ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

3° Edificações

Grupo 4

INSTITUTO FEDERAL DE SERGIPE (CAMPUS LAGARTO)

Alunos:Andréa Neto;Cristian Valéria;Fernanda Lopes;Hortência Santana;Joana Sueveny;Laísa Fraga;Larissa Menezes;Luciana Venceslau;Natalia Ramos.

DEFINIÇÃO:

Equação reduzida da Circunferência 

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C aP(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

 Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será    x2 + y2 = r2 .

EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA

Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

A) P É EXTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA:

B) P PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA:

C) P É INTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA:

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão

( x - a )2 + ( y - b )2 - r2 .

Posição relativa entre ponto e reta e circunferência:

Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no plano:

a) A reta r é secante a circunferência; ambas possuem dois pontos em comum.

b) A reta r é tangente a circunferência; ambas possuem somente um ponto em comum.

c) A reta r é externa a circunferência e ambas não possuem nenhum ponto em comum. possuem somente um ponto em comum.

Utilizando-se a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, adaptado para a distância entre o centro da circunferência e a reta r de equação geralax + by + c = 0:

Podemos concluir a posição relativa entre a reta e a circunferência a partir dos seguintes dados:

a) se d < R a reta é secante à circunferência.b) se d = R a reta é tangente à circunferência.c) se d > R a reta é externa à circunferência.

Posição relativa entre ponto e circunferência

Utilizando-se o mesmo raciocínio do item anterior determina-se a distância entre o ponto P(xp, yp) e o centro da circunferência por

intermédio da fórmula:

•Se d > R o ponto é externo à circunferência.•Se d = R o ponto pertence à circunferência.• Se d o ponto é interno à circunferência.

Posição relativa entre duas circunferências:

 No estudo analítico da circunferência, os elementos raio, diâmetro e centro da circunferência são fundamentais para conclusões de diversos problemas e para a determinação da equação que define essa forma geométrica tão importante. Em se tratando de posições relativas entre duas circunferências, elas podem ser: tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Vamos analisar cada caso. 

Circunferências tangentes. 

a) Tangentes externas 

Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.

dOC = r1 + r2

b) Tangentes internas 

Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.

 

dOC = r1 - r2

Circunferências externas. 

Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.

 

  dOC > r1 + r2

Circunferências secantes. 

Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.

dCO < r1 + r2

Circunferências internas. 

Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.

dOC < r1 - r2

Circunferências concêntricas. 

Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.

dCO = 0 

AGORA VEJAMOS ALGUNS EXEMPLOS:

EXEMPLO 1:

Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(4;7) e raio R=2.

EXEMPLO 2:

Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2;3) e que passa pelo ponto P(-1;2).

EXEMPLO 3:

Ache a equação da circunferência cujas extremidades de mm diâmetro são os pontos

A(0;-8) e B(6;0).

REFERÊNCIAS:

http://www.brasilescola.com/matematica/circunferencia.htm

https://sites.google.com/site/geometriaanaliticaportifolio/calendar

http://mscabral.pro.br/sitemauro/aulas/circulo.htm