A empresa “Limpopó” aluga máquinas para a limpeza de alcatifas. O aluguer de

cada máquina tem um preço, por hora, de 4€, acrescido de uma taxa fixa de 3€

, isto é, a partir do momento em que a pessoa aluga a máquina tem de pagar 3€.

Exemplo:

1 2 3 4 5 6

7 11 15 19 23 27

Em todos os casos, a primeira parcela varia com o tempo e a segunda é fixa (3€).

4 + 3

4 1 + 3 4 2 + 3 4 3 + 3 4 4 + 3 4 5 + 3 4 6 + 3

8 + 3 12 + 3 16 + 3 20 + 3 24 + 3

k x b

Função: y = kx + b

Preço

Tempo

f x x( ) 4 3 f x x( ) 3 4ou

Declive da reta Ordenada na origem

Qual é a expressão algébrica desta função?

Uma função cuja expressão algébrica é do tipo y =kx +b (em que k e b são

números quaisquer) designa-se por função afim.

Representação gráfica:

Para representar graficamente, marca-se os pontos dados na tabela num referencial.

Cu

sto

(eu

ros)

Tempo (horas)

y = 4x + 3

Tempo

t

(horas)

1 2 3 4 5 6

Custo

c

(euros)

7 11 15 19 23 27

A reta intersecta o eixo vertical (eixo OY) no ponto de coordenadas (0,3) e não

na origem do referencial.

Exemplo:

Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b.

h(x) = 2x , i (x) = 2x + 3, j(x) = 2x - 5

- Num mesmo referencial, representa graficamente

as três funções.

- Qual é a posição relativa das retas que

representam as funções?

- Indica as coordenadas dos pontos de interseção

de cada uma das retas com o eixo das

ordenadas.

Conclusão:

- Funções afins cujas expressões algébricas tenham o mesmo declive são

representadas graficamente por retas paralelas.

Exemplo:

Conclusão:

- O gráfico de uma função afim y = kx + b é uma reta cuja representação gráfica

pode ser obtida a partir da deslocação da representação gráfica de y = kx

paralelamente a si própria para cima ou para baixo dependendo do sinal de b.

Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que

representa a função afim y=kx +b.

Parâmetro k : declive da reta

Nota:

- Qualquer ponto do eixo Ox (eixo das abcissas) tem ordenada zero.

Logo, as coordenadas são do tipo (x,0).

- Qualquer ponto do eixo Oy (eixo das ordenadas) tem abcissa zero.

Logo, as coordenadas são do tipo (0,y).

Exemplo:

Considera as seguintes funções do tipo y = kx + b.

h(x) = x + 3 , i(x) = -3x + 3, j(x) = 2x + 3

- Num mesmo referencial, representa graficamente

as três funções.

- Qual é a posição relativa das retas que

representam as funções?

- Indica as coordenadas dos pontos de interseção

de cada uma das retas com o eixo das ordenadas.

Conclusão:

As funções afins, y = kx + b, com a mesma ordenada na origem correspondem a

retas que têm um ponto comum: o ponto de coordenadas (0,b).

Parâmetro b : ordenada na origem

- O parâmetro b na expressão y = kx + b chama- se ordenada na origem e é a

ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas.

- O gráfico da função y =kx + b é uma reta que interseta o eixo das ordenadas

no ponto de coordenadas ( 0, b).

Qual é a influência da variação do parâmetros k e b na reta que

representa a função afim y=kx +b.

Função: y = kx + b

f(x) = 2x + 2

f(x) = 2x

f(x) = 2x – 1

As funções:

f(x) = 2x

f(x) = 2x + 2

f(x) = 2x – 1

são crescentes porque k= 2,

isto é, o declive é maior

que zero ( k 0).

As retas são paralelas

porque têm o mesmo

declive (k).

A função:

f(x) = 2x

tem por gráfico uma reta quepassa pela origem, logo é deproporcionalidade direta.

As funções:

f(x) = 2x + 2

f(x) = 2x – 1

têm por gráfico uma reta quenão passa pela origem, logonão são de proporcionalidadedireta.

Função: y = kx + b

f(x) = 2x + 2

f(x) = 2x

f(x) = 2x – 1

Para passar da função:

f(x) = 2x

para a função:

f(x) = 2x + 2

basta deslocar o gráfico dafunção:

f(x) = 2x

paralelamente a sipróprio, até ao ponto decoordenadas (0,2).

Função: y = kx + bf(x) = 2x

f(x) = 2x + 2

Para passar da função:

f(x) = 2x

para a função:

f(x) = 2x -1

basta deslocar o gráfico dafunção:

f(x) = 2x

paralelamente a sipróprio, até ao ponto decoordenadas (0,-1).

Função: y = kx + bf(x) = 2x

f(x) = 2x – 1

A reta que define a

função:

f(x) = 2x + 2

intersecta o eixo das

ordenadas (eixo

vertical) no ponto de

coordenadas (0,2), 2 é

a ordenada na origem.

Função: y = kx + b

f(x) = 2x + 2

A recta que define a

função:

f(x) = 2x - 1

intersecta o eixo das

ordenadas (eixo

vertical) no ponto de

coordenadas (0,-1), -1

é a ordenada na

origem.

Função: y = kx + b

f(x) = 2x – 1

Função: y = kx + bAs funções:

f(x) = -0,5x

f(x) = -0,5x + 3

f(x) = -0,5x – 2

são decrescentes porque

k=-0,5, isto é, o declive

é menor que zero (k 0).

As retas são paralelas

porque têm o mesmo

declive (k).

f(x) = -0,5x

f(x) = -0,5x + 3

f(x) = -0,5x – 2

Função: y = kx + bA função:

f(x) = -0,5x

tem por gráfico uma reta quepassa pela origem, logo é deproporcionalidade direta.

As funções:

f(x) = -0,5x + 3

f(x) = -0,5x – 2

têm por gráfico uma reta quenão passa pela origem, logonão são de proporcionalidadedireta.

f(x) = -0,5x

f(x) = -0,5x + 3

f(x) = -0,5x – 2

Função: y = kx + b

Para passar da função:

f(x) = -0,5x

para a função:

f(x) = -0,5x + 3

basta deslocar o gráfico dafunção:

f(x) = -0,5x

paralelamente a sipróprio, até ao ponto decoordenadas (0,3).

f(x) = -0,5x + 3

f(x) = -0,5x

Função: y = kx + b

Para passar da função:

f(x) = -0,5x

para a função:

f(x) = -0,5x - 2

basta deslocar o gráficoda função:

f(x) = -0,5x

paralelamente a sipróprio, até ao pontode coordenadas (0,-2).

f(x) = -0,5x – 2

f(x) = -0,5x

Função: y = kx + b

A recta que define a

função:

f(x) = -0,5x + 3

intersecta o eixo das

ordenadas (eixo

vertical) no ponto de

coordenadas (0,3), 3

é a ordenada na

origem.

f(x) = -0,5x + 3

Função: y = kx + b

A reta que define a

função:

f(x) = -0,5x - 2

intersecta o eixo das

ordenadas (eixo

vertical) no ponto de

coordenadas (0,-2) e

-2 é a ordenada na

origem.

f(x) = -0,5x – 2

- A representação gráfica duma função do tipo y = kx + b, com k e b constantes,

é uma reta que interseta o eixo das ordenadas em (0,b) e é paralela à reta que

representa a função y = kx.

- O gráfico da função y=kx+b sofre um deslocamento de b unidades, no eixo das

ordenadas, relativamente ao gráfico de y=kx, a função de proporcionalidade

direta.

Gráficos das funções do tipo y = kx+b

Determinação do declive de uma reta

Função constante

Uma função definida por uma expressão algébrica do tipoy= b, sendo b uma constante, é uma função constante.

O gráfico de uma função constante é uma reta paralelaao eixo das abcissas que corta o eixo das ordenadas noponto (0, b).

Exemplo:

Nota:

- Uma função do tipo y = b, chama-se função constante porque qualquer que

seja o objeto, a sua imagem é sempre a mesma.

- Numa reta horizontal, que corresponde a uma função constante (y=b), o

declive é zero.

Casos particulares da função afim

- Todas as funções lineares (do tipo y = kx) são funções afins, em que b = 0.

Representa uma situação de proporcionalidade direta e tem por gráfico uma reta

que contém a origem do referencial.

- Todas as funções constantes (do tipo y = b) são funções afins, em que k = 0,

cujo gráfico é uma reta horizontal que contém o ponto (0,b).

- O gráfico de uma função afim não linear e não constante é uma reta que não

passa pela origem do referencial e não é horizontal.