Upload
leinylson-fontinele
View
195
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
# Estrutura de Dados #Aula 13 – Árvores
conceito, elementos, tipos e utilizaçõesProf. Leinylson Fontinele Pereira
Na aula anterior...
Listas Duplamente Encadeadas# Propriedades
# Operações fundamentais
12:17Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
O que vamos aprender?
Árvores# Conceito
# Componentes
# Tipos de árvores
# Onde são utilizadas?
12:17Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Vamos começar?
12:17 5Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:17
O que é uma Árvore?
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18
Algumas Árvores...
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
O que é uma Árvore?
12:18
São um tipo especial de grafo
Qualquer par de vértices (nós) estáconectado a apenas uma aresta
Grafo conexo (todos estão conectados)
Acíclico (não possui ciclos)Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Formas de Representação
12:18
Grafo
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Diagrama de Venn
O que é uma Árvore?
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores
12:18
As árvores são uma das estrutura de dadosmais importantes da área da computação Utilizada em muitas aplicações do mundo real Os relacionamentos lógicos entre os dados
representam alguma dependência de hierarquiaou composição entre os nodos;
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores: Conceitos Básicos
12:18
As linhas que unem 2 nodos representam os relacionamentos lógicos e as dependências de subordinação existentes entre eles
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores: Conceitos Básicos
12:18
Relacionamentos de subordinação, formando hierarquias, podemapresentar diferentes significados
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Hierarquia de Especialização
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Hierarquia de Composição
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Hierarquia de Dependência
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Representação Gráfica de uma Árvore
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
A terminologia não é padronizada;
Existem nomes diferentes para osmesmos conceitos em diferentespublicações.
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Raiz (root) Todos os outros nós da árvore são subordinados a ele
O acesso a todos os nós é sempre a partir dele
Nós descendentes: Relação de dependência com o nó mais acima
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Caso o número de nós seja diferentede zero, existe sempre uma raiz;
Caso o número de nós seja zero, édenominada vazia.
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Subárvore Conjunto de nós subordinados a um único nó, externo a esta subárvore
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Grau de Um Nó
Número de subárvores que são subordinadas diretamente a esse nó.
Grau de uma Árvore
É o maior valor dentre os graus de todos os seus nós.
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Folha ou Terminal (externo) São os nós de grau zero
Nó de derivação (interno)
Nós de grau maior do que zero e que apresentam uma subárvore
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Nível de um Nó
Número de ligações entre este nó e a raiz da árvore mais um
Caminho
Sequência de nós consecutivos distintos entre dois nós
Comprimento do Caminho
Número de níveis entre os dois nós menos um
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Altura ou Profundidade
É o número de nós do maior caminho deste nó até um deseus descendentes-folha
A altura de uma árvore é igual ao maior nível de seus nós
Todos os nós folha tem altura 1.
Terminologia
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Floresta
Conjunto de zero ou mais árvores disjuntas
Árvore ordenada
Quando a ordem de suas subárvores é relevante para aaplicação que está sendo representada através destaestrutura de dados.
Árvore Binária (Binary Tree)
12:18
Quando apresentar no máximo grau 2 em cada nó
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária (Binary Tree)
12:18
O grau de cada nó pode ser 0, 1 ou 2
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Estritamente Binária
12:18
Cada nó possui 0 ou 2 subárvores
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária (Binary Tree)
12:18
Quando apresentar no máximo grau 2 em cada nó
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita
12:18
Conhecida como inorder traversal, ou varreduracentral, ou varredura infixa.
Na varredura e‐r‐d visitamos
1. A subárvore esquerda da raiz, em ordem e‐r‐d
2. A raiz
3. Finalmente a subárvore direita da raiz, em ordem e‐r‐d
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária: Varredura esquerda‐raiz‐direita
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária: Varredura raiz‐esquerda‐direita
12:18
Conhecida como preorder traversal, ou varredura empré‐ordem, ou varredura prefixa.
Na varredura r‐e‐d visitamos
1. Visita a raiz
2. Percorre a subárvore esquerda em pré-ordem
3. Percorre a subárvore direita em pré-ordem
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária: Varredura esquerda‐direita‐raiz
12:18
Conhecida como postorder traversal, ou varredura empós‐ordem, ou varredura posfixa.
Na varredura e‐d‐r visitamos
1. Percorre a subárvore esquerda em pós-ordem
2. Percorre a subárvore direita em pós-ordem
3. Visita a raiz
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária: Tipos de Varreduras
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária: Contagem dos Nós
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca
12:18
Considere uma árvore bináriacujos nós têm um campo chavede um tipo linearmenteordenado, ou seja, de um tipo(como números, caracteres, estrings) que admitecomparações.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca
12:18
Uma árvore binária é de busca (em relação ao campo chave)se cada nó X tem a seguinte propriedade:
A chave de X é maior ou igual à chave de qualquer nó na subárvoreesquerda de X e menor ou igual à chave de qualquer nó na subárvoredireita de X.
Em outras palavras, se x é um nó qualquer então y->chave ≤x->chave ≤ z->chave para todo nó y na subárvore esquerdade x e todo nó z na subárvore direita de x.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca: versão recursiva
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca: versão iterativa
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca: versão iterativa
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
No pior caso, a busca consome tempo proporcional à alturada árvore. Se a árvore for balanceada, o consumo seráproporcional a log n , sendo n o número de nós.
Esse tempo é da mesma ordem que a busca binária num vetorordenado.
Árvores Binárias de Busca: Inserção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Considere o seguinte problema: Inserir um novo nó, com chave k, emuma árvore de busca. É claro que a árvore resultante deve também serde busca. O novo nó tem a forma de uma folha avulsa e pode ser criadoassim:
Árvores Binárias de Busca: Inserção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca: Remoção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Problema: Remover um nó de uma árvore de busca de talforma que a árvore continue sendo de busca.
Comecemos tratando do caso em que o nó a ser removido é araiz da árvore. Se a raiz não tem um dos filhos, basta que ooutro filho assuma o papel de raiz. Senão, faça com que o nóanterior à raiz na ordem e-r-d assuma o papel de raiz.
Árvores Binárias de Busca: Remoção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca: Remoção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Binárias de Busca: Remoção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
A exclusão de um nó é um processo mais complexo. Para excluir um nó de umaárvore binária de busca, há de se considerar três casos distintos para a exclusão:
Árvores Binárias de Busca: Remoção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Exclusão na folha A exclusão na folha é a mais simples, basta removê-lo da árvore.
Árvores Binárias de Busca: Remoção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Exclusão de um nó com um filho Excluindo-o, o filho sobe para a posição do pai.
Árvores Binárias de Busca: Remoção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Exclusão de um nó com dois filhos Neste caso, pode-se operar de duas maneiras diferentes. Pode-se substituir o
valor do nó a ser retirado pelo valor sucessor (o nó mais à esquerda da subárvoredireita)
Ou pelo valor antecessor (o nó mais à direita da subárvore esquerda),removendo-se aí o nó sucessor (ou antecessor).
Árvores Binárias de Busca: Remoção
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore 𝑛-ária
12:18
Quando apresentar no máximo grau 𝑛 em cada nó
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Isomorfa
12:18
Quando é possível que se tornem coincidentesatravés de uma permutação na ordem dassubárvores de seus nós
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Balanceadas (Equilibrada)
12:18
É aquela na qual existe umadistribuição equilibrada entreos nós da árvore
Existe uma diferença mínimaentre todas as folhas e a raiz.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Cheia ou Completamente Balanceada
12:18
É aquela em que todas as folhas estão a umadistância igual da raiz.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária Quase Completa
12:18
A diferença de altura entre as subárvores dequalquer nó é no máximo 1.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores AVL
12:18
Árvore balanceada pela altura
As alturas das duas subárvores a partir de cadanó diferem no máximo em uma unidade
As operações de busca, inserção e remoção deelementos possuem complexidadeO(log n)
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores AVL: Rotação
12:18
Uma rotação simples ocorre quando um nó estádesbalanceado e seu filho estiver no mesmosentido da inclinação, formando uma linha reta.
Uma rotação-dupla ocorre quando um nó estiverdesbalanceado e seu filho estiver inclinado nosentido inverso ao pai, formando um “joelho”.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores AVL: Rotação
12:18
Para garantirmos as propriedades da árvoreAVL rotações devem ser feitas conforme necessárioapós operações de remoção ou inserção.
Seja P o nó pai, FE o filho da esquerdade P e FD o filho da direita de P podemos definir 4tipos diferentes de rotação:
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores AVL: Rotação à Direita
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores AVL: Rotação à Esquerda
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores AVL: Rotação Dupla à Direita
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores AVL: Rotação Dupla à Esquerda
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Rubro Negra
12:18
Nas árvores rubro-negras, os nós folhas não sãorelevantes e não contém dados.
Estas folhas não precisam ser mantidas emmemória de computador, basta apenas umponteiro para nulo para identificá-las.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Rubro Negra
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Rubro Negra
12:18
Um nó é vermelho ou preto.
A raiz é preta.
Todas as folhas(nil) são pretas.
Ambos os filhos de todos os nós vermelhos são pretos.
Todo caminho de um dado nó para qualquer de seus nósfolhas descendentes contem o mesmo número de nós pretos.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Operações Básicas
12:18
Criação de uma árvoreAlocação das variáveis necessárias para a definição da árvoreAs demais operações são habilitadas depois disso
Inserção de um novo nóComo raizComo folhaComo uma posição intermediária
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Operações Básicas
12:18
Exclusão de um Nó Quando não se realiza sobre uma folha, precisa reorganizar a árvore
Acesso a um Nó
Destruição de uma árvoreEstrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Operações Básicas
12:18
PaiDado um determinado nó, retorna o endereço do nó
imediatamente superior
TamanhoRetorna o número total de nós de uma árvore
AlturaRetorna a altura da árvore
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Usando Contiguidade Física
12:18
Não é intuitiva como era no caso das Listas Lineares
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Usando Contiguidade Física
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
A(3) B(1) C(0) D(4) E(0) F(0) G(0) H(0) I(0)
A(3) B(1) E(0) C(0) D(4) F(0) G(0) H(0) I(0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vantagens Usando Contiguidade Física
12:18
Eficiente em termos de espaço,principalmente quando o grau não variamuito
Implementação é mais simples se existirlimitação do número de descendentes.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Desvantagens Usando Contiguidade Física
12:18
Implementação não constitui uma boarepresentação física de árvores
Dificuldade de seguir a hierarquia implícitanestas estruturas ao manipular a árvore
Inserção e Remoção demoradaEstrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Ternária Usando Contiguidade Física
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
A B C D ʎ E ʎ ʎ ʎ ʎ F G ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Árvores Implementadas por Encadeamento
12:18
O acesso se dá sempre pela raiz
Os demais nós são alcançados somente pelos endereços dos elos
A hierarquia de subordinação, implícita nas árvores, ficaperfeitamente representada.
Todos os nós da árvore deve apresentar a mesma estrutura.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Implementadas por Encadeamento
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
A
B / / C / / / D /
E / / / F / / / G / / /
Vantagens da Implementação por Encadeamento
12:18
É bastante Intuitiva
Inserção e Remoção são simples, constituindobasicamente na atualização de endereços noscampos de elo de alguns nós.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Desvantagens da Implementação por Encadeamento
12:18
Árvores cujos nós têm grau variado apresentamgeralmente muitos campos de elo ociosos
O Acesso aos nós pode ser dificultado devido ànecessidade de acessar qualquer nós sempreatravés da raiz.
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Concluindo ...
12:18 87Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Exercício 1
12:18
Considere a árvore com representação aninhada
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
( A ( B ) ( C ( F ( H ) ( I ) )) ( D) ( E ( G ) ) )
Exercício 2
12:18
Quantas subárvores esta árvore contém?
Quais os nós-folha?
Qual o grau de cada nó?
Qual o grau da árvore?
Liste os ancestrais dos nós B, G e I.
Liste os nós de quem C é ancestral próprio.
Liste os nós de quem D é descendente próprio.
Dê o nível e a altura do nó F e A.
Qual a altura da árvore?Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Nesta aula aprendemos... Árvores
# Conceito
# Componentes
# Tipos de árvores
# Onde são utilizadas?
12:18Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Material: https://sites.google.com/site/leinylsonnassau
12:18
Material baseado nas aulas de:
Árvores, Cristiano Pires Martins
Árvores binárias, Paulo Feofiloff
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Na próxima aula veremos...
Técnicas de Pesquisa e Ordenação# Conceitos
# Algoritmos
12:18Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Prática
12:18 94
As aulas práticas foram baseadas no material de
Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes.
Disponível em: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18 95
Árvore Binária
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Binária: Implementação
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Em uma Árvore Binária podemos realizar as seguintes operações Criação da árvore Inserção de um elemento Remoção de um elemento Acesso a um elemento Destruição da árvore
Essas operações dependem do tipo de alocação de memória usada Estática (heap) Dinâmica (lista encadeada)
Árvore Binária: Alocação Estática
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Uso de um array
Usa duas funções para retornar a posição dos filhos à esquerda e àdireita de um pai
Árvore Binária: Alocação Dinâmica
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Cada nó da árvore é tratado como um ponteiro alocado dinamicamentea medida que os dados são inseridos
Árvore Binária: Alocação Dinâmica
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Para guardar o primeiro nó da árvore utilizamos um ponteiro paraponteiro. Assim, fica fácil mudar quem é a raíz da árvore (se necessário)
Árvore Binária
12:18
ArvoreBinaria.h Os protótipos das funções O tipo de dado armazenado na árvore O ponteiro árvore
ArvoreBinaria.c
O tipo de dados árvore
Implementar as suas funçõesEstrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18 101
Definindo a ÁrvoreBinária
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Definindo a Árvore Binária
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18 103
Criando a ÁrvoreBinária
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Criando a Árvore Binária
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18 105
Destruindo a ÁrvoreBinária
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Destruindo a Árvore Binária
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Destruindo a Árvore Binária
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18 108
Árvore Vazia?
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvore Vazia?
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18 110
Altura da Árvore
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Altura da Árvore
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Altura da Árvore
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18 113
Número de nós
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Número de nós
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Número de nós
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
12:18 116
Árvores Balanceadas
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)
Árvores Balanceadas
12:18 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)