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1 MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE - MATEMÁTICA 2º ANO DO ENSINO MÉDIO DOCENTE: IVE PINA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMICA FUNÇÃO EXPONENCIAL Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe: y = 2 x y = 3 x + 4 y = 0,5 x y = 4 x A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: IR→IR + * tal que f(x) = a x , sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. Neste tipo de função como podemos observar em f(x) = a x , a base a é um valor real constante, isto é, um número real. Note que temos algumas restrições, visto que temos e a ≠ 1 e a > 0. Se a = 1 teríamos uma função constante e não exponencial, pois 1 elevado a qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso f(x) = 1 x equivaleria a f(x) = 1 que é uma função constante. E para a = 0, por que tal restrição? Ao estudarmos a potenciação vimos que 0 0 é indeterminado, então seria indeterminado quando . No caso de a < 0 não devemos nos esquecer de que não existe a raiz real de um radicando negativo e índice par, portanto se tivermos, por exemplo, a = -3 e x = ¼ o valor de não será um número real, pois teremos: E como sabemos . Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Fu log 2016

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    MATERIAL PARA O 1 BIMESTRE -

    MATEMTICA

    2 ANO DO ENSINO MDIO

    DOCENTE: IVE PINA

    FUNO EXPONENCIAL E LOGARITMICA

    FUNO EXPONENCIAL Toda relao de dependncia, em que uma incgnita depende do valor da outra, denominada funo. A funo denominada como exponencial possui essa relao de dependncia e sua principal caracterstica que a parte varivel representada por x se encontra no expoente. Observe: y = 2 x

    y = 3 x + 4 y = 0,5 x

    y = 4 x

    A lei de formao de uma funo exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notao: f: IRIR+

    * tal que f(x) = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. Neste tipo de funo como podemos observar em f(x) = ax, a base a um valor real constante, isto , um nmero real. Note que temos algumas restries, visto que temos e a 1 e a > 0. Se a = 1 teramos uma funo constante e no exponencial, pois 1 elevado a qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso f(x) = 1x equivaleria a f(x) = 1 que uma funo constante. E para a = 0, por que tal restrio?

    Ao estudarmos a potenciao vimos que 00 indeterminado, ento seria indeterminado quando . No caso de a < 0 no devemos nos esquecer de que no existe a raiz real de um radicando negativo e ndice par, portanto se tivermos, por exemplo, a = -3 e x = o

    valor de no ser um nmero real, pois teremos:

    E como sabemos . Uma funo exponencial utilizada na representao de situaes em que a taxa de variao considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substncias qumicas, desenvolvimento de bactrias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situaes. As funes exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessrio, as regras envolvendo potenciao. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funes exponenciais.

    http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoConstante.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Potenciacao.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx

  • 2

    Exemplos:

    1) Nas proximidades da superfcie terrestre, a presso atmosfrica P, em atmosfera (atm), dada em funo da altitude h, em quilmetros, aproximadamente por P(h) = 0,9h. Se, no topo de uma montanha, a presso 0,729 atm, conclui-se que a altitude desse topo : A) 6 km

    B) 5,2km

    C) 5 km

    D) 4 km

    E) 3 km

    P(h) = 0,729 e P(h) = 0,9h 0,9h = 0,729 0,9h = 0,93

    h = 3 R: E

    2) (U. Amazonas) em pesquisa realizada, constatou-se que a populao (P) de determinada bactria cresce segundo a expresso P(t) = 25. 2t, em que t representa o tempo em horas. Para atingir uma populao de 400 bactrias, ser necessrio um tempo de: A) 4 horas B) 3 horas C) 2 horas e 30 minutos

    D) 2 horas E) 1 hora

    P(t) = 400 e P(t) = 25 . 2t 25 . 2t = 400

    2t =

    2t = 16 2t = 24 t = 4 R: A

    3) (Unit-SE) Uma determinada mquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos aps a sua compra, dado por v(t) = v0 * 2

    0,2t, em que v0 uma constante real. Se, aps 10 anos, a mquina estiver valendo R$ 12000,00, determine o valor que ela foi comprada. v(10) = 12 000 e v(10) = v0 * 2

    0,2*10

    12 000 = v0 * 2 2

    12 000 = v0 * 12 000 : = v0 v0 = 12 000 * 4 v0 = 48 000 R: A mquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

    4) (Uneb-BA) A expresso P(t) = K . 20,05t fornece o nmero P de milhares de habitantes de uma cidade em funo do tempo t em anos. Se em 1990, essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ele tenha no ano 2000? A) 352 000 B) 401 000

    C) 423 000 D) 439 000

    E) 441 000

    1990 => t = 0 1991 => t = 1 1992 => t = 2 ... 2000 => t = 10

  • 3

    Em 1990: P(0) = 300 000 e P(0) = K . 20,05 . 0 300 000 = K . 20

    300 000 = K . 1 K = 300 000

    Em 2000: P(10) = 300 000. 20,05.10 = 300 000 . 20,5 = 300 000 .

    = 300 000. = 300 000 . 1,41 = 423 000 Resposta: C

    5) Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos frequentadores de um clube. Uma investigao revelou a presena da bactria salmonela, que se multiplica segundo a lei:

    n(t) = 200 . 2at Em que n(t) o nmero de bactrias encontradas na amostra de maionese t horas aps o inicio do almoo e a uma constante real. a) Determine o nmero de bactrias no instante em que foi servido o almoo?

    No instante em que foi servido o almoo, t = 0. n(0) = 200. 2.0 = 200. 20 = 200 . 1 = 200 bactrias.

    b) Sabendo que aps 3 horas do incio do almoo, o nmero de bactrias era de 800, determine o valor da constante a. n(3) = 800 e n(3) = 200. 2.3 200. 2.3 = 800

    23 =

    23 = 4 23 = 2 3a = 2

    a =

    c) Determine o nmero de bactrias aps 12 horas da realizao do almoo

    n(12) = 200.

    bactrias

    6) O preo p, em unidades monetrias, de uma ao de uma empresa siderrgica, comercializada em bolsa de valores, oscilou de 1990 a 2010 de acordo com a lei:

    P(t) = 3,20 .

    Em que t o tempo, em anos, contado a partir de 1990. a) Qual era o valor da ao em 1994? E em 1999?

    1990 => t = 0 1991 => t = 1 1994 => t = 4 1999 => t = 9

    Em 1994 => P(4) = 3,20 .

    = 3,20 .

    = 3,20 . 2 = 3,20 . 1 = 3,20

    Em 1999 => P(9) = 3,20 .

    = 3,20 .

    = 3,20 . 2 = 3,20 . 4 = 12,80

    b) Em que ano a ao passou a valer oito vezes o valor de 1990?

    Em 1990 => P(0) = 3,20 .

    = 3,20 .

    8 vezes o valor de 1990 => 8 . 3,20.

    = 2. 3,20.

    = 3,20.

    = 3,20.

    3,20 .

    = 3,20.

    t = 15 anos

  • 4

    FUNO LOGARTMICA Toda funo definida pela lei de formao f(x) = logax, com a 1 e a > 0 denominada funo logartmica de base a. Nesse tipo de funo o domnio representado pelo conjunto dos nmeros reais maiores que zero e o contradomnio, o conjunto dos reais. Exemplos de funes logartmicas: f(x) = log2x f(x) = log3x f(x) = log1/2x f(x) = log10x

    f(x) = log1/3x f(x) = log4x f(x) = log2(x 1) f(x) = log0,5x

    Funo logartmica de base a toda funo , definida

    por com e . Podemos observar neste tipo de funo que a varivel independente x um logaritmando, por isto a denominamos funo logartmica. Observe que a base a um valor real constante, no uma varivel, mas sim um nmero real.

    A funo logartmica de inversa da funo exponencial de e vice-versa, pois:

    Note que na definio ns temos algumas restries, sendo elas:

    A base do logaritmo deve ser maior do que zero e diferente de 1 (0 < a 1); O valor de x est determinado no conjunto dos nmeros reais positivos, sem incluir o zero. Portanto, o logaritmando x deve ser: x > 0.

    As funes logartmicas envolvem em sua resoluo, propriedades destinadas ao estudo dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento prvio dessas propriedades. Exemplos:

    1) Vamos resolver a equao 3x = 5. 3x = 5 log 3x = log 5 x.log3 = log 5

    x =

    2) (Fuvest-SP) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, um

    nmero que varia de I = 0 at I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I dado pela frmula:

    I =

    Na qual E a energia liberada no terremoto em KWH e E0 = 7 . 10-3 KWH. Qual a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?

    I =

    e I = 8

    = 8

    = 8

    http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx

  • 5

    log

    =

    log

    = 12

    1012 =

    E = 7 . 10-3 . 1012 = 7 . 10-3 + 12 = 7. 109 KWH

    3) Dentro de t dcadas, contadas a partir de hoje, o valor em reais de um imvel ser dado por v = 80 000 . 0,9t. a) Qual o valor atual deste imvel?

    t = 0 => v = 80 000 . 0,90 = 80 000 . 1 = 80 000

    b) Qual a perda de valor deste imvel durante a primeira dcada? t = 1 => v = 80 000 . 0,9 = 80 000 . 0,9 = 72 000 Perda: 80 000 72 000 = 8 000

    c) Qual o tempo mnimo necessrio, em anos, para que o valor do imvel, seja de R$ 60 000,00? (Use as aproximaes: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) v = 60 000 e v = 80 000 . 0,9t. 80 000 . 0,9t = 60 000

    0,9t =

    0,9t =

    log 0,9t = log

    t. log

    = log 3 log 4

    t. (log 3 - log 10) = log 3 log 2 t. (2.log3 log 10) = log 3 2.log2 t. (2. 0,48 1) = 0,48 2.0,30 t. (0,96 1) = 0,48 0,60 t. (-0,04) = -0,12

    t =

    dcadas

    R: 30 anos.

    4) A expresso seguinte relaciona o valor v, em reais, que um objeto de arte ter t anos aps sua aquisio: v(t) = 500.2kt (k uma constante positiva) a) Sabendo que o valor do objeto, aps 3 anos de sua aquisio, de R$

    2000,00, determine o valor de k. t = 3 e v(3) = 2000 2000 = 500.2k.3

    = 23k

    4 = 23k 2 = 23k 3k = 2

    k =

    b) Por qual valor esse objeto de arte foi adquirido?

    t = 0 => v(0) = 500 .

    = 500 . 20 = 500 reais

    c) Qual o nmero inteiro de anos necessrios para que o valor do objeto seja de R$ 5 000,00? (Use a aproximao: log 2 = 0,30)

  • 6

    v(t) = 5000 e v(t) = 500.

    500.

    = 5000

    =

    = 10

    2t . 0,10 = 1 t. 0,2 = 1

    t =

    anos

    5) A populao de certa espcie de mamfero em uma regio da Amaznia cresce

    segundo a lei n(t) = 5 000 . e0,02t em que n(t) o nmero de elementos estimados da espcie no ano t (t = 0, 1, 2, 3, ...), contado a partir de hoje (t= 0). Determine o nmero inteiro mnimo de anos necessrios para que a populao atinja: (use as aproximaes ln 2= 0,69 e ln 5 = 1,6) a) 8 000 elementos?

    n(t) = 8000 e n(t) = 5000 . e0,02t

    5000. e0,02t = 8000

    e0,02t =

    e0,02t =

    ln e0,02t = ln

    0,02t. lne = ln 8 ln 5 0,02t . 1 = ln 2 - ln 5 0,02t = 3.0,69 1,6 0,02t = 2,07 1,6 0,02t = 0,47

    t =

    R: 24 anos

    b) 10 000 elementos?

    n(t) = 10000 e n(t) = 5000 . e0,02t

    5000. e0,02t = 10000

    e0,02t =

    e0,02t = 2 ln e0,02t = ln2 0,02t. lne = 0,69 0,02t . 1 = 0,69 0,02t = 0,69

    t =

    R: 35 anos

    Exerccios:

    1) (SAERJ-2011) A quantidade de produtos fabricados em uma indstria em

    funo do tempo, t, em anos de funcionamento dada por P(t) = 10 000 . (3)t-1. Qual a quantidade de produtos fabricados por essa indstria em 4 anos de funcionamento?

    A) 30 000 B) 90 000 C) 120 000 D) 270 000 E) 810 000

    2) (SAERJ-2014) Uma determinada vegetao aqutica comeou a se reproduzir de forma desordenada em um rio. A rea invadida por essa vegetao, em m, em funo do tempo t, dado em meses, pode ser calculada por meio da expresso f(t) = 100 . (1,25)t. Aps dois meses, a rea invadida por essa vegetao era de

    A) 125 m2 B) 156,25 m2 C) 250 m2 D) 12 500 m2 E) 15 625 m2

    3) (SAERJ-2014) Marcelo consultou o gerente de seu banco para simular um

    emprstimo de R$ 1 000,00. O gerente lhe informou que o valor a ser pago por esse emprstimo pode ser calculado por meio da expresso V(t) = 1 000. (1,1)t,

  • 7

    na qual V(t) representa o saldo devedor t meses aps a realizao do emprstimo. Qual ser o valor V(t) do saldo devedor 3 meses aps a realizao desse emprstimo?

    A) R$ 1 100,00 B) R$ 1 210,00 C) R$ 1 331,00 D) R$ 3 000,00 E) R$ 3 330,00

    4) (SAERJ-2013) O valor V(t) de uma mquina industrial, em funo do tempo t

    (em anos) aps sua aquisio, dado pela expresso V(t) = 6 000 .

    sendo 0 t 30. Aps 20 anos de sua aquisio, essa mquina sofreu uma desvalorizao de, aproximadamente,

    A) R$ 54 000,00 B) R$ 5 333,33 C) R$ 5 000,00 D) R$ 1 000,00 E) R$ 666,67

    5) (SAERJ-2013) A massa residual de um istopo radioativo de iodo 131 pode

    ser expressa pela funo (

    )

    , na qual M representa a quantidade de

    massa residual aps certo tempo dado em gramas, sendo m0 a massa total inicial em gramas, e x o tempo em dias. Um hospital possui 10 g desse istopo em estoque para fins de tratamento contra o cncer de tireoide. Aps 32 dias sem ocorrer nenhum tratamento, qual massa residual desse istopo de iodo 131?

    A) 160 g B) 20 g C) 5 g D) 1,25 g E) 0,625 g

    6) (SAERJ-2014) Os imveis construdos em uma regio da cidade do Rio de Janeiro - RJ sofreram uma valorizao anual que pode ser calculada por meio da expresso V(t) = P0 . log3t, na qual P0 representa o preo do imvel no ato de sua aquisio e V(t) o valor do imvel t anos aps a sua aquisio, com t>3. Aps 9 anos, o preo de um imvel dessa regio atingiu o valor de R$200000,00.Qual era o preo desse imvel no ato de sua aquisio?

    A) R$ 22 222,22 B) R$ 66 666,66

    C) R$ 100 000,00 D) R$ 400 000,00

    E) R$ 600 000,00

    7) (SAERJ-2013) O clculo da quantidade de decibis de um som expresso por

    (

    ) na qual I representa a intensidade do som e l0 = 10

    12 W/m2

    que a menor intensidade do som captado pelo ouvido humano. Um avio a jato, ao aterrissar, produz uma intensidade sonora l = 100 W/m2 . Qual o nvel sonoro desse avio, em decibis, durante a aterrissagem?

    A) 15 B) 24 C) 60 D) 100 E) 140

    8) (SAERJ-2014) A acidez de uma substncia indicada pelo seu pH, que pode

    ser calculado atravs da expresso ( ) (

    ) , na qual H+ a

    concentrao de hidrognio, em ons-grama por litro de soluo. Qual o pH de um cosmtico cuja concentrao de hidrognio em ons-grama por litro de 1,0 x 10 8 ?

    A) 1,25 B) 1,80 C) 7 D) 8 E) 9

    9) (SAERJ-2012) A intensidade M de um terremoto pode ser calculada de acordo

    com a funo ( ) (

    )

    onde e indica a energia liberada no terremoto,

    em quilowatt-hora, e e0 = 7 x 10 3 kw/h. O terremoto do Japo, ocorrido em maro de 2011, atingiu, aproximadamente, uma intensidade M = 9 na escala Richter. Qual foi, aproximadamente, a energia liberada nesse terremoto no Japo? (Considere log 7 = 0,84)

    A) e = 1017,34 kw/h B) e = 1015,66 kw/h

    C) e = 1013,5 kw/h D) e = 1011,34 kw/h

    E) e = 1011,34 kw/h 7 x10-3

  • 8

    Representao da Funo Exponencial no Plano Cartesiano Para representarmos graficamente uma funo exponencial, podemos arbitrarmos alguns valores para x, montarmos uma tabela com os respectivos valores de f(x), localizarmos os pontos no plano cartesiano e traarmos a curva do grfico.

    Exemplo: Para a representao grfica da funo arbitraremos os seguintes valores para x: -6, -3, -1, 0, 1 e 2. Montando a tabela temos:

    x y = 1,8x

    -6 y = 1,8-6 = 0.03

    -3 y = 1,8-3 = 0.17

    -1 y = 1,8-1 = 0.56

    0 y = 1,80 = 1

    1 y = 1,81 = 1.8

    2 y = 1,82 = 3.24

    Acima temos o grfico desta funo exponencial, onde localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos atravs da curva da funo. Funo Crescente e Decrescente: As funes exponenciais tambm podem ser classificadas como funo crescente ou funo decrescente. Isto se dar em funo da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definio da funo

    exponencial , definida por , temos que e . Funo Exponencial Crescente: Se temos uma funo exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x. No grfico da funo ao lado podemos observar que medida que x aumenta,f(x) ou y tambm aumenta. Graficamente vemos que a curva da funo crescente. Funo Exponencial Decrescente: Se temos uma funo exponencial decrescente em todo o domnio da funo. Neste outro grfico podemos observar que medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da funo decrescente.

    http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx

  • 9

    1) Traando o grfico das seguintes funes exponenciais:

    f(x) = 2x, g(x) = (1,2)x e h(x) =

    x

    2

    5

    2) Traando o grfico das seguintes funes exponenciais:

    f(x) =

    x

    2

    1 , g(x) =

    x

    3

    1 , h(x) = (0,2)x e p(x) = (0,7)x.

    Note tambm que independentemente de a funo ser crescente ou decrescente, o grfico da funo sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1), alm de nunca cruzar o eixo das abscissas.

    Representao da Funo Logartmica no Plano Cartesiano Podemos representar graficamente uma funo logartmica da mesma forma que fizemos com a funo exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traamos a curva do grfico.

    http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx

  • 10

    Exemplo: Vamos representar graficamente a funo e como estamos trabalhando com um logaritmo de base 10, para simplificar os clculos vamos escolher para x alguns valores que so potncias de 10: 0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2. Temos ento seguinte a tabela:

    x y = log x

    0,001 y = log 0,001 = -3

    0,01 y = log 0,01 = -2

    0,1 y = log 0,1 = -1

    1 y = log 1 = 0

    10 y = log 10 = 1

    Ao lado temos o grfico desta funo logartmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos atravs da curva da funo: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos esto quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note tambm que neste tipo de funo uma grande variao no valor de x implica numa variao bem inferior no valor de y. Por exemplo, se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variao de y ser apenas de 2 para 6. Isto porque:

    Funo Crescente e Decrescente: Assim como no caso das funes exponenciais, as funes logartmicas tambm podem ser classificadas como funo crescente ou funo decrescente. Isto se dar em funo da base a ser maior ou

    menor que 1. Lembre-se que segundo a definio da funo logartmica ,

    definida por , temos que e . Funo Logartmica Crescente: Se temos uma funo logartmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No grfico da funo ao lado podemos observar que medida que x aumenta, tambm aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da funo crescente. Tambm podemos observar atravs do grfico, que para dois valores de x (x1 e x2),que

    , isto para x1, x2 e a nmeros reais positivos, com a > 1.

    http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx

  • 11

    Funo Logartmica Decrescente: Se temos uma funo logartmica decrescente em todo o domnio da funo. Neste outro grfico podemos observar que medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da funo decrescente. No grfico tambm observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que

    , isto para x1, x2 e a nmeros reais positivos, com 0 < a < 1.

    1) Traando o grfico das seguintes funes logartmicas:

    f(x) = x2log g(x) = x3log , h(x) = x5,1log

    2) Traando o grfico das seguintes funes logartmicas:

    f(x) = x2

    1log ,g(x) = x3

    1log , e h(x) = x7,0log .

    http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx

  • 12

    importante frisar que independentemente de a funo ser crescente ou decrescente, o grfico da funo sempre cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), alm de nunca

    cruzar o eixo das ordenadas e que o , isto para x1, x2 e a nmeros reais positivos, com a 1.

    Torre Eiffel, uma funo bem resolvida Se o professor pedisse a voc que construsse o grfico da funo logartmica y = x

    2

    1log, para x igual a , ,

    1, 2 e 4, conseguiramos identificar uma das provveis frmulas que delineou o perfil do carto-postal francs, a Torre Eiffel. Veja o grfico ao lado que a parte da curva em que y o respeita a arquitetura da torre mais famosa do mundo.

    Exemplos:

    1) (SAERJ-2011) O grfico que representa a funo y = 3-2x :

    A funo y = 3-2x a mesma que y = (

    ) (

    ) .

    Como a funo y = (

    ) exponencial decrescente, as funes das letras C, D no

    podem ser resposta, por se tratarem de grficos de funo exponencial crescentes. E a funo da letra E representa a curva de uma funo logartmica. Logo, restam como opes as letras A e B. Note que na A, os valores tomados para x so x = - e x = . E na letra B, os valores

    tomados para x so x = -1 e x = 1. Substituindo esses valores na funo y = (

    ) .

    Teremos:

    A) x = - => y = (

    )

    => (x,y) = (

    )

    x = => y = (

    )

    (

    )

    => (x,y) = (

    )

    B) x = -1 => y = (

    ) => (x,y) = (-1,9)

    x = 1 => y = (

    )

    => (x,y) = (

    )

    No entanto, os pontos marcados na letra B so: (-1, 3) e (1,

    ), no correspondendo

    aos pontos da funo exponencial y = (

    ) . Portanto, a opo correta a letra A.

    http://www.matematicadidatica.com.br/PlanoCartesiano.aspx

  • 13

    2) (SAERJ-2013)

    O grfico exposto o grfico de uma funo exponencial crescente. Portanto, as letras D e E no podem ser resposta da questo por se tratar de funes logartmicas, e a letra A tambm no pode ser resposta da questo, porque uma funo exponencial de base a < 1, e por isso, decrescente. Logo, como resposta para a questo resta as opes B e C. Note que os pontos marcados na curva so (0,1) e (1,3). Vamos verificar quais das duas opes nos fornece esta resposta. B) f(0) = 30 = 1 => (x,y) = (0,1) f(1) = 3 = 3 => (x,y) = (1,3) C) f(0) = 30 + 1 = 1 + 1 = 2 => (x,y) = (0,2) f(1) = 3 + 1 = 3 + 1 = 4 => (x,y) = (1,4) Logo, a resposta correta a letra B.

    3) (UFRGS) A representao geomtrica que melhor representa o grfico da

    funo real de varivel real x, dada por , :

    (A) (B) (C) (D) (E)

    A funo logartmica decrescente, pois tem base b < 1. Logo, a letra B, C e E no podem ser resposta para a funo por se tratar de funes logartmicas crescentes. Restando as opes A e D para soluo da questo. Testaremos as opes:

    A) x = 1 => log1 = 0 => (x,y) = (1,0)

    D) x = => log = 1 => (x,y) = (, 1) (, 0)

    Logo, a opo correta a letra A.

    4) (UFRGS) Na figura, a curva S representa o conjunto soluo da equao y=logax e a curva T, o conjunto soluo da equao y = logbx. Tem-se:

    A) a < b < 1 B) 1 < b < a C) 1 < a < b D) b < a < 1 E) b < 1 < a

  • 14

    A curva S e a curva T so representaes de funes logartmicas crescentes, portanto, a base a > 1 e a base b > 1. Como S est abaixo de T, b > a. Portanto, a resposta correta da questo b > a > 1, numa notao equivalente: 1 < a < b. Logo, a resposta a letra C.

    5) (Ufsm 2002) O grfico mostra o comportamento da funo logartmica na base a. Ento o valor de a

    A) 10 B) 2 C) 1 D) E) -2 Segundo o enunciado temos y = logax. Como a curva que est sendo representada de uma funo logartmica decrescente, a nica opo possvel para resposta seria a letra D. Vamos test-la para confirmao:

    y = logx

    x = 1 => y = log1= 0 => (x,y) = (1,0)

    x = 4 => y = log4 = log2 = y = log()-2 = -2 => (x,y) = (4, -2)

    Logo, a letra D resposta da questo.

    6) (SAERJ-2013) Observe abaixo o grfico de uma funo definida de IR*+-> IR. Qual a representao algbrica dessa funo? A) y= x - 1 4 B) y = 5x + 1 C) y =

    D) y = E) y = 5x

    A curva representada se trata de uma funo logartmica crescente. Portanto, as letras A e B no podem ser resposta para questo por se tratar de funes afins e, nem a letra E, por se tratar de uma funo exponencial, e nem a letra C por ser uma funo logartmica de base b < 1 e, portanto, decrescente. Logo, a resposta s pode ser a letra D. Testando para confirmao, temos: x = 1 => y = log51 = 0 => (x,y) = (1,0) x = 5 => y = log55 = 1 => (x,y) = (5,1) Resposta: D. Exerccios:

    1)(SAERJ-2014)

  • 15

    2) (SAERJ-2013)

    3) (SAERJ-2014) Observe abaixo o grfico de uma funo real.

  • 16

    4) (SAERJ-2014)

    5) (SAERJ2012)

    6) (SAERJ2011)

    Funo inversa:

    A funo logartmica a funo inversa da funo exponencial.

    Observe: y = ax x = yalog

  • 17

    Como os grficos de funes inversas so simtricos em relao bissetriz dos quadrantes mpares, o grfico da funo logartmica de imediata construo, uma vez que j vimos o grfico da funo exponencial.

    Note que:

    Se a > 1, a funo f(x) = xalog crescente.

    Se 0 < a < 1, a funo f(x) = xalog decrescente.

    Exemplos:

    1) (SAERJ-2014)

    Para fazer a inversa de f(x), temos que trocar f(x) por x e x por y. Logo teremos: x = 2y + 1 Isolando o y: x 1 = 2y log2(x 1) = log22

    y log2(x 1) = y . log22 log2(x 1) = y . 1 log2(x 1) = y Resposta: E

    2) (SAERJ-2013)

  • 18

    Para fazer a inversa de f(x), temos que trocar f(x) por x e x por y. Logo teremos: x = () y Isolando o y:

    logx = log()y

    logx = y. log()

    logx = y . 1

    logx = y

    As nicas funes logartmicas esto nas letras A e E. Sendo a letra A crescente e a letra E decrescente. Portanto, a opo correta a letra E. Conferindo:

    x = 1 => y = log1 = 0 => (x,y) = (1,0)

    x = 2 => y = log2 = log()-1 = -1 => (x,y) = (2,-1)

    E os pontos (1,0) e (2,-1) pertencem a curva da letra E.

    3) (SAERJ-2014)

    A f(x) uma funo exponencial crescente, logo a f-1(x) uma funo logartmica crescente. Logo, a letra A e B esto erradas, por serem a f e no a f-1. A letra E no representa uma funo exponencial. E a letra D, uma funo logartmica decrescente. Logo, a opo correta seria a letra C. Conferindo: f-1(x) = log3x x = 1 => f-1(1) = log31 = 0 => (x,y) = (1,0) x = 3 => f-1(3) = log33 = 1 => (x,y) = (3,1) E os pontos (1,0) e (3,1) pertencem a curva f-1(x).

  • 19

    Exerccios:

    1) (SAERJ-2013)

    2) (SAERJ) Qual o grfico que melhor representa a funo inversa da funo f: IR -> IR*+, definida por f(x) = 10

    x?

    3) (SAERJ-2014)

  • 20

    Demais grficos da funo logartmica Observe abaixo nos seguintes grficos da funo logartmica que, como o domnio da funo altera, a assntota altera de acordo com cada domnio. No entanto, o formado da curva preservado.

    1) )1(log3 x

    Base: b = 3 Domnio: x + 1 > 0 => x > 0 1 => x > -1 Assntota: reta x = -1

    2) )12(log3 x

    Base: b = 3 Domnio: 2x 1 > 0 => 2x > 0 + 1 => 2x > 1 => x > Assntota: reta x =

  • 21

    3) )3(log3

    1 x

    Base: 1/3 Domnio: x + 3 > 0 => x > -3 Assntota: reta x = -3

    4) )12(log3

    1 x

    Base: 1/3 Domnio: 2x + 1 > 0 => 2x > -1 => x > - Assntota: x = - Observe que, independentemente das funes serem crescentes ou decrescentes, mantendo-se a base, e no mudando a constante real que acompanha x, o que se visualiza um deslocamento horizontal do grfico e de suas assntotas, diretamente relacionadas com seu domnio.

  • 22

    Vejamos apenas as funes crescentes em um nico grfico. Sejam as funes:

    f(x) = x3log , g(x) = )1(log3 x , h(x) = )4(log3 x e p(x) = )5(log3 x .

    Agora, observe que, se as funes tiverem o mesmo domnio, mas bases diferentes, teremos a mesma assntota, e crescimentos de funes mais rpidos ou mais lentos.

    Sejam as funes: f(x) = )1(log3 x , g(x) = )1(log 2 x .

    Exemplos:

    1) (SAERJ-2014)

  • 23

    A funo h(x) = log6(x) + 1 uma funo logartmica crescente, pois b = 6 > 1. Logo, a letra C e D no podem ser resposta da questo porque so funes exponenciais. E a letra A tambm no pode ser reposta porque trata de uma funo decrescente. Restando as opes B e E, na qual os valores de x escolhidos para ambas foram x = 1 e x = 6. Vamos testar e ver o resultado: x = 1 => h(1) = log6(1) + 1 = 0 + 1 = 1 => (x,y) = (1,1) x = 6 => h(6) = log6(6) + 1 = 1 + 1 = 2 => (x,y) = (6,2) Os pontos (1,1) e (6,2) esto representados na curva da letra B, que a resposta da questo.

    2) (Saerj-2013)

    A curva representada na questo uma funo logartmica decrescente, porque corta o eixo x e no o eixo y. Portanto as letras D e E no podem ser respostas para a questo, pois so funes exponenciais, nem a letra A, por ter base b = 3 > 1 e ser uma funo crescente. Logo as opes possveis so B e C. Testaremos os valores de x = -1 e x = 7 nas funes e vamos assim descobrir qual a resposta correta. B)x = -1 =>

    ( ) =

    ( ) que no existe.

    C) x = -1 =>

    ( ) =

    => (x,y) = (-1,0)

    x = 7 =>

    ( ) =

    (

    ) => (x,y) = (7, -2)

    Portanto, a opo correta a letra C.

  • 24

    Exerccios: 1) (SAERJ-2012)

    2) (SAERJ2012)

  • 25

    3) (SAERJ2012)

    4) (SAERJ-2013)