umconjunto conexo.


Corolario 5.2.1 Sejam (M,dM ) espaco metrico conexo e (N, dN ) homeomorfo a (M,dM ).Entao (N, dN ) sera um espaco metrico conexo.

Demonstracao:Se N e homeomorfo a M entao existe f : M → N um homeomorfismo de M em N .Em particular, N = f(M) e como M e conexo e f e contınua em M segue, da proposicao

(5.2.1) que N sera conexo.¤

Observacao 5.2.2 Conclusao: todo espaco metrico homeomorfo a um espaco metrico conexotambem sera conexo.

Com isto temos os seguintes exemplos:

Exemplo 5.2.1 Todo intervalo aberto de (R, |.|) e conexo.De fato, pois vimos na observacao (3.3.6) item 1., 2. e 3., todo intervalo aberto de R e

homeomorfo a R.Mas (R, |.|) e conexo.Logo, do corolario acima segue, que todo intervalo aberto de R e conexo.

Exemplo 5.2.2 Consideremos S1 .= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} munido da metrica usual deR2 e R munido da metrica usual.

A aplicacaof : R→ R2

dada porf(t) .= (cos(t), sen(t)), t ∈ R

e contınua em R (pois suas componentes sao contınuas me R) e S1 = f(R).Logo f : R→ S1 e contınua em R e sobrejetora.

6

-f

6

-

f(t) = (cos(t), sen(t))

t

^

1

1S1

Como R e conexo, segue da proposicao (5.2.1), que S1 sera conexo.


Um outro resultado importante e dado pela

Proposicao 5.2.2 Seja (M, dM ) um espaco metrico conexo.Entao M e conexo.

Demonstracao:Suponhamos, primeiramente, que X ⊆ M e um conjunto conexo e tal que X = M , ou seja,

X e denso em M .Mostremos que, neste caso, M sera conexo.Para isto, consideremos

M = A ∪B (∗)uma cisao de M .

Com isto temos queX = (A ∩X) ∪ (B ∩X)

sera um cisao de X (pois se A,B sao subconjuntos abertos disjuntos de M entao A∩X e A∩Ytambem serao subconjuntos abertos disjuntos de X).

Mas, X e conexo, logo

ou A ∩X = ∅ ou B ∩X = ∅. (∗)

Afirmamos que, como X e denso em M deveremos ter

A = ∅ ou B = ∅.

De fato, suponhamos, por absurdo, que A 6= ∅ e B 6= ∅, ou seja, existem a ∈ A e b ∈ B.Como A e B sao abertos temos que existem ra, rb > 0 tais que

B(a; ra) ⊆ A e B(b; rb) ⊆ B. (∗∗)

Mas X e denso em M , logo

B(a; ra) ∩X 6= ∅ e B(b; rb) ∩X 6= ∅. (∗ ∗ ∗)

Logo de (**) e (***) teremos que

A ∩X 6= ∅ e B ∩X 6= ∅

o que contraria (*), logo um absurdo.Logo, da afirmacao acima, segue que a cisao (*) de M = X devera ser a cisao trivial, ou

seja, M = X e conexo.Se M e conexo, como M e denso em M , segue que, do caso anteior, que M e conexo, como

querıamos mostrar.¤

Exemplo 5.2.3 Sejam R munido da metrica usual, a, b ∈ R, a < b.Entao, do exemplo (5.2.1) e da proposicao acima segue que [a, b] = (a, b) e conexo em R.

21.10.2008 - 22.aComo consequencia temos o


Corolario 5.2.2 Sejam (M,dM ) espaco metrico, X, Y ⊆ M tais que X ⊆ Y ⊆ X (= XM ).

Se X e conexo entao Y sera conexo.

Resolucao:Observemos que, da proposicao (4.4.7), segue que o fecho do conjunto X no subespaco Y

sera

XY = X

M ∩ Y[Y⊆X

M]

= Y.

Logo X e denso em Y e portanto, pela proposicao acima, Y devera ser conexo.¤

Exemplo 5.2.4 Sejam R munido da metrica usual, a, b ∈ R, a < b.Temos que

(a, b) ⊆ (a, b] ⊆ [a, b] = (a, b)

Entao, dos exemplos (5.2.1), (5.2.5) e do corlario acima temos que (a, b] e conexo em R.De modo semelhante temos que [a, b) e conexo em R.

Exercıcio 5.2.1 Podemos mostrar que S1 ⊆ R2 e conexo utilizando um argumento diferente doexemplo (5.2.2).

Para isto, consideremos p.= (0, 1) e X

.= S1 \ {p}.Sabemos que X e homeomorfo a reta R, munido da metrica usual (um homeomorfismo e

dado pela projecao estereografica, ver exemplo (3.3.5)).Como R e conexo segue do corolario (5.2.1) que S1 \ {p} e conexo.Afirmamos que X = S1.De fato, pois como S1 e fechado em R2 e X ⊆ S1 segue que X ⊆ S1 = S1, isto e, X ⊆ S1.Para mostrar que S1 ⊆ X basta mostrar que p ∈ X, ou seja, que o ponto p = (0, 1) nao e

ponto isolado de S1 (logo devera pertencer a X).Para mostrar isto consideremos a projecao

p1 : S1+

.= {(x, y) ∈ S1 : y > 0} → (−1, 1)

dada porp1(x, y) .= x, (x, y) ∈ S1

+

(p1 e a projecao da semi-circunferencia superior, S1+, sobre o intervalo (−1, 1); veja figura

abaixo).

-

6

−1 1

(x, y) ∈ S1+

x = p1(x, y)

p = (0, 1)

0


Observemos que p1 sera um homeomorfismo (a verificacao deste fato sera deixado comoexercıcio para o leitor) e p1(p) = 0.

Como 0 nao e ponto isolado de (−1, 1) (munido da metrica induzida pela metrica usual deR) segue (pelo homeomorfismo p1) que p nao sera ponto isolado de S1

+, e portanto de S1, comoafirmamos.

Finalmente, o corolario (5.2.2) implica que S1 = X sera conexo.

Observacao 5.2.3

1. Seja u ∈ S1.

Podemos definir uma projecao estereografoca,

Πu : S1 \ {u} → R

(mesmo que u 6= p = (0, 1), isto e, u nao sendo o polo norte de S1).

Para isto basta lembra que a rotacao de um angulo θ, rθ, (o angulo entre os vetores ~Op e~Ou) e um homeomorfismo e assim

Πu = Π ◦ rθ,

onde Π e a projecao estereografica do exemplo (3.3.5) (veja figura abaixo).

-

6

u

-rθ

θ

(0, 1)

-

6p = rθ(u)

?

Π projecao estereografica

- R

~

Πu = Π ◦ rθ

Logo temos que S1 \ {u} sera conexo.

2. Sejam u, v ∈ S1, u 6= v.

Afirmamos que S1 \ {u, v} nao e conexo.

De fato, sejaax + by = c

a equacao da reta que passa pelos pontos (distintos) u e v.

Consideremos

X.= {(x, y) ∈ S1 : ax + by > c} e Y

.= {(x, y) ∈ S1 : ax + by < c}.



-

6

u ∈ S1

v∈S1

?

ax + by = c

A

B

Consideremos em R2 e R as metricas usuais.

Entao a funcao f : R2 → R dada por

f(x, y) .= ax + by, (x, y) ∈ R2

e contınua em R2 (pois e uma funcao linear).

Como (c,∞) e (−∞, c) sao subconjuntos abertos de R segue que

X = f−1((c,∞)) e Y = f−1((−∞, c))

sao subconjutos abertos de R2 e sao nao vazios (pois u 6= v).

LogoA

.= X ∩ S1 e B.= Y ∩ S1

sao subconjutos abertos de S1, sao nao vazios e

S1 \ {u, v} = A ∪B,

ou seja, uma cisao nao trivial de S1 \ {u, v}.Portanto S1 \ {u, v} nao e conexo.

3. Conclusao: S1, S1 \ {u} sao subconjuntos conexos de R2 e X ⊆ S1 contem mais de umponto entao S1 \X nao e um subconjunto conexo de R2.

Um outro exemplo importante e

Exemplo 5.2.5 Seja

X.= {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y = cos(

1x

)}(munido da metrica usual de R2) o grafico da funcao

f : (0,∞) → R

dada por

f(x) .= cos(1x

), x ∈ (0,∞).


Como f e contınua em (0,∞) (munido da metrica usual de R), a proposicao (3.3.5) garanteX e homeomorfo a (0,∞).

Como (0,∞) e conexo segue, do corolario (5.2.1), que X e conexo (veja figura abaixo).

-

6

−1

1

(x, cos( 1x

))

]

x = 2(2K+1)π

Seja J.= {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1}.

Afirmamos que todo ponto de J e ponto aderente X, ou seja, J ⊆ X (vide figura abaixo).A demonstracao deste fato sera deixada como exercıcio para o leitor.

-

6

−1

1

s

J

Iε }

(x, cos( 1x

))

Logo se T ⊆ J temos que X ⊆ X ∪ T ⊆ X.Como X e X sao conexos, segue do corolario (5.2.2), que se T ⊆ J entao X∪T sera conexo.

Observacao 5.2.4 O exemplo acima nos diz que X ∪ J e conexo apesar de nao ser formadopor um unico ”pedaco”(a saber, X e J que sao disjuntos) contrariando a nossa intuicao.

Temos a

Proposicao 5.2.3 Seja (Xλ)λ∈L uma famılia de subconjuntos conexos de um espaco metrico(M, dM ).


Suponhamos que⋂

λ∈LXλ 6= ∅.

EntaoX

.=⋃

λ∈LXλ (∗)

sera um conjunto conexo.

Demonstracao:

Sejam a ∈⋂

λ∈LXλ e

⋃

λ∈LXλ = X = A ∪B (∗∗)

uma cisao de X.Logo a ∈ A ou a ∈ B.Podemos supor, sem perda de generalidade, que a ∈ A.Observemos que para todo λ ∈ L temos que

A ∩Xλ e B ∩Xλ

sao subconjuntos abertos em Xλ.Para cada λ ∈ L, temos, por (*), que

Xλ = X ∩Xλ = (A ∪B) ∩Xλ = (A ∩Xλ) ∪ (B ∩Xλ),

isto e,Xλ = (A ∩Xλ) ∪ (B ∩Xλ)

e uma cisao de Xλ.Como Xλ e conexo segue que

ou A ∩Xλ = ∅ ou B ∩Xλ = ∅.

Como para todo λ ∈ L temos que a ∈ (A ∩Xλ) segue que B ∩Xλ = ∅ para todo λ ∈ L.Mas

B = X ∩B(∗)= [

⋃

λ∈LXλ] ∩B) =

⋃

λ∈L(Xλ ∩B) = ∅,

ou seja, B = ∅ implicando que a cisao (**) de X e a cisao trivial.Portanto X e conexo.


Corolario 5.2.3 Seja (M, dM ) um espaco metrico.Um condicao necessaria e suficiente para que M seja conexo e que dois pontos quaisquer

a, b ∈ M estejam contidos em um mesmo subconjunto conexo Mab ⊆ M .

Demonstracao:Se M e conexo e a, b ∈ M entao tomamos Mab

.= M .Reciprocamente, se dois pontos quaisquer a, b ∈ M estao contidos em um mesmo subconjunto

conexo Mab ⊆ M entao fixado a ∈ M temos que para todo b ∈ M existe Mab, conexo, tal quea, b ∈ Mab.


LogoM =

⋃

b∈M

Mab

ea ∈

⋂

b∈M

Mab,

ou seja,⋂

b∈M

Mab 6= ∅.

Logo da proposicao acima segue que

M =⋃

b∈M

Mab

sera um conjunto conexo completando a demonstracao.¤

Como consequencia deste temos o

Corolario 5.2.4 Seja (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado.Entao E e conexo.

Demonstracao:Para ~a ∈ E fixado consideremos ~b ∈ E, ~b 6= ~a.Deste modo temos que a reta em E

X~a~b

.= {~a + t(~b− ~a) : t ∈ R}

e homeomrofa a R (basta considerar f : R → X~a~b

dada por f(t) .= ~a + t(~b − ~a), t ∈ R emostrar que esta e contınua, bijetora e sua inversa tambem sera contınua; isto sera deixadocomo exercıcio para o leitor).


~a

~b

X~a~b

Como R e conexo segue, do corolario (5.2.1), que X~a~b

e conexo para cada ~b ∈ E, ~b 6= ~a.Observemos que ~a ∈ X

~a~bpara todo ~b ∈ E, ~b 6= ~a.

Logo, do corolario (5.2.3) segue que⋃

~b∈E,~b6=~a

X~a~b

sera conexo.


Mas

E =⋃

~b∈E,~b6=~a

X~a~b

,

pois se ~c ∈ E e ~c = ~a ∈ X~a~b

para todo ~b ∈ E e se ~c 6= ~a entao ~c = ~a + 1[~c− ~a], ou seja ~c ∈ X~a~c.Portanto E e conexo.

¤Tambem seguem os

Corolario 5.2.5 Seja (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado, ~a ∈ E e r > 0.Entao B(~a; r) e um conjunto conexo.

Demonstracao:Lembremos que, da proposicao (3.3.4), B(~a; r) e homeomorfa a E.Do corolario acima temos que E e conexo.Logo, do corolario (5.2.1), segue que B(~a; r) tambem sera um conjunto conexo.

¤

Corolario 5.2.6 Sejam (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado, ~a ∈ E e r > 0.Entao B[~a; r] e um conjunto conexo.

Demonstracao:Do corolario acima temos que B(~a; r) e um conjunto conexo.Logo, da proposicao (5.2.2), segue que B(~a; r) e um conjunto conexo.Mas B[~a; r] = B(~a; r) e portanto sera um conjunto conexo.

¤Com isto temos o

Corolario 5.2.7 Seja Rn espaco vetorial munido do produto interno usual.Entao Sn = {~x ∈ Rn+1 :< ~x, ~x >= 1 e um conjunto conexo.

Demonstracao:

De fato, sabemos, do corolario acima, que a bola fechada B[~0; 1] e um conjunto conexo.Sabemos que

Sn = Sn+ ∪ Sn

−

onde

Sn+

.= {~x ∈ Sn : xn+1 ≥ 0} e Sn−

.= {~x ∈ Sn : xn+1 ≤ 0},

onde ~x = (x1, · · · , xn, xn+1), ou seja, os hemisferios norte e sul, respectivamente se Sn .No caso n = 2, geometricamente temos


¼

Y

Sn−

Sn+

A projecaop+ : Sn

+ → Rn

dada porp+(x1, · · · , xn, xn+1)

.= (x1, · · · , xn)

e um homeomorfismo de Sn+ em B[~0; 1] (a funcao inversa sera dada por

~y = (y1, · · · , yn) 7→ (y1, · · · , yn,√

1− ‖~y‖2)

e assim contınua em B[~0; 1]; a verificacao deste fato sera deixado como exercıcio para o leitor).A figura abaixo ilustra a situacao no caso n = 2

Sn+

=

-

6

ª

Rn

R

:1

De modo semelhante temos que a a projecao

p− : Sn− → Rn

dada porp−(x1, · · · , xn, xn+1)

.= (x1, · · · , xn)

e um homeomorfismo de Sn− em B[~0; 1] (a funcao inversa sera dada por

~y = (y1, · · · , yn) 7→ (y1, · · · , yn,−√

1− ‖~y‖2)


e assim contınua em B[~0; 1]; a verificacao deste fato sera deixado como exercıcio para o leitor).Como B[~0; 1] e conexa segue, do corolario (5.2.1), que Sn

+ e Sn− sao conexos.Mas (1, 0, · · · ) ∈ Sn

+ ∩ Sn−.Logo, o corolario (5.2.3), implicara que Sn = Sn

+ ∪ Sn− sera um conjunto conexo.¤

Temos o

Proposicao 5.2.4 Sejam (M1, d1), (M2, d2) espaco metricos e M1 × M2 com uma das tresmetricas usuais.

Entao M1 ×M2 e conexo se, e somente se, Mi e conexo para todo i = 1, 2.

Demonstracao:Suponhamos que M1 ×M2 e conexo.Sabemos que para cada i = 1, 2 a projecao

pi : M1 × · · · ×Mn → Mi

dada porpi(x1, x2)

.= xi, (x1, x2) ∈ M1 ×M2

e uma aplicacao contınua em M1 ×M2.Assim, como M1 ×M2 e conexo, segue da proposicao (5.2.1), que

Mi = pi(M1 ×M2)

e conexo para cada i = 1, 2.Reciprocamente, suponhamos que M1 e M2 sao conexos.Seja a

.= (a1, a2) ∈ M1 ×M2.Para cada x = (x1, x2) ∈ M1 ×M2 temos que os conjuntos

M1 × {a2} e {x1} ×M2

sao conexos (pois sao homeomorfos a M1 e M2, respectivamente; os homeomorfismos serao asrestricoes a M1 × {a2} ou a {x1} × M2 das projecoes de M1 × M2 sobre M1 ou sobre M2,respectivamente).

Como(x1, a2) ∈ [M1 × {a2}] ∩ [{x1} ×M2],

segue, da proposicao (5.2.3), que

x ∈ Cx = (M1 × {a2}) ∪ ({x1} ×M2)

e conexo.Observemos que

a = (a1, a2) ∈ Cx, para todo x ∈ M1 ×M2

e queM1 ×M2 =

⋃

x∈M1×M2

Cx.



M1

M2 M1 ×M2

x1

a2

M1 × {a2}

{x1} ×M2

=

À

a = (a1, a2)

x = (x1, x2)

Assim, da proposicao (5.2.3), segue que M1 ×M2 sera conexo, como querıamos mostrar.¤

Com isto temos o

Corolario 5.2.8 Sejam (M1, d1), · · · , (Mn, dn) espaco metricos e M1 × · · · ×Mn com uma dastres metricas usuais.

Entao M1 × · · · ×Mn e conexo se, e somente se, Mi e conexo para todo i = 1, · · · , n.

Demonstracao:A demonstracao e feita por inducao e sera deixada como exercıcio para o leitor.

¤Do corolario (5.2.4) temos que Rn e conexo.Um outro modo de obter isto e utilizando o corolario acima.

Corolario 5.2.9 O Rn, munido de uma das tres metricas usuais, e conexo.

Demonstracao:Sabemos que R e conexo logo, da proposicao acima, segue que Rn = R× · · · × R︸︷︷︸

n−fatores

sera conexo.

¤23.10.2008 - 23.a

Exemplo 5.2.6 Consideremos o cilindro em R3,

C.= {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1}

munido da metrica induzida por uma das metricas usuais de R3.Afirmamos que C e conexo.De fato, C e homeomorfo ao produto cartesiano S1 × R.Para ver isto, basta verificar que (veja figura abaixo)

h : C → S1 × Rdada por

h(x, y, z) .= ((x, y), z), (x, y, z) ∈ C

e um homeomorfismo (sera deixado como exercıcio a verificacao deste fato pelo leitor).


C

- ×

S1

R

h

6

-o1

(x, y, z)

(x, y)z

Como S1 e R sao conexos segue, da proposicao (5.2.4), que S1 × R sera conexo e portanto,do corolario (5.2.1), temos que C e conexo.

Exemplo 5.2.7 Sejam n ≥ 2, Rn, munido de uma das tres metricas usuais, e ~p ∈ Rn.Entao Rn \ {~p} e conexo.De fato, observemos que Rn \ {~p} e homeomorfo a Rn \ {~0} .Para ver isto, basta considerar a translacao

T~p : Rn → Rn

dada porT~p(~x) .= ~x− ~p, ~x ∈ Rn \ {~p}

que e uma isometria, logo um homeomorfismo e como T~p(~p) = ~0, segue que a restricao de T~p aRn \ {~p} sera um homeomorfismo de Rn \ {~p} em Rn \ {~0}, ou seja, Rn \ {~p} e homeomorfo aRn \ {~0} (ver figura abaixo).

-

6

-

6

-

~p

~0 = T~p(~p)

T~p

Logo, pelo corolario (5.2.1) basta mostrar que Rn \ {~0} e conexo.Para isto consideremos a aplicacao (veja figura abaixo o caso n = 2)

h : Sn × (0,∞) → Rn \ {~0}

dada porh(~x, t) .= t.~x, (~x, t) ∈ Sn × (0,∞)


que e um homeomorfismo de Sn × R em Rn \ {~0}.Sua funcao inversa e dada por

k : Rn \ {~0} → Sn × (0,∞)

dada por

k(~z) .= (~z

‖~z‖ , ‖~z‖), ~z ∈ Rn \ {~0}.

A verificacao destes fatos serao deixadas como exercıcio para o leitor.

6

×

~x

t

-h

6

-

t.~x

R2 \ {~0}

Um outro resultado importante e dado pela

Proposicao 5.2.5 Consideremos R com a metrica usual.Um subconjunto A da reta e conexo se, e somente se, A e um intervalo da reta R.

Demonstracao:O exemplo (5.2.1) mostra que um intervalo aberto e conexo.Assim, da proposicao (5.2.2), segue que um intervalo fechado tambem sera conexo.Com isto o corolario (5.2.2) implicara que todo intervalo semi-fechado a direita ou a esquerda

tambem sera conexo.Reciprocamente, se A ⊆ R e conexo.Mostremos que ele devera ser um intervalo, isto e, se a, b ∈ A e c ∈ R e tal que a < c < b

entao deveremos ter c ∈ A.Suponhamos, por absurdo, que isto nao ocorra, isto e, existe c ∈ R tal que

a < c < b e c 6∈ A.

Entao temos queA = [A ∩ (−∞, c)] ∪ [A ∩ (c,∞)],

ou seja, uma cisao de A (observemos que A ∩ (−∞, c) e A ∩ (c,∞) sao abertos em A).Mas esta cisao nao e trivial pois a ∈ A∩ (−∞, c) (pois a ∈ A e a < c) e b ∈ A∩ (c,∞) (pois

b ∈ A e c < b) o que e um absurdo, pois A e conexo.Assim A devera ser um intervalo de R.



Corolario 5.2.10 Sejam (M, dM ) um espaco metrico conexo, R munido da metrica usual ef : M → R contınua em M .

Entao f(M) ⊆ R e um intervalo de R.

Demonstracao:Da proposicao (5.2.1) temos que f(M) e um subconjunto conexo de R.Portanto, da proposicao acima, segue que f(M) e um intervalo de R.

¤Outra consequencia importante e

Corolario 5.2.11 Sejam [a, b] munido da metrica induzida pela metrica usual de R e R com ametrica usual.

Suponhamos que f : [a, b] → R e contınua em [a, b] com f(a) < f(b) e d ∈ (f(a), f(b)).Entao existe c ∈ (a, b) tal ue f(c) = d.Vale o mesmo se f(b) < f(a).

Demonstracao:Como [a, b] e conexo em R, do corolario acima, que f([a, b]) e um intervalo de R.Em particular,

(f(a), f(b)) ⊆ f([a, b]).

Comod ∈ (f(a), f(b)) ⊆ f([a, b])

segue que existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = d.Observemos que

c 6= a, pois f(a) < d = f(c), e c 6= b, pois f(c) = d < f(b).

Logo existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d, como querıamos mostrar.¤

Observacao 5.2.5

1. O resultado acima e conhecido como Teorema do Valor Intermediario.

Ele nos da condicoes suficientes para que um ponto esteja no conjunto imagem de umafuncao real, contınua, definida em um intervalo fechado e limitado (a saber, que o pontopertenca ao intervalo (f(a), f(b)) ou (f(b), f(a))).

2. De outro modo o Teorema do Valor Intermediario nos condicoes suficientes para que aequacao

f(x) = d

tenha, pelo menos, uma solucao x ∈ (a, b) se funcao real f for contınua e definida em umintervalo fechado e limitado de R.

Como consequencia do Teorema do Valor Intermediario temos o

Corolario 5.2.12 Seja p : R→ R um polinomio de grau ımpar n, isto e,

p(t) = a0 + a1x + · · ·+ anxn, x ∈ Rcom an 6= 0 e n ∈ N um numero natural ımpar.

Entao existe c ∈ R tal que p(c) = 0.


Demonstracao:Podemos supor, sem perda de generalidade, que an = 1 (caso contrario consideramos q(t) .=

1an

p(t), t ∈ R e com isto q sera um polinomio de mesmo grau que o polinomio p; alem disso,

q(c) = 0 se, e somente se, p(c) = 0, c ∈ R).Mostremos que existem x1, x2 ∈ R tais que x1 < x2 e

p(x1) < 0 < p(x2). (∗)

De fato, para todo x 6= 0 temos que

p(x) = xn[a0

xn+

a1

xn−1+ · · ·+ an−1

x+ 1]. (∗∗)

Sejar

.= |a0|+ |a1|+ · · ·+ |an−1|+ 1.

Se |x| > r ≥ 1 teremos |x|k ≥ |x| para todo k = 1, · · · , n, logo

∣∣∣ a0

xn+

a1

xn−1+ · · ·+ an−1

x

∣∣∣≤ |a0||x|n +

|a1||x|n−1

+ · · ·+ |an−1||x|

[|x|k≥|x|,k=1,··· ,n]

≤ |a0||x| +

|a1||x| + · · ·+ |an−1|

|x| =r

|x| < 1.

Assim quando |x| > r ≥ 1 temos que

| a0

xn+

a1

xn−1+ · · ·+ an−1

x| < 1

ou seja,−1 <

a0

xn+

a1

xn−1+ · · ·+ an−1

x< 1, |x| > r ≥ 1.

Portanto0 <

a0

xn+

a1

xn−1+ · · ·+ an−1

x+ 1, |x| > r ≥ 1.

Portanto, para |x| > r ≥ 1, de (*), segue que p(x) tem o mesmo sinal de xn.Como n ımpar segue que xn assume valores positivos em (0,∞) (em particular, se x > r ≥ 1)

e negativos em (−∞, 0) (em particular, se x < −r ≤ −1).Logo p(x) assume valores positivos para x > r ≥ 1 e negativos em x < −r ≤ −1, em

particular, p(r + 1) > 0 e p(−1− r) < 0 (pois r + 1 > r e −1− r < −r) , ou seja,

p(−1− r) < 0 < p(r + 1).

Portanto, do Teorema do Valor Intermediario, segue que existe c ∈ (−1 − r, r + 1) tal quep(c) = 0, como querıamos mostrar.

¤

Observacao 5.2.6 O resultado acima nos diz que todo polinomio com coeficientes reais de grauımpar possui, pelo menos, uma raiz real.

A seguir faremos uma aplicacao to Teorema do Valor Intermediario para caracterizar home-morfismos entre intervalos da reta R.

Antes temos a


Definicao 5.2.1 Seja X ⊆ R, X 6= ∅ e f : X → R.Diremos que a funcao f e crescente em X se para x, y ∈ X satisfazendo x < y temos

f(x) < f(x).Diremos que a funcao f e nao decrescente em X se para x, y ∈ X satisfazendo x < y

temos f(x) ≤ f(x).Diremos que a funcao f e decrescente em X se para x, y ∈ X satisfazendo x < y temos

f(x) > f(x).Diremos que a funcao f e nao crescente em X se para x, y ∈ X satisfazendo x < y temos

f(x) ≥ f(x).Diremos que a funcao f e monotona em X se ela for de um dos tipos acima.

Com isto temos a

Proposicao 5.2.6 Sejam R, munido da metrica usual, X ⊆ R, X 6= ∅, munido da metricainduzida pela metrica usual de R e f : X → R monotona.

Se f(X) ⊆ R e densa em um intervalo J ⊆ R entao a funcao f sera contınua em X.

Demonstracao:Faremos a demonstracao para o caso em que f e nao decrescente.Os outros casos sera deixados como exercıcio para o leitor.Sabemos que f(X) = J , onde J e um intervalo de R, em particular, f(X) ⊆ J .Seja a ∈ X.Mostremos que a funcao f e contınua no ponto a.Para isto, suponhamos, primeiramente, que f(a) ∈ int(J).Como f(a) ∈ int(J) segue existe δ > 0 tal que

(f(a)− δ, f(a) + δ) ⊆ J.

Tomando-se b ∈ (f(a)− δ, f(a)) ⊆ J , como f(X) = J dado ε > 0, existe y1 ∈ f(X) tal que(ver figura abaixo)

f(a)− ε < y1 < f(a).

f(a)− δ f(a)b y1

De modo semelhante se tomarmos c ∈ (f(a), f(a) + δ) ⊆ J , como f(X) = J dado ε > 0,existe y2 ∈ f(X) tal que

f(a) < y2 < f(a) + ε,

logo dado ε > 0, existem y1, y2 ∈ f(X) tais que

f(a)− ε < y1 < f(a) < y2 < f(a) + ε. (∗)

Para ilustrar veja figura abaixo

f(a) f(a) + εf(a)− ε

y1y2


Sejam x1, x2 ∈ X tais que f(x1) = y1 e f(x2) = y2.Como f e nao decrescente deveremos ter

x1 < a < x2,

pois f(x1) = y1 < f(a) < y2 = f(x2).Seja δ

.= min{a− x1, x2 − a} > 0.Entao se x ∈ X e |x− a| < δ teremos que

−δ < x− a < δ,

ou seja,−(a− x1) < x− a < x2 − a

implicando quex1 < x < x2.

Como f e nao decrescente segue que

y1 = f(x1) < f(x) < f(x2) = y2.

Mas de (*) segue que

f(a)− ε < y1 < f(x) < y2 < f(a) + ε,

ou seja,|f(x)− f(a)| < ε,

implicando que f e contınua no ponto a.Suponhamos que f(a) e o extremos superior do intervalo J .Como f e nao decrescente e f(X) ⊆ J temos que se x ∈ X e a < x deveremos ter

f(a) ≤ f(x) ≤ f(a),

ou seja,f(x) = f(a) (∗∗).

Como f(X) = J e f(a) e extremos superior do intervalo J , dado ε > 0, segue que existey1 ∈ f(X) tal que

f(a)− ε < y1 < f(a). (∗ ∗ ∗)Seja x1 ∈ X tal que f(x1) = y1.Como

f(x1) = y1 < f(a)

e f e nao decrescente segue quex1 < a,

caso contrario deverıamos tery1 = f(x1) ≥ f(a)

o que seria um absurdo.Seja δ

.= a− x1 > 0.Logo se x ∈ X e |x− a| < δ teremos que

−δ < x− a < δ,


ou seja,−(a− x1) < x− a < a− x1,

isto e, x1 < x e assim f(x1) ≤ f(x) e, de (**), temos que f(x) ≤ f(a).Assim y1 = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(a).Portanto de (***) teremos

f(a)− ε < y1 ≤ f(x) ≤ f(a)

ou ainda|f(x)− f(a)| < ε

mostrando que f e contınua no ponto a.O caso em que f(a) e o extremo inferior do intervalo J e tratado de modo semelhante e sera

deixado como exercıcio para o leitor.¤

Observacao 5.2.7 Reafirmando, o resultado acima nos diz que se f e monotona e f(X) = J ,J um intervalo de R entao f sera contınua em X ⊆ R.


Corolario 5.2.13 Sejam R, munido da metrica usual, X ⊆ R, X 6= ∅, munido da metricainduzida de R, e f : X → R monotona.

Se f(X) ⊆ R for um intervalo entao f e contınua em X

Vale uma certo tipo de recıproca do resultado anterior, a saber:

Proposicao 5.2.7 Sejam R, munido da metrica usual, I ⊆ R um intervalo de R munido dametrica induzida de R, e f : I → R contınua e injetiva em I.

Entao

1. f monotona;

2. f e um homeomorfismo de I sobre o intervalo J = f(I).

Demonstracao:De 1.:Suponhamos que I = [a, b], a < b.Como f e injetiva temos que f(a) 6= f(b).Consideremos o caso em que f(a) < f(b) (o caso f(a) > f(b) e semelhante e sera deixado

como exercıcio para o leitor).Afirmamos que f e crescente (e portanto monotona).De fato, suponhamos, por absurdo, que f nao e crescente, isto existem x, y ∈ [a, b] tais que

x < y e f(y) ≤ f(x).Como f e injetora segue que f(y) < f(x).Como f(y) 6= f(a) (pois a ≤ x < y) temos duas possibilidades:

(i): f(a) < f(y);

(ii): f(a) > f(y).


No caso (i) temos que f(a) < f(y) < f(x).Logo pelo Teorema do Valor Intermediario devera existir c ∈ (a, x) tal que f(c) = f(y), ou

seja,c < x < y e f(c) = f(y),

contrariando a injetividade de f .No caso (ii) temos que f(y) < f(a) < f(b).Logo pelo Teorema do Valor Intermediario devera existir c ∈ (y, b) tal que f(c) = f(a), ou

seja,a ≤ y < c e f(c) = f(a),

contrariando a injetividade de f .Observemos que se I e um intervalo da reta arbitrario temos que f : I → R e monotona se,

e somente se, a restricao de f a cada intervalo [a, b] ⊆ I for monotona, ou seja, vale 1. .Na verdade, se I e um intervalo da reta arbitrario temos que f : I → R e monotona

crescente se, e somente se, a restricao de f a cada intervalo [a, b] ⊆ I for monotona crescente.Vale o analogo trocando-se ”crescente” por ”decrescente”.

De 2.:Pelo item 1. e do corolario (5.2.10) temos que f sera uma bijecao monotona do intervalo I

no intervalo J = f(I) (pois ela e injetora em I, logo bijetora sobre J = f(I) que e um intervalopois f e contınua no intervalo I que e conexo em R).

Observemos que a funcao inversa f−1 : J → I sera monotona (pois f e monotona).Logo o corolario (5.2.13) implicara que f−1 sera contınua em J (pois f−1(J) = I um intervalo

de R) mostrando que f e um homeomorfismo do intervalo I sobre o intervalo J = f(I), comoquerıamos mostrar.

¤

Observacao 5.2.8

1. Existem funcoes monotonas injetivas e descontınuas em algum ponto.

Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo:

Seja R com a metrica usual e

f : R→ R dada por f(x) .=

{x + x

|x| , x 6= 0,

0, x = 0.

O grafico de f e dado pela figura abaixo:

-

6

0

y = x− 1

y = x + 1


Observemos que f e monotona (e uma funcao crescente, portanto injetiva) e f(R) =(−∞,−1) ∪ {0} ∪ (1,∞)) logo nao e um intervalo de R, logo nao podera ser contınua emR (pois se fosse contınua sua imagem sria um conexo e f(R) = (−∞,−1) ∪ {0} ∪ (1,∞)nao e um conexo da reta).

2. Existem funcoes bijetoras entre intervalos que sao descontınuas.

Como um exemplo temos:

Sejam [0, 3] ⊆ R munido da metrica unduzida pela metrica usual de R e

g : [0, 3] → [0, 3] dada por g(x) .=

1− x, 0 ≤ x < 1x, 1 ≤ x ≤ 25− x, 2 < x ≤ 3

.

O grafico de g e dado pela figura abaixo:

-

6

1

1

2 3

2

3

y = 1− x

y = x

y = 5− x

Observemos que g e bijetora nao e monotona e portanto nao podera ser contınua (pois sefosse contınua pela proposicao acima deveria ser monotona o que nao e o caso).

A seguir temos

Exercıcio 5.2.2 Sejam, n ∈ N, [0,∞) ⊆ R mundio da metrica induzida pela metrica usual deR e

f : [0,∞) → [0,∞) dada por f(x) .= xn, x ∈ [0,∞).

Observemos que f e contınua e crecente em [0,∞).Da proposicao (5.2.7) item 2., segue que f e um homeomorfismo sobre sua imagem f([0,∞)

que sabemos, pelo corolario (5.2.10), ser um intervalo de R.Utilisando-se o Binomio de Newton podemos mostrar (sera deixado como exercıcio para o

leitor) que(1 + y)n ≥ 1 + ny, y ≥ 0.


Logo temos que se x ≥ 1 segue que

f(x) = xn = [1 + (x− 1)]x ≥ 1 + n(x− 1)

mostranto que f nao sera limitada (pois g(x) = x− 1 nao e limitada em [1,∞)).Como f(0) = 0 podemos concluir que f([0,∞) = [0,∞), ou seja, f : [0,∞) → [0,∞) e um

homeomorfismo de [0,∞) em [0,∞).Se y ∈ [0,∞), o valor f−1(y) sera denominado, raiz n-esima de y e indicado por n

√y.

E como vimos acima f−1 : [0,∞) → [0,∞) sera contınua em [0,∞).

30.10.2008 - 24.aUm outro resultado importante e

Teorema 5.2.1 Sejam (M, dM ) espaco metrico, C, X ⊆ M munidos da metrica induzida deM .

Se C e um subconjunto conexo e tem pontos de X e de M \ X entao algum ponto de Cpertence a fronteira de X, isto e, C ∩ ∂X 6= ∅ (veja figura abaixo).

M

X

C

C ∩X

OÁ

C ∩ (M \X)

^

C ∩ ∂X

Demonstracao:Como C ∩X 6= ∅ e C ∩ (M \X) 6= ∅ segue que o subconjunto C ∩X nao e vazio nem e igual

a todo C assim a fronteira de C ∩X em C e nao vaziaDe fato, se fosse vazia entao da proposicao (5.1.1) deverıamos ter C ∩X = ∅ ou C ∩X = C

(pois C e conexo e C ∩X e um subconjunto de C que tem fronteira vazia).A 1.a possibilidade nao pode ocorrer e se a 2.a possibilidade ocorrer terıamos C ⊆ X e assim

C ∩ (M \X) = ∅ o que e um absurdo.Logo existe c ∈ ∂C(C ∩ X), ou seja, existe c na fronteria de C ∩ X em C, em particular

c ∈ C.Mostremos que c ∈ ∂X(= ∂MX) (isto e, esta na fronteira de X em M).De fato, como c ∈ ∂C(C ∩X), dado ε > 0 existem s ∈ C ∩X ⊆ X tal que

d(s, c) < ε

e t ∈ C \ (C ∩X)[exercıcio]

= C \X[C⊆M ]

⊆ M \X tal que

d(c, t) < ε.

Logo, dado ε > 0 existe s ∈ X e t ∈ M \X tal que s, t ∈ BM (c; ε) (veja figura abaixo).


M

C

X

c ∈ ∂(C ∩X)

K

?

s ∈ C ∩X

¾ t ∈ C \ (C ∩X) = M \X

Portanto c ∈ ∂X, isto e C ∩ ∂X 6= ∅, como querıamos demonstrar.¤

Observacao 5.2.9

1. O resultado acima e conhecido como Teorema da Alfandega.

2. Podemos reobter o Teorema do Valor Intermediario como uma consequencia do Teoremada Alfandega.

De fato, sejam M = C.= f([a, b]) com a metrica induzida pela metrica usual de R e

f ; [a, b] → R e contınua em [a, b] e f(a) < d < f(b) entao tomando-se C.= f([a, b]).

Entao sabemos que C e conexo e assim aplicando o Teorema da Alfandega a

X.= {x ∈ [a, b] : f(x) < d} ⊆ [a, b]

obteremos que C ∩ ∂X.

Mas∂X = {x ∈ [a, b] : f(x) = d}.

Logo existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = d.

Observemos que na verdade c ∈ (a, b) pois d ∈ (f(a), f(b).

5.3 Conexao por caminhos

Definicao 5.3.1 Sejam (M, d) um espaco metrico e [0, 1] munido da metrica induzida pelametrica usual de R.

Uma aplicacao contınua f ; [0, 1] → M sera denominada caminho unindo os pontos a.=

f(0) ao ponto b.= f(1).

O grafico de f , isto e,

G(f) = {(t, f(t)) : t ∈ [0, 1]} ⊆ [0, 1]×M

5.3. CONEXAO POR CAMINHOS 193

sera dito traco do caminho f .Os pontos a, b ∈ M sera denominados extremos do caminho, a sera dito ponto inicial

(ou origem) do caminho e b ponto final (ou fim) do caminho.Neste caso diremos que o caminho f liga o ponto a ao ponto b em M (vide figuras

abaixo).

0

1

-f

M

a = f(0)

b = f(1)

0

1

-f

M

a = f(0)

b = f(1)

0

1

-f

M

a = f(0)

b = f(1)

Diremos que um caminho f : [0, 1] → M e um caminho fechado em M se a = b (isto e,f(0) = f(1)) (vide figura abaixo).

0

1

-f

Ma = f(0) = f(1) = b


0

1

-f

Ma = f(0) = f(1) = b

Observacao 5.3.1

1. Na situacao acima, um exemplo de caminho trivial e o caminho constante, isto e, se a ∈ Mtemos que

f : [0, 1] → M, para todo f(t) = a, 0 ≤ t ≤ 1.

2. Se f : [0, 1] → M e um caminho que une o ponto a = f(0) ao ponto b = f(1) entao

f∗ : [0, 1] → M

dada porf∗(t) .= f(1− t), t ∈ [0, 1]

tambem sera um caminho em M (pois e composta de funcoes contınuas) e une o pontof∗(0) = b ao ponto f∗(1) = a e tem o mesmo traco de f (veja figura abaixo).

0

1

-f

M

f(0) = a = f∗(1)

f(1) = b = f∗(0)

f∗

Logo, o caminho f∗ percorre o mesmo traco que o caminho f mas percorrendo-o em sentidocontrario.

3. Suponhamos que f, g : [0, 1] → M sejam dois caminhos em M tal que f(1) = g(0) (vejafigura abaixo).

0

1

-f, g

M

f(0)f(1) = g(0)

g(1)


Com estes caminhos podemos construir um caminho, denominado caminho justaposto,indicado por f ∨ g, dada por

f ∨ g : [0, 1] → M

(f ∨ g)(t) .=

{f(2t), 0 ≤ t ≤ 1

2

g(2t− 1), 12 ≤ t ≤ 1

.

Observemos que f ∨ g sera de fato um caminho (ou seja, uma funcao contınua em [0, 1]com valores em M ; vide figura abaixo).

0

1

-f ∨ g

M

f(0) = (f ∨ g)(0) f(1) = g(0) = (f ∨ g)( 12 )

g(1) = (f ∨ g)(1)

12

t

f(2t)

s

g(2s− 1)

Ou seja, o caminho f ∨ g tem o mesmo traco que a reuniao dos tracos dos caminhos f eg.

4. Se existir uma caminho em M unindo o ponto a ao ponto b escreveremos

a ∼ b.

Neste caso, pelo que vimos nos itens 1., 2. e 3. acima, temos que ∼ tem as propriedadesreflexiva, simetrica e transitiva.

Definicao 5.3.2 Sejam E um espaco vetorial e ~a,~b ∈ E.Definimos o segmento de reta [~a,~b] como sendo o seguinte subconjunto de E

[~a,~b] .= {(1− t)~a + t~b : 0 ≤ t ≤ 1}.Geometricamente temos

~a

~b

(1− t)~a + t~b

E


Observacao 5.3.2

1. Observemos que

[~a,~b] = {(1− t)~a + t~b : 0 ≤ t ≤ 1} = {~a + t(~b− ~a) : 0 ≤ t ≤ 1}logo esta contido na reta que contem o ponto ~a e tem a direcao do vetor ~b− ~a.

2. Se (E, ‖.‖) e um espaco vetorial normado e ~a,~b ∈ E entao o segmento de reta e o tracodo caminho

f : [0, 1] → E, dada por f(t) .= (1− t)~a + t~b, 0 ≤ t ≤ t ≤ 1,

e sera denominado caminho retilıneo em E de extremos ~a e ~b (isto e, [~a,~b] = f([0, 1]);ver figura abaixo).

~a

~b

f(t) = (1− t)~a + t~b

E

-

0

1

f

Com isto temos a

Definicao 5.3.3 Sejam (E, ‖.‖) e um espaco vetorial normado e X ⊆ E.Diremos X e um subconjunto convexo de E se dados ~a,~b ∈ X temos que

[~a,~b] ⊆ X.

Observacao 5.3.3 Na situacao acima, X ⊆ E e convexo se, e somente se, o segmento de retaque une dois pontos de X esta contido em X (ver figura abaixo).

X

~a

~b

Convexo

X

~a ~b6

6∈ X

Nao Convexo


Temos a

Proposicao 5.3.1 Sejam (E, ‖.‖E), (F, ‖.‖F ) espacos vetoriais normados e X ⊆ E e Y ⊆ Fsubconjuntos convexos.

Entao X×Y e um subconjunto convexo de E×F (munido de uma das tres normas usuais).

Demonstracao:De fato, se ~z = (~x, ~y), ~z ′ = (~x ′, ~y ′) ∈ X × Y entao ~x, ~x ′ ∈ X e ~y, ~y ′ ∈ Y .Como X e Y sao convexos em E e F , respectivamente, e temos que

(1− t)~x + t~x ′ ∈ X, (1− t)~y + t~y ′ ∈ Y, 0 ≤ t ≤ 1.

Logo

(1− t)~z + t~z ′ = (1− t)(~x, ~y) + t(~x ′, ~y ′) = ((1− t)~x + t~x ′, (1− t)~y + t~y ′) ∈ X × Y

para todo t ∈ [0, 1], mostrando que X × Y sera convexo em E × F .¤

Temos tambem

Proposicao 5.3.2 Sejam (E, ‖.‖E) espaco vetorial normado e X, Y ⊆ E subconjuntos convexosde E.

Entao X ∩ Y e um subconjunto convexo de E.

Demonstracao:De fato, se ~x, ~y ∈ X ∩ Y entao ~x, ~y ∈ X e ~x, ~y ∈ Y .Como X e Y sao convexos em E temos que

(1− t)~x + t~y ∈ X, (1− t)~x + t~y ∈ Y, 0 ≤ t ≤ 1,

ou seja,(1− t)~x + t~y ∈ X ∩ Y,

mostrando que X ∩ Y sera convexo em E.¤

Observacao 5.3.4

1. A reuniao de dois subconjuntos convexos em um espaco vetorial normado (E, ‖.‖E) podenao ser um subconjunto convexo de E, como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos R2 munido da metrica usual, X.= [0, 1] × {(0, 0)} e Y

.= {(0, 0)} × [0, 1]que sao subconjuntos convexos de R2 (a verificacao deste fato sera deixada como exercıciopara o leitor).]

Mas X ∪ Y = [0, 1] × {(0, 0)} ∪ {(0, 0)} × [0, 1] nao e convexo (pois, a.= (1

2 , 0) ∈ X,b

.= (0, 12 , 0) ∈ Y mas para todo t ∈ (0, 1) temos que (1 − t)a + tb 6∈ X ∪ Y (veja figura

abaixo).


(0, 0)

{(0, 0)} × [0, 1]

[0, 1]× {(0, 0)}

(0, 12 )

( 12 , 0)

(1− t)a + tb 6∈ X ∪ Y

2. Sob que condicoes necessarias e suficientes a reuniao de dois conjuntos convexos sera umconjunto convexo?

A seguir temos o seguinte exemplo importante de subconjuntos convexos em um espacovetorial normado.

Exemplo 5.3.1 Sejam (E, ‖.‖E) espaco vetorial normado, ~a ∈ E e r > 0.Entao B(~a; r) e um subconjunto convexo de E.De fato, se ~x, ~y ∈ B(~a; r) entao

‖~x− ~a‖ < r e ‖~y − ~a‖ < r. (∗)

Se t ∈ [0, 1] mostremos que(1− t)~x + t~y ∈ B(~a; r).

Para ver isto, observemos que

‖[(1− t)~x + t~y]− ~a‖ [~a=(1−t)~a+t~a]= ‖[(1− t)~x + t~y]− [(1− t)~a + t~a]‖

= ‖(1− t)[~x− ~a] + t[~y − ~a]‖ ≤ ‖(1− t)[~x− ~a]‖+ ‖t[~y − ~a]‖

= |(1− t)|‖~x− ~a‖+ |t|‖[~y − ~a]‖ [(∗)]< (1− t)r + tr = r,

ou seja, (1 − t)~x + t~y ∈ B(~a; r) para todo t ∈ [0, 1], mostrando que B(~a; r) e um subconjuntoconvexo de E.

Observacao 5.3.5 De modo semelhante mostra-se que B[~a; r] tambem e um subconjunto con-vexo de E.

Isto sera deixado como exercıcio para o leitor.

Definicao 5.3.4 Um espaco metrico (M,dM ) sera dito conexo por caminhos se dois pontosquaisquer de M podem ser unidos por um caminho contido em M .

Diremos que X ⊆ M conexo por caminhos se o subespaco metrico (X, dM ) tem essapropriedade.

Observacao 5.3.6 Se (E, ‖.‖) e um espaco vetorial normado entao todo subconjunto convexo,X, de E e conexo por caminhos (pois dados dois pontos de X o segmento de reta que os une eum caminho unindo os dois pontos e esta contido em X).

Em particular, toda bola aberta (ou fechada) em um espaco vetorial normado e um subcon-junto conexo por caminhos.


Temos o seguinte resultado

Proposicao 5.3.3 Seja (M, d) um espaco metrico.Se M e conexo por caminhos entao M sera conexo.

Demonstracao:Observemos que se a, b ∈ M entao existe um caminho, em M , unindo o ponto a ao ponto b,

ou seja, existe f : [0, 1] → M tal que f(0) = a e f(1) = b.Como [0, 1] e conexo em R e f e contınua em [0, 1] segue que f([0, 1]) ⊆ M sera conexo em

M .Conclusao, dados dois pontos de M existe um conexo em M (Xab

.= f([0, 1])) que contem osdois pontos.

Logo do corolario (5.2.3) segue que M sera conexo.¤

Observacao 5.3.7 Uma demonstracao alternativa a exibida acima e:Suponhamos, por absurdo, que M nao e conexo, isto e M = A∪B e uma cisao, nao trivial,

de M .Como A,B 6= ∅, sejam a ∈ A e b ∈ B.Como M e conexo por caminhos existe f : [0, 1] → M contınua tal que f(0) = 1 e f(1) = b.Logo

[0, 1] = f−1(M) = f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B)

seria uma cisao nao trivial de [0, 1] (pois 0 ∈ f−1(A), 1 ∈ f−1(B), sao subconjuntos abertos de[0, 1], pois f e contınua em [0, 1], e nao vazios em [0, 1]) e assim [0, 1] nao seria conexo, o quee um absurdo.

Logo M deve ser conexo.

Exemplo 5.3.2 Sejam (E, ‖.‖E) espaco vetorial normado tal que dim(E) > 1 e ~a ∈ E.Entao E \ {~a} e conexo por caminhos (em particular, conexo).De fato,Se ~x, ~y ∈ E \ {~a} se [~x, ~y] ⊆ E \ {~a} teremos que o segmento te reta que une ~x a ~y sera um

caminho contido em E \ {~a} (veja figura abaixo).

~a

~x

~y

E

Se ~a ∈ [~x, ~y], como dim(E) > 1, existe ~z fora do segmento [~x, ~y] (veja figura abaixo).


~a

~x

~y

E

~z

Assim o caminho [~x, ~z]∨ [~z, ~y] sera um caminho unindo os pontos ~x e ~y e estara contido emE \ {~a}.

Deste modo concluimos que E \ {~a} e conexo por caminhos.

Podemos generalizar o exemplo acima

Exercıcio 5.3.1 Seja X ⊆ R2 um subconjunto enumeravel.Afirmamos que R2 \X e conexo por caminhos (e portato conexo).De fato, sejam ~x, ~y ∈ R2 \X.Consideremos S uma reta em R2 que corte o segmento [~x, ~y] num ponto interior do mesmo

(veja figura abaixo).

~x

~y

S

Para cada ~z ∈ Z consideremos os caminhos justapostos

f~z.= [~x, ~z] ∪ [~z, ~y].

Se ~z 6= ~z ′ em S entao os caminhos f~z e f~z ′ tem, apenas as extremidades ~x, ~y em comum(veja figura abaixo).


~x

~y

S

~z

~z ′

Suponhamos, por absurdo, que nenhum dos caminhos f~z estivesse contido em R2 \X.Entao, para cada ~z ∈ S, existira λ(~z) que pertence a imagem de f~z e ao conjunto X.Logo a aplicacao λ : S → X sera injetora, implicando que S e, no maximo enumeravel, o

que e um absrudo pois S e uma reta em R2 (logo nao enumeravel).Portanto, existe, pelo menos um, ~z ∈ S tal que f~z e um caminho unindo ~x e ~y e contido em

R2 \X.Portanto R2 \X e conexo por caminhos.

Observacao 5.3.8

1. Em particular seY

.= {(x, y) ∈ R2 : x ∈ I ou y ∈ I}e conexo por caminhos.

De fato, sabemos queY = R2 \Q2

e pelo exemplo anterior, como Q2 e enumeravel (pois e um produto cartesiano de conjuntosenumeraveis) segue que Y sera conexo por caminhos (em particular sera conexo).

2. Em geral, se (E, ‖.‖) e um espaco vetorial normado, dim(E) > 1 e X ⊆ E e enumeravelentao E \X sera conexo por caminhos (e portanto conexo).

De fato, se ~x, ~y ∈ E \X existe um plano, P , de E (ou seja, um subsepaco de dimensao 2de E) que contem ~x e ~y.

Logo do exemplo acima segue que ~x pode ser unido a ~y por um caminho contido em P \Xe portanto contido em E \X, mostrando que E \X e conexo por caminhos.

Temos os seguinte resultados:

Proposicao 5.3.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e ϕ : M → N contınua em M .Se M e conexo por caminhos entao ϕ(M) ⊆ N tambem sera conexo por caminhos.


Demonstracao:Dados a, b ∈ ϕ(M) segue que existem x, y ∈ M tais que

ϕ(x) = a e ϕ(y) = b.

Como M e conexo por caminhos e x, y ∈ M existe f : [0, 1] → M contınua em M tal quef(0) = x e f(1) = y.

Consideremos g : [0, 1] → N dada por

g(t) .= ϕ(f(t)), t ∈ [0, 1].

Como f(t) ∈ M para todo t ∈ [0, 1] segue que g(t) ∈ ϕ(M) para todo t ∈ [0, 1], ou sejag : [0, 1] → ϕ(M).

Alem disso, como ϕ e f sao contınuas em M e em [0, 1], respectivamente, segue que g econtınua em [0, 1].

Temos tambem que, g(0) = ϕ(f(0)) = ϕ(x) = a e g(1) = ϕ(f(1)) = ϕ(y) = b.Logo g e um caminho em ϕ(M) que une os pontos a e b, mostrando que ϕ(M) e conexo por

caminhos (veja figura abaixo).

--f

0

1

ϕ

a = ϕ(x) = g(0)

b = ϕ(y) = g(1)

x = f(0)

y = f(1)

g = ϕ ◦ f

¤

Observacao 5.3.9 O resultado acima nos diz que a imagem de um conjunto conexo por cami-nhos por uma aplicacao contınua e um conjunto conexo por caminhos (em particular seraconexo).

Observacao 5.3.10 O resultado acima nos diz que a reuniao qualquer de conjuntos conexos porcaminho que contenham, pelo menos, um ponto em comum e um conjunto conexo por caminhos(em particular sera conexo).

Proposicao 5.3.5 Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espacos metricosM

.= M1 × · · · ×Mn (munido de uma das tres metrica usuais) e conexo por caminhos se, esomente se, Mi e conexo por caminhos para todo i = 1, · · · , n.

Demonstracao:


Se M.= M1 × · · · × Mn e conexo por caminhos entao como, para cada i = 1, · · · , n, a

projecao pi : M1 × · · · ×Mn → Mi e contınua em M1 × · · · ×Mn segue, da proposicao (5.3.4),que Mi = pi(M1 × · · · ×Mn) e conexo por caminhos.

Reciprocamente, suponhamos que para cada i = 1, · · · , n temos que Mi e conexo por cam-inhos.

Sejam x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ M = M1×· · ·×Mn onde xi, yi ∈ Mi, i = 1, · · · , n.

Como xi, yi ∈ Mi e este e conexo por caminhos, existe um caminho fi : [0, 1] → Mi contidoem Mi unindo o ponto xi ao ponto yi, i = 1, · · · , n.

Consideremos f : [0, 1] → M dada por

f(t) .= (f1(t), · · · , fn(t)), t ∈ [0, 1].

Logo f sera contınua em [0, 1] (pois para cada i = 1, · · · , n temos que fi e contınua em Mi),f(0) = (x1, · · · , xn) = x, f(1) = (y1, · · · , yn) = x e f([0, 1]) ⊆ M = M1 × · · · ×Mn, isto e, e umcaminho, contido em M , unindo o ponto x ao ponto y, mostrando que M = M1 × · · · ×Mn econexo por caminhos.

¤

Observacao 5.3.11 O resultado acima nos diz que o produto cartesiano de conjuntos conexospor caminhos sera conexo por caminhos.

Em particular sera conexo.

6.11.2008 - 25.a

Proposicao 5.3.6 Sejam (Mλ, dλ) espacos metricos conexos por caminhos para cada λ ∈ A,tais que Mλ ∩Mβ 6= ∅ se λ, β ∈ A.

Entao M.=

⋃

λ∈AMλ tambem sera conexo por caminhos.

Demonstracao:

Seja x, y ∈ M = M.=

⋃

λ∈AMλ.

Logo existem λ, β ∈ A tal que x ∈ Mλ e y ∈ Mβ.

Seja p ∈ Xλ ∩Xβ.

Como Mλ e Mβ sao conexos por caminho e x, p ∈ Mλ e y, p ∈ Mβ segue que existem caminhosf : [0, 1] → Mλ e g : [0, 1] → Mβ tais que f(0) = x, f(1) = p = g(0) e g(1) = y.

Logo considerando o caminho justaposto f ∨ g : [0, 1] → Mλ ∪Mβ temos que este unira oponto x ao ponto y e estara contido em Mλ ∪Mβ ⊆ M , mostrando que M =

⋃

λ∈AMλ e conexo

por caminhos (veja figura abaixo).


Mλ

Mβ

x = f(0)

f(1) = p = g(0)

y = g(1)

Kº

fg

0 1

¤A seguir exibiremos um conjunto conexo que nao e conexo por caminhos.

Exemplo 5.3.3 Consideremos R2 com a metrica usual.Seja X ⊆ R2 o grafico da funcao

f : [0,∞) → R dada por f(x) .=

{cos( 1

x), x 6= 00, x = 0

.

O exemplo (5.2.5) mostra que G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ [0,∞)} e conexo, com a metricainduzida pela metrica de R2 (pois X ⊆ G(F ) ⊆ X onde X e X sao conexos pelo exemplocitado).

Mostremos que G(f) nao e conexo por caminhos.Na verdade mostraremos que se g : [0, 1] → G(f) e um caminho como g(0) = (0, 0) ∈ G(f)

entao g devera ser constante (e igual a (0, 0)) em [0, 1].Se isto for verdade, nao existira nenhum caminho unindo (0, 0) a um ponto (x, f(x)) para

x 6= 0, ou seja, G(f) nao sera conexo por caminhos.Mostremos que g deve ser constante em [0, 1].Seja α : [0, 1] → [0,∞) tal que

g(t) = (α(t), f(α(t))), t ∈ [0, 1]

ou seja, α.= p1 ◦ g, p1 a projecao na primeira componente (logo contınua em [0, 1] pois g e

contınua em [0, 1] e a projecao na primeira componente tambem e contınua).Logo α e contınua em [0, 1].Seja

A.= {t ∈ [0, 1] : α(t) = 0}.

Mostraremos que A = [0, 1] (e assim α(t) = 0 para t ∈ [0, 1], ou seja g sera constante em[0, 1]).

Observemos que A e fechado em [0, 1] (pois A = α−1({0} e {0} e fechado em R); A e naovazio (pois α(0) = 0, isto e 0 ∈ A).

Afirmamos que A e aberto em [0, 1].De fato, se a ∈ A temos que α(a) = 0 e assim g(a) = (α(a), f(α(a)) = (0, 0).


Como g e contınua em a, dado ε = 1 > 0, existe uma bola aberta, J = B(a; δ) ⊆ [0, 1], decentro em a em [0, 1], tal que se t ∈ J temos que

‖g(t)‖ [g(a)=0]= ‖g(t)− g(a)‖ < 1. (∗)

Como J e um intervalo (pois e uma bola aberta em R) e α e contınua em [0, 1] segue queα(J) e um intervalo em R contendo 0 (pois a ∈ J e α(a) = 0).

Afirmamos que α(J) = {0}.Caso, contrario, existira n ∈ N tal que 1

2πn ∈ α(J), ou seja, exitira tn ∈ J tal que

α(tn) =1

2πn.

Mas,

g(t) = g(1

2πn, f(

12πn

)) = (1

2πn, 1)

e assim

‖g(tn)‖ =

√(

12πn

)2 + 12 ≥ 1

com tn ∈ J , contrariando (*).Assim J , que e uma bola aberta em [0, 1], de centro em a, esta contida em A, ou seja, A e

aberto em [0, 1].Como [0, 1] e conexo segue, da proposicao (5.1.1) item 2., que A = [0, 1].Com isto segue que G(f) nao podera ser conexo por caminhos.

-

6

−1

1

(x, cos( 1x

))

f(0)

Observacao 5.3.12 O exemplo acima nos mostra que o fecho de um conjunto conexo por cam-inhos por nao ser conexo por caminhos (diferentemente do que acontece com a conexao).

Para ver isto basta considerar a restricao f|(0,∞).

Exemplo 5.3.4 Seja n ∈ N.A esfera

Sn .= {x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1}e conexa por caminhos .


De fato, a aplicacao

f : Rn+1 \ {~0} → Sn

dada por

f(~x) .=~x

‖~x‖ para ~x ∈ Rn+1 \ {~0}

e contınua e sobrejetora.Sabemos que Rn+1 \{~0} e conexo por caminhos (pois n ≥ 1) logo da proposicao (5.3.4) segue

que f(Rn+1 \ {~0}) = Sn tambem sera.

Exercıcio 5.3.2 Podemos obter uma prova alternativa para o fato acima da seguinte forma:Sejam ~a,~b ∈ Sn, com ~b 6= −~a (isto e, o ponto ~b nao e o antıpoda do ponto ~a em Sn).Entao definamos f [0, 1] → Sn por

f(t) .=(1− t)~a + t~b

‖(1− t)~a + t~b‖, t ∈ [0, 1].

Entao f e um caminho em Sn que une o ponto ~a = f(0) ao ponto ~b = f(1).Este caminho e denominado arco de uma grande circunferencia de Sn (ver figura

abaixo).

~a

~b

Se ~b = −~a entao existirao infinitos arcos de grandes circunferencias ligando os pontos ~a e ~bem Sn.

Escolhendo-se um deles do seguinte modo: fixemos ~c ∈ Sn, ~c 6= ~a e ~c 6= ~b e consideramos ocaminho f que e o justaposto dos caminhos obtidos dos arcos unindo o ponto ~a ao ponto ~c e oponto ~c ao ponto ~b.


~b = −~a

~a

~c

A seguir daremos uma condicao suficiente para que um espaco metrico conexo seja conexopor caminhos.

Definicao 5.3.5 Diremos que um espaco metrico (M, d) e localmente conexo por caminhosse para todo x ∈ M e toda vizinhanca de x, V = V (x) existir uma vizinhanca de x, U = U(x),conexa por caminhos, tal que x ∈ U ⊆ V .

M

x

V

U

Observacao 5.3.13 Observemos que a vizinhaca de x dada, V , nao necessita ser conexa porcaminhos.



M

x

V

U

V

Como exemplo temos

Exemplo 5.3.5 Todo espaco vetorial normado (E, ‖.‖) e localmente conexo por caminhos.De fato, dado x ∈ E e uma vizinhanca de x, V = V (x) em E, da definicao de vizinhanca,

segue que x ∈ int(V ).Logo existe U

.= B(x; r) tal que B(x; r) ⊆ V .Mas U

.= B(x; r) e convexa, logo conexa por caminhos, mostrando que x ∈ U ⊆ V , onde Ue uma vizinhanca conexa por caminho, ou seja E e localmente conexo por caminhos.

Exemplo 5.3.6 Seja (M, d) um espaco metrico localmente conexo por caminhos.Entao todo subconjunto aberto, A, de M sera localmente conexo por caminhos.De fato, dados x ∈ A e uma vizinhanca de x, V , contida em A, ou seja, x ∈ intA(V ) ⊆ A.Mas A e um subconjunto aberto de M , assim intA(V ) = intM (V ), isto e, intA(V ) e um

subconjunto aberto de M .Logo x ∈ V que e uma vizinhanca de x em M .Como M e localmente conexo por caminhos existe uma vizinhanca de x em M , U conexa

por caminhos tal que x ∈ U ⊆ V ⊆ A, ou seja, A e localmente conexa por caminhos.

Observacao 5.3.14 Como consequencia do exemplo acima temos que todo subconjunto abertode um espaco vetorial normado sera localmente conexo por caminhos.

Para finalizar temos a

Proposicao 5.3.7 Seja (M, d) um espaco metrico localmente conexo por caminhos.Entao M e conexo se, e somente se, M e conexo por caminhos.

Demonstracao:Sabemos que se M e conexo por caminhos entao M e conexo.Suponhamos que M e conexo.Mostremos que M e conexo por caminhos.Dado a ∈ M consideremos

A.= {x ∈ M : existe um caminho f : [0, 1] → M que une o ponto x ao ponto a contido em M.

Afirmamos que A e aberto em M .

5.4. COMPONENTES CONEXAS 209

De fato, se x ∈ A, como M e localmente conexo por caminhos, existe uma vizinhanca de x,U , em M que e conexa por caminho e x ∈ U .

Assim temos que se u ∈ U existe um caminho g : [0, 1] → M contido em U que une o pontou ao ponto x.

Como x ∈ A temos que existe um caminho f : [0, 1] → M que une o ponto x ao ponto acontido em M , ou seja, o caminho justaposto g ∨ f e um caminho contido em M que une oponto u ao ponto a.

Assim podemos concluir que u ∈ A.Logo x ∈ U ⊆ A, U vizinhanca de x em M .Assim existe B(x; ε) ⊆ U ⊆ A , isto e, A e um subconjunto aberto de M .Afirmamos que A e um um subconjunto fechado em M .Mostremos que M \A e aberto em M .De fato, se y ∈ M \A. (*)Observemos que como y 6∈ A nao existe um caminho h : [0, 1] → M que une o ponto y ao

ponto a.Como M e localmente conexo por caminhos e V

.= M \ A e uma vizinhanca de y em Mdevera existir uma vizinhanca de y, W , em M conexa por caminhos tal que y ∈ W .

Mas se w ∈ W temos que temos que existe um caminho h : [0, 1] → M que une o ponto wao ponto y contido em W .

Como isto segue que w 6∈ A pois, caso contrario, se w ∈ A existiria um caminho f [0, 1] → Mque une o ponto w ao ponto a em M e assim o caminho justaposto h ∨ f uniria o ponto y aoponto a em M , ou seja, y ∈ A, o que contraria (*).

Logo y ∈ W ⊆ M \A, W vizinhanca de y.Logo existe B(y; δ) ⊆ W ⊆ M \A, mostrando que M \A e aberto.Portanto A e aberto e fechado em M , que e conexo, assim A = M ou A = ∅.Como M e localmente conexo por caminhos segue que A 6= ∅ assim concuimos que A = M

e portanto M e conexo por caminhos (pois dados dois pontos x, y ∈ M segue que existemcaminhos f : [0, 1] → M e g : [0, 1] → M tais que f(0) = x, f(1) = a e g(0) = a, g(1) = y eassim o caminho justaposto g ∨ f sera um caminho em M que une os pontos x e y).

¤

5.4 Componentes conexas

Observacao 5.4.1 Se um espaco metrico (M, d) nao e conexo ele esta ”divido” em quantos”pedacos”?

A seguir colocaremos esta questao em termos mais claros.

Definicao 5.4.1 Sejam (M, d) um espaco metrico e x ∈ M .Definimos a componente conexa de x em M , que indicaremos por Cx, como sendo a

reuniao de todos os subconjuntos conexos de M que contem o ponto x, isto e,

Cx =⋃

x∈A(x) e conexo em M

A(x)

Observacao 5.4.2

1. Se x ∈ M sempre existe uma conexo de M que contem x, a saber, o conjunto {x}.Portanto Cx 6= ∅.


2. Como A(x) e conexo em M e contem x segue que Cx sera conexo (pois e reuniao deconexos que tem um ponto em comum, no caso, x).

3. Cx e o maior subconjunto conexo de M que contem x, isto e, se X ⊆ M e conexo em Me contem x entao X ⊆ Cx.

De fato, pois se X ⊆ M e conexo em M e contem x entao X = A(x) para algum A(x),logo X ⊆ Cx.

4. Dados x, y ∈ M temos uma, e somente uma, das duas possibilidades:

(a) ou Cx = Cy;

(b) ou Cx ∩ Cy = ∅.De fato, suponhamos que z ∈ Cx ∩ Cy.

Como z ∈ Cx temos que z ∈ A(x) para algum conexo A(x) contendo x.

Assim A(x) e um conexo que contem z ∈ Cy, logo A(x) ⊆ Cy, ou seja, Cx ⊆ Cy.

De modo semelhante, mostra-se que Cy ⊆ Cx e portanto Cx = Cy mostrando que temossomente uma das duas possibilidades acima.

5. Deste modo podemos escreverM =

⋃

x∈M

Cx, (∗)

ou ainda, a famılia de conexos (Cx)x∈M e uma particao de M em partes disjuntas,isto e, vale (*) e temos uma, e somente uma, das possibilidades

(a) ou Cx = Cy;

(b) ou Cx ∩ Cy = ∅.6. Cada componente conexa C de M e a componente conexa de cada um de seus pontos, isto

e, se x ∈ C entao Cx = C.

Alem disso, C e um subconjunto conexo maximo, no sentido que, se X e conexo em M eC ⊆ X entao X = C.

7. Todo subconjunto conexo nao vazio de M esta contido em uma, unica, componente conexade M .

De fato, se X e subconjunto conexo nao vazio de M entao existe x ∈ X.

Do que vimos acima segue que X ⊆ Cx e Cx e a unica com a propriedade de ser componenteconexa e conter o conjunto X.

8. Toda componente conexa de M e um subconjunto fechado de M .

De fato, se Cx e componente conexa entao sera conexo.

Assim Cx tambem sera conexo e contera Cx.

Logo Cx = Cx, mostrando que Cx e um subconjunto fechado de M .

Proposicao 5.4.1 Sejam (M,dM ), (N, dN ) espacos metricos e h : M → N um homeomorfismo.Entao C e uma componente conexa de M se, e somente se, h(C) e uma componente conexa

de N .

5.4. COMPONENTES CONEXAS 211

Demonstracao:Observemos que C = Cx para algum x ∈ M .Seja y

.= h(x) (que e unico pois h e biejtora).Sabemos que se C = Cx e uma componente conexa de M entao, em particular, Cx e um

conjunto conexo de M .Como h e contınua segue que h(Cx) sera um subconjunto conexo de N .Como y ∈ h(Cx) temos que

h(Cx) ⊆ Cy. (∗)De modo semelhante, temos que h−1(Cy) sera um conexo em M que contem x = h−1(y).Logo

h−1(Cy) ⊆ Cx

implicando queCy ⊆ h(Cx). (∗∗)

Portanto, por (*) e (**), segue que Cy = h(Cx), como querıamos mostrar.¤

Exemplo 5.4.1 Consideremos M.= R \ {0} com a metrica induzida pela metrica usual de R.

As componentes conexas de M sao (−∞, 0) e (0,∞).

Observacao 5.4.3 Veremos no exemplo a seguir que nem sempre as componentes conexas deum espaco metrico precisam ser subconjuntos abertos do espaco metrico.

Exemplo 5.4.2 Consideremos Q com a metrica induzida pela metrica usual de R.Cada componente conexa de Q reduz-se a um unico ponto.Em particular, nenhuma componente conexa de Q e um subconjunto aberto.

Exercıcio 5.4.1 Podemos generalizar o exemplo anterior, a saber:Se (M, d) e um espaco metrico enumeravel entao toda componente conexa de M se reduz a

um unico ponto.Isto equivale a mostrar que se (M, d) e um espaco metrico conexo e tem mais de um ponto

entao M e nao enumeravel (pois se fosse enumeravel e tem mais de um ponto, o conjuntoformado por cada um de seus pontos seriam componentes conexas distintas e assim M nao seriaconexo).

Para mostrar esta ultima afirmacao fixemos a ∈ M e consideremos a funcao

da : M → R dada por da(x) .= d(x, a), x ∈ M.

Sabemos que da e uma aplicacao contınua em M .Como M e conexo segue que da(M) sera um conexo em R, ou seja, um intervalo J = da(M).Temos que existe b ∈ M tal que b 6= a.Portanto J contem, pelo menos, os pontos distintos 0 = d(a, a) = da(a) e d(a, b) = da(b).Dai conlcui-se que J e nao enumeravel (pois contera todos os numeros reais entre (0, d(a, b))).Como da e injetora temos que

#(M) ≥ #(da(M)) = #(J),

mostrando que M e nao enumeravel (#(X) denota a cadinalidade do conjunto X).


Capıtulo 6

Limites

Neste capıtulo estudaremos o comportamento das sequencias em espacos metricos.

6.1 Limites de sequencias

Definicao 6.1.1 Uma aplicacao x : N → M sera denominada sequencia em M e indicadapor (xn)n∈N, onde xn

.= x(n), n ∈ N sera dito n-esimo termo da sequencia.

Exemplo 6.1.1 Fixemos a ∈ R e consideremos a sequencia (xn)n∈N em R2 dada por

xn.= (cos(na), sen(na)), n ∈ N.

Observemos que xn ∈ S1, para n ∈ N.Alem disso, se a e multiplo racional de 2π, isto e, a = 2π p

q onde p, q ∈ N , q 6= 0 entao temosque xn = xm se, e somente se, existe k ∈ N tal que (m− n)a = 2kπ.

Definicao 6.1.2 Dada uma sequencia (xn)n∈N e A = {n1, n2, · · · } ⊆ N e um subconjuntoinfinito de N, como n1 < n2 < n3 < · · · entao podemos considerar a sequencia (xnk

)k∈N quesera denominada subsequencia da sequencia (xn)n∈N.

Exercıcio 6.1.1 A sequencia (xm)m∈N onde

xm.= 22m, m ∈ N

e uma uma subsequencia da sequencia (xn)n∈N dada por

xn.= 2n, n ∈ N.

Para ver isto basta tomarnk = 2k, k ∈ N.

Definicao 6.1.3 Seja (M, d) um espaco metrico.Diremos que a sequencia (xn)n∈N e limitada em M se existir c > 0 tal que

d(xn, xm) ≤ c, para todo n, m ∈ N.

213

214 CAPITULO 6. LIMITES

Exercıcio 6.1.2 Seja (M, d) um espaco metrico.Uma sequencia (xn)n∈N que e constante, isto e, xn = a para todo n ∈ N e limitada.De fato, escolha c > 0 qualquer.Entao para todo n,m ∈ N temos que

d(xn, xm) = d(a, a) = 0 < c.

Mais geralmente, se a sequencia (xn)n∈N assume um numero finito de valores entao ele seralimitada.

De fato, sejam a1, · · · , ak ∈ M tais que para todo n ∈ N temos xn = a1 ou , · · · , ou xn = ak.Consideremos c = max{d(ai, aj) : i, j = 1, · · · , k}.Segue que

d(xn, xm) ≤ max{d(ai, aj) : i, j = 1, · · · , k} = c.

Observacao 6.1.1 Se uma sequencia e limitada entao toda subsequencia da mesma tambemsera limitada.

Definicao 6.1.4 Sejam (M, d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequencia em M .Diremos que a ∈ M e ponto limite da sequencia (xn)n∈N em M se dado ε > 0 existir

n0 ∈ N tal que sen > n0 implicar d(xn, a) < ε.

Neste caso escreveremos

a = limn→∞xn = lim

nxn = lim xn.

Diremos tambem que xn tende a a quando n tende a ∞ e escreveremos

xn → a.

Ainda nester caso, diremos que a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia convergente emM e que converge para a, em M .

Se nao existe limn→∞xn em M diremos que a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia divergente

em M .

Observacao 6.1.2

1. Sejam (M, d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequencia em M .

Temos que xn → a se, e somente se, para toda bola aberta centrada em a a sequenciainteira esta contida na bola, exceto um numero finito de termos da mesma (isto e, existen0 ∈ N tal que se n > n0 temos que xn pertence a bola dada).

a

*εxn

6.1. LIMITES DE SEQUENCIAS 215

2. De modo semelhante, xn → a se, e somente se, para todo subconjunto aberto de M con-tendo a a sequencia inteira esta contida nesse aberto, exceto um numero finito de termosda mesma (isto e, existe n0 ∈ N tal que se n > n0 temos que xn pertence ao aberto dado).

axn

A

3. Ou ainda, xn → a se, e somente se, para toda vizinhanca de a em M , a sequencia inteiraesta contida nessa vizinhanca, exceto um numero finito de termos da mesma (isto e, existen0 ∈ N tal que se n > n0 temos que xn pertence a vizinhanca dada).

Exercıcio 6.1.3 Seja (M, d) um espaco metrico que contenha, pelo menos, dois pontos distin-tos.

Entao existe uma sequencia em M que e divergente.De fato, suponhamso que a, b ∈ M e a 6= b.Consideremos a sequencia (xn)n∈N dada por

xn.=

{a, n parb, n ımpar

.

Afirmamos que nenhum ponto c ∈ M podera ser limite da sequencia (xn)n∈N.De fato, se tomarmos

ε.=

d(a, b)2

> 0

entao B(c; ε) nao contera ambos os pontos a e b e portanto nao existira n0 ∈ N tal que xn ∈B(c; ε), ou seja, x 6→ c para todo c ∈ M (veja figura abaixo).

q

a b

c

ε =d(a,b)

2


Exercıcio 6.1.4 A sequencia (xn)n∈N em R dada por

xn.=

1n

, n ∈ N

e convergente para 0 em R, onde R esta munido da metrica usual.De fato, dado ε > 0 seja n0 ∈ N tal que n0 > 1

ε . (*)Logo se n > n0 temos que

d(xn, 0) = |xn − 0| = 1n

[n>n0]<

1n0

(∗)< ε.

11.11.2008 - 26.aEm geral temos os seguintes resultados para convergencia de sequencias

Proposicao 6.1.1 Seja (M, d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequencia convergente em M .Entao a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia limitada em M .

Demonstracao:De fato, seja

a = limn→∞xn.

Logo, dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que se n > n0 temos

d(xn, a) < ε = 1.

Assim se n > n0 temos que xn ∈ B(a; 1).Portanto

xn ∈ B(a; 1) ∪ {x1, · · · , xn0}que e a reuniao de dois conjuntos limitados de M , logo limitado em M .

¤

Proposicao 6.1.2 (Unicidade do limite) Sejam (M, d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequenciaconvergente em M .

Entao limn→∞xn e unico em M .

Demonstracao:De fato, suponhamos que

a = limn→∞xn e b = lim

n→∞xn.

Logo, dado ε > 0, existe n0, n1 ∈ N tal que

se n > n0 teremos d(xn, a) <ε

2, (∗)

se n > n1 teremos d(xn, b) <ε

2. (∗∗)

Seja n > max{n0, n1}.Entao

d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b)[(∗) e (∗∗)]

<ε

2+

ε

2= ε.

Portanto d(a, b) = 0 logo a = b, mostrando que o limite deve ser unico.¤



Corolario 6.1.1 Sejam (M, d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequencia convergente paraa em M .

Se xn 6= a para todo n ∈ N temos que a sequencia (xn)n∈N nao sera convergente em M \{a}.Demonstracao:

Se existisse b ∈ M \ {a} tal que xn → b entao terıamos b 6= a e assim a sequencia (xn)n∈Nteria dos limites diferentes contrariando a proposicao acima.

¤

Proposicao 6.1.3 Sejam (M,d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequencia convergente paraa em M .

Entao toda subsequencia da sequencia (xn)n∈N sera convergente para a em M .

Demonstracao:Seja (xnk

)k∈N e uma subsequencia da sequencia (xn)n∈N.Como a sequencia (xn)n∈N e convergente para a em M , dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

n > n0 temos d(xn, a) < ε.

Logo existe k0 ∈ N tal que nk0 > n0 e assim se

k > k0 temos d(xnk, a) < ε,

mostrando que a subsequencia (xnk)k∈N e convergente para a em M , como querıamos mostrar.

¤Como consequencia temos os

Corolario 6.1.2 Sejam (M, d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequencia convergente paraa em M .

Entao, para todo p ∈ N, limn→∞xn+p = a.

Demonstracao:Basta obervar que (xn+p)n∈N e uma subsequencia da sequencia (xn)n∈N e assim, da proposicao

acima, segue que sera convergente para a em M .¤

Corolario 6.1.3 Sejam (M, d) um espaco metrico, (xn)n∈N uma sequencia convergente para aem M e b 6= a.

Entao existe n0 ∈ N tal que xn 6= b para n > n0.

Demonstracao:Suponhamos, por absurdo, que nao exitisse n0 ∈ N com a propriedade acima, isto e, existem

infinitos nk ∈ N tais que xnk= b.

Logo a subsequencia (xnk)k∈N da sequencia (xn)n∈N sera convergente para b 6= a, contra-

riando a proposicao acima.Logo existe n0 ∈ N tal que xn 6= b para n > n0.

¤

Corolario 6.1.4 Sejam (M, d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequencia em M .Suponhamos que existam duas subsequencias da sequancia (xn)n∈N que convergem para a e

b, respectivamente, em M e a 6= b.Entao a sequancia (xn)n∈N nao sera convergente em M .


Demonstracao:Suponhamos, por absurdo, que a sequencia (xn)n∈N seja convergente em M .Entao da proposicao acima segue toda subsequencia da sequencia (xn)n∈N devera ser con-

vergente para um mesmo valor em M , o que e um absurdo pois existem duas subsequencias dasequencia que convergem para valores diferentes.

Logo a sequencia (xn)n∈N nao podera ser convergente em M .¤

Um outra caraterizacao equivalente para convergencia de sequencias e dada pela

Proposicao 6.1.4 Sejam (M, d) um espaco metrico e (xn)n∈N uma sequencia em M .A sequencia (xn)n∈N converge para a se, e somente se, dado ε > 0, no maximo, um numero

finito de termos da sequencia (xn)n∈N nao pertencera a bola aberta B(a; ε).

Demonstracao:A sequencia (xn)n∈N converge para a se, e somente se, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

n > n0 temos d(xn, a) < ε,

que e equivalente a dizer que se

n > n0 temos xn ∈ B(a; ε),

ou seja, tirando os n0 primeiros termos da sequencia (ou seja, um numero finito de termos) osoutros pertencem a bola B(a; ε).

¤

Observacao 6.1.3

1. Conclusao: a sequencia (xn)n∈N converge para a se, e somente se, para cada bola abertacentrada em a, no maximo, um numero finito de termos da sequencia (xn)n∈N nao per-tencera a mesma.

2. Vale o mesmo resultado se substituirmos ”bola aberta centrada em a” por ”aberto de Mcontendo a”.

3. Vale o mesmo resultado se substituirmos ”bola aberta centrada em a” por ”vizinhanca dea em M”.

As redacoes das demonstracoes deste dois itens acima serao deixadas como exercıcios parao leitor.

O resultado a seguir sera util nas demonstracoes de alguma propriedades que veremos maisa frente.

Lema 6.1.1 Sejam (M, dM ) um espaco metrico, (xn)n∈N uma sequencia em M e

P.= {0, 1,

12, · · · ,

1n

, · · · } ⊆ R

munido da metrica induzida pela metrica usual de R.Entao xn → a se, e somente se, a aplicacao

f : P → M dada por f(1n

) .= xn, f(0) .= a,

for contınua em P .


Demonstracao:

Observemos que para todo n ∈ N temos que1n∈ P e ponto isolado de P logo f sera contınua

em1n

para todo n ∈ N.

Conclusao f sera contınua em P se, e somente se, f for contınua em 0.Suponhamos que xn → a.Mostremos que f sera contınua em 0.Para isto, dado ε > 0, como xn → a, existe n0 ∈ N tal que

n > n0 temos dM (xn, a) < ε.

Seja δ.=

1n0

> 0.

Logo se1n

= | 1n− 0| = dR(

1n

, 0) < δ

temos que n >1δ

= n0 e assim

dM (f(1n

), f(0)) = dM (xn, a) < ε,

mostrando que f e contınua em 0.Reciprocamente, suponhamos que f e contınua em 0.Mostremos que xn → a.Para isto, dado ε > 0 seja δ > 0 tal que

1n

= | 1n− 0| = dR(

1n

, 0) < δ temos dM (f(1n

), f(0)) < ε.

Seja n0 ∈ N tal que n0 >1δ.

Logo se

n > n0 temos dM (xn, a) = dM (f(1n

), f(0))[ 1n

< 1n0

<δ]

< ε,

mostrando que xn → a em M .¤

Com isto temos a

Proposicao 6.1.5 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (M ×N, d) espacos metricos, onde no ultimo con-sideramos uma das tres metricas usuais, (zn)n∈N uma sequencia em M×N , isto e, zn = (xn, yn)onde (xn)n∈N, (yn)n∈N sao sequencias em M e em N , respectivamente e c = (a, b) ∈ M ×N .

Entao zn → c em M ×N se, e somente se, xn → a em M e yn → b em N .

Demonstracao:Do lema acima temos que zn → c se, e somente se, a aplicacao f : P → M ×N definida por

f(1n

) = zn, f(0) = c

for contınua em P .


Da proposicao (3.2.2) segue a ultima afirmacao acima e equivalente a mostrar que as funcoes

f1 : P → M e f2 : P → N

definidas por

f1(1n

) = xn, f1(0) = a e f2(1n

) = yn, f2(0) = b

forem contınuas em P .Do lema acima, esta afirmacao e equivalente, xn → a em M e yn → b em N , completando a

demonstracao.¤

Observacao 6.1.4 Conclusao: uma sequencia no produto cartesiano converge para c se, e so-mente se, cada uma das sequencias coordenadas foram convergentes para as correspondentescoordenadas de c.


Corolario 6.1.5 Sejam (Mi, di) espacos metricos, i = 1, · · · ,m e M.= M1 × · · · ×Mm, onde

no ultimo consideramos uma das tres metricas usuais, (xn)n∈N uma sequencia em M , isto e,xn = (xn1, · · · , xnm) onde (xni)n∈N e uma sequencia em Mi, i = 1, · · · , m e c = (a1, · · · , am) ∈M .

Entao xn → a em M se, e somente se, xni → a1 em Mi para i = 1, · · · ,m.

Demonstracao:Basta utilizar inducao e a proposicao acima.

¤Para finalizar temos a

Proposicao 6.1.6 Sejam (E, ‖.‖) espaco vetorial normado, (xn)n∈N e (yn)n∈N sequencias emE convergentes para a e b em E, respectivamente e (λn)n∈N uma sequencia em R convergentepara λ em R.

Entao as sequencias (xn + yn)n∈N e (λn.xn)n∈N sao sequencias convergentes para a + b e λ.aem E, respectivamente, isto e,

limn→∞(xn + yn) = a + b e lim

n→∞(λn.xn) = λ.a,

ou ainda,

limn→∞(xn + yn) = lim

n→∞xn + limn→∞ yn e lim

n→∞(λn.xn) = limn→∞xn. lim

n→∞λn.

Demonstracao:Se xn → a, yn → b e λn → λ entao, do lema acima, segue as funcoes

f, g, h : P → E

dadas por

f(1n

) = xn, f(0) = a, g(1n

) = yn, g(0) = b, h(1n

) = λn, h(0) = λ

sao contınuas em E e R, respetivamente.Logo a proposicao (3.2.3) garante que f + g, h.f sao contınuas em P .Logo, do lema acima, segue que lim

n→∞(xn + yn) = a+ b e limn→∞(λn.xn) = λ.a, como querıamos

mostrar.¤

6.2. SEQUENCIAS DE NUMEROS REAIS 221

6.2 Sequencias de numeros reais

A seguir trataremos de algumas propriedades de sequencias de numeros reais.

Definicao 6.2.1 Uma sequencia de numeros reais (xn)n∈N sera dita crescente se

n < m implicar xn < xm.

Sera dita nao decrescente se

n < m implicar xn ≤ xm.

Sera dita decrescente se

n < m implicar xn > xm.

Sera dita nao crescente se

n < m implicar xn ≥ xm.

Sera dita monotona se for de um dos tipos acima.

Com isto temos a

Proposicao 6.2.1 Consideremos R com a metrica usual e (xn)n∈N uma sequencia em R queseja monotona e limitada em R.

Entao a sequencia (xn)n∈N sera convergente em R.

Demonstracao:Suponhamos que a sequencia (xn)n∈N e nao decrescente (os outros casos serao deixados como

exercıcio para o leitor).Como {xn : n ∈ N} e um subconjunto limitado de R segue que existe

a.= sup

n∈Nxn.

Afirmamos quexn → a.

De fato, dado ε > 0, comoa = sup

n∈Nxn

segue que existe n0 ∈ N tal quea− ε < xn0 ≤ a.

Como a sequencia (xn)n∈N e nao decrescente segue que para n ≥ n0 teremos

a− ε < xn0 ≤ xn ≤ a,

ou seja,n ≥ n0 temos a− ε < xn ≤ a < a + ε,

isto e,n ≥ n0 temos |xn − a| < ε,

mostrando que xn → a, como querıamos mostrar.¤



Corolario 6.2.1 Consideremos R com a metrica usual e (xn)n∈N uma sequencia em R monotonaR.

Entao (xn)n∈N e uma sequencia sera convergente em R se, e somente se, (xn)n∈N e umasequencia limitada em R.

Demonstracao:Se a sequencia (xn)n∈N e uma for convergente em R entao, da proposicao (6.1.1), ela sera

limitada em R.Por outro lado, se a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia limitada em R entao, pela proposicao

(6.2.1), ela sera convergente em R¤

Proposicao 6.2.2 Consideremos R com a metrica usual e (xn)n∈N uma sequencia em R.Entao xn → 0 se, e somente se, |xn| → 0.

Demonstracao:Se xn → 0, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

n > n0 temos |xn| = |xn − 0| < ε. (∗)Logo

n > n0 temos ||xn| − 0| = |xn|(∗)< ε,

mostrando que |xn| → 0.Reciporcamente se |xn| → 0 , dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que

n > n0 temos |xn| = ||xn| − 0| < ε. (∗∗)Logo

n > n0 temos |xn − 0| = |xn|(∗∗)< ε,

mostrando que xn → 0, completando a demonstracao.¤

Exemplo 6.2.1 Seja a ∈ R tal que |a| < 1.Entao an → 0.De fato, da proposicao (6.2.2) basta mostrar que

|a|n → 0,

ou seja, podemos supor, sem perda de generalidade, que

0 ≤ a < 1.

Neste caso temos quea ≥ a1 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · ,

ou seja, a sequencia (an)n∈N e uma sequencia nao crescente e limitada em R.Logo, da proposicao (6.2.1) segue que existe

l.= lim

n→∞ an.

Masl = lim

n→∞ an = limn→∞[a.an−1]

[proposicao (6.1.6)]= a. lim

n→∞ an−1 = a.l.

Logo l = a.l, isto e, (1− a)l = 0.Como 1− a 6= 0 segue que l = 0, mostrando que an → 0, como afirmado.

6.2. SEQUENCIAS DE NUMEROS REAIS 223

Proposicao 6.2.3 Consideremos R com a metrica usual e (xn)n∈N uma sequencia em R con-vergente para a em R tal que a > b.

Entao existe n0 ∈ N tal que para

n > n0 temos xn > b.

Demonstracao:Como xn → a, dado

ε.= a− b > 0

segue que existe n0 ∈ N tal que se

n > n0 temos |xn − a| < ε = a− b,

ou seja, sen > n0 temos b− a < xn − a < a− b,

ou ainda, sen > n0 temos b < xn < 2a− b,

em particular, sen > n0 temos b < xn,



Corolario 6.2.2 Consideremos R com a metrica usual e (xn)n∈N uma sequencia em R conver-gente para a em R e suponhamos que existe n0 ∈ N tal que para

n > n0 temos xn ≤ b. (∗)

Entao a ≤ b, isto e, limn→∞xn ≤ b.

Demonstracao:Suponhamos, por absurdo, que a > b.Logo, da proposicao (6.2.3), segue que existira n0 ∈ N tal que xn > b, contrariando (*).Logo a ≤ b, como querıamos mostrar.

¤

Observacao 6.2.1 Valem os resultados analogos a proposicao (6.2.2) se trocarmos ”>” por”<” e no corolario (6.2.2) trocarmos ”≤” por ”≥”.

A verificacao destes fatos serao deixadas a cargo do leitor.


Exemplo 6.2.2 Se a > 0 temos que limn→∞ a

1n = 1.

De fato, vamos supor que a > 1.Caso 0 < a < 1 e analogo e sua demonstracao sera deixado como exercıcio para o leitor.Temos que

a > a12 > a

13 > · · · > a

1n > · · · ,

isto e, a sequencia (a1n )n∈N e um sequencia decrescente e limitada.


Logo, da proposicao (6.2.1), segue que existe

l = limn→∞ a

1n .

Como a > 1 segue, do corolario (6.2.2) temos que l ≥ 1 (ou melhor, pela observacao (6.2.1)).Mas

l = limn→∞ a

1n = lim

n→∞ a1

n(n+1) = limn→∞ a

1n− 1

n+1 =lim

n→∞ a1n

limn→∞ a

1n+1

=l

l= 1,

mostrando quelim

n→∞ a1n = 1,

como afirmamos.

6.3 Series

Definicao 6.3.1 Seja (E, ‖.‖) um espaco vetorial normado e (xn)n∈N uma sequencia em E.Para cada n ∈ N definamos

Sn.= x1 + x2 + · · ·+ xn,

que sera dita soma parcial de ordem n.A sequencia (Sn)n∈N sera denominada serie associada a sequencia (xn)n∈N e indicada

por∞∑

n=1

an ou∑

n

an ou ainda∑

an.

Se existira = lim

n→∞Sn

entao diremos que a serie∞∑

n=1

an e convergente em E.

Neste caso escreveremos ∞∑

n=1

an = a.

Se a sequencia (Sn)n∈N nao for convergente em E diremos que a serie∞∑

n=1

an e divergente

em E.

Observacao 6.3.1 Observemos que∞∑

n=1

an pode denotar duas coisas diferentes, a saber, a

sequencia formada pelas somas parciais (Sn)n∈N e o seu limite (caso seja convergente).

Temos a

Proposicao 6.3.1 (Criterio da divergencia) Seja (E, ‖.‖) um espaco vetorial normado e (xn)n∈N.

Se a serie∞∑

n=1

xn e convergente em E entao limn→∞xn = 0 em E.

6.3. SERIES 225

Demonstracao:Sabemos que existe

a = limn→∞Sn = lim

n→∞Sn−1.

Assimlim

n→∞xn[xn=Sn−Sn−1]

= limn→∞[Sn − Sn−1] = a− a = 0,


Observacao 6.3.2 O resultado acima nos diz que a condicao ” limn→∞xn = 0” e necessaria para

que a serie∞∑

n=1

xn seja convergente em E.

Porem ela nao e suficiente como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos a serie harmonica,∞∑

n=1

1n

em E = R munido da norma dada pelo modulo em

R.Temos que

limn→∞xn = lim

n→∞1n

= 0,

mas a sequencia (Sn)n∈N que e crescente (logo monotona) contem uma subsequencia que nao elimitada (logo ela propria nao sera limitada e portanto, pelo corolario (6.2.1), nao podera serconvergente em R.

Uma subsequencia da sequencia (Sn)n∈N que nao e limitada e a (S2n)n∈N, pois

S2n = 1 +12

+13

+14

+15

+16

+17

+18

+ · · ·+ 12n−1

+12n

= 1 +12

+(

13

+14

)+

(15

+16

+17

+18

)+ · · ·+

(1

2n−1 + 1+ · · ·+ 1

2n−1 + 2n−1

)

> 1 +12

+(

14

+14

)+

(18

+18

+18

+18

)+ · · ·+

12n−1 + 2n−1

+ · · ·+ 12n−1 + 2n−1︸︷︷︸

2n−parcelas

= 1 +12

+24

+48

+ · · ·+ 2n−1

2n︸︷︷︸n−parcelas iguais a 1

2

= 1 + n12,

mostrando que a (S2n)n∈N nao e limitada.

Portanto a serie∞∑

n=1

1n

nao e convergente em R.

Exercıcio 6.3.1 Um outro exemplo importante em C e a serie geometrica

∞∑

n=0

an = 1 + a + a2 + · · ·+ an + · · · ,

onde a ∈ C.Afirmamos que se |a| < 1 entao a serie geometrica converge em C.


De fato, pois

Sn − a.Sn = (1 + a + a2 + · · ·+ an)− a(1 + a + a2 + · · ·+ an) = 1− an+1, n ∈ N.

Logo

Sn =1− an+1

1− a, n ∈ N.

Assim

limn→∞Sn = lim

n→∞1− an+1

1− a

[exemplos (6.2.1)]=

11− a

.

Com isto temos que a serie geometrica∞∑

n=0

an = sera convergente em C para1

1− a.

Por outro lado, se |a| ≥ 1 temos que limn→∞ an 6= 0 e o criterio da divergencia garante que a

serie geometrica∞∑

n=0

an nao sera convergente em C.

Observacao 6.3.3 Quando a serie∞∑

n=0

an tem como termos numeros reais nao negativos (isto

e, an ≥ 0, n ∈ N) entao temos que a sequencia (Sn)n∈N sera nao decrescente, logo monotonaem R.

Assim, o corolario (6.2.1), nos garante que a serie∞∑

n=0

an sera convergente em R se, e

somente se, a sequencia (Sn)n∈N for limitada em R.

Para finalizar a secao consideremos o seguinte

Exercıcio 6.3.2 Seja E.= L(Rn;Rn) o conjunto formado pelos operadores lineares

T : Rn → Rn

e um espaco vetorial com as operacoes usuais de soma de funcoes e multiplicacao de numeroreal por funcao.

Sabemos, do teorema (3.5.1), que se T ∈ L(Rn;Rn) entao T e contınua em Rn.Alem disso, da observacao (3.5.3) item 3., segue que

‖T‖ .= sup{‖T (~x)‖Rn : ~x ∈ Rn, ‖~x‖Rn = 1},

e uma norma em L(Rn;Rn).Observemos que se T, S ∈ L(Rn;Rn) entao S ◦ T ∈ L(Rn;Rn) e temos

‖S ◦ T‖ ≤ ‖S‖.‖T‖.

A demonstracao demostracao dessa desigualdade sera deixada como exercıcio para o leitor.Suponhamos que T ∈ L(Rn;Rn) e tal que

‖T‖ < 1.

Isto implicara que‖T (~x)‖Rn < ‖~x‖Rn , x ∈ Rn.

6.3. SERIES 227

Assim~x− T (~x) 6= ~0, para todo ~x ∈ Rn, ~x 6= ~0, (∗)

pois‖T (~x)− ~x‖ ≥ ‖~x‖ − ‖T (~x)‖ > 0.

Indiquemos por I : Rn → Rn a aplicacao identidade.Entao (*) nos diz que um operador linear I − T em Rn que e injetor em Rn .Como a dimensao do domınio e igual a dimensao da imagem segue que I − T e sobrejetora,

ou seja, e bijetora, portanto existe (I − T )−1 e e um operador linear em Rn.Conclusao: se ‖T‖ < 1 entao (I − T )−1 existe em L(Rn;Rn).Para cada n ∈ N consideremos

Sn.= I + T + T ◦ T + T ◦ T ◦ T + · · ·+ T ◦ · · · ◦ T︸︷︷︸

n−fatores

= I + T + T 2 + · · ·+ Tn

Mostraremos que se T‖ < 1 entao a sequencia (Sn)n∈N sera convergente para (I − T )−1 emL(Rn;Rn), isto e, a serie

∞∑

n=0

Tn

e convergente para para (I − T )−1 em L(Rn;Rn).De fato, observemos que (assim como no caso da serie geometrica do exemplo (6.3.1)

Sn = (I − T )−1(I − Tn+1). (∗)

Como ‖T‖ < 1 temos que

‖Tn+1‖ ≤ ‖T‖n+1 e limn→∞ ‖T‖

n+1 [‖T‖<1, e o exemplo (6.2.1)]= 0,

assimlim

n→∞Tn+1 = 0.

Logo passando o limite em (*) obteremos

∞∑

n=0

Tn = limn→∞Sn = lim

n→∞[(I − T )−1(I − Tn+1)] = (I − T )−1(I − limn→∞Tn+1) = (I − T )−1,

como havıamos afirmado.

Observacao 6.3.4 Se considerarmos o mesmo exemplo acima trocando-se Rn por um espacovetorial normado de dimensao infinita nao podemos concluir do mesmo modo que a hipotese‖T‖ < 1 implicara que o operador (I − T ) admitira inversa.

Uma condicao extra sera necessaria impor sobre o espaco vetorial normado de dimensaoinfinta em questao.

13.11.2008 - 27.a


6.4 Convergencia e topologia

Veremos nesta secao que muitos conceitos introduzidos nos capıtulos anteiores podem ser ex-pressos em termos de sequencias.

Proposicao 6.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N uma funcao.f sera contınua no ponto a ∈ M se, e somente se, para toda xn → a em M tenhamos

f(xn) → f(a) em N .

Demonstracao:Suponhamos que f seja contınua em a ∈ M e que xn → a em M .Dado ε > 0, como f e contınua em a ∈ M , existe δ > 0 tal que

dM (x, a) < δ implica dN (f(x), f(a)) < ε. (∗)Como xn → a, existe n0 ∈ N tal que

n > n0 temos dM (xn, a) < δ.

Logo, de (*), teremos quedN (f(xn), f(a)) < ε,

ou seja, f(xn) → f(a).Reciprocamente, suponhamos, por absurdo, que f nao seja contınua no ponto a ∈ M .Logo existe ε > 0 tal que para todo δ > 0, existe xδ ∈ M tal que

dM (xδ, a) < δ tal que dN (f(xδ), f(a)) ≥ ε. (∗∗)

Em particular, para cada n ∈ N, se considerarmos δn =1n

de (**) temos que existe xn ∈ M

tal que

dM (xn, a) < δn =1n

tal que dN (f(xn), f(a)) ≥ ε.

Com isto temos que xn → a mas f(xn) 6→ f(a), contrariando a hipotese que f leva sequenciaconvergente de M em sequencia convergente de N .

Logo f devera ser contınua em a ∈ M , completando a demonstracao.¤

Observacao 6.4.1

1. O resultado acima nos diz que uma condicao necessaria e suficiente para que uma funcaoentre dois espacos metricos seja contınua e que ela leve uma sequencia convergente nodomınio em uma sequencia convergente no contra-domıcio.

Em particular se (xn)N∈N e convergente em M temos que

f( limn→∞xn) = lim

n→∞ f(xn).

2. Na verdade foi provado o seguinte resultado:

”Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : X → N uma funcao e a ∈ X.

Existe limx→a, x∈X

f = b em M se, e somente se, para toda sequencia (xn)n∈N em X tal que

xn → a em M tenhamos f(xn) → b em N .”

Olhe a demonstracao com cuidado e verfique que isto e, de fato, verdade.

6.4. CONVERGENCIA E TOPOLOGIA 229


Corolario 6.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, f : M → N uma funcao e a ∈ M .Se xn → a em M implicar que a sequencia (f(xn))n∈N e convergente em N entao f e

contınua em a ∈ M .

Demonstracao:Pela proposicao (6.4.1), basta mostrar que se yn → a em M entao f(yn) → f(a) em M .Observemos que se yn → a em M consideremos a sequencia (xn)n∈N dada por

xn.=

{yk, n = 2k − 1a, n par

,

(isto e, (xn)n∈N = (y1, a, y2, a, x3, a, · · · )).Logo xn → a e assim, por hipotese, deveremos ter f(xn) → b.Como a subsequencia (f(x2n))n∈N e constante e igual a (f(a))n∈N segue que b = f(a), isto

e, f(xn) → f(a) em M , mostrando que f e contınua em a ∈ M .¤

Corolario 6.4.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, f : M → N uma funcao e a ∈ M .Se xn → a em M implicar que a sequencia (f(xn))n∈N tem uma subsequencia e convergente

para f(a) em N entao f e contınua em a ∈ M .

Demonstracao:Suponhamos, por absurdo, que f nao seja conınua no ponto a ∈ M .Logo existe ε > 0 tal que para todo δ > 0, existe xδ ∈ M tal que

dM (xδ, a) < δ tal que dN (f(xδ), f(a)) ≥ ε. (∗∗)

Em particular, para cada n ∈ N, se considerarmos δn =1n

temos por (**) que existe xn ∈ M

tal que

dM (xn, a) < δn =1n

tal que dN (f(xn), f(a)) ≥ ε.

Com isto temos que xn → a mas (f(xn))n∈N nao tem uma subsequencia convergente paraf(a) em N , contrariando a hipotese.

Logo f devera ser contınua em a ∈ M , completando a demonstracao.¤

Corolario 6.4.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, f : M → N uma funcao.f e contınua em M se, e somente se, a sequencia (xn)N∈N e convergente em M implicar

que a sequencia (f(xn))N∈N e convergente em N .Neste caso temos

f( limn→∞xn) = lim

n→∞ f(xn).

Demonstracao:Basta aplicar a proposicao (6.4.1) em cada ponto de M .

¤


Proposicao 6.4.2 Sejam (M, d) espaco metrico, X ⊆ M e a ∈ M .Entao a ∈ X se, e somente se, existe uma sequencia (xn)n∈N em X que converge para a em

M .

Demonstracao:Se a ∈ X entao para todo δ > 0 temos que B(a; δ) ∩X 6= ∅.Em particular, para cada n ∈ N temos que

B(a;1n

) ∩X 6= ∅,

isto e, existe xn ∈ B(a;1n

) ∩X, em particular

d(xn, a) <1n

. (∗)Com isto temos uma sequencia (xn)n∈N em X.

Alem disso, xn → a pois dado ε > 0 seja n0 ∈ N tal que n0 >1ε. (**)

Assim se

n > n0 temos que d(xn, a)(∗)<

1n

[n>n0]<

1n0

(∗∗)< ε.

Portanto existe uma sequencia (xn)n∈N em X tal que xn → a.Reciprocamente, se existe uma sequencia (xn)n∈N em X tal que xn → a entao toda bola

aberta centrada em a ∈ M contem pontos da sequencia (xn)n∈N que pertence a X, isto e, paratodo ε > 0 temos que

B(a; ε) ∩X 6= ∅,mostrando que a ∈ X.

¤Como consequencia temos os

Corolario 6.4.4 Sejam (M,d) espaco metrico e X ⊆ M .Entao a ∈ ∂X se, e somente se, existem sequencias (xn)n∈N em X e (yn)n∈N em M \X tais

que xn → a e yn → a.

Demonstracao:Sabemos que

∂X = X ∩M \X.

Logo da proposicao (6.4.2) aplicada a X e a M \X segue o resultado.¤

Observacao 6.4.2 Conclusao: uma condicao necessaria e suficiente para que um ponto de umespaco metrico pertencera a fronteira de um conjunto e que existam duas sequencias, uma noconjunto e a outra no seu complementar que convegem para o ponto.

a ∈ ∂A

yn ∈ M \ A

xn ∈ A

6.4. CONVERGENCIA E TOPOLOGIA 231

Corolario 6.4.5 Sejam (M, d) espaco metrico e X ⊆ M .Entao X e denso em M se, e somente se, dado a ∈ M existe uma sequencia (xn)n∈N em X

tal que xn → a.

Demonstracao:Da proposicao (6.4.2) segue que a ∈ M = X se, e somente se, existe uma sequencia (xn)n∈N

em X tal que xn → a.¤

Corolario 6.4.6 Sejam (M, d) espaco metrico e F ⊆ M .Entao F e fechado em M se, e somente se, dada uma sequencia (xn)n∈N em F tal que

xn → a em M implicar que a ∈ F .

Demonstracao:Da proposicao (4.4.4) segue que F e fechado em M se, e somente se, F = F .Logo da proposicao (6.4.2) segue que a ∈ F se, e somente se, (xn)n∈N em F tal que xn → a

em M implicar que a ∈ F .¤

Proposicao 6.4.3 Sejam (M, d) espaco metrico e A ⊆ M .Entao A e um subconjunto aberto de M se, e somente se, dada uma a sequencia (xn)n∈N em

M tal que xn → a em M e a ∈ A implicar que existe n0 ∈ N tal que se

n > n0 temos xn ∈ A.

Demonstracao:Se A e um subconjunto aberto de M , a ∈ A e xn → a, entao da observacao (6.1.2) item 2.

segue que, existe n0 ∈ N tal que se

n > n0 temos xn ∈ A.

Para a recıproca, mostremos que M \A e um subconjunto fechado.Para isto suponhamos que a sequencia (yn)n∈N em M \A tal que yn → b em M . (*)Afirmamos que b ∈ M \A.Suponhamos, por absurdo, b ∈ A.Entao como yn → b, por hipotese, existira n0 ∈ N tal que se

n > n0 temos yn ∈ A,

o que contraria (*).Logo, do corolario (6.4.6), segue que M \ A e um subconjunto fechado de M e assim A e

subconjunto aberto de M , com o querıamos mostrar.¤

Proposicao 6.4.4 Sejam (M, d) espaco metrico e X ⊆ M .Entao a ∈ M e ponto de acumulacao do conjunto X se, e somente se, existe uma sequencia

(xn)n∈N em M tal que xn → a em M e para alugm n0 ∈ N temos que {xn : n > n0} ⊆ X e oconjunto {xn : n > n0} tem infinitos elementos distintos.


Demonstracao:Se existe uma sequencia (xn)n∈N em M tal que xn → a em M tal que para algum n0 ∈ N

temos que {xn : n > n0} ⊆ X e o conjunto {xn : n > n0} tem infinitos elementos distintos entaodado ε > 0 temos que existe N ∈ N tal que

xN ∈ [B(a; ε) ∩A] \ {a} 6= ∅

mostrando que[B(a; ε) ∩A] \ {a} 6= ∅,

e assim o ponto a e ponto de acumulacao de X.

Reciprocamente, se o ponto a e ponto de acumulacao de X entao para cada n ∈ N se ε =1n

temos que

[B(a;1n

) ∩A] \ {a} 6= ∅.Logo se

n = 1 existe x1 ∈ [B(a; 1) ∩A] \ {a} 6= ∅.Seja ε2

.= min{12 , d(x1, a)}.

Logo existex2 ∈ [B(a; ε2) ∩A] \ {a} 6= ∅.

Assim x2 6= x1 (pois d(x2, a) < ε2 ≤ d(x1, a)).Seja ε3

.= min{13 , d(x2, a)}.

Logo existex3 ∈ [B(a; ε3) ∩A] \ {a} 6= ∅.

Assim x3 6= x2 e x3 6= x1 (pois d(x3, a) < ε3 ≤ d(x2, a)) (veja figura abaixo).

a

ε1 = 1

x1

ε2

x2

ε3

x3

Prosseguindo o processo, construimos uma sequencia (xn)n∈N em M tal que xn → a em M epara alugm n0 ∈ N temos {xn : n > n0} ⊆ X e o conjunto {xn : n > n0} tem infinitos elementosdistintos, como querıamos mostrar.

¤

Observacao 6.4.3 O resultado acima nos diz que para um ponto ser ponto de acumulacaode um conjunto devera existir uma sequencia formada por elementos distintos do conjunto queconverge para o ponto.

6.5. SEQUENCIAS DE FUNCOES 233


Exemplo 6.4.1 Sejam (M,dM ), (N, dN ) espacos metricos f, g : M → N contınuas em M .Entao F

.= {z ∈ M : f(z) = g(z)} e um subconjunto fechado de M .De fato, dada uma sequencia {xn : n > n0} em F tal que xn → a em M entao temos que

f(xn) = g(xn), n ∈ N.

Como f e g sao contınuas em a segue que

f(a) = f( limn→∞xn) = lim

n→∞ f(xn) = limn→∞ g(xn) = g( lim

n→∞xn) = g(a),

ou seja, f(a) = g(a), mostrando que a ∈ F .Logo, do corolario (6.4.6), seguira que F e um subconjunto fechado em M .

Exercıcio 6.4.1 Sejam (M,dM ), (N, dN ) espacos metricos f, g : M → N contınuas em M eX ⊆ M .

Se f(x) = g(x) para x ∈ X entao f(y) = g(y) para y ∈ X.De fato, do exemplo anterior, segue que F

.= {z ∈ M : f(z) = g(z)} e um subconjuntofechado de M .

Logo X.= {x ∈ M : f(x) = g(x)} ⊆ F e assim X ⊆ F = F , ou seja, f(y) = g(y) para

y ∈ X.

6.5 Sequencias de funcoes

Observacao 6.5.1 Sejam X um subconjunto nao vazio, (M,d) espaco metrico e denotemos porF(X; M) o conjunto formado por todas as funcoes f : X → M .

Logo podemos considerar uma sequencia (fn)n∈N em F(X; M) que sera denominada sequenciade funcoes em F(X; M).

Como veremos a seguir, podemos considerar varios tipos de convergencia para sequencia defuncoes em F(X; M).

Comecaremos pela

Definicao 6.5.1 Na situacao acima, diremos que a sequencia de funcoes (fn)n∈N convergesimplesmente (ou pontualmente) em X para a funcao f : X → M se para cada x ∈ Xa sequencia (f(x))n∈N seja convergente para f(x) em M , isto e, se

para cada x ∈ X temos limn→∞ fn(x) = f(x).

Neste caso escreveremos:fn

p→ f em X.

Observacao 6.5.2 Logofn

p→ f em X

se, e somente se, para cada x ∈ X, dado ε > 0, existe n0 = n0(ε, x) ∈ N tal que se

n > n0 temos dM (fn(x), f(x)) < ε.


Exemplo 6.5.1 Consideremos R com a metrica usual e a sequencia (fn)n∈N onde, para cadan ∈ N,

fn : R→ R e dada por fn(x) .=x

n, x ∈ R.

Entaofn

p→ 0 em R.

De fato, se x ∈ R, dado ε > 0 seja n0 ∈ N tal que

n0 >|x|ε

.

Entao se

n > n0 temos dR(fn(x), f(x)) = |fn(x)− f(x)| [f(x)=0]= | |x|

n

[n>n0]=

|x|n0

< ε,

mostrando a afirmacao.Geometricamente temos

f(x) = 0

f1(x) = x

-

6

f2(x) = x2

f3(x) = x3

f4(x) = x4

x

y

x0

Exemplo 6.5.2 Consideremos [0, 1] munido da metrica induzida pela metrica usual de R, Rmunido da metrica usual e a sequencia (fn)n∈N uma sequencia em F([0, 1];R) onde, para cadan ∈ N,

fn : [0, 1] → R e dada por fn(x) .= xn, x ∈ [0, 1].

Seja f : [0, 1] → R dada por

f(x) .=

{1, x = 00, 0 ≤ x < 1

.

Entaofn

p→ f em [0, 1].

De fato, se x = 1 temos que fn(x) = fx(1) = 1n = 1 para todo n ∈ N logo fn(1) → f(1).Se x ∈ [0, 1), pelo exemplo (6.2.1), temos que fn(x) = xn → 0 = f(x).Logo fn(x) → f(x), mostrando a afirmacao.Geometricamente temos


x0

f1(x) = x

f2(x) = x2

f3(x) = x3

y

x1

1

-

6

Um outro modo de convergencia para sequencias de funcoes e dado pela

Definicao 6.5.2 Diremos que a sequencia de funcoes (fn)n∈N converge uniformemente emX para a funcao f : X → M se dado ε > 0, existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que se

n > n0 temos dM (fn(x), f(x)) < ε, para todo x ∈ X.

Neste caso escreveremos:

fnu→ f em X.

Observacao 6.5.3

1. Se M, N ⊆ R podemos dar a seguinte interpretacao geometrica para a convergencia uni-forme de sequencia de funcoes.

Sejam fn, f : M → N , n ∈ N.

Notemos que escrever

|fn(x)− f(x)| < ε

e equivalente a escrever

−ε < fn(x)− f(x) < ε

ou ainda,

f(x)− ε < fn(x) < f(x) + ε.

Assim, a sequencia de funcoes (fn)n∈N satisfaz a condicao acima se, e somente se, seugrafico esta contido no “ tubinho “ de raio ε em torno do grafico da funcao f (vide figuraabaixo).


ε

ε

fn

f

y

x

6

?6

?

-

6

Logo, do ponto de vista acima, fn → f uniformemente em M se dado ε > 0 existirum n0 = n0(ε) ∈ N tal que para todo n ≥ n0 o grafico das funcoes fn estao dentro do”tubinho”de raio ε em torno do grafico da funcao f .

2. Mais adiante, (ver proposicao (6.5.1) veremos que a convergencia uniforme pode ser obtidapor meio da convergencia em um espaco metrico conveniente.

3. Sabemos que sefn

u→ f em X

entaofn

p→ f em X,

ou seja, para sequencias de funcoes temos que convergencia uniforme implica em con-vergencia pontual.

A reciproca e falsa, em geral, ou seja, existem sequencias de funcoes que convergem pon-tualmente mas que nao convergem uniformemente, como veremos mais adiante.

Exemplo 6.5.3 Consideremos, [a, b] com a metrica induzida pela metrica usual de R, R com ametrica usual e a sequencia (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N,

fn : [a, b] → R e dada por fn(x) .=x

n, x ∈ [a, b].

Entaofn

u→ 0 em [a, b].

De fato, seja c > 0 tal que [a, b] ⊆ [−c, c].Se x ∈ [a, b], dado ε > 0 seja n0 ∈ N tal que

n0 >c

ε.

Entao se

n > n0 temos dR(fn(x), f(x)) = |fn(x)− f(x)| [f(x)=0]= | |x|

n

[n>n0]=

|x|n0

[x∈[a,b]⊆[−c,c]]

≤ c

n0< ε,

mostrando a afirmacao.Geometricamente temos (se [a, b] = [0, 10])


x

ε

ε10

6?

?6

fn(x) = xn3

f3(x) = x3

f2(x) = x2

f1(x) = x

y

-

6

Observacao 6.5.4

1. Observemos que no exemplo (6.5.1) a sequencia de funcoes (fn)n∈N nao converge uni-formemente para a funcao f = 0 em R.

De fato, dado ε = 1 para todo n0 ∈ N se n > n0 existe x ∈ R tal que x > n.

Assimfn(x) =

x

n> 1 = ε,

mostrando quefn

p→ 0 em R

mas a convergencia nao e uniforme em R.

2. Por outro lado o exemplo (6.5.3) temos que nos restringindo a um intervalo [a, b] a con-vergencia sera uniforme em [a, b].

3. No exemplo (6.5.2) a convergencia nao sera uniforme em [0, 1].

De fato, dado 0 < ε < 1 seja (veja figura abaixo)

x ∈ [0, 1) tal que n√

ε ≤ x < 1.

µfn(x) = xn

x0ε1/n

?

6ε

?6

ε-

61

1 x

y


Neste caso temos que

fn(x)− f(x)[f(x)=0]

= xn ≥ ε,

mostrando que a convergencia nao sera uniforme [0, 1].

18.11.2008 - 28.a

4. Dados (M, dM ) espaco metrico, X 6= ∅ e f : X → M , indiquemos por

Bf (X;M) .= {g : X → M : dsup(f, g) < ∞},

ondedsup(f, g) .= sup

x∈XdM (f(x), g(x)).

Deste modo temos que (Bf (X; M), dsup) e um espaco metrico (sera deixado como exercıopara o leitor).

Proposicao 6.5.1 Na situacao acima temos que fnu→ f em X se, e somente se, fn ∈

Bf (X;M) e limn→∞ fn = f em Bf (X; M).

Demonstracao:Observemos quefn

u→ f em X, se e somente se, dado ε > 0 exitis n0 ∈ N tal que

n > n0 temos que dM (fn(x), f(x)) < ε, para todo x ∈ X,

ou equivalentemente,

n > n0 temos que dsup(fn, f) = supx∈X

dM (fn(x), f(x)) < ε,

que por sua vez e equivalente a fn, f ∈ Bf (X; M) para todo n ∈ N e limn→∞ fn = f em Bf (X; M).

¤

Proposicao 6.5.2 Sejam (E, ‖.‖) espaco vetorial normado, X 6= ∅ e (fn)n∈N, (gn)n∈N sequenciasde funcoes tais fn, gn : X → E, f, g : X → E, (λn)n∈N sequencia de funcoes reais definidas emX (isto e λn : X → R) e λ : X → R.

1. Suponhamos que fnu→ f em X e gn

u→ g em X.

Entao fn + gnu→ f + g em X.

2. Suponhamos que fnu→ f em X e λn

u→ λ em X onde λ e f sao funcoes limitadas em X.

Entao λn.fnu→ λ.f em X.

Demonstracao:De 1.:Se fn

u→ f em X e gnu→ g em X, dado ε > 0 existem nf , ng ∈ N tal que

n > nf temos que dM (fn(x), f(x)) <ε

2, para todo x ∈ X, (∗)

n > ng temos que dM (gn(x), g(x)) <ε

2, para todo x ∈ X. (∗∗)


Seja n0.= max{nf , ng} ∈ N.

Logo se n > n0 temos que

dM ((fn + gn)(x), (f + g)(x)) = ‖(fn + gn)(x)− (f + g)(x)‖E

= ‖[fn(x)− f(x) + [gn(x)− g(x)]‖E

≤ ‖[fn(x)− f(x)‖+ ‖gn(x)− g(x)‖E

= dM (fn(x), f(x)) + dM (gn(x), g(x))[(∗) e (∗∗)]

<ε

2+

ε

2= ε,

para todo x ∈ X, mostrando que fn + gnu→ f + g em X.

De 2.:Como λ e uma funcao limitada existe a > 0 tais que

|λ(x)| ≤ a x ∈ X. (∗)

Como fnu→ f em X e f e um funcao limitada em X segue que existe c > 0 tal que

‖fn(x)‖ ≤ c, para todo x ∈ X. (∗∗)

Se fnu→ f em X e λn

u→ λ em X, dado ε > 0 existem nf , nλ ∈ N tal que

n > nf temos que ‖fn(x)− f(x)‖E = dM (fn(x), f(x)) <ε

2a, para todo x ∈ X, (∗ ∗ ∗)

n > nλ temos que |λn(x)− λ(x)| = dR(λn(x), λ(x)) <ε

2c, para todo x ∈ X. (∗ ∗ ∗∗)

Seja n0.= max{nf , ng} ∈ N.

Logo se n > n0 temos que

dM ((λn.fn)(x), (λ.f)(x)) = ‖(λn.fn)(x)− (λ.f)(x)‖E

= ‖λn(x).fn(x)− λ(x).f(x)‖E

= ‖λn(x)fn(x)− λ(x)fn(x) + λ(x)fn(x)− λ(x).f(x)‖= ‖[λn(x)− λ(x)]fn(x) + λ(x)[fn(x)− f(x)]‖≤ |λn(x)− λ(x)| ‖fn(x)‖+ |λ(x)| ‖fn(x)− f(x)‖E

[(∗),(∗∗),(∗∗∗) e (∗∗∗∗)]<

ε

2cc + a

ε

2a= ε,

para todo x ∈ X, mostrando que λn.fnu→ λ.f em X.

¤

Observacao 6.5.5 No item 2. acima, as hipoteses de que f e λ sao funcoes limitadas e essen-cial para a conclusao.

De fato, se considerarmos as sequencias de funcoes reais a valores reais, (λn)n∈N e (fn)n∈N,dadas por

λn(x) .=1n

, fn(x) .= x, x ∈ R,

entao tomando-se λ, f : R→ R dadas por

λ(x) .= 0, f(x) = x, x ∈ R,


temos queλn

u→ λ, fnu→ f

em X.= R.

Alem disso, a funcao λ e limitada em R mas a funcao f nao e limitada em R.Observemos que

(λn.fn)(x) =x

n, x ∈ R

que nao converge uniformemente em R (veja observacao (6.5.4) item 1.).


Proposicao 6.5.3 Sejam (M,dM ), (N, dN ) espacos metricos e (fn)n∈N uma sequencia de funcoestais que para cada n ∈ N tenhamos fn : M → N contınua em a ∈ M .

Se fnu→ f em M entao f : M → N sera contınua em a ∈ M .

Demonstracao:Dado ε > 0, como fn

u→ f em M , existe n0 ∈ N tal que

n > n0 temos que dM (fn(x), f(x)) <ε

3, para todo x ∈ M. (∗)

Como fn0+1 e contınua em a ∈ M , segue que existe δ > 0 tal que

dM (x, a) < δ temos que dN (fn0+1(x), fN0+1(a)) <ε

3. (∗∗)

Logo sedM (x, a) < δ

temos que

dN (f(x), f(a)) ≤ dN (f(x), fn0+1(x)) + dN (fn0+1(x), fn0+1(a)) + dN (fn0+1(a), f(a)). (∗ ∗ ∗)

Mas

dN (f(x), fn0+1(x))(∗)≤ ε

3

dN (fn0+1(x), fn0+1(a))(∗∗)≤ ε

3

dN (f(a), fn0+1(a))(∗)≤ ε

3.

Se dM (x, a) < δ temos, de (***) e das desigualdades acima, que

dN (f(x), f(a)) <ε

3+

ε

3+

ε

3= ε,

mostrando que f e contınua no ponto a ∈ M .¤


Corolario 6.5.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos e (fn)n∈N um sequencia de funcoestais que para cada n ∈ N tenhamos fn : M → N contınua em M .

Se fnu→ f em M entao f : M → N sera contınua em M .

6.6. PRODUTOS CARTESIANOS INFINITOS 241

Demonstracao:Basta aplicar a proposicao acima em cada ponto de M .

¤

Observacao 6.5.6 Conclusao: convergencia uniforme preserva continuidade, isto e, se umasequencia de funcoes contınuas converge uniformemente para uma funcao, esta devera ser contınua.

6.6 Produtos cartesianos infinitos

Definicao 6.6.1 Dada uma famılia enumeravel {(Mi, di) : i ∈ N} de espacos metricos definimos

o produto cartesiano M.=

∞∏

i=1

Mi como sendo o conjunto formado pelas sequencias do tipo

x = (x1, · · · , xk, · · · ) onde xi ∈ Mi, i ∈ N.Os pontos xi ∈ Mi, i ∈ N serao denominados coordenadas do ponto x = (xi)i∈N.Para cada i ∈ N definimos a i-esima projecao, denotada por pi : M → Mi, como sendo

pi(x) .= xi, x = (xi)i∈N ∈ M.

Observacao 6.6.1 A seguir vamos introduzir uma metrica no produto cartesiano enumeravel

de espacos metricos M.=∞∏

i=1

Mi.

Para isto precisaremos da seguinte hipotese sobre a famılia de espacos metricos {(Mi, di) :i ∈ N}:

Suponhamos que para cada i ∈ N existe ci ≥ 0 tal que para todo xi, yi ∈ Mi temos

di(xi, yi) ≤ ci, (∗)e

∞∑

i=1

ci < ∞. (∗∗)

Vale observar que isto e equivalente a dizer que

∞∑

i=1

diam(Mi) < ∞.

Veremos mais adiante, que isto nao e necessario para munirmos M de uma metrica com-patıvel com as propriedades que virao a seguir (ver observacao (6.6.3) item 5.).

Com isto, definimos a seguinte metrica em M.=∞∏

i=1

Mi:

Consideremos d : M ×M → R dada por

d(x, y) = d((xi)i∈N, (yi)i∈N) .=∞∑

i=1

di(xi, yi), x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ M.

Observemos que d esta bem definida pois, por (*) e (**), temos que a serie em questao seraconvergente em R.

Sera deixado como exercıcio para o leitor mostrar que d e uma metrica em M =∞∏

i=1

Mi.


Definicao 6.6.2 Na situacao acima o par (M,d) sera dito espaco metrico produto dosespacos metricos Mi, i ∈ N.

Observacao 6.6.2 Na situacao acima, para cada i ∈ N, temos que a projecao

pi : M → Mi dada por pi((xk)k∈N) = xi, (xk)k∈N ∈ M

sao contracoes fracas em M , logo contınua em M , pois para cada i ∈ N temos que

di(pi(x), pi(y)) = di(xi, yi) ≤∞∑

k=1

dk(xk, yk) = d(x, y),

para x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ M .Como consequencia disto temos que se, para cada i ∈ N, Ai ⊆ Mi e um subconjunto aberto

de Mi entao p−1i (Ai) ⊆ M e um subconjunto aberto de M .

Sabemos que

p−1i (Ai) = {(xk)k∈N ∈ M : xi ∈ Mi} = M1 × · · ·Mi−1 ×Ai ×Mi+1 × · · ·

que sera denominado por fatia aberta de largura Ai.Como A1 ⊆ M1, A2 ⊆ M2, · · · , An ⊆ Mn sao subconjuntos abertos nos respectivos espacos

metricos entao

A.= A1 × · · · ×An ×

∞∏

i=n+1

Mi (∗)

sera um subconjunto aberto de M =∞∏

i=1

Mi, pois

A1 × · · · ×An ×∞∏

i=n+1

Mi = p−11 (A1) ∩ · · · ∩ p−1

n (An)

que e uma intersecao finita de subconjuntos abertos de M .O conjunto A, dado por (*), sera denominado aberto basico produto cartesiano M =

∞∏

i=n+1

Mi.

Com isto temos

Proposicao 6.6.1 Nas condicoes acima temos que U ⊆∞∏

i=n+1

Mi e aberto em∞∏

i=n+1

Mi se, e

somente se,U =

⋃

λ∈AAλ,

onde Aλ e um aberto basico de∞∏

i=n+1

Mi.

Demonstracao:Observemos que se

U =⋃

λ∈AAλ,


onde Aλ e um aberto basico de∞∏

i=1

Mi entao U sera um subconjunto aberto de∞∏

i=1

Mi.

Reciprocamente, se U ⊆∞∏

i=1


i=1

Mi entao para todo x = (xi)i∈N ∈ U , existe

r > 0 tal queB(x; r) ⊆ U.

Como a serie∞∑

i=1

ci e convergente em R, existe N ∈ N tal que

∞∑

i=N+1

ci <r

2. (∗)

Para cada i ∈ {1, · · · , N} consideremos

Ai.= Bi(xi;

r

2N) ⊆ Mi.

Afirmamos que o aberto basico

Ax.= A1 × · · · ×AN ×

∞∏

i=N+1

Mi

esta contido na bola aberta B(x; r) e portanto em U .De fato, se

z = (zi)i∈N ∈ Ax ⇒ d1(x1, z1) <r

2N, · · · , dN (xN , zN ) <

r

2N, (∗∗)

⇒ d(x, z) =∞∑

i=1

di(xi, zi) =N∑

i=1

di(xi, zi) +∞∑

i=N+1

di(xi, zi)

⇒ d(x, z)[di(xi,zi)≤ci,∀i∈N]

≤N∑

i=1

di(xi, zi) +∞∑

i=N+1

ci

[(∗∗) e (∗)]<

N∑

i=1

r

2N+

r

2=

r

2+

r

2= r,

mostrando que z ∈ B(x; r) ⊆ U , ou seja, Ax ⊆ U .Assim U =

⋃

x∈U

Ax, como querıamos mostrar.

¤Como consequencia temos

Corolario 6.6.1 Na situacao acima, para cada i ∈ N, as projecoes pi :∞∏

k=1

Mk → Mi sao

aplicacoes abertas em M =∞∏

k=1

Mk.


Demonstracao:

Se A = A1 × · · · ×An ×∞∏

k=n+1

Mk e um aberto basico entao temos que

pi(A1 × · · · ×An ×∞∏

k=n+1

Mk) =

{Ai, se i = 1, · · · , n

Mi, se i = n + 1, · · · ,

mostrando que pi(A) e um subconjunto aberto de Mi, para cada i ∈ N.Dado um aberto U ⊆ M temos, da proposicao (6.6.1), que

U =⋃

λ∈AAλ,

onde Aλ e um aberto basico de M .Mas

pi(U) = pi(⋃

λ∈AAλ) =

⋃

λ∈Api(Aλ),

ou seja, pi(U) e uma reuniao de abertos de M , logo sera um aberto de M , mostrando que pi euma aplicacao aberta em M , para cada i ∈ N.

¤Um outro resultado importante e

Proposicao 6.6.2 Na situacao acima, consideremos (N, dN ) um espaco metrico e f : N →∞∏

i=1

Mi.

Entao f e contınua em N se, e somente se, suas funcoes coordenadas fi.= pi ◦ f : N → Mi

for contınua em N para cada i ∈ N.

Demonstracao:

Se f e contınua em N , como pi e contınua em∞∏

k=1

Mk e para cada i ∈ N temos que fi = pi ◦f

sera contınua em N .Reciprocamente, se para cada i ∈ N as funcoes fi sao contınuas em N entao dado A =

A1 × · · · ×An ×∞∏

k=n+1

Mk aberto basico entao temos que

A = p−11 (A) ∩ · · · p−1

n (A)

e assim

f−1(A) = f−1[p−11 (A) ∩ · · · p−1

n (A)] = f−1[p−11 (A)] ∩ · · · f−1[p−1

n (A)]

= (p1 ◦ f)−1(A1) ∩ · · · ∩ (pn ◦ f)−1(An)

= f−11 (A1) ∩ · · · ∩ f−1

n (An)

Como, para cada i ∈ N os conjuntos f−1i (Ai) sao abertos em N , pois fi e contınua em N ,

segue que f−1(A) e um subconjunto aberto de N , ou seja, imagem inversa pela funcao f desubconjunto aberto basico de M sera um aberto de N .


Se U ⊆∞∏

i=1


i=1

Mi , da proposicao (6.6.1), segue que

U =⋃

λ∈AAλ,

onde Aλ e um aberto basico de M .Mas

f−1(U) = f−1

[ ⋃

λ∈AAλ

]=

⋃

λ∈Af−1(Aλ)

e como f−1(Aλ) e um subconjunto aberto de N (pois Aλ e um aberto basico de∞∏

i=1

Mi) segue

que f−1(A) sera um subconjunto aberto de N , mostrando que f e uma funcao contınua em N .¤

20.11.2008 - 29.aComo consequencia temos

Corolario 6.6.2 Na situacao acima, a sequencia (xm)m∈N em∞∏

i=1

Mi e convergente em∞∏

i=1

Mi

se, e somente se, a sequencia (xmi)m∈N em Mi e convergente em Mi, para cada i ∈ N.

Mais geralmente xm → x em∞∏

i=1

Mi, onde x = (ai)i∈N ∈∞∏

i=1

Mi se, e somente se, xmi → ai

em Mi, para cada i ∈ N.

Demonstracao:A demonstracao e semelhante a demostracao da proposicao (6.1.5).A redacao sera deixada como exercıcio para o leitor.

¤

Proposicao 6.6.3 Sejam (Mi, di) espaco metricos e Xi ⊆ Mi, i ∈ N.Entao ∏

i∈NXi =

∏

i∈NXi.

Demonstracao:

Da proposicao (6.4.2) temos que um ponto a ∈ M =∏

i∈NMi e ponto aderente de

∏

i∈NXi se, e

somente se, existe uma sequencia (xn)n∈N em M tal que xn → a em M .Do corolario (6.6.2), isto e equivalente a dizer que xni → ai em Mi, para todo i ∈ N, onde

a = (ai)i∈N, que por sua vez, pela proposicao (6.4.2), e equivalente a dizer que ai ∈ Xi paratodo i ∈ N, ou ainda, a ∈

∏

i∈NXi, como querıamos mostrar.


Corolario 6.6.3 Na situacao acima,se para cada i ∈ N temos que Fi ⊆ Mi e fechado em Mi

entao∏

i∈NFi sera fechado em

∏

i∈NMi.


Demonstracao:Observemos que se i ∈ N temos que Fi ⊆ Mi e fechado em Mi entao Fi = Fi para todo i ∈ N.Mas, do corolario acima temos que

∏

i∈NFi =

∏

i∈NFi =

∏

i∈NFi,

e assim segue que∏

i∈NFi sera fechado em

∏

i∈NMi.

¤Como consequencia deste temos o

Corolario 6.6.4 Na situacao acima,se para cada i ∈ N temos que Xi ⊆ Mi e denso em Mi

entao∏

i∈NXi sera denso em

∏

i∈NMi.

Demonstracao:Do corolario acima temos que

∏

i∈NXi =

∏

i∈NXi =

∏

i∈NMi = M,

e assim segue que∏

i∈NXi sera denso em M =

∏

i∈NMi.

¤

Exercıcio 6.6.1 Como para cada i ∈ N temos que a projecao

pi :∏

i∈NMi → Mi

e uma aplicacao sobrejetora e contınua em∏

i∈NMi segue que se A ⊆

∏

i∈NMi e denso em

∏

i∈NMi

temos que pi(A) ⊆ Mi sera denso em Mi, para i ∈ N.Suponhamos, por absurdo, que existe A ⊆

∏

i∈NMi denso em

∏

i∈NMi tal que pi0(A) 6= Mi0, para

algum i0 ∈ N, ou seja, existe ai0 ∈ Mi0 \ pi0(A).Como pi0(A) e fechado em Mi0 segue que Mi0 \ pi0(A) sera aberto em Mi0.Logo existe r > 0 tal que

Bi0(ai0 ; r) ⊆ Mi0 \ pi0(A).

Como pi0 e sobrejetora existe a ∈∏

i∈NMi tal que pi0(a) = ai0.

Alem disso como pi0 e contınua em a existe s > 0 tal que

pi0(B(a; s)) ⊆ Bi0(ai0 ; r). (∗)Mas Bi0(a; r) ⊆ Mi0 \ pi0(A) logo

B(a; s) ∩A = ∅(caso contrario terıamos pi0(B(a; s)) ∩ pi0(A) 6= ∅ o que e um absurdo pois, Bi0(a; r) ⊆ Mi0 \pi0(A)).

Mas (*) contraria o fato que A e denso em∏

i∈NMi, logo temos um absurdo e assim pi(A) ⊆ Mi

devera ser denso em Mi, para todo i ∈ N.


Para finalizar esta secao faremos algumas consideracoes importantes

Observacao 6.6.3

1. Na situacao acima temos que se∏

i∈NXi e fechado em M =

∏

i∈NMi entao para cada i ∈ N

temos que Xi sera um subconjunto fechado de Mi pois dos resultados acima temos que

∏

i∈NXi =

∏

i∈NXi =

∏

i∈NXi

que implicara que Xi = Xi para cada i ∈ N, mostrando que Xi e fechado em Mi para cadai ∈ N.

2. Porem vale observar que a projecao de um subconjunto fechado de F ⊆ M =∏

i∈NMi em

um dos fatores Mi, para algum i ∈ N podera nao ser um subcojunto fechado de Mi.

Veja a observacao (4.4.10) item 1. .

3. Se Ai ⊆ Mi e um subconjunto aberto em Mi para cada i ∈ N isto nao implica que

A.=

∏

i∈NAi

seja um subconjunto aberto de M =∏

i∈NMi.

Para que isto ocorra e suficiente que exista n ∈ N tal que para todo i > n tenhamos

Ai = Mi.

De fato, pois neste caso, A sera um aberto basico de M =∏

i∈NMi.

Mas esta condicao tambem sera necessaria (se A for nao vazio) pois se A.=

∏

i∈NAi e um

subcojunto aberto, nao vazio, de M =∏

i∈NMi e x ∈ A, pela proposicao (6.6.1), segue que

existe uma aberto basico, A′ .= A′1 × · · · ×A′n ×∏

i>n

Mi tal que

x ∈ A′ ⊆ A,

ou seja, Ai = Mi para todo i > n.

Conclusao: se tomarmos, para cada i ∈ N, Ai subconjunto aberto em Mi tal que umainfinidade deste nao seja igual aos correspondentes espacos todo entao teremos que A

.=∏

i∈NAi nao sera aberto em M =

∏

i∈NMi (por exemplo:

∏

i∈N(ai, bi) nao e aberto em M

.=

∏

i∈NR = R× R× · · · onde −∞ < ai < bi < ∞).


4. A seguir vamos introduzir uma merica no produto cartesiano M.=

∏

i∈NMi sem precisar

impor a condicao ∑

i∈Ndiam(Mi) < ∞.

Para isto consideremosd : M ×M → R

dada por

d(x, y) .=∞∑

i=1

12i

di(xi, yi)1 + di(xi, yi)

,

onde x = (xi)i∈N, x = (yi)i∈N ∈ M .

Observemos que∣∣∣∣12i

di(xi, yi)1 + di(xi, yi)

∣∣∣∣[

di(xi,yi)

1+di(xi,yi)≤1]

≤ 12i

, i ∈ N

e a serie∞∑

i=1

12i

e convergente em R (pois e uma serie geometrica de razao 0 < r = 12 < 1).

Logo d esta bem definida e satisfaz as condicoes da definicao de metrica (a verificacaodeste fato sera deixada como exercıcio para o leitor).

Com isto temos que (∏

i∈NMi, d) sera um espaco metrico que tem as mesmas propriedades

anteriores.

6.7 Limites de funcoes

Para finalizar o capıtulo estudaremos o limite de uma funcao quando a variavel aproxima-se dealgum valor.

Para isto

Definicao 6.7.1 Sejam (M,dM ), (N, dN ) espacos metrico, X ⊆ M nao vazio, a ∈ X e f : X →N .

Diremos que um ponto b ∈ N e o limite de f(x) quando x tende ao ponto a quedenotaremos por

limx→a

f(x) = b,

se dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se

x ∈ X e dM (x, a) < δ entao dN (f(x), b) < ε.

Observacao 6.7.1

1. Como a ∈ X faz sentido considerar ” x ∈ X e dM (x, a) < δ”.

2. Se a funcao f esta definida no ponto a entao a definicao acima e, equivalente, a dizer quea funcao f e contınua no ponto a.

6.7. LIMITES DE FUNCOES 249

De fato, se e contınua no ponto a segue que

limx→a

f(x) = f(a)(= b).

Reciprocamente selimx→a

f(x) = b

entao dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se

x ∈ X e dM (x, a) < δ entao dN (f(x), b) < ε,

em particular, tomando-se x = a teremos que

dM (a, a) = 0 < δ entao dN (f(a), b) < ε,

o que implicara que b = f(a), ou seja, f e contınua no ponto a.

3. Devido a observacao acima o nosso interesse maior sera nos casos em que a ∈ X \X (istoe, a e ponto aderente do conjunto X mas nao pertende ao conjunto X).

Com isto temos a

Proposicao 6.7.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metrico, X ⊆ M nao vazio, a ∈ X e f :X → N .

limx→a

f(x) = b

se, e somente se, para toda sequencia (xn)n∈N em X convergente para a em M temos que asequencia (f(xn))n∈N em N e convergente para b em N , isto e, se xn ∈ X, n ∈ N e xn → a emM entao f(xn) → b em N .

Demonstracao:E semelhante a demonstracao da proposicao (6.4.1) e sera deixada como exercıcio para o

leitor.¤


Corolario 6.7.1 Sejam (M,dM ), (N, dN ) espacos metrico, X ⊆ M nao vazio, a ∈ X e f :X → N .

Se toda sequencia (xn)n∈N em X que converge para a em M implicar que a sequencia((f(xn))n∈N e convergente em N entao

limx→a

f(x) = b

para algum b ∈ N.

Demonstracao:Observemos, primeiramente, que se as sequencias (xn)n∈N e (yn)n∈N em X convergem para a

em M entao as sequencias ((f(xn))n∈N e ((f(yn))n∈N serao convergentes em N para um mesmovalor, isto e,

limn→∞ f(xn) = lim

n→∞ f(yn).


De fato, suponhamos, por absurdo, que

limn→∞ f(xn) .= b 6= c

.= limn→∞ f(yn).

A sequencia (zn)n∈N dada por

zn.=

{xn, se n e ımparyn, se n e par

e tal que zn → a em M (sera deixado como exercıcio para o leitor a verificacao deste fato) e assubsequencias

((f(z2n))n∈N = ((f(x2n))n∈N, ((f(z2n+1))n∈N = ((f(y2n+1))n∈N

serao convergentes para b e c em N , respectivamente, com b 6= c, mostrando que a sequencia((f(zn))n∈N nao sera convergente em N , contrariando a hipotese.

Seja b o valor comum do limite em N de todas as sequencias ((f(xn))n∈N tais que a sequencia(xn)n∈N em X converge para a em M .

Segue da proposicao acima quelimx→a

f(x) = b,


Proposicao 6.7.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metrico, X ⊆ M nao vazio e f : X → Ncontınua em X.

Se para todo a ∈ X existe limx→a

f(x) entao a aplicacao

F : X → N

dada por

F (y) .=

f(y) se y ∈ X

limx→y

f(x) se y ∈ X \X

sera contınua em X.

Demonstracao:Como f e contınua em X segue que F sera contınua em X.Se a ∈ X sabemos que

limx→a

f(x) = F (a),

assim dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se

x ∈ X e dM (x, a) < δ entao dN (F (x), F (a)) = dN (f(x), F (a)) <ε

2. (∗)

Mostraremos que para todo

x ∈ X tal que dM (x, a) <δ

2teremos dN (F (x), F (a)) < ε,

o que implicara que F sera contınua em X.

6.7. LIMITES DE FUNCOES 251

Para isto observemos que como x ∈ X existe uma sequencia (xn)n∈N em X tal que

limn→∞xn = x.

Logo existe m0 ∈ N tal que se n ≥ m0 teremos

dM (xn, x) <δ

2,

assim, se n ≥ m0 teremos

dM (xn, a) ≤ dM (xn, x) + dM (x, a) <δ

2+

δ

2,

e, de (*), segue que

dN (F (xn), F (a)) = dN (f(xn), F (a)) <ε

2. (∗∗)

Logo se dM (x, a) <δ

2teremos (observemos que F (x) = lim

n→∞ f(xn))

dN (F (x), F (a)) = dN (( limn→∞ f(xn), F (a))

[d e contınua]]= ≤ lim

n→∞ d(f(xn), F (a)) ≤ ε

2< ε,


Observacao 6.7.2 Observemos que dada uma funcao f : X → N com X ⊆ M , (M,dM ) e(N, dN ) espacos metricos nem sempre existe lim

x→af(x) para a ∈ X.

Para ver isto consideremos f : R \ {0} → R (ou seja, N = M = R e X = R \ {0}) dada por

f(x) .= sen(1x

), x ∈ R \ {0}.Sabemos que nao existe lim

x→0f(x).


Exercıcio 6.7.1 Seja I = (a, b) ⊆ R munido metrica induzida pela metrica usual de R.Suponhamos que f : I → R seja monotona e limitada.Entao existem lim

x→af(x) e lim

x→bf(x).

De fato, consideraremos o caso em que f e nao-decrescente (o caso nao crescente sera deixadocomo exercıcio para o leitor) e mostraremos que lim

x→bf(x) existe (o caso lim

x→af(x) sera deixado

como exercıcio para o leitor).Como f e limitada segue que f(I) ⊆ R e um subconjunto limitado de R.Logo existe

L.= sup{f(x) : a < x < b}.

Mostremos quelimx→b

f(x) = L.

Para isto, dado ε > 0, da definicao de supremo, existe

x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) ∈ (L− ε, L].


Seja δ.= b− x0 > 0.

Afirmamos que se

x ∈ (b− δ, b) temos que f(x) ∈ (L− ε, L].

De fato, se b− δ < x < b segue x0 = b− δ < x < b e como f e nao decrescente teremos

L− ε < f(x0) ≤ f(x) ≤ L,

isto e, se x ∈ I = (a, b) e |x− b| < δ (ou seja, b− δ < x < b) segue que

L− ε < f(x) ≤ L < L + ε,

ou, equivalentemente,|f(x)− L| < ε

mostrando que limx→a

f(x) = L.

Capıtulo 7

Continuidade Uniforme de Funcoesem Espacos Metricos

Iniciaremos pela

Definicao 7.0.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N .Diremos que a funcao f e uniformemente contınua em M se dado ε > 0 existir δ =

δ(ε) > 0 tal que se x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ entao dM (f(x), f(y)) < ε.

Observacao 7.0.3

1. Se f : M → N e uniformemente contınua em M entao e imediato que f sera uma funcaocontınua em M (ou seja, sera contınua em cada ponto de M).

2. Ao contrario da continuidade em cada ponto (que e um fenomeno local) a continuidadeuniforme e um fenomeno global.

Como veremos em exemplos a seguir, podemos ter uma funcao que e contınua em cadaponto de um espaco metrico mas nao e uniformemente contınua em M .

Mas ainda, podemos ter uma funcao f : M → N tal que para cada a ∈ M exista B.=

BM (a; r) tal que f|B seja uniformemente contınua mas f : M → N nao seja uma funcaouniformemente contınua em M .

3. Vale observar que continuidade uniforme nao e uma propriedade topologica, isto e, umaaplicacao f : (M, dM ) → (N, dN ) pode ser uniformemente contınua em (M, dM ) maspodem existir metricas d′M e d′N equivalentes a dM e dN , respectivamente, de tal modo quea aplicacao f : (M,d′M ) → (N, d′N ) nao seja uniformemente contınua em (M, d′M ).

4. Ou de outro modo: a definicao de continuidade (em termos de ε e δ) pode ser obtidautilizando-se abertos (ou fechados) dos espacos metricos M e N envolvidos.

No caso da continuidade uniforme isto nao e possıvel, ou seja, nao temos como estabeleceruma condicao necessaria e suficiente em termos de abertos (ou fechados) de M e N ,respectivamente, para caraterizar uma funcao uniformemente contınua.

Definicao 7.0.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N .Diremos que a funcao f e homeomorfismo uniforme de M em N se f e sua funcao

inversa f−1 : N → M forem uniformemente contınuas em M e N , respectivamente.

253

254CAPITULO 7. CONTINUIDADE UNIFORME DE FUNCOES EM ESPACOS METRICOS

-

¾

f

f−1

M

N

uniformemente contınua

uniformemente contınua

25.11.2008 - 30.aTemos a

Proposicao 7.0.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espacos metricos, f : M → N e g : N →P uniformemente contınuas em M e N respectivamente.

Entao g ◦ f : M → P sera uniformemente contınua em M .

Demonstracao:De fato, dado ε > 0, como g : N → P sera uniformemente contınua em N existe λ > 0 tal

que se z, w ∈ N edN (z, w) < λ entao dP (g(z), g(w)) < ε. (∗)

Como f : M → N sera uniformemente contınua em M existe δ > 0 tal que se x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ entao dN (f(x), f(y)) < λ. (∗∗)

Logo se x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ entao, de (**), temos dN (f(x), f(y)) < λ e, de (*), segue dP (g(f(x)), g(f(y))) < λ

mostrando que g ◦ f e uniformemente contınua em M .¤


Corolario 7.0.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, X ⊆ M e f : M → N uniforme-mente contınua em M .

Entao f|X e uniformemente contınua em X.

Demonstracao:Seja i : X → M dada por i(x) .= x, x ∈ X (a aplicacao inclusao de X em M).Temos que i e uniformemente contınua em X (basta tomas δ = ε) e temos que f|X = f ◦ i e

assim, pela proposicao acima, segue que f|X sera uniformemente contınua em X.¤

Temos a

Proposicao 7.0.4 Sejam (M, dM ), espaco metrico, (E, ‖.‖E) espaco vetorial normado, f, g :M → E uniformemente contınuas em M e λ ∈ R \ {0}.

Entao f + g e λ.f sao uniformemente contınuas em M .

255

Demonstracao:Dado ε > 0, como f : M → E e uniformemente contınua em M existe δ1 > 0 tal que se

x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ1 entao ‖f(x)− f(y))‖E = dE(f(x), f(y)) <ε

2. (∗)

De modo semelhante, como g : M → E e uniformemente contınua em M existe δ2 > 0 talque se x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ2 entao ‖g(x)− g(y))‖E = dE(g(x), g(y)) <ε

2. (∗∗)

Logo tomando-se δ.= min{δ1, δ2} > 0 temos que se se x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ

teremos

dE((f + g)(x), (f + g)(y)) = ‖(f + g)(x)− (f + g)(y))‖E = ‖[f(x)− f(y)] + [g(x)− g(y)]‖E

≤ ‖f(x)− f(y)‖E + ‖g(x)− g(y)‖E

(∗) e (∗∗)]<

ε

2+

ε

2= ε,

mostrando que f + g e uniformemente contınua em M .Dado ε > 0, como f : M → E e uniformemente contınua em M existe δ > 0 tal que se

x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ entao ‖f(x)− f(y))‖E = dE(f(x), f(y)) <ε

|λ| . (∗ ∗ ∗)

Logo se x, y ∈ M e dM (x, y) < δ entao

dE((λ.f)(x), (λ.f)(y)) = ‖(λ.f)(x)− (λ.f)(y))‖E = |λ|‖f(x)− f(x)‖E

[(∗∗∗)]< |λ| ε

|λ| = ε

mostrando que λ.f e uniformemente contınua em M .¤

Observacao 7.0.4

1. A proposicao acima nos diz que o conjunto formado por todas as aplicacoes uniformementecontınuas de (M,dM ) em (E, ‖.‖E) sera um espaco vetorial sobre R quando munido dasoperacoes de adicao de funcoes e multiplicacao de numero real por funcao.

2. Podemos ter f, g : M → R uniformemente contınuas em M e a aplicacao f.g nao seruniformemente contınua em M.

Mais adiante exibiremos um contra-exemplo para esta situacao.

Em geral temos a

Proposicao 7.0.5 Sejam (M,dM ), espaco metrico, R com a metrica usual, f, g : M → Runiformemente contınuas e limitadas em M .

Entao f.g e uniformemente contınua em M .


Demonstracao:Como f, g e limitada em M existe C1, C2 > 0 tal que

|g(x)| ≤ C1, para todo x ∈ M. (∗)e

|f(x)| ≤ C2, para todo x ∈ M. (∗∗)Dado ε > 0, como f : M → R e uniformemente contınua em M existe δ1 > 0 tal que se

x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ1 entao |f(x)− f(y))| = dR(f(x), f(y)) <ε

2C1. (∗ ∗ ∗)

como g : M → R e uniformemente contınua em M existe δ2 > 0 tal que se x, y ∈ M e

dM (x, y) < δ2 entao |g(x)− g(y))| = dR(g(x), g(y)) <ε

2C2. (∗ ∗ ∗∗)

Seja δ.= min{δ1, δ2} > 0.

Logo se x, y ∈ M e dM (x, y) < δ entao

dR((f.g)(x), (f.g)(y)) = |(f.g)(x)− (f.g)(y))| = |f(x).g(x)− f(y)g(x) + f(y)g(x)− f(y).g(y)|≤ |g(x)||f(x)− f(y)|+ |f(y)|g(x)− g(y)|[(∗),(∗∗),(∗∗∗) e (∗∗∗∗)]

< C1ε

2C1+ C2

ε

2C2= ε (7.1)

mostrando que f.g e uniformemente contınua em M .¤

Proposicao 7.0.6 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N lischitziana em M .Entao f e uniformemente contınua em M .

Demonstracao:Como f : M → N lischitziana em M , existe C > 0 tal que se x, y ∈ M temos

dN (f(x), f(y)) ≤ CdM (x, y).

Logo, dado ε > 0 se δ.=

ε

C> 0 temos que se x, y ∈ M e dM (x, y) < δ teremos

dN (f(x), f(y)) ≤ CdM (x, y) < Cε

C= ε

mostrando que f e uniformemente contınua em M .¤

Observacao 7.0.5 Como consequencia temos:

1. Na situacao acima se M = I e um intervalo de R e N = R entao f : I → R diferenciavelem I tal que sua derivada e limitada em I e uniformemente contınua em I.

De fato, pois vimos anteriormente que neste caso f sera lipschitziana em I.

2. Toda imersao isometrica e uniformemente contınua.

De fato, pois toda imersao isometrica e lipschitziana.

257

3. As projecoes pi :n∏

i=1

Mi → Mi para i = 1, · · · , n sao uniformemente contınuas emn∏

i=1

Mi.

De fato, pois as projecoes pi sao contracoes fracas (logo sera lipschitziana).

4. Se (M,dM ) e um espaco metrico entao a aplicacao dM : M ×M → R e uniformementecontınua em M×M (munido de uma das tres metricas usuais) pois e uma contracao fraca(logo sera lipschitziana).

5. Seja (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado.

Entao:

(a) A aplicacao ‖.‖E : E × E → R e uniformemente contınua em E ×E;

(b) A aplicacao s : E × E → E dada por s(~x, ~y) .= ~x + ~y, ~x, ~y ∈ E e uniformementecontınua em E × E;

As demonstracoes destes fatos serao deixadas como exercıcio para o leitor.

6. Sejam (E, ‖.‖E), (F, ‖.‖F ) espacos vetoriais normados.

Entao:

(a) Se f : E → F e uma transformacao linear contınua entao f uniformemente contınuaem E;

(b) Em particular, se f : Rm → F e uma transformacao linear entao f uniformementecontınua em E;

(c) A aplicacao m : R×E → E dada por m(λ, ~x) .= λ~x, (λ, ~x) ∈ R×E e uniformementecontınua em cada subconjunto limitado de R× E;

As demonstracoes destes fatos serao deixadas como exercıcio para o leitor.

7. Sejam (Ei, ‖.‖i), espacos vetoriais normados para i = 1, · · · ,m.

Entao se f : E1×· · ·×Em → F e uma transformacao m-linear contınua em E1×· · ·×Em

(com uma das tres metricas usuais) entao f uniformemente contınua em cada subconjuntolimitado de E1 × · · · × Em.

A demonstracao deste fato sera deixada como exercıcio para o leitor.

A seguir consideraremos alguns exemplos importantes.

Exemplo 7.0.1 A funcao f : R → R dada por f(x) .= x2, x ∈ R e uniformemente contınuaem cada A ⊆ R limitado (pois sua derivada sera limitada em A) mas nao e uniformementecontınua em R.

De fato, como

(x +1x

)2 − x2 = x2 + 2.x1x

+1x2− x2 = 2 +

1x2

> 2

tomando-se ε = 1 podemos ver que para todo δ > 0 existe x ∈ R com |x| > 1δ.


Assim y.= x +

1x

satisfaz a condicao

dR(x, y) = |x− y| = |x− [x +1x

]| = 1|x| < δ

masdR(f(x), f(y) = |f(y)− f(x)| = |y2 − x2| = |(x +

1x

)2 − x2| > 2 > 1 = ε

mostrando que f nao e uniformemente contınua em R.

Observacao 7.0.6 Na verdade o mesmo argumento acima mostra que a funcao f nao serauniformemente contınua em qualquer subconjunto nao limitado de R.

Exercıcio 7.0.2 A funcao f : (0,∞) → R dada por f(x) .= cos(1x

), x ∈ (0,∞) e contınua e

limitada em (0,∞) mas nao e uniformemente contınua em (0,∞).De fato, dado ε = 1 para todo δ > 0 podemos escolher n ∈ N tal que

x.=

12nπ

e y.=

12(n + 1)π

pertencem ao intervalo (−δ

2,δ

2), ou seja,

|x− y| = | 12nπ

− 12(n + 1)π

| < δ

mas para estes valores temos

|f(x)− f(y)| = | cos(2nπ)− cos(2(n + 1)π)| = |1− (−1)| = 2 > 1 = ε,

mostrando que a funcao f nao sera uniformemente contınua em (0,∞).

Observacao 7.0.7 Vale o mesmo se trocarmos o intervalo (0,∞) por (0, a) para qualquer a > 0.

Exercıcio 7.0.3 Considermos f : R \ {0} → R dada por

f(x) .=

{1, x > 0−1, x < 0

.

A funcao f e contınua em R\{0} (por que?) mas nao e uniformemente contınua em R\{0}.De fato, pois dado ε = 1, para todo δ > 0 temos se 0 < x < δ

2 entao temos que

|x− (−x)| < δ

mas|f(x)− f(−x)| = 2 > 1 = ε,

mostrando que f nao e uniformemente contınua em R \ {0}.

Podemos estender o exemplo acima, da seguinte forma:

259

Exercıcio 7.0.4 Suponhamos que (M, dM ) e (N, dN ) sao espacos metricos, f : M → N econtınua em M e existem a, b ∈ N , a 6= b tais que os conjuntos F

.= f−1({a}) e G.= f−1({b})

(que sao fechados e disjuntos em M) satisfazem

dM (F, G) = 0.

Entao f nao e uniformemente contınua em M .

De fato, seja ε =dN (a, b)

2> 0.

Como dM (F, G) = 0 para todo δ > 0 existem x ∈ F e y ∈ G tais que

dM (x, y) < δ.

Mas observemos quedN (f(x), f(y)) = dN (a, b) = 2ε > ε,

mostrando que f nao e uniformemente contınua em M .

Exemplo 7.0.2 Seja (M, dM ) um espaco metrico e F, G ⊆ M fechados em M , nao vazios edisjuntos.

Afirmamos que existe uma funcao f : M → [0, 1] contınua em M tal que (veja figura abaixo)

f(x) =

{0 para x ∈ F

1 para x ∈ G.

M

G

F

-

6

0

1

f

Um modo de definir a funcao f seria

f(x) .=dM (x, F )

d(x, F ) + dM (x,G), x ∈ M.

Como F e G sao fechados e F ∩ G = ∅ temos que f esta bem definida (pois nao ha comozerar o denominador) e portanto sera contınua em M (pois x 7→ d(x, F ) e x 7→ d(x,G) saocontınuas em M).

Alem disso, se x ∈ F temos que

d(x, F ) =dM (x, F )

d(x, F ) + dM (x,G)=

00 + dM (x,G)

= 0,


logo f(x) = 0 e se x ∈ G temos que

d(x,G) =dM (x, F )

d(x, F ) + dM (x,G)=

dM (x, F )d(x, F ) + 0

= 1,

logo f(x) = 1, como afirmamos acima.

Observacao 7.0.8 A funcao acima e denominada Funcao de Urysohn associada ao paraF, G.

Proposicao 7.0.7 Sejam (M,dM ) espaco metrico e f : I → M uniformemente contınua em I,onde I ⊆ R e um intervalo limitado de R.

Entao f e limitada em I.

Demonstracao:Vamos supor que I = [a, b].Os outros casos serao deixados como exercıcio para o leitor.Dado ε = 1 > 0 como f e uniformemente contınua em I existe δ > 0 tal que se x, y ∈ I e

|x− y| = dR(x, y) < δ temos dM (f(x), f(y)) < ε = 1. (∗)

Como I e um intervalo limitado de R podemos decompo-lo em um numero finito de sub-intervalos justapostos, Ij = [aj−1, aj ], j = 1, · · · , N0, todos de comprimento menor que δ, assim

d(aj−1, aj) < δ, j = 1, · · · , N0(∗)⇒ d(f(aj−1), f(aj)) < 1, j = 1, · · · , N0. (∗∗)

Se x, y ∈ I, podemos supor, sem perda de generalidade que x ≤ y e assim existem j0, j1 ∈{1, · · · , N0} tais que

aj0−1 ≤ x ≤ aj0 ≤ aj1−1 ≤ y ≤ aj1 ,

assimd(x, aj0) < δ e d(y, aj1) < δ. (∗ ∗ ∗)

Logo

dN (f(x), f(y)) ≤ dN (f(x), f(aj0)) + dN (f(aj0), f(aj0+1))+ · · ·+ dN (f(aj1−1), f(aj1)) + dN (f(aj1), f(y))

(∗∗),(∗∗∗),(∗)≤ 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

N0parcelas

= N0

mostrando que f e limitada em I.¤

Proposicao 7.0.8 Sejam (M,dM ), (Ni, di), i = 1, · · · , n espacos metricos, N1×· · ·Nn munidoda metrica da soma e f : M → N1 × · · ·Nn.

Entao f e uniformemente contınua em M se, e somente se, cada uma de suas coordenadasfi : M → Ni, i = 1, · · · , n, for uniformemente contınua em M .

261

Demonstracao:Se f e uniformemente contınua em M , como as projecoes pi : N1×· · ·×Nn → Ni, i = 1, · · · , n,

sao uniformemente contınuas em M e fi = pi ◦ f segue que cada uma de suas coordenadasfi : M → Ni, i = 1, · · · , n, for uniformemente contınua em M .

Reciprocamente, se cada uma de suas coordenadas fi : M → Ni, i = 1, · · · , n , for uniforme-mente contınua em M , dado ε > 0, para cada i = 1, · · · , n, existe δi > 0 tal que se x, y ∈ Me

dM (x, y) < δi temos di(fi(x), fi(y)) <ε

n. (∗)

Seja δ = min{δi : i = 1, · · · , n} > 0.Logo se x, y ∈ M e dM (x, y) < δ temos que

dN1×···×Nn(f(x), f(y)) =n∑

i=1

di(fi(x), fi(y))[(∗)]<

n∑

i=1

ε

n= ε,


Proposicao 7.0.9 Sejam (Ei, ‖.‖i), i = 1, · · · , n e (F, ‖.‖F ) espacos vetoriais normados comn ≥ 2.

Entao f : E1 × · · · × En → F n-linear e uniformemente contınua em E1 × · · · × En se, esomente se, f = 0.

Demonstracao:Se f = 0 entao f sera uniformemente contınua em E1 × · · · × En.Reciprocamente, suponhamos, por absurdo, que f : E1 × · · · ×En → F n-linear e uniforme-

mente contınua em E1 × · · · × En e f 6= 0.Logo existe ~u

.= (~u1, · · · , ~un) ∈ E1 × · · · × En tal que f(~u) = ~v 6= ~0.Podemos, supor, sem perda de generalidade que

‖f(~u1, · · · , ~un)‖ = 1,

caso contrario, substituimos ~u1 por~u1

‖~v‖Fe com isto teremos

‖f(~u1

‖~v‖F, ~u2, · · · , ~un)‖ [f e n-linear]

= ‖ 1‖~v‖F

‖f(~u1, ~u2, · · · , ~un)‖F[f(~u)=~v]

=‖~v‖F

‖~v‖F= 1.

Seja g : R→ E1 × · · · × En dada por

g(t) .= (t.~u1, t.~u2, ~u3, · · · , ~un), t ∈ R

E facil ver que h : R→ E1 × · · · × En dada por

h(t) .= g(t)− (~01,~02, ~u3, · · · , ~un) = (t.~u1, t.~u2,~03, · · · ,~0n), t ∈ R

e linear em R, assim g sera uma aplicacao e linear afim em R.Em particular, g uniformemente contınua em R.Alem disso, a aplicacao ~y 7→ ‖~y‖F tambem e uniformemente contınua em F .


Como f e uniformemente contınua em E1 × · · · ×En segue que a aplicacao ϕ : R→ R dadapor

ϕ(t) = ‖(f ◦ g)(t)‖F = ‖f(t.~u1, t.~u2, ~u3 · · · , ~un)‖F

[f e n-linear]= ‖t2.f(~u1, ~u2, ~u3 · · · , ~un)‖F = t2‖f(~u1, ~u2, ~u3 · · · , ~un)‖F

= t2‖~v‖F[‖~v‖F =1]

= t2, t ∈ R

sera uniformemente contınua em R contrariando o exemplo (7.0.1).Logo f = 0.

¤Para finalizar temos a

Proposicao 7.0.10 Sejam (M,dM ) e (N, dN ) espacos metricos, onde dM e a metrica zero-um.Entao f : M → N e uniformemente contınua em M .

Demonstracao:Dado ε > 0 seja δ = 1.Entao se x, y ∈ M e dM (x, y) < δ = 1 segue que x = y, logo

dN (f(x), f(y)) = dN (f(x), f(x)) = 0 < ε,


Capıtulo 8

Espacos Metricos Completos

8.1 Sequencias de Cauchy

Comecaremos pela

Definicao 8.1.1 Seja (M, dM ) um espaco metrico.Diremos que uma sequencia (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy se dado ε > 0 existe

n0 ∈ N tal que sen,m > n0 teremos dM (xn, xm) < ε.

Observacao 8.1.1

1. E facil ver que toda subsequencia de uma sequencia de Cauchy tambem e uma sequenciade Cauchy.

2. Uma sequencia (xn)n∈N e sequencia de Cauchy se, e somente se, dado ε > 0 existe n0 ∈ Ntal que

n > n0 teremos dM (xn, xn+p) < ε.

Para ver isto basta tomar m = n + p na definicao acima.

3. A propriedade ”ser de Cauhcy” e uma propriedade da sequencia no seguinte sentido: seM ⊆ N uma sequencia (xn)n∈N em M e uma sequencia de Cauchy se, e somente se, elafor uma sequencia de Cauchy em N .

Temos a

Proposicao 8.1.1 Sejam (M,dM ) um espaco metrico e (xn)n∈N e uma sequencia convergenteem M .

Entao (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy.

Demonstracao:Seja a

.= limn→∞xn em M .

Dado ε > 0 exite n0 ∈ N tal que se

n > n0 teremos dM (xn, a) <ε

2. (∗)

263

264 CAPITULO 8. ESPACOS METRICOS COMPLETOS

Logo se

n, m > n0 teremos dM (xn, xm) ≤ dM (xn, a) + dM (a, xm)(∗)<

ε

2+

ε

2= ε,

mostrando que a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy.¤

Observacao 8.1.2 Em geral, nao vale a recıproca do resultado acima, isto e, existem sequenciasde Cauchy que nao sao convergentes no espaco metrico dado.

O exemplo a seguir mostra isso.

Exemplo 8.1.1 Sejam Q com a metrica induzida pela metrica usual de R e (xn)n∈N umasequencia em Q convergente em R para um numero irracional a.

Como (xn)n∈N uma sequencia convergente em R, pela proposicao acima, ela sera umasequencia de Cauchy em R e pela observacao acima item 3. segue que ela sera uma sequenciade Cauchy em Q, logo nao e uma sequencia de Cauchy em Q que nao e convergente em Q.

Exemplo 8.1.2 Seja (M, dM ) espaco metrico onde dM e a metrica zero-um.Se (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em M entao existe n0 ∈ N tal que se

n > n0 teremos xn = xn0+1,

ou seja, a sequencia sera constante a partir de um determinado termo.De fato, como (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em M , dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que

sen,m > n0 teremos dM (xn, xm) < ε = 1.

Como a metrica e a metrica zero-um segue que dM (xn, xm) = 0, ou seja, se

n,m > n0 teremos xn = xm,

ou seja,n > n0 teremos xn = xn0+1,

como afirmamos.

Temos a

Proposicao 8.1.2 Sejam (M, dM ) um espaco metrico e (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy.Entao (xn)n∈N e uma sequencia limitada em M .

Demonstracao:Como (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que se

n > n0 teremos dM (xn, xm) < ε = 1. (∗)Logo o conjunto

{xn0+1, xn0+2, · · · }sera um conjunto limitado de M e tera diametro menor ou igual a 1.

Seja c.= max{1, dM (xn, xm) : n,m = 1, · · · , n0} ≥ 0.

Com isto teremos que

diam({x1, · · · , xn0 , xn0+1, · · · } = diam({x1, · · · , xn0} ∪ {xn0+1, · · · }) ≤ c,

mostrando que a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia limitada em M .¤

8.1. SEQUENCIAS DE CAUCHY 265

Observacao 8.1.3 Em geral, nao vale a recıproca do resultado acima, isto e, existem sequenciaslimitadas em um espaco metrico que nao sao sequencias de Cauchy, como mostra o exemplo aseguir.

Exemplo 8.1.3 Seja R com a metrica usual e (xn)n∈N a sequencia em R dada por

xn.= (−1)n. n ∈ N.

Temos que a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia limitada em R mas nao e uma sequenciade Cauchy (pois dR(xn, xn+1) = |xn − xn+1| = 2 para todo n ∈ N).

Exemplo 8.1.4 A sequencia (xn)n∈N dada por

xn.= 1 +

12

+ · · ·+ 1n

nao e uma sequencia de Cauchy em R pois ela nao e limitada em R (veja observacao (6.3.2)).

Temos a

Proposicao 8.1.3 Sejam (M, dM ) um espaco metrico e (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy.Se a sequencia (xn)n∈N possui uma subsequencia convergente em M entao a sequencia

(xn)n∈N sera convergente em M e tera o mesmo limite da subsequencia convergente.

Demonstracao:Se (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy e (xnk

)k∈N e uma subsequencia convergente paraa ∈ M .

Dado ε > 0, como xnk→ a, existe n1 ∈ N tal que se

n > n1 teremos dM (xnk, a) <

ε

2. (∗)

Mas (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy logo existe n2 ∈ N tal que se

n, m > n2 teremos dM (xn, xm) <ε

2. (∗∗)

Seja n0.= max{n1, n2} ∈ N.

Escolhamos nk > n0.Com isto se

n > n0 teremos dM (xn, a) ≤ dM (xn, xnk) + dM (xnk

, a)[(∗∗) e (∗)]

<ε

2=

ε

2= ε

mostrando que xn → a em M , como querıamos mostrar.¤


Corolario 8.1.1 Sejam (M, dM ) um espaco metrico e (xn)n∈N e uma sequencia em M quepossui duas subsequencias convergentes para pontos diferentes em M .

Entao a sequencia (xn)n∈N nao e uma sequencia de Cauchy.


Demonstracao:Segue imediatamente da proposicao acima pois, por hipotese, f e f−1 sao aplicacoes uni-

formemente contınuas.¤

27.11.2008 31.a

Proposicao 8.1.4 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N uniformementecontınua em M .

Entao se a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em M entao a sequencia (f(xn))n∈Nsera uma sequencia de Cauchy em N .

Demonstracao:Dado ε > 0, como f e uniformemente contınua em M , existe δ > 0 tal que se

dM (x, y) < δ teremos dN (f(x), f(y)) < ε. (∗)

Por outro lado, como a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em M , existe n0 ∈ Ntal que se

n > n0 teremos dM (xn, xm) < δ. (∗∗)Logo se

n,m > n0, de (**) segue, dM (xn, xm) < δ, e de (*) teremos, dM (f(xn), f(xm)) < ε

mostrando que sequencia (f(xn))n∈N e uma sequencia de Cauchy em N .¤


Corolario 8.1.2 Sejam (M,dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N homeomorfismouniforme de M em N .

Entao a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em M se, e somente se, a sequencia(f(xn))n∈N e uma sequencia de Cauchy em N .

Demonstracao:Segue da proposicao acima que como f e um homeomorfismo uniforme ele e sua funcao

inversa levam sequencias de Cauchy em sequencias de Cauchy e assim (M, dM ) sera um espacometrico completo se, e somente se, (N, dN ) for um espaco metrico completo.

¤

Observacao 8.1.4 Uma aplicacao f : M → N que e somente contınua em M pode nao levarsequencias de Cauchy de M em sequencias de Cauchy em N como mostra a exemplo a seguir.

Em particular, a propriedade ”sequencia ser de Cauchy” nao e uma propriedade topologica(ou seja, nao e, necessariamente, preservada por homeomorfismo).

Exemplo 8.1.5 Consideremos f : (0, 1] → R dada por

f(x) .=1x

, x ∈ (0, 1].

Temos que f e uma funcao contınua em (0, 1] e considerermos a sequencia (xn)n∈N dada por

xn.=

1n

, n ∈ N que e uma sequencia de Cauchy em (0, 1] (pois ela e uma sequencia convergente

8.1. SEQUENCIAS DE CAUCHY 267

em R, logo sera uma sequencia de Cauchy em R e assim tambem sera uma sequencia de Cauchyem (0, 1]).

Como f(xn) =1xn

= n, n ∈ N entao (f(xn))n∈N nao sera uma sequencia de Cauchy (pois

nao e limitada).Logo, da proposicao acima, podemos concluir que a aplicacao f nao podera ser uniforme-

mente contınua em (0, 1].

Observacao 8.1.5 Em geral, nao vale a recıproca da proposicao acima, isto e, exitem aplicacoesf : M → N que levam sequencias de Cauchy de M em sequencias de Cauchy de N que nao saouniformemente contınuas em M , como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 8.1.6 Seja f : R→ R dada por f(x) = x2, x ∈ R.Vimos no exemplo (7.0.1) que f nao e uniformemente contınua em R.Mostremos que f leva sequencias de Cauchy de R em sequencia de Cauchy de R.Seja (xn)n∈N uma sequencia de Cauchy em R.Logo a sequencia (xn)n∈N sera limitada em R, isto e, existe c ≥ 0 tal que

|xn| ≤ c, n ∈ N.

Mas f|[−c,c]e lipschitziana em [−c, c] (pois sua derivada sera limitada em [−c, c]), em par-

ticular, uniformemente contınua em [−c, c].Logo da proposicao (8.1.4), segue que a sequencia (f(xn))n∈N sera uma sequencia de Cauchy

em R.


Proposicao 8.1.5 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, M×N com uma das tres metricasusuais, (xn)n∈N e (yn)n∈N sequencias em M e N , respectivamente.

Entao (xn)n∈N e (yn)n∈N sao sequencias de Cauchy em M e N , respectivamente se, e somentese, (zn)n∈N e sequencia de Cauchy em M ×N , onde zn

.= (xn, yn), n ∈ N.

Demonstracao:Vamos considerar em M ×N a metrica do maximo.Se (zn)n∈N e sequencia de Cauchy em M ×N , onde zn

.= (xn, yn), n ∈ N, como as projecoespM : M ×N → M e pN : M ×N → N sao uniformemente contınuas em M ×N (ver observacao(7.0.5) item 3) segue da proposicao (8.1.4) que (xn)n∈N e (yn)n∈N serao sequencias de Cauchyem M e N , respectivamente.

Por outro lado, se (xn)n∈N e (yn)n∈N serao sequencias de Cauchy em M e N , respectivamente,dado ε > 0 existem n1, n2 ∈ N tal que se

n,m > n1 teremos dM (xn, xm) < ε

n,m > n2 teremos dN (yn, ym) < ε.

Logo tomando-se n0.= max{n1, n2} ∈ N se

n,m > n0 teremos d′′M×N (zn, zm) = max{dM (xn, xm), dN (yn, ym)} [n0≥n1,n2]< ε,

mostrando que a sequencia (zn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em M ×N .


Como existem C,C ′ > 0 tais que

d′′M×N (z, z′) ≤ dM×N (z, z′) ≤ CdM×N′(z, z′) ≤ C ′d′′M×N (z, z′), z, z′ ∈ M ×N

segue que o mesmo valera para as outras metricas em M ×N .¤


Corolario 8.1.3 Sejam (Mi, di), espacos metricos, i = 1, · · · ,m, M1 × · · · ×Mm com uma dastres metricas usuais e (xni)n∈N sequencias em Mi , i = 1, · · · , m.

Entao (xni)n∈N sao sequencias de Cauchy em Mi para todo , i = 1, · · · ,m se, e somente se,(zn)n∈N e sequencia de Cauchy em M1 × · · · ×Mm, onde zn

.= (xn1, · · · , xnm), n ∈ N.

8.2 Espacos metricos completos

Definicao 8.2.1 Diremos que um espaco metrico (M, d) e um espaco metrico completo setoda sequencia de Cauchy em M for convergente em M .

Exemplo 8.2.1 Q munido da metrica induzida pela metrica usual de R nao e um espaco metricocompleto (ver exemplo (8.1.1)).

Exemplo 8.2.2 Seja (M, d) espaco metrico onde d e a metrica zero-um.Entao (M,d) e um espaco metrico completo pois, como vimos no exemplo (8.1.2), toda

sequencia de Cauchy em (M,d) sera constante a partir de um determinado termo e portantoconvergente.

Observacao 8.2.1 Nem todo espaco metrico discreto e completo, como mostra o seguinte exem-plo

Exemplo 8.2.3 Seja P.= {1, 1

2 , · · · , 1n , · · · } munido da metrica induzida pela metrica usual de

R.Temos que (P, |.|) e um espaco metrico discreto e a sequencia ( 1

n)n∈N e uma sequencia deCauchy em P (pois ela e convergente para 0 em R) que nao e convergente em P (pois o 6∈ P ).

Logo (P, |.|) e um espaco metrico discreto que nao e completo.

Tmos a

Proposicao 8.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos e f : M → N homeomorfismouniformemente de M em N .

O espaco metrico (M, dM ) e um espaco metrico completo se, e somente se, o espaco metrico(N, dN ) e um espaco metrico completo.

Demonstracao:Segu como consequencia do corolario (8.1.2).

¤

Proposicao 8.2.2 A reta R munido da metrica usual e um espaco metrico completo.

8.2. ESPACOS METRICOS COMPLETOS 269

Demonstracao:Seja (xn)n∈N uma sequencia de Cauchy em R.Logo, da proposicao (8.1.2) segue que (xn)n∈N e uma sequencia limitada em R.Definamos para cada n ∈ N

Xn.= {xn, xn+1, · · · }. (∗)

E facil ver que se n ≥ m temosXn ⊆ Xm ⊆ X1,

logo para todo n ∈ N , Xn e limitado em R assim existe

an.= inf Xn, n ∈ N.

De (*) segue que a sequencia (an)n∈N e crescente em R (pois se n ≥ m entao Xn ⊆ Xm assiminf Xn ≥ inf Xm) e limitada por b

.= supX1 (pois se n ≥ 1 entao Xn ⊆ X1 assim inf Xn ≤ supX1

), isto e, a sequencia (an)n∈N e monotona e limitada em R, logo sera convergente em R, isto e,existe a ∈ R tal que

a = limn→∞ an = (sup

n∈Nan).

Afirmamos quea = lim

n→∞xn,

isto e, a sequencia (xn)n∈N sera convergente em R, mostrando que R e um espaco metricoscompleto.

Para provarmos a afirmacao basta, pela proposicao (8.1.3), mostrar que existe uma sub-sequencia da sequencia (xn)n∈N que seja convergente para a em R.

Para isto, dado ε > 0, como a = limn→∞xn, existe n1 ∈ N tal que se

m > n1 teremos a− ε(I)< am < a + ε.

Para cada m > n1, como am = inf Xm

(II)

≤ a, com o ε > 0 acima, existira nm > m tal que

a− ε[por (I)]

< am < xnm < am + ε[por (II)]

≤ a + ε,

em particular,xnm ∈ (a− ε, a + ε).

Logo dado, ε > 0 existe n1 ∈ N tal que se

nm > n1 teremos |xnm − a| < ε,

mostrando que a subsequencia (xnm)m∈N e convergene para a em R, ou sjea

a = limm→∞xnm ,

e completando a demonstracao.¤

Temos a

Proposicao 8.2.3


1. Sejam (M, dM ) um espaco metrico completo e F ⊆ M fechado em M .

Entao (F, dM ) e um subespaco metrico completo de (M, dM );

2. Se (F, dM ) e um subespaco metrico completo do espaco metrico (M, dM ) entao F e umsubconjunto fechado de (M, dM ).

Demonstracao:De 1.:Dada uma sequencia de Cauchy (xn)n∈N em F entao ela sera uma sequencia de Cauchy em

M .Como M e um espaco metrico completo temos que existe a ∈ M tal que xn → a em M .Do corolario (6.4.6) segue que a ∈ F = F (pois F e um subconjunto fechado de M),

mostrando que F a sequencia de Cauchy (xn)n∈N em F e convergente em (F, dM ) e assim(F, dM ) sera um espaco metrico completo.

De 2.:Se F ⊆ M e tal que (F, dM ) e um espaco metrico completo e a ∈ F , entao da proposicao

(6.4.2), existe uma sequencia (xn)n∈N em (F, dM ) que converge para a em M .Logo (xn)n∈N sera uma sequencia de Cauchy em (M,dM ), e portanto tambem sera em uma

sequencia de Cauchy em (F, dM ).Mas (F, dM ) e um espaco metrico completo, logo a sequencia (xn)n∈N devera convergir b ∈ F .Da unicidade segue b = a, ou seja, a ∈ F , mostrando que F = F , ou seja, F e um subconjuto

fechado de (M, dM ).¤

Proposicao 8.2.4 Sejam (M,dM ), (N, dN ) um espacos metricos e M ×N munido de uma dastres metricas usuais.

Entao M ×N e um espaco metrico completo se, e somente se, M e N sao espacos metricoscompletos.

Demonstracao:Se M e N sao espacos metricos completos e (zn)n∈N e um sequencia de Cauchy em M ×N

como zn = (xn, yn), xn ∈ M e yn ∈ N , n ∈ N entao, da proposicao (8.1.5), segue que assequencias (xn)n∈N e (yn)n∈N sao sequencias de Cauchy em M e N , respectivamente.

Como M e N sao espacos metricos completos segue que existem x ∈ M e y ∈ N tal quexn → x em M e yn → y em N .

Logo da proposicao (6.1.5), temos que zn → z em M × N onde z.= (x, y), mostrando que

M ×N e um espaco metrico completo.Reciprocamente, se M ×N e um espaco metrico completo dado (a, b) ∈ M ×N , temos que

as aplicacoes fb : M → M ×N e ga : N → M ×N dadas por

fb(x) .= (x, b), x ∈ M ga(y) .= (a, y), y ∈ N,

sao isometrias de M sobre o subespaco M×{b} que e fechado de M×N e de N sobre o subespaco{a} ×N que e fechado de M ×N , respectivamente.

Logo, da proposicao (8.2.3) item 1., segue que M × {b} e {a} ×N sao subespacos metricoscompletos de M ×N .

Assim se (xn)n∈N e (yn)n∈N sao sequencias de Cauchy em M e N , respectivamente, entao,como fb e ga sao isometrias, segue que (fb(xn))n∈N e (ga(yn))n∈N sao sequencias de Cauchy emM × {b} e {a} ×N , respectivamente.


Como estes sao espacos metricos completos segue que existem (x, b) ∈ M × {b} e (a, y) ∈{a} ×N tais que

(xn, b) = fb(xn) → (x, b) em M × {b} e (a, yn) = ga(yn) → (a, y) em {a} ×N.

Logo, da proposicao (6.1.5), segue que xn → x em M e yn → y em N , mostrando que M eN sao espacos metricos completos.

¤Como consequencias temos o

Corolario 8.2.1 Sejam (Mi, di), um espacos metricos i = 1, 2, · · · , n e M1 × · · · ×Mn munidode uma das tres metricas usuais.

Entao M1×· · ·×Mn e um espaco metrico completo se, e somente se, Mi sao espacos metricoscompletos para i = 1, 2, · · · , n.

Demonstracao:Segue da proposicao acima e de inducao sobre n ∈ N.

¤Com isto temos o

Corolario 8.2.2 Rn e um espaco metrico completo munido de uma das tres metricas usuais.

Demonstracao:Sabemos que Mi

.= R, i = 1, · · · , n, e um espaco metrico completo.Logo do corolario acima segue que Rn e um espaco metrico completo.

¤

Observacao 8.2.2

1. Uma bola fechada B[~a; r] e sua fronteira, S[~a; r] em Rn sao espacos metricos completos(pois sao subsconjuntos fechado de Rn que e um espaco metrico completo).

Mais geralmente, se (M,dM ) e e um espaco metrico completo entao as bolas fechadas e asesferas de M sao espacos metricos completos.

2. Por outro lado, nenhuma bola aberta de um espaco vetorial normado sera um espacometrico completo, pois nao e um subconjunto fechado do mesmo.

3. Logo podemos concluir que ”ser completo” nao e uma propriedade topologica (ou seja, naoe preservada por homeomorfismos) pois uma bola aberta e homeomorfa a Rn mas a 1.anao e um espaco metrico completo e o 2.o e.

Vale o mesmo para produto cartesiano infinito, a saber

Proposicao 8.2.5 Sejam (Mi, di), um espacos metricos i ∈ NEntao

∞∏

i=1

Mi e um espaco metrico completo se, e somente se, Mi sao espacos metricos

completos para i ∈ N.


Demonstracao:A demostracao e semelhante a da proposicao (8.2.4).

Sabemos que as projecoes pj :∞∏

i=1

Mi → Mj sao uniformemente contınuas em∞∏

i=1

Mi (pois

sao lipischtzianas) e assim, pela proposicao (8.1.5), levam sequencias de Cauchy de∞∏

i=1

Mi em

sequencias de Cauchy de Mj para todo j ∈ N.

Logo dada uma sequencia de Cauhcy (zn)n∈N em∞∏

i=1

Mi, onde zn = (xnj)j∈N, temos que,

para cada j ∈ N, (xnj)n∈N sera uma sequencia de Cauchy em Mj .Como Mj e um espaco metrico completo segue que, para cada j ∈ N, existe xj ∈ Mj tal que

xnj → xj em Mj .

Se z.= (xj)j∈N temos que z ∈

∞∏

i=1

Mi e zn → z em∞∏

i=1

Mi, mostrando que∞∏

i=1

Mi e um esapco

metrico completo.

Reciprocamente, se∞∏

i=1

Mi e um espaco metrico completo, a = (an) ∈∞∏

i=1

Mi e, para cada

j ∈ N , temos que (xnj)n∈N e uma sequencia de Cauchy em Mj entao como

faj : Mj → {a1} × · · · {aj−1} ×Mj × {aj+1} × · · ·dada por

faj (xj).= (a1, · · · , aj−1, xj , αj+1, · · · )

e uma isometria de Mj em {a1} × · · · {aj−1} ×Mj × {aj+1} × · · · .Mas {a1} × · · · {aj−1} ×Mj × {aj+1} × · · · e um subespaco metrico fechado de

∞∏

i=1

Mi, logo,

pela proposicao (8.2.3) item 1, um espaco metrico completo.Logo, para cada j ∈ N, temos que a sequencia (faj (xnj))n∈N e uma sequencia de Cauchy em

{a1} × · · · {aj−1} ×Mj × {aj+1} × · · · , que e um espaco metrico completo, ou seja, existe

Xj.= (a1, · · · , aj−1, xj , aj+1, · · · ) ∈ {a1} × · · · {aj−1} ×Mj × {aj+1} × · · ·

tal que xnj → Xj em {a1} × · · · {aj−1} ×Mj × {aj+1} × · · · .Como faj e isometria de Mj em {a1} × · · · {aj−1} ×Mj × {aj+1} × · · · segue que xnj → xj

em Mj para cada j ∈ N, mostrando que Mj e um espaco metrico completo para todo j ∈ N.¤

Observacao 8.2.3 Sejam (M,dM ) um espaco metrico, X 6= ∅ e para α : X → M fixada,consideremos

Bα(X;M) .= {f : X → M : supx∈X

dM (f(x), α(x)) < ∞},

que torna-se um espaco metrico quando munido da metrica d : Bα(X;M)×Bα(X; M) → R dadapor

d(f, g) .= supx∈X

dM (f(x), g(x)), f, g ∈ Bα(X;M).

Proposicao 8.2.6 Seja (M, dM ) um espaco metrico completo.Entao Bα(X; M) .= {f : X → M : sup

x∈XdM (f(x), α(x)) < ∞}, e um espaco metrico completo.


Demonstracao:Consideremos (fn)n∈N uma sequencia de Cauchy em Bα(X;M).Logo esta sequencia sera limitada, isto e, existe C > 0 tal que

d(fn, α) ≤ C,

ou seja,

supx∈X

dM (f(x), α(x)) = dM (fn(x), α(x)) ≤ C, para todo n ∈ N e x ∈ X. (∗)

Fixando-se x0 ∈ X temos que

dM (fn(x0), fm(x0)) ≤ supx∈X

dM (fn(x), fm(x)),

logo, como (fn)n∈N uma sequencia de Cauchy em Bα(X; M) segue que a seguencia (fn(x0))n∈Nsera um sequencia de Cauchy em M .

Mas M e um espaco metrico completo, logo existe f(x0) ∈ M tal que

fn(x0) → f(x0)

para cada x0 ∈ X.Com isto temos definida uma funcao f : X → M .Observemos que para cada x ∈ X, da continuidade da funcao dM (., α(x)) e de (*), segue que

dM (f(x), α(x)) = dM ( limn→∞ fn(x), α(x)) = lim

n→∞ dM (fn(x), α(x)) ≤ C,

mostrando que f ∈ Bα(X;M).Mostremos que fn

u→ f em M .Dado ε > 0 temos que existe n0 ∈ N tal que se

n,m > n0 temos d(fn, fm) < ε,

ou seja,n,m > n0 temos dM (fn(x), fm(x)) < ε, para todo x ∈ X. (∗∗)

Fazendo m →∞ em (**) obteremos

n > n0 temos dM (fn(x), f(x)) < ε, para todo x ∈ X,

mostrando que fnu→ f , e assim (Bα(X;M), d) e um espaco metrico completo.


Corolario 8.2.3 Sejam (M,dM ) um espaco metrico completo, X 6= ∅ e (fn)n∈N uma sequenciade funcoes fn : X → M , n ∈ N.

A sequencia (fn)n∈N converge uniformemente em X se, e somente se, dado ε > 0 existirn0 ∈ N tal que se

n,m > n0 temos dM (fn(x), fm(x)) < ε, para todo x ∈ X. (∗)


Demonstracao:Se fn

u→ f entao dado ε = 1 existe n0 ∈ N tal que se

n > n0 temos dM (fn(x), f(x)) < 1, para todo x ∈ X,

ou seja, fn ∈ Bf (X; M) se n > n0 e fn → f em Bf (X;M).Logo sequencia (fn)n∈N devera ser uma sequencia de Cauchy em Bf (X;M), isto e, ε > 0

existir n0 ∈ N tal que se

n,m > n0 temos dM (fn(x), fm(x)) < ε, para todo x ∈ X.

Reciprocamente, tomandos-e ε = 1 em (*) temos que existe n0 ∈ N tal que se

n > n0 temos dM (fn0+1(x), fn(x)) < 1, para todo x ∈ X,

ou seja, fn ∈ Bfn0+1(X;M) se n > n0.Alem disso, a condicao (*) nos diz que a sequencia (fn)n>n0 e uma sequencia de Cauchy em

Bfn0+1(X;M) que, pela proposicao anterior, e um espaco metrico completo.Logo existe f ∈ Bfn0+1(X; M) tal que fn→f em f ∈ Bfn0+1(X; M), ou seja, fn

u→ f ,completando a demonstracao.

¤

Observacao 8.2.4 O resultado acima e conhecido como criterio de Cauchy para con-vergencia uniforme de sequencias de funcoes.

Ate aqui para a 2.a Prova2.12.2008 - 32.a

8.3 Espacos de Banach e espacos de Hilbert

Definicao 8.3.1 Um espaco vetorial normado completo sera dito espaco de Bancah.

A segui daremos alguns exemplos de espaco de Banach.

Exemplo 8.3.1 Vimos que Rn munido de uma das tres normas usuais e um espaco de Banach.

Exercıcio 8.3.1 Sejam (E, ‖.‖E), (F, ‖.‖F ) espacos vetoriais normados e L(E; F ) o espaco ve-torial normado formado pelas transformacoes lineares f : E → F que sao contınuas em E,munido da norma do supremo na esfera unitaria, isto e,

‖f‖L(E;F ).= sup{‖f(~x)‖F : ~x ∈ E, ‖~x‖E = 1}.

Lembremos que se f ∈ L(E; F ) entao, para todo ~x ∈ E temos que

‖f(~x)‖F ≤ ‖f‖L(E;F ) ‖~x‖E .

Lembremos tambem que f : E → F transformacao linear sera contınua em E se, e somentese, f|S : S → F for limitada em S, onde S

.= {~x ∈ E : ‖~x‖E = 1} (no teorema (3.5.2) temosque 1. se, e somente se, 3.).

Alem disso, temos que

fn → f em L(E; F ) se, e somente se ‖fn − f‖L(E;F )→ 0 em R,

8.3. ESPACOS DE BANACH E ESPACOS DE HILBERT 275

ou, equivalentemente,fn

u→ f em S. (∗)Afirmamos que se (F, ‖.‖F ) e um espaco de Banach entao (L(E;F ), ‖.‖sup) tambem sera um

espaco de Banach.De fato, mostremos que (L(E;F ), ‖.‖L(E;F )

) um espaco metrico completo.Para isto seja (fn)n∈N uma sequencia de Cauchy em (L(E; F ), ‖.‖L(E;F )

).Logo (fn|S )n∈N uma sequencia de Cauchy em (B(S; F ), ‖.‖L(E;F )

).Como (F, ‖.‖F ) e um espaco metrico completo segue, da proposicao (8.2.6), que (B(S; F ), ‖.‖L(E;F )

)e um espaco metrico completo.

Logo existe f0 ∈ (B(S; F ), ‖.‖L(E;F )) tal que fn

u→ f0 em S.Seja f : E → F a extensao de f0 : S → F definida por

f(λ~u) .= λf(~u), λ ∈ R, ~u ∈ S. (∗∗)

Temos que

limn→∞ fn(~0) = ~0 = f(~0),

~x 6= ~0 temos

limn→∞ fn(~x) = lim

n→∞ fn(‖~x‖E~x

‖~x‖E)

[fn e linear]= ‖~x‖E lim

n→∞ fn(~x

‖~x‖E)

[ ~x‖~x‖E

∈S e (∗)]= ‖~x‖Ef0(

~x

‖~x‖E)

[(∗∗) com λ=‖~x‖E ]= f(‖~x‖E

~x

‖~x‖E) = f(~x),

mostrando que fnp→ f em E, isto e,

limn→∞ fn(~x) = f(~x), ~x ∈ E.

Como fn : E → F e uma transformacao linear de E em F segue, da identidade acima, quef : E → F tambem sera uma transformacao linear de E em F (a verificacao disto e imediata esera deixada como exercıcio para o leitor).

Como f|S = f0 ∈ B(S; F ), segue que f ∈ L(S;F ).Alem disso, fn|S

u→ f|S , logo fnu→ f em (L(S; F ), ‖.‖L(E;F )

) (pois a na norma ‖.‖L(E;F ) soe levado em conta os pontos de S), completando demonstracao da nossa afirmacao.

Exemplo 8.3.2 Sejam X 6= ∅, (M,dM ) espaco metrico, (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normadoe (F, ‖.‖F ) um espaco de Banach.

Entao segue das proposicoes (8.2.6), (6.5.3) que os espacos vetoriais normados

(B(X; F ), ‖.‖sup), (C0(X; F ), ‖.‖sup),

sao espacos de Banach.A verificacao destes fatos serao deixadas como exercıcio para o leitor.

Observacao 8.3.1 Sera provado no proximo capıtulo que todo espaco vetorial normado de di-mensao finita e um espaco de Banach.

A dimensao ser finita sera essencial no resultado acima, como mostra o seguinte exemplo.


Exemplo 8.3.3 Consideremos P([0, 1]) o espaco vetorial formado por todas as funcoes polino-miais reais p : [0, 1] → R definidas no intervalo [0, 1] (a verificacao deste fato sera deixada comoexercıcio para o leitor).

Consideremos em P([0, 1]) a seguinte norma: se p ∈ P([0, 1]) definamos

‖p‖ .= sup0≤t≤1

|p(t)|.

Deixaremos para o leitor a verificacao de fato isto define uma norma em P([0, 1]).Afirmamos que (P([0, 1]), ‖.‖) nao e um espaco de Banach, isto e, nao e um espaco metrico

completo.De fato, a sequencia (pn)n∈N de (P([0, 1]) dada por

pn(x) .= 1 + x + · · · ,xn

n!, 0 ≤ x ≤ 1

converge uniformemente para a funcao f(x) .= ex, x ∈ [0, 1] (na verdade vale em toda R).Sera deixado para o leitor a verificacao deste fato.Observemos que f nao e uma funcao polinomial (por que?).Logo a sequencia (pn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em (P([0, 1]) que nao e convergente

em (P([0, 1]), ‖.‖), mostrando assim que (P([0, 1]), ‖.‖) nao e um espaco metrico completo.

Definicao 8.3.2 Diremos que um espaco vetorial com produto interno (E,< ., . >) e um espacode Hilbert se ele for um espaco metrico completo.

Exemplo 8.3.4 O espaco Rn com o produto interno usual e um espaco de Hilbert (pois Rn

munido da norma usual e um espaco de Banach, logo e um espaco metrico completo).

Exemplo 8.3.5 Consideremos

l2(R) .= {~x = (xn)n∈N :∞∑

n=1

x2n < ∞}, (∗)

isto e, o conjunto formado pelas sequencias de numeros reais cujo serie dos elementos aoquadrado e convergente em R.

Observemos que R∞ ⊆ l2(R). (onde R∞ que e o espaco vetorial das sequencias quase nulas,foi definido e estudado no exemplo (3.5.2)).

Afirmamos que l2(R) e um espaco vetorial sobre R quando munido das operacoes de adicaode sequencias e multipicacao de numero real por sequencias.

De fato, se ~x = (xn)n∈N e lambda ∈ R, para cada k ∈ N temos

k∑

n=1

(λxn)2 = λ2k∑

n=1

x2n ≤ λ2

∞∑

n=1

x2n

(∗)< ∞.

Logo fazendo k →∞ teremos que

∞∑

n=1

(λxn)2 ≤ λ2∞∑

n=1

x2n < ∞,

mostrando que λ~x ∈ l2(R).


Se ~x = (xn)n∈N, ~y = (yn)n∈N ∈ l2(R) entao, da deisigualdade de Cauhcy-Schwarz temos,para cada k ∈ N, que

|k∑

n=1

xn.yn| ≤

√√√√k∑

n=1

x2n.

√√√√k∑

n=1

y2n ≤

√√√√∞∑

n=1

x2n.

√√√√∞∑

n=1

y2n < ∞. (∗∗)

Assim∞∑

n=1

xn.yn sera convergente em R.

Logo para cada k ∈ N temos

k∑

n=1

(xn + yn)2 =k∑

n=1

x2n +

k∑

n=1

y2n + 2

k∑

n=1

xn.yn ≤∞∑

n=1

x2n +

∞∑

n=1

y2n + 2

∞∑

n=1

xn.yn

[(∗) e (∗∗)]< ∞.

Logo fazendo k →∞ teremos que

∞∑

n=1

(xn + yn)2 ≤∞∑

n=1

x2n +

∞∑

n=1

y2n + 2

∞∑

n=1

xn.yn < ∞,

mostrando que (~x + ~y) ∈ l2(R).Com isto pode-se mostrar que l2(R) e um espaco vetorial sobre R (sera deixado com exercıcio

para o leitor).Definamos

< ., . >2: l2(R)× l2(R) → R

por

< ~x, ~y >2.=

∞∑

n=1

xn.yn, ~x = (xn)n∈N, ~y = (yn)n∈N ∈ l2(R).

Segue de (**) que < ., . >2 esta bem definida.Alem disso, pode-se mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que < ., . >2 e um

produto interno em l2(R).Com isto (l2(R), < ., . >2) e um espaco vetorial sobre R com produto interno.Afirmamos que (l2(R), < ., . >2) e um espaco de Hilbert.De fato, consideremos ‖.‖2 : l2(R) → R a norma associada ao produto interno < ., . >2, isto

e,‖~x‖2

.=√

< ~x, ~x >2, ~x ∈ l2(R).

Seja (~xk)k∈N uma sequencia de Cauchy em l2(R), isto e, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que se

n,m > n0 teremos ‖~xn − ~xm‖2 < ε. (∗ ∗ ∗)

Como (~xk)k∈N ∈ l2(R) segue que pacada k ∈ N temos que ~xk = (xki)i∈N e∞∑

i=1

x2ki < ∞.

Logo (***) e equivalente a

n,m > n0 teremos

√√√√∞∑

i=1

(xni − xmi)2 < ε, (∗ ∗ ∗∗)


em particular, para todo j ∈ N se

n,m > n0 teremos |xnj − xmj | ≤√√√√

∞∑

i=1

(xni − xmi)2 < ε,

mostrando que, para cada j ∈ N , a sequencia (xnj)n∈N e uma sequencia de Cauchy em R.Mas R e um espaco metrico completo, logo, para cada j ∈ N, existe aj ∈ R tal que

limn→∞xnj = aj .

Seja ~a.= (aj)j ∈ N.

Mostremos que ~a ∈ l2(R) e que ~xk → ~a em l2(R).Para tanto, observemos que de (****) segue que para todo p ∈ N temos que se

n,m > n0 teremosp∑

i=1

(xni − xmi)2 ≤∞∑

i=1

(xni − xmi)2 < ε2.

Fazendo m →∞ obtemos

n > n0 teremosp∑

i=1

(xni − ai)2 < ε2

para todo n, i ∈ N.Fazendo p →∞ obtemos

n > n0 teremos∞∑

i=1

(xni − ai)2 < ε2, (∗ ∗ ∗ ∗ ∗)

mostrando que~xn − ~a ∈ l2(R).

Mas~a = ~xn + (~a− ~xn) ∈ l2(R),

e com sito temos que ~a ∈ l2(R).Logo (*****) pode ser reescrita como

n > n0 teremos ‖~xn − ~ai‖2 < ε2,

ou seja, ~xn → ~a em l2(R), completando o exemplo.

Exemplo 8.3.6 Consideremos o conjunto formado por todas as sequencias de numeros reais ,

~x = (xi)i∈N ∈∞∏

i=1

Ri onde Ri = R para todo i ∈ N, que sera indicado por RN.

Vamos introduzir em RN a seguinte metrica: dN : RN × RN → R dada por

dN(~x, ~y) .=∞∑

i=1

12i

|xi − yi|1 + |xi − yi| ,

onde ~x = (xi)i∈N, ~y = (yi)i∈N ∈ RN.


Como ∣∣∣∣12i

|xi − yi|1 + |xi − yi|

∣∣∣∣ ≤12i

, i ∈ N

e a serie numerica∞∑

i=1

12i

e convergente em R (pois e uma serie geometrica de razao12

que e

menor que 1), segue que dN esta bem definida e pode-se mostrar (sera deixado como exercıciopara o leitor) que e uma metrica em RN.

A metrica dN sera dita metrica produto.Observemos que uma sequencia (~xn)n∈N em RN e convergente para ~x ∈ RN se, e somente se,

dN(~xn, ~x) .=∞∑

i=1

12i

|xni − xi|1 + |xni − xi| → 0 quando n →∞,

ou equivalentemente, para todo i ∈ N temos

12i

|xni − xi|1 + |xni − xi| → 0 quando n →∞,

ou ainda, para todo i ∈ N|xni − xi|

1 + |xni − xi| → 0 quando n →∞,

que e equivalente a, para todo i ∈ N|xni − xi| → 0 quando n →∞,

ou seja, para todo i ∈ Nxni → xi quando n →∞.

Conclusao:

~xn → ~{x em RN se, e somente se, para todo i ∈ N temos xni → xi em R.

Logo (RN, dN) e um espaco vetorial metrico completo.

Observacao 8.3.2

1. Sejam (M, dM ) espaco metrico e RN como acima.

Lembremos que uma funcao f : M → RN e contınua em M se, e somente se, para todoi ∈ N a i-esima funcao coordenada de f , fi : M → Ri for contınua em R (vale observarque fi = pi ◦f onde pi : M → Ri e a i-esima projecao de RN sobre Ri dada por pi(x) .= xi,onde x = (xn)n∈N ∈ RN, i ∈ N).

Isto coincide com o que havıamos feito para o caso Rn, n ∈ N.

2. Observememos que B(N;R), o conjunto das sequencias limitadas em R pode ser visto comoum subespaco vetorial de RN.No 1.o consideramos a metica da convergencia uniforme, isto e,

d′′(x, y) = supi∈N

|xi − yi|

onde x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ B(N;R).


3. Vale observar que a metrica da convergencia uniforme e mais fina que a metrica induzidaem B(N;R) pela metrica de RN.De fato, se x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ B(N;R) temos que

|xi − yi| ≤ d′′(x, y), para todo i ∈ N. (∗)

Logo se xn → a em (B(N;R), d′′), onde a = (ai)i∈N ∈ B(N;R), segue, de (*), que

xni → ai para todo i ∈ N.

Logo, do exemplo acima temos que

xn → a em RN.

4. Nao vale a recıproca, isto e, existem sequencia em B(N;R) que convegem em RN mas naosao convergentes em (B(N;R), d′′), como por exemplo:

Consideremos en.= (0, · · · , 0, 1︸︷︷︸

n−esima posicao

, 0, · · · ), n ∈ N.

Entao en → 0 em RN (sera deixado como exercıcio para o leitor a verificacao deste fato)mas en 6→ 0 em (B(N;R), d′′) (pois ‖en‖d′′ = 1 6= 0).

Conclusao: d′′ e mais fina que dN mas dN nao e mais fina que d′′ em (B(N;R).

5. Para finalizar observemos que

l2(R) ⊆ B(N;R) ⊆ RN.

Se ~xn → ~a em (l2(R), d2), onde ~xn = (xni)i∈N e ~an = (ani)i∈N, entao dado ε > 0 existen0 ∈ N tal que se

n > n0 teremos

√√√√∞∑

i=1

(xni − ai)2 < ε,

logo, para todo i ∈ N , se

n > n0 teremos |xni − ai| < ε,

ou ainda,n > n0 teremos d′′(x, a) = sup

i∈N|xni − ai| < ε,

ou seja, ~xn → ~a em (B(N;R), d′′).

Conclusao: se ~xn → ~a em (l2(R), d2) entao ~xn → ~a em (B(N;R), d′′).

Logo d2 e mais fina que d′′ que e estritamente mais fina que dN.

Observemos que d′′ nao e mais fina que d2, como mostra o seguinte exemplo: considereos(~xn)n∈N a sequencia em l2(R) onde

~xn = (1√n

,1√n

, · · · ,1√n︸︷︷︸

n−primeiras posicoes

, 0, · · · )

8.4. EXTENSAO DE FUNCOES CONTINUAS OU UNIFORMEMENTE CONTINUAS 281

Temos que ~xn → 0 (pois d′′(~xn, 0) = supi∈N

|xni − 0| = 1√n→ 0 quando n →∞) mas

d2(~xn, 0) =

√√√√∞∑

i=1

(xni − 0)2 =

√√√√n∑

i=1

(1√n

)2 =

√n

1n

= 1

mostrando que ~xn 6→ 0 em l2(R).

Portanto podemos concluir que d2 e estritamente mais fina que d′′ que e estritamente maisfina que dN.

6. Nas situacoes acima temos que:

(a) (l2(R), < ., . >2) e um espaco de Hilbert;

(b) (B(N;R), ‖.‖′′) e um espaco de Banach (mas nao e um espaco de Hilbert, ou seja, suanorma nao provem de um produto interno; verifique se a identidade do paralelogramoesta satisfeita);

(c) (RN, dN) e um espaco vetorial metrico completo (mas nao e um espaco de Banach;verifique que nao temos dN(λx, λy) = λdN(~x, ~y) para todo λ ∈ R e ~x, ~y ∈ RN).

(d) As funcoes s : RN × RN → RN, m : R× RN → RN dadas por

s(~x, ~y) .= ~x + ~y, m(λ, ~x) .= λ.~x, ~x, ~y ∈ RN, λ ∈ R

sao contınuas em RN × RN e R× RN, respectivamente.A verificacao deste fatos serao deixadas como exercıcio para o leitor.Neste caso diremos que (RN, dN) e um espaco vetorial topologico.Por ser completo e suas bolas serem convexas ele sera denominado espaco de Frechet.

8.4 Extensao de funcoes contınuas ou uniformemente contınuas

Definicao 8.4.1 Sejam X ⊆ Y , e f : X → Z uma funcao.Diremos que F : Y → Z e uma extensao da funcao f a Y se para todo x ∈ X temos

F (x) = f(x),

ou seja, F|X = f .Neste caso diremos que a funcao f se estende a Y .

De modo semelhante temos a

Definicao 8.4.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, X ⊆ M e f : X → N umaaplicacao contınua em X.

Diremos que F : M → N e uma extensao contınua de f a Y se F for uma funcao contınuaem M e se e uma extensao da funcao f a M (isto e, para todo x ∈ M temos F (x) = f(x), ouainda, F|M = f).

Observacao 8.4.1


1. Observemos que nem toda funcao f : X → N contınua em X tem uma extensao F : M →N contınua em M .

Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo: f : (0, 1) → R dada por f(x) .=1

x(x− 1),

x ∈ (0, 1) nao possui uma extensao contınua ao intervalo [0, 1] (pois nao existem os limiteslaterais lim

x→0+f(x) e lim

x→1−f(x)).

2. Comecaremos obtendo uma extensao da funcao f : X → N contınua em X a todo Mquando X for denso em M , isto e, X = M .

Com isto temos a

Proposicao 8.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos, X ⊆ M e f : X → N umaaplicacao contınua em X.

Existe uma extensao contınua de f a X se, e somente se, para todo a ∈ X existe limx→a, x∈X

f(x).

Demonstracao:Se existe F : X → N extensao contınua de f a X entao dado a ∈ X temos que

limx→a, x∈X

f(x)[F (x)=f(x),x∈X]

= limx→a

F (x)[F e contınua em a]

= F (a),

ou seja, existelim

x→a, x∈Xf(x).

Reciprocamente, se existe limx→a, x∈X

f(x), definindo F : X → N por

F (x) .=

f(x), x ∈ X

limy→x, y∈X

f(y), x ∈ X \X,

segue da proposicao (6.7.2) que F e contınua em X, logo sera um extensao contınua da funcaof a X.

¤

Observacao 8.4.2 Se existir a extensao contınua de f : X → N a X entao ela sera unica.De fato, para todo a ∈ X temos que o valor lim

x→a,x∈Xf(x) (que e F (a)) e unicamente deter-

minado pelos valores de f em X.

Proposicao 8.4.2 (Criterio de Cauchy) Sejam (M, dM ) espaco metrico, (N, dN ) espaco metricocompleto, X ⊆ M , f : X → N uma funcao e a ∈ X.

Existe limx→a, x∈X

f(x) em N se, e somente se, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se

dM (x, a), dM (y, a) < δ, x, y ∈ X implicar dN (f(x), f(y)) < ε. (∗)

Demonstracao:Se lim

x→a, x∈Xf(x) = b ∈ N , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se

x ∈ X, dM (x, a) < δ entao dN (f(x), b) <ε

2. (∗)

8.4. EXTENSAO DE FUNCOES CONTINUAS OU UNIFORMEMENTE CONTINUAS 283

Logo se

x, y ∈ X, dM (x, a), dM (y, a) < δ entao dN (f(x), f(y)) ≤ dN (f(x), b)+dN (b, f(y))(∗)<

ε

2+

ε

2= ε.

Reciprocamente, seja (xn)n∈N e uma sequencia em X tal que xn → a em M entao, de (*),segue que dado ε > 0 existe δ > 0 e, como xn → a, existira n0 ∈ N tal que se

n,m > n0 teremos dM (xn, a), dM (xm, a) < δ, e (*) implicara dN (f(xm), f(xn)) < ε,

ou seja, (f(xn))n∈N sera uma sequencia de Cauchy em N , que e um espaco metrico completo.Logo existe lim

n→∞ f(xn) = b ∈ N.

Segue da observacao (6.4.1) item 2. temos que existe limx→a, x∈X

f(xn) em N , como querıamos

mostrar.¤


Proposicao 8.4.3 Sejam (M, dM ) espaco metrico, (N, dN ) espaco metrico completo, X ⊆ Me f : X → N uma aplicacao uniformemente contınua em X.

Existe uma, unica, F : X → N extensao contınua de f a X.Alem disso, F sera uniformemente contınua em X.

Demonstracao:Como f e uniformemente contınua em X, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se

dM (x, y) < δ, x, y ∈ X implicar dN (f(x), f(y)) < ε. (∗)

Logo, se a ∈ X, existe x, y ∈ X tal que

dM (x, a) <δ

2, dM (y, a) <

δ

2,

logo

dM (x, y) ≤ dM (x, a) + dM ((a, y) <δ

2+

δ

2= δ.

Portando, de (*), segue quedN (f(x), f(y)) < ε.

Portanto, pelo criterio de Cauchy (proposicao (8.4.2)) segue que existe limx→a, x∈X

f(x) em N .

Assim, da proposicao (6.7.2), segue que F : X → N dada por

F (y) .=

f(y) se y ∈ X

limx→y

f(x) se y ∈ X \X

sera contınua em X.Mostremos que F e uniformemente contınua em X.Dado ε > 0, como f e uniformemente contınua em X, existe δ > 0 tal que se

dM (x, y) < δ, x, y ∈ X implicar dN (f(x), f(y)) <ε

2. (∗∗)


Se u, v ∈ X sao tais quedM (x, y) < δ,

entao existem sequencias (xn)n∈N, (yn)n∈N em X tais que xn → u e yn → v em X.Como a funcao dM e contınua em M (logo em X), existe n0 ∈ N, tal que se

n > n0 teremos dM (xn, yn) < δ.

Logo, de (**), segue que, se

n > n0 teremos dM (f(xn), f(yn)) <ε

2.

Assim, para u, v ∈ X se dM (u, v) < δ teremos

dN (F (u), F (v)) = dN ( limn→∞ f(xn), lim

n→∞ f(yn))[dM e contınua]

= limn→∞ dN (f(xn), f(yn)) ≤ ε

2< ε,

mostrando que F e uniformemente contınua em X. ¤Como consequencia temos o

Corolario 8.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos completos, X ⊆ M , Y ⊆ N ef : X → Y um homeomorfismo uniforme de X em Y .

Existe uma, unica, F : X → Y extensao de f a X homeomorfismo uniforme de X sobre Y .

Demonstracao:Observemos que X e Y sao subespacos metricos completos de M e N , respectivamente (pois

sao subconjuntos fechados dos espacos metricos completos M e N , respectivamente).Seja g = f−1 : Y → X o homeomorfismo inverso associado a f .Sabemos, do corolario (8.4.3), segue que existem, unicas, extensoes, F : X → Y , G : Y → X

que sao uniformemente contınuas em X e Y , respectivamente.Observemos que, para x ∈ X, y ∈ Y temos que

(G ◦ F )(x) = (g ◦ f)(x) = x = idX(x), e (F ◦G)(y) = (f ◦ g)(y) = y = idY (y).

Como X e denso X e Y e denso Y temos que G ◦ F = idX e F ◦G = idY , logo G = F−1 eassim F , a unica extensao de f a X, sera um homeomorfismo uniforme de X sobre Y .

¤

Observacao 8.4.3 A hipotese do espaco metrico N ser completo e necessaria para que proposicao(8.4.3) seja valida.

O seguinte exemplo mostra este fato:A aplicacao identidade id : Q → Q, que e uniformemente contınua em Q, nao possui uma

extensao F : R→ Q contınua em R, exceto se F for constante.De fato, se F e contınua em R segue que F (R) sera conexo em Q, assim devera ser igual a

um ponto, logo F sera constante e portanto nao podera ser uma extensao da funcao id.


Corolario 8.4.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espacos metricos completos, X ⊆ M , Y ⊆ N ef : X → Y uma isometria de X em Y .

Existe uma, unica, F : X → Y extensao de f a X que e uma isometria de X em Y .

8.5. COMPLETAMENTE DE UM ESPACO METRICO 285

Demonstracao:Como f e isometria de X em Y segue que f e um homeomorfismo uniforme de X em Y .Logo do corolario (8.4.1) segue que existe uma unica extensao de f , F : X → Y , que e um

homeomorfismo uniforme de X sobre Y .Mostremos que F e isometria de X sobre Y .Para isto sejam, x, y ∈ X e sejam (xn)n∈N) e (yn)n∈N) sequencias en X e Y , respectivamente,

tais quexn → x, em X yn → y em Y.

Mas

dN (F (x), F (y)) = dN ( limn→∞ f(xn), lim

n→∞ f(yn))[dN e contınua em Y ]

= limn→∞ dN (f(xn), f(yn))

[f e isometria de X sobre Y ]= lim

n→∞ dM (xn, yn)[dM e contınua em X]

= dM ( limn→∞xn, lim

n→∞ yn)

= dM (x, y),

ou seja, F e uma isometria de X em Y .¤

8.5 Completamente de um espaco metrico

Observacao 8.5.1

1. Dado um espaco metrico (M, dM ) mostraremos nesta secao que sempre existira um espacometrico completo (M, dcM ) que contenha M como subespaco metrico.

2. Lembremos que um subconjunto fechado de um espaco metrico completo e um subsepacometrico completo, logo o fecho de M em M sera um subsepaco metrico completo e conteraM , logo sera o suficiente para o que queremos.

Logo basta impor a condicao que M seja denso no seu ”completamento”.

3. Para encontrar o ”completamento” de M basta que encontremos uma imersao isometrica

ϕ : M → N

onde (N, dN ) seja um espaco metrico completo.

De fato, pois neste caso temos que M = ϕ(M) sera um subconjunto fechado de um espacometrico completo, N , logo devera ser um subespaco metrico completo.

Portanto ϕ(M) e espaco metrico completo e assim este sera tomado como o ”completa-mente” de M , ja que ϕ(M) e isometrico a M .

Com isto temos a

Definicao 8.5.1 Seja (M, dM ) um espaco metrico.Um completamente de M e um par (M, ϕ) onde (M, dcM ) e um espaco metrico completo

e ϕ : M → M e uma imersao isometrica cuja imagem e densa em M .

Observacao 8.5.2 Frequentemente escreveremos M ⊆ M , identificando M com sua imagempela aplicacao ϕ, ϕ(M) (observemos que ϕ e injetora).


Exemplo 8.5.1 Consideremos Q com a metrica induzida pela metrica usual de R.Entao o completamente de Q sera (R, iQ) onde iQ : Q → R e a aplicacao inclusao (que e

uma imersao isometrica).De fato, pois neste caso temos i(Q) = Q = R que e um espaco metrico completo.

Mais geralmente temos

Exemplo 8.5.2 Seja (M, dM ) um espaco metrico completo e X ⊆ M , X 6= ∅.Entao X em M e um completamento de X.Basta observar que (X, dM ) e um espaco metrico completo, iX : X → X (a inclusao) e uma

imersao isometrica e iX(X) = X, logo (X, iX) e um completamento de X.Em particular, se [0, 1] esta a metrica induzida pela metrica usual de R entao o completa-

mento de (0, 1) sera [0, 1] (ou, mais precisamente, ([0, 1], i[0,1]), onde i[0,1] e a aplicacao inclusao).

Temos a

Proposicao 8.5.1 (Existencia do completamento) Seja (M,dM ) um espaco metrico.Entao existe um completamento de M .

Demonstracao:Da proposicao (2.6.1) segue que existe uma imersao isometrica ϕ : M → B(M ;R), onde

B(M ;R) esta munido da metrica da convergencia uniforme (isto e, do supremo).O exemplo (8.3.2) nos garante que B(M ;R), dsup) e um espaco metrico completo (na verdade

e um espaco de Banach).Logo basta considerar

M.= ϕ(M)

munido da metrica induzida pela metrica dsup.¤

Temos tambem a

Proposicao 8.5.2 (Unicidade do completamento) Sejam (M, dM ) um espaco metrico e (M, ϕ)e (N , ψ) completamentos de M .

Entao existe uma isometria f : M → N tal que

f ◦ ϕ = ψ.

O diagram abaixo ilustra a situacao.

À U-

M

cM bNf

ϕ ψ


Demonstracao:Se y ∈ ϕ(M) entao existe um, unico (pois ϕ e injetora) x ∈ M tal que ϕ(x) = y.Assim podemos definir f0 : ϕ(M) → N por

f0(y) .= ψ(x),

onde y = ϕ(x) ∈ ϕ(M).Em particular temos para x ∈ M que

(f0 ◦ ϕ)(x) = ψ(x)

mostrando que f0 e uma isometria de ϕ(M) sobre ψ(M) (pois ϕ e ψ sao uma isometrias entreas suas respectivas imagens).

Pelo corolario (8.4.2) segue que existe uma unica isometria f : ϕ(M) = M → ϕ(N) = N queestende a aplicacao f0, ou seja, f ◦ ϕ = ψ, como querıamos mostrar.

¤

Observacao 8.5.3 Observemos que dois espacos metricos podem ser homeomorfos e seus com-pletamentos nao serem homeomorfos.

Para ver isto consideremos o seguinte exemplo:O completamento de M

.= (0, 2π) (com a metrica induzida de R) e [0, 2π].O completamento de N

.= S1 \ {(1, 0)} (com a metrica induzida de R2) e S1.Temos que M = (0, 2π) e homeomorfoa S1 \ {(1, 0)} mas M = [0, 2π] nao e homeomorfo a

N = S1.

Em geral temos a

Proposicao 8.5.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos uniformemente homeomorfos.Entao M e N sao uniformemente homeomorfos.

Demonstracao:Se f : M → N e um homeomorfismo uniforme entao temos o seguinte diagrama

M - N

f

? ?ϕ(M) ψ(N)

-F

ϕ ψ

6

ϕ−1

ou seja, se F : ϕ(M) → ψ(N) e dada por

F (x) .= (ψ ◦ f ◦ ϕ−1)(y), y ∈ ϕ(M)

entao esta sera um homeomorfismo uniforme.Logo do corolario (8.4.1) segue que F tem uma unica extensao

F : M = ϕ(M) → N = ψ(M)

que e um homeomorfismo uniforme, completando a demostracao.¤


Proposicao 8.5.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espacos metricos.Entao M ×N = M × N .

Demonstracao:De fato, se (M, ϕ) e (N , ψ) sao completamentos de M e N , respectivamente entao temos que

ϕ(M) = M, ψ(N) = N .

Masϕ(M)× ψ(N) = ϕ(M)× ψ(N) = M × N . (∗)

Logo (ϕ,ψ) : M ×N → M × N dada por

(ϕ,ψ)(x, y) .= (ϕ(x), ψ(y))

sera uma imersao isometrica e de (*) segue que (M × N , (ϕ,ψ)) e o completamento de M ×N .¤

Exercıcio 8.5.1 Seja (E, ‖.‖E) um espaco vetorial normado e (E, ϕ) seu completamento.Podemos munir E, de modo unico, com uma estrutura de espaco vetorial normado que

estende a estrutura correspondente de E.Para ver isto, observemos que a aplicacao

s : E × E → E, s(~x, ~y) .= ~x + ~y, ~x, ~y ∈ E,

e uma aplicacao uniformemente contınua em E × E.Com isto temos definida a aplicacao

S : ϕ(E)× ϕ(E) → ϕ(E), S(X, Y ) .= [ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1, ϕ−1)](X, Y ), X, Y ∈ ϕ(E),

que e uma aplicacao uniformemente contınua em ϕ(E)× ϕ(E) (pois ϕ : E → ϕ(E) e isometriaem E e s e uniformemente contınua em E × E) (veja diagrama abaixo).

E × E - E

s

? ?ϕ(E)× ϕ(E) ϕ(E)

-S

(ϕ, ϕ) ϕ

6

(ϕ−1, ϕ−1)

Logo, pela proposicao (8.4.3), segue que se estende, de modo unico, a uma aplicacao

S : E × E → E

que sera uniformemente contınua em E × E.Temos que S satisfaz as propriedades (A1)-(A4) da definicao de espaco metrico.De fato, verificaremos a propriedade comutativa para S em E:

Sejam ~X,

~Y ∈ E.


Temos que~X = lim

n→∞Xn, e ~Y = lim

n→∞Yn,

onde (Xn)n∈N e (Yn)n∈N sao sequencias em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existem, unicos,~xn, ~yn ∈ E (pois ϕ : E → ϕ(E) e isometria) tais que

Xn = ϕ(~xn) e Yn = ϕ(~yn).

Logo

S( ~X,

~Y ) = S( lim

n→∞Xn, limn→∞Yn)

[bS e contınua em bE× bE]= lim

n→∞ S(Xn, Yn)

= limn→∞[ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1, ϕ−1)](Xn, Yn) = lim

n→∞[ϕ ◦ s](ϕ−1(Xn), ϕ−1(Yn))

[ϕ−1(Xn)=xn, ϕ−1(Yn)=yn]= lim

n→∞[ϕ ◦ s](~xn, ~yn) = limn→∞[ϕ(s(~xn, ~yn))]

[s e comutativa em E]= lim

n→∞[ϕ(~yn + ~xn)] = limn→∞[(ϕ ◦ s)(~yn, ~xn)]


n→∞[ϕ ◦ s](ϕ−1(Yn), ϕ−1(Xn))

= [ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1, ϕ−1)](Yn, Xn) = limn→∞ S(Yn, Xn)

[bS e contınua em bE× bE]= S( lim

n→∞Yn, limn→∞ sXn) = S(~Y ,

~X),

mostrando que S satisfaz a propriedade comutativa.Observemos que ~0 = ϕ(~0) (verifique!).Alem disso, como a aplicacao

f : E → E

dada porf(~x) .= −~x, ~x ∈ E

e uma isometria entao a aplicacao

F : ϕ(E) → ϕ(E)

dada porF (X) .= [ϕ ◦ f ◦ ϕ−1](X), X ∈ ϕ(E)

se estende a uma isometria (veja figura abaixo)

F : E → E

E - E

f

? ?ϕ(E) ϕ(E)

-F

ϕ ϕ

6

ϕ−1


Definamos

−X.= F ( ~

X),

~X ∈ E.

Se ~X ∈ E temos que

~X = lim

n→∞Xn,

onde (Xn)n∈N e uma sequencia em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existe, unico, ~xn ∈ E taisque

Xn = ϕ(~xn).

S( ~X,− ~

X) = S( ~X, F ( ~

X)) = S( limn→∞Xn, F ( lim

n→∞Xn))

[F e S sao contınuas]= lim

n→∞ S(Xn, F (Xn))

= limn→∞[ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1, ϕ−1)](Xn, [ϕ ◦ f ◦ ϕ−1](Xn))]

= limn→∞[(ϕ ◦ s)(ϕ−1(Xn), f(ϕ−1(Xn)))] =

[ϕ−1(Xn)=xn]= lim

n→∞[(ϕ ◦ s)(~xn, f(~xn))]

= limn→∞[ϕ(s(~xn,−~xn))] = lim

n→∞[ϕ(~xn − ~xn))] = limn→∞[ϕ(~0)] = ~0,

mostrando que − ~X ∈ E e o vetor oposto do vetor ~

X ∈ E.A verificacao das outras propriedades serao deixadas como exercıcio para o leitor.Sabemos que a aplicacao

m : R× E → E

dada porm(λ, ~x) .= λ.~x, (λ, ~x) ∈ R× E

e localmente uniformemente contınua em R× E.Logo podemos considerar a aplicacao (veja figura abaixo)

M : R× ϕ(E) → ϕ(E)

dada porM(λ,X) .= (ϕ ◦m ◦ (id, ϕ−1))(λ,X), (λ,X) ∈ R× ϕ(E).

R× E - E

m

? ?R× ϕ(E) ϕ(E)

-M

(id, ϕ) ϕ

6

(id, ϕ−1)


Observemos que M e localmente uniformemente contınua em R × ϕ(E) logo se estende auma funcao contınua

M : R× E → E.

Observemos que se ~X,

~Y ∈ E e λ ∈ R entao

~X = lim


n→∞Yn,

onde (Xn)n∈N e (Yn)n∈N sao sequencias em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existem, unicos,~xn, ~yn ∈ E (pois ϕ : E → ϕ(E) e isometria) tais que

Xn = ϕ(~xn) e Yn = ϕ(~yn).

Logo

λ.( ~X + ~

Y ) = M(λ, S( ~X,

~Y )) = M(λ, S( lim

n→∞Xn, limn→∞Yn))

[cM,bS sao contınuas ]= lim

n→∞ M(λ, S(Xn, Yn))

= limn→∞ M(λ, (ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1, ϕ−1))(Xn, Yn)) = lim

n→∞ M(λ, (ϕ ◦ s)(ϕ−1(Xn), ϕ−1(Yn)))


n→∞ M(λ, [ϕ ◦ s](~xn, ~yn)) = limn→∞ M(λ, ϕ(s(~xn, ~yn)))

= limn→∞[(ϕ ◦m ◦ (id, ϕ−1))(λ, ϕ(s(~xn, ~yn)))] = lim

n→∞[(ϕ ◦m)(λ, ~xn + ~yn)]

= limn→∞[ϕ(λ.(~xn + ~yn))]

[distribuitiva de . em relacao a + em E]= lim

n→∞[ϕ(λ.~xn + λ.~yn)]

= limn→∞[(ϕ ◦ s)(λ~xn, λ~yn)] = lim

n→∞[(ϕ ◦ s)(m(λ, ~xn),m(λ, ~yn))]

[xn=ϕ−1(Xn), yn=ϕ−1(Yn)]= lim

n→∞[(ϕ ◦ s)(m(λ, ϕ−1(Xn)),m(λ, ϕ−1(Yn)))]

= limn→∞[(ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1, ϕ−1))((ϕ ◦m)(λ, ϕ−1(Xn)), (ϕ ◦m)(λ, ϕ−1(Yn)))]

= limn→∞[(ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1, ϕ−1))((ϕ ◦m ◦ (id, ϕ−1))(λ,Xn), (ϕ ◦m ◦ (id, ϕ−1))(λ, Yn))]

= limn→∞ S(M(λ,Xn), M(λ, Yn))

[cM,bS sao contınuas ]= S(M(λ, lim

n→∞Xn), M(λ, limn→∞Yn))

= S(M(λ, X), M(λ, Y )) = S(λ.X, λ.Y ) = λ~X + λ

~Y

mostrando que S satisfaz a propriedade distributiva da multiplicacao de escalar por elementosde E.

Deixaremos como exercıcio para o leitor a verificacao das propriedades (M2)-(M4) da defincaode espaco vetoriais.

Com isto (E, S, M) torna-se um espaco vetorial sobre R, onde as operacoes S e , M sao asextensoes das operacoes de E, s e m, a E.

A metrica d bE em E pode ser reobtida da seguinte forma:Seja

D : ϕ(E)× ϕ(E) → R

dada por (veja figura abaixo)

D(X, Y ) .= dM (ϕ−1(X), ϕ−1(Y )), X, Y ∈ ϕ(E).


E × E - E

d

?ϕ(E)× ϕ(E)

µ

D

(ϕ, ϕ)

6

(ϕ−1, ϕ−1)

Como dM e imersao isometrica e ϕ e isometria segue que D e uniformemente contınua emϕ(E).

Logo admite uma, unica, extensao, que sera indicada por

d : E × E → R

que sera uma metrica em E (sera deixado como exercıcio para o leitor a verificacao deste fato),contınua em E × E e que coincidira com d bE.

Tambem sera deixado como exercıcio para o leitor, mostrar que as operacoes S, M saocontınuas em relacao a metrica d em E.

Observemos que a metrica d = d bE provem de uma norma.

De fato, se ~X,

~Y , A ∈ E entao

~X = lim


n→∞Yn,~A = lim

n→∞An

onde (Xn)n∈N, (Yn)n∈N e (An)n∈N sao sequencias em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existem,unicos, ~xn, ~yn,~an ∈ E (pois ϕ : E → ϕ(E) e isometria) tais que

Xn = ϕ(~xn), Yn = ϕ(~yn) e An = ϕ(~an). (∗)

Observemos que se X = ϕ(~x), Y = ϕ(~y) ∈ ϕ(E), onde ~x, ~y ∈ E entao

ϕ−1(S(X, Y )) = (ϕ−1 ◦ S)(X, Y ) = ϕ−1[(ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1, ϕ−1))(X, Y )] = (s ◦ (ϕ−1, ϕ−1))(X, Y )

= s(ϕ−1(X), ϕ−1(Y )). (∗∗)

Logo


d bE( ~X + ~

A,~Y + ~

A) =d( ~X + ~

A,~Y + ~

A) = d(S( ~X,

~A), S(~Y ,

~A))

= d(S( limn→∞Xn, lim

n→∞An), S( limn→∞Yn, lim

n→∞An))

[bd,bS sao contınuas]= lim

n→∞ d(S(Xn, An), S(Yn, An)) = limn→∞ d(S(Xn, An), S(Yn, An))

= limn→∞D(S(Xn, An), S(Yn, An))

= limn→∞ dM (ϕ−1(S(Xn, An)), ϕ−1(S(Yn, An)))

(∗∗)= lim

n→∞ dM (s(ϕ−1(Xn), ϕ−1(An)), (s(ϕ−1(Yn), ϕ−1(An)))

= limn→∞ dM (ϕ−1(Xn) + ϕ−1(An), ϕ−1(Yn) + ϕ−1(An))

[dM provem de uma norma]= lim

n→∞ dM (ϕ−1(Xn), ϕ−1(Yn)) = limn→∞D(Xn, Yn)

= limn→∞ d(Xn, Yn)

[bd e contınua]= = d( lim

n→∞Xn, limn→∞Yn) = d(X, Y )

= d bE( ~X,

~Y ),

mostrando que d bE e invariante por translacoes.

Se ~X,

~Y ∈ E e λ ∈ R temos que

~X = lim


n→∞Yn

onde (Xn)n∈N, (Yn)n∈N sao sequencias em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existem, unicos,~xn, ~yn ∈ E (pois ϕ : E → ϕ(E) e isometria) tal que

Xn = ϕ(~xn) e Yn = ϕ(~yn). (∗ ∗ ∗)

Observemos que se X = ϕ(~x), onde ~x ∈ E entao

ϕ−1(M(λ,X)) = (ϕ−1 ◦M)(λ,X) = ϕ−1[(ϕ ◦m ◦ (id, ϕ−1))(λ,X)] = (m ◦ (id, ϕ−1))(λ,X)

= m(λ, ϕ−1(X)). (∗ ∗ ∗)

Logo


d bE( ~λX, λ

~Y ) =d(λ ~

X, λ~Y ) = d(M(λ,

~X), M(λ,

~Y ))

= d(M(λ, limn→∞Xn), M(λ, lim

n→∞Yn))

[bd,cM sao contınuas]= lim

n→∞ d(M(λ,Xn), M(λ, Yn)) = limn→∞ d(M(λ,Xn),M(λ, Yn))

= limn→∞D(M(λ,Xn),M(λ, Yn))

= limn→∞ dM (ϕ−1(M(λ,Xn)), ϕ−1(M(λ, Yn)))

(∗∗∗)= lim

n→∞ dM (m(λ, ϕ−1(Xn)),m(λ, ϕ−1(Yn)))

= limn→∞ dM (λ.ϕ−1(Xn), λ.ϕ−1(Yn))

[dM provem de uma norma]= lim

n→∞[|λ|dM (ϕ−1(Xn), ϕ−1(Yn)) = |λ| limn→∞D(Xn, Yn)

= |λ| limn→∞ d(Xn, Yn)

[bd e contınua]= = |λ|d( lim

n→∞Xn, limn→∞Yn) = |λ|d(X, Y )

= |λ|d bE( ~X,

~Y ),

mostrando que d bE provem de uma norma ‖.‖ bE, assim E, ‖.‖ bE e um espaco de normado.

Observacao 8.5.4 Lembremos que

‖ ~X‖ bE = d bE( ~

X,~0), ~

X ∈ E,

e a extensao da norma ‖.‖E.

8.6 Espaco metricos topologicamente completos

Observacao 8.6.1

1. Suponhamos que (M, d1) e um espaco metrico.

Pergunta-se: sera que existe uma metrica d, equivalente a metrica d1, de tal modo que(M, d) seja um espaco metrico completo?

2. Esta pergunta e equivalente a pergunta se (M, d1) e homeomorfo a um espaco metricocompleto.

De fato, se d1 e uma metrica em M , equivalente a metrica d, de tal modo que (M,d) sejaum espaco metrico completo entao a aplicacao identidade

id : (M, d1) → (M, d)

sera um homeomorfismo.

Por outro lado, se (M,d1) e homeomorfo a (N, dN ), espaco metrico completo entao existeϕ : (M,d1) → (N, dN ) homeomorfismo.

Logo definido-se

d : M ×M → R por d(x, y) .= dN (ϕ(x), ϕ(y)), x, y ∈ M,

8.6. ESPACO METRICOS TOPOLOGICAMENTE COMPLETOS 295

segue que d e uma metrica em M que e equivalente a metrica d.

Como (N, dN ) e um espaco metrico completo e ϕ : (M,d) → (N, dN ) e uma isometriasegue que (M, d) tambem sera um espaco metrico completo.

Exemplo 8.6.1 O intervalo aberto (−1, 1), munido da metrica d(−1,1) induzida pela metricausual de R, nao e um espaco metrico completo.

Mas sabemos que a aplicacao

h : (−1, 1) → R dada por h(x) .=x

1− |x| , x ∈ (−1, 1),

e um homeomorfismo de (−1, 1) em R.Assim a metrica d : (−1, 1)× (−1, 1) → R dada por

d1(x, y) .= |h(x)− h(y), x, y ∈ (−1, 1)

e equivalente a metrica d(−1,1) e ((−1, 1), d) e um espaco metrico completo.

Em geral temos a

Proposicao 8.6.1 Sejam (M, d) um espaco metrico completo e A um subcojunto aberto de M .Entao (A, d) e homeomorfo a um espaco metrico completo.

Demonstracao:Como A um subcojunto aberto de M temos que M \A e um subconjunto fechado de M .Logo a funcao

ϕ : M → R dada por ϕ(x) .= d(x,M \A), x ∈ M,

sera uma funcao contınua em M .Observemos que ϕ(x) > 0 se, e somente se, x 6∈ M \A ou, equivalentemente, x ∈ A.Logo a funcao

f : A → R dada por f(x) .=1

ϕ(x), x ∈ A,

esta bem definida e sera contınua em A.Temos que

G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ A} = {(x, t) : x ∈ A, t =1

ϕ(x)} = {(x, t) : x ∈ A, t.ϕ(x) = 1}

[t.ϕ(x)=1⇒ϕ(x)>0]= {(x, t) ∈ M × R : t.ϕ(x) = 1}

A ultima identidade garante que G(f) e um subconjunto fechado do espaco metrico completoM × R.

Logo G(f), pelas proposicoes (8.2.3) e (8.2.4), segue sera um espaco metrico completo munidoda metrica

D : G(f)×G(f) → Rdada por

D((x, f(x)), (y, f(y)) .= d(x, y) + |f(x)− f(y)|, x, y ∈ A.

Como a aplicacao

F : (A, d) → (G(f), D) dada por F (x) .= (x, f(x)), x ∈ A

e um homeomorfismo segue que A e homeomormfo a F que por sua vez e homeomorfo a M ,completando a demonstracao.

¤


8.7 O teorema de Baire

Comecaremos pela

Definicao 8.7.1 Seja (M, d) espaco metrico.Diremos que X ⊆ M e um subconjunto magro em M onde

X =∞⋃

n=1

Xn, e int(Xn) = ∅, para todo n ∈ N.

Observacao 8.7.1

1. E facil mostrar que (sera deixado como exercıcio para o leitor) todo subconjunto de umconjunto magro de M tambem sera um conjunto magro de M .

2. Tambem pode-se mostrar que (sera deixado como exercıcio para o leitor) a reuniao enu-meravel de subconjuntos magros de M sera um subconjunto magro de M .

3. Nem todo subconjunto magro X de M tem interior vazio (isto e, int(X) = ∅).Para ver isto observemos X ⊆ Q e um subconjunto magro de Q, pois ele sera reuniaoenumeravel de seus pontos, cada um dos quais tem interior vazio em Q mas nao tem,necesssariamente, interior vazio em Q.

Isto ocorre pois Q nao e um espaco metrico completo (como veremos a seguir, se fosse,deverıamos ter int(X) = ∅ em Q).

4. Se (M, d) e um espaco metrico e a ∈ M entao X = {a} tem interior vazio se, e somentese, a nao e ponto isolado de M .

De fato, X = {a} tem interior vazio se, e somente se, toda bola aberta BM (a; ε) contempontos de M \ {a} ou, equivalentemente, o ponto a nao e ponto isolado de M .

5. Como consequencia temos que X e um subconjunto enumeravel de M e um subconjuntomagro de M se, e somente se, nenhum dos pontos de X e ponto isolado de M .

6. Em particular, se X = {reta em R2} ⊆ R2e um subconjunto magro de R2.

Mais geralmente, toda reuniao enumeravel de retas de R2 sera um subconjunto magro deR2.

7. Sejam (M, d) e um espaco metrico e X ⊆ M .

Lembremos que int(X) = ∅ em M se, e somente se, M \X e denso em M .

Logo, um subconjunto F fechado em M e tal que int(F ) = ∅ em M se, e somente se,M \ F e um subcojunto aberto de denso em M .

Portanto podemos conlcuir que int(X) = ∅ em M se, e somente se, X esta contido numsubconjunto fechado que tem interior vazio em M ou, equivalentemente, M \ X contemum subconjunto aberto e denso em M , ou seja, int(M \X) e denso em M .

8. Um subconjunto X de um espaco metrico (M,d) que e um subconjunto magro de M tambeme dito subconjunto de primeira categoria em M .

Os subconjunto que nao sao subconjunto magros de M tambem sao denominados subcon-juntos de segunda categoria em M .

8.7. O TEOREMA DE BAIRE 297

Exemplo 8.7.1 Sejam (M,d) espaco metrico, A ⊆ M um subconjunto aberto em M .Entao ∂A e um subconjunto fechado de M que tem interior vazio em M .De fato, se x ∈ ∂A entao toda bola aberta BM (x, ε) contem pontos de A (e de M \A).Como A e um subconjunto aberto de M temos que A ∩ ∂A = ∅ assim nehuma bola aberta

BM (x; ε) podera estar contida em ∂A, ou seja x 6∈ int(∂A), mostrando que int(∂A) = ∅.

Exemplo 8.7.2 Sejam (M,d) espaco metrico, F ⊆ M um subconjunto fechado em M .Como ∂F = ∂(M \F ) e M \F e um subconjunto aberto de M segue, do exemplo acima, que

∂F = ∂(M \ F ) tera interior vazio em M .

Observacao 8.7.2 Se X e um subconjunto de um espaco metrico (M, d) e tal que X nao e umsubconjunto nem aberto, nem fechado de X entao podemos ter int(∂X) 6= ∅ em M .

Para ver isto consideremos X.= Q subconjunto do espaco metrico (R, d), onde d e a metrica

usual de R.Entao ∂(Q) = R, que nao tem interior vazio em R (na verdade int(R) = R em R).

Exemplo 8.7.3 O conjunto de Cantor.Consideremos M

.= [0, 1] munido da metrica induzida pela metrica usual de R.Seja E0

.= [0, 1] ⊆ R.

0 1

E0

Definamos A1.= (

13,23), denominado terco medio do intervalo [0, 1], e consideremos E1

.=

M \A1, isto e,

E1 = [0,13] ∪ [

23, 1] = I11 ∪ I12.

0 1

E1

13

23

Definamos A2 = (19,29) ∪ ∪(

79,89), ou seja, os tercos medios dos intervalos [0, 1

3 ] e [23 , 1] e

consideremos E2.= M \A2, isto e,

E2 = [0,19] ∪ [

29,39] ∪ [

69,79] ∪ [

89, 1] = I21 ∪ I22 ∪ I23 ∪ I24.

0 1

E2

19

29

39

69

79

89

Continuando o processo acima obtemos uma sequencia de subconjuntos (En)n∈N formada porsubconjuntos fechados e limitados de [0, 1] tais que

1. E1 ⊆ E2 ⊆ E3 ⊆ · · · , isto e, a sequencia (En)n∈N e decrescente;

2. Para cada n ∈ N temos que En e a reuniao de 2n intervalos fechados, cada um dos quaistem comprimento 3−n.


A verificacao destas propriedades sera deixada como exercıcio para o leitor.Observemos que os intervalos retirados de [0, 1] para obtermos En sao da forma:

(3k + 1

3n,3k + 2

3n

), k = 0, 1, 2, · · · , n. (8.1)

Definamos

K.=

∞⋂

n=1

En = [0, 1] \∞⋃

n=1

An

que sera denominado conjunto de Cantor.Observemos que os extremos dos intervalos tercos medios retirados pertencerao a K, isto e,

0,13,23,29, · · · ∈ K, mostrando que K 6= ∅.

Mostremos que K nao contem nenhum intervalo aberto e assim int(K) = ∅ em [0, 1] e comoele e interseccao de subconjuntos fechados de [0, 1] ele sera um subconjunto fechado de [0, 1].

Para isto, do item 2. acima, temos que cada um dos 2n intervalos de En tem comprimento3−n.

Se J ⊆ [0, 1] e um intervalo aberto de [0, 1] de comprimento 0 < l seja n ∈ N tal 3−n < l.Logo o intervalo J contera pontos que nao pertencerao a En e assim nao pertencera a K,

mostrando que int(K) = ∅.Com isto temos que K e um subconjunto fechado de [0, 1], nao vazio, tal que int(K) = ∅, ou

seja, K e um subconjunto magro de [0, 1].Mostraremos, mais adiante, o conjunto de Cantor e nao enumeravel.

Temos a

Proposicao 8.7.1 Sejam (M,dM ) espaco metrico, (Fn)n∈N sequencia decrescente de subscon-juntos fechados de M , nao vazios, com lim

n→∞ diam(Fn) = 0.

Entao (M, dM ) e um espaco metrico completo se, e somente se, existe aiM tal que

∞⋂

n=1

Fn = {a}.

Demonstracao:Suponhamos que (M,dM ) e um espaco metrico completo e (Fn)n∈N e uma sequencia como

acima.Para cada n ∈ N seja xn ∈ Fn.Como (Fn)n∈N e uma sequencia decrescente temos que a sequencia (xn)n∈N em M tem a

segunte propriedade:

se n,m ≥ n0 segue que xm, xn ∈ Fn0 .

Como limn→∞ diam(Fn) = 0, dado ε > 0 existe N0 ∈ N tal que

se n ≥ N0 segue que diam(Fn) < ε.

Logo sese n,m ≥ N0 segue que d(xm, xn) ≤ diam(FN0) < ε,

mostrando que a sequencia (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em (M, dM ).


Como (M, dM ) e um espaco metrico completo segue que existe a ∈ M tal que

limn→∞xn = a.

Dado p ∈ N temos que

se n ≥ p segue que xn ∈ Fp.

Logo a = limn→∞xn ∈ Fp para todo p ∈ N, ou seja,

a ∈∞⋂

n=1

Fn.

Suponhamos, por absurdo, que existe b ∈∞⋂

n=1

Fn, b 6= a.

Logo temos que a, b ∈ Fn para todo n ∈ N.Assim,

se n ≥ N0 temos que 0 < dM (a, b) ≤ diam(Fn) < ε,

o que e um absurdo.Portanto ∞⋂

n=1

Fn = {a}.

Reciprocamente, mostremos que (M,dM ) e um espaco metrico completo.Para isto consideremos (xn)n∈N uma sequencia de Cauchy em (M, dM ).Para cada n ∈ N definamos

Xn.= {xn, xn+1, · · · }.

Logo temos que a sequencia (Xn)n∈N e uma sequencia decrescente (pois Xn+1 = {xn+1, xn+2, · · · } ⊆{xn, xn+1, · · · } = Xn) e portanto a sequencia (Xn)n∈N sera uma sequencia decrescente formadapor subconjuntos fechados de (M, dM ) e nao vazios.

Como (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em (M,dM ), dado ε > 0 existe N0 ∈ N tal que

se n,m ≥ N0 temos que d(xn, xm) < ε.

Logo se

se n ≥ N0 temos que diam(Fn)[m≥n]

≤ d(xn, xm) < ε,

mostrando quelim

n→∞ diam(Xn) = limn→∞ diam(Xn) = 0.

Logo temos que∞⋂

n=1

Xn = {a}.

Assim a ∈ Xn para todo n ∈ N, ou seja, toda bola aberta B(a; ε) contem ponto de Xn, ouseja, para cada n ∈ N existe xnj ∈ Xn ∩B(a; ε), mostando que a sequencia (xn)n∈N possui umasubsequencia (xnj )j ∈ N que e convergente para a em M .

Logo, da proposicao (8.1.3), segue que, xn → a em M , mostrando que (M, dM ) e um espacometrico completo.

¤


Observacao 8.7.3

1. Na proposicao acima a hipoete de ” limn→∞ diam(Fn) = 0” e essencial, como mostra o

seguinte exemplo:

Para cada n ∈ N temos que Fn.= [n,∞) sao subconjuntos fechados de R, nao vazios, a

sequencia (Fn)n∈N e decrescente mas∞⋂

n=1

Fn = ∅.

Observemos que diam(Fn) = ∞ para todo n ∈ N logo limn→∞ diam(Fn) = ∞ 6= 0.

2. No exemplo acima temos que limn→∞ diam(Fn) = ∞.

Podemos obter uma situacao em que limn→∞ diam(Fn) ∈ (0,∞), como mostra o seguinte

exemplo:

Consideremos o espaco de Hilbert (l2(R), ‖.‖2) e para cada n ∈ N consideremos

~en.= (0, · · · , 0, 1︸︷︷︸

posicao n

, 0 · · · ).

Seja Fn.= {~en, ~en+1, · · · }.

Para cada n ∈ N temos Fn e um subconjunto fechado de l2(R) (sera deixado como exercıcio

para o leitor), nao vazio e a sequencia (Fn)n∈N e decrescente mas∞⋂

n=1

Fn = ∅.

Observemos que neste caso, para cada n ∈ N, temos

diam(Fn) =√

2 ∈ (0,∞),

ou seja,lim

n→∞ diam(Fn) =√

2 ∈ (0,∞).

Temos a

Proposicao 8.7.2 Seja (M, dM ) um espaco metrico completo.Entao sao equivalentes:

1. Se X e um subconjunto magro de (M,dM ) entao int(X) = ∅.

2. Se F.=

∞⋃

n=1

Fn onde, para cada n ∈ N, Fn e um subconjunto fechado de M que tem interior

vazio entao int(F ) = ∅.3. Toda intersecao enumeravel de subconjuntos abertos densos em M e denso em (M, dM ).

Demonstracao:De 1. ⇒ 2.:

Suponhamos que F.=

∞⋃

n=1

Fn onde, para cada n ∈ N, Fn e um subconjunto fechado de

(M, dM ) que tem interior vazio.


Temos que F ⊆∞⋃

n=1

Fn.

Logo, da observacao (8.7.1) item 1., segue que F e magro em (M, dM ).Logo, de 1., segue que int(F ) = ∅.De 2. ⇒ 3.:Sejam An subconjuntos abertos e densos em (M,dM ), para cada n ∈ N.Entao, para cada n ∈ N, Fn

.= M \ An = Acn sera fechado e int(Fn) = ∅ (pois se x ∈

Fn = M \An, como An e denso em M , segue que toda bola aberta B(x, ε) devera interceptar oconjunto An e assim nao podera estar contida em M \An = Fn).

Assim se F.=

∞⋃

n=1

Fn, onde para cada n ∈ N temos Fn e um subconjunto fechado que tem

interior vazio, segue de 2., que int(F ) = ∅.Mas

∞⋂

n=1

An =∞⋂

n=1

F cn = [

∞⋃

n=1

Fn]c = F c[∂(F )=∂(M\F )]

= M \ (int(F ))[int(F )=∅]

= M,

mostrando que∞⋂

n=1

An e denso em M .

De 3. ⇒ 1.:

Suponhamos que X e um subconjunto magro em (M, dM ), isto e, X =∞⋃

n=1

Xn onde, para

cada n ∈ N temos que int(Xn) = ∅.Para cada n ∈ N consideremos An

.= M \Xn = Xnc.

Com isto temos que, para cada n ∈ N, An sera um subconjunto fechado de M e

An = M \Xn[∂(Xn)=∂(M\Xn)]

= M \ (int(Xn)[int(Xn)=∅]

= M,

mostrando que An e denso em (M,dM ).

Logo, de 3., segue que A.=

∞⋂

n=1

An tambem sera denso em (M, dM ).

Mas

int(X) = int(∞⋃

n+1

Xn) = M \ [∞⋃

n+1

Xn]c = M \∞⋂

n+1

Xcn = M \A = M \M = ∅,

logo int(X) = ∅, como querıamos mostrar.¤

Com isto temos o

Teorema 8.7.1 (Teorema de Baire) Seja (M,dM ) um espaco metrico completo.Toda intersecao enumeravel de subconjuntos abertos densos em (M, dM ) e denso em (M, dM ).Em particular, valem os itens 1. e 2. da proposicao acima.

Demonstracao:Suponhamos que para cada n ∈ N, An e um subconjunto aberto e denso em (M,dM ).


Seja A.=

∞⋂

n=1

An.

Consideremos a ∈ A e B1.= B(a; ε) bola aberta de (M, dM ) centrada no ponto a.

Se mostrarmos que A ∩B1 6= ∅ entao temos que A e denso em M .Observemos que A1 e denso em (M, dM ), logo existe a1 ∈ B1 ∩A1.Mas B1 ∩A1 e um subconjunto aberto de M , logo existe

B2.= B(a1, ε1) ⊆ A1 ∩B1.

Podemos supor, sem perda de generalidade, que 0 < ε1 <12

e que

B2 ⊆ B1 ∩A1.

Caso contrario, temos que

B(a1;ε1

2) ⊆ B(a1; ε1) ⊆ B1 ∩A1

e tomamos B2.= B(a1; δ}), onde 0 < δ < min{1

2,ε1

2}.

Como A2 e um subconjunto denso de (M, dM ) segue que existe a2 ∈ B2∩A2 e como A2∩B2

e um subconjunto aberto de M segue que existe B3.= B(a2; ε2) tal que

B3 ⊆ A2 ∩B2.

Como anteriormente, podemos supor, sem perda de generalidade, que 0 < ε2 < 13 e que

B3 ⊆ B2 ∩A2.

Prosseguindo, construimos uma sequencia (Bn)n∈N de subconjuntos fechados de M tal que,para todo n ∈ N, temos

Bn+1 ⊆ Bn,

Bn+1 ⊆ Bn ∩An

e0 < diam(Bn) ≤ 2

n,

em particular temos quelim

n→∞ diam(Bn) = 0.

Logo da proposicao (8.7.1) segue que

∞⋂

n=1

Bn 6= ∅,

ou seja, existe a ∈∞⋂

n=1

Bn e como Bn+1 ⊆ Bn ∩An para todo n ∈ N segue que a ∈ An ∩B1 para

todo n ∈ N, mostrando que a ∈∞⋂

n=1

An∩B1 = A∩B1, mostrando que A∩B1 6= ∅ e completando

a demonstracao.¤



Corolario 8.7.1 Seja (M, dM ) um espaco metrico completo.

Se M =∞⋃

n=1

Fn, onde para cada n ∈ N temos que Fn e um subconjunto fechado de (M, dM )

entao existe, pelo menos, um n0 ∈ N tal que int(Fn0) 6= ∅.

Demonstracao:Suponhamos, por absurdo que, int(Fn) = ∅ para todo n ∈ N.

Entao, do teorema de Baire, segue int(M) = int(∞⋃

n=1

Fn) = ∅, o que e um absurdo (pois todo

ponto de M e ponto interior de (M,dM )).¤

Observacao 8.7.4

1. O teorema de Baire refere-se a abertos, fechados, fechos e interiores logo contınua valido sesubstituirmos a metrica d do espaco metrico (M,d) por uma outra metrica, d′, equivalentea d, mesmo que (M, d′) nao seja um espaco metrico completo.

Mais geralmente, o teorema de Baire contınua valido se subsituirmos a hipotese do espacometrico ser completo pela condicao dele ser homeomorfo a um espaco metrico completo.

De fato, se (M1, d1) e um espaco metrico que e homeomorfo ao espaco metrico completo(M,dM ) entao existe ϕ : M1 → M homeomorfismo de (M1, d1) em (M,dM ).

Logo se X =∞⋃

n=1

Xn e um subconjunto magro de (M1, d1) entao temos que int(Xn) = ∅para todo n ∈ N.

Afirmamos que ϕ(X) e um subconjunto magro de (M2, dM ) = (ϕ(M1), dM ), pois

ϕ(X) = ϕ(∞⋃

n=1

Xn) =∞⋃

n=1

ϕ(Xn)

e para cada n ∈ N temos

int(ϕ(Xn))[ϕ e homeomorfismo]

= ϕ(int(Xn)) = ϕ(∅) = ∅.

Logo, do teorema de Baire aplicado a (M, dM ) (que e completo), segue que

int(ϕ(X)) = ∅,mostrando que ϕ(X) e um subconjunto magro de (M,dM ).

Como ϕ e homeomorfismo de (M1, d1 em (M, dM ) segue que

ϕ(int(X)) = int(ϕ(X)) = ∅,ou seja, X = ∅, como querıamos mostrar.

2. Como uma exemplo da situacao aicma temos que M1 = (0, 1), com a metrica induzidapela metrica usual de R, nao pode ser escrito como reuniao enumeravel de subconjuntosfechados de (0, 1) que tenham interior vazio (em (0, 1)).

Isto segue do fato que ((0, 1), dR) e homeomorfo a (R, dR) que e um espaco metrico com-pleto.


3. Como consequencia temos que se M1 e um subconjunto aberto de um espaco metrico com-

pleto (M, dM ) entao se M1 =∞⋃

n=1

Fn onde, para cada n ∈ N, Fn e um subcojunto fechado

em (M1, dM ) entao existe, pelo menos, um n0 ∈ N tal que intM1(Fn0) 6= ∅.Pois, da proposicao (8.6.1), segue que (M1, dM ) e homeomorfo a (M,dM ).

Com isto temos a

Proposicao 8.7.3 Seja (M, dM ) um espaco metrico completo.

Se M =∞⋃

n=1

Fn onde, para cada n ∈ N, Fn e um subconjunto fechado de (M,dM ) entao

A.=

∞⋃

n=1

int(Fn)

e um subconjunto aberto e denso em (M, dM ).

Demonstracao:Seja U um subconjunto aberto, nao vazio, de (M, dM ).Mostremos que A ∩ U 6= ∅, isto e, existe n0 ∈ N tal que U ∩ int(Fn0) 6= ∅.Observemos que

U = U ∩M = U ∩ [∞⋃

n=1

Fn] =∞⋃

n=1

(U ∩ Fn)

e, para cada n ∈ N, temos que U ∩ Fn e um subconjunto fechado de (U, dM ).Da observacao (8.7.4) item 3. temos que existe n0 ∈ N tal que

intU (U ∩ Fn0) 6= ∅.

Como U e aberto em (M,dM ) temos que

intM (U ∩ Fn0) = intU (U ∩ Fn0) 6= ∅.

Mas intM (U ∩ Fn0) = intU (U ∩ Fn0) e um subconjunto aberto de (M,dM ) que esta contidoem U e de Fn0 , ou seja,

intM (U ∩ Fn0) ⊆ intM (U) e intM (U ∩ Fn0) ⊆ intM (Fn0),

isto e,

intM (U ∩ Fn0) ⊆ intM (U) ∩ int(Fn0)[U e aberto em M]

= U ∩ int(Fn0),

mostrando que U ∩ int(Fn0) 6= ∅, completando assim a demonstracao.¤

Exemplo 8.7.4 Seja (M, dM ) um espaco metrico completo e enumeravel.Como M e enumeravel segue que M =

⋃

n∈N{xn} e para cada n ∈ N temos que Fn

.= {xn} e

um subconjunto fechado de (M, dM ).Consideremos

A.= {x ∈ M : x e ponto isolado de (M, dM )}.


Como A ⊆ M temos que A e enumeravel, isto e, A = {xnk: k ∈ N}.

Observemos que A =∞⋃

n=1

int(Fn).

De fato, se a ∈ A entao a e ponto isolado de (M,dM ) logo int({a}) = {a} = {xn0} paraalgum n0 ∈ N , ou seja, a ∈ int(Fn0) .

Por outro lado, se para cada n ∈ N temos a ∈ inte(Fn) = int({xn}) entao a e ponto isoladode (M, dM )

Logo da proposicao (8.7.3), segue que A e um subconjunto (aberto) e denso em (M, dM ).

Observacao 8.7.5

1. Em particular, isto mostra que Rn e um conjunto nao enumeravel.

De fato, do exemplo acima temos que todo subconjunto fechado, infinito e enumeravel deRn contem uma infinidade de pontos isolados, pois caso contrario, se tivesse somente umnumero finito de pontos isolados, este seria denso em Rn o que e um absurdo.

2. Observemos que Q munido da metrica, dQ, induzida pela metrica usual de R nao e topo-logicamente completo.

De fato, como Q e enumeravel e nao tem pontos isolados, segue do exemplo acima quenao existe uma metrica equivalente a metrica dQ, que o torne completo, caso contrario, oconjunto formado pelos seus pontos isolados (que e o vazio) seria denso em Q, o que e umabsurdo.

3. Seja (M,dM ) espaco metrico completo nao enumeravel e A um subconjunto, nao vazio,fechado de (M, dM ).

Se nenhum ponto de A e ponto isolado de (M, dM ) entao A e nao enumeravel.

Observemos que como A e subconjunto, nao vazio, fechado de (M, dM ) entao (A, dM ) eum espaco metrico completo.

De fato, A fosse enumeravel, pelo exemplo acima, teremos que o conjunto formado portodos pontos isolados de A (que e vazio) seria (aberto) denso em A, o que e uma absurdo.

Logo A e um conjunto nao enumeravel.

Exemplo 8.7.5 O objetivo deste exemplo e mostrar que o conjunto de Cantor, K e nao enu-meravel.

Consideremos o espaco metrico (R, dR), onde dR e a metrica usual de R.Pela observacao (8.7.5) item 3., basta mostrarmos que nenhum ponto de K e ponto isolado

de R.Sejam x ∈ K e B(x; ε) uma bola aberta, de R, centrada em x (isto e, um intervalo aberto

de R).Considere In0 um intervalo de En0 que contenha x (que existe pois x ∈ K).Escolha n ∈ N suficientemente grande tal que In0 ⊆ B(x, ε), que existe pois os intervalos In

tem comprimento tendendo a zero quando n tende a infinito e x ∈ In0.Seja xn0 um extremo de In0 tal que xn0 6= x (no maximo x pode ser um dos extremos).Da construcao do conjunto K, temos que

xn0 ∈ [K ∩B(x; ε)] \ {x},

mostrando que x nao e ponto isolado de K e completando o exemplo.


Observacao 8.7.6 Em um curso de Teoria da Medida mostra-se que K tem medida zero.Com isto temos que o conjunto de Cantor tem as seguintes propriedades:

1. e fechado em (R, dR);

2. nao enumeravel;

3. tem medida zero.

8.8 Metodo das aproximacoes sucessivas

Comecaremos pela

Definicao 8.8.1 Seja f : M → M .Diremos que x ∈ M e um ponto fixo da funcao f em M se

f(x) = x.

Exemplo 8.8.1 Se f : Rn → Rn e dada por

f(~x) .= −~x, ~x ∈ Rn,

entao e facil mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que ~0 ∈ Rn sera o unico pontofixo da aplicacao f em Rn.

Exemplo 8.8.2 Se ~a 6= ~0 e f : Rn → Rn e dada por

f(~x) .= ~x + ~a, ~x ∈ Rn,

entao e facil ver (sera deixado como exercıcio para o leitor) que nao existe um ponto fixo daaplicacao f em Rn.

Exemplo 8.8.3 Se f : R→ R e dada por

f(x) .= x2, x ∈ R,

entao e facil mostrar (sera deixado como exercıcio para o leitor) que 0, 1 ∈ R serao os unicospontos fixos da aplicacao f em R.

Observacao 8.8.1

1. Se f : A ⊆ R→ R os pontos fixos da aplicacao f em A serao as abscissas dos pontos ondea diagonal em R2, y = x, corta o grafico da funcao f (veja figura abaixo).

-

6

f(a)

a

y = x

y = f(x)

x

y

8.8. METODO DAS APROXIMACOES SUCESSIVAS 307

2. Um resultado importante neste contexto e o Teorema do Ponto Fixo de Browder quediz:

Seja Rn com a metrica usual e f : B[~0; 1] → B[~0; 1] contınua em B[~0; 1] (munida dametrica induzida pela metrica de Rn).

Entao a aplicacao f tem, pelo menos, um ponto em B[~0; 1].

A seguir faremos a demonstracao para o caso em que n = 1.

A demostracao do caso geral sera omitida.

Temos que f : [−1, 1] → [−1, 1] e contınua em [−1, 1].

Consideremos g : [−1, 1] → R dada por

g(x) .= f(x)− x, x ∈ [−1, 1],

que e contınua em [−1, 1].

Masg(−1) = f(−1)− (−1) ≥ −1 + 1 = 0 e g(1) = f(1)− 1 ≤ 1− 1 ≤ 0,

ou seja,g(−1) ≥ 0 e g(1) ≤ 0.

Logo, do teorema do valor intermediario, segue que existe x ∈ [−1, 1] tal que g(x) = 0, ouseja, existe x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = x, mostrando que a aplicacao f tem um ponto fixoem [−1, 1].

Temos a

Proposicao 8.8.1 (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Sejam (M,dM ) espaco metrico com-pleto e f : M → M uma contracao (forte) em (M, dM ).

Entao existe um, unico, ponto fixo de f em M .Mais precisamente, se escolhermos x0 ∈ M e considerarmos a sequencia (xn)n∈N onde, para

cada n ∈ N, definimos xn.= f(xn−1), entao xn → a em (M, dM ) e f(a) = a, (ou seja, o ponto

fixo de f em M).

Demonstracao:Comecaremos provando a unicidade do ponto fixo.Para isto, suponhamos que a, b ∈ M sao pontos fixos de f em M , isto e, f(a) = a e f(b) = b.Como f e uma contracao (forte) em (M, dM ), existe 0 < c < 1 tal que

dM (f(x), f(y) ≤ c dM (x, y), x, y ∈ M.

Em particular,

dM (a, b) = dM (f(a), f(b) ≤ c dM (a, b)[c<1]< dM (a, b),

mostrando que dM (a, b) = 0, ou seja, b = a, logo, o ponto fixo, se existir, sera unico em M .Mostremos que existe o ponto fixo em M .Dado x0 ∈ M , consideremos a sequencia (xn)n∈N onde, para cada n ∈ N definimos

xn.= f(xn−1), n ∈ N.

Se x1 = x0 entao f(x0) = x1 = x0 e assim x0 sera o ponto fixo procurado.


Logo podemos supor que x1 6= x0, ou seja, dM (x0, x1) > 0.Afirmamos que (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em (M, dM ).Observemos que

dM (x1, x2) = dM (f(x0), f(x1)) ≤ c dM (x0, x1) (1)

dM (x2, x3) = dM (f(x1), f(x2)) ≤ c dM (x1, x2)(1)

≤ c2dM (x0, x1) (2)

dM (x3, x4) = dM (f(x2), f(x3)) ≤ c dM (x2, x3)(2)

≤ c3dM (x0, x1),

e, por inducao (sera deixado como exercıcio para o leitor), teremos

dM (xn, xn+1) ≤ cndM (x0, x1), n ∈ N.

Logo para n, p ∈ N temos que

dM (xn, xn+p) = dM (xn, xn+1) + dM (xn+1, xn+2) + · · ·+ dM (xn+p−1, xn+p)

≤ cndM (x1, x0) + cn+1dM (x1, x0) + · · ·+ cn+p−1dM (x1, x0)

≤ [cn + cn+1 + · · ·+ cn+p−1]dM (x1, x0)

≤ cn[1 + c + · · ·+ cp−1]dM (x1, x0)

[

n∑

k=0

ck ≤∞∑

k=0

ck =1

1− c]

≤ cn

1− cdM (x1, x0). (∗)

Como, 0 < c < 1 temos que limn→∞ cn = 0, assim, dado ε > 0 existe N0 ∈ N tal que se n ≥ N0

teremoscn <

(1− c)εdM (x1, x0)

. (∗∗)

Portanto se n ≥ N0 e p ∈ N teremos

dM (xn, xn+p) <cn

1− cdM (x1, x0)

(∗∗)< ε,

mostrando (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em (M, dM ).Como (M, dM ) e um espaco metrico completo segue que existe a ∈ M tal que xn → a em

(M, dM ).Mas f e contınua em a, logo

f(a) = f( limn→∞xn) = lim

n→∞ f(xn) = limn→∞xn+1 = a,

mostrando que a = limn→∞xn e o ponto fixo de f em M .

¤

Observacao 8.8.2 Como dM e uma funcao contınua em M × M , fazendo p → ∞ em (*),teremos

dM (xn, a) = dM (xn, limp→∞xn+p) = lim

p→∞ dM (xn, xn+p) ≤ cn

1− cdM (x1, x0),

que nos da uma estimativa para o erro que cometemos ao tomar o n-esimo iterado, xn, comouma valor aproximado do ponto fixo de a.


Temos a

Proposicao 8.8.2 Sejam (M,dM ) espaco metrico e f : M → M uma contracao (forte) em M .Dado b ∈ M se existir r > 0 tal que

dM (b, f(b)) ≤ r(1− c)

entao a bola fechada B[b; r] em (M, dM ) e invariante pela aplicacao f (isto e, f(B[b; r]) ⊆B[b; r]).

Em particular, se (M,dM ) e um espaco metrico completo, o ponto fixo de f em M pertenceraa bola fechada B[b; r].

Demonstracao:Se x ∈ B[b; r] temos que dM (x, b) ≤ r assim

dM (f(x), b) ≤ dM (f(x), f(b)) + dM (f(b), b) ≤ c dM (x, b) + r(1− c) ≤ cr + r(1− c) = r,

mostrando que f(x) ∈ B[b; r], logo f(B[b; r]) ⊆ B[b; r].Se (M, dM ) e um espaco metrico completo, como B[b; r] e um subconjunto fechado em

(M, dM ) segue que (B[b; r], dM ) e um espaco metrico completo.Pelo teorema do ponto fixo de Banach, aplicado a B[b; r] temos que f tem um, unico, ponto

fixo em B[b; r].¤

Temos tambem a

Proposicao 8.8.3 (Perturbacao da Identidade) Sejam (E, ‖.‖E) espaco de Banach, U subcon-junto aberto de E e ϕ : U → E uma contracao (forte) em U .

Entao a aplicacao f : U → E dada por

f(~x) .= ~x− ϕ(~x), x ∈ U,

e um homeomorfismo de U sobre um subconjunto aberto de E (que e f(U)).

Demonstracao:Como ϕ e uma contracao (forte) em U segue que existe 0 ≤ c < 1 tal que

‖ϕ(~x)− ϕ(~x)‖E ≤ c‖~x− ~x‖E , ~x, ~y ∈ U.

Com isto temos que, para ~x, ~y ∈ U ,

‖f(~x)− f(~y)‖E = ‖[~x− ϕ(~x)]− [~y − ϕ(~y)]‖E ≤ ‖~x− ~y‖E − ‖ϕ(~x)− ϕ(~y)‖E

≤ ‖~x− ~y‖E − c‖~x− ~y‖E ≤ (1− c)‖~x− ~y‖E . (∗)

Logo f e injetora e assim existe sua funcao inversa, f−1 : f(U) → U (na verdade f e umacontracao forte pois 0 < 1− c < 1).

Alem disso, se ~w, ~z ∈ f(U) temos que existem ~x, ~y ∈ U tal que ~w = f(~x), ~z = f(~y) logo

‖f−1(~w)− f−1(~z)‖E = ‖~x− ~y‖E

(∗)≤ 1

(1− c)‖f(~x)− f(~y)‖E =

1(1− c)

‖~w − ~z‖E ,

mostrando que f−1 e uma aplicacao lipschitziana em f(U), em particular f−1 : f(U) → U econtınua em f(U).


Logo f : U → f(U) e um homeomorfismo de U sobre f(U).Mostremos que f(U) e um subconjunto aberto de E.Seja ~b ∈ f(U), logo existe ~a ∈ U tal que f(~a) = ~b.Como ~a ∈ U e U e um subconjunto aberto de E segue que existe r > 0 tal que B[~a; r] ⊆ U .

Mostremos que B(~b;1− c

r) esta contida em f(U), ou seja, f(U) e um subconjunto aberto de

E.Para tanto, precisamos mostrar que se

~y ∈ B(~b; (1− c)r),

existe ~x ∈ U tal que ~y = f(~x).Na verdade, mostraremos que a aplicacao

ξ~y : B[~a; r] → E dada por ξ~y(~x) .= ~y − f(~x)

tem um (unico) ponto fixo na bola fechada B[~a; r].Se isto ocorrer, existira ~x ∈ B[~a; r] tal que

~x = ξ~y(~x) = ~y − ϕ(~x), (∗∗)

ou seja,

f(~x) = ~x− ϕ(~x)(∗∗)= ~y, isto e ~y ∈ f(B[~a; r]) ⊆ f(U).

Como (M, dM ) e um espaco metrico completo e B[~a; r] e um subconjunto fechado de (M, dM ),segue que (B[~a; r], dM ) e um espaco metrico completo.

Temos que ξ~y : B[~a; r] → E e uma contracao em (B[~a; r], dM ).De fato, ~z, ~w ∈ B[~a; r] ⊆ U temos que

‖ξ~y(~z)− ξ~y(~w)‖E = ‖[~y − ϕ(~z)]− [~y − ϕ(~z)]‖E = ‖ϕ(~z)− ϕ(~w)‖E

[ϕ e contracao em U ]

≤ c‖~z − ~w‖E . (∗ ∗ ∗)

Alem disso, se~z ∈ B[~a; r]

temos que

‖ξ~y(~z)− ~a‖E = ‖[ξ~y(~z)− ξ~y(~a)] + [ξ~y(~a)− ~a]‖E ≤ ‖ξ~y(~z)− ξ~y(~a)‖E + ‖ξ~y(~a)− ~a‖E

(∗∗∗)≤ c‖~z − ~a‖E + ‖ξ~y(~a)− ~a‖E = c‖~z − ~a‖E + ‖[~y − ϕ(~a)]− ~a‖E

= c‖~z − ~a‖E + ‖~y − f(~a)‖E[~b=f(~a)]

= c‖~z − ~a‖E + ‖~y −~b‖E

≤ c‖~z − ~a‖E + ‖~y −~b‖E ≤ cr + (1− c)r = r,

mostrando que ξ~y(~z) ∈ B[~a; r], ou seja, ξ~y : B[~a; r] → B[~a; r] e uma contracao, logo existe um(unico) ponto fixo de ξ~y na bola fechada B[~a; r], ou seja, f(U) e um subconjunto aberto de E,concluindo a demonstracao.

¤


Exemplo 8.8.4 Sejam (E, ‖.‖E) espaco de Banach, U um subconjunto aberto de R×E, (t0, x0) ∈U e f : U → E uma aplicacao contınua em U e satisfazendo

‖f(t, x)− f(t, y)‖E ≤ c‖x− y‖E ,

para todo (t, x), (t, y) ∈ U , onde c ≥ 0 nao depende dos pontos (t, x), (t, y) ∈ U (ou seja, f euniformemente lipschitziana na variavel x, para todo (t, x) ∈ U).

Mostraremos que existe um intervalo I.= (t0, t0 + α) e uma unica x : I → E continuamente

diferenciavel em I tal que

x′(t) = f(t, x(t)), t ∈ I (∗)x(t0) = x0 (∗∗)x ∈ C1(I;R) (∗ ∗ ∗)(t, x(t)) ∈ U, t ∈ I

uma unica solucao do P.V.I.Observemos que, do teorema fundamental do Calculo, as condicoes (*), (**) e (***) sao

equivalentes a

x(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, x(s)) ds, t ∈ I. (∗ ∗ ∗∗)

De fato, pois x satisafaz a EDO se, e somente se,∫ t

t0

x′(s) ds =∫ t

t0

f(s, x(s)) ds,

do teorema fundamental do Calculo sera equivalente a

x(t)− x(t0) =∫ t

t0

f(s, x(s)) ds,

e como x(t0) = x0 teremos (****).Escolhamos α, β > 0 tais que

1. I ×B[x0; β] ⊆ U , que e possıvel pois U e um subconjunto aberto de R×E e (t0, x0) ∈ U ;

2. exista M > 0 tal que|f(t, x)| ≤ M

para todo (t, x) ∈ I × B[x0; β], que e possıvel pois f e contınua em U , logo sera limitadanuma vizinhanca limitada de (t0, x0) em R× U ;

3. tenhamosα.M ≤ β e α.c < 1,

que e possıvel se tomarmos α > 0 suficientemente pequeno.

Como isto podemos considerar o espaco metrico C(I; B[x0; β]) formado pelas funcoes contınuasx : I → B[x0; β], munido da metrica da convergencia uniforme, que e um espaco metrico com-pleto.

De fato, pois como (E, ‖.‖E) e um espaco de Banach e B[x0; β] e um subconjunto fechadode (E, ‖.‖E), segue que (B[x0; β], ‖.‖E) e um espaco metrico completo.


Consideremos a aplicacao

T : C(I;B[x0;β]) → F(I;E)

dada por

[T (x)](t) .= x0 +∫ t

t0

f(s, x(s)) ds, t ∈ I,

para x ∈ C(I; B[x0; β]).Observemos que

1. T (x) ∈ C(I;E), pois e uma integral definida no intervalo [t0, t] da funcao contınua ems → f(s, x(s));

2. [T (x)](t) ∈ B[x0; β] para todo t ∈ I, pois para todo t ∈ I temos

‖[T (x)](t)− x0‖E = ‖[x0 +∫ t

t0

f(s, x(s)) ds]− x0‖E

≤∫ t

t0

‖f(s, x(s))‖E ds[(s,x(s))∈I×B[x0;β]]

≤∫ t

t0

M ds

≤ M(t− t0) ≤ M.α ≤ β

3. [T (x)] : I → B[x0; β] e lischitziana em I, pois se t, t′ ∈ I temos que

‖[T (x)](t)− [T (x)](t′)‖E = ‖[x0 +∫ t

t0

f(s, x(s)) ds]− [x0 +∫ t′

t0

f(s, x(s)) ds]‖E

= ‖∫ t

t′f(s, x(s)) ds‖E ≤ |

∫ t

t′‖f(s, x(s))‖E ds|

[‖f(s,x(s))‖E≤M ]

≤ |∫ t

t′M ds| ≤ M |t− t′|.

Em particular, T (x) : I → B[x0;β] e contınua em I, ou seja, T (x) ∈ C(I;B[x0;β]).

4. Dos itens acima segue que T e uma aplicacao do espaco metrico completo C(I; B[x0; β])em si mesmo.

5. Se x, y ∈ C(I; B[x0; β]) temos

‖[T (x)]− [T (y)]‖sup = supt∈I

‖[x0 +∫ t

t0

f(s, x(s)) ds]− [x0 +∫ t

t0

f(s, y(s)) ds]‖E

= supt∈I

‖∫ t

t0

[f(s, x(s))− f(s, y(s))] ds‖E

≤ supt∈I

|∫ t

t0

‖f(s, x(s))− f(s, y(s))‖E ds|

≤ sups∈I

‖f(s, x(s))− f(s, y(s))‖Eα ≤ α.c. sups∈I

‖x(s)− y(s)‖E

≤ α.c.‖x− y‖sup,

ou seja, T e uma contracao (pois α.c < 1) do espaco metrico completo C(I; B[x0; β]) emsi mesmo.


Logo, do teorema de ponto fixo de Banach, segue que existe uma unica x ∈ C(I;B[x0;β])tal que

x = T (x),

isto e, para todo t ∈ I temos

x(t) = x0 +∫ t

t0

f(s, x(s)) ds,

que, siginifica uma unica solucao do P.V.I. dado inicialmente.


Capıtulo 9

Bibliografia

[ 1 ] E.L. Lima - Espacos Metricos - Projeto Euclides, IMPA, 1977.

[ 2 ] G.F. Simmons - Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, 1963

[ 3 ]S. Lipschutz - Topologia Geral, McGraw-Hill do Brasil, 1973.

315

Education

Espaços metricos