MEEC- CONTROLO-06/02/09 pp. 1/5

EXAME 2; TESTES No.1, No.2 de CONTROLO

MEEC

Duração : Exame – 3.00 h; Testes – 2:00 h

4 de Fevereiro de 2009

Leia com cuidado o texto imediatamente a seguir a cada questão, antes de

começar a resolver as alíneas respectivas

COTAÇÕES

TESTE N0.1

Q1 - 1.1 [3v], 1.2 [4v], 1.3 [2v], 1.4 [2v] 11 valores

Q2 - 2.1[3v], 2.2 [4v], 2.3 [2v] 9 valores

TESTE N0.2

Q3 - 3.1 [10v], 3.2 [2v], 3.3 [4v], 3.4 [4v] 20 valores

EXAME

Q1 - 1.1 [2v], 1.2 [3v] 5 valores

Q2 - 2.1[2v], 2.2 [2v], 2.3 [1v] 5 valores

Q3 - 3.1 [6v], 3.2 [1v], 3.3 [3v] 10 valores

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Q.1 Na Figura 1 está representado o modelo físico simplificado de um manipulador robótico que roda no plano horizontal X-Y, em torno do eixo Z. O manipulador tem um único grau de liberdade e movimenta-se sob a acção de um binário externo Tm gerado por um motor eléctrico. No seu movimento transporta uma massa M e está sujeito à acção da gravidade. O ângulo θ é medido em relação à vertical do lugar.

Fig.1. Manipulador Robótico A dinâmica do manipulador com entrada Tm e saída θ rege-se pela equação diferencial onde J e L são respectivamente o momento de inércia e o comprimento do

manipulador, Dd/dt é o binário de atrito, e MgLsen() é o binário provocado pela força gravítica (despreza-se a massa do manipulador comparada com M). Os valores destes parâmetros são

g=10 m s-2

; J = 1 Kg m2 ; D = 9 N m s ; M = 4 Kg ; L = 0.5 m

Pretende-se controlar com grande precisão o manipulador em torno do ponto de

equilíbrio correspondente a Q1.1 Cálculo das condições de equilíbrio

Calcule o binário de equilíbrio Tm0 correspondente a (isto é, o binário

necessário para manter o manipulador parado em ).

2

2( ) m

d dJ D MgL sen T

dt dt

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Q1.2 Sistema linearizado

Consider agora o sistema P com entrada Tm e saída . Deduza a equação

diferencial linear que relaciona com mque representam respectivamente

pequenas variações de e m em torno do ponto de equilíbrio determinado

por Mostre que a função de transferência P(s) do sistema

linearizado é dada por

onde (s) e Tm(s) denotam respectivamente as transformadas de Laplace de

e m. Recorde que sen(e que cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b). Q1.3 Trace o diagrama de Bode assimptótico (módulo e fase) do sistema )(sP

especificado em Q1.2.

Q1.4 Diga justificadamente se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: Se o sistema com função de transferência P(s) for actuado por um uma função sinusoidal sen(t), então qualquer que seja a condição inicial do sistema, a resposta tende assimptóticamente para um função sinusoidal da mesma frequência, com amplitude 0,1. Q2. Pretende-se agora projectar um controlador em malha fechada para o sistema considerado em Q1.2. No que se segue, assume-se que o binário Tm é gerado por um sistema eléctrico tal que Tm=10u, onde u designa uma tensão de comando. Sendo assim, e continuando a chamar P(s) à função de transferência de

u para , adopte

Figura 2. Sistema de controlo em malha fechada.

Q2.1 Começe por considerar um simples controlador proporcional, tal como se especifica a seguir. O sistema de controlo em malha fechada está representado na

Figura 2, onde r é o sinal de referência (valor desejado para o ângulo , aqui denominado y). O controlador K(s) é um simples ganho k>0. Mostre que existe

( ) 1( )

( ) ( 1)( 10)m

sP s

T s s s

10( )

( 1)( 10)P s

s s

r e y u P(s)

K(s)

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K(s) P(s) r y

n

e

d

um valor do ganho k acima do qual o sistema em malha fechada se torna estável. Faça uma aplicação do traçado do diagrama de “Root-Locus”. Indique com clareza todos os passos (porções do diagrama sobre o eixo real, raízes múltiplas caso existam, assímptotas, e intersecções com o eixo imagináro). Q2.2 Pretende-se que o sistema em malha fechada da Figura 2 cumpra requisitos desejados para o tempo de estabelecimento desejado (em resposta a um escalão unitário). Sabe-se que essa especificação impõe que C1. a parte real dos pólos em malha fechada seja menor ou igual a -5 rads-1.

O controlador simples determinado em Q2.1 não permite satisfazer esta especificação. Com o objectivo de ultrapassar esta dificuldade considera-se a seguir um controlador com uma estrutura mais complexa.

Considere o sistema de controlo em malha fechada representado na Figura 2, onde o controlador K(s) é aproximado pela função de transferência

( ) ( 20) / 20; 0K s k s k

Mostre, recorrendo ao traçado do “Root-Locus”, que existe um valor de k>0 a partir do qual o sistema em malha fechada é estável e satisfaz a constrição C1. Indique com clareza todos os passos (porções sobre o eixo real, raízes múltiplas, e assímptotas. Q2.3 Mostre que o erros de posição do sistema considerado em Q2.2 é diferente de zero. Dê uma explicação intuitiva para este facto. Q.3 Considere o sistema de controlo da Figura 3, onde P(s) e K(s) representam respectivamente as funções de transferência do sistema a controlar e do controlador. Para além do sinal de referência r, o sistema está também sujeito à acção da perturbação d e do ruído n no sensor que mede a saída y.

Figura 3. Sistema de Controlo

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Q.3.1 Na Figura 3, suponha que (sistema motivado pelas questões Q1 e Q2). Mostre que com um simples controlador K(s)=k>0, com k a determinar, o sistema em malha fechada é estável e satisfaz os seguintes requisitos: i) Erro estacionário de seguimento de sinais constantes de comando r (módulo do erro estático de posição) menor ou igual a 10%. iii) Seguimento de sinais de referência r(.) na gama de frequências [0, 1] rad s-1

com erro menor ou igual a -20 db.

iv) Atenuação do ruído n(.) na gama de frequências [100, 1000] rad s-1 de pelo menos -40 db v) Margem de fase PM maior ou igual a 35o

vi) Margem de ganho positiva G+M maior ou igual a +20 db. Justifique todos os passos. Em particular, trace com rigor os diagramas de Bode assimptóticos e de Nyquist necessários. Traçados sem justificação não serão considerados. Q.3.2 Para o controlador determinado em Q.3.1, calcule a diminuição de ganho tolerável até que o sistema em malha fechada se torne instável.

Q.3.3 Suponha que existe um atraso seg na transmissão de informação entre o controlador K(s) e o sistema a controlar P(s). Calcule o valor máximo de

tolerado tal que o sistema de controlo determinado em Q.3.1 permaneça estável e exiba ainda uma margem de fase de pelo menos 200

Q.3.4 Investigue o comportamento do sistema de controlo (com o controlador determinado em Q.3.1) quando se insere um sensor com pequena largura de banda (ou seja, com fraco desempenho), com função de transferência p/(s+p); p=0.1 rads-1. Diga justificadamente se o sistema total permanece estável ou, pelo contrário, fica instável. Utilize o critério de Nyquist.

10

( 1)( 10)P(s)

s s