Estudo da reta

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Antonio Carlos Carneiro Barrosowww.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.profantoniocarneiro.comProfessor de MatemáticaColégio Estadual Dinah GonçalvesValéria-Salvador-Bahia

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Estudo da reta

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x

y

O (0, 0)

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

eixo das abscissas

eixo das ordenadas

Origem

Plano cartesiano

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P

x

y

O

4

3

P(3, 4)

Coordenadas no plano

3 é a abscissa de P;

4 é a ordenada de P;

3 e 4 são as coordenadas de P;

P(x, y)

Em geral:

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Sinais no plano

x

y

+

+

++

–

–

– –

y = 0

O( 0, 0)

x = 0

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Bissetrizes no plano

x

y

y = xy = –x

1ª bissetriz2ª bissetriz

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Equação da reta

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Equação geral da reta

A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles.

Retas paralelas aos eixos;Retas não-paralelas aos eixos;

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Retas paralelas aos eixos

A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano xOy.

x

y

O 4

2

r

s

Equação da reta r: x = 4

Equação da reta s: y = 2

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Retas paralelas ao eixo y

A figura mostra três retas r, s e t, contidas no plano cartesiano xOy.

x

y

O 3–2

r s Equação de r: x = –2

1

t

Equação de s: x = 1

Equação de t: x = 3

Geral: retas ∕∕ eixo y:

x = k

k é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x.

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Retas paralelas ao eixo x

A figura mostra três retas w, u e p, contidas no plano cartesiano xOy.

x

y

O

3

–1 p

u

Equação de w: y = 3

2w Equação de u: y = 2

Equação de p: y = –1

Geral: retas ∕∕ eixo x:

y = h

h é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.

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Retas não-paralelas aos eixos

A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).

x

y

O 3

1

r

2

3

P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão alinhados

x y 1

1 2 1

3 3 1

= 0

x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0

⇒ y – 2x + 3 = 0

A

BP(x, y)

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Equação geral da reta

Toda reta do plano cartesiano xOy está associada a uma equação de 1.º grau Ax + By + C = 0, com A, B e C reais, sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0.

A equação de uma reta pode ser escrita de infinitas formas, todas equivalentes.

2x – y – 3 = 0 4x – 2y – 6 = 0 6x – 3y – 9 = 0

... e assim por diante.

Cada uma dessas igualdades é uma equação geral da reta.

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Exemplos

Traçar no plano cartesiano xOy, a reta r de equação geral 3x + 2y – 5 = 0.

x = 1 ⇒ 3.1 + 2y – 5 = 0

⇒ 2y = 2

⇒ y = 1

x = 3 ⇒ 3.3 + 2y – 5 = 0

⇒ 2y = –4

⇒ y = –2

x

y

O3

1

r

–2

1

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Exemplos

Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação geral 5x + y – 9 = 0.

⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0

Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação.

M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0

⇒ 0 = 0

⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0

N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0

⇒ 11 ≠ 0

Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.

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Inclinação de uma reta

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40 m


Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m.

40 m

6 m

O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa.

6 mInclinação = tg α =

= 0,15= 15 %

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Vamos analisar agora duas situações extremas. Quando o carro percorre um trecho

horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).

α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0

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Vamos analisar agora duas situações extremas. O auto não sobe uma rampa

vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido).

α = 90o

⇓

Inclinação não se define.

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Q


Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no plano cartesiano xOy.

x

y

O

yQ

yP

xQxP

P

M

xQ – xP

yQ – yP

Inclinação = tg α

yQ– yP

xQ– xP

a = tg α =

xy

a =

r

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Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:

a = tg 30º =

x

y

O30ºM

3√3

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a = tg 45º = 1

x

y

O45ºM

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a = tg 60º = √3

x

y

O

60ºM

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x

y

O

120º

M

a = tg 120º = – tg 60º = –√3

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a = tg 135º = – tg 45º = – 1

x

y

O

135º

M

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a = tg 150º = – tg 30º =

x

y

O

150º

M

3–√3

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Exemplos

Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN.

x

y

Oα

M

N

–2 1

3

5

xN – xM

yN – yM a = tg α =

1 – (–2)5 – 3

a =

32

a = a > 0 e α é

agudo(α < 90º)

a) M(–2, 3) e N(1, 5)

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Exemplos


x

y

Oα

M

N–2

3

3

xN – xM


3 – (–2)–1 – 3

a =

5– 4

a = a < 0 e α é

obtuso(90º < α <

180º)

b) M(–2, 3) e N(3, –1)

–1

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Exemplos


x

y

O

M N

–1 3

3

xN – xM


1 – (–1)3 – 3

a =

a = 0

a = 0 ⇒ α = 0º (nulo)

c) M(–1, 3) e N(2, 3)

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Exemplos


x

y

O

M

N

–12

3

xN – xM


2 – 23 – (–1)

a =

a = não é definida

α = 90º (reto)

d) M(2, –1) e N(2, 3)

α

⇓

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Inclinação de uma reta - resumo

O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.

Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).

α = 0º ⇔ a = 0.

0º < α < 90º ⇔ a > 0.

α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida. 90º < α < 180º ⇔ a < 0.

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Exemplos

Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.

x

y

O 120º45º 45º

r st

ar = tg 45º = 1 as = tg 45º = 1

at = tg 120º

– √3= – tg 60º =

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Equação reduzida da reta

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Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.

Vamos obter a equação da reta r.

x

y

O

135º

A

2

3M(x, y)

xM – xA

yM – yA

a = tg 135º = –1.

x – 2

y – 3 –1 =

a =

y – 3 = –1(x – 2) y – 3 = –1x + 2 y = –1x +

5

⇒

y = –x + 5

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Equação reduzida da reta – Caso Geral

Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.

x

y

Oα

P

xP

yP

M (x, y) xM – xA

yM – yA

x – xP

y – yP a =

a =

y – yP = a(x – xP)

⇒

⇒ y – yP = ax – axP

⇒ y = ax + (–axP + yP)

⇒ y = ax + b


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Na equação reduzida y = ax + b, temos:

Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.

x = 0 ⇒ y = a.0 + b

⇒ y = b

O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta.

O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.

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Exemplos

Uma equação geral da reta r é 2x – y + 4 = 0. Escrever a equação na forma reduzida, indicar os coeficientes angular e linear e representar a reta no plano cartesiano xOy.

O coeficiente angular a = 2 e o coeficiente linear é b = 4.

2x – y + 4 = 0

⇒ –y = –2x – 4

⇒ y = 2x + 4

a = 2, o ângulo de inclinação α < 90º.

b = 4, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 4).

Vamos obter o ponto em que a reta corta o eixo x. Para isso, vamos fazer y = 0.

y = 0 ⇒ 2x – 0 + 4 = 0

⇒ 2x = –4

⇒ x = –2

⇒ (–2, 0)

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Exemplos

Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.

x

y

O

r

–2

4

y = 2x + 4

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Exemplos

O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta.

x

y

O

s

45º

2

y = ax + b

A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2.

α = 180º – 45º = 135ºa = tg 135º = –1.

y = – x + 2

⇒ x + y – 2 = 0

α

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Exemplos

Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3).

xA – xB

yA – yB

–2 – 16 –(–3)

a = x

y= =

Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.

–39

= ⇒ a = –3

Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação fundamental, em seguida a equação reduzida da reta. y – yP = a(x – xP)

⇒ y – 6 = –3(x + 2)

⇒ y – 6 = –3x – 6

⇒ y = –3x

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