44
Celton Ribeiro Barbosa Prof. Gislan Silveira Santos Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia Programa de Educação Tutorial - PET Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha

Exercicios resolvidos

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Celton Ribeiro BarbosaProf. Gislan Silveira Santos

Apostila de Exercícios Resolvidos deCálculo

Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia daBahia

Programa de Educação Tutorial - PETTutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha

Page 2: Exercicios resolvidos

© 2014 Celton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan SilveiraSantos & Instituto Federal de Educação Ciência e

Tecnologia da Bahia.Programa de Educação Tutorial - PETTutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha

Qualquer parte desta publicação pode serreproduzida, desde que citada a fonte.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação(CIP) Câmara Brasileira do Livro, BA, Brasil

Barbosa, Celton Ribeiro; Santos, Gislan Silveira.Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo. / Cel-ton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos. –Vitória da Conquista-BA: Instituto Federal de Edu-cação Ciência e Tecnologia da Bahia. Ltda., 2014.

Bibliografia.ISBN XXXX-XXXX-XX.

1. Matemática. 2. Cálculo 1.

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 2

Page 3: Exercicios resolvidos

SUMÁRIO

1 Limites e Continuidade 2

2 Derivadas 22

1

Page 4: Exercicios resolvidos

CAPÍTULO 1

LIMITES E CONTINUIDADE

1. O ponto P (2, ln2) pertencente à curva y = ln x.

(a) Se Q é o ponto (x, ln x), use sua calculadora para determinar o coefi-ciente angular da reta secante PQ, com precisão de seis casas decimais,para os seguintes valores de x:

(i) 1,5(ii) 1,9(iii) 1,99(iv) 1,999

(v) 2,5(vi) 2,1(vii) 2,01(viii) 2,001

(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da retatangente à curva no ponto P (2, ln2).

(c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da retatangente à curva em P (2, ln2).

(d) Faça uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tan-gente.

Resolução:

(a) A equação da reta é dada por:

(y − y0) = m(x −x0)

onde m - coeficiente angular da reta.(x0, y0) - ponto onde se deseja encontrar a reta.

2

Page 5: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

y0 = ln2 e x0 = 2

m = y − ln2

x −2= lnx − l n2

x −2= ln(x/2)

x −2

(i) x = 1,5

m = ln(1,5/2)

1,5−2= 0,575364

(ii) x = 1,9

m = ln(1,9/2)

1,9−2= 0,512933

Os demais itens ficam a cargo do leitor.

x m1,5 0,5753641,9 0,512933

1,99 0,5012541,999 0,500125

2,5 0,4462872,1 0,487902

2,01 0,4987542,001 0,499875

(b) Os valores se aproximão de 0,5.

(c)y − ln2 = 0,5(x −2)

y = 0,5x + ln2−1

2. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suaspropriedades.

(a)limt→0

[√1+ 1

|t | −√

1

|t |

]Resolução:

|t | ={

t , se t > 0−t , se t < 0

Para t > 0:

limt→0

[√1+ 1

t−

√1

t

√1+ 1

t+

√1

t√1+ 1

t+

√1

t

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 3

Page 6: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

= limt→0

1+ 1

t− 1

t√1+ 1

t+

√1

t

= limt→0

1√1+ 1

t+

√1

t

= 0

Para t < 0:

limt→0

[√1+ 1

−t−

√1

−t

√1+ 1

−t+

√1

−t√1+ 1

−t+

√1

−t

= limt→0

1+ 1

−t− 1

−t√1+ 1

−t+

√1

−t

= limt→0

1√1+ 1

−t+

√1

−t

= 0

Como os limites laterais são iguais a resposta é 0.

(b)(1/

px)−1

1−xResolução:

limx→1

1−pxp

x

1−x= lim

x→1

(1−px)

(1−x)p

x· 1+p

x

1+px

limx→1

(1−x)

(1−x)p

x(1+px)

= limx→1

1px(1+p

x)= 1p

1(1+p1)

= 1

2

3. Esboce os gráficos da função abaixo e , use-o para determinar os valoresde a para os quais lim

x→af (x) exista:

(a) f (x) =

1+x , se x <−1x2 , se −1 ≤ x < 1

2−x , se x ≥ 1

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 4

Page 7: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

Resolução:

Figura 1.1: Gráfico de f(x)

4. Prove que o limx→0

|x|x

não existe.

Dicas:

• Os limite só existe se os limites laterais forem iguais.

• |x| ={

x , se x > 0−x , se x < 0

5. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é

m = m0p1− v2/c2

, em que m0 é a massa da partícula em repouso e c, a

velocidade da luz. O que acontece se v → c−?

Resolução

limx→c−

m0p1− v2/c2

= m0p1−1

=∞

6. Considere a função f definida por:

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 5

Page 8: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

f (x) ={

0 , se x é racional1 , se x é irracional

Para todo a ∈R, limx→a

f (x) não existe. Por quê?

Resolução:

Suponha que a ∈Q, então f (a) = 0, logo limx→a

f (x) = 0

Por outro lado, a 3Q, então f (a) = 0, logo limx→a

f (x) = 1

Como a ∈ R , então 3 limx→a

f (x), pois os limites laterais dessa função são

diferentes.

7. Calcule, se possível, os seguintes limites:

(g) limx→0

px +1−p

1−x

3x

(l) limx→1

x3 −1

x2 −1

(o) limt→9

9− t

3−pt

(t) limx→2

x4 −16

8−x3

(w) limx→7

2−px −3

x2 −49

Resolução:(a)

limx→0

px +1−p

1−x

3x·p

x +1+p1−xp

x +1+p1−x

limx→0

(x +1)− (1−x)

3x(p

x +1+p1−x)

limx→0

2x

3x(p

x +1+p1−x)

= 2

3(p

x +1+p1−x)

limx→0

px +1−p

1−x

3x= 2

3 · (1+1)= 2

6= 1

3

(b)

limx→1

x3 −1

x2 −1= lim

x→1

(x −1)(x2 +x +1)

(x −1)(x +1)

limx→1

x2 +x +1

x +1= 12 +1+1

1+1= 3

2

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 6

Page 9: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

(c)

limt→9

9− t

3−pt· 3+p

t

3+pt

limt→9

(9− t )(3+pt )

9− t= 3+p

9 = 6

(d)

limx→2

x4 −16

8−x3= lim

x→2

(x2 +4)(x2 −4)

(x −2)(−x2 −2x −4)

limx→2

(x2 +4)(x +2)(x −2)

(x −2)(−x2 −2x −4)

limx→2

(x2 +4)(x +2)

(−x2 −2x −4)=−8

3

(e)

limx→7

2−px −3

x2 −49· 2+p

x −3

2+px −3

limx→7

4−x +3

(x +7)(x −7)(2+px −3)

= −(x −7)

(x +7)(x −7)(2+px −3)

limx→7

= −1

(x +7)(2+px −3)

=− 1

56

8. Calcule, se existirem, os limites abaixo:

(a) limx→a

px −p

apx2 −a2

com a > 0

(b) limx→a

px −p

a +px −ap

x2 −a2com a > 0

(c) limx→0

(p1+x2 +x

)m −(p

1+x2 −x)m

xResolução

(a)

limx→a

px −p

apx2 −a2

= limx→a

px −p

ap(x −a)(x +a)

px −p

apx −a

px +a

·p

x +pap

x +pa

x −apx −a ·px +a · (

px +p

a)

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 7

Page 10: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

px −ap

x +a · (p

x +pa)

= 0

2p

a ·p2a= 0

(b)

limx→a

px −p

a +px −ap

x2 −a2

limx→a

px −p

a +px −ap

x −ap

x +a

limx→a

px −p

apx −a ·px +a

+ limx→a

px −ap

x −a ·px +a

limx→a

1px +a

= 1p2a

(c)

limx→0

(p1+x2 +x

)m −(p

1+x2 −x)m

x

m = 1

limx→0

(p1+x2 +x

)−

(p1+x2 −x

)x

= 2

m = 2

limx→0

(p1+x2 +x

)2 −(p

1+x2 −x)m

2= lim

x→0

2 6 x(2p

1+x2)

6 x = 4

.

.

.

Resolvendo mais limites para outros valores de m é possível observar oseguinte padrão: 2m

9. Mostre que o limx→0

x2 ·cos(20πx) = 0.

−1 ≤ cos(2πx) ≤ 1

−x2 ≤ x2 cos(2πx) ≤ x2

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 8

Page 11: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

Pelo teorema do confronto:

limx→0

−x2 = 0, limx→0

x2 = 0

limx→0

x2 cos(2πx) = 0

10. Calcule, pelo Teorema do Confronto, limx→+∞(

px +1−p

x).

Resolução:

limx→+∞(

px +1−p

x) · (p

x +1+pxp

x +1+px

= limx→+∞

1px +1+p

xp

x +1 >px ⇒ p

x +1+px > 2

px

limx→+∞

1px +1+p

x< 1

2p

x

0 < limx→+∞

1px +1+p

x< 1

2p

x

limx→∞0 = lim

x→∞1

2p

x= 0

Logolim

x→+∞(p

x +1−px) = 0

11. A função sinal, denotada por sgn, está definida por

sgn(x) =

−1 , se x < 00 , se x = 01 , se x > 0

Dica:

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 9

Page 12: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

Figura 1.2: Gráfico da função sinal

12. Considere a função f (x) = x2 −1

|x −1|Dica:

Figura 1.3: Gráfico da função f (x).

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 10

Page 13: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

13. Seja g (x) = x2 +x −6

|x −2| .

(a) Determine limx→2+

g (x) e limx→1−

g (x).

(b) Existe limx→1

g (x) ?

(c) Esboce o gráfico de g.

Dica:

Figura 1.4: Gráfico da função g (x).

14. Seja

h(x) =

x , se x < 0x2 , se 0 < x ≤ 2

8−x , se x > 2

(a) Calcule, se existirem, os limites.i. lim

x→0+h(x) ii. lim

x→0−h(x) iii. lim

x→0h(x) iv. lim

x→2−h(x) v. lim

x→2+h(x)

vi. limx→2

h(x)

(b) Esboce o gráfico da função h.

Dica:

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 11

Page 14: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

Figura 1.5: Gráfico da função h(x).

15. Determine os limites.

(a) limx→4

x −5

(x −4)2

Resolução:

limx→4

x −5 (Esse termo tende a -1)

(x −4)2 (Esse termo tende a 0)

y = (x −4)2

limy→0

−1

y=−∞

(b) limx→0

cos(x)

x · sen (x)Resolução:

limx→0

cos(x) (Esse termo tende a 1)

x · sen (x) (Esse termo tende a 0 )

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 12

Page 15: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

y = x · sen x

limy→0

1

y=∞

16. Calcule os limites:

(a) limx→+∞

1+2+3+ . . .+x

x2

(b) limx→+∞

12 +22 + . . .+x2

x3

Sugestão: Para (a)x∑

k=1k = x(x +1)

2e para (b)

x∑k=1

k2 = x(x +1)(2x +1)

6.

Resolução:

(a) limx→+∞

x∑k=1

k

x2

limx→+∞

x(x +1)

2x2

limx→+∞

1+ 1x

2

(b) limx→+∞

x∑k=1

k2

x3

limx→+∞

x(x +1)(2x +1)

6x3

limx→+∞

2x3 +3x2 +x

6x3

limx→+∞

2+ 3x + 3

x2

6= 1

3

17. Calcule os seguintes limites no infinito:

(a) limx→+∞

3px3 +2x −1px2 +x +1

Resolução:

limx→+∞

3√

x3(1+ 1x2 − 1

x2 )√x2(1+ 1

x + 1x2 )

limx→+∞

√1+ 1

x2 − 1x2√

(1+ 1x + 1

x2 )= 1

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 13

Page 16: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

(b) limx→+∞

px4 +2

x3

Resolução:

limx→+∞

√x6( 1

x2 + 2x6 )

x3

limx→+∞

x3√

( 1x2 + 2

x6 )

x3= 0

(c) limx→−∞

x9 +1

x9 +x6 +x4 +1

limx→−∞

x9(1+ 1x9 )

x9(1+ 1x3 + 1

x5 + 1x9 )

= 1

18. Numa cidade, uma determinada notícia foi propagada de tal maneira queo número de pessoas que tomaram conhecimento é dado por:

N (t )1768

1+33e−10t

em que t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta-se:

(a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato?

(b) Determine limt→∞N (t ) e explique o seu resultado.

Dicas: o tempo tende a 0 no quesito (a)

19. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo 30 gde sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de25l/min.

(a) Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (gramas porlitro) é

C (t ) = 30t

200+ t

(b) O que acontece com a concentração quando t →∞Resolução:

(a)30 g

6l ·25t · 6 l(5000+25t )l

= 750t

5000+25t= 30t

200+ t

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 14

Page 17: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

(b) limt→∞

30t

200= 30 6 t

( 200t +1) 6 t = lim

t→∞30

( 200t +1)

= 30g /l

onde t é o tempo.

20. Encontre as assíntonas horizontal e vertical e esboce o gráfico da seguintefunção:

(a) f (x) = x2

x2 −1= x2

(x +1)(x −1)Resolução:

Tire o limite da função f (x) tendendo as raízes para encontrar as assín-tonas verticais :

limx→−1

x2

x2 −1= x2

(x +1)(x −1)= lim

x→−1

1

1− 1x2

=∞

limx→−1

x2

x2 −1= lim

x→−1

1

1− 1x2

=∞

Tire o limite da função f (x) tendendo a infinito para encontrar as assín-tonas horizontais:

limx→∞

x2

x2 −1= lim

x→∞1

1− 1x2

= 1

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 15

Page 18: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

Figura 1.6: Gráfico da função f (x).

21. Investigue a continuidade da função seguinte:

(a) f (x) ={ x

|x| , x 6= 0

−1, x = 0

Resolução:

|x| ={

x, x ≥ 0−x, x < 0

limx→0

x

|x|lim

x→0+x

x= 1

limx→0−

x

−x=−1

A função é descontínua, pois os limites laterais são diferentes.

22. O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 16

Page 19: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

dado por:

φ(x) =

2πσ

(px2 +a2 −x

), se x ≥ 0

2πσ(p

x2 +a2 +x)

, se x < 0

com a > 0 e σ> 0. φ é contínua em 0? Justifique.

Resolução:

limx→0+

2πσ(√

x2 +a2 −x) = 2πσa

limx→0+

2πσ(√

x2 +a2 +x) = 2πσa

Como os limites laterais são iguais a função é contínua em 0;

23. Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se,

limh→0

f (a +h) = f (a)

Use esse fato para demonstrar que as funções sen (x) e cos(x) são contí-nuas.

Resolução:

limx→0

sen (x +a) = sen a

24. Calcule:

(a) limx→0

sen 3x

xResolução:

limx→0

3 sen 3x

3xu = 3x

limu→0

3 sen u

u= 3

25. Calcular o valor de limx→0

tan x +x

x

limx→0

sen x

cos x+x

x= lim

x→0

sen x

x cos x+1

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 17

Page 20: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

limx→0

sen x

x· lim

x→0

1

cos x+1

limx→0

tan x +x

x= 2

26. Determine: limx→0

1−cos2 x

1−cos xResolução:

limx→0

1−cos2 x

1−cos x· 1+cos x

1+cos x

limx→0

(1−cos2 x)(1+cos x)

(1−cos2 x)

limx→0

1+cos x = 2

27. Sabendo que limx→0

sen x

x= 1, calcule lim

x→π4

cos x − sen x

cos2x

Resolução:

cos2x = cos(x +x) = cos x cos x − sen x sen x

cos2x = cos2 x − sen 2x

limx→π

4

cos x − sen x

cos2 x − sen 2x= lim

x→π4

cos x − sen x

(cos x − sen x)(cos x + sen x)

limx→π

4

1

cos x + sen x=

p2

2

28. Calcule os limites:

(a) limx→0

sen 3x

2x

(b) limx→0

1−cos x

x

(c) limx→0

p1+ sen x −p

1− sen x

x

Resolução:

(a) limx→0

sen 3x

2x

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 18

Page 21: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

u = 3x x = u

3limu→0

sen u2u3

3

2limu→0

sen u

u= 3

2

(b) limx→0

1−cos x

x

limx→0

1−cos x

x· 1+cos x

1+cos x= lim

x→0

1−cos2 x

x(1+cos x)

sen 2x +cos2 x = 1 ⇒ sen 2x = 1−cos2 x

limx→0

sen x

x· lim

x→0sen x · lim

x→0

1

1+cos x= 1 ·0 · 1

2= 0

(c) limx→0

p1+ sen x −p

1− sen x

x

limx→0

p1+ sen x −p

1− sen x

x·p

1+ sen x +p1− sen xp

1+ sen x +p1− sen x

limx→0

1+ sen x − (1− sen x)

x(p

1+ sen x +p1− sen x)

limx→0

2 sen x

x(p

1+ sen x +p1− sen x)

2 · limx→0

sen x

x· lim

x→0

1

x(p

1+ sen x +p1− sen x)

= 2 ·1 · 1

2= 1

29. Calcule os limites:

(a) limx→∞

(1− 3

x

)x

(b) limx→∞

(1− 4

x

)5x

(c) limx→∞

(x +1

x −1

)x

(d) limx→∞

(x +5

x

)2x+3

Resolução:

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 19

Page 22: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

(a) limx→∞

(1− 3

x

)x

Limite fundamental: limx→∞

(1+ 1

x

)x

= e

1− 3

x= 1+ 1

y⇒ −3

x= 1

y

x =−3y

limy→∞

(1+ 1

y

)−3y

=(

limy→∞

(1+ 1

y

)y)−3

limx→∞

(1− 3

x

)x

= 1

e3

(b) limx→∞

(1− 4

x

)5x

1− 4

x= 1+ 1

y⇒ −4

x= 1

y

x =−4y

limx→∞

(1− 4

−4y

)−20y

=(

limy→∞

(1+ 1

y

)y)−20

= e−20

(c) limx→∞

(x +1

x −1

)x

x +1

x −1= 1+ 1

y

6 x +1 =6 x −1+ x −1

y

2y = x −1

x = 2y +1( 6 2y+ 6 26 2y

)2y+1

=

(y +1

y

)2y+1

=

(1+ 1

y

)2y

·(1+ 1

y

)

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 20

Page 23: Exercicios resolvidos

Limites e Continuidade

(lim

y→∞

(1+ 1

y

)y)2

· limy→∞

(1+ 1

y

)y

= e2

(d) limx→∞

(x +5

x

)2x+3

x +5

x= 1+ 1

y

6 x +5 =6 x + x

y

5y = x( 6 5y+ 6 56 5y

)10y+3

=(1+ 1

y

)10y+3

limx→∞

(1+ 1

y

)10y+3

=(

limx→∞

(1+ 1

y

)y)10

·(

limx→∞

(1+ 1

y

))3

= e10

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 21

Page 24: Exercicios resolvidos

CAPÍTULO 2

DERIVADAS

1. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x2 +3 que é paralela àreta 8x − y +3 = 0.

Resolução:8x − y +3 = 0

y = 8x +3

y = 2x2 +3y ′ = 4x = 8x = 2

y(2) = 11

y −11 = 8(x −2)y −11 = 8x −16

y = 8x −5

2. Usando a definição, determine a função primeira derivada e as derivadasnos pontos indicados:

f (x) = x2 −1, f ′(0) e f ′(1)

22

Page 25: Exercicios resolvidos

Derivadas

Resolução:

limh→0

(h +x)2 −1−x2 +1

h= lim

h→0

6 h2 +2 6 hx+ 6 x2− 6 1− 6 x2+ 6 16 h

= limh→0

h +2x = 2x

f ′(0) = 0 ; f ′(1) = 2

3. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, a sua altura(em metros) deposis de t segundos é dada por y = 10t −4,9t 2. Encontrea velocidade quando t = 2.

Resolução:

y(t ) = 10t −4.9t 2

v(t ) = y ′(t )

v(t ) = limh→0

10(h + t )−4,9(h + t )2 −10t +4,9t 2

h

v(t ) = limh→0

10h +10t −4,9(h2 +2ht + t 2)−10t +4,9t 2

h

v(t ) = limh→0

6 h(10−4,9h −9,8t )

6 h = 10−9,8t

v(2) =−9,6m/s

4. Determine se existir ou não f ′(0).

f (x) = x2 sen

1

x, se x 6= 0

0 , se x = 0

Resolução:

f ′(0) = limx→0

f (x)− f (0)

x −0= lim

x→0x sen (1/x) = 0

Logo o limite existe.

5. Seja f (x) = 3p

x.(a) Se a 6= 0, usando a definição de derivada no ponto, encontre f ′(a).(b) Mostre que f ′(0) não existe.(c) Mostre que y = 3

px tem uma reta tangente vertical em (0,0).

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 23

Page 26: Exercicios resolvidos

Derivadas

Resolução:

(a)

f ′(a) = limh→0

f (a +h)− f (a)

h

= limh→0

3p

(a +h)− 3p

a

h

= limh→0

3p

(a +h)− 3p

a

3√

(a +h)2 + 3p

(a +h)a + 3pa2

3√

(a +h)2 + 3p

(a +h)a + 3pa2

= limh→0

3√

(a +h)3 − 3pa3

h( 3√

(a +h)2 + 3p

(a +h)a + 3pa2)

= limh→0

6 a+ 6 h− 6 a6 h( 3

√(a +h)2 + 3

p(a +h)a + 3p

a2)

= limh→0

13√

(a +h)2 + 3p

(a +h)a + 3pa2

= limh→0

13p

a2 + 3pa2 + 3p

a2= 1

33p

a2

(b) f ′(0) = 1/0, que é indeterminação.(c) A função é contínua em x = 0 e a f ′(0) = +∞. Por isso, existe a retatangente vertical nesse ponto.

6. Mostre que a função f (x) = |x−6| não é diferenciavel em 6. Encontre umafórmula para f ′ e esboce seu gráfico.

Resolução:

Lembre-se:

|x| ={

x , x > 0−x , x < 0

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 24

Page 27: Exercicios resolvidos

Derivadas

Para x > 6

f ′(a) = limh→0

h+ 6 a− 6 6− 6 a+ 6 6h

= 1

Para x < 6

f ′(a) = limh→0

−h− 6 a+ 6 6+ 6 a− 6 6h

=−1

Os limites laterais são diferentes, logo não existe derivada no ponto 6.

f (x) ={ −1 , x < 6

1 , x > 6

Figura 2.1: Gráfico da função f (x).

7. Em que ponto da curva y = x2 +8 a inclinação da tangente é 16? Escrevaa equação dessa reta tangente.

Resolução:

f ′(a) = 16 f (x) = x2 +8

limh→0

(h +a)2 +8−a2 −8

h= lim

h→0

6 h2 +2 6 ha+ 6 a2+ 6 8− 6 a2− 6 86 h

= limh→0

h +2a = 2a

f ′(a) = 2a = 16, a = 8, y = 82 +8 = 72

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 25

Page 28: Exercicios resolvidos

Derivadas

Ponto (8,72)

Encontrando a reta tangente:

y −72 = 16(x −8)

y = 16x −56

8. Se f (x) = 2x2−x3, encontre f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) e f (4). Trace f , f ′, f ′′ e f ′′′

em uma única tela. Os gráficos são consistentes com as interpretaçõesgeométricas destas derivadas?

Resolução:

f ′(x) = 4x −3x2

f ′′(x) = 4−6xf ′′′(x) = 6f (4) = 0

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 26

Page 29: Exercicios resolvidos

Derivadas

Figura 2.2: Gráfico das funções f (x), f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x).

9. Lembre-se de que uma função f [e chamada par se f (−x) = f (x) paratodo x em seu domínio e, ímpar se f (−x) =− f (x) para cada um destes x.Demonstre cada uma das afirmativas a seguir:

(a) A derivada de uma função par é uma função ímpar.(b) A derivada de uma função ímpar é uma função par.

Resolução:

(a) Escolhendo a função cos(x) :

limh→0

cos(h +x)−cos x

h

limh→0

cosh cos x − sen x sen h −cos x

h

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 27

Page 30: Exercicios resolvidos

Derivadas

limh→0

cos x(cosh −1)

h− lim

h→0

sen x sen h

h− sen x Uma função ímpar

(b) Escolhendo a função sen (x) :

limh→0

sen (h +x)− sen x

h

limh→0

sen h cos x + sen x cosh − sen x

h

limh→0

cos xsen h

h+ lim

h→0sen x

(cosh −1)

hcos x uma função par

10. Encontre a derivada de cada uma das funções.

(a) f (x) = 3

2x+2x(

5px3)− 2p

x

(b) f (x) = t 3 −3t

t 5 −5t(t 2 −2t )

(c) f (x) = x2 sen (x)− ln(x)cos(x)

Resolução:

(a) f (x) = 3

2x+2x(

5px3)− 2p

x

f (x) = 3

2x−1 +2x · x3/5 −2x−1/2

f (x) = 3

2x−1 +2x8/5 −2x−1/2

f ′(x) = −3

2x−2 + 16

5x · x3/5 +x−3/2 = −3

2x2+ 16

55p

x3 + 13p

x2

(b) f (x) = t 3 −3t

t 5 −5t(t 2 −2t )

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 28

Page 31: Exercicios resolvidos

Derivadas

Utilizando a regra do quociente:

f ′(t ) = (t 5 −5t )(5t 4 −8t 3 −9t 2 +12t )− (t 5 −2t 4 −3t 3 +6t 2)(5t 4 −5)

(t 5 −5t )2

f ′(t ) = 2t 8 +6t 7 −18t 6 −20t 5 +30t 4 +30t 3 −30t 2

(t 5 −5t )2

(c) f (x) = x2 sen (x)− ln(x)cos(x)

Utilizando a regra do produto:

f ′(x) = 2x sen x +x2 cos x −(

1

xcos x + ln x ·− sen x

)f ′(x) = sen x(2x + ln x)+cos x(x2 −1/x)

11. Suponha que a curva y = x4+ax3+bx2+cx +d tenha uma reta tangentequando x = 0 com equação y = 2x +1 e, uma reta tangente quando x = 1com equação y = 2−3x. Encontre os valores de a,b,c ed .

Resolução:

f ′(0) = 2; f ′(1) =−3

f ′(x) = 4x3 +3ax2 +2bx + c

f ′(0) = c = 2

f ′(1) = 3a +2b =−9

f (0) = d = 1

f (1) = a +b =−5{3a +2b = −9a +b = −5

a = 1; b =−6

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 29

Page 32: Exercicios resolvidos

Derivadas

12. Se f (x) = ex · g (x), em que g (0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é:

(a)7 (b)2 (c)5 (d) 10

Resolução:

f ′(x) = ex g (x)+ex g ′(x); f ′(0) = e0g (0)+e0g ′(0)f ′(0) = 2+5 = 7Resposta: letra (a)

13. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P (2) = 5,P ′(2) = 3 eP ′′(2) = 2.

Resolução:

P (x) = ax2 +bx + cP ′(x) = 2ax +bP ′′(x) = 2a

P (2) = 4a +2b + c = 5P ′(2) = 4a +b = 3P ′′(2) = 2a = 2a = 1

4+b = 3 ⇒ b =−1

4−2+ c = 5 ⇒ c = 3

14. Encontre as derivadas das funções dadas.

(a) f (x) = (3x5 −1)10(2−x4)(b) f (s) = ln(e5s−3)

(c) f (θ) = 2cos2(θ) sen (θ)(d) f (x) = ln( sen 2(x))

Resolução:(a) f (x) = (3x5 −1)10(2−x4)

Obs. Utiliza-se a regra da cadeia e a do produto.

10(3x5 −1)9(15x4)(2−x4)+ (3x5 −1)10 ·−4x3

(b) f (s) = l n(e5s−3)5e5s−3

e5s−3= 5

(c) f (θ) = 2cos2(θ) sen (θ)

f ′(θ) = −4cos(θ) sen (θ) sen (θ)+2cos2(θ)cos(θ)= −4cos(θ) sen 2(θ)+2cos3(θ)

(d) f (x) = ln( sen 2(x))

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 30

Page 33: Exercicios resolvidos

Derivadas

1

sen 2(x)·2 sen (x)cos(x) = 2cos x

sen x= 2cot x

15. Usando a regra da cadeia, determine y ′, sendo:

(a) y = (3x +5)50

(b) y = 1

(x3 +3x2 −6x +4)

(c) y = sec2[(x3 −6)3]

(d) y = 1

x(x +1)Resolução:

(a) y = (3x +5)50

y ′ = 50(3x +5)49 ·3 = 150(3x +5)49

(b) y = 1

x3 +3x2 −6x +4= (x3 +3x2 −6x +4)−1

y ′ = −(x3 +3x2 −6x +4)−2 · (3x2 +6x −6) = −(3x3 +6x −6)

(x3 +3x2 −6x +4)2

(c) Derivada tabelada:d sec x

d x= sec x · tan x

y = sec2[(x3 −6)3]y ′ = 2sec[(x3 −6)3] · sec[(x3 −6)3] · tan[(x3 −6)3] ·3(x3 −6)2 ·3x2

y ′ = 18x2 sec2[(x3 −6)3] tan[(x3 −6)3](x3 −6)2

(d) y = 1

x(x +1)= [x(x +1)]−1

y ′ = −[x(x +1)]−2 · [(x +1)+x]

= −(2x +1)

[x(x +1)]2

16. Seja f uma função derivável e g (x) = ex f (3x +1). Cacule g ′(0) se f (1) = 2e f ′(1) = 3.

g (x) = ex f (3x +1)g ′(x) = ex f (3x +1)+ex f ′(3x +1) ·3g ′(0) = e0 f (1)+e0 f ′(1) ·3 = 2+9 = 11

17. A curva y = 1/(1+x2) é chamada bruxa de Maria Agnesi.

(a) Encontre uma equação da reta tangente e uma equação da reta normapara essa curva no ponto (−1, 1

2 ).(b)Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e das retas tangentes enormal no mesmo plano.

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 31

Page 34: Exercicios resolvidos

Derivadas

Resolução:

y = (1+x2)−1

y ′ = −(1+x2)−2 ·2x = −2x

(1+x2)2

Encontrando a reta tangente no ponto (−1, 12 )

f ′(−1) = −2 ·−1

(1+ (−1)2)2= 1

2

y − 12 = 1

2 (x − (−1))

y − 12 = 1

2 x + 12

y = 12 x +1

Encontrando a reta normal no ponto (−1, 12 )

y − 1

2= −1

f ′(−1)(x +1)

y − 1

2= −2(x +1)

y − 1

2= −2x −2

y = −2x − 3

2

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 32

Page 35: Exercicios resolvidos

Derivadas

Figura 2.3: Gráfico da curva bruxa Maria Agnesi e das retas tangente e normalno ponto (−1, 1

2 ).

18. Calcule a derivada de:

(a) y = 3p

3x −1(b) z(x) = ln(x2 −6)

Resolução:

(a) y = 3p

3x −1 = (3x −1)1/3

y ′ = 1

6 3(3x −1)−23 · 6 3

y ′ = 13√

(3x −1)2

(b) z(x) = ln(x2 −6)

z ′(x) = 1

x2 −6·2x = 2x

x2 −6

19. Calcule as derivadas das funções:

(a) y = 5x−1

(b) y = log5(x2)

(c) y = ln( x

x +1

)

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 33

Page 36: Exercicios resolvidos

Derivadas

Resolução:

Dica:d(loga x)

d x= 1

x ln a

(a) y = 5(x−1)

ln y = ln5(x−1)

ln y = (x −1)ln51

y· y ′ = ln5

y ′ = y ln5y ′ = 5(x−1) · ln5

(b) y = log5(x2)

y ′ = 1

x2 ln5·2x = 2

x ln5

(c) y = ln( x

x +1

)= ln x − ln(x +1)

y ′ = 1

x− 1

x +1= 1

x2 +x

20. Calcule y ′ se:

(a)y =√

1− tan2(x)

(b)y = x cot(2x)

(c)y = tan(sec(x2))

Resolução:

Derivadas tabeladas:

d(tan x)

d x= sec2 x;

d(sec x)

d x= sec x · tan x

(a)y =√

1− tan2(x) = (1− tan2 x)12

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 34

Page 37: Exercicios resolvidos

Derivadas

y ′ = − 1

6 2(1− tan2 x)−12 · [ 6 2tan x · sec2 x]

y ′ = − tan x · sec2 xp1− tan2 x

(b)y = x cot(2x)

y ′ = cot(2x)−2cossec2(2x)

(c)y = tan(sec(x2))

y ′ = sec2[sec(x2)] · sec(x2) · tan(x2) ·2x

21. Encontre:d 99

d x99( sen x)

Resolução:

d

d xsen x = cos x

d 2

d x2sen x = − sen x

d 3

d x3sen x = −cos x

d 4

d x4sen x = sen x

d 5

d x5sen x = cos x

99 43 24

d 99

d x99( sen x) = d 3

d x3( sen x)

= −cos x

22. Encontre constantes A e B de forma que a função y = A sen x +B cos xsatisfaça a equação diferencial y ′′+ y ′−2y = sen x.

Resolução:

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 35

Page 38: Exercicios resolvidos

Derivadas

y ′ = A cos x −B sen xy ′′ = −A sen x −B cos x

−A sen x −B cos x + A cos x −B sen x −2A sen x −2B cos x = sen x

(−3A−B) sen x + (A−3B)cos x = 1 sen x +0cos x

{ −3A−B = 1A−3B = 0

A = −3

10; B = −1

10

23. Ache∂y

∂xpor derivação implicita de x2 + y2 = 16

Resolução:

2x +2y · y ′ = 02y · y ′ = −2x

y ′ = − 6 2x

6 2y

y ′ = −x

y

24. Ache uma equação da reta tangente à curva 16x4+y4 = 32 no ponto (1,2).

Resolução:

Derivando a curva:

64x3 +4y3 · y = 04y3 y ′ = −64x3

y ′ = −64x3

4y3=−16x3

y3

y ′(1,2) =−2

Equação da reta tangente:

y −2 = −2(x −1)y −2 = −2x +2

y = −2x +4

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 36

Page 39: Exercicios resolvidos

Derivadas

25. Ache uma equação da reta normal à curva x2+x y+ y2−3y = 10 no ponto(2,3).

Resolução:

2x + y +x y ′+2y y ′−3y ′ = 0(x +2y −3)y ′ = −2x − y

y ′ = −2x − y

x +2y −3

y ′(2,3) = −7

5

Equação da reta normal:

t − t0 =− 1

y ′ (x −x0)

t −3 = 5

7(x −2)

t −3 = 5

7x − 10

7

t = −5

7x−11

7

26. Use a derivação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintesfunções:

(a) y = (2x +1)5(x4 −3)6

(b) y =√

x −1

x4 +1

(c) y = xx

(d) y = xcos x

Resolução:

(a)y = (2x +1)5(x4 −3)6

ln y = ln[(2x +1)5(x4 −3)6]ln y = ln(2x +1)5 + ln(x4 −3)6

ln y = 5ln(2x +1)+6ln(x4 −3)1

y· y ′ = 10

2x +1+ 24x3

x4 −3

y ′ = [(2x +1)5(x4 −3)6] ·[

10

2x +1+ 24x3

x4 −3

]

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 37

Page 40: Exercicios resolvidos

Derivadas

(b)y =√

x −1

x4 +1

ln y = ln

[(x −1

x4 +1

)1/2]

= 1

2ln

(x −1

x4 +1

)

= 1

2

[ln(x −1)− ln(x4 +1)

]1

y· y ′ = 1

2(x −1)− 4x3

2(x4 +1)

y ′ =√

x −1

x4 +1·[

1

2(x −1)− 4x3

2(x4 +1)

](c)y = xx

y = xx

ln y = ln xx

ln y = x ln x1

y· y ′ = ln x +x · 1

x

y ′ = y · [ln x +1]y ′ = xx · [ln x +1]

(d)y = xcos x

ln y = ln(xcos x)ln y = cos x · ln x1

y· y = − sen x · ln x + cos x

x

y ′ = xcos x[cos x

x− sen x · ln x

]27. Seja f (x) = a +b cos(2x)+ c cos(4x), onde a,b,c ∈ R. Sabendo que f ( π2) =

1, f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f (3)(0) = 0 e que f pode ser escrita na formaf (x) = sen n(x),n ∈N, determine a,b,c en.

Resolução:

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 38

Page 41: Exercicios resolvidos

Derivadas

f (x) = a +b cos(2x)+ c cos(4x)f ′(x) = −b2 sen (2x)−4c sen (4x)f ′′(x) = −4b cos(2x)−16c cos(4x)

f (3)(x) = 8b sen (2x)+64c sen (4x)

f ′′(0) = −4b −16c = 0f (0) = a +b = c = 0

f (π/2) = a −b + c = 1

Resolvendo o sistema acima:

a = 3

8; b = −1

2; c = 1

8

f (x) = 3

8− 1

2cos(2x)+ 1

8cos(4x)

= 3

8− 1

2(cos2 x − sen 2x)+ 1

8cos(4x)

= 3

8− 4

8(1−2 sen 2x)+ 1

8cos(4x)

= −1

8+ sen 2x + 1

8cos(4x)

1

8cos4x = 1

8[cos(2x)cos(2x)− sen (2x) sen (2x)]

= 1

8[cos2(2x)− sen 2(2x)]

= 1

8(1−2 sen 2(2x))

f (x) = −1

8+ sen 2(x)+ 1

8− 2

8sen 2(2x)

= sen 2x − 2

8sen 2(2x)

sen 2(2x) = ( sen x cos x + sen x cos x)2

= (2 sen x cos x)2

= 4 sen 2x cos2 x

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 39

Page 42: Exercicios resolvidos

Derivadas

f (x) = sen 2x − 2

8(4 sen 2x cos2 x)

= sen 2x − sen 2x cos2 x= sen 2x(− 6 1+ 6 1+ sen 2x)= sen 2x · sen 2x = sen 4x

n = 4

28. Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = arcsin

(x −1

2

)no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.

Resolução:

Valor tabelado :d

d xarcsin x = 1p

1−x2

Encontrando o ponto onde a curva intersecta o eixo dos x:

arcsin

(x −1

2

)= 0

x −1

2= 0 ⇒ x = 1

Ponto : (1,0)

y ′ = 1√1−

(x −1

2

)2· 1

2

y ′ = 1

2

Reta tangente:

y −0 = 1

2(x −1)

y = 1

2x − 1

2

Reta normal:

y −0 =− 1

1/2(x −1)

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 40

Page 43: Exercicios resolvidos

Derivadas

y =−2(x −1)

y =−2x +2

APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 41

Page 44: Exercicios resolvidos

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. 3 ed. São Paulo:Harbra, 1994.

[2] STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

[3] GUIDORIZZI, H. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC,2012.

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