α

Hipotenusa

37 º

Ângulos

90 ° 180 ° 360º

Agudo Recto Raso Giro

Oposto

Adjacente

Exercício 1:

Calcula o valor de x , y e β .

5 βx

y

Completa:

sen β= cos β= tg β=

Exercício 2:

Qual o ângulo que uma escada de 4 m deve fazer com o chão para que o topo da escada fique a uma altura de 3,5 m?

Exercício 3:

Observa atentamente a figura e calcula a distância entre o poste eléctrico e a escola.

senα= opostohipotenusa

cos α= adjacentehipotenusa

tg α= opostoadjacente

tg α= senαcosα

1

A

80m 40º30º

Exercício 4:

Um avião levanta voo fazendo com a horizontal um ângulo de 10º. A que altura se encontra depois de ter percorrido 1 km?

1km

Exercício 5:

Calcula a área de cada um dos triângulos da figura.

1 1 1

22 2

Exercício 6:

Um candeeiro produz um cone de luz em que a amplitude do ângulo mede 110º. O candeeiro provoca no chão uma área iluminada em forma de círculo.

Qual é a área iluminada no chão se o candeeiro estiver a 3 metros de altura?

3m

Exercício 7:

Duas aldeias, A e B estão situadas nas margens de um lago. Para determinar a distância entre elas, tomou-se como referencia o edifício C que dista 10 km da aldeia B e mediram-se os ângulos internos do triângulo [ABC].

110º

40º 80º140º

2

1º Quadrante 2º Quadrante

B 10 km C

Qual a distância entre as duas aldeias?

Graus ---- Radianos

360º 2π 180º π

90º

π2 45º

π4

60º ? 30º ?

? 1 rad

Exercício 8:

Qual a amplitude, em radianos, de um arco de 10º? E de arco de 25º?

Ângulo num referencial:

y

70º

65º

45º

3

π4

3º Quadrante 4º Quadrante

α

β

β=−30 º=− π6

pertence ao 4º Quadrante

δ

π6

x

α=30 º= π6

Exercício 9:

Represente num referencial e indique a que quadrante pertence cada um dos ângulos seguintes:

a) 150º

b) −3 π

4rad

h)13π

c) -1,5 rad i) -20,3 rad

d) 120º j)

7 π6

e) -120º k) −11 π

6

f)−π

4 rad

Exercício 10:

1

1

Exercício 11:

sen π4= cos π

4= tg π

4=

sen π3= cos π

3= tg π

3=

pertence ao 1º Quadrante

δ=0 º

Não pertence a nenhum quadrante

4

π3

A

B

12 cm

A

B

2 2

Exercício 10:

1 1

Agora já podemos completar o quadro para as razões trigonométricas para os ângulos mais importantes:

0º30º ou

π6 45º ou

π4 60º ou

π3 90º ou

π2

cos α

sin α

Relação entre arcos e ângulos numa circunferência.

Comprimento da circunferência radianosem centímetros

2×10×π 2 π

12 α

Exercício 12:Determine o comprimento do arco AB se:

12.1 AB=5cm e θ=1rad

sen π6= cos π

6= tg π

6=

Oα ?

r =10cm

Or

θ

tg

5

α= 2 π×122×10×π

=1210

=1,2 rad

12.2 AB=11cm e θ=4,5 rad

Exercício 13:O comprimento do diâmetro das rodas de um carro é 100cm. Quanto avança o carro se um

dos raios da roda gira 42º?Quantas voltas completas deve dar a roda para que o carro avance 200 metros?

Exercício 14:

Calcule a área da parte colorida da figura seguinte, sabendo que:

OC=2cmCA=1 cmα=0,8 rad

Exercício 15:

Das seguintes afirmações, diga justificando, quais são falsas:

(A) Com duas casas decimais 20º = 0,34 rad.

(B) O ângulo de amplitude 1012º pertence ao 1º Quadrante.

(C) O ângulo de amplitude -3013º pertence ao 4º Quadrante.

(D) O ângulo de amplitude 3,1 π radianos pertence ao 3º Quadrante.

(E) O ângulo de amplitude 3,1 radianos pertence ao 3º quadrante.

(F) Um ângulo que mede 1,6 radianos tem uma amplitude superior à de um ângulo recto.

Ângulos complementares

B

A

B

C

α e β são complementares.

α +β=90 º ⇔ β=90 º−αTem-se que:

senα=bh ;

cos β=bh

6

a

bh

C A

Para o ângulo α , tem-se:

Fórmula fundamental da trigonometria

Fórmulas secundárias

e

Exercício 16:

16.1 Determine o cos α sabendo que α é um ângulo agudo e que:

a) senα=1

3

b) tg α=5

2

16.2 Determine o senα sabendo que α é um ângulo agudo e que:a) cos α=0,8

b) tg α=5√3

2Exercício 17:

Mostre que:

α

β

α e β são complementares.

α +β=90 º ⇔ β=90 º−αTem-se que:

senα=bh ;

cos β=bh

senα=cos (90º−α )=cos( π2−α )

cos α=sen (90º−α )=sen ( π2−α )

sen2 α+cos2 α=1

1+ 1tg2α

= 1sen2 α

tg2 α+1= 1cos2α

7

1-1

-1

0

17.1 (sen θ+cosθ )2=1+2 senθ cosθ

17.2(( senθ+cosθ )2+(cosθ−senθ )2

cos2 θ )=2+2 tg2 θ

17.3( 1cosθ

−tg θ)( 1senθ

+1)= 1tgθ

Exercício 18:

Determine α , sabendo que α é agudo e que:

18.1 sen2 α−1,5 sen α+0,5=0

18.2 cos2 α−0,1 cosα−0 ,06=0

Exercício 19:

Determine senα+3 cos2 α , sabendo que α é um ângulo agudo e que:

−1−5 tg α+6tg2 α=0

Circulo Trigonométrico

Portanto temos:

Recordar:

ax 2+bx+c=0

x=−b±√b2−4 ac2a

α

1

α

1

Cateto oposto =

cos α1

=cosα

Cateto adjacente =

cos α1

=cosα

8

α no 1º Quadrante α no 2º Quadrante

α no 3º Quadrante α no 4º Quadrante

Preenche a tabela:

Ângulo 0π2

π 3π2 2 π

π

π

Podemos concluir que:

Exercício 20:

αsenα

αα

cos α

senα

cos α

senα

αcos α

senα

α

senα

cos α

Conclusão:

Eixo cos

Eixo sen

−1≤senα≤1 −1≤cosα≤1

9

Representa no círculo trigonométrico:

a) Os ângulos α e β , tal que os seus senos é 0,3

b) Os ângulos θ e γ , tal que os seus co-senos é

13

Exercício 21:

Para cada figura, completa os espaços em branco:

a)

b)

c)

Tangente

α

√32

●A α=

senα=

A( √32

, ) pertence ao ___ Quadrante

tg α=

β

12

β=

sen β=

B( , ) pertence ao ___ Quadrante

tg β=●B

C

ρ ρ=

cos ρ=

C ( , ) pertence ao ___ Quadrante

tg ρ=● −√2

2

10

Para obter a tangente de um ângulo no círculo trigonométrico, prolonga-se o lado extremidade do ângulo até intersectar o eixo das tangentes. Essa medida é a tangente.

Preenche a tabela:

Ângulo 0π4

π2

3 π4

π 3 π2

2 π

tg

Tem-se então:sen cos tg

1ºQ ┼ ┼ ┼2ºQ ┼ 3ºQ ┼

4ºQ ┼

Exercício 22:

O ângulo α é um ângulo agudo.

α

1

tg α=oposto1 =oposto

Colocando o triângulo no interior do círculo trigonométrico

α

tg α

Eixo das tangentes

1

α

tg α

α tg α α

tg α

11

Diga justificando, quais das seguintes afirmações são falsas:

A. A tangente do ângulo α não pode ser maior do que 1.

B. O seno do ângulo α pode ser um número qualquer desde que seja positivo.

C. Conhecendo o co-seno do ângulo α pode-se determinar o seno do ângulo (90º-α ).

D. 0≤cosα≤1 .

Exercício 23:

Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?

A. sen45 º−cos 45 º=0

B. tg 45 º>tg30 º

C. sen2 α=1−cos2α

D.tg α=cosα

senα

E.

1cos2α

=1+tg2 α

Exercício 24:

A partir dos valores exactos já conhecidos de sen π

3 , cos π

3 e da representação no círculo trigonométrico, determina os valores do seno e do co-seno de cada um dos seguintes ângulos:

a. 2 π3 b.

4 π3 c.

5π3 d.

−π3 e.

−2 π3

Exercício 25:

Representa se possível, no círculo trigonométrico:

a. Um ângulo α , do 2º Quadrante, cujo senα=2

5

b. Um ângulo β , do 3º Quadrante, cujo sen β=−0,4

c. Um ângulo γ , do 4º Quadrante, cujo cos γ=−2

5

d. Um ângulo δ , do 2º Quadrante, cujo cos δ=−2

5

e. Um ângulo ε , do 3º Quadrante, cujo senε=−6

5

Exercício 26:

F.sen60º=√3

2

G. cos60 º=sen30 º

H.tg30 º=√3

2

I. senα−cos (90 º−α )=0

12

A partir dos valores exactos já conhecidos de tg π

6 , tg π

3 e da representação no círculo trigonométrico, determina os valores do seno e do co-seno de cada um dos seguintes ângulos:

a. 5π6 b.

4 π3 c.

7 π6 d.

−π6 e.

−2 π3

Exercício 27:

Representa se possível, no círculo trigonométrico:

a. Um ângulo α , do 2º Quadrante, cujo tg α=−2

b. Um ângulo β , do 3º Quadrante, cujo tg β=−0,4

c. Um ângulo γ , do 4º Quadrante, cujo tg γ=−2

5

d. Um ângulo δ , do 2º Quadrante, cujo tg δ=−2

5

e. Um ângulo ε , do 3º Quadrante, cujo tg ε=6

5

Exercício 28:

Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:

a)2 sen π

6−3cos 5 π

3−sen 4 π

3+tg 5 π

6

b)tg( 5 π

3 ). cos(−7 π3 )+sen( 4 π

3 )

c)sen( 4 π

3 )+cos( 5 π6 )+tg( 7 π

4 )

Exercício 29:

Calcule o valor da expressão √3 . senx−√2 .tgx , sabendo que tgx=−√2 e x∈2ºQ .

Exercício 30:

Observe a figura que representa um prisma triangular recto.

A B

CD

EF

5,3m

2,1m

3,2m

Determine:

E BC ; E A C e B F C .

13

Função Seno

Para ângulos muito pequenos, o seno está muito perto de zero.

À medida que o ângulo vai aumentando, o seno também aumenta, mas é sempre menor que 1.

No segundo quadrante, o ângulo continua a aumentar, mas o seno está a diminuir e a tomar os

mesmos valores que tomou no 1º Quadrante.

Continuando a utilizar o círculo trigonométrico entre π e

3 π2 o seno é negativo decrescente.

Entre

3 π2 e 2 π o seno é negativo crescente.

sin x

α

● ● ●

● ●

●

● ● ●

●

● ●

● ●

●

● ●

●

● ● ● ●

●

●

π2

π2

π

π2

π

3 π2

1

-1

x

14

15