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# Estrutura de Dados # Aula 13 – Árvores conceito, elementos, tipos e utilizações Prof. Leinylson Fontinele Pereira

Estrutura de Dados Aula 13 - Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

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# Estrutura de Dados #Aula 13 – Árvores

conceito, elementos, tipos e utilizaçõesProf. Leinylson Fontinele Pereira

Na aula anterior...

Listas Duplamente Encadeadas# Propriedades

# Operações fundamentais

12:17Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Introdução

12:17 3Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

O que vamos aprender?

Árvores# Conceito

# Componentes

# Tipos de árvores

# Onde são utilizadas?

12:17Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Vamos começar?

12:17 5Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:17

O que é uma Árvore?

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12:18

Algumas Árvores...

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O que é uma Árvore?

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São um tipo especial de grafo

Qualquer par de vértices (nós) estáconectado a apenas uma aresta

Grafo conexo (todos estão conectados)

Acíclico (não possui ciclos)Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Formas de Representação

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Grafo

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Diagrama de Venn

O que é uma Árvore?

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Árvores

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As árvores são uma das estrutura de dadosmais importantes da área da computação Utilizada em muitas aplicações do mundo real Os relacionamentos lógicos entre os dados

representam alguma dependência de hierarquiaou composição entre os nodos;

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Árvores: Conceitos Básicos

12:18

As linhas que unem 2 nodos representam os relacionamentos lógicos e as dependências de subordinação existentes entre eles

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Árvores: Conceitos Básicos

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Relacionamentos de subordinação, formando hierarquias, podemapresentar diferentes significados

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Hierarquia de Especialização

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Hierarquia de Composição

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Hierarquia de Dependência

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Representação Gráfica de uma Árvore

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Terminologia

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A terminologia não é padronizada;

Existem nomes diferentes para osmesmos conceitos em diferentespublicações.

Terminologia

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Raiz (root) Todos os outros nós da árvore são subordinados a ele

O acesso a todos os nós é sempre a partir dele

Nós descendentes: Relação de dependência com o nó mais acima

Terminologia

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Caso o número de nós seja diferentede zero, existe sempre uma raiz;

Caso o número de nós seja zero, édenominada vazia.

Terminologia

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Terminologia

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Subárvore Conjunto de nós subordinados a um único nó, externo a esta subárvore

Terminologia

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Grau de Um Nó

Número de subárvores que são subordinadas diretamente a esse nó.

Grau de uma Árvore

É o maior valor dentre os graus de todos os seus nós.

Terminologia

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Terminologia

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Folha ou Terminal (externo) São os nós de grau zero

Nó de derivação (interno)

Nós de grau maior do que zero e que apresentam uma subárvore

Terminologia

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Terminologia

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Nível de um Nó

Número de ligações entre este nó e a raiz da árvore mais um

Caminho

Sequência de nós consecutivos distintos entre dois nós

Comprimento do Caminho

Número de níveis entre os dois nós menos um

Terminologia

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Terminologia

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Altura ou Profundidade

É o número de nós do maior caminho deste nó até um deseus descendentes-folha

A altura de uma árvore é igual ao maior nível de seus nós

Todos os nós folha tem altura 1.

Terminologia

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Floresta

Conjunto de zero ou mais árvores disjuntas

Árvore ordenada

Quando a ordem de suas subárvores é relevante para aaplicação que está sendo representada através destaestrutura de dados.

Terminologia

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Árvore Binária (Binary Tree)

12:18

Quando apresentar no máximo grau 2 em cada nó

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Árvore Binária (Binary Tree)

12:18

O grau de cada nó pode ser 0, 1 ou 2

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Árvore Estritamente Binária

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Cada nó possui 0 ou 2 subárvores

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Árvore Binária (Binary Tree)

12:18

Quando apresentar no máximo grau 2 em cada nó

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Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita

12:18

Conhecida como inorder traversal, ou varreduracentral, ou varredura infixa.

Na varredura e‐r‐d visitamos

1. A subárvore esquerda da raiz, em ordem e‐r‐d

2. A raiz

3. Finalmente a subárvore direita da raiz, em ordem e‐r‐d

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Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita

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Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita

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Árvore Binária: Varredura raiz‐esquerda‐direita

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Conhecida como preorder traversal, ou varredura empré‐ordem, ou varredura prefixa.

Na varredura r‐e‐d visitamos

1. Visita a raiz

2. Percorre a subárvore esquerda em pré-ordem

3. Percorre a subárvore direita em pré-ordem

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Árvore Binária: Varredura esquerda‐direita‐raiz

12:18

Conhecida como postorder traversal, ou varredura empós‐ordem, ou varredura posfixa.

Na varredura e‐d‐r visitamos

1. Percorre a subárvore esquerda em pós-ordem

2. Percorre a subárvore direita em pós-ordem

3. Visita a raiz

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Árvore Binária: Tipos de Varreduras

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Árvore Binária: Contagem dos Nós

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Árvores Binárias de Busca

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Considere uma árvore bináriacujos nós têm um campo chavede um tipo linearmenteordenado, ou seja, de um tipo(como números, caracteres, estrings) que admitecomparações.

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Árvores Binárias de Busca

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Uma árvore binária é de busca (em relação ao campo chave)se cada nó X tem a seguinte propriedade:

A chave de X é maior ou igual à chave de qualquer nó na subárvoreesquerda de X e menor ou igual à chave de qualquer nó na subárvoredireita de X.

Em outras palavras, se x é um nó qualquer então y->chave ≤x->chave ≤ z->chave para todo nó y na subárvore esquerdade x e todo nó z na subárvore direita de x.

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Árvores Binárias de Busca

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Árvores Binárias de Busca: versão recursiva

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Árvores Binárias de Busca: versão iterativa

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Árvores Binárias de Busca: versão iterativa

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

No pior caso, a busca consome tempo proporcional à alturada árvore. Se a árvore for balanceada, o consumo seráproporcional a log n , sendo n o número de nós.

Esse tempo é da mesma ordem que a busca binária num vetorordenado.

Árvores Binárias de Busca: Inserção

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Considere o seguinte problema: Inserir um novo nó, com chave k, emuma árvore de busca. É claro que a árvore resultante deve também serde busca. O novo nó tem a forma de uma folha avulsa e pode ser criadoassim:

Árvores Binárias de Busca: Inserção

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Árvores Binárias de Busca: Remoção

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Problema: Remover um nó de uma árvore de busca de talforma que a árvore continue sendo de busca.

Comecemos tratando do caso em que o nó a ser removido é araiz da árvore. Se a raiz não tem um dos filhos, basta que ooutro filho assuma o papel de raiz. Senão, faça com que o nóanterior à raiz na ordem e-r-d assuma o papel de raiz.

Árvores Binárias de Busca: Remoção

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Árvores Binárias de Busca: Remoção

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Árvores Binárias de Busca: Remoção

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

A exclusão de um nó é um processo mais complexo. Para excluir um nó de umaárvore binária de busca, há de se considerar três casos distintos para a exclusão:

Árvores Binárias de Busca: Remoção

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Exclusão na folha A exclusão na folha é a mais simples, basta removê-lo da árvore.

Árvores Binárias de Busca: Remoção

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Exclusão de um nó com um filho Excluindo-o, o filho sobe para a posição do pai.

Árvores Binárias de Busca: Remoção

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Exclusão de um nó com dois filhos Neste caso, pode-se operar de duas maneiras diferentes. Pode-se substituir o

valor do nó a ser retirado pelo valor sucessor (o nó mais à esquerda da subárvoredireita)

Ou pelo valor antecessor (o nó mais à direita da subárvore esquerda),removendo-se aí o nó sucessor (ou antecessor).

Árvores Binárias de Busca: Remoção

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Árvore 𝑛-ária

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Quando apresentar no máximo grau 𝑛 em cada nó

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Árvore Isomorfa

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Quando é possível que se tornem coincidentesatravés de uma permutação na ordem dassubárvores de seus nós

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Árvores Balanceadas (Equilibrada)

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É aquela na qual existe umadistribuição equilibrada entreos nós da árvore

Existe uma diferença mínimaentre todas as folhas e a raiz.

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Árvores Cheia ou Completamente Balanceada

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É aquela em que todas as folhas estão a umadistância igual da raiz.

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Árvore Binária Quase Completa

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A diferença de altura entre as subárvores dequalquer nó é no máximo 1.

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Árvores AVL

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Árvore balanceada pela altura

As alturas das duas subárvores a partir de cadanó diferem no máximo em uma unidade

As operações de busca, inserção e remoção deelementos possuem complexidadeO(log n)

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Árvores AVL

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Árvores AVL: Rotação

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Uma rotação simples ocorre quando um nó estádesbalanceado e seu filho estiver no mesmosentido da inclinação, formando uma linha reta.

Uma rotação-dupla ocorre quando um nó estiverdesbalanceado e seu filho estiver inclinado nosentido inverso ao pai, formando um “joelho”.

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Árvores AVL: Rotação

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Para garantirmos as propriedades da árvoreAVL rotações devem ser feitas conforme necessárioapós operações de remoção ou inserção.

Seja P o nó pai, FE o filho da esquerdade P e FD o filho da direita de P podemos definir 4tipos diferentes de rotação:

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Árvores AVL: Rotação à Direita

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Árvores AVL: Rotação à Esquerda

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvores AVL: Rotação Dupla à Direita

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvores AVL: Rotação Dupla à Esquerda

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvore Rubro Negra

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Nas árvores rubro-negras, os nós folhas não sãorelevantes e não contém dados.

Estas folhas não precisam ser mantidas emmemória de computador, basta apenas umponteiro para nulo para identificá-las.

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Árvore Rubro Negra

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvore Rubro Negra

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Um nó é vermelho ou preto.

A raiz é preta.

Todas as folhas(nil) são pretas.

Ambos os filhos de todos os nós vermelhos são pretos.

Todo caminho de um dado nó para qualquer de seus nósfolhas descendentes contem o mesmo número de nós pretos.

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Operações Básicas

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Criação de uma árvoreAlocação das variáveis necessárias para a definição da árvoreAs demais operações são habilitadas depois disso

Inserção de um novo nóComo raizComo folhaComo uma posição intermediária

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Operações Básicas

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Exclusão de um Nó Quando não se realiza sobre uma folha, precisa reorganizar a árvore

Acesso a um Nó

Destruição de uma árvoreEstrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Operações Básicas

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PaiDado um determinado nó, retorna o endereço do nó

imediatamente superior

TamanhoRetorna o número total de nós de uma árvore

AlturaRetorna a altura da árvore

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Árvores Usando Contiguidade Física

12:18

Não é intuitiva como era no caso das Listas Lineares

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Árvores Usando Contiguidade Física

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

A(3) B(1) C(0) D(4) E(0) F(0) G(0) H(0) I(0)

A(3) B(1) E(0) C(0) D(4) F(0) G(0) H(0) I(0)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vantagens Usando Contiguidade Física

12:18

Eficiente em termos de espaço,principalmente quando o grau não variamuito

Implementação é mais simples se existirlimitação do número de descendentes.

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Desvantagens Usando Contiguidade Física

12:18

Implementação não constitui uma boarepresentação física de árvores

Dificuldade de seguir a hierarquia implícitanestas estruturas ao manipular a árvore

Inserção e Remoção demoradaEstrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvore Ternária Usando Contiguidade Física

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

A B C D ʎ E ʎ ʎ ʎ ʎ F G ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Árvores Implementadas por Encadeamento

12:18

O acesso se dá sempre pela raiz

Os demais nós são alcançados somente pelos endereços dos elos

A hierarquia de subordinação, implícita nas árvores, ficaperfeitamente representada.

Todos os nós da árvore deve apresentar a mesma estrutura.

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Árvores Implementadas por Encadeamento

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

A

B / / C / / / D /

E / / / F / / / G / / /

Vantagens da Implementação por Encadeamento

12:18

É bastante Intuitiva

Inserção e Remoção são simples, constituindobasicamente na atualização de endereços noscampos de elo de alguns nós.

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Desvantagens da Implementação por Encadeamento

12:18

Árvores cujos nós têm grau variado apresentamgeralmente muitos campos de elo ociosos

O Acesso aos nós pode ser dificultado devido ànecessidade de acessar qualquer nós sempreatravés da raiz.

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Concluindo ...

12:18 87Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Exercício 1

12:18

Considere a árvore com representação aninhada

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

( A ( B ) ( C ( F ( H ) ( I ) )) ( D) ( E ( G ) ) )

Exercício 2

12:18

Quantas subárvores esta árvore contém?

Quais os nós-folha?

Qual o grau de cada nó?

Qual o grau da árvore?

Liste os ancestrais dos nós B, G e I.

Liste os nós de quem C é ancestral próprio.

Liste os nós de quem D é descendente próprio.

Dê o nível e a altura do nó F e A.

Qual a altura da árvore?Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Nesta aula aprendemos... Árvores

# Conceito

# Componentes

# Tipos de árvores

# Onde são utilizadas?

12:18Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Material: https://sites.google.com/site/leinylsonnassau

12:18

Material baseado nas aulas de:

Árvores, Cristiano Pires Martins

Árvores binárias, Paulo Feofiloff

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Na próxima aula veremos...

Técnicas de Pesquisa e Ordenação# Conceitos

# Algoritmos

12:18Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Alguma Dúvida?

12:18

Até a próxima aula...

[email protected]

Prática

12:18 94

As aulas práticas foram baseadas no material de

Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes.

Disponível em: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:18 95

Árvore Binária

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvore Binária: Implementação

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Em uma Árvore Binária podemos realizar as seguintes operações Criação da árvore Inserção de um elemento Remoção de um elemento Acesso a um elemento Destruição da árvore

Essas operações dependem do tipo de alocação de memória usada Estática (heap) Dinâmica (lista encadeada)

Árvore Binária: Alocação Estática

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Uso de um array

Usa duas funções para retornar a posição dos filhos à esquerda e àdireita de um pai

Árvore Binária: Alocação Dinâmica

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Cada nó da árvore é tratado como um ponteiro alocado dinamicamentea medida que os dados são inseridos

Árvore Binária: Alocação Dinâmica

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Para guardar o primeiro nó da árvore utilizamos um ponteiro paraponteiro. Assim, fica fácil mudar quem é a raíz da árvore (se necessário)

Árvore Binária

12:18

ArvoreBinaria.h Os protótipos das funções O tipo de dado armazenado na árvore O ponteiro árvore

ArvoreBinaria.c

O tipo de dados árvore

Implementar as suas funçõesEstrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:18 101

Definindo a ÁrvoreBinária

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Definindo a Árvore Binária

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:18 103

Criando a ÁrvoreBinária

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Criando a Árvore Binária

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:18 105

Destruindo a ÁrvoreBinária

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Destruindo a Árvore Binária

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Destruindo a Árvore Binária

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:18 108

Árvore Vazia?

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvore Vazia?

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:18 110

Altura da Árvore

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Altura da Árvore

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Altura da Árvore

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:18 113

Número de nós

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Número de nós

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Número de nós

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

12:18 116

Árvores Balanceadas

Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvores Balanceadas

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Árvores Balanceadas

12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)