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PREPARACIÓN PSU MATEMÁTICA

Fórmulas, teoremas y conceptos a recordar

2016

Hecho por Ignacio F. Garcés

Agradecimientos: profesor Osvaldo Doña & profesora Jacqueline Velásquez

Este es un archivo PDF. Archivo de Word disponible en este link → https://goo.gl/J52Ivw

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ÍNDICE TEMÁTICO

Introducción pág. 3

Números pág. 4

Funciones pág. 5

Potenciación (logaritmos y raíces) pág. 7

Plano cartesiano pág. 8

Figuras geométricas pág. 9

↳ Circunferencia: proporcionalidad y ángulos pág. 10

↳ Triángulos: proporcionalidad pág. 11

Sistema o espacio tridimensional pág. 12

Cuerpos geométricos pág. 13

Datos y azar pág. 14

↳ Datos: Estadística pág. 14

↳ Azar: Probabilidades pág. 15

Ecuaciones de segundo grado y productos notables pág. 19

Inecuaciones o desigualdades pág. 20

Cuadrados, cubos y tríos pitagóricos a memorizar pág. 21

Bibliografía pág. 22

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Introducción

La Prueba de Selección Universitaria (PSU) es la prueba que te posiciona respecto de todos los demás que desean entrar a la educación superior (en Chile tiene ese nombre, aunque en general, en el resto de Latinoamérica al menos, el equivalente de esta prueba se llama algo así como Examen Nacional), y sacar un alto puntaje es fundamental, y para eso necesitas recordar una cantidad insana de fórmulas, teoremas, etc. Esta gran e importante prueba no es una pesadilla si te preparas bien, y ese dicho de algunos, que ya no tienes salvación si estás a sólo un mes de la PSU sin haberte preparado seriamente antes, es mentira. Si te esfuerzas, hay una gran diferencia. No sé por qué muchos dicen eso.

A continuación se presentan muchas fórmulas, teoremas, conceptos clave, etc. que son complejos, específicos, y que en general son difíciles de aprender o memorizar. Con este documento hallarás dichos temas fácilmente ya que están comprimidos en un solo lugar y podrás repasarlos o aprenderlos en caso de que no los hayas visto antes. Aprenderse todas y cada una de, en su mayoría, fórmulas de este documento te asegurará un buen puntaje, y claro, tienes que saber cómo utilizarlas. En la mayoría de los casos no se explicarán o definirán dichas fórmulas y términos, ya que esto es solo una compilación o resumen breve.

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Números

Generalidades de los enteros

Números pares consecutivos: 2x, (2x + 2), (2x + 4), …

Números impares consecutivos: (2x + 1), (2x + 3), (2x + 5), …

Múltipos de 5 consecutivos: 5x, (5x + 5), (5x + 10), …

Números complejos e imaginarios

i = √−1

i2 = ―1

i3 = ―i = −√−1

i4 = 1

↓ Si z = a + bi ↓

Conjugado de z: z = a − bi

Recíproco de z: z−1 = 1

z=

z

|z|2

Módulo de z: |z| = √a2 + b2

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Funciones

Función de una función: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

Tipos de funciones según dominio y recorrido

F. inyectiva: (uno a uno) una imagen con máximo una preimagen.

F. sobreyectiva o epiyectiva: ningún término sobra, cada imagen tiene preimagen.

F. biyectiva: epiyectiva e inyectiva a la vez.

Tipos de funciones según simetría

Función par: cuando x y –x tienen igual imagen (y). Ejemplo: simetría de la función cuadrática (y = x2).

Función impar: si x → y, -x → -y. Ejemplo: función f(x)= x3

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Función cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c

Vértice de función cuadrática: V(h, k) Eje de simetría en f. cuadrática: (h, ∞)

𝐡 =x1+ x2

2=

−b

2a 𝐤 = f(h) =

(4ac − b2)

4a=

−∆

4a

Interés compuesto (ejemplo común: cantidad de dinero obtenido en cierto tiempo)

Interés compuesto (es una función exponencial): C = i • (1 + x)t C: capital acumulado.

i: capital inicial.

x: tasa de interés compuesto (en decimal). Es cuánto aumenta o disminuye.

t: número de períodos de tiempo que han transcurrido en el que crece el capital.

Cantidad de algo según el tiempo (ejemplo común: cantidad de bacterias que se duplican)

Se representa como una función exponencial: f(x) = i • xt f(x): cantidad final.

i: cantidad inicial.

x: variación (cuánto aumenta o disminuye).

t: períodos de tiempo transcurridos.

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Potenciación (logaritmos y raíces)

Raíces

Orden entre raíces

Si el índice y la cantidad subradical de las raíces que sean comparar son diferentes, se puede elevar

ambas raíces al M.C.M. de sus índices.

Así, √5 y √123

se pueden elevar a 6 y da como resultado que (√5)6 = 53 = 𝟏𝟐𝟓 , y

(√123

)6 = 122 = 𝟏𝟒𝟒 , por lo que √𝟏𝟐𝟑

> √𝟓

Logaritmos

Cambio de base: loga b =logk b

logk a

Orden en los logaritmos

Si a < c, entonces logk a < logk c

Si n < m, entonces logn k > logm k

Para logaritmos de distinta base y argumento, se deben transformar o expresar a una base común. Una

vez hecho esto, se debe aplicar propiedades, y como paso último, comparar los argumentos.

Así, log4 3 y log8 6 se cambiarán a logaritmos de base 2, aplicando el cambio de base:

log4 3 =log2 3

log2 4=

log2 3

2=

1

2• log2 3 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 √𝟑 , y log8 6 =

log2 6

log2 8=

log2 6

3=

1

3•

log2 6 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 √𝟔𝟑

Finalmente se comparan los argumentos, elevándolos al M.C.M. de los índices de las raíces:

(√3)6 = 𝟐𝟕 , y (√63

)6 = 𝟑𝟔

Como 27 < 36 , resulta que 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟑 < 𝐥𝐨𝐠𝟖 𝟔

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Plano cartesiano

Pendiente a partir de dos puntos: m = y1 − y2

x1 − x2

Ecuación de la recta a partir de un punto y la pendiente: Y − Y1 = m(x − x1)

Vector de traslación de un punto a otro: T = Pfinal − Pinicial

Distancia entre dos puntos: d(A, B) = AB = √(xA − xB)2 + (yA − yB)2

Cómo saber si dos rectas son perpendiculares: L1 ⊥ L2 sólo si: m1 • m2 = −1 y n1 ≠ n2

Razón de homotecia: r =OA′OA

Ecuación vectorial de la recta

Forma de la ecuación vectorial de la recta: k (t) = w + t • v = (w x, w y) + t(v x, v y)

w : vector de posición.

v : vector de dirección.

t: es un escalar, al cual le ponemos valores reales cualesquiera para calcular puntos de la recta.

Dos rectas son paralelas cuando tienen igual v y un w semejante, multiplicado por algún número [1].

Para expresar una ecuación vectorial de la recta en la forma cartesiana:

(x, y) = (x0, y0) + t(a, b) = (x0 + t•a, y0 + t•b)

Rotación de un punto en el plano cartesiano

+90° +180° +270° +360° = 0°

Pi (x, y) (‒y, x) (‒x, ‒y) (y, ‒x) (x, y)

[1]: Por ejemplo, si w 1 es igual a 3•w 2, y tienen igual v , entonces son paralelas.

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Figuras geométricas

Altura de un triángulo equilátero: h =a√3

2

Área de un triángulo equilátero: Á =a • h

2=

a2√3

4

En un rectángulo rectángulo obtenido de la mitad de un triángulo equilátero se

cumplen siempre las relaciones de longitud y ángulos de la imagen.

Diagonal de un cuadrado: d = a√2

Área de un cuadrado: Á = a2 =d2

2

Área de un sector circular: Á =πr2•θ

360

Longitud del arco del sector circular: L =2πr•θ

360

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Circunferencia: proporcionalidad y ángulos

Teorema de cuerdas: AE • EC = BE • ED

Ángulo interior: α = ∡AEB =BA + DC

2

Teorema de las secantes: AC • AB = AD • AE

Ángulo exterior: β = ∡CAD =DC−BE

2

Proporcionalidad recta secante - tangente: PC 2 = PB • PA

Ángulo semi-inscrito: λ = ∡BPC =CB

2

Teorema de las tangentes: PA = PB

Los arcos se miden/escriben en sentido antihorario siempre.

Ángulos complementarios: suman 90°.

Ángulos suplementarios: suman 180°.

En todo polígono regular, la suma total de los ángulos interiores es 180° • (n° de lados − 2)

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Triángulos: teoremas de proporcionalidad

Teorema de Euclides

Las siguientes ecuaciones sólo sirven en un triángulo rectángulo.

Altura: h2 = m • n h = √m • n =a • b

AC

Catetos: b2 = AC • m a2 = AC • n

Teorema de la bisecrtiz

Sea AM bisectriz del triángulo ABC

Proporcionalidad de lados: AB

BM =

AC

CM

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Sistema o espacio tridimensional

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

(x, y, z) = P1 + β • d = (x1, y1, z1) + β • (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

Determinar cuándo dos rectas son perpendiculares: L1 ⊥ L2 si d 1 • d 2 = 0

Distancia entre dos puntos: d(A, B) = AB = √(xA − xB)2 + (yA − yB)2 + (𝑧𝐴 − 𝑧𝐵)2

Ecuación vectorial de un plano en el espacio

Esta ecuación se obtiene a partir de tres puntos no colineales conocidos de un plano (P1, P2 y P3)

(x, y, z) = P1 + λ • (P2 − P1) + μ • (P3 − P1)

A λ y μ se les dan valores variados en los reales para calcular puntos de un plano teniendo su ecuación.

De esta ecuación se obtienen:

x = x1 + λ • (x2 − x1) + μ • (x3 − x1)

y = y1 + λ • (y2 − y1) + μ • (y3 − y1)

z = z1 + λ • (z2 − z1) + μ • (z3 − z1)

Ecuación cartesiana del plano

Ax + By + Cz + D = 0

Como la otra, esta ecuación se obtiene a partir de tres puntos no colineales conocidos, los cuales se

reemplazan, considerando D = 1 y se forma un sistema de ecuaciones en donde es posible determinar

los valores de A, B y C.

Para la ecuación cartesiana del plano existen ciertas propiedades:

o Dos planos son paralelos no coincidentes si: A1

A2=

B1

B2=

C1

C2≠

D1

D2

o Dos planos son perpendiculares si: A1 • A2 + B1 • B2 + C1 • C2 = 0

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Cuerpos geométricos

Área (esfera) = 4πr2 Volumen (esfera) = 4

3 πr3

Área (cubo) = 6a2 Volumen (cubo) = a3

Área (prisma) = (2 • Ábasal) + Álateral Volumen (prisma) = Ábasal • h

Área (pirámide) = Ábase + Álat. Volumen (pirámide) = 1

3 • Ábase • h

Área (cilindro) = 2πr2 + 2πrh Volumen (cilindro) = πr2h

Área (cono) = πr2 + πrg Volumen (cono) = 1

3 • πr2h

Área (tronco de pirámide) = Ábase1 + Ábase2 + Álat.

Volumen (tr. de pirám.) = 𝟏

𝟑 • (Ábase1 + Ábase2 + √Ábase1 • Ábase2 • h)

Área (tronco de cono) = Ábase1 + Ábase2 + Álateral = πr2 + πR2 + π(r + R)g

donde: r = radio pequeño, R = radio grande, g = generatriz

Volumen (tronco de cono) = 𝟏

𝟑 • (Ábase1 + Ábase2 + √Ábase1 • Ábase2 • h)

Diagonal de un cubo (distancia entre vértices opuestos) = 𝐚𝐫𝐢𝐬𝐭𝐚 • √𝟑

La diagonal de un paralelepípedo se calcula como: √a2 + b2 + c2, donde a, b y c son aristas.

La altura de la cara lateral de una pirámide se denomina apotema lateral.

El ángulo que se forma entre dos planos (o caras) se llama ángulo diedro.

Fórmula de Euler[2]: aristas + 2 = caras + vértices

[2]: Es la relación entre número de aristas, caras y vértices en todo poliedro. Sirve para determinar, por ejemplo, el número de vértices de un cuerpo sabiendo cuántas aristas y caras posee.

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Datos y azar

Datos: Estadística

Medidas de tendencia central

Desviación media: D.M.= ∑(|xi− x|•fi)

N

Desviación típica o estándar: σ = √∑[(xi− x)2•fi]

N Varianza: σ2 =

∑[(xi− x)2•fi]

N

Rango: xmayor − xmenor

Posición de la mediana (con N impar) = N + 1

2 Posición de la mediana (con N par) =

N

2 y

N

2+ 1

Media aritmética o promedio: x =∑(Xi • fi)

N

En datos agrupados en intervalos, xi es la marca de clase[3].

Medidas de posición: diagrama de caja

Xmín.: dato mínimo o menor.

Xmáx.: dato máximo o mayor.

Q1,Q2,Q3: cuartiles 1, 2 y 3, respectivamente. Q2 es igual a la mediana.

Rango intercuartil o intercuartílico[4]: Cuartil 3 – Cuartil 1

[3]: La marca de clase es promedio entre el dato mayor y el dato menor del intervalo. [4]: Es representado en el diagrama de caja como el ancho del rectángulo. (si está vertical como en la figura aquella)

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Azar: Probabilidades

Combinatoria

Variación o arreglo sin repetición (importa el orden): Vmr =

r!

(m − r)!

Variación o arreglo con repetición: VRmr = rm

Combinación sin repetición (orden no interesa): Cr,m = Cmr = ( r

m) =

r!

m! • (r − m)!

Combinación con repetición: CRmr = (r+m−1

m) =

(r + m − 1)!

m! • (r − 1)!

Permutación sin repetición: Pr = r!

Permutación con repetición[5]: PRa,b,c…r =

r!

a! • b! • c!!

Permutación circular[6]: Pr (circular) = (r − 1)!

El factorial de cero es uno: O! = 1

Producto de probabilidades (Probabilidad de que dos sucesos ocurran simultáneamente)

Si son independientes: P(A ∩ B) = P(A) • P(B)

Si A y B son dependientes (probabilidad condicionada): P(A ∩ B) = P(A) • P(B A⁄ )

[5]: Ejemplo típico: ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar las letras de cierta palabra que tiene letras repetidas?, con a, b y c de la ecuación siendo las veces que se repite cada elemento/letra. (Si hay 3 letras s, hay que poner 3!) [6]: Ejemplo típico: calcular todas las maneras en que pueden sentarse unas personas en una mesa redonda.

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Suma de probabilidades (Probabilidad de que ocurra un suceso o el otro)

Probabilidad total: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Si no hay un conjunto coincidente entre A y B, es decir, si son eventos mutuamente excluyentes y no

pueden ocurrir simultáneamente, P(A ∩ B) desaparece de la ecuación porque valdrá cero.

Probabilidad condicionada o condicional

Probabilidad de que ocurra el suceso A dado que ocurrió B: PAB⁄

=P(A ∩ B)

P(B)=

P(A) • P(B A⁄ )

P(B)

Función de probabilidad

La suma de las probabilidades (recorrido de la función) da 1: ∑ f(x) = 1

Valor esperado o esperanza en f. probabilidad: E(x) = ∑(P(X = xi) • xi)

La función de distribución corresponde a la función de probabilidad acumulada.

Desviación estándar o típica: σ = √∑[(xi− E(xi))

2 • P(xi)]

N

Varianza: σ2 = ∑[(xi− E(xi))

2 • P(xi)]

N

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Variable aleatoria discreta (distribución binomial)

Se representa de la forma: X ~ B(n,p)

Esperanza o valor esperado en v. a. discreta: E(x) = np

Desviación típica o estándar: σ = √npq

Varianza: σ2 = npq

Distribución binomial de Bernoulli: P(X = x) = 𝐂xn • 𝐩x • 𝐪n−x

Donde:

Cxn: combinación de las veces que se repite el experimento sobre la cantidad de éxitos.

n: veces que se repite el experimento

q = (1 – p) = probabilidad de fracaso

p: probabilidad de éxito

k: cantidad de éxitos

(n ‒ k): cantidad de fracasos

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Uso del Triángulo de Pascal en la variable aleatoria discreta

Para experimentos con dos resultados posibles (como lanzar una moneda), se usa elige el nivel del

triángulo de Pascal correspondiente según el número de veces que se haga el

experimento.

Ejemplo: al lanzar una moneda 5 veces se puede hacer un cuadro con las

probabilidades de cada resultado, con el nivel 5 del triángulo de Pascal:

← ∆ Pascal nv. 5

En los resultados posibles se rellena con una sucesión de números enteros desde 0, y luego en sentido

contrario. Así, por ejemplo, podemos saber fácilmente la probabilidad de que salgan 4 caras y 1 sello,

sería el número del triángulo de Pascal que le corresponde, es decir:

1 5 10 10 5 1

C 0 1 2 3 4 5

S 5 4 3 2 1 0

P(4 caras y 1 sello) = 5N⁄ = 5

25⁄ = 5∑∆nv.5

⁄ = 𝟓𝟑𝟐⁄

Variable aleatoria continua (distribución normal)

Representación de una variable aleatoria continua: Z ~ N(μ, σ)

Para estar tipificada, μ debe ser 0 y σ debe valer 1.

Tipificación de x en una distribución normal: Z =x − μ

σ

Intervalos de confianza = [x − E, x + E] Error: E = Zα2⁄•

σ

√N

1 5 10 10 5 1

C 0 1 2 3 4 5

S 5 4 3 2 1 0

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Ecuaciones de segundo grado y productos notables

Soluciones en una ecuación de segundo grado: x =−b±√b2−4ac

2a

Discriminante: ∆ = b2 − 4ac

Si ∆ > 0, hay dos soluciones reales distintas.

Si ∆ = 0, hay una única solución real.

Si ∆ < 0, hay dos soluciones imaginarias.

Suma de las soluciones: x1 + x2 = −b a⁄

Producto de las soluciones: x1 • x2 = c a⁄

Soluciones en ecuaciones

Si al reducir una ecuación cualquiera obtenemos 𝟎 = 𝟎, entonces existen infinitas soluciones.

Si al reducir nos queda que 𝐚 = 𝟎, donde a es un número cualquiera, significa que no hay solución.

Productos notables

Cuadrado de binomio: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Suma por su diferencia: a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Cubo de binomio: (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Diferencia de cubos: a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

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Inecuaciones o desigualdades

Valor absoluto

Una de las cosas más importantes de las inecuaciones es la identificación de, digamos, las posibilidades

del resultado: el resultado de una raíz con índice par no puede ser negativa, el denominador en una

fracción no puede ser cero, etc.

Entre ellas, está el valor absoluto.

El valor absoluto es equivalente al cuadrado de la raíz cuadrada: |𝐱| = √𝐱𝟐

Las propiedades del valor absoluto son las siguientes:

|x| ≥ 0

|x + y| ≤ |x| + |y|

|x • y| = |x| • |y|

|x ÷ y| = |x| ÷ |y|

|a| < b ⇔ −b < a < b

|a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b

|a| > b ⇔ a < −b ∪ a > b

|a| ≥ b ⇔ a ≥ −b ∪ a ≥ b

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Cuadrados, cubos y tríos pitagóricos a memorizar

Cuadrados y cubos que probablemente sí sea útil memorizar

112 = 121

122 = 144 23 = 8

132 = 169 33 = 27

142 = 196 43 = 64

152 = 225 53 = 125

162 = 256 63 = 216

172 = 289 73 = 343

182 = 324 83 = 512

93 = 729

Tríos pitagóricos

o 3, 4, 5

o 5, 12, 13

o 8, 15, 17

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Bibliografía

o Libro de Matemática, preuniversitario Cpech.

o http://www.slideshare.net/sitayanis/5-inecuaciones-con-valor-absoluto-9384355

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Estupendo, llegaste al final.

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